3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

Átírás

1 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat

2 Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap

3 Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt gömbje. Hány olyan gömb van, amely minden lapját érinti? Minden tetraédernek létezik súlypontja, a csúcsokat a szemközti lapok súlypontjaival összekötő szakaszok egy ponton mennek át. Magasságpont? Gyakorlat!

4 Egyéb egyszerű alakzatok Henger: Ha egy síkban lévő önmagát nem metsző zárt görbe minden pontján át párhuzamosokat húzunk egy adott egyenessel, akkor végtelen hengert kapunk. Ennek alkotói a görbét metsző, az adott egyenessel párhuzamos egyenesek. Ha a végtelen hengert két egymással párhuzamos olyan síkkal metsszük, melyek nem párhuzamosak az alkotókkal, akkor (véges) hengert kapunk. A két párhuzamos sík távolsága a henger magassága.

5 Egyéb egyszerű alakzatok Speciális hengerek: Egyenes körhenger (néha ezt nevezik hengernek). Hasáb (az alapgörbe sokszög)

6 Egyéb egyszerű alakzatok Paralelepipedon, téglatest, kocka

7 Paralelepipedon Tétel: Minden tetraédernek egyértelműen létezik bennfoglaló paralelepipedonja.

8 Egyéb egyszerű alakzatok Kúp: Ha egy síkban lévő önmagát nem metsző zárt görbe minden pontját összekötjük egy, nem a síkban lévő ponttal, akkor végtelen kúpot kapunk. A síkon kívüli pont a kúp csúcsa. A kúp alkotói a görbét metsző, a csúcson átmenő egyenesek. Ha a végtelen kúpot olyan síkkal metsszük, mely nem megy át a csúcsán, akkor (véges) kúpot kapunk.

9 Egyéb egyszerű alakzatok Gúla Egyenes körkúp

10 Elemi síkgeometria Kör érintői: A kör tetszőleges pontjában egyértelműen létezik érintő. Az érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárra.

11 Elemi síkgeometria Kör érintői: Bármely külső pontból két érintő húzható a körhöz. Külső pontból húzott két érintő hossza megegyezik.

12 Elemi síkgeometria Kör részei: Egyenlő ívekhez egyenlő húrok, egyenlő középponti szögek, egybevágó körcikkek és körszeletek tartoznak a forgásszimmetria miatt.

13 Kerületi szögek Közönséges Érintőszárú

14 Kerületi szögek Tétel: Bármely kerületi szög feleakkora, mint az ugyanahhoz az ívhez tartozó középponti szög. V V Legyen OF a középponti szög belső szögfelezője. Ekkor ABT =FOB, mert merőleges szárú szögek.

15 Kerületi szögek V V V CT érintő, az ACT kerületi szög a B-t tartalmazó AC ívhez tartozik. Ekkor ACB =ACT -BCT

16 Kerületi szögek Következmények: Egy körben egyenlő kerületi szögekhez egyenlő ívek tartoznak. Látókör Húrnégyszögek

17 Elemi síkgeometria Tétel: Ha egy ponton át szelőt húzunk a körhöz, akkor a ponttól a metszéspontokig terjedő szakaszok szorzata nem függ a szelő választásától. A kerületi szögek tételéből következik, hogy a PA1B2 és a PB1A2 háromszögek hasonlóak. Ezért megfelelő oldalaik aránya megegyezik, PA1:PB2=PA2:PB1, amiből keresztbe szorzással kapjuk az állítást.

18 Elemi síkgeometria Pont körre vonatkozó hatványa: Az előjeles távolságokkal számított PA PB szorzatot a P pont hatványának nevezzük. k(p)=d2-r2=(d+r)(d-r) Ha P külső pont, akkor k(p)=pt2 (T érintési pont).

19 Elemi síkgeometria Tétel: Derékszögű háromszöget az átfogóhoz tartozó magassága két olyan háromszögre vág, melyek hasonlóak az eredeti háromszöghöz (s így egymáshoz is). Az ábrán azonosan jelölt szögek egyenlők, mert merőleges szárú hegyesszögek.

20 Elemi síkgeometria Következmények: A derékszögű háromszög magassága mértani közepe a befogók átfogóra eső merőleges vetületének (magasságtétel). m/p=q/m m2 =pq

21 Elemi síkgeometria Következmények: A derékszögű háromszög befogója mértani közepe a befogó átfogóra eső merőleges vetületének és az átfogónak (befogótétel). a/p=c/a a2 =pc

22 Elemi síkgeometria Pithagorasz tétele: Derékszögű háromszög befogóinak négyzetösszege az átfogó négyzetével egyenlő. a2=pc b2=qc a2+b2=pc+qc=(p+q)c=c2

23 Elemi síkgeometria

24 SZÜNET

25 Elemi síkgeometria Szögfelezőtétel: Ha a háromszög egyik oldalának egyenesét a szemközti csúcsból induló belső vagy külső szögfelezővel metsszük, akkor a metszéspontok az oldal végpontjaitól mért távolságai úgy aránylanak egymáshoz, mint a szemközti csúcsból ezekhez a végpontokhoz vezető oldalak.

26 Elemi síkgeometria C-ből induló szögfelezők AB-t D1-ben, illetve D2-ben metszik. CE=CB=CF. CBE, illetve CBF egyenlőszárú háromszögek, ezért CD1 EB, illetve CD2 FB. Párhuzamos szelők tétele szerint: AC:CB=AC:CE=AD1:D1B és AC:CB=AC:CF=AD2:D2B

27 Elemi síkgeometria Szinusztétel: Bármely háromszögben az oldalak aránya megegyezik az oldallal szemközti szögek szinuszainak arányával. a=2rsinα a:b:c=sinα :sinβ :sinγ

28 Elemi síkgeometria Koszinusztétel: c2=a2+b2-2abcosγ (később bizonyítjuk)

29 Sokszögek területe Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot, amit a sokszög területének nevezünk. Ez a hozzárendelés kielégíti a következő tulajdonságokat: 2. Egybevágó sokszögek területe egyenlő. 3. Ha egy sokszöget két sokszögre bontunk, e kettő területének összege megegyezik az eredeti sokszög területével. 4. Az egységnégyzet területe 1.

30 Sokszögek területe Néhány speciális sokszög területe: Paralelogramma: t=am=absinφ Háromszög: t=ama/2=absinγ/2 Trapéz: t=(a+c)m/2

31 Síkidomok területe Korlátos síkidomok területe: Ha a külső-, illetve belső sokszögek területének van alsó-, illetve felső határa és ez a két érték megegyezik, akkor ezt nevezzük a síkidom területének.

32 Síkidomok területe Vannak olyan síkidomok, melyeknek nincs területük. Pl. fésű :

33 Kör területe T=r2π Beírt- illetve körülírt sokszögek a szabályos n-szögek.

34 Térfogat Minden poliéderhez hozzárendelünk egy pozitív valós számot, amit a poliéder térfogatának nevezünk. Ez a hozzárendelés kielégíti a következő tulajdonságokat: 2. Egybevágó poliéderek térfogata egyenlő. 3. Ha egy poliédert két poliéderre bontunk, e kettő térfogatának összege megegyezik az eredeti poliéder térfogatával. 4. Az egységkocka térfogata 1.

35 Térfogat Henger térfogata: V=t m Kúp térfogata: V=t m/3

36 Térfogat Egyenes körhenger: V=r2πm Egyenes körkúp: V=r2πm/3 Gömb: V=4r3π/3

37 Kerület, felszín Sokszög kerülete: oldalélek hosszának összege. Poliéder felszíne: határoló lapok területének összege. Görbe ívhossza, egyéb testek felszíne: bonyolult! (később, ill. analízis).