Geometria I. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger április 21.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Geometria I. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger április 21."

Átírás

1 Geometria I. Szilágyi Ibolya Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger április 21. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

2 Outline Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között Egybevágóság Párhuzamos egyenesek A sokszögek szögei Speciális négyszögek Kör A háromszög-geometria elemei Hasonlóság Térgeometria Térbeli alakzatok. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

3 Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egy a szimmetriatengelyt metsző egyenes akkor és csak akkor tükörképe önmagának, ha a szimmetriatengelyt merőlegesen metszi. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

4 Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egy a szimmetriatengelyt metsző egyenes akkor és csak akkor tükörképe önmagának, ha a szimmetriatengelyt merőlegesen metszi. Bizonyítás. 1. Ha egy egyenes merőlegesen metszi a tengelyt, akkor önmagának tükörképe, mert a tükrözés a tengely pontjait helyben hagyja, a derészöget derékszögbe viszi át. A metszéspontban a tengelyre csak egy merőleges állítható. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

5 Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egy a szimmetriatengelyt metsző egyenes akkor és csak akkor tükörképe önmagának, ha a szimmetriatengelyt merőlegesen metszi. Bizonyítás. 1. Ha egy egyenes merőlegesen metszi a tengelyt, akkor önmagának tükörképe, mert a tükrözés a tengely pontjait helyben hagyja, a derészöget derékszögbe viszi át. A metszéspontban a tengelyre csak egy merőleges állítható. 2. Ha egy egyenes metszi a tengelyt és önmagának tükörképe, akkor merőleges a tengelyre, mert a metszéspontban keletkező mellékszögek egymás tükörképei, tehát egyenlők. Ha két mellékszög egyenlő, akkor azok derékszögek. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

6 Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egy pontból egy egyenesre egy és csak egy merőleges egyenes bocsátható. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

7 Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egy pontból egy egyenesre egy és csak egy merőleges egyenes bocsátható. Bizonyítás. Ha a pont rajta van az egyenesen, az állítás igaz. Ha az A 1 pont nincs a t egyenesen, akkor tükrözzük. A kapott A 2 pont rajta van a keresett merőlegesen, hisz az önmagának tükörképe. A keresett merőleges így az A 1 A 2 egyenes, hisz két különböző félsíkban levő pontot köt össze, metszi a tengelyt, tükörképe önmaga (tehát merőleges a tengelyre). Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

8 Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egy pontból egy egyenesre egy és csak egy merőleges egyenes bocsátható. Bizonyítás. Ha a pont rajta van az egyenesen, az állítás igaz. Ha az A 1 pont nincs a t egyenesen, akkor tükrözzük. A kapott A 2 pont rajta van a keresett merőlegesen, hisz az önmagának tükörképe. A keresett merőleges így az A 1 A 2 egyenes, hisz két különböző félsíkban levő pontot köt össze, metszi a tengelyt, tükörképe önmaga (tehát merőleges a tengelyre). Adott a t egyenes. A sík minden P pontja egyértelműen meghatározza a P-ből t-re bocsátott merőleges egyenest. Ennek t-vel alkotott T metszéspontja a merőleges talppontja, P merőleges vetülete. A PT egyenes a P pont vetítőegyenese. A PT szakasz hossza a P távolsága a t egyenestől. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

9 Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egyenesre való merőleges vetítés: az a ponttranszformáció, amelyik minden P ponthoz az egyenesre vetett merőleges vetületét rendeli. Egy alakzat vetülete az alakzat pontjainak vetületéből áll. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

10 Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egyenesre való merőleges vetítés: az a ponttranszformáció, amelyik minden P ponthoz az egyenesre vetett merőleges vetületét rendeli. Egy alakzat vetülete az alakzat pontjainak vetületéből áll. Egy a szimmetriatengelyt metsző szakasz akkor és csak akkor tükörképe önmagának, ha a szimmetriatengely a szakasz felezőmerőlegese. (A merőlegességet már bizonyítottuk.) Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

11 Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egyenesre való merőleges vetítés: az a ponttranszformáció, amelyik minden P ponthoz az egyenesre vetett merőleges vetületét rendeli. Egy alakzat vetülete az alakzat pontjainak vetületéből áll. Egy a szimmetriatengelyt metsző szakasz akkor és csak akkor tükörképe önmagának, ha a szimmetriatengely a szakasz felezőmerőlegese. (A merőlegességet már bizonyítottuk.) Bizonyítás. 1. Ha F az AB felezőpontja és t a felezőmerőlegese, akkor az FA tükörképe a merőlegesség miatt az FB félegyenesen van. FA = FB miatt A tükörképe B. Tehát AB önmagának tükörképe. 2. Ha AB szimmetrikus és a tengelyt az F pontban metszi, akkor a szimmetria miatt AB merőleges a tengelyre és FA = FB. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

12 Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egy szög akkor és csak akkor tükörképe önmagának, ha a szimmetriatengely a szögfelezője. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

13 Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egy szög akkor és csak akkor tükörképe önmagának, ha a szimmetriatengely a szögfelezője. A sík azon pontjainak mértani helye, amelyek a sík két egymást metsző egyenesétől való távolsága egyenlő, ennek az egyenespárnak két szögfelező egyenese alkotja. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

14 Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Egy szög akkor és csak akkor tükörképe önmagának, ha a szimmetriatengely a szögfelezője. A sík azon pontjainak mértani helye, amelyek a sík két egymást metsző egyenesétől való távolsága egyenlő, ennek az egyenespárnak két szögfelező egyenese alkotja. A sík azon pontjainak mértani helye, amelyek a sík két pontjától egyenlő távolságra vannak, a két pont összekötő szakaszának felezőmerőlegese. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

15 Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Speciális háromszögek Jelölés Egy háromszög hegyesszögű, ha minden szöge hegyes szög, derékszögű, ha van egy derékszöge, tompaszögű, ha van egy tompaszöge. Minden háromszög konvex. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

16 Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Speciális háromszögek Jelölés Egy háromszög hegyesszögű, ha minden szöge hegyes szög, derékszögű, ha van egy derékszöge, tompaszögű, ha van egy tompaszöge. Minden háromszög konvex. Derékszögű háromszög esetén a derékszöget közrefogó oldalakat befogóknak, a derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezzük. Egy háromszögben nem lehet két derékszög, mert akkor a harmadik csúcsból a szemközti oldalra két merőleges lenne bocsátható. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

17 Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Speciális háromszögek Jelölés Egy háromszög hegyesszögű, ha minden szöge hegyes szög, derékszögű, ha van egy derékszöge, tompaszögű, ha van egy tompaszöge. Minden háromszög konvex. Derékszögű háromszög esetén a derékszöget közrefogó oldalakat befogóknak, a derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezzük. Egy háromszögben nem lehet két derékszög, mert akkor a harmadik csúcsból a szemközti oldalra két merőleges lenne bocsátható. Egy háromszög egyenlő szárú, ha van két egyenlő oldala. (szár, alap, szárszög, alapszög) Egy háromszög szabályos vagy egyenlő oldalú, ha mindhárom oldala egyenlő. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

18 Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Speciális háromszögek Egy háromszög akkor és csak akkor egyenlő szárú, ha két szöge egyenlő. Bizonyítás. Ha ABC egyenlő szárú és csúcsa C, akkor a háromszöget a csúcsnál levő szög felezőjére tükrözzük. Ekkor a csúcsnál levő szög szárai helyet cserélnek, továbbá CA = CB miatt A és B is helyet cserél. Ezért az A-nál levő szög fedi a B-nél levő szöget. Így az alapon nyugvó két szög egyenlő. Ha egy háromszögben két szög egyenlő (BAC, ABC), akkor a háromszöget AB felezőmerőlegesére türözzük. Az AC és BC egyenes helyet cserél, s így C metszéspontjuk helyén marad. Tehát CA és CB egymás tükörképei. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

19 Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Speciális háromszögek Ha egy egyenlő szárú háromszög síkjában levő egyenes rendelkezik a következő tulajdonságok valamelyikével: 1. áthalad a csúcson, s merőleges az alapra, 2. áthalad a csúcson és felezi az alapot, 3. áthalad a csúcson, s felezi a szárszöget, 4. merőlegesen felezi az alapot, akkor rendelkezik a másik három tulajdonsággal is. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

20 Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Speciális háromszögek Ha egy egyenlő szárú háromszög síkjában levő egyenes rendelkezik a következő tulajdonságok valamelyikével: 1. áthalad a csúcson, s merőleges az alapra, 2. áthalad a csúcson és felezi az alapot, 3. áthalad a csúcson, s felezi a szárszöget, 4. merőlegesen felezi az alapot, akkor rendelkezik a másik három tulajdonsággal is. Ha egy háromszög valamelyik csúcsán olyan egyenes halad át, amely rendelkezik ketővel a következő tulajdonságok közül: 1. merőleges a szemközti oldalra, 2. felezi a szemközti oldalt, 3. felezi a csúcsnál levő szöget, akkor a háromszög egyenlő szárú, s ennek ez az egyenes szimmetriatengelye. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

21 Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Speciális háromszögek A szabályos háromszög háromféleképpen is felfogható egyenlő szárú háromszögként, ezért teljesülnek rá az előzőekben mondottak. A szimmetriatengelyek metszéspontja a szabályos háromszög középpontja. Ha a szabályos háromszöget középpontja körül 120 -kal elforgatjuk, önmagát fedi, tehát forgásszimmetrikus. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

22 Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Speciális háromszögek A szabályos háromszög háromféleképpen is felfogható egyenlő szárú háromszögként, ezért teljesülnek rá az előzőekben mondottak. A szimmetriatengelyek metszéspontja a szabályos háromszög középpontja. Ha a szabályos háromszöget középpontja körül 120 -kal elforgatjuk, önmagát fedi, tehát forgásszimmetrikus. Helytelen a szóhasználat, hogy a háromszöget osztályozhatjuk szögei és oldalai szerint. A legnagyobb szög szerinti és a szimmetriák szerinti osztályzásról beszélhetünk ezek helyett. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

23 Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között Szögek, oldalak A háromszög külső szöge nagyobb, mint egy nem mellette fekvő belső szög. Bizonyítás! Egy háromszögben két szög összege 180 -nál kisebb. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

24 Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között Szögek, oldalak A háromszög külső szöge nagyobb, mint egy nem mellette fekvő belső szög. Bizonyítás! Egy háromszögben két szög összege 180 -nál kisebb. A két háromszögnek egy oldala közös, s az egyik háromszög a másikat tartalmazza, akkor a közös oldallal szemben a tartalmazó háromszögben kisebb szög van, mint a tartalmazottban. Bizonyítás! Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

25 Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között Ha egy háromszög két oldalát és ezekkel szemközti szögeit tekintjük, akkor vagy a két oldal is és a két szög is egyenlő vagy a két oldal közül s a két szög közül a nagyobbak egymással szemközt helyezkednek el. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

26 Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között Ha egy háromszög két oldalát és ezekkel szemközti szögeit tekintjük, akkor vagy a két oldal is és a két szög is egyenlő vagy a két oldal közül s a két szög közül a nagyobbak egymással szemközt helyezkednek el. Az AB szakasz felezőmerőlegese olyan két félsíkra vágja a síkot, amelyek közül az A pontot tartalmazó félsíknak belső pontjai az A ponthoz, a B pontot tartalmazóéi a B ponthoz vannak közelebb. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

27 Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között Háromszögegyenlőtlenségek Egy háromszög két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. Bizonyítás. Lássuk be, hogy egy ABC háromszögben AC + CB > AB. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

28 Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között Háromszögegyenlőtlenségek Egy háromszög két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. Bizonyítás. Lássuk be, hogy egy ABC háromszögben AC + CB > AB. Egy háromszög két oldalának különbsége kisebb a harmadik oldalnál. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

29 Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között Háromszögegyenlőtlenségek Egy háromszög két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. Bizonyítás. Lássuk be, hogy egy ABC háromszögben AC + CB > AB. Egy háromszög két oldalának különbsége kisebb a harmadik oldalnál. Három (nem feltétlenül különböző) pont három távolsága közül egyik sem lehet a másik kettő összegénél nagyobb, sem pedig a másik kettő különbségénél kisebb. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

30 Egybevágóság Egybevágósági transzformáció A távolságtartó leképezést egybevágóságnak (kongruencia) nevezzük. Két alakzat egybevágó, ha van olyan egybevágóság, ami egyiket a másikba viszi át. (Egyik alakzat tetszőleges két pontjának távolsága megegyezik a másik alakzat megfelelő két pontjának távolságával.) Minden mozgás egybevágóság. A mozgásokat és türözéseket, illetve ezek egymás utáni elvégzését euklideszi vagy egybevágósági transzformációknak nevezzük. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

31 Egybevágóság Háromszögek egybevágósága Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlők. Minden egybevágóság szögtartó. Egybevágó háromszögek megfelelő szögei egyenlők. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

32 Egybevágóság Háromszögek egybevágósága Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlők. Minden egybevágóság szögtartó. Egybevágó háromszögek megfelelő szögei egyenlők. Következmények: Minden tükrözés szögtartó, hiszen minden tükrözés egybevágóság. Egybevágó síkbeli alakzatok mozgással fedésbe hozhatók. Két egybevágó síkbeli alakzathoz található a síknak olyan egybevágósága, amely a két alakzatot egymáshoz rendeli. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

33 Egybevágóság Háromszögek egybevágósága Két háromszög egybevágó, ha két oldal, s az általuk közrefogott szög, vagy egy oldal s a rajta nyugvó két szög a két háromszögben páronként egyenlő. Két háromszög egybevágó, ha bennük egy oldal, a szemközti szög és egy az oldalon nyugvó szög páronként egyenlő. Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk, s ezek közül a nagyobbikkal szemben fekvő szögük páronként egyenlő. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

34 Egybevágóság Háromszögek egybevágósága Három oldal és három szög a háromszög hat adata. Két háromszög egybevágósága következik abból, hogy három szögük és három oldaluk közül három-három megfelelő adat egyenlő, kivéve két esetet: 1. két oldal és a kisebbikkel szemközti szög egyenlő 2. három szög egyenlő. Általánosan egy háromszög ismeretéhez három független adatra van szükségünk. (Adatokat függetleneknek mondunk, ha nincs olyan összefügés, amelyet ezeknek az adatoknak teljesíteni kell.) Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

35 Egybevágóság Háromszögek egybevágósága Ha két háromszögben két-két oldal egyenlő, akkor vagy mindkét háromszögben ugyanakkora a két oldal által közrefogott szög, és ugyanakkora a harmadik oldal is, vagy az egyik háromszögben nagyobb a két oldal által közrefogott szög, és nagyobb a harmadik oldal is. Két oldal szögét változtatva változtatva változik a szemközti oldal is, a kettő egyszerre növekszik vagy csökken. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

36 Egybevágóság Háromszögek egybevágósága Ha két háromszögben két-két oldal egyenlő, akkor vagy mindkét háromszögben ugyanakkora a két oldal által közrefogott szög, és ugyanakkora a harmadik oldal is, vagy az egyik háromszögben nagyobb a két oldal által közrefogott szög, és nagyobb a harmadik oldal is. Két oldal szögét változtatva változtatva változik a szemközti oldal is, a kettő egyszerre növekszik vagy csökken. Ha két derékszögű háromszög átfogója egyenlő, és e háromszögeknek egy-egy hegyesszögét tekintjük, akkor vagy mindkét háromszögben ugyanakkora e két szög, s az ezekkel szemközti két befogó, vagy ugyan abban a háromszögben van a két szög közül s a velük szemközti befogók közül a nagyobbik. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

37 Definíció Párhuzamos egyenesek Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk. Párhuzamosaknak mondjuk a párhuzamos egyenesek által tartalmazott félegyeneseket és szakaszokat is. A párhuzamosság jele:, a nem párhuzamosság jele:. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

38 Definíció Párhuzamos egyenesek Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk. Párhuzamosaknak mondjuk a párhuzamos egyenesek által tartalmazott félegyeneseket és szakaszokat is. A párhuzamosság jele:, a nem párhuzamosság jele:. Van olyan egyenes, amely egy megadott ponton áthalad, s egy a ponton át nem haladó, megadott egyenessel párhuzamos. Bizonyítás!!! A tétel a párhuzamos létezését mondja ki, s bizonyítása szerkesztési utasítást is ad. Ha egy egyenest egy rajta kívül fekő pontra vonatkozóan tükrözünk, akkor párhuzamos egyenesekhez jutunk. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

39 Axióma Párhuzamos egyenesek Egy egyeneshez bármely külső ponton át lehet párhuzamost húzni. A szemlélet alapján úgy tűnik, csak egy ilyen egyenes van, ezt azonban logikai úton bizonyítani nem lehet. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

40 Axióma Párhuzamos egyenesek Egy egyeneshez bármely külső ponton át lehet párhuzamost húzni. A szemlélet alapján úgy tűnik, csak egy ilyen egyenes van, ezt azonban logikai úton bizonyítani nem lehet. Párhutamossági axióma: Egy ponton át csak egy olyan egyenes halad, amely egy a ponton át nem haladó egyenessel párhuzamos. (A tétel kimondja, hogy legalább egy párhuzamos van, az axióma hangsúlyozza, hogy nincs több.) Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

41 Axióma Párhuzamos egyenesek Egy egyeneshez bármely külső ponton át lehet párhuzamost húzni. A szemlélet alapján úgy tűnik, csak egy ilyen egyenes van, ezt azonban logikai úton bizonyítani nem lehet. Párhutamossági axióma: Egy ponton át csak egy olyan egyenes halad, amely egy a ponton át nem haladó egyenessel párhuzamos. (A tétel kimondja, hogy legalább egy párhuzamos van, az axióma hangsúlyozza, hogy nincs több.) A párhuzamossági axióma Euklidesz ötödik posztulátuma. Már Euklidesz is megkisérelte a párhuzamossági axiómát a többiből levezetni... Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

42 Párhuzamos egyenesek Párhuzamos egyenesek Ha két egyenest egy harmadikkal metszünk, és a keletkező nyolc szög közül két olyat szemelünk ki, amelyek más-más metszéspontnál, a metsző egyenes más-más oldalán és a metszett egyenesek között helyezkednek el, akkor a metszett egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltétele az, hogy a két kiszemelt szög negyenlő legyen. Speciális eset: két egyenes párhuzamos, ha mindkettő merőleges ugyan arra a harmadik egyenesre. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

43 Párhuzamos egyenesek Párhuzamos egyenesek Ha két egyenest egy harmadikkal metszünk, és a keletkező nyolc szög közül két olyat szemelünk ki, amelyek más-más metszéspontnál, a metsző egyenes más-más oldalán és a metszett egyenesek között helyezkednek el, akkor a metszett egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltétele az, hogy a két kiszemelt szög negyenlő legyen. Speciális eset: két egyenes párhuzamos, ha mindkettő merőleges ugyan arra a harmadik egyenesre. Ha a síkban egy egyenes két párhuzamos egyenes egyikét metszi, akkor metszi a másikat is. Ha egy egyenes két párhuzamos egyenes egyikével párhuzamos, akkor párhuzamos a másikkal is. Ha a sík két egyenese párhuzamos ugyan azzal az egyenessel, akkor ez a két egyenes is párhuzamos egymással. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

44 Párhuzamos egyenesek Párhuzamos egyenesek Két (nem feltétlen különböző) egyenest egyező állásúnak mondunk, ha párhuzamosak vagy azonosak. Ha két konvex szög szárai páronként egyező vagy páronként ellentétes irányúak, akkor a két szög egyenlő. Az első esetben a szögeket egy állású szögeknek, a másodikban váltószögeknek mondjuk. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

45 Párhuzamos egyenesek Párhuzamos egyenesek Két (nem feltétlen különböző) egyenest egyező állásúnak mondunk, ha párhuzamosak vagy azonosak. Ha két konvex szög szárai páronként egyező vagy páronként ellentétes irányúak, akkor a két szög egyenlő. Az első esetben a szögeket egy állású szögeknek, a másodikban váltószögeknek mondjuk. Egyenesek és szakaszok hajlásszöge csak az állásuktól függ. Párhuzamos egyenesek és szakaszok hajlásszöge nullszög. Ha két konvex szög szárainak egyik párja egy irányú, másik párja pedig ellentétes irányú, akkor ezek kiegészítő szögek. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

46 Párhuzamos egyenesek Párhuzamos egyenesek Két (nem feltétlen különböző) egyenest egyező állásúnak mondunk, ha párhuzamosak vagy azonosak. Ha két konvex szög szárai páronként egyező vagy páronként ellentétes irányúak, akkor a két szög egyenlő. Az első esetben a szögeket egy állású szögeknek, a másodikban váltószögeknek mondjuk. Egyenesek és szakaszok hajlásszöge csak az állásuktól függ. Párhuzamos egyenesek és szakaszok hajlásszöge nullszög. Ha két konvex szög szárainak egyik párja egy irányú, másik párja pedig ellentétes irányú, akkor ezek kiegészítő szögek. Ha a síkban két konvex szög szárai egymásra páronként merőlegesek, s az egyik szög száraiból a másik szög szárai ugyan olyan irányú 90 -os elforgatással keletkeznek, akkor a két szög egyenlő. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

47 A sokszögek szögei A háromszög szögeinek összege A háromszög szögeinek összege 180. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

48 A sokszögek szögei A háromszög szögeinek összege A háromszög szögeinek összege 180. Derékszögű háromszög hegyesszögei pótszögek. A háromszögnek egy külső szöge a nem mellette fekvő belső szögek összegével egyenlő. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

49 Sokszögek A sokszögek szögei Konvex n-szög szögeinek összege (n 2)π. Konvek sokszög külső szögeinek összege 360. n-szög szögeinek összege (n 2)π. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

50 Definíciók Speciális négyszögek Ha egy négyszög két-két szemközti oldala párhuzamos, parallelogrammának nevezzük. Ha egy négyszög szögei mind egyenlők, téglalapnak nevezzük. Mivel a szögösszeg 360, a téglalap minden szöge derékszög, tehát a szemközti oldalak párhuzamosak. A téglalap is parallelogramma. Ha egy négyszög oldalai mind egyenlők, rombusznak nevezzük. A rombusz is parallelogramma. Ha egy négyszögnek oldalai és szögei is egyenlők, négyzetnek nevezzük. A négyzet is parallelogramma, olyan, ami téglalap is és rombusz is. Ha egy négyszögnek van két párhuzamos oldala, trapéznak nevezzük. A két párhuzamos oldala a trapéz két alapja, a másik kettő a két szára. Ha egy négyszög két-két szemközti szöge egyenlő, szimmetrikus trapéznak (húrtrapéz) nevezzük. Ha egy négyszögnek két-két szomszédos oldala egyenlő, deltoidnak mondjuk. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

51 Parallelogramma Speciális négyszögek Egy négyszög akkor és csak akkor parallelogramma, ha: két-két szembenfekvő oldala párhuzamos, két-két szembenfekvő oldala egyenlő, két-két szembenfekvő szöge egyenlő, két szembenfekvő oldala párhuzamos és egyenlő, két átlója felezi egymást, a négyszög egy pontra nézve szimmetrikus. Ha egy négyszög e feltételek valamelyikét kielégíti, akkor kielégíti a többit is. Egy parallelogramma alakját két csatlakozó oldala, s az általuk bezárt szög egyértelműen meghatározza. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

52 Parallelogramma Speciális négyszögek Két párhuzamos egyenest összekötő szakaszok felezőpontjai a középpárhuzamusokon vannak. A parallelogramma szemközti oldalainak felezőpontját összekötő szakasz a parallelogramma középvonala. A parallelogramma középvonala párhuzamos és egyenlő két prallelogramma oldallal, áthalad a parallelogramma középpontján, és ez a felezőpontja. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

53 Téglalap Speciális négyszögek Ha egy négyszög három szöge derékszög, akkor az téglalap. Ha egy parallelogramma egyik szöge derékszög, akkor az téglalap. Egy téglalap nemcsak középpontjára, hanem középvonalaira vonatkozóan is szimmetrikus. Egy téglalapot egy étlója két egybevágó derékszögű háromszögre bontja. Egy parallelogramma akkor és csak akkor téglalap, ha átlói egyenlők. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

54 Rombusz Speciális négyszögek Ha egy parallelogramma két szomszédos oldala egyenlő, akkor az rombusz. A rombusz alakját egy oldalhossza és egy szöge egyértelműen meghatározza. A rombusz átlói a szögeit felezik. A rombusz nemcsak középpontjára, hanem átlóira vonatkozóan is szimmetrikus. Egy parallelogramma akkor és csak akkor rombusz, ha átlói egymásra merőlegesek. Mivel a négyzet téglalap és rombusz is, ezért az előző megállapítások mind teljesülnek rá. A négyzet alakját oldalhossza egyértelműen meghatározza. A négyzet középpontjára, középvonalaira és átlóira is szimmetrikus. A négyzetet egy átló két, két átló négy, két átló és két középvonal nyolc egybevágó egyenlő száru derékszögű háromszögre bontja. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

55 Trapéz Speciális négyszögek A parallelogramm is trapéz. Egy-egy száron kiegészítő szögek nyugszanak. A szárak felezőpontját összekötő szakaszt a trapéz középvonalának nevezzük. A trapéz középvonala párhuzamos a trapéz alapjaival. és hossza azokénak számtani közepe. Ha egy trapéz egyik alapján két egyenlő szög nyugszik, akkor a másik két szög is egyenlő (kiegészítő szögek). Ilyenkor szimmetrikus trapézról besélünk. Egy szimmetrikus trapéz valóban szimmetrikus idom, szárai és átlói egymással egyenlőek, szimmetriatengelye merőlegesen felezi a párhuzamos oldalakat, áthalad az átlók metszéspontján, áthalad a szárak metszéspontján. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

56 Deltoid Speciális négyszögek Nem minden deltoid konvex, minden rombusz is deltoid. Az az átló, amelyiknek a végpontjaiban egyenlő oldalak találkoznak, a deltoidot két egybevágó háromszögre bontja fel. Ez az átló felezi az egyenlő oldalak által bezárt szögeket, s a deltoid szimmetrikus erre az átlóra nézve. Egy négyszög akkor és csak akkor deltoid, ha egyik átlója merőlegesen felezi a másikat. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

57 Kör Kör A síkban egy egyenesnek és egy körnek 0, 1 vagy 2 köös pontja van aszerint, hogy a középpontnak az egyenestől való távolsága a kör sugaránál nagyobb, azzal egyenlő, vagy annál kisebb. szelő, húr, átmérő, középponti szög, körcikk, körszelet, körszelet magassága Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

58 Érintő Kör Ha egy egyenesnek csak egy közös pontja van a körrel, az egyenest érintőnek, s a pontot érintési pontnak nevezzük. (Ez a definíció nem alkalmazható bármely görbére.) A kör bármely pontjában egyetlen érintő úzható a körhöz, s ez merőleges a ponthoz vezető sugárra. kör és egyenes, kör és kör által alkotott szög Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

59 Érintő Kör Ha egy egyenesnek csak egy közös pontja van a körrel, az egyenest érintőnek, s a pontot érintési pontnak nevezzük. (Ez a definíció nem alkalmazható bármely görbére.) A kör bármely pontjában egyetlen érintő úzható a körhöz, s ez merőleges a ponthoz vezető sugárra. kör és egyenes, kör és kör által alkotott szög Egy a körön kivül levő pontból a körhöz vont két érintőn e pont az érintési pontokkal együtt két egyenlő szakaszt határoz meg. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

60 Húr Kör Ha egy kör két húrját tekintjük, akkor vagy egyenlők a húrok, a hozzájuk tartozó középponti szögek és a kör középponttól való távolságaik, vagy pedig az egyik húr nagyobb, ehez nagyobb középponti szög tartozik és ez a húr van közelebb a kör középpontjához. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

61 Húr Kör Ha egy kör két húrját tekintjük, akkor vagy egyenlők a húrok, a hozzájuk tartozó középponti szögek és a kör középponttól való távolságaik, vagy pedig az egyik húr nagyobb, ehez nagyobb középponti szög tartozik és ez a húr van közelebb a kör középpontjához. Egy kör átmérője minden rá merőleges húr felezőpontját tartalmazza, meghosszabbításai tartalmazzák az ilyen húr végpontjaiban vont érintők metszéspontját, végpontjai pedig a húrokkal párhuzamos érintők érintési pontjai. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

62 Kör Középponti és kerületi szögek A kör két közös végpontú húrja által alkotott konvex szöget kerületi szögnek nevezzük. Kerületi szögnek mondjuk azt a konvex szöget is, amelyet egy húr és ennek egyik végpontjából induló, a kört érintő félegyenes alkot. A kerületi szög kétszerese egyenlő az ugyanazon az íven nyugvó középponti szöggel. Minden átmérőn nyugvó kerületi szög derékszög. Egy kör egybevágó körívein egyenlő kerületi szögek nyugszanak. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

63 Látószög Kör Ha a P pont az AB szakasznak nem végponja, akkor a konvex APB szögről mondjuk, hogy az AB szakasz a P pontból ekkora szögben látszik. Ezt a szöget látószögnek mondjuk. A sík azon pontjainak mértani helye, amelyből egy szakasz megadott szögben (0-180) látható, a szakasz végpontjait összekötő, a szakaszra vonatkozóan szimmetrikusan elhelyezkedő két körív belseje. A két végpont nem tartozik a mértani helyhez. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

64 Látószög Kör Ha a P pont az AB szakasznak nem végponja, akkor a konvex APB szögről mondjuk, hogy az AB szakasz a P pontból ekkora szögben látszik. Ezt a szöget látószögnek mondjuk. A sík azon pontjainak mértani helye, amelyből egy szakasz megadott szögben (0-180) látható, a szakasz végpontjait összekötő, a szakaszra vonatkozóan szimmetrikusan elhelyezkedő két körív belseje. A két végpont nem tartozik a mértani helyhez. (Thales) A sík azon pontjainak mértani helye, amelyekből egy megadott szakasz derékszögben látható, a szakaszhoz mint átmérőhöz tartozó kör, elhagyva belőle a szakasz végpontjait. (előző tétel speciális esete) Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

65 A háromszög-geometria elemei háromszög köréírt köre, s annak sugara súlyvonal, súlypont háromszögbe írt kör, s annak sugara háromszöghöz írt kör, s annak sugara magasságvonal, magasságpont magasságvonal, magasságtétel befogótétel, Pythagoras tétele Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

66 Alapfogalmak Hasonlóság Középpontos hasonlóságnak nevezünk egy ponttranszformációt, ha bármely két pont képének a távolsága a pontok távolságával osztva mindíg ugyanazt a (0-tól különböző) λ hányadost adja. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

67 Alapfogalmak Hasonlóság Középpontos hasonlóságnak nevezünk egy ponttranszformációt, ha bármely két pont képének a távolsága a pontok távolságával osztva mindíg ugyanazt a (0-tól különböző) λ hányadost adja. Legyen O a középpontos hasonlósági transzformáció középpontja. Valamely ponthoz a következő módon rendeljük a képét: Ha P = O, akkor a P pont képe önmaga. Ha Q O, akkor a Q pont képe OQ egyenesnek olyan Q pontja, amelyre OQ = λ OQ Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

68 Alapfogalmak Hasonlóság Középpontos hasonlóságnak nevezünk egy ponttranszformációt, ha bármely két pont képének a távolsága a pontok távolságával osztva mindíg ugyanazt a (0-tól különböző) λ hányadost adja. Legyen O a középpontos hasonlósági transzformáció középpontja. Valamely ponthoz a következő módon rendeljük a képét: Ha P = O, akkor a P pont képe önmaga. Ha Q O, akkor a Q pont képe OQ egyenesnek olyan Q pontja, amelyre OQ = λ OQ Ha λ > 0, akkor a Q pont az OQ félegyenesen van. Ha λ < 0, akkor a Q pont az OQ egyenes Q-t nem tartalmazó félegyenesén van. A λ hányadost a középpontos hasonlóság arányának nevezzük. λ > 1 nagyítás 0 < λ < 1 kicsinyítés λ = 1 identitás λ = 1 középpontos tükrözés Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

69 Alaptételek Hasonlóság (Párhuzamos szelők tétele) Ha egy szög szárait párhuzamosokkal metszük, akkor az egyik száron keletkező szakaszok aránya megegyezik a másik száron keletkező megfelelő szakaszok arányával. (Párhuzamos szelők tételének megfordítása) Ha két egyenes egy szög száraiból olyan szakaszokat vág le, amelyeknek az aránya mind a két száron ugyanaz, akkor a két egyenes párhuzamos. (Párhuzamos szelő szakaszok tétele) Egy szög szárait metsző párhuzamosokból a szárak által kimetszett szakaszok aránya megegyezik a párhuzamosok által az egyes szárakból lemetszett szeletek arányával. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

70 Hasonlóság A középpontos hasonlóság tulajdonságai A középpontos hasonlóságnál megadott középpont fixpont. Az O középpontra illeszkedő egyenes képe önmaga, azaz a középpontra illeszkedő egyenes invariáns alakzat. Egyenesnek a középpontos hasonlósági transzformációval kapott képe az eredeti egyenessel párhuzamos egyenes. A középpontos hasonlóság szögtartó. Középpontos hasonlóságnál bármely szakasz képének és az eredeti szakasznak az aránya állandó. Ha egymás után két középpontos hasonlóságot alkalmazunk, akkor olyan középpontos hasonlósághoz jutunk, melynek aránya a két alkalmazott hasonlóság arányainak szorzata. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

71 Hasonlóság A hasonlósági transzformáció A középpontos hasonlóság és az egybevágósági transzformáció szorzatát (egymás utáni végrehajtását) hasonlósági transzformációnak nevezzük. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

72 Hasonlóság A hasonlósági transzformáció A középpontos hasonlóság és az egybevágósági transzformáció szorzatát (egymás utáni végrehajtását) hasonlósági transzformációnak nevezzük. A középpontos hasonlóság arányát a hasonlósági transzformáció arányának nevezzük. A hasonlósági transzformáció megadásánál fontos a középpontos hasonlóság és az egybevágósági transzformáció sorrendje: általában f g g f Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

73 Hasonlóság A hasonlósági transzformáció A középpontos hasonlóság és az egybevágósági transzformáció szorzatát (egymás utáni végrehajtását) hasonlósági transzformációnak nevezzük. A középpontos hasonlóság arányát a hasonlósági transzformáció arányának nevezzük. A hasonlósági transzformáció megadásánál fontos a középpontos hasonlóság és az egybevágósági transzformáció sorrendje: általában f g g f Tulajdonságok: Egyenes képe egyenes. A hasonlósági transzformáció szögtartó. A hasonlósági transzformáció aránytartó. Ha valamely transzformáció minden szakasznak a hosszúságát λ- szorosára (λ > 0) változtatja, akkor az hasonlósági transzformáció. Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba viszi át. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

74 Hasonlóság Bármely két kör hasonló. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

75 Hasonlóság Bármely két kör hasonló. Bármely két négyzet hasonló. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

76 Hasonlóság Bármely két kör hasonló. Bármely két négyzet hasonló. Két háromszög hasonló, ha megfelelő oldalaik hosszának aránya egyenlő két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és az ezek által közrefogott szögek egyenlők két-két szögük páronként egyenlő két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és e két-két oldal közül a hosszabbikkal szemközt lévő szögek egyenlők Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

77 Hasonlóság Bármely két kör hasonló. Bármely két négyzet hasonló. Két háromszög hasonló, ha megfelelő oldalaik hosszának aránya egyenlő két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és az ezek által közrefogott szögek egyenlők két-két szögük páronként egyenlő két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és e két-két oldal közül a hosszabbikkal szemközt lévő szögek egyenlők Két sokszög hasonló, ha a következő feltételek egyike teljesül: megfelelő oldalaik és megfelelő átlóik hosszának aránya egyenlő, megfelelő oldalaik aránya egyenlő és megfelelő szögeik páronként egyenlők. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

78 Térgeometria Térelemek viszonylagos helyzete. pont - egyenes, pont - sík Pont illeszkedik a másik térelemhez. Pont nem illeszkedik a másik térelemhez (egyenes és nem illeszkedő pont egy síkot határoz meg). Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

79 Térgeometria Térelemek viszonylagos helyzete. pont - egyenes, pont - sík Pont illeszkedik a másik térelemhez. Pont nem illeszkedik a másik térelemhez (egyenes és nem illeszkedő pont egy síkot határoz meg). egyenes - egyenes metszők (síkot határoznak meg) kitérők - nincs közös pontjuk, nincsennek egy síkban párhuzamosak - nincs közös pontjuk, egy síkban vannak Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

80 Térgeometria Térelemek viszonylagos helyzete. pont - egyenes, pont - sík Pont illeszkedik a másik térelemhez. Pont nem illeszkedik a másik térelemhez (egyenes és nem illeszkedő pont egy síkot határoz meg). egyenes - egyenes metszők (síkot határoznak meg) kitérők - nincs közös pontjuk, nincsennek egy síkban párhuzamosak - nincs közös pontjuk, egy síkban vannak egyenes - sík illeszkedő - egynél több közös pontjuk van metsző - egy közös pontjuk van (döféspont) párhuzamos - nincs közös pontjuk Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

81 Térgeometria Térelemek viszonylagos helyzete. sík - sík metszők párhuzamosak 1. Két egymást metsző sík közös pontjai egy egyenest alkotnak. 2. Egy egyeneshez illeszkedő sík az egyenessel párhuzamos síkot az egyenessel párhuzamos egyenesben metszi. 3. Egy egyenessel párhuzamos két sík metszésvonala az egyenessel párhuzamos. 4. Ha két sík olyan, hogy minden egyenes, mely az egyiket metszi, metszi a másikat is, akkor a két sík párhuzamos. 5. Ha két sík párhuzamos egy harmadikkal, akkor a kért sík egymással is párhuzamos. 6. két párhuzamos sík egyikét metsző sík metszi a másikat is, s a két metszésvonal egymással párhuzamos. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

82 Térgeometria Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

83 Térgeometria Két kitérő egyenes hajlásszögének nevezzük azt a szöget, amely egy tetszőleges ponton átmenő, velük párhuzamos egyenesek alkotnak. Ez a hajlásszög nem függ a pont megválasztásától. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

84 Térgeometria Két kitérő egyenes hajlásszögének nevezzük azt a szöget, amely egy tetszőleges ponton átmenő, velük párhuzamos egyenesek alkotnak. Ez a hajlásszög nem függ a pont megválasztásától. Egy egyenes és egy sík akkor merőleges egymásra, ha az egyenes merőleges a sík minden egyenesére. (Síkra merőleges egyenes tétele) Ha egy egyenes merőleges a sík két egymást metsző egyenesére, akkor merőleges a sík minden egyenesére, azaz merőleges a síkra. Bizonyítás! (SDT) Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

85 Térgeometria Egyenes és sík hajlásszöge Egy P pontból az α síkra bocsátott merőleges egyenesnek a síkon lévő P pontját (talppontját) a P pontnak az α síkon lévő merőleges vetületének nevezzük. Ha egy e egyenes nem merőleges az α síkra, akkor két pontjának merőleges vetületére illeszkedő e egyenest az e egyenesnek az α síkon lévő merőleges vetületének nevezzük. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

86 Térgeometria Egyenes és sík hajlásszöge Egy P pontból az α síkra bocsátott merőleges egyenesnek a síkon lévő P pontját (talppontját) a P pontnak az α síkon lévő merőleges vetületének nevezzük. Ha egy e egyenes nem merőleges az α síkra, akkor két pontjának merőleges vetületére illeszkedő e egyenest az e egyenesnek az α síkon lévő merőleges vetületének nevezzük. Ha egy egyenes nem merőleges a síkra, akkor az egyenes és a sík hajlásszöge az a szög, amelyet az egyenes a síkon lévő merőleges vetületével bezár. Egy síknak és a vele párhuzamos egyenesnek a halásszöge 0. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

87 Síkok hajlásszöge Térgeometria Két metsző sík hajlásszögének meghatározásához legyen P a két sík metszésvonalának egy tetszőleges pontja. P-ben a két sík mindegyikén egy-egy merőlegest állítunk a metszésvonalra. A két sík hajlásszöge megegyezik ezen két egyenes hajlásszögével. Két párhuzamos sík hajlásszöge 0. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

88 Térgeometria Térelemek távolsága Pont és sík távolságán a pontnak és a síkon lévő merőleges vetületének a távolságát értjük. Sík és a síkkal párhuzamos egyenes távolságán az egyenes egy tetszőleges pontjának a síktól mért távolságát értjük. Két párhuzamos sík távolságán valamelyik sík egy tetszőleges pontjának a másiktól mért távolságát értjük. Két kitérő egyenes távolságán annak a szakaszak a hosszúságát értjük, amely a két kitérő egyenes mindegyikét metsző és mindkettőre merőleges egyenes, a két kitérő egyenes között van. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

89 Poliéder Térbeli alakzatok. Konvex poliéder: Véges sok sík által határolt véges térbeli tartomány. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

90 Poliéder Térbeli alakzatok. Konvex poliéder: Véges sok sík által határolt véges térbeli tartomány. Értelmezés: Mindegyik síkból a többi sík egy sokszöget vág ki, ez a sokszög a poliéder egy lapja. Bármely két lap közös oldalát élnek, az élek végpontjait csúcsoknak nevezzük. A csúcsokat összekötő, s az élektől különböző szakaszokat lapátlóknak, illetve testátlóknak nevezzük. Egy csúcsból kiinduló élek félegyenesei által képzett szögtartományok összessége a teret két részre osztja, amelyet testszögletnek nevezünk. A két testszöglet közül azt, amelyik a poliéderhez tartozik, a poliéder testszögletének nevezzük. A poliéder két élének szögét a poliéder élszögének, két lapjának szögét a poliéder lapszögének nevezzük. A határoló sokdzöget területének összege a poliéder felszíne. Ha a poliédert elég sok éle mentén felvágva síkba teríthetjük, a poliéder kifejtéséről beszélünk. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

91 Poliéder Térbeli alakzatok. Közönséges poliéder: Összefüggő, bármely csúcsát tartalmazó lapok elrendezhetők úgy, hogy az egymás utániak, valamint az utolsó és az első egy-egy élben metszik egymást. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

92 Poliéder Térbeli alakzatok. Közönséges poliéder: Összefüggő, bármely csúcsát tartalmazó lapok elrendezhetők úgy, hogy az egymás utániak, valamint az utolsó és az első egy-egy élben metszik egymást. Egyszerű poliéder: közönséges, felülete is és minden lapja is egyszeresen összefüggő. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

93 Poliéder Térbeli alakzatok. Közönséges poliéder: Összefüggő, bármely csúcsát tartalmazó lapok elrendezhetők úgy, hogy az egymás utániak, valamint az utolsó és az első egy-egy élben metszik egymást. Egyszerű poliéder: közönséges, felülete is és minden lapja is egyszeresen összefüggő. Szabályos poléder: lapjai egybevágók, lapjai minden csúcsot ugyanolyan módon vesznek körül. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

94 Poliéder Térbeli alakzatok. Közönséges poliéder: Összefüggő, bármely csúcsát tartalmazó lapok elrendezhetők úgy, hogy az egymás utániak, valamint az utolsó és az első egy-egy élben metszik egymást. Egyszerű poliéder: közönséges, felülete is és minden lapja is egyszeresen összefüggő. Szabályos poléder: lapjai egybevágók, lapjai minden csúcsot ugyanolyan módon vesznek körül. Félszabályos poliéder: minden lapja szabályos sokszög, lapjai minden csúcsot ugyanolyan módon veszik körül. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

95 Poliéder Térbeli alakzatok. Az egyszerű poliéder minden éle pontosan két laphoz tartozik. Egy csúcsból annyi él indul ki ahány lap alkotja a testszögletet. Az egyszerű poliéder két lapjának egy-egy A, B pontja mindíg összeköthető a felületen haladó töröttvonallal, amely nem megy át a csúcsokon. Az egyszerű poliéder két csúcsa mindíg összeköthető élekből álló töröttvonallal. (Euler poliédertétele) Az egyszerű poliéder éleinek száma kettővel kevesebb, mint a lapok és csúcsok számának összege. Azaz c e + l = 2, ahol c a csúcsok, e az élek, l a lapok száma. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

96 Hasáb Térbeli alakzatok. Hasábfelület: ha egy sokszögvonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a sokszög síkjával, hasábfelületet kapunk. A párhuzamos egyenesek a felület alkotói, a sokszög a hasáb vezérsokszöge. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

97 Hasáb Térbeli alakzatok. Hasábfelület: ha egy sokszögvonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a sokszög síkjával, hasábfelületet kapunk. A párhuzamos egyenesek a felület alkotói, a sokszög a hasáb vezérsokszöge. Hasáb: Ha a hasábfelületet két olyan párhuzamos síkkal elmetsszük, amelyek nem párhuzamosak az alkotókkal, akkor a kapott poliédert hasábnak nevezzük. A párhuzamosok síkmetszeteként kapott sokszögek az alapok, a többi sokszög az oldallapok. Az oldallapok összessége a palást. A hasáb két alapjának távolsága a hasáb magassága. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

98 Hasáb Térbeli alakzatok. Hasábfelület: ha egy sokszögvonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a sokszög síkjával, hasábfelületet kapunk. A párhuzamos egyenesek a felület alkotói, a sokszög a hasáb vezérsokszöge. Hasáb: Ha a hasábfelületet két olyan párhuzamos síkkal elmetsszük, amelyek nem párhuzamosak az alkotókkal, akkor a kapott poliédert hasábnak nevezzük. A párhuzamosok síkmetszeteként kapott sokszögek az alapok, a többi sokszög az oldallapok. Az oldallapok összessége a palást. A hasáb két alapjának távolsága a hasáb magassága. Ha az alkotók merőlegesek az alapokra egyenes hasábról, egyébként pedig ferde hasábról beszélünk. Ha az egyenes hasáb alapja szabályos sokszög, akkor szabályos hasábról beszélhetünk. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

99 Hasáb Térbeli alakzatok. Hasábfelület: ha egy sokszögvonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a sokszög síkjával, hasábfelületet kapunk. A párhuzamos egyenesek a felület alkotói, a sokszög a hasáb vezérsokszöge. Hasáb: Ha a hasábfelületet két olyan párhuzamos síkkal elmetsszük, amelyek nem párhuzamosak az alkotókkal, akkor a kapott poliédert hasábnak nevezzük. A párhuzamosok síkmetszeteként kapott sokszögek az alapok, a többi sokszög az oldallapok. Az oldallapok összessége a palást. A hasáb két alapjának távolsága a hasáb magassága. Ha az alkotók merőlegesek az alapokra egyenes hasábról, egyébként pedig ferde hasábról beszélünk. Ha az egyenes hasáb alapja szabályos sokszög, akkor szabályos hasábról beszélhetünk. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

100 Hasáb Térbeli alakzatok. A hasáb oldallapjai paralelogrammák. A hasáb alajai egybevágó sokszögek. Ha a hasáb alapja konvex, akkor a hasáb is konvex alakzat. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

101 Hasáb Térbeli alakzatok. A hasáb oldallapjai paralelogrammák. A hasáb alajai egybevágó sokszögek. Ha a hasáb alapja konvex, akkor a hasáb is konvex alakzat. Paralelepipedon: Paralelogramma alapú hasáb. Téglatest: téglalap alapú egyenes hasáb. Kocka: téglatest, melynek minden lapja négyzet. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

102 Hasáb Térbeli alakzatok. A hasáb oldallapjai paralelogrammák. A hasáb alajai egybevágó sokszögek. Ha a hasáb alapja konvex, akkor a hasáb is konvex alakzat. Paralelepipedon: Paralelogramma alapú hasáb. Téglatest: téglalap alapú egyenes hasáb. Kocka: téglatest, melynek minden lapja négyzet. A paralelepipedon centrálszimmetrikus. Az egyenes hasáb palástjának kifejtése téglalap, amelynek alapja az alapsokszög kerületével, magassága a hasáb magasságával egyenlő. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

103 Gúla Térbeli alakzatok. Gúlafelület: egy sokszögvonal minden pontján át a sokszög síkján kívül fekvő pontból félegyeneseket húzunk. A félegyenesek a gúlafelület alkotói. Ha a gúlafelületet egy olyan síkkal metszünk, amely minden alkotót metsz, akkor a sík, a gúlafelület és a csúcs által határolt térrészt gúlának nevezzük. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

104 Gúla Térbeli alakzatok. Ha a gúla alapja konvex, akkor a gúla is konvex alakzat. A gúla oldallapjai egybevágó, egyenlő szárú háromszögek. A szabályos gúla oldallapjai egybevágó egyenlő szárú háromszögek. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

105 Szabályos testek Térbeli alakzatok. Szabályos testszöglet: testszöglet, amelynek lapjai és lapszögei egybevágók Szabályos test: konvex poliéder, melynek élei, élszögei és lapszögei egyenlők. A szabályos test lapjai egybevágó szabályos sokszögek, testszögletei egybevágó szabályos testszögletek. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

106 Térbeli alakzatok. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

107 Öt szabályos test Térbeli alakzatok. Schlegel diagramm: Pálcikamodellt egyik lapja középpontjánál valamivel kijjebről nézve egy nagy sokszöget látunk, melyet a többi lap kitölt. A Schlegel diagrammból leolvasható, hogy melyik csúcs melyik élhez és laphoz tartozik. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria április / 77

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

Síkgeometria. Ponthalmazok

Síkgeometria.  Ponthalmazok Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen

Részletesebben

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek 16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria

A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria GEOMETRIA A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria A SÍKGEOMETRIA TANÍTÁSA 5-10. OSZTÁLY Síkgeometriai fogalmak

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

Praktikum II. Dr. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger. 2006/07 I. szemeszter

Praktikum II. Dr. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger. 2006/07 I. szemeszter Praktikum II. Dr. Szilágyi Ibolya szibolya@ektf.hu Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006/07 I. szemeszter Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 1 / 125 Outline Alapfogalmak, ponthalmazok.

Részletesebben

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely

Részletesebben

8. Geometria = =

8. Geometria = = 8. Geometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy négyzet átlójának hossza 4 + 2. Mennyi a négyzet oldalhossza? (A) 1 + 2 2 (B) 4 + 2 (C) 2 2 + 2 (D) 2 + 2 (E) 2 2 + 1 Egy a oldalú négyzet átlója a 2. Ezt

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott

Részletesebben

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat 1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer

Részletesebben

VII.4. RAJZOLGATUNK II. A feladatsor jellemzői

VII.4. RAJZOLGATUNK II. A feladatsor jellemzői VII.4. RAJZOLGATUNK II. Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Axonometrikus rajzok készítése megadott szempontok alapján, meglévő rajzok kiegészítése, azokban való tájékozódás. Előzmények Arányos számítások,

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) Kosztolányi József - Mike János MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK **

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

Szög. A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából:

Szög. A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából: Szög A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából: http://hu.wikipedia.org/wiki/szög A sík egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Az egyik tartomány és a két félegyenes szöget

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z 146/1 147/2 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z b) 0; H; I; N; O; S; X; Z c) 0; O; H; I; X; Z a) kőr dáma b) pikk jumbo; kőr dáma.; káró

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

18. Kerületi szög, középponti szög, látószög

18. Kerületi szög, középponti szög, látószög 18. Kerületi szög, középponti szög, látószög Középponti szög fogalma: A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (ω)

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Síkbeli alakzatok. Szakaszok, szögek GEOMETRIA Alapszerkesztések Alapszerkesztések Alapszerkesztések.

Síkbeli alakzatok. Szakaszok, szögek GEOMETRIA Alapszerkesztések Alapszerkesztések Alapszerkesztések. Síkbeli alakzatok Szakaszok, szögek 13. Alapszerkesztések. 133. Alapszerkesztések. 134. Alapszerkesztések. a b 135. Ha x és y az egyes szakaszok hossza, akkor x + y = a és x - y = b. Így x = + ; a b y

Részletesebben

Fejezetek az euklideszi geometriából

Fejezetek az euklideszi geometriából Fejezetek az euklideszi geometriából Ebben a fejezetben euklideszi térben dolgozunk: vagyis mindvégig feltételezzük, hogy érvényes az abszolút geometria axiómarendszere és az euklideszi párhuzamossági

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI

TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI http://zanza.tv/matematika/geometria/thalesz-tetele http://zanza.tv/matematika/geometria/pitagorasz-tetel http://zanza.tv/matematika/geometria/nevezetes-tetelek-derekszogu-haromszogben

Részletesebben

Harmadik epochafüzet

Harmadik epochafüzet Harmadik epochafüzet Matematika 9. évfolyam Tulajdonos:... HARMADIK EPOCHAFÜZET GEOMETRIA Tartalomjegyzék Kurzus leírás...2 Alapfogalmak...3 Szögszámítás, nevezetes szögpárok...5 A háromszög...8 Összefüggések

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

11. Geometriai transzformációk

11. Geometriai transzformációk 11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció

Részletesebben

MTB1005 Geometria I előadásvázlat

MTB1005 Geometria I előadásvázlat MTB1005 Geometria I előadásvázlat Az abszolút geometria axiómarendszere 0. A geometria axiomatikus felépítéséről Egy axiómarendszer nem definiált alapfogalmakból és bizonyítás nélkül elfogadott állításokból

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

11. Geometriai transzformációk

11. Geometriai transzformációk 11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

Geometria I. Vígh Viktor

Geometria I. Vígh Viktor Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

Geometriai transzformációk

Geometriai transzformációk Geometriai transzformációk I. Egybevágósági transzformációk 58. a) Eltolás az y tengely mentén -vel negatív irányba. (Eltolás a v(0; -) vektorral.) b) Tükrözés az x = 10 egyenesre. c) A körüli -90 -os

Részletesebben

Síklapú testek. Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal

Síklapú testek. Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal Síklapú testek Gúlák, hasábok Metszésük egyenessel, síkkal Az előadás átdolgozott részleteket tartalmaz a következőkből: Gubis Katalin: Ábrázoló geometria Vlasta Szirovicza: Descriptive geometry Síklapú

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Matematika 9. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. V. fejezet (kb. 24 tanóra) > o < október 18.

Matematika 9. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. V. fejezet (kb. 24 tanóra) > o < október 18. Matematika 9 Tankönyv és feladatgyűjtemény Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár V. fejezet (kb. 24 tanóra) > o < 2015. október 18. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a

Részletesebben

. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát.

. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát. Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva 2456. Hány fokosak a következő, radiánban (ívmértékben) megadott szögek? π π π π 2π 5π 3π 4π 7π a) π ; ; ; ; ; b) ; ; ; ;. 2 3 4 8 3 6 4 3 6 2457. Hány fokosak

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév)

Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév) Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz 1) Az euklideszi síkon adva van két egyenlő sugarú kör k 1 és k 2, amelyek az M, N pontokban metszik egymást. Jelölje r a két kör sugarát. Az M ponttal, mint centrummal,

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

Geometriai transzformációk

Geometriai transzformációk Geometriai transzformációk 11 elemi geometriafeladat 10. és DG Matektábor 2016. október 6. Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok

Részletesebben

a b a b x y a b c d e f PSZT/PSZSZT 1.) Az ábrán e, f egyenesek párhuzamosak. Számítsd ki a hiányzó adatokat!

a b a b x y a b c d e f PSZT/PSZSZT 1.) Az ábrán e, f egyenesek párhuzamosak. Számítsd ki a hiányzó adatokat! 1 PSZT/PSZSZT 1.) Az ábrán e, f egyenesek párhuzamosak. Számítsd ki a hiányzó adatokat! a b a b x y a a b x b y 17 25 13 10 5 7 3 6 7 10 2 4 2 3 9 5 2.) Az ábrán lévő paralelogramma oldalai a) AB=26 cm,

Részletesebben

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok 15. modul: SÍKIDOMOK 7 I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok Módszertani megjegyzés: A jelen modult többnyire kibővített ismétlésnek szántuk, és fő célja az alapfogalmak és az alapismeretek

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Síkgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Ismétléses permutáció: ha az elemek között van olyan, amelyik többször is előfordul, az elemek egy sorba rendezését ismétléses permutációnak nevezzük. Tétel: ha n elem között p 1, p 2, p 3, p k darab megegyező

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

pont százalék % érdemjegy (jeles) (jó) (közepes) (elégséges) alatt 1 (elégtelen

pont százalék % érdemjegy (jeles) (jó) (közepes) (elégséges) alatt 1 (elégtelen A dolgozat feladatai az órán megoldott feladatok valamelyike, vagy ahhoz nagyon hasonló. A dolgozat 8 feladatból áll. 1. feladat 13 pont. feladat 8 pont 3. feladat 4. feladat 5. feladat 5 pont 6. feladat

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Megáll a józan ész! ( vagy csak az ész? ) Ágotai László (Kisújszállás)

Megáll a józan ész! ( vagy csak az ész? ) Ágotai László (Kisújszállás) Megáll a józan ész! ( vagy csak az ész? ) Ágotai László (Kisújszállás) A foglalkozáson olyan bizonyításokkal, okoskodásokkal foglalkozunk, amelyekből kapott eredmények a józan eszünknek és az eddigi matematikai

Részletesebben

Geometria. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Surányi László. 2015. augusztus 4.

Geometria. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Surányi László. 2015. augusztus 4. Geometria 9 10. évfolyam Szerkesztette: Hraskó András, Surányi László 2015. augusztus 4. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

Elemi matematika 3g Kötelező irodalom: Ajánlott irodalom: Fontos tudnivalók: Általános módszertani szempontok a kitűzött feladatok feldolgozásához:

Elemi matematika 3g Kötelező irodalom: Ajánlott irodalom: Fontos tudnivalók: Általános módszertani szempontok a kitűzött feladatok feldolgozásához: Elemi matematika 3g Kötelező irodalom: Vásárhelyi Éva, Koren Balázs: Geometria tanároknak https://dl.dropboxusercontent.com/u/100162898/pic/tamopgeo.pdf Hegyvári Norbert, Hraskó András, Korándi József,

Részletesebben