GEOMETRIA 1, alapszint

Átírás

1 GEOMETRIA 1, alapszint Kiss György Fogadóóra: péntek Előadás: , közben egyszer 15 perc szünet

2 GEOMETRIA 1, alapszint Ajánlott irodalom: Hajós Gy.: Bevezetés a geometriába Reiman I.: A geometria és határterületei Feladatgyűjtemények: Strohmajer J.: Geometria példatár I-IV Horvay K. és Reiman I.: Geometriai feladatok gyűjteménye I (középiskolai példatár)

3 A félév anyaga Rövid ismétlés térelemek fontosabb transzformációk Vektorgeometria koordináták és vektorok skaláris, vektoriális és vegyesszorzat vektorok alkalmazásai Konvex alakzatok Helly tétele konvex poliéderek

4 Számonkérés Vizsga: írásbeli, anyaga: az előadáson elhangzottak. Évfolyamzh-k: március 18 május 6 keddenként, Elmarad a március 26.-ai előadás és egy gyakorlat.

5 Ismétlés (kicsit másképp) A geometria axiomatikusan is felépíthető, mi nem ezt csináljuk (emeltszintű előadáson viszont igen). Térelemek. A háromdimenziós euklidészi teret egy halmaznak tekintjük. A halmaz elemeit pontoknak nevezzük, bizonyos kitüntetett részhalmazokat pedig egyeneseknek, illetve síkoknak. A geometriában megszokott elnevezéseket használjuk, azaz ha P egy pont, e egy egyenes, S pedig egy sík, akkor P e, illetve P S, esetén P illeszkedik e-re, illetve S-re, vagy e illetve S átmegy P-n. Ha e S, akkor az egyenes a síkon van.

6 Illeszkedési tulajdonságok Bármely két különböző ponthoz egyértelműen létezik olyan egyenes, mely mindkettőn átmegy. Ha három pont nem kollineáris (azaz nincs egy egyenesen), akkor egyértelműen létezik olyan sík, mely mindhármon átmegy. Ha egy pont nincs rajta egy egyenesen, akkor egyértelműen létezik olyan sík, amely a pontot is és az egyenest is tartalmazza. Ha két különböző síknak van közös pontja, akkor közös részük egy egyenes. Ezt az egyenest a két sík metszésvonalának nevezzük.

7 Párhuzamosság Ha a P pont nincs rajta az e egyenesen, akkor az általuk meghatározott síkban pontosan egy olyan f egyenes van, amely átmegy P-n és nincs közös pontja e-vel. P f e

8 Párhuzamosság

9 Párhuzamosság

10 Párhuzamosság Két egyenes párhuzamos, ha egybeesnek, vagy ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk. Két sík párhuzamos, ha egybeesnek, vagy ha nincs közös pontjuk. A párhuzamosság a síkok, illetve az egyenesek közt ekvivalencia-reláció.

11 EGYENESEK Két egyenes kölcsönös helyzete METSZŐK PÁRHUZAMOSAK KITÉRŐK Metszik egymást, így egy síkban vannak. Nincs közös pontjuk, de egy síkban vannak Nincs közös pontjuk, és nincsenek egy síkban.

12 SÍK és EGYENES Sík és egyenes kölcsönös helyzete METSZŐK PÁRHUZAMOSAK PÁRHUZAMOSAK Metszik egymást egy pontban. Nincs közös pontjuk. A sík tartalmazza az egyenest.

13 SÍKOK Két sík kölcsönös helyzete METSZŐK Metszik egymást egy egyenesben. PÁRHUZAMOSAK Nincs közös pontjuk.

14 Rendezés Három kollineáris pont közül pontosan egy választja el a másik kettőt egymástól (azaz pontosan egy van középen). Szakasz (nyílt): azon pontok halmaza, melyek elválasztják a két végpontot. A C B

15 Rendezés Pasch-axióma: Ha egy egyenes nem megy át egy háromszög egyik csúcsán sem, de metszi valamelyik oldalát, akkor pontosan két oldalt metsz.

16 Konvex halmazok A K halmaz konvex, ha tartalmazza bármely két pontjának összekötő szakaszát. Azaz ha A K és B K, akkor AB K. A B

17 Rendezés Az egyenest bármely pontja két félegyenesre bontja. A síkot bármely egyenese két félsíkra bontja A teret bármely sík két féltérre bontja. Ezek az alakzatok lehetnek nyíltak is és zártak is. Ha külön nem mondjuk, akkor a zártakat tekintjük.

18 Rendezés Két pont pontosan akkor tartozik ugyanahhoz a nyílt félegyeneshez, félsíkhoz, illetve féltérhez, ha összekötő szakaszuk diszjunkt az elválasztó ponttól, egyenestől, illetve síktól. Bármely félegyenes, félsík és féltér konvex halmaz.

19 A tér mozgásai A tér mindenütt egyforma, azaz a térbeli alakzatok szabadon mozgathatók. A mozgások vizsgálatakor csak a kezdőés a végállapotot hasonlítjuk össze, azzal nem foglalkozunk, hogy a két állapot közt milyen utat járunk be.

20 A tér mozgásai Zászlónak nevezünk egy olyan félsíkot, melynek a határoló egyenesén ki van jelölve egy félegyenes. Bármely két zászlóhoz pontosan egy olyan mozgás van, mely az elsőt a másodikba viszi.

21 Távolság Szakaszok hosszát, azaz pontpárok távolságát nemnegatív valós számokkal mérjük. Az AB szakasz hosszát d(a,b)- vel, vagy egyszerűen AB-vel jelöljük. Két szakaszt egybevágónak nevezünk, ha van olyan mozgás, amely egyiket a másikba viszi.

22 Távolság A távolság legfontosabb tulajdonságai: d(a,b)=d(b,a) d(a,b)=0 pontosan akkor, ha A és B egybeesik Tetszőleges r>0 valós számhoz bármely A kezdőpontú félegyenesen pontosan egy olyan B pont létezik, melyre d(a,b)=r. d(a,b)+d(b,c) d(a,c), és egyenlőség pontosan akkor van, ha B az AC szakasz pontja.

23 Előjeles távolság Bármely egyenest kétféleképp irányíthatunk. Irányított szakasz: figyelembe vesszük a végpontok sorrendjét. Irányított egyenesen lévő irányított szakaszok hosszát előjellel látjuk el. Ha A,B,C egy irányított egyenes három tetszőleges pontja, akkor előjeles távolságaikra mindig igaz, hogy AB+BC=AC. Ha egy egyenesen megadunk egy irányítást, felveszünk egy kezdőpontot és rögzítjük a távolságegységet, akkor egyenesünket azonosítjuk a valós számegyenessel.

24 Szögek Két közös kezdőpontú félegyenes szögvonalat határoz meg. Bármely szögvonal két szögtartományra osztja a síkot. A két szögtartomány közül legalább az egyik mindig konvex. Két szög egybevágó, ha létezik olyan mozgás, amely egyiket a másikba viszi.

25 Szögmérés Szögek nagyságát nemnegatív valós számokkal mérjük (egyelőre még nem a középiskolában tanult forgásszögekkel foglalkozunk!). Legfontosabb tulajdonságok: Egybevágó szögek mértéke egyenlő. Ha egy szöget a csúcsából induló félegyenessel két részre osztunk, akkor a két rész mértékének összege megegyezik az eredeti szög mértékével. o A teljesszög mértéke 360 vagy 2π.

26 Egyenesek hajlásszöge Két metsző egyenes hajlásszöge a metszéspontjuk által meghatározott félegyenesek által határolt konvex szögtartományok közül a kisebbek (nem nagyobbak) mértéke.

27 Egyenesek hajlásszöge Két kitérő egyenes hajlásszöge: a tér tetszőleges pontján átmenő, az egyenesekkel párhuzamos metsző egyenesek hajlásszöge. Ez nem függ a pont választásától.

28 Síkok hajlásszöge Két metsző sík hajlásszögén a metszésvonaluk tetszőleges pontjában az egyes síkokban a metszésvonalra állított merőleges egyenesek hajlásszögét értjük. Ez a szög nem függ attól, hogy a metszésvonal melyik pontját választjuk.

29 Merőlegesség Két metsző egyenes merőleges egymásra, ha a metszéspontjuk által meghatározott négy félegyenes közül bármely két különböző egyeneshez tartozó félegyenes által meghatározott konvex szögtartomány egybevágó..

30 Merőlegesség Az e egyenes merőleges az S síkra, ha pontosan egy D közös pontjuk van, és e merőleges minden D-n átmenő S-beli egyenesre.

31 Merőlegesség Tulajdonságok: Ha e merőleges két olyan S-beli egyenesre, melyek nem párhuzamosak, akkor e merőleges S-re. Ha e merőleges S-re, akkor e merőleges minden S-sel párhuzamos síkra is. Adott P ponthoz és S síkhoz pontosan egy P-n átmenő, S-re merőleges egyenes létezik. Adott P ponthoz és e egyeneshez pontosan egy P-n átmenő, e-re merőleges sík létezik.

32 Síkok merőlegessége Két sík merőleges egymásra, ha a metszésvonalukra az egyik síkban állított merőleges egyenes merőleges a másik síkra. Tulajdonságok: Ha az e egyenes merőleges az S síkra, akkor minden e-t tartalmazó sík merőleges S-re. Ha az e egyenes nem merőleges S-re, de döfi azt, akkor pontosan egy olyan S-re merőleges sík van, amely tartalmazza e-t.

33 Sík és egyenes hajlásszöge Legyen e olyan egyenes, amelynek pontosan egy közös D pontja van az S síkkal. Legyen T az e-t tartalmazó S-re merőleges sík (hány ilyen van?), S és T metszésvonala pedig m. Ekkor e és S hajlásszögén az e és m egyenesek hajlásszögét értjük.

34 Sík és egyenes hajlásszöge e és S hajlásszöge a legkisebb azon szögek közül, melyeket e zár be a D-n átmenő S-beli egyenesekkel.

35 Térelemek távolsága A távolság a két alakzat pontjai közt fellépő összes lehetséges távolság minimuma. Pont és egyenes, illetve sík távolsága: a pontból az egyenesre, illetve síkra bocsátott merőleges szakasz hossza; Két párhuzamos sík és/vagy egyenes távolsága: az egyik alakzat bármelyik pontjának távolsága a másik alakzattól. Ez nem függ a pont választásástól.

36 Térelemek távolsága Két kitérő egyenes távolsága: Ha e és f kitérő egyenesek, akkor egyértelműen léteznek őket tartalmazó, egymással párhuzamos S és T síkok.

37 Térelemek távolsága Az S-re és T-re merőleges egyenesek közül pontosan egy metszi e-t is és f-et is. Ez az m egyenes az e-t tartalmazó, T-re merőleges, és az f-et tartalmazó, S-re merőleges síkok metszésvonala. m az e és f normáltranszverzálisa. A két metszéspont által meghatározott szakasz hossza e és f távolsága.