Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I."

Átírás

1 Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés. A pontokat, síkokat nagybetűvel, az egyeneseket kisbetűvel szokás jelölni. Az illeszkedés jele:. Definíció: Definícióval egy újabb fogalmat korábban megismert fogalmak segítségével értelmezünk. Egy fogalmat különböző módon megfogalmazva is definiálhatunk. Tétel, bizonyítás: A fogalmak közötti összefüggések megfogalmazását tételnek nevezzük, az eljárást pedig, ahogyan az összefüggéshez jutunk, bizonyításnak nevezzük. Alaptétel (axióma): Azokat a tételeket, amelyeket nem bizonyítunk egyszerűségük miatt alaptételeknek (axiómáknak) nevezünk. Az alapfogalmak az új fogalmak bevezetéséhez, az alaptételek az új tételek bizonyításához szükségesek. Egy témakör ismereteinek rendszerezése többféle axiómarendszer alapján is történhet. Segédtétel (lemma): Azt a tételt, amelyre a bizonyítások során hivatkozunk, segédtételnek (lemmának) nevezünk. Euklideszi geometria: A különböző geometriai elméletek az alapfogalmak és axiómák megválasztásától függnek. A geometria első következetes felépítése, rendszerbe foglalása Eukleidész ókori görög matematikus nevéhez fűződik, s ezeket a 13 kötetes Elemek című művében foglalta össze. 1

2 Mi a továbbiakban Euklideszi geoemetriával foglalkozunk, melynek alaptételei a következők: Illeszkedési axiómák: I. axióma: Két pont egy és csak egy egyenest határoz meg. II. axióma: Ha egy egyenes két pontja illeszkedik egy síkra, akkor az egyenes is illeszkedik a síkra. III. axióma: Ha két síknak van közös pontja, akkor van közös egyenesük is. IV. axióma: Három nem egy egyenesre illeszkedő pont egy és csak egy síkot határoz meg. Párhuzamossági axióma: V. axióma: Egy egyenessel egy rá nem illeszkedő ponton keresztül egyetlen párhuzamos egyenes húzható. Az axiómák változtatásával további geometriai modellekhez is eljuthatunk. Pl.: Hiperbolikus (Bolyai), Affin, Projektív; stb. Euklideszi szerkesztés: Euklideszi szerkesztés során csak egyélű vonalzót és körzőt használhatunk, s az eszközöket kizárólag a következőkre használhatjuk: A vonalzót két adott pontra illesztve meghúzhatjuk a rájuk illeszkedő egyenest. Két pont távolságát körzőnyílásba vehetjük. Adott pont körül adott sugárral kört rajzolhatunk. Két egyenes metszéspontját meghatározhatjuk. Egyenes és kör metszéspontját meghatározhatjuk. Két kör metszéspontját meghatározhatjuk. Egy szerkesztési feladatot akkor mondunk euklideszi szerkesztéssel megoldhatónak, ha a fenti 6 alapművelet véges számú ismétlésével elvégezhető. Euklideszi szerkesztéssel nem megoldható feladatok: kör négyszögesítése (körrel azonos kerületű, vagy területű négyzet szerkesztése); szögharmadolás; bizonyos szabályos sokszögek szerkesztése; stb. 2

3 DEFINÍCIÓ: (Félegyenes) Az egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. DEFINÍCIÓ: (Félsík) A síkot egy egyenese két félsíkra bontja. DEFINÍCIÓ: (Féltér) A teret két síkja két féltérre bontja. Amennyiben a határoló pontot (egyenest, síkot) elhagyjuk, akkor nyílt félegyenesről (félsíkról, féltérről) beszélünk. Ellenkező esetben azt mondjuk, hogy zárt. DEFINÍCIÓ: (Szakasz) Egy egyenest két pontja egy szakaszra és két félegyenesre bontja. Szakasz hossza: Minden szakaszhoz hozzárendelünk egy pozitív valós számot, amit hossznak nevezünk, amennyiben: megadjuk az egységnyi hosszúságú szakaszt az egybevágó szakaszok hossza egyenlő ha egy szakaszt véges számú szakaszra vágunk, akkor a kapott rész szakaszok hosszának összege egyenlő az eredeti szakasz hosszával. Alakzatok távolsága: Két alakzat távolsága a pontjaik között húzható szakaszok közül a legrövidebbnek a hossza. Két ponttávolsága: Két pont távolsága a pontokat összekötő egyenes szakasz hossza. Jele: d AB = d (A; B). A d (A; B) egy nem negatív valós szám, mely a következő feltételeknek tesz eleget: Ha a két pont egybeesik, akkor d AB = 0. d (A; B) = d (B; A) d (A; B) + d (B; C) d(a; C), ahol egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha B illeszkedik az AC szakaszra. 3

4 Pont és egyenes távolsága: Egy egyenes és egy rá nem illeszkedő pont távolsága a pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza. A merőleges szakasz a legrövidebb a pontot az egyenessel összekötő szakaszok közül. Pont és sík távolsága: Egy sík és egy rá nem illeszkedő pont távolsága a pontból a síkra bocsátott merőleges szakasz hossza. Két párhuzamos egyenes távolsága: Párhuzamos egyenesek távolsága az egyik egyenes tetszőleges pontjából a másik egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza. Két párhuzamos sík távolsága: Párhuzamos síkok távolsága az egyik sík tetszőleges pontjából a másik síkra bocsátott merőleges szakasz hossza. Két kitérő egyenes távolsága: Azt az egyenest, amely a két kitérő egyenes mindkettőjét merőlegesen metszi az egyenesek normáltranszverzálisának nevezzük. A normáltranszverzális egyenesek közé eső szakaszának hossza a két kitérő egyenes távolsága. Ha két alakzatnak van közös pontja (egymásra illeszkedő és egymást metsző alakzatok), akkor távolságuk 0. DEFINÍCIÓ: (Szög) Egy adott pontból kiinduló két félegyenes szögvonalat (szöget) alkot. A szög részeit szögcsúcsnak és szögszáraknak nevezzük. A szögeket görög betűkkel (α, β, γ, δ, ) jelöljük, de szokás használni az ABC jelölést is, ahol B pont a szög csúcsa, az A, C pontok pedig a szög egy egy szárán helyezkednek el. Azt a szöget, amelyiket használjuk a feladat során, egy körívvel jelöljük az ábrán. A szögszárak a síkot két szögtartományra bontják. 4

5 Szögmérés: A szögmérés egyik egysége az 1. A fok tovább bontható szögpercekre és szögmásodpercekre: 1 = 60 = 3600". DEFINÍCIÓ: (Ívmérték) A mérendő szöget egy egység sugarú kör középponti szögének tekintjük, s ekkor azt a (mértékegység nélküli) számot, amely megmutatja, hogy a középponti szöghöz tartozó körív a kör sugarának hányszorosa, a szög ívmértékének nevezzük. Jele: α. DEFINÍCIÓ: (Radián) Az egységnyi ívmértékhez tartozó szöget radiánnak nevezzük. Az ívmérték a középponti szöghöz tartozó körív hosszának és a kör sugarának aránya. Az ívmérték egysége az 1 radián, az a szög, amelyhez mint középponti szöghöz a kör sugarával egyenlő hosszúságú körív tartozik. Átszámítás: 1 rad 360 = r 2rπ 1 radián = 180 π 57,3 180 = π radián Számítás: x radián = 360 2π x x = x 2π 360 Szögek fajtái: Nullszög: α = 0 Hegyesszög: 0 < α < 90 Derékszög: α = 90 Tompaszög: 90 < α < 180 Egyenesszög: α = 180 Homorúszög: 180 < α < 360 Telejs szög: α = 360 Forgás szög: α > 360 Az egyenes szögnél kisebb szögeket konvex (domború), a nagyobb szögeket konkáv (homorú) szögtartománynak nevezzük. 5

6 DEFINÍCIÓ: (Kiegészítő szögek) Azokat a szögeket, amelyek összege 180, kiegészítő szögeknek nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Pótszögek) Azokat a szögeket, amelyek összege 90, kiegészítő szögeknek nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Forgás szög) Ha úgy tekintjük a szöget, hogy az egy pontból kiinduló egybeeső két félegyenesből az egyik fixen tartásával és a másiknak a közös végpont körüli elforgatásával kaptuk, akkor az így létrehozott szöget forgásszögnek nevezzük. Forgásszög esetén, a köríven nyíllal jelöljük a forgatás irányát. A nál nagyobb szögeket is forgásszögeknek nevezzük. Az elfordulást irányított szöggel jellemezzük: Az óramutató járásával megegyező elfordulást negatívnak, az ellentétest irányt pedig pozitívnak tekintjük. Szögpárok: 1. Párhuzamos szárú szögek: Ha két konvex szög szárai páronként párhuzamosak, vagy egy egyenesre esnek, akkor ezeket párhuzamos szárú szögeknek nevezzük. Egyállású szögek: Száraik páronként párhuzamosak és megegyező irányúak. Váltó szögek: Száraik páronként párhuzamosak, de ellentétes irányúak. Társszögek: Száraik páronként párhuzamosak és 1 1 szár iránya megegyezik, 1 1 szár iránya pedig ellentétes. 6

7 2. Merőleges szárú szögek: Ha két konvex szög szárai páronként merőlegesek egymásra, akkor ezeket merőleges szárú szögeknek nevezzük. Ha a váltó szögeknek közös a csúcsuk, akkor azokat csúcsszögeknek nevezzük. Ha a társszögeknek közös a csúcsuk, akkor azokat mellékszögeknek nevezzük. Az egyállású és váltó szögek egyenlő nagyságúak. A társszögek ra egészítik ki egymást. A merőleges szárú szögek vagy egyenlő nagyságúak, vagy ra egészítik ki egymást. Térelemek kölcsönös helyzete: I. Két egyenes kölcsönös helyzete: metsző: ha pontosan 1 közös pontjuk van párhuzamos: ha egy síkban vannak, de nincs közös pontjuk (nem metszik egymást), vagy legalább 2 közös pontjuk van (egybeesnek), jele: e f merőleges: ha az egyenesek által bezárt szög derékszög, jele: e f kitérő: ha nincsenek egy síkban II. Két sík kölcsönös helyzete: metsző: ha pontosan 1 közös egyenesük van párhuzamos: ha nincs közös egyenesük (nem metszik egymást), vagy legalább 2 közös egyenesük van (egybeesnek) merőleges: ha a síkok által bezárt szög derékszög 7

8 III. Egyenes és sík kölcsönös helyzete: metsző: ha pontosan 1 közös pontjuk van párhuzamos: ha nincs közös pontjuk (nem metszik egymást), vagy legalább 2 közös pontjuk van (az egyenes illeszkedik a síkra) merőleges: ha az egyenes merőleges a sík minden egyenesére Az egyenes és sík metszéspontját döféspontnak nevezzük. Merőleges vetület: Egy pontból a síkra bocsátott merőleges egyenesnek a síkon lévő pontját, a pontnak a síkon lévő merőleges vetületének nevezzük. Ha egy egyenes minden pontjából merőlegest állítunk a síkra, akkor a síkból kimetszett pontok alkotják az egyenes merőleges vetületét. Az egyenes merőleges vetületét úgy is megkaphatjuk, ha az egyenesen át egy merőleges síkot fektetünk a síkra. Ekkor a két sík metszésvonala az egyenes merőleges vetülete. Ha az egyenes merőleges a síkra, akkor a vetülete egy pont, minden más esetben egy egyenes. Térelemek hajlásszöge: Térelemek hajlásszöge mindig két egyenes egymással bezárt szögét jelenti. Két metsző egyenes hajlásszöge: Két metsző egyenes négy szögtartományt határoz meg, melyek közül a 2 2 szemközti szög egybevágó. A keletkező szomszédos szögtartományok közül a nem nagyobbat értjük a metsző egyenesek hajlásszögén. Két kitérő egyenes hajlásszöge: Kitérő egyenesek hajlásszögének a tér egy tetszőleges pontján átmenő, velük párhuzamos metsző egyenesek hajlásszögét nevezzük. 8

9 Egyenes és sík hajlásszöge: Ha egy egyenes nem merőleges a síkra, akkor az egyenes és sík hajlásszögén az egyenes és az egyenes síkra bocsátott merőleges vetületének a hajlásszögét értjük. Két metsző sík hajlásszöge: A két metsző sík metszésvonalának egy pontjában a két sík mindegyikében merőlegest állítunk a metszésvonalra, s e két merőleges hajlásszögét értjük a két sík hajlásszögének. A síkra merőleges egyenes és a sík hajlásszöge 90. A párhuzamos térelemek hajlásszöge 0. 9

10 DEFINÍCIÓ: (Mértani hely) Egy ponthalmazról akkor mondjuk, hogy mértani hely, ha a ponthalmaz minden egyes pontja teljesít egy geometriai feltételt és az adott alaphalmazon más pontok nem teljesítik ezt. Szerkesztési feladatok megoldásának lépései: 1. Vázlat készítés: Felvesszük a szerkesztendő síkidomot, ponthalmazt, pontot és megjelöljük az ábrán az adott adatokat. 2. Külön felvesszük az adott adatokat. 3. Megnézzük, hogy a szerkesztendő pontnak (síkidomnak) mennyi feltételt kell teljesítenie. Ezeket leírjuk és megállapítjuk, hogy a feltételeknek milyen mértani hely felel meg. 4. A szerkesztés végrehajtása: Megszerkesztjük a megtalált mértani helyeket és ezek metszéspontja adja a szerkesztendő pontot, pontokat. 5. Diszkusszió: Megnézzük, hogy az adott adatok elrendezésétől, nagyságától függően hány pont szerkeszthető, mikor szerkeszthető, mikor nem szerkeszthető. Alapszerkesztések: A legegyszerűbb szerkesztéseket alapszerkesztéseknek nevezzük. Pl.: szögmásolás, szakasz felezőmerőlegesének megszerkesztése, szögfelezés, stb.. Alapvető mértani helyek: 1. Szög száraitól egyenlő távolságra levő pontok: Egy adott α szög száraitól egyenlő távolságra levő pontok mértani helye a síkon a szögfelező egyenes. Jelöléssel: f α = {P S d Pa = d Pb }. 10

11 2. Egy adott ponttól adott távolságra levő pontok: Egy adott O ponttól adott r távolságra levő pontok összessége a síkon egy kör, amelynek középpontja az adott O pont és sugara az adott r távolság. (Térben: gömbfelület.) Jelöléssel: k = {P S d OP = r}. 3. Egy adott egyenestől adott távolságra levő pontok: Egy adott e egyenestől adott r távolságra levő pontok összessége a síkon egy párhuzamos egyenespár, amelyek középpárhuzamosa az adott egyenes. (Térben: végtelen hengerfelület.) Jelöléssel: f g = {P S d ep = r}. 4. Két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok: Két adott A, B ponttól egyenlő távolságra levő pontok összessége a síkon a két pont által meghatározott szakasz felezőmerőlegese. (Térben: felező merőleges sík.) Jelöléssel: f AB = {P S d AP = d BP }. 11

12 5. Két adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok: Két adott e, f egyenestől egyenlő távolságra levő pontok összessége a síkon: ha a két egyenes párhuzamos, akkor a közép párhuzamos. Jelöléssel: g = {P S d eg = d fg }. ha a két egyenes metsző, akkor a szögfelező egyenesek. Jelöléssel: g α g β = {P S d ep = d fp }. 6. Három adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok: Három adott A, B, C ponttól egyenlő távolságra levő pontok összessége a síkon: ha a három pont egy egyenesen van, akkor nincs ilyen pont, mert ekkor a szakaszfelező merőlegesek párhuzamosak. ha a három pont nem egy egyenesen van, akkor meghatároz egy háromszöget, s a keresett pont, az oldalfelező merőlegesek metszéspontja. (Térben: a három pont által meghatározott szakaszok felezőmerőleges síkjainak metszete, ami egy egyenes.) Jelöléssel: K = {P S d PA = d PB = d PC }. 12

13 7. Három adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok: Három adott a, b, c egyenestől egyenlő távolságra levő pontok összessége a síkon: ha a három egyenes párhuzamos, akkor nincs ilyen pont, mert a középpárhuzamosak is párhuzamosak. ha két egyenes párhuzamos és a harmadik ezeket metszi, akkor két ilyen pont van, a két párhuzamos között a szögfelezők és a középpárhuzamos metszéspontja. Jelöléssel: P 1 P 2 = {P S d Pa = d Pb = d Pc }. 13

14 ha a három egyenes páronként metszi egymást, akkor négy ilyen pont van. Egy a három pont által meghatározott háromszögön belül, a belső szögfelezők metszéspontja és három a háromszögön kívül, a külső szögfelezők metszéspontjai. Jelöléssel: P 1 P 2 P 3 P 4 = {P S d Pa = d Pb = d Pc }. ha a három egyenes egy pontban metszi egymást, akkor ez a metszéspont. Jelöléssel: P = {P S P a b c} 8. Körtől adott távolságra levő pontok: Egy r sugarú körtől adott a távolságra levő pontok összessége a síkon: ha a < r, akkor egy r + a és egy r a sugarú kör, ahol e két kör középpontja megegyezik az eredeti kör középpontjával. 14

15 ha a = r, akkor egy r + a sugarú kör és az eredeti kör középpontja. ha a > r, akkor egy r + a sugarú kör, ahol e kör középpontja megegyezik az eredeti kör középpontjával. 15

16 9. Kört érintő körök középpontjai: Egy R sugarú kört érintő r sugarú körök középpontjainak összessége a síkon: ha R r, akkor egy R + r és egy R r sugarú kör, ahol e két kör középpontja megegyezik az eredeti kör középpontjával. ha R = r, akkor egy R + r sugarú kör, ahol e kör középpontja megegyezik az eredeti kör középpontjával. 16

17 10. Adott egyenest adott pontjában érintő körök középpontjai: Adott egyenest adott pontjában érintő körök középpontjainak összessége a síkon az egyenesre az adott pontban állított merőleges egyenesen vannak, kivéve az adott pontot. 11. Kört adott pontjában érintő körök középpontjai: Kört adott pontjában érintő körök középpontjainak összessége a síkon egy egyenes, ami átmegy a kör középpontján és az adott ponton, kivéve az adott pontot. 12. Szakasztól adott távolságra levő pontok: 17

18 Kúpszeletek: A kört, az ellipszist, a parabolát és hiperbolát közös néven kúpszeleteknek nevezzük, mert ezek a görbék megkaphatóak egy forgáskúp különböző síkmetszeteként. Ha a metsző sík nem megy át a kúp csúcsán és merőleges a kúp tengelyére, akkor a síkmetszet kör nem merőleges a kúp tengelyére, és nem párhuzamos egyetlen alkotóval sem, akkor a síkmetszet ellipszis egy alkotóval párhuzamos, akkor a síkmetszet parabola két alkotóval párhuzamos, akkor a síkmetszet hiperbola. DEFINÍCIÓ: (Ellipszis) Az ellipszis azoknak a P pontoknak a halmaza síkon, amelyeknek két adott ponttól (az F 1 ; F 2 fókuszponttól) mért távolságuk (F 1 P; F 2 P vezérsugarak) összege állandó (2a) és ez az állandó nagyobb a két adott pont távolságánál. Jelöléssel: k 1 = {P S d (P; F 1 ) + d (P; F 2 ) = 2a (állandó) > d (F 1 ; F 2 )}. 18

19 A két F 1 ; F 2 fókuszpontra illeszkedő egyenes az ellipszis egyik szimmetriatengelye. Ennek az ellipszissel két közös pontja van, s az ezekkel meghatározott AB szakaszt az ellipszis nagytengelyének nevezzük. A nagytengely felének hosszát a val jelöljük. A nagy tengely felezőmerőlegese az ellipszis másik szimmetriatengelye. Az ellipszis ebből kimetszi a CD szakaszt, s ezt az ellipszis kistengelyének nevezzük. A kis tengely felének hosszát b vel jelöljük. A két tengely O metszéspontja az ellipszis szimmetriaközéppontja. Az O pont fókuszpontoktól való távolságát c vel jelöljük. A szimmetria miatt d (A; F 1 ) = d (B; F 2 ). Ezek alapján adódik, hogy d (A; F 1 ) + d (A; F 2 ) = d (B; F 2 ) + d (A; F 2 ) = 2a. A definícióból adódik, hogy az ellipszis bármely P pontjára: d (P; F 1 ) + d (P; F 2 ) = 2a. A szimmetria miatt: d (C; F 1 ) = d (C; F 2 ) = a. Az F 1 OC derékszögű háromszögben a Pitagorasz tétel alapján adódik, hogy a 2 = b 2 + c 2. Ha F 1 = F 2, akkor az ellipszis kör. DEFINÍCIÓ: (Hiperbola) A hiperbola azoknak a P pontoknak a halmaza síkon, amelyeknek két adott ponttól (az F 1, F 2 fókuszpontoktól) mért távolságuk (F 1 P; F 2 P vezérsugarak) különbségének abszolútértéke állandó (2a) és ez az állandó nagyobb a két adott pont távolságánál. Jelöléssel: k 2 = {P S d (P; F 1 ) d (P; F 2 ) = 2a (állandó) < d (F 1 ; F 2 )}. 19

20 A két F 1 ; F 2 fókuszpontra illeszkedő egyenes a hiperbola egyik szimmetriatengelye. Ennek a hiperbolával két közös pontja van, s az ezekkel meghatározott AB szakaszt a hiperbola valós tengelyének nevezzük. A valós tengely felének hosszát a val jelöljük. Az AB szakasz felezőpontja a hiperbola szimmetria középpontja, s ezt O val jelöljük. Az O pont fókuszpontoktól való távolságát c vel jelöljük. A valós tengely felező merőlegese a hiperbola másik szimmetriatengelye. Ennek a hiperbolával nincs közös pontja. Bevezethetünk egy szakaszt, amely megfelel az ellipszis kistengelyének. A valós tengely egyik végpontjából c sugarú körzőnyílással metsszük el a szimmetriatengelyt. A kapott CD szakaszt a hiperbola képzetes tengelyének nevezzük. A képzetes tengely felének hosszát b vel jelöljük. A szimmetria miatt d (A; F 1 ) = d (B; F 2 ). Ezek alapján adódik, hogy d (A; F 2 ) d (A; F 1 ) = d (A; F 2 ) d (B; F 2 ) = 2a. A definícióból adódik, hogy a hiperbola bármely P pontjára: d (P; F 1 ) d (P; F 2 ) = 2a. Az AOC derékszögű háromszögben Pitagorasz tétel alapján adódik, hogy c 2 = a 2 + b 2. DEFINÍCIÓ: (Parabola) A parabola azoknak a P pontoknak a halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott egyenesétől (v vezéregyenestől) és egy adott pontjától (F fókuszponttól) egyenlő távolságra vannak. Jelöléssel: k 3 = {P S d (P; F) = d (P; v)}. 20

21 Az F fókuszpontból a v vezéregyenesre (direktrixre) bocsátott merőleges egyenes a parabola t szimmetriatengelye. Az F fókuszpont és a v vezéregyenes távolságát a parabola paraméterének nevezzük. A paramétert p vel jelöljük. A t tengely és a v vezéregyenes metszéspontja a parabola T tengelypontja. A tengelypont fókuszponttól (és vezéregyenestől) való távolsága a paraméter fele. Kúpszeletek szerkesztése: 1. Ellipszis 1. módszer: Adottak a következő adatok: a; b. Első lépésben felvesszük az ellipszis tengelyeit és megszerkesztjük az ellipszis fókuszpontjait. Ezt követően az OF 2 szakaszon felveszünk egy tetszőleges S 1 segédpontot. A fókuszpontok egyikéből AS 1, a másikból BS 1 sugarú, egymást metsző köríveket rajzolunk. A keletkező E 1 ; E 2 metszéspontok az ellipszis pontjai lesznek. További segédpontok felvételével hasonló módon szerkeszthető az ellipszis többi pontjai is. 2. módszer: Adottak a következő adatok: F 1 ; F 2 ; a. Első lépésben felvesszük az ellipszis fókuszpontjait és megszerkesztjük az ellipszis tengelyeit. Ezt követően az F 1 fókuszpont körül megrajzoljuk a vezérkört 2a sugárral. A vezérkörön felveszünk egy tetszőleges S 1 segédpontot, majd megrajzoljuk az F 2 S 1 szakasz felezőmerőlegesét. A felezőmerőleges és az F 1 S 1 szakasz metszéspontja az ellipszis E 1 pontja lesz. További segédpontok felvételével hasonló módon szerkeszthető az ellipszis többi pontjai is. 2. Hiperbola: 1. módszer: Adottak a következő adatok: a; b. Első lépésben felvesszük a hiperbola tengelyeit és megszerkesztjük a hiperbola fókuszpontjait. Ezt követően a valós tengely egyenesén, az F 1 F 2 szakaszon kívül felveszünk egy tetszőleges S 1 segédpontot. A fókuszpontok egyikéből AS 1, a másikból BS 1 sugarú, egymást metsző köríveket rajzolunk. A keletkező H 1 ; H 2 metszéspontok a hiperbola pontjai lesznek. További segédpontok felvételével hasonló módon szerkeszthető a hiperbola többi pontjai is. 21

22 2. módszer: Adottak a következő adatok: F 1 ; F 2 ; a. Első lépésben felvesszük a hiperbola fókuszpontjait és megszerkesztjük a hiperbola tengelyeit. Ezt követően az F 1 fókuszpont körül megrajzoljuk a vezérkört 2a sugárral. A vezérkörön felveszünk egy tetszőleges S 1 segédpontot, majd megrajzoljuk az F 2 S 1 szakasz felezőmerőlegesét. A felezőmerőleges és az F 1 S 1 egyenes metszéspontja a hiperbola egy H 1 pontja lesz. További segédpontok felvételével hasonló módon szerkeszthető a hiperbola többi pontjai is. 3. Parabola: 1. módszer: Adott a következő adat: p. Első lépésben a paraméter ismeretében felvesszük a parabola vezéregyenesét és fókuszpontját, majd megszerkesztjük a parabola tengelypontját. Ezt követően vegyünk fel a parabola tengelyén egy tetszőleges S 1 segédpontot, majd rajzoljunk ezen a ponton át egy a vezéregyenessel párhuzamos egyenest. A fókuszpontból körözve a két párhuzamos egyenes távolságával, a párhuzamos egyenesen keletkező P 1 ; P 2 metszéspontok a parabola pontjai lesznek. További segédpontok felvételével hasonló módon szerkeszthető a parabola többi pontjai is. 2. módszer: Adott a következő adat: p. Első lépésben a paraméter ismeretében felvesszük a parabola vezéregyenesét és fókuszpontját, majd megszerkesztjük a parabola tengelypontját. Ezt követően vegyünk fel a parabola vezéregyenesén egy tetszőleges S 1 segédpontot, majd rajzoljunk ezen a ponton át egy a vezéregyenesre merőleges egyenest. Az FS 1 szakasz felezőmerőlegesét megrajzolva, a merőleges egyenesen keletkező P 1 metszéspont a parabola egy pontja lesz. További segédpontok felvételével hasonló módon szerkeszthető a hiperbola többi pontjai is. 22

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

Geometriai axiómarendszerek és modellek

Geometriai axiómarendszerek és modellek Verhóczki László Geometriai axiómarendszerek és modellek ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2011 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái

Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Bolyai Intézet Geometria Tanszék Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szakdolgozat Írta: Pásztor Péter Matematika

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 10. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/4365-1/008. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör lemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 26. 1.1. eladat. z konvex négyszögben {} = és { } = (lásd a mellékelt ábrát). izonyítsd be, hogy a következő három kijelentés egyenértékű: 1. z négyszögbe

Részletesebben

10. évfolyam, ötödikepochafüzet

10. évfolyam, ötödikepochafüzet 10. évfolyam, ötödikepochafüzet (Hasonlóság, trigonometria) Tulajdonos: ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Geometriai transzformációk... 3 I.1. A geometriai transzformációk ismétlése... 3 I.2. A vektorok ismétlése...

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 5 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Csavarvonal, csavarfelületek. Összeállította: Dr. Geiger János. Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Csavarvonal, csavarfelületek. Összeállította: Dr. Geiger János. Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA Csavarvonal, csavarfelületek Összeállította: Dr. Geiger János Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM 2014 TARTALOM 1. A munkafüzet célja, területei, elsajátítható kompetenciák...

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben

3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 1. 1. Alapfogalmak 2. Nevezetes sík- és térbeli alakzatok, definícióik 3. Thalész-tétel 4. Gyakorlati alkalmazás Pont: alapfogalom, nem definiáljuk Egyenes:

Részletesebben

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra) MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Geometriai Tanszék AZ EVOLUTÁK VILÁGA. BSc szakdolgozat. tanári szakirány. Budapest, 2013.

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Geometriai Tanszék AZ EVOLUTÁK VILÁGA. BSc szakdolgozat. tanári szakirány. Budapest, 2013. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Geometriai Tanszék AZ EVOLUTÁK VILÁGA BSc szakdolgozat Készítette: Somlói Zsófia matematika BSc tanári szakirány Témavezető: Dr. Moussong Gábor adjunktus

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0814 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel!

Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! SZAKDOLGOZAT Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! Simon Ju lia Matematika BSc., tana ri szakira ny Te mavezeto : Besenyei A da m adjunktus Alkalmazott Analı zis e s Sza mı ta smatematikai Tansze k Eo

Részletesebben

Geometria, 11 12. évfolyam

Geometria, 11 12. évfolyam Geometria, 11 1. évfolyam Dobos Sándor, Hraskó ndrás, Kiss Géza és Surányi László 014. június 8. 4 TRTLOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék Feladatok 5 1. Geometriai szerkeszthetőség.......................... 5 1.1.

Részletesebben

0663 MODUL SÍKIDOMOK. Háromszögek, nevezetes vonalak. Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes

0663 MODUL SÍKIDOMOK. Háromszögek, nevezetes vonalak. Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes 0663 MODUL SÍKIDOMOK Háromszögek, nevezetes vonalak Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes Matematika A 6. évfolyam 0663. Síkidomok Háromszögek, nevezetes vonalak Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A

Részletesebben

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra A Kiadó javaslata alapján összeállította: Látta:...... Harmath Lajos munkaközösség vezető tanár Jóváhagyta:... igazgató

Részletesebben

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2015. október 13. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2015. október 13. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc É RETTSÉGI VIZSGA 2015. október 13. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. október 13. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Dr. Engler Péter. Fotogrammetria 2. FOT2 modul. A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Dr. Engler Péter. Fotogrammetria 2. FOT2 modul. A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Engler Péter Fotogrammetria 2. FOT2 modul A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői

Részletesebben

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2012 13-as tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a javító

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Valószínűség-számítás II.

Valószínűség-számítás II. Valószínűség-számítás II. Geometriai valószínűség: Ha egy valószínűségi kísérletben az események valamilyen geometriai alakzat részhalmazainak felelnek meg úgy, hogy az egyes események valószínűsége az

Részletesebben

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám,

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám, Dobos Sándor, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: 005. november 1. feladat A 70-nek 80%-a mely számnak a 70%-a? I. rész. feladat Egy szabályos

Részletesebben

Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus

Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus Síktopológiák a Sorgenfrey-egyenes ötletével Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus 1. Bevezetés A Sorgenfrey-egyenes

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február Helyi tanterv Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február 1 A TANTERV SZERKEZETE Bevezető Célok és feladatok Fejlesztési célok és kompetenciák Helyes

Részletesebben

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika 2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A

Részletesebben

Lektorálták: Dr. Kincses János (JATE) Dr. Nagy Péter (KLTE)

Lektorálták: Dr. Kincses János (JATE) Dr. Nagy Péter (KLTE) Lektorálták: Dr. Kincses János (JATE) Dr. Nagy Péter (KLTE) Tipográfia: L A TEX 2ε (KZ) c Kovács Zoltán 1999, 2002 Tartalomjegyzék Előszó Forrásmunkák................................. Fontosabb jelölések

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből)

Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Fénytan 1 Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Feladatok F. 1. Vízszintes asztallapra fektetünk egy negyedhenger alakú üvegtömböt, amelynek függőlegesen álló síklapját

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás 12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk MTEMTIK C 1. évflyam. mdul mi terünk Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató mdul célja Időkeret jánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk térfgat- és felszínszámítási

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

Matematika C 10. osztály 10. modul Bolyai-geometria (Hiperbolikus geometria)

Matematika C 10. osztály 10. modul Bolyai-geometria (Hiperbolikus geometria) Matematika C 10. osztály 10. modul Bolyai-geometria (Hiperbolikus geometria) Készítette: Lénárt István Matematika C 10. évfolyam 10. modul: Bolyai-geometria Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

3. Geometria. I. Feladatok

3. Geometria. I. Feladatok 3. Geometria I. Feladatok 1. Egy körben adott két, egymásra merőleges átmérő. Az egyik végpontból húzott húrt a másik átmérő 2 és 4 egység hosszú szakaszokra bontja. Mekkora a kör sugara? Kalmár László

Részletesebben

Praktikum II. Dr. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger. 2006/07 I. szemeszter

Praktikum II. Dr. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger. 2006/07 I. szemeszter Praktikum II. Dr. Szilágyi Ibolya szibolya@ektf.hu Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006/07 I. szemeszter Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 1 / 125 Outline Alapfogalmak, ponthalmazok.

Részletesebben

KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI LAPOK ALAPÍTOTTA: ARANY DÁNIEL 1894-ben

KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI LAPOK ALAPÍTOTTA: ARANY DÁNIEL 1894-ben 2015.5.6 13:55 257. oldal 1. lap KöMaL, 2015. május KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI LAPOK ALAPÍTOTTA: ARANY DÁNIEL 1894-ben 65. évfolyam 5. szám Budapest, 2015. május Megjelenik évente 9 számban, januártól

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

program használata a középiskolai matematika oktatásban

program használata a középiskolai matematika oktatásban Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatika Kar Média- és Oktatásinformatika Tanszék A program használata a középiskolai matematika oktatásban Készítette: Horváthné Oroján Gabriella levelező informatika-tanár

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz

Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz MATEMATIKA 6. Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz Témák 1. Játékos feladatok Egyszerű, matematikailag is értelmezhető hétköznapi szituációk megfogalmazása szóban és írásban.

Részletesebben

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

választással azaz ha c 0 -t választjuk sebesség-egységnek: c 0 :=1, akkor a Topa-féle sebességkör teljes hossza 4 (sebesség-)egységnyi.

választással azaz ha c 0 -t választjuk sebesség-egységnek: c 0 :=1, akkor a Topa-féle sebességkör teljes hossza 4 (sebesség-)egységnyi. Egy kis számmisztika Az elmúlt másfél-két évben elért kutatási eredményeim szerint a fizikai téridő geometriai jellege szerint háromosztatú egységet alkot: egymáshoz (a lokális éterhez mért v sebesség

Részletesebben

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Horváth Árpád 2008. december 16. A segédletek egy része a matek honlapon található: http://www.roik.bmf.hu/matek Kötelező irodalom: Bagyinszki

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

5. modul Térfogat és felszínszámítás 2

5. modul Térfogat és felszínszámítás 2 Matematika A 1. évfolyam 5. modul Térfogat és felszínszámítás Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza.

Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza. Matematika Számok, műveletek A természetes számok halmaza: Számhalmazok Ha m és n természetes szám, akkor az m természetes számok halmazán. Példa: 6+x=2. n egyenlet nem feltétlenül oldható meg a Az egész

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

FAIPARI ALAPISMERETEK

FAIPARI ALAPISMERETEK Faipari alapismeretek középszint 1221 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. október 13. FAIPARI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos

Részletesebben

Ageometriai problémamegoldás útja a rajzoknál kezdõdik, hiszen a helyes következtetéshez

Ageometriai problémamegoldás útja a rajzoknál kezdõdik, hiszen a helyes következtetéshez Iskolakultúra 2003/12 Nagyné Kondor Rita Dinamikus geometriai rendszerek a geometria oktatásában A számítógépes rajzolóprogramok új lehetőségeket nyitnak meg a geometria tanításában: gyorsan, pontosan,

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK Építészeti és építési alapismeretek emelt szint 0812 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. október 18. ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS

Részletesebben

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,

Részletesebben

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.

Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely

Részletesebben

Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában

Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában Nagy V. Gábor SZTE Bolyai Intézet Eötvös Loránd Kollégium, Matematika Műhely Szeged, 2013. október 25. ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés 1/21 Definíció. A G 1,...,

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Hagyományos fakötések rajzai...5 2. Mérnöki fakötések rajzai... 15 3. Fedélidomok szerkesztése,

Tartalomjegyzék. 1. Hagyományos fakötések rajzai...5 2. Mérnöki fakötések rajzai... 15 3. Fedélidomok szerkesztése, Tartalomjegyzék 1. Hagyományos fakötések rajzai...5 2. Mérnöki fakötések rajzai... 15 3. Fedélidomok szerkesztése, fedélsíkok valódi méretének meghatározása... 27 3.1. Fedélidomok szerkesztése... 27 3.1.1.

Részletesebben

Nevezetes függvények

Nevezetes függvények Nevezetes függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt

Részletesebben

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika

Részletesebben