Elemi matematika szakkör

Átírás

1 lemi matematika szakkör Kolozsvár, október eladat. z konvex négyszögben {} = és { } = (lásd a mellékelt ábrát). izonyítsd be, hogy a következő három kijelentés egyenértékű: 1. z négyszögbe írható kör (vagyis létezik olyan kör, amely a négyszög belsejében van és érinti mind a négy oldalát); 2. + = + ; 3. + = Megoldás Szerkesszük meg az négyszögbe írt kört és jelöljük az oldalakkal való érintési pontokat rendre,,, illetve -gyel a mellékelt ábrának megfelelően. K 1

2 2 Külső pontból a körhöz húzott érintők egyenlő hosszúságúak, tehát =, =, = és =. z alapján írhatjuk, hogy + = ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) = = ( + ) + ( + ) = lehetetlenre való visszavezetés módszerét használjuk, tehát feltételezzük, hogy + = + és a négyszögbe nem írható kör. z és szög belső szögfelezője nem lehet párhuzamos, mert az és szög mértékének az összege kisebb, mint 180. miatt a belső szögfelezők metszik egymást egy O pontban, amely mindkét szög belsejében van, tehát létezik olyan (O, R) kör, amely érinti az,, oldalak tartóegyenesét. 1 O z és tartóegyenesén keletkezett érintési pontok (, ) közül legalább az egyik az négyszög oldalának belső pontja, hisz ellenkező esetben teljesülne az = + = + > + egyenlőtlenség és ez ellentmondana a feltevésnek. eltételezhetjük tehát, hogy a szerkesztett kör az oldalt belső pontban érinti. Húzzuk meg -ből a (O, R) körhöz a második érintőt is és jelöljük a egyenessel való metszéspontját 1 -gyel. végén külön igazoljuk, hogy a 1 pont létezik, vagyis a -ből húzott második érintő nem lehet párhuzamos a -vel és ugyanakkor a egyenessel való metszéspont a ( félegyenesre illeszkedik. feltételezésünk alapján 1 és a szerkesztés alapján az négyszög kör köré írható. z előbbi bizonyítás alapján + 1 = + 1

3 3 és a feltevés alapján + = +. két egyenlőség megfelelő oldalait egymásból kivonva azt kapjuk, hogy 1 = 1. jobb oldal ± 1, aszerint, hogy a 1 pont a szakaszon vagy azon kívül helyezkedik el. Mindkét esetben ellentmondáshoz jutunk, hisz a 1 háromszögben két oldal összege nem lehet egyenlő a harmadikkal. bizonyítás teljességéhez igazolnunk kell, hogy a 1 pont valóban létezik. Ha - ből húzott második érintő párhuzamos a -vel és a belső pontja, akkor az + = + egyenlőségből következik, hogy + + = vagyis z viszont ellentmondás, mert = + = 4R 2 + ( + ) 2 > +. Ha nem belső pontja a -nek, akkor az előbbihez hasonló gondolatmenet alapján = -hez jutunk és ez szintén ellentmondás, mert ebben az esetben = (4R 2 + ( ) 2 ) >. O

4 4 1. Megjegyzés. Pitagorasz-tételre való hivatkozás nélkül is belátható az előbbi ellentmondás ha [] esetén felvesszük a = {M} pontot és észrevesszük, hogy az M valamint M derékszögű háromszögekben M >, illetve M >. / [] esetén a derékszögű trapézban -t levetítjük a -ra és a keletkezett derékszögű háromszögben átfogó, pedig az egyik befogó hossza. Hasonló bizonyítás szükséges annak belátásához, hogy a 1 pont nem kerülhet a ( félegyenessel ellentétes félegyenesre. bben az esetben is két aleset tárgyalása szükséges aszerint, hogy ( ) vagy (). z a két eset látható a mellékelt ábrákon. O M 1 + = + = +. e a M háromszögben m( M ) < m( M ) (különben a nem kerülhetne a és a 1 közé), tehát < M. Hasonlóan m( M ) > 90 (mert 1 egyenlő szárú) és így < M. két egyenlőtlenség megfelelő oldalait összeadva a + < egyenlőtlenséghez jutunk, ami ellentmond a korábban kapott egyenlőségnek. N O 1

5 5 + = + = Másrészt ha N, N 1, akkor N = és a N háromszög N-nél levő szöge tompaszög, tehát N > és ez ellentmondás Ha az kör köré írható és az oldalakon levő érintési pontok,,, (lásd a mellékelt ábrát), akkor + = + + = + + = +. K lehetetlenre való visszavezetés módszerét használjuk. eltételezzük, hogy + = + és az négyszögbe nem írható kör. K 1 1 z háromszögbe írt körhöz ha -ből érintőt húzunk és 1, illetve 1 ennek az érintőnek az -vel, illetve -val való metszéspontja, akkor az 1 1 négyszögbe írható kör, tehát + 1 = + 1.

6 6 feltételezésünk alapján + = +, tehát a két egyenlőség megfelelő oldalait egymásból kivonva az 1 = ± 1 egyenlőséghez jutunk aszerint, hogy a 1 pont az szakasz belső pontja vagy nem. Mindkét esetben az 1 háromszögben két oldal összege egyenlő lenne a harmadikkal és ez ellentmondás eladat. z konvex négyszögben {} = és { } = (lásd a mellékelt ábrát). z és háromszögekbe írható körök az, illetve a oldalt a P és a Q pontban érintik. izonyítsd be, hogy a következő két kijelentés egyenértékű: 1. z négyszögbe írható kör; 2. P = Q. P Q 1.2. Megoldás Ha az négyszögbe kör írható, akkor az előbbi feladat 3. pontja alapján, a mellékelt ábra jelöléseit használva rendre írhatjuk, hogy + = = + + N + = O + M + = R + P + = Q + P = Q. Használtuk, hogy a -n az M és az N a szakasz felezőpontjára nézve szimmetrikusan helyezkednek el, mivel az egyik a beírt körnek, a másik a hozzáírt körnek az érintési pontja. Hasonlóan az O és az R egymás szimmetrikusai a felezőpontjára nézve.

7 7 M N O R T4 P Q Q és P szakaszokból kiindulva megszerkeszthető az és a háromszög. Valóban előbb megszerkesztjük azt a kört, amely a -t és a P -t is érinti, ráadásul a P -t P -ben. hhez húzunk -ből érintőt és az -t -ben metszi. Hasonlóan szerkesztjük meg az pontot is, majd az -t az és metszeteként. z így kapott teljes négyszög ugyanaz, mint az eredeti. Tekintjük az háromszöghöz írt kört, amely kívülről érinti a szakaszt az N pontban, -t a pontban és -t az O pontban. Így P = M és Q = R, tehát a Q = P egyenlő szakaszokból az előbbi kettőt elhagyva azt kapjuk, hogy M = R. Másrészt M = N (mert M és N a beírt és az oldalhoz hozzáírt kör érintési pontjai) és N = O (külső pontból húzott két érintő), tehát O = R és így a kör a oldalt ugyanabban a pontban érinti, mint a háromszögben kívülről a oldalhoz írt kör. Másrészt ez a kör érinti a egyenest is, tehát egybeesik a háromszögben kívülről a oldalhoz írt körrel (a két körnek O közös pontja és a középpontjuk is ugyanaz, mivel illeszkedik a szög szögfelezőjére és O-ban a -re emelt merőlegesre). z azt jelenti, hogy az négyszögbe írható kör eladat. z háromszögben jelöljük I-vel a háromszögbe írható kör középpontját. izonyítsd be, hogy ha + I = + I, akkor a háromszög egyenlő szárú! 1.3. Megoldás. z első feladat alapján a megadott összefüggésből következik, hogy az I négyszög kör köré írható (ahol {} = I és {} = I ). z viszont azt jelenti, hogy a négyszög belső szögfelezői összefutó egyenesek. Másrészt az I felezi az szöget, tehát az I szöget is feleznie kell. Ugyanakkor m( I ) = 1 2 m(â) + 1 m( ) 2 és m(ĉi ) = 1 2 m(â) m(ĉ), tehát ha I felezi a I szöget, akkor m( ) = m(ĉ) vagyis az háromszög egyenlő szárú.

8 8 I 1.4. eladat. z háromszögben jelöljük I-vel a háromszögbe írható kör középpontját. Legyen { } = I és { } = I. Jelöljük továbbá P -vel, illetve Q-val a I és I háromszögekbe írható köröknek a I, illetve a I szakaszokkal való érintési pontjait. izonyítsd be, hogy ha P = Q, akkor =! 1.4. Megoldás. második feladat alapján a P = Q egyenlőség csakis akkor teljesülhet, ha az I négyszög kör köré írható. bben az esetben akárcsak az előbbi feladatnál az I négyszög szögfelezőinek van egy közös pontja. z csak akkor lehetséges ha I felezi a I szöget is vagyis ha m( ) = m(ĉ). I Q P 1.5. eladat. z háromszögben jelöljük G-vel a háromszög súlypontját. izonyítsd be, hogy ha + G = + G, akkor a háromszög egyenlő szárú! 1.5. Megoldás. z első feladat alapján a megadott egyenlőség pontosan akkor teljesül ha az G négyszögbe kör írható és ebben az esetben teljesül az + G = + G egyenlőség is. Ha ennek mindkét oldalát 2-vel szorozzuk és a kapott egyenlőségből kivonjuk a feltételben szereplő egyenlőség megfelelő oldalait, akkor a G = G egyenlőséghez

9 jutunk. Így a G háromszög egyenlő szárú, tehát G magasság is és oldalfelező is. miatt az magasság is és oldalfelező is az háromszögben, tehát egyenlő szárú. 9 G 1.6. Házi feladat. z háromszögben jelöljük G-vel a háromszög súlypontját és rendre,, -tel a,, illetve oldal felezőpontját. Jelöljük továbbá P -vel, illetve Q-val a G és G háromszögekbe írható köröknek a G, illetve a G szakaszokkal való érintési pontjait. izonyítsd be, hogy ha P = Q, akkor = Megoldás. második feladat alapján az G négyszög kör köré írható, tehát az első feladat alapján felírhatjuk, hogy + G = + G és + G = + G. kárcsak az előbbi feladat megoldása során ebből a két egyenlőségből következik, hogy G = G, tehát =. G Q P

10 Házi feladat. z háromszögben, és valamint, és egy O pontban összefutó egyenesek. izonyítsd be, hogy ha az O, O és O négyszögek közül kettőbe írható kör, akkor a harmadikba is írható kör! 1.7. Megoldás. Ha megadott négyszögek közül az első kettőbe írható kör, akkor + O = + O és tehát teljesül az + O = + O, + O = + O egyenlőség is. z első feladat alapján ebből következik, hogy a harmadik négyszög is kör köré írható. 2. Megjegyzés. z előbbi összefüggések alapján az O pont három hiperbola közös pontja és ilyen pont minden háromszögben létezik. K M O L 1.8. Házi feladat. z konvex négyszögben {} = és { } =. izonyítsd be, hogy annak szükséges és elégséges feltétele, hogy létezzen olyan kör, amely egyidejűleg érinti az és az meghosszabbítását valamint az és szakaszokat az, hogy teljesüljön az + = + egyenlőség Megoldás. szükségességhez használjuk, hogy külső pontból egy körhöz húzott két érintő hossza egyenlő, tehát + = + = + = + = = + = + = +.

11 11 I z elégségességet a lehetetlenre való visszavezetéssel igazolhatjuk, akárcsak az első két feladatnál, ha tekintjük azt a kört, amely érinti az meghosszabbítását, az szakaszt és az meghosszabbítását. hhez érintőt húzunk az pontból, amely az -t 1 -ben, az -t 1 -ben metszi. Így írhatjuk, hogy + 1 = + 1 és tehát + = +, ± 1 = 1 és ez ellentmondás. 3. Megjegyzés. z a feltétel azt mutatja, hogy az és az pontok ugyanazon az, fókuszpontú ellipszisen vannak. feltétel alapján ilyen négyszög szerkeszthető, ha felveszünk két tetszőleges és pontot egy ellipszisen, amelynek fókuszpontjai, illetve majd az, egyeneseknek az, egyenesekkel való metszéspontjaiként megszerkesztjük a és a pontokat. 4. Megjegyzés. kör I középpontján áthalad a, az, az, az valamint a szögek szögfelezője.

12 I 1.9. Házi feladat. z előbbi feladatból kiindulva fogalmazz meg és bizonyíts be az 1.7 feladathoz hasonló tulajdonságot (vagyis a négyszög oldalait érintő körök ne legyenek a négyszögek belsejében)! 1.9. Megoldás. z előbbi feladatban szerkeszthető kört nevezzük az négyszög oldalaihoz írt külső érintő körnek. Érvényes a következő tulajdonság: Ha az háromszögben O egy belső pont és az O, O, illetve O négyszögek közül kettőnek létezik az oldalaihoz írt külső érintő köre, akkor a harmadik négyszögnek is létezik. bizonyítás következik az előbbi feladatban igazolt jellemzésből. Ha az O és a O négyszögekre létezik külső érintő kör, akkor és + O = + O + O = + O. Kivonva a két egyenlőség megfelelő oldalait egymásból következik, hogy O O = vagyis +O = +O és az előbbi feladat alapján ebből következik, hogy a O négyszögre is létezik a külső érintő kör. 5. Megjegyzés. dott háromszögre egy ilyen O pont létezik.