Varga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Varga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010."

Átírás

1 Varga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló feladat tengeren léket kapott egy hajó, de ezt csak egy óra múlva vették észre. Ekkorra már 3 m 3 víz befolyt a hajóba. Rögtön mőködésbe hoztak egyszerre két szivattyút, az egyik óránként 2, a másik óránként 3 m 3 vizet távolít el. Mennyi idı alatt szivattyúzzák ki az összes vizet, ha a víz továbbra is ugyanúgy ömlik be, mint kezdetben? Megoldás: Ha x óra alatt távolítják el a vizet, akkor ez 5x m 3 víz volt.... x óra alatt azonban 3x m 3 víz jön, a már beömlött 3 m 3 -hez,... azaz vagyis 3x + 3 = 5x... x = 1,5 óra.... Valóban, 1,5 óra alatt ,5 = 7,5 m 3 vizünk lesz, amit a két szivattyú másfél óra alatt távolít el feladat Egy nem négyzet téglalap kerülete 2010 cm. téglalapot egy egyenessel két egybevágó téglalapra bontjuk. két darabból az eredeti téglalap területével megegyezı területő négyzetet állítottunk össze. Mekkora ez a terület? Megoldás: x y 2 sak a középvonal darabol a kívánt módon... s a kettı közül is csak a rövidebb téglalap oldallal párhuzamos.... Így 2(x + y) = 2010 és négyzetté rakva y 2x =...4 pont 2 azaz x = 201 cm... s a terület = cm 2....

2 3. feladat Hány olyan nél kisebb pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege 2? Megoldás: 2-nél nagyobb számjegye nem lehet.... Ha van 2-es számjegy, akkor csak 0 lehet a többi, azaz a 2, 20, 200,..., 2...0,... tehát 2010 darab jó számunk van.... Ha nincs 2-es jegye, akkor két 1-es kell legyen.... legfeljebb 2010 darab helyiérték közül kettın kell álljon az 1, ami = Összesen tehát 2009 db darab jó számunk van feladat Egy egyenlı szárú háromszög egyik oldala kétszer akkora, mint az oldalhoz tartozó magasság. Mekkorák a háromszög szögei? Megoldás: Két eset van. 1. eset: Ha az alaphoz tartozó magasság fele az alapnak, akkor az ábra háromszögében < = 45 o,... tehát háromszögünk szögei 45 o, 45 o, 90 o eset: Ha a szárhoz tartozik a magasság, akkor ez lehet belül vagy kívül, maga a szár nem lehet. z ábra háromszögében < = 30 o.... 2a 2a Így az háromszögben a 30 o, 75 o, 75 o os szögek vannak.... a 2a 2a Most < = 30 o, tehát...(1 helyett)!!! az háromszög szögei: 150 o, 15 o, 15 o....

3 5. feladat Öt versenyzı a verseny elıtt, amelyikben nincs holtverseny, nyilatkozik: : az elsı három között leszek; : megnyerem a versenyt; : megelızöm -t; : nem elızöm meg -t; E: vagy nyer. verseny után kiderült, egyiknek sem lett igaza. Mi a versenyben elért sorrendjük. Megoldás: = miatt a 4. vagy 5. helyezett.... Mivel =, így a sorrend... és reményeinek meghíusulása miatt csak után következhet.... z E = -bıl pedig nem lehet az elsı... vagyis csak E lehet a sorrend,... s ez a feltételeknek megfelel.... ármelyik feladat eredményének indoklás nélküli közlése ot ér. Több megoldásból csak egy (lehetıleg a jobbik) kaphat pontot. z útmutatóban közöltektıl eltérı, de kifogástalan indoklású megoldások egyenértékőek a bemutatott megoldásokkal. z elérhetı maximális pontszám 50 pont. z I. kategóriába tartozó versenyzık akiknek a kötelezı matematika óraszáma legfeljebb heti 4 óra dolgozatainak továbbküldési ponthatára 20 pont. II. kategóriába tartozó versenyzık akiknek a kötelezı matematika óraszáma több mint heti 4 óra dolgozatainak továbbküldési ponthatára 25 pont. továbbküldés nem feltétlenül jelent továbbjutást. továbbjutáshoz szükséges ponthatárt a versenybizottság állapítja meg. ténylegesen továbbjutott tanulókat a megyei szervezık értesítik. Kérjük a kollégákat, hogy feltőnıen írják rá a versenydolgozatokra, a tanuló neve mellé a megfelelı kategóriát! Köszönjük a munkájukat! Székesfehérvár, november Versenybizottság

4 Varga Tamás Matematikaverseny megyei forduló osztály I. kategória Megoldások 1. feladat Egy könyvkiadó könyvsorozatot készít. sorozat kötetei 7 évente jelennek meg. mikor a 7. kötet megjelent, akkor a hét kötet megjelenési évszámainak összege Melyik évben jelent meg az elsı kötet? Megoldás: ha az elsı kötet évszáma x,... úgy a következı hat kötet évszámai rendre x + 7, x + 14, x + 21, x + 28, x + 35, x megjelenési évszámok összege 7x = 13930,... azaz x = z elsı kötetet tehát az évben adták ki.... Ez valóban megoldás, mert = feladat z szabályos háromszög oldalának -n túli meghosszabbításán vegyük fel a pontot úgy, hogy = 2 teljesüljön. -bıl állítsunk merılegest az egyenesre, a merıleges talppontját T jelöli. T szakasz az oldalt E-ben metszi. Mekkora a ET négyszög és az háromszög területének az aránya? 1. megoldás: E háromszög egyenlı szárú, = E, mert a T szög 30 o és az E szög 120 o.... szabályosság miatt E felezi az oldalt,... T tehát ET fele az háromszög magasságának,... vagyis ET háromszög területe nyolcada az háromszög területének,... E 7 a keresett arány tehát megoldás: T derékszögő háromszög < -e 30 o,... F T E így a vele szemközti T befogó a átfogónak a fele, azaz 4 3 = T. Így az E-ben húzott, -vel párhuzamos EF középvonal, hiszen EF szabályos háromszög, azaz T = TF miatt T + TF = = az EF háromszög negyednyi területét ET felezi,... 7 vagyis a keresett arány.... 8

5 3. feladat Három prímszám szorzata egyenlı e három prím összegének háromszorosával. Melyek ezek a prímek? 1. megoldás: Jelölje p, q, r a három (nem feltétlenül különbözı) prímet. feltétel szerint pqr = 3(p + q + r)... jobb oldal 3-többszörös, így a vele egyenlı bal is, tehát feltehetı p = Fenti egyenletünk így qr = q + r q és r egyike sem lehet 5-nél nagyobb, hiszen akkor qr 7r > r + 10, azaz 6r > 10, hiszen r 2... Ha q = 5, akkor egyenletünkbıl 5r = 5 + r + 3, azaz 4r = 8, r = 2... ami megoldás, hiszen ( ) 3 = Ha q = 3, akkor 3r = 3 + r + 3, azaz r = 3... mi valóban megoldás, mert 3 ( ) = megoldás: Induljunk ki a qr = q + r + 3 ból...4 pont ezt a qr q r + 1 = = 4 alakra hozva... a (q 1)(r 1) = 4 egyenletet kapjuk.... bal oldal két pozitív egész szorzata, tehát q 1 = 1 és r 1 = 4 vagy q 1 = 2 és r 1 = 2... Ezekbıl a (2; 3; 5) illetve (3; 3; 3) megoldás adódik megoldás: fenti qr = q + r + 3 ból...4 pont q + 3 (q 1)r = q + 3, amibıl q > 1 miatt r = teljesül... q 1 q + 3 q r pozitív egész, s így r = = = 1 + -ben q 1 q 1 q 1 q 1 a 4 pozitív osztóiból kell kikerüljön, azaz q = 5, q = 3, vagy q = Ezek rendre az r = 2; r = 3 vagy r = 5 korábban nyert megoldásokat adják feladat z háromszög oldalának tetszıleges belsı pontjában párhuzamosokat húzunk az illetve az oldalakkal. izonyítsuk be, hogy ezen oldalakon levı P és R metszéspontoknak a egyenestıl való távolságösszege az -ból induló magasság hosszával egyenlı! 1. megoldás: z PR négyszög paralelogramma, mivel 2-2 oldala párhuzamos.... Ha tehát az R pontra illesztünk egy -vel párhuzamost,... R P akkor az -nak ettıl való távolsága éppen a P-nek -tıl való távolságát adja,... tehát az állítás igaz, mert az -beli magasság éppen a két távolság összegével egyenlı....

6 2. megoldás: z PR paralelogramma átlói felezik egymást.... RP átló felezı pontja legyen F. z R és P távolságai -tıl egy trapéz két alapját adják, míg az F távolsága -tıl e trapéz középvonala,... melyrıl tudjuk, hogy a két alap összegének a fele.... F az -nek is felezıje,... így az -beli magasság valóban P és R távolságainak az összege feladat 8. osztály az egyik év valamelyik hónapjának 15. napján kirándulni ment. Tudjuk, hogy e hónapban három vasárnap dátuma páros szám. hét mely napján kirándult az osztály? Megoldás: legkisebb páros számú dátum a 2. Ez jó is lehet,... mert két hétre rá 16-odika, erre két hétre 30-adika van.... Ez esetben szombaton kirándultak.... Ha az elsı páros dátumú vasárnap legalább 4-edikére esik,... akkor a két hétre rá következı vasárnap legalább 18-adika,... az erre következı második vasárnap már a hónap legalább 32-edik napja lenne, ami lehetetlen.... ármelyik feladat eredményének indoklás nélküli közlése ot ér. Több megoldásból csak egy (lehetıleg a jobbik) kaphat pontot. z útmutatóban közöltektıl eltérı, de kifogástalan indoklású megoldások egyenértékőek a bemutatott megoldásokkal. z elérhetı maximális pontszám 50 pont. z I. kategóriába tartozó versenyzık akiknek a kötelezı matematika óraszáma legfeljebb heti 4 óra dolgozatainak továbbküldési ponthatára 25 pont. továbbküldés nem feltétlenül jelent továbbjutást. továbbjutáshoz szükséges ponthatárt a versenybizottság állapítja meg, s errıl a megyei szervezık értesítést kapnak. Kérjük a kollégákat, hogy feltőnıen írják rá a versenydolgozatokra, a tanuló neve mellé a megfelelı kategóriát! Köszönjük a munkájukat! Székesfehérvár, január Versenybizottság

7 Varga Tamás Matematikaverseny megyei forduló osztály II. kategória Megoldások 1. feladat Egy iskolai sakkversenyen mindenki mindenkivel egyszer játszik. Eddig 90 mérkızés zajlott le és még mindenkinek két mérkızése van hátra. Hányan játszanak a versenyen? Megoldás: Ha n játékosnak 2 mérkızéssel kevesebbje van, akkor eddig n 3 játékot játszott mérkızés mindegyikét 2 játékos játssza, tehát n( n 3) = 90, azaz... 2 n(n-3) = n-3 és n egyaránt pozitív egészek és 180 = ,... amit csak egyféleképpen lehet két tényezıre úgy bontani, hogy az egyik 3-mal több a másiknál en ültek asztalhoz, s 12 játszmát váltott mindegyikük feladat z O középpontú körnek O-tól különbözı belsı pontja a P. körvonal mely K pontjára lesz az OKP szög a legnagyobb? 1. megoldás: z OKP szög akkor és csak akkor a legnagyobb, K P O L ha a KOL középponti szög a legkisebb.... Mivel kisebb középponti szöghöz kisebb húr tartozik,... ezért a KL húr akkor a legkisebb, ha O-tól a legtávolabb van.... P-n átmenı húrok közül az OP-re merıleges húr a legrövidebb, mert minden más P-n átmenı húrra OP nem merıleges, lévén átfogója egy olyan derékszögő háromszögnek, amelynek egyik befogója a húrnak O-tól való távolságát méri.... Így az OP-re merıleges, P-n átmenı húr két végpontja adja a keresett K pontokat megoldás: P-n átmenı húrok fele befogója egy olyan derékszögő háromszögnek, amelynek átfogója mindig körsugárnyi.... (Thales miatt a P-n átmenı húr és a megfelelı átfogó ad egy derékszögő háromszöget) z azonos átfogójú derékszögő háromszög egyik hegyesszöge melletti befogó annál kisebb, minél nagyobb ez a hegyesszög....4 pont P-n átmenı húrok közül az OP-re merıleges a legrövidebb, az ilyen húr két végpontja adja a keresett K pontokat....

8 3. feladat z elsı 500 pozitív egész szám közül melyek azok, amelyek mindegyikének pontosan 9 pozitív osztója van? 1. megoldás: Ismert, hogy az osztók számát a szám prímtényezıinek hatványkitevıibıl is megkaphatjuk = 1 9 = 3 3, amely felbontásban a tényezık mindegyike a kitevık eggyel növeltje... n 0 = 1 és a szám 500-nál kisebb volta miatt csak a 2 8 = 256 jöhet számításba.... p 2q 2 = (pq) = 484, tehát csak a 23, 25, 27, 211, 35, 37, négyzetei adnak megoldást....4 pont Így hét megfelelı szám van: 36, 100, 196, 225, 256, 441, megoldás: feltételeknek csak négyzetszám tehet eleget a 9 = 1 9 = 3 3 miatt > 500 miatt elég az elsı 22 négyzetszámból kiszőrni a megfelelıket.... z 1 és a 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, számok négyzetei kiesnek, mert legfeljebb 3 osztójuk van.... maradék 13 négyzetszámból kiesik a 4 2, 8 2, 9 2, 12 2, 18 2, 20 2, mert 9-nél kevesebb illetve több osztója van.... megmaradt hét 6 2, 10 2, 14 2, 15 2, 16 2, 21 2, 22 2 megfelel Húzzuk be az téglalap átlóját. z derékszögő háromszög beírt körének K középpontjából bocsássunk merılegest a és a oldalakra, e merılegesek talppontjai legyenek rendre az L és az M. Mekkora a KLM és az téglalapok területének az aránya? 1. megoldás: KTQ háromszög egybevágó MQ háromszöggel, mert mindkettı derékszögő, Q K M T P L Q-nál levı szögeik csúcsszögek és KT = M = a beírt kör sugara....4 pont Ugyanígy KTP egybevágó PL -gel, mert P-nél csúcsszögek vannak és KT = L = kör sugár....4 pont KLM tehát fele területő....2pont 2. megoldás: Ha = a, = b, akkor T = ab,... b-r r r b-r K a-r a-r T KLM = (a-r)(b-r),... ha r a beírt kör sugara. külsı pontbeli érintıszakaszok egyenlıségébıl a-r + b-r = c... (ez K csúcsú háromszögek területösszegébıl is nyerhetı!) Ennek négyzetébıl a 2 + b 2 = c 2 miatt -2ar + r 2 2br + r 2 + 2(a-r)(b-r) = 0,... a + b c a + b + c ab vagyis (a-r)(b-r) = r(a + b r) = = tehát félterülettel van dolgunk....

9 5. feladat Egy kerek asztal körül 4 férfi és 4 nı ül. izonyítsuk be, hogy van négy egymás mellett ülı úgy, hogy közöttük ugyanannyi a nı, mint férfi! Megoldás: Ha négy férfi egymás mellett ül (a kerek asztal 1, 2, 3, 4 sorszámú székén), akkor 5. és 6. széken nı ül, tehát a 3., 4., 5., 6. széken ülık kielégítik a követelményeket.... Ha nincs négy férfi egymás mellett, de három igen, az 1., 2., 3. széken, akkor a 4. és 5. illetve a 7. és 8. székeken legfeljebb egy férfi lehet. Ha az elıbbin, akkor a 7., 8., 1. és 2. széken ülık, ha az utóbbin, akkor a 2., 3., 4. és 5. széken ülık teljesítik kötelességüket.... Ha van két férfi akik egymás mellett ülnek, az 1.és 2. székeken de három ilyen nincs, akkor a 3. és 8. széken egyaránt nık ülnek. Ha a 4. vagy 7. széken nı ül, készen vagyunk,... ha itt férfiak ülnek, akkor az 5. és 6. széken nı ül, tehát a 2., 3., székek hozzák a kívánt férfi-nı arányt.... Végül, ha nincs két férfi szomszédos széken, akkor bármely négy egymást követı széken 2 férfi és 2 nı ül.... ármelyik feladat eredményének indoklás nélküli közlése ot ér. Több megoldásból csak egy (lehetıleg a jobbik) kaphat pontot. z útmutatóban közöltektıl eltérı, de kifogástalan indoklású megoldások egyenértékőek a bemutatott megoldásokkal. z elérhetı maximális pontszám 50 pont. II. kategóriába tartozó versenyzık akiknek a kötelezı matematika óraszáma több mint heti 4 óra dolgozatainak továbbküldési ponthatára 25 pont. továbbküldés nem feltétlenül jelent továbbjutást. továbbjutáshoz szükséges ponthatárt a versenybizottság állapítja meg, s errıl a megyei szervezık értesítést kapnak. Kérjük a kollégákat, hogy feltőnıen írják rá a versenydolgozatokra, a tanuló neve mellé a megfelelı kategóriát! Köszönjük a munkájukat! Székesfehérvár, január Versenybizottság

10 Varga Tamás Matematikaverseny országos döntı osztály I. kategória megoldások 1. feladat Egy üres tartályba egy csapon át percenként 600 liter, 30%-os narancslé ömlik. Háromnegyed óra múlva egy másik csapot is megnyitnak, ezen percenként 800 liter, 40%-os narancslé folyik be. z elsı csap megnyitásától számítva mennyi idı múlva lesz a tartályban a narancslé 35 %-os? Megoldás: x perc alatt: 600x0, (x 45)0,40 = 0,35(600x + 800(x 45)) kell legyen. Ebbıl x = 180 perc azaz 3 óra alatt lesz 35 %-os narancslénk. Valóban: , ,40 = = pont 4 pont 2. feladat Három egybevágó húrtrapézból az szabályos háromszöget állítottuk elı az ábra szerint. F z háromszög magassága a trapéz magasságának 6-szorosa. Mekkora a EF háromszög területe, ha tudjuk, hogy a trapézok területe 1 cm 2? E Megoldás: forgásszimmetria miatt EF szabályos és ugyanezért az, E, F egyenesek mindkét szabályos háromszögben magasságok. z átfogójú < = 30 o -os háromszög magassága a trapéz magassága is, és fele = F = E nek. EF magassága tehát fele az magasságának. a a + Így T E = 2 3 m = am =1; TEF = 33m = Második megoldás átdarabolással: F E

11 3. feladat Hány pozitív köbszám osztója van az = 3! 5! 7! számnak? (köbszám: egy pozitív egész szám harmadik hatványa; n! = n, azaz az elsı n pozitív egész szám szorzata) Megoldás: = = így a köbszám osztók: 1, 2 3, 2 6, 3 3, és (1-) 6 pont vagyis hat pozitív köbszám osztónk van. 4. feladat z hegyesszögő háromszög csúcsából induló belsı szögfelezıjére a csúcsból állított merıleges talppontja, a oldal felezıpontja pedig F. Mekkora a F szakasz, ha = 28 cm és = 38 cm? Megoldás: F α α Jó ábra szögfelezı szimmetriatengely voltából következıen a egyenes az -t olyan G pontban metszi, melyre G = = 28, tehát G = 10 cm. 2 + F a G-ben középvonal tehát G = 10 cm fele, azaz 5 cm. 5. feladat Egy 2011 x 2011-es táblázat minden mezıjébe +1 -et vagy 1 -et írunk. Ezután minden sor mellé és minden oszlop alá leírjuk az adott sorban, illetve oszlopban szereplı számok szorzatát. Végül az így kapott 4022 darab számot összeadjuk. Kaphatunk-e összegként: a) 2011-et; b) 2010-et; c) nullát? Megoldás: Ha minden mezıbe +1-et írunk, akkor 4022 lesz a végösszeg Egy mezıbeli +1 vagy (-1) helyére ellentettjét téve a végösszeg 4-gyel változik, vagy nem változik (a mezı sora és oszlopa vált elıjelet) így 4022-bıl 2011-et vagy 0-t sohasem kaphatunk viszont többféleképpen is nyerhetı Pl: -1, -1, -1,..., -1, 1, 1, 1,...,1 egy sorban 1006 helyen többi mezıbe helyen

12 Varga Tamás Matematikaverseny országos döntı osztály II. kategória megoldások 1. feladat Egy futóversenyen ndrást ugyanannyian elızték meg, mint ahány versenytársát ı megelızte. Ez utóbbi csoportban volt éla is, aki a 10. lett. saba lett a 16. Hányadik lett ndrás, ha holtverseny nem volt? Megoldás: feltételek szerint egyrészt páratlan sok versenyzınk van, másrészt saba helyezése miatt legalább 17-en. éla helyezése miatt ndrás legfeljebb 9-edik, mi meg is felel a feltételeknek, azaz ndrás 9. lett. 2. feladat Két egymást érintı, egyenlı sugarú kör érintési pontján át, rajzoljunk egy ugyanolyan sugarú kört tetszıleges középponttal. izonyítsuk be, hogy ez utóbbi kört az elızı két kör (eltekintve az érintési ponttól) egy átmérıjének két végpontjában metszi! Megoldás: O 1 F E O 3 O 2 G z O 1, O 2 körközepek és E érintési pontjuk egy egyenesen van. z O 3 közepő körön levı metszéspontjukat F ill. G jelöli. z O 1 EO 2 F rombusz mert oldalai egyenlık. Ugyanezért EO 2 GO 3 is Így FO 3 O 1 E és O 3 G EO 2 ám O 1, E, O 2 kollineáris, tehát F, O 3, G is. 3. feladat Hány olyan hatjegyő szám képezhetı az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekbıl, amelyekben mindegyik számjegy pontosan egyszer szerepel, és bármely két szomszédos számjegy szorzata páros szám? Megoldás: Két egész szorzata akkor és csak akkor páros, ha legalább egyikük páros. Ha páros, páratlan egymást váltva követik egymást, úgy az elsı jegy páros vagy páratlan lehet, s ez 2 (3!) 2 = 72 hatjegyőt ad. 2 + Lehetséges egymás mellett két páros, de három már nem, különben két páratlan is szomszédos lenne. három páratlan csak az elsı harmadik és hatodik vagy az elsı negyedik és hatodik számjegy lehet, ami további 72 hatjegyőt, összesen így 144 hatjegyőt jelent. 2 +

13 4. feladat b c a d Egy 3 cm sugarú kör két húrja merıleges egymásra. Egyikük a kör középpontjától 1 cm-re, a másik 2 cm-re van. keletkezett 4 rész területét az ábra szerint rendre a, b, c, és d jelöli. Hány cm 2 az (a + c) (b + d) különbség? Megoldás: c z x y c z z ábrát a kör közepére tükrözve, z egybevágó részeket azonosan jelölve (a + c) (b + d) = (x + c + z + y + c) (z + c + x + c) = y 4 pont ami egy 2 és 4 cm oldalú téglalap, melynek területe 2 4 = 8 cm 2. c x c 5. feladat a) Megadható-e olyan 100 tagú számsorozat, amelyben bármely 3 szomszédos szám összege negatív, de a 100 szám összege pozitív? b) Megadható-e 100 szám az ábra szerint felírva egy körvonalra úgy, hogy bármely három szomszédos szám összege negatív, de a 100 szám összege pozitív? Megoldás: a) Igen Pl: 35, -18, -18,..., 35 a 100 a 99 a 3 a 51 a 1 a 50 a 2 a 49 a 4 33-szor b) Nem. Indirekt okoskodunk: mert a 100 szám összege pozitív, viszont 100 ( 2 1 a i + ai+ 1 + ai+ ) < 0 a 101 = a1, a102 = a2 miatt a i < 0, ami ellentmondás.

3. feladat Hány olyan nél kisebb pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege 2?

3. feladat Hány olyan nél kisebb pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege 2? Varga Tamás Matematikaverseny iskolai forduló 2010. 1. feladat A tengeren léket kapott egy hajó, de ezt csak egy óra múlva vették észre. Ekkorra már 3 m 3 víz befolyt a hajóba. Rögtön mőködésbe hoztak

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Országos döntő, 1. nap - 015. május 9. ÖTÖDIK OSZTÁLY - ok 1. Egy háromjegyű szám középső számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk. A két szám összege

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 8. EMELT SZINT I. 1) Egy 011-ben készült statisztikai összehasonlításban az alábbiakat olvashatjuk: Ha New York-ban az átlagfizetést és az átlagos árszínvonalat egyaránt

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2007. NOVEMBER 24.) 3. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2007. NOVEMBER 24.) 3. osztály 3. osztály Anna, Béla és Csaba összesen 36 diót talált a kertben. Annának és Bélának együtt 27, Bélának és Csabának együtt 19 diója van. Mennyi diót találtak külön-külön a gyerekek? Gondoltam egy kétjegyű

Részletesebben

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 2008 április 11 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti keretbe írja!

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Anna, Béla és Csaba összesen 36 diót talált a kertben. Annának és Bélának együtt 27, Bélának és Csabának együtt 19 diója van. Mennyi diót találtak külön-külön a gyerekek? A 36 dióból 27 Annáé

Részletesebben

Varga Tamás Matematikaverseny 7. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010.

Varga Tamás Matematikaverseny 7. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010. Varga Tamás Matematikaverseny 7. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 010. 1. feladat Kata egy dobozban tárolja 0 darab dobókockáját. Mindegyik kocka egyszínő, piros, fehér, zöld vagy fekete.

Részletesebben

KUNHEGYESI REFORMÁTUS ÁLTALÁNOS ISKOLA

KUNHEGYESI REFORMÁTUS ÁLTALÁNOS ISKOLA KUNHEGYESI REFORMÁTUS ÁLTALÁNOS ISKOLA 5340 Kunhegyes, Kossuth Lajos u. 64 /Fax: 59/325-230 E-mail: reftitk@kunhegyes.hu A KUNHEGYESI REFORMÁTUS ÁLTALÁNOS ISKOLA INTÉZMÉNYI MINİSÉGIRÁNYÍTÁSI PROGRAMJA

Részletesebben

KöMaL C-gyakorlatok 345 929

KöMaL C-gyakorlatok 345 929 KöMaL C-gyakorlatok 345 99 C.345. Az esızések miatt pincénk megtelt vízzel. A víz eltávolítására beállítottak három szivattyút. Egyedül az elsı szivattyúval 3 óra alatt lehetne a vizet kiemelni a pincébıl,

Részletesebben

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

VI.7. RÁCSODÁLKOZÁS. A feladatsor jellemzői

VI.7. RÁCSODÁLKOZÁS. A feladatsor jellemzői VI.7. RÁSOÁLKOZÁS Tárgy, téma feladatsor jellemzői háromszögek, négyszögek területe rácssokszögek segítségével. Előzmények él terület fogalma. már ismert terület fogalom (főképp a háromszög és a négyszögek

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

1. A MÁSODIK OSZTÁLYBAN TANULTAK ISMÉTLÉSE

1. A MÁSODIK OSZTÁLYBAN TANULTAK ISMÉTLÉSE 1. A MÁSODIK OSZTÁLYBAN TANULTAK ISMÉTLÉSE 1. Írd le számokkal! Hat, tizenhat,,hatvan, hatvanhat, ötven, száz, tizenhét, húsz nyolcvankettı, nyolcvanöt. 2. Tedd ki a vagy = jelet! 38 40 2 42 50+4

Részletesebben

Mérlegjegy. Szécsy Számítástehnika 4080 Hajdúnánás, Ady krt. 21. www.szecsy.hu info@szecsy.hu 06 30 34 54 101 06 52 381 163

Mérlegjegy. Szécsy Számítástehnika 4080 Hajdúnánás, Ady krt. 21. www.szecsy.hu info@szecsy.hu 06 30 34 54 101 06 52 381 163 #$K+ Mérlegjegy Szécsy Számítástehnika 4080 Hajdúnánás, Ady krt. 21. www.szecsy.hu info@szecsy.hu 06 30 34 54 101 06 52 381 163 Mérés A szoftver használata elıtt a segédlet menü Beállítások pontban a felhasználó

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint)

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) (ESZÉV 2004.minta III./7) Egy négyoldalú gúla alaplapja rombusz. A gúla csúcsa a rombusz középpontja felett van, attól 82 cm távolságra. A rombusz oldalának hossza

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Alfa tanár úr 5 tanulót vizsgáztatott matematikából. Az elért pontszámokat véletlen sorrendben írta

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 10. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/4365-1/008. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.

Részletesebben

23. Kombinatorika, gráfok

23. Kombinatorika, gráfok I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta

Részletesebben

Szakdolgozat. Pongor Gábor

Szakdolgozat. Pongor Gábor Szakdolgozat Pongor Gábor Debrecen 2009 Debreceni Egyetem Informatikai Kar Egy kétszemélyes játék számítógépes megvalósítása Témavezetı: Mecsei Zoltán Egyetemi tanársegéd Készítette: Pongor Gábor Programozó

Részletesebben

ELLENİRIZD, HOGY A MEGFELELİ ÉVFOLYAMÚ FELADATSORT KAPTAD-E!

ELLENİRIZD, HOGY A MEGFELELİ ÉVFOLYAMÚ FELADATSORT KAPTAD-E! Varga Tamás Matematikaverseny iskolai forduló 2010. 1. feladat Kata egy dobozban tárolja 20 darab dobókockáját. Mindegyik kocka egyszínő, piros, fehér, zöld vagy fekete. 17 kocka nem zöld, 12 nem fehér,

Részletesebben

A Michelson-Morley kísérlet gyökeres átértékelése

A Michelson-Morley kísérlet gyökeres átértékelése A Michelson-Morley kísérlet gyökeres átértékelése Az [1]-ben több évnyi irányvesztett bolyongás után végre sikerült rálelni a Dobó-féle dimenziótlan k D (vagy a vele lényegileg egyenértékő, modellünkben

Részletesebben

EF-090 ERGO TGR Befektetési egységekhez kötött Életbiztosítások Általános Feltételei

EF-090 ERGO TGR Befektetési egységekhez kötött Életbiztosítások Általános Feltételei EF-090 ERGO TGR Befektetési egységekhez kötött Életbiztosítások Általános Feltételei Tartalomjegyzék 1. A szerzıdéssel kapcsolatos fogalmak 2. Általános rendelkezések 3. A biztosítási szerzıdés alanyai

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket!

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! ) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! 4 c) d) e) f) 9k + 6k l + l = ay + 7ay + 54a = 4 k l = b 6bc + 9c 4 + 4y + y 4 4b 9a évfolyam javítóvizsgára ) Végezd el az alábbi műveleteket és hozd a

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára Feladatok MATEMATIKÁBÓL a. évfolyam számára I.. Egy 35 fős osztályból mindenki részvett valamelyik iskolai kiránduláson. 5-en Debrecenbe utaztak, 8-an pedig Pécsre. Hányan utaztak mindkét városba?. Állapítsa

Részletesebben

Nem teljesen nyilvánvaló például a következı, már ismert következtetés helyessége:

Nem teljesen nyilvánvaló például a következı, már ismert következtetés helyessége: Magyarázat: Félkövér: új, definiálandó, magyarázatra szoruló kifejezések Aláhúzás: definíció, magyarázat Dılt bető: fontos részletek kiemelése Indentált rész: opcionális mellékszál, kitérı II. fejezet

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

Alkatrészek tőrése. 1. ábra. Névleges méret méretszóródása

Alkatrészek tőrése. 1. ábra. Névleges méret méretszóródása 1. Alapfogalmak Alkatrészek tőrése Névleges méretnek nevezzük a munkadarab nagyságrendjének jellemzésére szolgáló alapméretet, ez a mőszaki rajzon minden esetben feltüntetésre kerül. Tőrés használatának

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAFELVÉTELI a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA PRÓBAFELVÉTELI a 8. évfolyamosok számára MEGOLDÓKULCS MATEMATIKA PRÓBAFELVÉTELI a 8. évfolyamosok számára 2012. december 17. 10:00 óra NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tollal dolgozz! Zsebszámológépet nem asználatsz. A feladatokat tetszés szerinti

Részletesebben

Nemzetközi Floorball Szövetség. Játékszabályok. Nemzetközi Floorball Szövetség, Szabály- és Versenybizottság. Nemzetközi Floorball Szövetség 2006.

Nemzetközi Floorball Szövetség. Játékszabályok. Nemzetközi Floorball Szövetség, Szabály- és Versenybizottság. Nemzetközi Floorball Szövetség 2006. Nemzetközi Floorball Szövetség Játékszabályok Szabályok és értelmezésük Érvényes július 1-tıl Magyarországon érvényes 2007. augusztus 1-tıl Nemzetközi Floorball Szövetség, Szabály- és Versenybizottság

Részletesebben

Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály

Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály SZENT ISTVÁN RÓMAI KATOLIKUS ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS ÓVODA 5094 Tiszajenő, Széchenyi út 28. Tel.: 56/434-501 OM azonosító: 201 669 Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály 1. Hányféleképpen lehet

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2007. október 25. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2007. október 25. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. október 25. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2007. október 25. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030

Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030 Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030 2. téma Feltételes valószínőség, függetlenség Példák feltételes valószínőségekre. Feltételes valószínőség definíciója.

Részletesebben

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik 1991. évi verseny, 1. nap 1. Számold össze, hány pozitív osztója van 16 200-nak! 2. Bontsd fel a 60-at két szám összegére úgy, hogy az egyik szám hetede egyenlő legyen a másik szám nyolcadával! 3. Van

Részletesebben

1. A testek csoportosítása: gúla, kúp

1. A testek csoportosítása: gúla, kúp TÉRGOMTRI 1. testek csoportosítása: gúla, kúp Keressünk a környezetünkben gömböket, hengereket, hasábokat, gúlákat, kúpokat! Keressük meg a fenti képen az alábbi testeket! gömb egyenes körhenger egyenes

Részletesebben

Iktató szám: 88 / 2013. Tárgy: KHESZ Versenykiírás 2013.

Iktató szám: 88 / 2013. Tárgy: KHESZ Versenykiírás 2013. Körösvidéki Horgász Egyesületek Szövetsége 5 6 0 0 B é k é s c s a b a, B a j z a u t c a 1 1. T e l. : 6 6 / 3 2 8-9 4 5 ; f a x : 6 6 / 3 2 3-5 1 2 M a i l : k h e s z @ m a i l. g l o b o n e t. h u

Részletesebben

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória 2005. január 12. feladatok kidolgozására két óra áll rendelkezésre. Számológép nem használható. példák tetszőleges sorrendben megoldhatók.

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné tankönyv 5 Mozaik Kiadó Szeged, 2013 A TERMÉSZETES SZÁMOK 13. A szorzat változásai Az iskolai könyvtáros 10

Részletesebben

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2013. május 7. 8:00. Időtartam: 45 perc EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2013. május 7. 8:00. Időtartam: 45 perc EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 7. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2013. május 7. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

BALATONSZENTGYÖRGY KÖZSÉGI ÖNKORMÁNYZAT KÉPVISELİ-TESTÜLETÉNEK. 2. számú JEGYZİKÖNYVE HATÁROZATAI

BALATONSZENTGYÖRGY KÖZSÉGI ÖNKORMÁNYZAT KÉPVISELİ-TESTÜLETÉNEK. 2. számú JEGYZİKÖNYVE HATÁROZATAI BALATONSZENTGYÖRGY KÖZSÉGI ÖNKORMÁNYZAT KÉPVISELİ-TESTÜLETÉNEK 2. számú JEGYZİKÖNYVE HATÁROZATAI 24/2007. (III.1.) kt. határozat: A 2007. március 1-i ülés napirendjének elfogadása. 25/2007. (III.1.) kt.

Részletesebben

σhúzó,n/mm 2 εny A FA HAJLÍTÁSA

σhúzó,n/mm 2 εny A FA HAJLÍTÁSA A FA HAJLÍTÁSA A fa hajlítása a fa megmunkálásának egyik igen fontos módja. A hajlítás legfıbb elınye az anyagmegtakarítás, mivel az íves alkatrészek elıállításánál a kisebb keresztmetszeti méretek mellett

Részletesebben

ÓRAREND SZERKESZTÉS. Felhasználói dokumentáció verzió 2.5. Budapest, 2011.

ÓRAREND SZERKESZTÉS. Felhasználói dokumentáció verzió 2.5. Budapest, 2011. Felhasználói dokumentáció verzió 2.5. Budapest, 2011. Változáskezelés Verzió Dátum Változás Pont Cím Oldal Felületi színezések (terem, vagy oktatóhiány 2.1 2009.05.04. 2.13. színezése fel volt cserélve,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Tisztelt Elnök Úr! Tisztelt Képviselı Hölgyek és Urak! Tisztelt Miniszter Úr!

Tisztelt Elnök Úr! Tisztelt Képviselı Hölgyek és Urak! Tisztelt Miniszter Úr! Ülésnap Napirend Felszólaló Az Állami Számvevőszék elnökének expozéja - A Magyar Köztársaság 2011. 2010. évi költségvetésének végrehajtásáról szóló törvényjavaslatról és a Domokos László szeptember 20.

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Erıforrástérkép felhasználói kézikönyv 1.0

Erıforrástérkép felhasználói kézikönyv 1.0 Erıforrástérkép felhasználói kézikönyv 1.0 Budapest, 2010. november 18. Az MTA Közgazdaságtudományi Intézet alapvetı feladata közgazdasági alapkutatások és az ezekhez kapcsolódó alkalmazott kutatások végzése,

Részletesebben

14-469/2/2006. elıterjesztés 1. sz. melléklete. KOMPETENCIAMÉRÉS a fıvárosban

14-469/2/2006. elıterjesztés 1. sz. melléklete. KOMPETENCIAMÉRÉS a fıvárosban KOMPETENCIAMÉRÉS a fıvárosban 2005 1 Tartalom 1. Bevezetés. 3 2. Iskolatípusok szerinti teljesítmények.... 6 2. 1 Szakiskolák 6 2. 2 Szakközépiskolák. 9 2. 3 Gimnáziumok 11 2. 4 Összehasonlítások... 12

Részletesebben

Algebrai és transzcendens számok

Algebrai és transzcendens számok MATEMATIKA Szakköri füzet Algebrai és transzcenens számok Készítette: Klement Anrás 00 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok Bevezetés A szakköri füzetben áttekintjük a számhalmazokat és új szempont

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0814 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Vállalati és lakossági lekérdezés. Szécsény Város Polgármesteri Hivatala számára

Vállalati és lakossági lekérdezés. Szécsény Város Polgármesteri Hivatala számára Vállalati és lakossági lekérdezés Szécsény Város Polgármesteri Hivatala számára Dátum: 2010 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 I Az adatfelvétel eredményeinek bemutatása... 3 I.1 A vállalati, illetve

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

Halmazelmélet. Halmazok megadása

Halmazelmélet. Halmazok megadása Halmazok megadása Halmazelmélet 145. Amikor a halmazt körülírással vagy valamilyen tulajdonságával adjuk meg, bármilyen elemrôl egyértelmûen el kell tudnunk dönteni, hogy beletartozik a halmazba vagy sem.

Részletesebben

SA 123 Elsı kártyajátékaim

SA 123 Elsı kártyajátékaim 1 SA 123 Elsı kártyajátékaim A klasszikus francia kártya ábráit kedves állatalakok helyettesítik: kutyák, macskák, nyulak és egerek. Az egyszerősített játékszabályokkal könnyedén megtanulhatják a kicsik

Részletesebben

TÉZISEK. Közszolgáltatások térbeli elhelyezkedésének hatékonyságvizsgálata a földhivatalok példáján

TÉZISEK. Közszolgáltatások térbeli elhelyezkedésének hatékonyságvizsgálata a földhivatalok példáján Széchenyi István Egyetem Regionális és Gazdaságtudományi Doktori Iskola Budaházy György TÉZISEK Közszolgáltatások térbeli elhelyezkedésének hatékonyságvizsgálata a földhivatalok példáján Címő Doktori (PhD)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

3. Geometria. I. Feladatok

3. Geometria. I. Feladatok 3. Geometria I. Feladatok 1. Egy körben adott két, egymásra merőleges átmérő. Az egyik végpontból húzott húrt a másik átmérő 2 és 4 egység hosszú szakaszokra bontja. Mekkora a kör sugara? Kalmár László

Részletesebben

Statisztikai módszerek

Statisztikai módszerek Statisztikai módszerek A hibaelemzı módszereknél azt néztük, vannak-e kiugró, kritikus hibák, amelyek a szabályozás kivételei. Ezekkel foglalkozni kell; minıségavító szabályozásra van szükség. A statisztikai

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

37/2003. (X. 29.) IM rendelet

37/2003. (X. 29.) IM rendelet 1. oldal 37/2003. (X. 29.) IM rendelet a közjegyzıi ügyvitel szabályairól A közjegyzıkrıl szóló 1991. évi XLI. törvény 183. -ának d) pontjában kapott felhatalmazás alapján a következıket rendelem el: I.

Részletesebben

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2012 13-as tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a javító

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

A HB EURO KÁR- ÉS JOGVÉDELEM-BIZTOSÍTÁS FELTÉTELEI

A HB EURO KÁR- ÉS JOGVÉDELEM-BIZTOSÍTÁS FELTÉTELEI A HB EURO KÁR- ÉS JOGVÉDELEM-BIZTOSÍTÁS FELTÉTELEI A biztosító jelen biztosítás keretében a biztosítási díj ellenében megtéríti a harmadik személy által a megjelölt országok területén okozott és a biztosított

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI A Gyakorló feladatsor I. megoldásai Számadó László (Budapest)

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI A Gyakorló feladatsor I. megoldásai Számadó László (Budapest) NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI A Gyakorló feladatsor I. megoldásai Számadó László (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre bontása csak ott lehetséges,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2006. február 21. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 113 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Egy asztal körül 24-en ülnek, mindannyian mindig igazat mondanak. Minden lány azt mondja, hogy a közvetlen szomszédjaim közül pontosan az egyik fiú, és minden fiú azt mondja, hogy mindkét közvetlen

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat

Bolyai János Matematikai Társulat Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL

MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL Tizedes törtek írása, olvasása, összehasonlítása 7. a) Két egész hét tized; kilenc tized; három egész huszonnégy század; hetvenkét század; öt egész száztizenkét ezred; ötszázhetvenegy

Részletesebben

ÍRÁSBELI KIVONÁS. 31. modul. Készítette: KONRÁD ÁGNES

ÍRÁSBELI KIVONÁS. 31. modul. Készítette: KONRÁD ÁGNES Matematika A 3. évfolyam ÍRÁSBELI KIVONÁS 31. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 3. ÉVFOLYAM 31. modul ÍRÁSBELI KIVONÁS MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

10. JAVÍTÓKULCS ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS MATEMATIKA. példaválaszokkal. s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T É V F O L Y A M

10. JAVÍTÓKULCS ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS MATEMATIKA. példaválaszokkal. s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T É V F O L Y A M 10. É V F O L Y A M ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS JAVÍTÓKULCS MATEMATIKA s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T 2 0 0 6 példaválaszokkal Hány órából áll egy hét? Válasz: A feleletválasztós

Részletesebben

Megoldások. I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika. 1. osztály

Megoldások. I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika. 1. osztály Megoldások I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika 1. osztály 4. Lackó kezében egy gesztenye van. 5. Kettő. 1 + 1 = 2. 6. Öt. 3 + 2 = 5. 7. Igaz állítás: A), D), E). 2. osztály 1. 6 lehetőség van. Ha ismétel,

Részletesebben

ESÉLYEGYENLİSÉGI TERV

ESÉLYEGYENLİSÉGI TERV Bocskai István Szakképzı Iskola Hajdúszoboszló ESÉLYEGYENLİSÉGI TERV Érvényes: 2009. szeptember 01-tıl 2 A Bocskai István Szakképzı Iskola igazgatója, mint munkáltató, valamint az intézményben mőködı AOKDSZ

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

Kft. ÁLTALÁNOS SZERZİDÉSI FELTÉTELEI INTERNET HOZZÁFÉRÉSI SZOLGÁLTATÁS IGÉNYBEVÉTELÉRE

Kft. ÁLTALÁNOS SZERZİDÉSI FELTÉTELEI INTERNET HOZZÁFÉRÉSI SZOLGÁLTATÁS IGÉNYBEVÉTELÉRE 1.oldal A Kft. ÁLTALÁNOS SZERZİDÉSI FELTÉTELEI INTERNET HOZZÁFÉRÉSI SZOLGÁLTATÁS IGÉNYBEVÉTELÉRE Létrehozva: 2004. február 05. Utolsó módosítás: 2010. március 1. Hatályba lépés: 2010. április 1-tıl 2.oldal

Részletesebben

JEGYZİKÖNYV. Készült: 2010. február 15-én Ordacsehi Község Önkormányzatának hivatali helyiségében a Képviselı-testület ülésérıl.

JEGYZİKÖNYV. Készült: 2010. február 15-én Ordacsehi Község Önkormányzatának hivatali helyiségében a Képviselı-testület ülésérıl. JEGYZİKÖNYV Készült: 2010. február 15-én Ordacsehi Község Önkormányzatának hivatali helyiségében a Képviselı-testület ülésérıl. Jelen vannak: Bársony János alpolgármester Kránicz József Tibor képviselı

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT Matematika RÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK RÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT dottak a 0; ; ; ; ; ; 5; 7; 7; 8 számjegyek. a Hány darab tízjegyű, 5-tel osztható szám készíthető az adott számjegyekből

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre

Részletesebben

Kitöltési Útmutató A KT09 számú Környezetvédelmi termékdíj bejelentés/kérelem formanyomtatvány csomaghoz

Kitöltési Útmutató A KT09 számú Környezetvédelmi termékdíj bejelentés/kérelem formanyomtatvány csomaghoz Kitöltési Útmutató A KT09 számú Környezetvédelmi termékdíj bejelentés/kérelem formanyomtatvány csomaghoz Általános tudnivalók Figyelem! A KT09 Környezetvédelmi termékdíj bejelentés/kérelem nyomtatványcsomag

Részletesebben

2005. évi.. törvény. a szövetkezetekrıl

2005. évi.. törvény. a szövetkezetekrıl 2005. évi.. törvény a szövetkezetekrıl Az Országgyőlés - kiindulva az Alkotmány 12. -ából, amely szerint az állam támogatja az önkéntes társuláson alapuló szövetkezeteket, - felismerve, hogy a szövetkezeti

Részletesebben