10. évfolyam, negyedik epochafüzet

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "10. évfolyam, negyedik epochafüzet"

Átírás

1 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos:

2 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek I.4. Kör és részei I.5. Ívmérték II. Térgeometria II.1. Térben élünk, testek vesznek körül II.2. Mik is azok a térelemek? Mit tudunk róluk? II.3. Mértani testek II.4. Felszín és térfogat II.4.1. A gúla II.4.2. A kúp Az epocha értékelése Résztesztek (3 15 pont) Órai munka (10 pont) Elmélet, számonkérés szóbeli vagy írásbeli (15 pont) Projektmunka egyéni feladat (30 pont) Plusz feladatok (10 pont) Projektmunka G E O M E T R I A I K I S O K O S leírása Készítsen Geometriai Kisokost, mely tartalmazza a geometria témakör elméleti ismereteit címszavakhoz rendelve. Az ismeretekhez tartoznak a definíciók, a tételek és bizonyos tételekhez a bizonyítási eljárások. A Kisokos témakörei: háromszögek, sokszögek és nevezetes négyszögek, a kör és részei, ívmérték. A tartalom megegyezhet külső forrás(ok)ból származó szövegekkel minden szöveg forrását a megfelelő helyen pontosan kell jelölni. Olyan szövegek szerepeljenek, melyek érthetőek, tartalmilag helyesek, segítik a felkészülést az elméleti számonkérésre. Tagold fejezetekre, hogy jól kereshető legyen, illetve legyenek kiemelve a címszavak. A Kisokos címszavaihoz rendelve mindig tartozzon egy megfelelő, saját készítésű magyarázó ábra (szerkesztve, a pontok és szakaszok olyan jelölésével, mely megegyezik a leírásban szereplő jelölésekkel). A megrajzolt ábrák nem származhatnak más forrásból, de felhasználhatóak ábrák (másolhatóak) ekkor a forrást pontosan fel kell tüntetni. Az ábragyűjtemény kerülhet a Kisokosba vagy készülhet melléklet is a Kisokos mellé, ekkor megfelelő számozással kell összerendelni a címszavakat az ábrákkal. A különböző témakörökhöz használhatod az Internetet, vagy a tavalyi epochafüzetet, vagy egyéb tankönyveket. Témakörönként lehetőleg 5-10 forrás szerepeljen. Ügyelj arra, hogy a forrásod tartalmilag, matematikailag pontos legyen (a hitelesség értékelése); a tartalom teljes legyen (mennyi információ szerepel benne a témakörhöz tartozó címszavakból); érthető legyen (nem túl szakmai-e és bonyolult, nem túl óvodás -e a leírás, a magyarázat) legyen. 2

3 GEOMETRIA I. Projektmunka G E O M E T R I A I K I S O K O S értékelése A Kisokos folyamatosan készítsd el, hiszen használhatod a részteszteknél így, minden részteszttel együtt azt is beszedjük és értékeljük a heti munkádat. Így jön ki a 30 pont=3*10- ként. Később nem pótolhatod az előző heti anyagot. Projektmunka G E O M E T R I A I K I S O K O S tartalma I. rész: Háromszögek: betűzés, jelölések csoportosítás oldalak, ill. szögek szerint összefüggés (tételek) az általános háromszög oldalai, szögei, oldalai és szögei között A háromszög nevezetes vonalai és pontjai (definíciók és tételek is): o oldalfelező merőleges és a köréírt kör o szögfelező és a beírt kör o magasságvonal és pont o súlyvonal és pont o középvonal A derékszögű háromszög o elnevezések, összefüggések o Pitagorasz-tétel o Thalész-tétel A háromszög kerülete és területe II. rész: Négyszögek: Nevezetes négyszögek fajtái meghatározásuk, tulajdonságaik, kerület és terület o a négyzet o téglalap o deltoid o paralelogramma o rombusz o trapéz Sokszögek a sokszögek átlóira és szögeire vonatkozó összefüggések a szabályos sokszögek Kör kör és részei középponti és kerületi szög, összefüggésük látókör a kör kerülete és területe körív és körcikk ívmérték III. rész: térelemek pont, egyenes, sík, egymáshoz képesti helyzetük a térben testek testátló, lapátló, alap, magasság, alkotó, térfogat, felszín hasáb kocka henger gúla kúp o húrtrapéz o húrnégyszög o érintőnégyszög 3

4 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET I. Síkgeometria I.1. A háromszög 1. Döntsd el, hogy mely adathármas alapján szerkeszthető, nem szerkeszthető, illetve egyértelműen szerkeszthető háromszög! Válaszod indokold! (Lehet szerkesztéssel is.) a ) a = 13 cm, b = 7 cm, c = 9 cm b ) a = 14 cm, b = 5 cm, c = 8 cm c ) a = 6 cm, α = 25, γ = 91 d ) α = 25, β = 67, 4, γ = 87, 6 e ) α = 34, β = 72, c = 5 cm f ) a = 6 cm, α = 90, 03, γ = 89, 98 g ) a = 8 cm, b = 6 cm, β = 40 h ) b = 5 cm, c = 8 cm, β = Egy autópálya-építésnél háromszögelést végeztek, és a három leszúrt jelzőkaró között lézeres méréssel a következő távolságokat kapták: 345,32 méter, 511,24 méter, 159,45 méter. A munkavezető megismételtette a mérést. Miért? 3. Számítsd ki az ábrák kérdezett szögeit! a) Mekkora a β szög? b) Mekkora az ábrán jelölt α szög? 20 a a a a β α Egy egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szöge a szárszög 2,5-szerese. Határozd meg a háromszög szögeit! 5. Határozd meg az ábra hiányzó szögeinek nagyságát, ha tudjuk, hogy α = 32, β = 78! 6. Mekkorák a háromszög szögei, ha adott két külső szöge? a) 130 és 174 ; b) 87 és 116 ; c) 136 és 98 A vízszinteshez képest általában lefelé vagy felfelé látjuk a tárgyakat. Ha lefelé nézünk, akkor a vízszintessel bezárt (lefelé irányuló) szöget depressziószögnek hívják. Emelkedési szögnek nevezzük a vízszintessel bezárt, felfelé irányuló szöget. Tehát a terem tetejét emelkedési, alját depressziószögben látjuk. 7. Egy repülő a ház ablakából 35 -os emelkedési szög alatt látszik. Mekkora depressziószög alatt látszik a repülőből az ablak? 8. Egy torony lábától a szomszéd ház tetejét 30 -os emelkedési szögben látjuk. A torony alját és tetejét a ház tetejéről 76 -os szögben látjuk. Mekkora emelkedési szögben látjuk a torony tetejét, és mekkora depressziószögben az alját? Készíts ábrát a megoldáshoz! 4

5 GEOMETRIA I. 9. Rajzolj minden feladathoz egy hegyesszögű, egy derékszögű és egy tompaszögű háromszöget! a ) Szerkeszd meg a háromszögek köré írt köreit! b ) Szerkeszd meg a háromszögek beírt köreit! c ) Szerkeszd meg a háromszögek magasságpontjait! d ) Szerkeszd meg a háromszögek súlypontjait! 10. Egy háromszög szögfelezője a szemközti oldallal 78 -os, egy másik szögfelezővel 48 -os szöget zár be. Mekkorák a háromszög szögei? 11. Egy háromszögben az egyik szög 75. Mekkora szöget zár be egymással a másik két belső szög szögfelezője? 12. A térkép három szigetet ábrázol a tengeren. Hova tűzzék ki a világítótorony helyét, hogy mindhárom szigettől egyenlő távol legyen? Szerkeszd meg a megfelelő helyet! 13. Blankának különleges, háromszög alaprajzú kertje van. Szeretne a közepére egy nyárfát ültetni, mindhárom kerítéstől egyenlő távolságban. Szerkeszd meg a fa helyét! Szerkeszd meg a kerítésektől mért távolságát is! 14. Egy háromszög egyik csúcsánál 35 -os, másik csúcsánál 65 -os szög található. Mekkora szöget zár be egymással a szemközti csúcsból kiinduló szögfelező és magasságvonal? 15. Egy sziget térképe van a birtokunkban. A szigeten látható az egyetlen kikötésre alkalmas hely, a déli partszakaszon, egy folyótorkolatnál. Itt két folyó ömlik a tengerbe, melyek egyike északnyugat felől, a másik északkelet felől érkezik. Tudjuk, hogy a kincs a két folyótól egyenlő távolságra van. A sziget belsejében a két folyót egy egyenes ösvény köti össze. a ) Készíts térképet! b ) Jelöld meg a térképen a kincs lehetséges helyét, ha azt tudjuk, hogy a folyókat összekötő úthoz 10 m-nél közelebb van, a folyóktól egyenlő távolságra. 16. Szerkessz háromszöget, ha a szokásos jelölésekkel a = 5 cm, m a = 4,7 cm, b = 5,5 cm! 17. Szerkessz háromszöget, ha adott az a oldala (8,2 cm), valamint a b és a c oldalhoz tatozó súlyvonalak (sb = 7,3 cm, sc = 6cm). 18. Szerkessz háromszöget, ha a szokásos jelölésekkel c = 6 cm, sc = 4,7 cm, α = 35! 19. Szerkessz háromszöget, ha a szokásos jelölésekkel b = 5,3 cm, m a = 4,7 cm, sa = 5 cm! 5

6 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 20. Szerkessz háromszöget, ha adott a, mb és sc. 21. Szerkessz háromszöget, ha két oldala 5 cm és 8 cm, és a harmadikhoz tartozó súlyvonal 6 cm! (Emékeztető: Itt először egy paralelogrammát szerkesztettünk.) 22. Szerkessz háromszöget, ha két oldala 4,6 cm és 6 cm és a harmadikhoz tartozó magasság 3 cm. (Segítség: Gondolj a Thalész-tételre!) 23. Szerkessz derékszögű háromszöget, ha adott az átfogó (8 cm) és az átfogóhoz tartozó magasság (3,5 cm)! Hány megoldás van? 24. Szerkessz háromszöget, ha adott a b oldala, a c oldalhoz tartozó m c magasság és a köré írt kör sugara (r). 25. Szerkessz háromszöget, ha adott az A csúcsából kiinduló két oldal hossza és az A csúcsból kiinduló magasság hossza! 26. Szerkessz háromszöget, ha adott egy oldala (4,6 cm), és a másik két oldalhoz tartozó magassága (3,8 cm és 4,3 cm)! 27. Mekkorák a középvonalak által meghatározott háromszög szögei? 28. Szerkessz derékszögű háromszöget, ha az átfogóhoz tartozó magasság hossza 4 cm, és az átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza 5,2 cm. 29. Egy egyenlőszárú háromszögben az alappal szemközti szög 80. Mekkora szöget zár be az alappal a szárhoz tartozó magasság? 30. *** Igazold, hogy nem egyenlőszárú derékszögű háromszögben a derékszöghöz tartozó szögfelező felezi az átfogóhoz tartozó magasság és súlyvonal szögét! 31. Számold ki a háromszögek hiányzó oldalát! 15 cm 5 dm 12 cm 120 cm 32. Az egerészölyv egy magas mezei juharfa tetején lesett a mezőn eszegető kis pocokra. Mikor lecsapott rá, pontosan 51 métert kellett repülnie. Ekkor a szerencsétlen jószág épp 45 méter távolságra volt a fától. Milyen magas a juharfa? 6

7 GEOMETRIA I. 33. Egy 2,6 m-es létrát ferdén a falnak támasztottunk. Számítsd ki az aljának és a tetejének a távolságát attól a ponttól, ahol a padló és a fal találkozik, ha tudjuk, hogy ennek a két távolságnak az aránya 3 : 4! 34. A 3-33 szám szakaszok hosszának a mérőszáma. Lehet-e e a három szakasz egy derékszögű háromszög három oldala? a ) 3; 6; 45 b ) 4; 6; Egy kétágú létra ágának hossza 2,5 méter. Milyen magasra lehet rajta mászni, ha a két ágát egymástól 1,4 méterre tudjuk kinyitni? (Feltételezzük, hogy a létra legtetejére lehet mászni.) 36. Egy 30 méter széles úton a két szemközti ház közé kifeszített acélhuzalra középen egy lámpát függesztettek. A lámpa a vízszinteshez képest 90 cm-rel húzza le a huzalt. Milyen hosszú a huzal? 37. Egy szabályos háromszög oldala 2 dm. Mekkora a háromszög magassága? 38. Egy 6 egység sugarú félkörbe írjunk olyan derékszögű háromszöget, melynek átfogója a félkör átmérője és befogóinak aránya 3 : 4. Mekkora a háromszög területe? 39. Mekkora az oldala a 25 cm hosszú átlójú, 20 cm oldalhosszúságú téglalapnak? Mekkora a kerülete és a területe? Mekkora annak a körnek a kerülete és területe, mely áthalad a téglalap mind a négy csúcsán? 40. Milyen hosszú a koordinátarendszer origójából a ( 3; 4) pontba mutató vektor? 41. Mekkora távolságra vannak egymástól a derékszögű koordináta-rendszer A (14; 7) és B (2; 9) pontjai? Készíts ábrát, számolj, majd eredményed helyességét ellenőrizd méréssel! Számod ki annak a körnek a kerületét és területét, melynek ez a szakasz az átmérője! 42. Egy szabályos háromszög alakú asztallapot egyetlen pontban alátámasztva szeretnének felállítani. Az asztallap homogén szerkezetű (tehát a vastagsága és az anyaga egyenletes). Az asztallap egy oldala 80 cm széles. a ) Hol kell alátámasztani az asztallapot? b ) Határozd meg az alátámasztási pont csúcsoktól mért távolságát! 43. Mekkora az ábrán látható háromszög kerülete és területe, ha adott a közép vonala? 7

8 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 44. Mekkora az egyenlőszárú derékszögű háromszögbe írt kör sugara, ha a befogó 10cm? 45. Egy fatörzset kör alakú szeletekre vágunk, majd a széleiket levágva téglalap alakú deszkákat gyártunk. Mekkorák a deszka oldalai, ha a fatörzs átmérője 10 dm, és a téglalap oldalainak az aránya 3 : 4? 46. Határozd meg a 10 cm oldalú szabályos háromszög köré- és beleírható körének sugarát! 47. Egy derékszögű háromszög befogói 3 és 4 cm hosszúak. Határozd meg a a ) köré írt kör sugarát! b ) beírt kör sugarát! c ) *** a beírt és a köréírt kör középpontjának a távolságát! 48. Mekkora a háromszög területe, ha a) a = 5 cm; m a = 4 cm b) c = 7,4 m; m c = 6 m c) egyik oldala 7 dm, ehhez az oldalhoz tartozó magassága 41 cm? 49. Szerkeszd meg az alábbi háromszöget, és a szükséges adatok lemérése után számold ki a területét többféleképpen! a = 60 mm; b = 8 cm; c = 1 dm 50. Szerkeszd meg az alábbi háromszöget, és a szükséges adatok lemérése után számold ki a területét többféleképpen! a = 7 cm; β = 30 ; b = 5 cm. I.2. Nevezetes négyszögek 51. Írd a négyszögek betűjelét a megfelelő négyszöghöz! Deltoid: Rombusz: Trapéz: Téglalap: Paralelogramma: Négyzet: 52. Rajzolj a füzetedbe olyan négyszöget, amelynek a ) átlói merőlegesek és van derékszöge; b ) átlói merőlegesek és nincs derékszöge; c ) átlói merőlegesek és van két derékszöge; d ) átlói merőlegesek és van tompaszöge; e ) átlói merőlegesek és van homorúszöge! 8

9 GEOMETRIA I. 53. Rajzold be a hiányzó négyszöget, és írd be a nevét! A b) feladatban legalább 2 különböző, helyes választ keress! 54. Írd a sorok végére valamelyik négyszög nevét (lehet több megoldás is)! a ) Olyan négyszög,, amelynek van párhuzamos oldalpárja: b ) Olyan négyszög,, amelynek legalább egyik átlója szimmetriatengely: c ) Olyan trapéz,, amelynek van derékszöge: d ) Olyan trapéz,, amelynek alapokon fekvő szögei páronként egyenlők: e ) Olyan négyszög,, amelynek van oldalfelező szimmetriatengelye: f ) Olyan trapéz,, amelynek másik oldalpárja is párhuzamos: g ) Olyan négyszög,, amelynek van szimmetria-középpontja: h ) Olyan derékszögű trapéz, amelynek másik oldalpárja is párhuzamos: i ) Olyan húrtrapéz, amelynek másik oldalpárja is párhuzamos: j ) Olyan paralelogramma, amelynek van derékszöge: k ) Olyan trapéz,, amelynek legalább egyik átlója szimmetriatengely: l ) Olyan paralelogramma, amelynek szomszédos oldalai egyenlők: m ) Olyan négyszög,, amelynek oldalai egyenlők: n ) Olyan deltoid,, amelynek van párhuzamos oldalpárja: o ) Olyan derékszögű trapéz, amelynek legalább egy átlója szimmetriatengely: p ) Olyan téglalap,, amelynek szomszédos oldalai egyenlők: q ) Olyan húrtrapéz, amelynek legalább egyik átlója szimmetriatengely: r ) Olyan rombusz,, amelynek van derékszöge: s ) Olyan deltoid,, amelynek van két szomszédos derékszöge: 55. Melyik állítás igaz? Válaszod indokold! Minden olyan négyszög, amelynek 2-2 oldala egyenlő, deltoid. Van olyan derékszögű trapéz, amelyik rombusz. Minden tengelyesen tükrös négyszög középpontosan is tükrös. Minden tengelyesen tükrös négyszög köré kör szerkeszthető. Van olyan deltoid, amelyiknek négy tükörtengelye van. Van olyan húrtrapéz, amely paralelogramma. 56. Állapítsd meg, hogy a következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis! A választ indokold! A deltoid a ) lehet rombusz b ) nem mindig konvex c ) a hosszabbik átlója mindig szimmetriatengely. 9

10 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 57. Határozd meg a négyszögek szögeit! húrtrapéz 58. Válaszd ki a helyes állításokat: a ) Minden paralelogramma trapéz is. b ) Minden téglalap rombusz is. c ) A rombuszok paralelogrammák is. d ) Minden rombusz deltoid. e ) Minden téglalap paralelogramma. f ) A négyzetek a téglalapok és a rombuszok halmazának metszetében helyezkednek el. g ) A négyszögben a belső szögek összege 360. h ) Minden sokszögben a belső szögek összege 360. i ) Minden sokszögben a külső szögek összege 360. j ) Van olyan trapéz, amelyik deltoid is. k ) Van olyan rombusz, amelyik nem trapéz. l ) Minden trapézba írható mind a négy oldalát érintő kör. m ) Minden négyszögbe írható mind a négy oldalát érintő kör. 59. A rombusz egyik szöge 42 -os. Mekkora szöget zárnak be az átlók az oldalakkal? 60. A téglalap oldala és az átló 21 -os szöget zárnak be. Mekkora a két átló által bezárt szög? 61. Egy téglalapban az átlók 50 -os szöget zárnak be egymással. Mekkorák az átló és az oldalak hajlásszögei? 10

11 GEOMETRIA I. 62. Egy deltoidban a két szemközti szög 36 és 138. Mekkora a többi szög, és mekkora szögeket zárnak be az átlók az oldalakkal? 63. Számold ki a deltoid területét, ha a) két átlója: e = 3 cm; f = 8 cm! Rajzolj ilyen deltoidot! b) két átlója: e = 4,3 dm; f = 25 cm! c) szimmetria átlója 3 m; másik átlója 4,5 m! Létezik-e ilyen deltoid? 64. Egy deltoid területe 66 m 2, az egyik átlója 11 m. Mekkora a másik átló? 65. Egy rombusz oldala 6 cm, egyik belső szöge 120. Szerkeszd meg a rombuszt, majd számold ki többféleképpen a területét! 66. Mekkora a deltoid területe, ha átlói 7 cm és 4 cm-esek? 67. Számítsd ki a rombusz kerületét és területét, ha oldala 8 cm és magassága 6 cm! 68. Egy rombusz átlói 6 cm és 8 cm-esek. Mekkora területe és a kerülete? 69. Mekkora a paralelogramma kerülete és területe, ha két oldala 3cm és 4cm, és a 3cmes oldalhoz tartozó magassága 3,5cm? 70. Szerkessz paralelogrammát, melynek oldalai 5 cm, 4 cm, és a szögük 60! 71. Mekkora a paralelogramma területe, ha a) a = 3 cm; ma = 2 cm b) b = 6 m; mb = 3,5 m c) egyik oldala 8,5 dm, a hozzá tartozó magasság 500 mm? 72. Egy paralelogramma egyik oldalának hossza 5 cm, ehhez az oldalához tartozó magassága 3,5 cm, másik oldala 4 cm. Szerkeszd meg a paralelogrammát! Mekkora a paralelogramma kerülete, területe? 73. Derékszögű koordináta-rendszerben egy paralelogramma 3 csúcsának koordinátái: ( 1; 3), ( 1; 5), (4; 5). Mi a negyedik pont koordinátája? Hány megoldás lehetséges? Minden esetben számold ki a kapott paralelogramma területét, ha a területegység a koordináta-rendszer egy egység oldalú négyzetrácsa! 74. Egy rombusz oldala 4 egység. Hány db ilyen rombuszt tudsz elképzelni? Ezek közül melyiknek a legnagyobb a területe? 75. Egy paralelogramma egyik oldala 6 cm, hozzá tartozó magassága 40 mm. Másik oldala 4,8 cm. Mekkora magasság tartozik ehhez az oldalhoz? 76. a) Szerkessz olyan paralelogrammát, amelyiknek az egyik oldala és az egyik átlója 4 cm hosszú, az egyik belső szöge 75! b) Hány fokos szögekre bontja a 4 cm-es átló a belső szöget? c) Mekkora a paralelogramma 4 cm-es oldalhoz tartozó magassága? 77. Egy húrtrapéz egyik alapja 16 cm, magassága 4 cm, szárai 5 cm-esek. Milyen hosszú a másik alap? Számítsd ki a kerületét és a területét! 11

12 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 78. Egy trapéz hosszabbik alapja 10 cm, egyik szára 4 cm, ez 45º-os szöget zár be az alappal, másik szára 6 cm. Mekkora a trapéz területe? 79. Egy szimmetrikus trapéz Hosszabbik alapja 12 cm, szárai 4 cm-esek. A szárak az egyik alappal 30º-os szöget zárnak be. Határozd meg a területét! 80. Szimmetrikus trapéz párhuzamos oldalai 8 és 4 cm, szárai 6 cm hosszúak. Mekkora a területe? 81. Szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja 444 cm, szára 17 cm és átlója 39 cm. Mekkora a területe? 82. Számítsd ki a húrtrapéz területét és átlójának hosszát, ha alapja 15cm és 9cm, szárai pedig 6cm hosszúak! 83. Egy 473 m 2 területű húrtrapéz keresztmetszetű gát magassága 22 méter, tetejének szélessége 11 méter. Milyen széles a gát alapja? 84. Egy könyvespolc végére egy trapéz alakú oldalzáró lapot készítünk. A méreteit az ábra mutatja. a ) Mekkora a lap területe? b ) Hány százalék a hulladék, ha az ábrán látható téglalapból vágjuk ki? 85. Egy húrnégyszög két szomszédos szöge 56 és 111. Számítsd ki a másik két szögét! 86. Mekkora az érintőnégyszög d oldala? a) a = 6cm, b =10cm, c = 8cm; c) a = 6dm, b =104cm, c = 6,2dm; b) a =1,6cm, b = 2,9cm, c = 3,2cm; d) a =16dm, b = 390cm, c = 3m. 87. Egy érintőnégyszög kerülete 60 cm. Két szomszédos oldala 20 cm és 12 cm. Számítsd ki a másik két oldalát! 88. O az ABCD érintőnégyszögbe írható kör középpontja. Az O ponton keresztülhaladó, AB oldallal párhuzamos egyenes BC oldal P, AD oldalt R pontban metszi. Határozd meg az ABCD és a CPRD négyszögek kerületeinek arányát, ha AB = 12 cm, BC = 8 cm, CD = 7 cm. 89. Válaszd ki, hogy melyik állítás igaz, melyik hamis! a ) Minden trapéz húrnégyszög. b ) Minden trapéz érintőnégyszög. c ) Minden rombusz húrnégyszög. d ) Minden rombusz érintőnégyszög. e ) Az érintőnégyszögek mindig rendelkeznek szimmetriatengellyel. f ) Csak az a téglalap húrnégyszög, amelynek rövidebbik oldala kétszerese a hosszabbik oldalnak. g ) A paralelogramma csak akkor érintőnégyszög, ha rombusz. 12

13 GEOMETRIA I. h ) Van olyan deltoid, amelyik húrnégyszög. i ) Minden érintőnégyszög trapéz. 90. D, Q, R és S egy kör tetszőleges pontjai. Az ábrán a PQ és SR szelők egyeneseit elmetsszük egy PS húrral párhuzamos AB egyenessel. Húrnégyszög-e a QABR négyszög? 91. Döntsd el, hogy az alábbi kijelentések közül melyik igaz, melyik hamis! Indokold is a döntésedet! a ) Minden deltoid érintőnégyszög. b ) Minden paralelogramma érintőnégyszög. c ) Minden rombusz érintőnégyszög. d ) Ha egy hegyesszögű háromszög magasságpontját tükrözzük az egyik oldalra, a tükörkép és az eredeti háromszög által meghatározott négyszög húrnégyszög. 92. Határozd meg, hogy a következő négyszögek közül melyek lehetnek húrnégyszögek, és melyek lehetnek érintőnégyszögek! a ) a = 5cm, b = 6cm, c = 3cm, d = 2cm, α= 80 b ) α = 88, β = 130, γ = 92, a = 10 cm, b = 8, d = 15 cm 13

14 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET I.3. Sokszögek 93. Sokszögek átlói, szögei: a) Mekkora a szabályos tizenkétszög külső szögeinek összeg? b) Mekkora a szabályos tizenkétszög egyik külső szöge? c) Mekkora a szabályos hétszög belső szögeinek összege? d) Mekkora a szabályos hétszög egyik belső szöge? e) Mekkora a szabályos ötszög egyik belső szöge? f) Hány átlója van a kilencszögnek? 94. Lehet-e e egy konvex sokszögnek pontosan a ) 3 db b ) 5db d ) 33 db e ) 3080 db 95. Állapítsd meg, hogy az állítások közül melyik igaz, melyik hamis! Indokold a választ! a) A szabályos hatszög oldalai egyenlők b) Ha egy hatszög oldalai egyenlők, akkor szabályos. c) A szabályos hatszög szögei egyenlők. d) Ha egy hatszög szögei egyenlők, akkor szabályos. e) Ha egy hatszög oldalai és szögei egyenlők, akkor szabályos. 96. Határozd meg a szabályos sokszög egy belső szögének nagyságát, ha a szögek száma: a ) 3 d ) 12 b ) 8 e ) 18 c ) 10 f ) Lehet-e e egy sokszög belső szögeinek összege? a ) 360 b ) 1450 c ) 2140 c ) 18 db f ) 78453,5 db átlója? 98. Határozd meg a szabályos hatszög beírható körének sugarát, ha a sokszög oldala 3 dm! 99. Határozd meg a szabályos hatszög területét, ha oldala 5 cm hosszú! d ) Hány darab szimmetria terngelye van a 4; 5; 6; 7; 8; 9; oldalú szabályos szokszögnek? Milyen nevezetetes vonalakhoz köthetőek a szimmetria tengelyek? Mi a különbség a páros illetve páratlan oldalú szabályos sokszögek szimmetria tengelyei között? 14

15 GEOMETRIA I. I.4. Kör és részei 101. Határozd meg a 10 cm sugarú kör a ) átmérőjét; b ) kerületét; c ) területét; d ) a kör középpontjától 3 cm-re haladó húrok hosszát! 102. Egy kör átmérője 12 cm. Mekkora a kerülete és területe? 103. Mekkora a kör területe, ha kerülete 23,4 cm? 104. Milyen hosszú a 8,5 cm sugarú körben a középponttól 7,5 cm távolságba húzott húr? Számítsd ki a kör kerületét és területét is! 105. Egy 3 cm sugarú körhöz egy külső P pontból érintőt húzunk. A P pont a középpontjától 11 cm-re van. a ) Milyen messze van a P pont a körtől? b ) Milyen hosszúak az érintési szakaszok? 106. Szerkeszd meg egy körön kívüli P pontból a körhöz húzható érintőket. Mit tudsz ezekről? 107. Két kör középpontjának távolsága 10 cm, sugaraik 3 cm és 5 cm. Szerkeszd meg a közös külső érintőket! 108. Két kör középpontjának távolsága 10 cm, sugaraik 3 cm és 5 cm. Szerkeszd meg a közös belső érintőket! 109. Mekkora az ábrákon látható színezett rész területe és kerülete, ha a körök sugara egyaránt 15 cm Egy 3 méter átmérőjű kör alakú asztallapot akarunk készíteni bútorlapból úgy, hogy a szélére élfóliát ragasztunk. A lapszabászatban csak négyzet alakú lapot tudnak levágni, a kör alakot otthon kell elkészíteni dekopírfűrésszel. a) Mennyi élfóliát kell vásárolni, ha azt csak egész méterben árulják? b) Mennyi az anyagköltség (a bútorlap és az élfólia ára együtt), ha egy m 2 bútorlap ára 2500 Ft és egy méter élfólia 50 forintba kerül? c) A levágatott bútorlap hány százaléka szemét? 111. Egy 1,2 m oldalú, szabályos háromszög alakú asztalra a lehető legnagyobb kör alakú terítőt szeretnénk tenni úgy, hogy ne lógjon le (az asztal egy részére nem jut terítő). Mekkora területű rész nincs lefedve? Hány százaléka ez a terület az egész asztal területének? 15

16 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 112. A képen egy futópálya vázlatos rajzát látod. Mekkora a hossza illetve a területe, ha a d-vel jelzett távolság 100 méter, az s-sel jelzett pedig 200 méter? 113. Egy kör alakú doboz medvesajtban 6 egyforma darab van. A doboz átmérője kb. 12 cm. Mekkora egy sajtszelet középponti szöge? Mekkora a hozzátartozó ívhossz? Mekkora a sajtszelet alapterülete? 114. Határozd meg az ívek hosszát és a körcikk területét, ha a kör sugara 10 cm, és középponti szöge a ) 45 º b ) 60 º c ) 90 º d ) 43,2 º 115. Számítsd ki az alábbi körcikkek íveinek hosszát, és területét Határozd meg a körszelet területét, ha húrja 8 cm, és középponti szöge a ) 120º b ) 60º c ) 90º Kerületi szögnek nevezzük azt a konvex szöget, amelynek a csúcspontja a körvonalon helyezkedik el, szárai pedig a kör húrjait tartalmazzák. A kerületi szög mindig egy adott ívhez tartozik: az ABC kerületi szöghöz az az AC ív, amelyiken nincs rajta a B pont. Egy ívhez egyetlen középponti szög, és végtelen sok kerületi szög tartozik. Speciális helyzetű az érintőszárú kerületi szög, amelynek csúcsa a körvonalon van, egyik szára tartalmazza a kör húrját, másik szára pedig a szög csúcspontjához tartozó körérintő. 16

17 GEOMETRIA I Jelöljük be a következő ábrákon az adott ívekhez tartozó középponti szöget és legalább három kerületi szöget (az érintőszárút is)! Mérjük meg, hogy mekkora nagyságú az egy ívhez tartozó kerületi és középponti szög! Keressünk kapcsolatot a mért adatok között! Kerületi és középponti szögek tétele: egy adott íven nyugvó kerületi szög fele ugyanazon ívhez tartozó középponti szögnek. Kerületi szögek tétele: egy adott ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők Egy 6 cm sugarú körben egy körcikk területe 6π cm 2. Mekkora az ívhossz, a középponti és a kerületi szög nagysága? 119. Adott az AB szakasz. Szerkesszük meg azon pontokat a síkon, amelyekből az AB szakasz 30 -os szögben látszik! 120. Az AB szakasz a kör egy pontjából 60 -os szögben látszik. Határozzuk meg, hogy mekkora szögben látszik a másik ívéről! 121. Szerkeszd meg azokat a pontokat a síkon, amelyekből az AB szakaszt α szögben látod! a) AB = 3cm;α = 45 ; b) AB = 4,5cm;α = 90 ; c) AB = 6cm;α = Számítsd ki az ábrán látható α szöget! a) b) C α 50º α º α A B Egy háromszög csúcsai a köré írt kört 4:5:7 arányban osztják. Mekkora szögben látszanak az oldalak a köré írt kör pontjaiból? 124. Egy 22 méter széles folyó egyenes szakaszának egyik partján áll két fa, egymástól 38 méterre. Keressük a másik partnak azokat a pontjait, ahonnan a két fa 35 -os szögben látszik. Szerkeszd meg a pontokat! 125. Egy pontból a körhöz húzott érintők 75 -os szöget zárnak be egymással. Mekkora szögben látszódik az egyik érintő a körvonal pontjaiból? 17

18 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET I.5. Ívmérték Korábban láttuk, hogy egy körben az ívhossz arányos a középponti szög nagyságával. Ez azt is jelenti, hogy az ívhossz és a kerület aránya alkalmas a középponti szög meghatározására. Pl. ha tudjuk, hogy egy középponti szöghöz akkora ív tartozik, mint a kör kerületének a negyede, akkor 90 a középponti szög nagysága Határozd meg! a ) Mekkora szög tartozik a teljes kör kerületéhez? b ) Mekkora szög tartozik egy félkörhöz? c ) Mekkora szög tartozik egy tizenketted körhöz? 127. Egy kör sugara r. a ) Mekkora ív tartozik a 360 -os középponti szöghöz? b ) Mekkora ív tartozik a 180 -os középponti szöghöz? c ) Mekkora ív tartozik a 90 -os középponti szöghöz? d ) Mekkora ív tartozik a 60 -os középponti szöghöz? e ) Mekkora ív tartozik a 30 -os középponti szöghöz? 128. Pótold a szövegben a hiányzó részt! Ha a kör sugarát egységnyire választjuk, akkor a teljes kör kerülete.., az ehhez tartozó középponti szög. A félkör kerülete., az ehhez tartozó középponti szög Bevezetünk a szög mérésre egy új mértékegységet. Az egységnyi sugarú körban az adott középponti szöghöz tartozó körív hosszával mérjük a szöget. Az így mért szög nagyságát ún. ívmértékben, radiánban kapjuk meg. Pl. 360 ívmértéke 2 π radián, 180 ívmértéke π radián. Az ívmértékben megadott szögeknél a mértékegységet nem szükséges kiírni: 180 = π (rad) 129. Folytasd az átváltást! 90 = (rad) 30 = (rad) 60 = (rad) 10 = (rad) 120 = (rad) 240 = (rad) 45 = (rad) 1 = (rad) 130. Most váltsd a radiánban megadott szögeket fokokra! π 2π π π (rad) = (rad) = (rad) = (rad) = π π 3π (rad) = (rad) = (rad) = 1 (rad) = Határozd meg a következő középponti szögek nagyságát fokban és ívmértékben! 18

19 GEOMETRIA I Mekkora a sugara annak a körnek, melynek 3 π rad középponti szögéhez 16 cm hosszúságú húr tartozik? 133. Egy 15 cm sugarú körben mekkora húr tartozik a 5 π rad középponti szöghöz? 134. Adott egy 23 cm sugarú kör. a ) Számold ki, hogy milyen hosszúak azok az érintők, amelyeket a kör középpontjától 30 cm távolságra levő pontból húzunk a körhöz! b ) Mekkora szög alatt látjuk a kör középpontjából két érintési pontot összekötő húrt? Fokban és ívmértékben is add meg a szöget! 135. Egy körben a 20 -os kerületi szöghöz 5 cm hosszúságú ív tartozik. a ) Mekkora ez radiánban? b ) Mekkora ugyanehhez az ívhez tartozó középponti szög? c ) Mekkora a kör sugara? d ) Mekkora az ív két végpontját összekötő húr hozzá? 136. Váltsd át a fokba a körök mellett megadott radiánt és rajzold be a szögeket és a köríveket az ábrába Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! Ábrázold a kerületi és a középponti szögeket is! A kör sugara 3 cm. 19

20 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET II. Térgeometria II.1. Térben élünk, testek vesznek körül 138. A testeket felületek határolják. Válaszd ki az ábrán látható testek közül azokat, amelyeket sík lapok, és azokat, amelyeket görbe felületek határolnak! Írd be a számukat a halmazábrába! Milyen tulajdonsággal jellemezhetnéd a közös részbe kerülőket? 139. Az itt látható testek közül melyekre igazak az alábbi állítások? (A test sorszámát írd be!) Csak sík lapok határolják:... Téglalapok és háromszögek határolják:... Csak téglalapok határolják:... Csak háromszögek határolják:... Trapézok határolják:... Sokszögek határolják: Válaszd ki az alábbi testek közül azokat, amelyeknek bármely két pontját összekötő szakasz a testen belül vagy a felületén van! Írd ide a számukat!... Az ilyen testeket konvexnek nevezzük. Példa: a kocka esetében az állítás igaz. 20

21 GEOMETRIA I. II.2. Mik is azok a térelemek? Mit tudunk róluk? Vágjuk szét a testek felületét! Ha a testeket határoló felületeket szétvágjuk, a felületeket vonalak határolják. Ha a vonalakat feldaraboljuk, az egyenes vonaldarabokat pontok határolják. A geometriában a pont az egyenes, a sík és maga a tér is térelemek. Nézzük, mit lehet tudni róluk! 141. Rajzolj j és válaszolj! Ha nem megy, segíts magadon papírral, ceruzával! a) Hány egyenes húzható a tér 1 pontján át... b) Hány sík fektethető a tér 1 pontjára 2 pontjára... c) Hány sík illeszthető a tér 1 egyenesére... 2 pontján át egyenesére... 3 pontjára... 3 pontján át?... 4 pontjára? 3 egyenesére? Ezek után válaszolj! Hány pontja határozza meg az egyenest?... Hány pontja határozza meg a síkot?... Lehetnek-e e pontok az egyenesen?... Hány egyenes határozza meg a síkot?... 21

22 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 143. Mit tudunk a térelemek kölcsönös helyzetéről? II.3. Mértani testek A testek formája végtelen sokféle lehet, de próbáljuk meg valamilyen rendet teremteni közöttük. Régebben foglalkoztunk az úgynevezett hengerszerű testekkel. Az alábbiak közül te melyiket érzed ilyennek? Karikázd be a számát! Ha egy síkbeli vonal pontjain át a síkkal nem, de egymással párhuzamos egyeneseket húzunk, akkor egy végtelenbe nyúló felületet hengerfelületet kapunk. A síkbeli vonal a henger vezérvonala, a párhuzamos egyenesek a henger alkotói. Ha az így kapott végtelen hengert két, a kiindulási síkkal párhuzamos síkkal elmetszünk, hengerszerű testet kapunk. Nézd meg, hogy ennek a meghatározásnak megfelelően oldottad-e meg az előző feladatot! Ha nem, akkor javítsd ki! Ha a hengerszerű test vezérvonala sokszögvonal, akkor hasábhoz jutunk. Vannak egyenes hasábok, pl.: és ferde hasábok pl.: (Egyenes hasáb: alkotói merőlegesek az alaplap síkjára.) 22

23 GEOMETRIA I Milyen lapok határolják a hasábokat? a) Milyen lapok határolják az egyenes hasábokat? b) Hány lapja lehet a hasábnak? c) Hengerszerű test magasságán a párhuzamos lapok távolságát értjük. d) Milyen hasáb esetén egyezik meg a lapmagasság és a testmagasság? Szabályos hasábok: alapjuk szabályos sokszög: Paralelepipedon: olyan hasáb, amelynek minden oldala paralelogramma: 145. Jó-e ez a meghatározás? A hasábok azok a testek, amelyeknek van két olyan határoló lapja, amelyek egybevágó sokszögek Milyen testeket kapunk akkor, ha egy hasábot az alaplapjával párhuzamos síkkal metszünk? 147. Figyelj meg egy kockát! Válaszd ki az egyik csúcsot, és kösd össze azzal a csúccsal, amelyikkel nincs egy oldallapon! Így a kocka egyik testátlóját kapod. Hány testátlója van a kockának? Mekkora a testátló, ha a kocka éle 8 cm? 148. Töltsd ki a táblázatot! hasáb oldalszáma lapok száma (l) élek száma (é) csúcsok száma (c) Próbálj meg összefüggést találni l, é és c között! 23

24 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET Ha a hengerszerű test vezérvonala kör, akkor a kapott test henger. egyenes henger (alkotói merőlegesek az alaplap síkjára) ferde henger 149. Milyen alakú a henger síkmetszete, ha a metsző sík párhuzamos az alapokkal? 150. Milyen alakú a síkmetszet, ha a metsző sík az alaplapnak és a fedőlapnak a középpontjára illeszkedik? 151. Egészítsd ki az ábrákat úgy, hogy egy kocka hálóját kapjuk! 152. Lehet-e kockát hajtogatni az alábbi síkidomokból? 153. Hány éle van annak a testnek, amelynek hálója az alábbi ábrán látható! 24

25 GEOMETRIA I Melyik lehet, és melyik nem lehet a tetraéder hálója? 155. Az ábrán látható testek közül melyik forgáskúp? Melyik gúla? Ezek betűjeleit megfelelő sorrendbe rakva egy-egy szót kaptok. Ha a két szót egymás mögé rakjátok, egy összetett szó keletkezik. Melyik ez az összetett szó? Nevezzétek meg egyenként a gúlákat! (Pl. háromszögalapú szabályos gúla) 156. Melyik test hálója ez? Rajzold le másféleképpen is a test hálóját! A) Téglalap alapú gúla. B) Téglalap alapú hasáb. C) Derékszögű háromszög alapú hasáb. D) Derékszögű háromszög alapú gúla. 25

26 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 157. Add meg a CE testátló hosszát, ha AE = 5 cm, AB = 6 cm, BC = 8 cm! 158. Mekkora a 4 cm élhosszúságú kocka a) lapátlója; b) testátlója? 159. Mekkorák a 3; 4; 12 cm élhosszúságú téglatest a) lapátlói; b) testátlója? 160. Melyik lehet ezek közül a hálók közül egy gúla hálója? Mi a közös azokban a fogalmakban, ami a gúlák hálójára van írva? 161. Milyen szimmetriákat ismersz fel az alábbi testeken? a) szabályos hatszög alapú gúla b) szabályos ötszög alapú hasáb c) szabályos ötszög alapú test 26

27 GEOMETRIA I Melyik test hová tartozik? Írd a megfelelő helyre a test sorszámát! Gúla: Téglatest: Egyenes hasáb: Van két éle, ami merőleges egymásra: Hasáb: Kocka: Forgáskúp: Forgástestek: Forgáshenger: Körkúp: Minden lapja sokszög: Körhenger: 27

28 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET II.4. Felszín és térfogat 163. Egy kocka teljes felszíne 96 cm 2. Add meg a kocka térfogatát! 164. Egy téglatest egy csúcsába futó éleinek az aránya 2 : 3 : 4, felszíne 1400 cm 2. Mekkora a térfogata? 165. A rajz egy téglatest hálóját ábrázolja. Mekkorák a téglatest élei? Számítsd ki a felszínét és a térfogatát! 166. *** Egy 6 cm élhosszúságú kockát hat élének felezőpontjaira fektetett síkkal kettévágunk az ábra szerint. Rajzold le a vágás után testek hálóját, és határozd meg a felszínüket is! 167. *** Egy gömb alakú fagolyóból a lehető legnagyobb kockát faragják ki. Mekkora volt a gömb sugara, ha a keletkező kocka éle 10 cm? Vágjuk fel a hasábokat illetve a hengereket megfelelő módon, és terítsük ki síkba a határoló felületeket! Ez a test hálózata. A sokszöglapokkal határolt testek felszíne a határoló lapok területének összege. Ezt a hálózat ismeretében ki tudjuk számolni. Tehát a henger felszíne: ö ő ö á 168. A palást kiterítve milyen idomot ad? a) Mekkorák az oldalai? b) Tehát a palást területe: c) Így a henger felszíne: 28

29 GEOMETRIA I Számold ki a képen látható hasábok, illetve henger felszínét! 170. Henger alakú vastartályokat rozsdásodás ellen mázolnak. Hány kilogramm festéket használnak fel 12 tartály festéséhez, ha a tartályok átmérője 1,2 m, a magasság ennek 120%-a és 1 m 2 festésre negyed kg festékre van szükség? (A tartályt csak kívül festik, és mindkét alapját is befestik.) 171. Egy négyzet alapú egyenes hasáb magassága 2,5-szerese az alapélnek és a felszíne 108cm 2. Mekkora a test térfogata? 172. A kockát az ábra szerint kettészeltük. A kapott téglalap oldalai 5,00 cm illetve 7,07cm. Mekkora a kocka felszíne és térfogata? 173. Hány köbméter parkettával fedhető le egy 30m 2 -es szoba, ha a parketta vastagsága 2,5 cm, és 10% hulladékra kell számítani? 174. Egy téglatest élei 3 és 4 cm hosszúak. A testet az ábra szerint kettészeltük. Az így kapott téglalap négyzet. Mekkora a test magassága, felszíne és térfogata? Bizonyítható, hogy általában is igaz, hogy a hengerszerű testek térfogata az alapterület és a testmagasság szorzata: = 175. Egy rombusz alapú egyenes hasáb magassága 10 cm. A rombusz átlói 6 cm, illetve 4 cm hosszúak. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata? 176. Mekkora az egy literes konzervdoboz átmérője, ha a magassága 12 cm? 177. Egy henger alakú tartály félig volt folyadékkal. Amikor hozzáöntöttek 350 litert, akkor részig lett tele. Milyen mély a tartály, ha az alapjának sugara 5,5 dm? 178. Egy szabályos háromszög alapú hasáb alapéle 20 cm, magassága 3 dm. Mekkora a térfogata? 29

30 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 179. Egy négyzetes oszlop alapéle 7 dm, magassága 0,6 m. Rajzold meg a testet és a hálóját! Mennyi a felszíne és a térfogata? 180. Egy egyenes hasáb alapja egyenlőszárú háromszög, melynek alapja 6 cm, szára 5 cm. A test magassága 0,6 dm. Rajzold meg a test hálóját, és számítsd ki a felszínét és a térfogatát! 181. Egy négyzet alapú egyenes hasáb térfogata 19,845 dm 3, alapjának kerülete 84 cm. Mekkora a felszíne? 182. Egy egyenes hasáb alapja szimmetrikus trapéz, amelynek alapjai 21 cm és 16 cm, szárai pedig 9 cm hosszúságúak. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata, ha a test magassága 10 cm? 183. Egy 6 méter magas vasúti töltés felül 8 méter széles. Keresztmetszete olyan egyenlő szárú trapéz, amelynek szárai 7,3 m hosszúak. Hány m 3 földmunkát kíván egy 50 m hosszú szakasz elkészítése? 184. Szabályos hatszög alapú egyenes hasáb testmagassága 4,5 cm. A hatszög oldala 4 cm. Rajzold le a hálóját! Számítsd ki a felszínét és a térfogatát! 185. Határozd meg a szabályos hatszög alapú egyenes hasáb leghosszabb testátlójának hosszát, ha minden éle 12 dm! 186. Egy egyenes körhenger alapkörének átmérője 6 dm, alkotója 50 cm. Rajzold le a testet perspektivikusan, és a hálóját is! Mennyi a felszíne és a térfogata? 187. Nagymama azt kéri a közelben lakó Péter unokájától, hogy az 5 literes fazekat vigye át neki, mert finom levest szeretne készíteni a családi ünnepre. Péter nézegeti az edényeket, de az aljukról már lekopott a jelzés, hogy hány literesek. Azt gyanítja, hogy a 20 cm átmérőjű alapkörrel rendelkező, 17 cm magas fazékra gondolt a nagyi. Megfelelő lesz-e a kiválasztott edény? 188. Mennyi bádoglemez szükséges 50 db 12 cm átmérőjű, 1 m hosszú kályhacső elkészítéséhez? 189. Egy egyenes körhenger alapkörének sugara 10 cm, térfogata 1000 cm 3. Mekkora a magassága? 190. Egy egyenes körhenger felszíne 4532,6 cm 2, tengelymetszetének területe 969,5 cm 2. Mekkora a térfogata? 191. Egy egyenes körhenger palástja kiterítve négyzet, amelynek oldala 42 cm. Egy egyenes körhenger felszíne 6418 cm 2, az alaplap sugarának és a henger magasságának az aránya 4 : 5. Mekkora az alaplap sugara és a magassága? 192. Henger alakú, felül nyitott edény készítéséhez 480 cm 2 lemezt használnak fel. Mekkora az edény térfogata, ha alapkörének sugara 6 cm? 193. Egy óránként 82 hl vizet adó forrás egy 7,5 m átmérőjű henger alakú medencébe folyik. Mennyit emelkedik a vízszent 4 óra alatt? 30

31 GEOMETRIA I Egy 6 cm és 8,5 cm oldalú téglalapot megforgatunk a rövidebb oldala körül. Mekkora kora az így keletkezett henger felszíne és a térfogata? II.4.1. A gúla A gúla olyan test, amelyet egy sokszöglap és annyi egy csúcsba összefutó háromszöglap határol, ahány oldala van a sokszögnek. A sokszög a gúla alapja, a háromszögek a gúla oldallapjai. Az alapokat határoló élek az alapélek. Az oldallapok az oldalélekben találkoznak. Az oldalélek egy pontban, a gúla csúcspontjában (csúcsában) futnak össze. Az oldallapokat együtt a gúla palástjának nevezzük. Oldallapmagasság: a palást egy háromszögének (oldallapjának) a magassága. Testmagasság: a csúcsból az alap síkjára bocsátott merőleges szakasz hossza. A szabályos gúla alapja szabályos sokszög, oldalélei egyenlő hosszúak, tehát oldallapjai egybevágó egyenlőszárú háromszögek, és az alappal alkotott hajlásszögük is egyenlő. szabályos tetraéder szabályos négyoldalú gúla szabályos hatoldalú gúla 195. Határozd meg a négyzet alapú szabályos gúla testmagasságát, ha minden éle 10 cm hosszú! 196. Egy hangya az A csúcsból a B csúcspontba a lehető legrövidebb úton szeretne eljutni a négyzet alapú szabályos gúla felületén, az oldallapokon haladva. A gúla minden éle 5,6 cm. Mekkora utat kell megtennie? 197. Egy négyzet alapú egyenes gúla alapéle 8 cm, a test magassága 0,3 dm. Rajzold le a testet perspektivikusan, és a hálóját is! Számítsd ki a felszínét és a térfogatát! 198. Egy négyzet alapú gúla palástját olyan háromszöglapok alkotják, melyek szárai épp egy méteresek, a háromszög magassága 8 dm. Rajzold le a testet, és kiterített hálóját is! Számold ki a gúla felszínét és térfogatát! 199. Egy tetraéder egyik csúcsába befutó élek páronként merőlegesek egymásra, hosszuk 12 cm, 18 cm és 32 cm. Számítsd ki a tetraéder térfogatát! 31

32 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET II.4.2. A kúp Az egyenes körkúp alaplapja kör. Az egyenes körkúp magassága a csúcsból az alaplap középpontjába állított merőleges szakasz. A forgáskúp alkotói i egyenlő hosszúak, a csúcsot az alaplap középpontjával összekötő szakasz merőleges az alaplap síkjára. A ϕ szöget a kúp nyílásszögének nevezzük Egy kúpot készítünk, melynek palástja egy félkör, melynek sugara 20 cm. Számítsd ki a felszínét és a térfogatát! 201. Forgáskúpok hálóját látod az alábbi ábrákon. a ) Számítsd ki a forgáskúpok alapkörének sugarát, ha az alkotó (palástot alkotó körcikk sugarának) hossza 24 cm. b) Számítsd ki a fenti forgáskúpokban az alkotó hosszát (palástot alkotó körcikk sugarát), ha az alapkör sugara 6 cm! 202. Egy egyenes körkúp alapkörének átmérője 16cm, magassága 6cm. Mekkora a felszíne és a térfogata? 203. Mekkora annak a forgáskúpnak a felszíne, mely alapkörének sugara 6 cm, alkotója 10 cm A wigwam forgáskúp alakú indián sátor (alja nincs). a ) Mekkora bőrből készült az a wigwam, melynek alapkörének átmérője és alkotója 2 m? b ) Hány m 3 levegő fér a wigwamba, ha alapkörének átmérője és magassága 2 m Építőkockából tornyot építünk egy forgáskúp alakú és egy forgáshenger alakú építőelemből. Mekkora a térfogata, ha a henger átmérője 4 cm, magassága 8 cm, a kúp éppen ráillik, és magassága 3 cm? 206. Mekkora a kúp alakú sóderhegy térfogata, a, ha magassága 4 méter, és a talajon 2 méter sugarú kört foglal el? Hány teherautóval tudják elszállítani, ha egy kis teherautó maximális terhelhetősége 1,4 tonna? A sóder sűrűsége 1600 kg/m 3. 32

33 GEOMETRIA I. III. Feladatgyűjtemény 1. Szerkessz háromszöget, ha adott két oldala (a és b), és az a oldallal szemközti α szög. (Itt elég a három feladathoz egy közös vázlat.) Figyeld meg a megoldások számát! a ) a = 10 cm, b = 8 cm, α = 45 c ) a = 5 cm, b = 3 cm, α = 60 b ) a = 4 cm, b = 10 cm, α = Adott egy háromszög egyik szöge és a másik két külső szög aránya. Számítsd ki a hiányzó szögeket! a) 70 és 2 : 3; b) 30, 8 : Egy háromszögben a legnagyobb szög a másik két szög összegének kétszerese. A két kisebb szög aránya 2 : 3. Mekkorák a háromszög szögei? 4. Egy falu határában egy vállalkozó egy kör alakú halastavat szeretne létesíteni egy háromszög alakú telken. Ezt a telket az egyik oldalról 1,2 km hosszan a műút határolja, a másik két oldalról pedig két dűlőút, az egyik 800 m, a másik 1,5 km hosszan. Hol legyen a havastó közepe, hogy a lehető legnagyobb területű legyen? Határozd meg, hogy legfeljebb mekkora lehet a tó sugara! 5. Szerkessz egyenlőszárú háromszöget, ha adott az alapja (5 cm), és az a szög, amelyet az alap az egyik szárhoz tartozó súlyvonallal bezár: 30! 6. Egy háromszög egyik szöge a másik két szög összegének a harmada. E két másik szög aránya 1 : 2. Mekkorák a háromszög szögei? Hol van a köré írt kör középpontja: a háromszögön belül, kívül vagy a határán? 7. Három testvér egy nagy, trapéz alakú földet örökölt, melynek egyik alapja éppen kétszer akkora, mint a másik. Hogyan osszák fel igazságosan egymás között? 8. Egy egyenlő szárú háromszög szára 75 mm, alapja 90 mm. Hány cm 2 a területe? 9. Rajzold be a hiányzó négyszöget, és írd be a nevét! 10. Egy deltoid átlói 75 mm, illetve 60 mm hosszúak. A rövidebb átló harmadolja a hosszabbat. a ) Mekkora a deltoid kerülete? b ) Mekkora a deltoid területe? c ) Szerkeszd meg a deltoidot! 33

34 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 11. Szerkeszd meg az alábbi deltoidot! Rövidebbik oldala 4 cm, hosszabb oldala 5,5 cm, a két különböző hosszúságú oldal által közbezárt szög 120. A szükséges adatok lemérése után határozd meg mekkora a deltoid területe! 12. Egy paralelogramma területe 44 dm 2. Mekkora az oldalának hossza, ha a hozzá tartozó magasság 40 cm? Létezik-e ilyen paralelogramma? 13. Szerkessz paralelogrammát, ha két oldala 5,4 cm és 6 cm, egyik szöge pedig 30! A szükséges adatok lemérése után számold ki a területét, kerületét! 14. Szimmetrikus trapéz párhuzamos oldalai 6 cm és 12 cm, a szárai 8 cm hosszúak. Mekkora a trapéz területe? 15. Az ábrán látható két szakasz ugyanazon kör két húrja. Szerkeszd meg a kört! 16. Egy motoros 90 m sugarú, félkör alakú úton halad. Mennyi idő alatt teszi meg a félkört, ha sebessége 50 km/h? 17. Mekkora az ábrán látható kék rész területe, ha a körök sugara egyaránt 5 cm? 18. Mekkora középponti szög tartozik ahhoz a körcikkhez, amely a kör területének 70%-át befedi? 19. Pompomot szeretnél készíteni, ezért egy körgyűrűt vágsz ki. A Nagykör átmérője 20 cm, a kiskör átmérője 5 cm. Mekkora a gyűrű területe? Mekkora területet tud lefedni a fonal, ha 3-szor tekered körbe a fonalat a körgyűrűn? 20. Egy b53-as csavaralátéthez két 5 mm illetve 3 mm átmérőjű lyukasztót használnak. Mennyi lesz egy alátét területe? Hány alátétet tudnak gyártani egy 30 cm-szer 5 cm-es lapból, ha a legkevesebb hulladékot állítják elő. Mennyi lesz a hulladék területe? 21. Egy körben a 40 -os középponti szöghöz 5 cm hosszúságú ív tartozik. a ) Mekkora kerületi szög tartozik a 12 cm-es ívhez? b ) Mekkora ívhossz tartozik a 70 -os kerületi szöghöz? 22. Mekkora a 24 cm átmérőjű kör középpontjának és a húrnak a távolsága, ha a húrhoz tartozó kisebbik íven nyugvó kerületi szög nagysága 34

35 GEOMETRIA I. 23. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! Ábrázold a kerületi- és a középponti szögeket is! A kör sugara 12 cm. 24. Mekkora a színezett rész területe, ha a kisebb kör sugara 18 cm, és α = 60,β = 45? 25. Karikázd be a konvex testeket a képen! 26. Számítsd ki annak a szabályos hatszög alapú egyenes hasábnak a térfogatát, melynek alapéle 5 cm, magassága 8 cm! Számítás előtt rajzold meg a hálóját! 27. Egy egyenes hasáb alaplapja olyan húrtrapéz, melynek alapjai 10 cm és 4 cm. Rajzold meg a test hálóját! A test magassága 5 cm. Számítsd ki a felszínét és a térfogatát! 28. Egy egyenes körhenger alaplapjának területe 34 cm 2, magassága 48 cm. Mekkora a felszíne és a térfogata? 29. Egy egyenes körhenger alapkörének átmérője és a magassága egyenlő. Mekkora a felszíne és a térfogata, ha sugara 8 cm? 35

36 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 30. Egy egyenes körhenger alapkörének átmérője 16 cm, magassága 10 cm. Mekkora a felszíne és a térfogata? 31. Tanuljunk meg testeket felismerhetően ábrázolni! 36

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint)

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) (ESZÉV 2004.minta III./7) Egy négyoldalú gúla alaplapja rombusz. A gúla csúcsa a rombusz középpontja felett van, attól 82 cm távolságra. A rombusz oldalának hossza

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 10. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/4365-1/008. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

1. A testek csoportosítása: gúla, kúp

1. A testek csoportosítása: gúla, kúp TÉRGOMTRI 1. testek csoportosítása: gúla, kúp Keressünk a környezetünkben gömböket, hengereket, hasábokat, gúlákat, kúpokat! Keressük meg a fenti képen az alábbi testeket! gömb egyenes körhenger egyenes

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

10. évfolyam, ötödikepochafüzet

10. évfolyam, ötödikepochafüzet 10. évfolyam, ötödikepochafüzet (Hasonlóság, trigonometria) Tulajdonos: ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Geometriai transzformációk... 3 I.1. A geometriai transzformációk ismétlése... 3 I.2. A vektorok ismétlése...

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria 1) Egy gömb alakú labda belső sugara 13 cm. Hány liter levegő van benne? Válaszát indokolja! 2) Egy forgáskúp alapkörének átmérője egyenlő a

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket!

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! ) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! 4 c) d) e) f) 9k + 6k l + l = ay + 7ay + 54a = 4 k l = b 6bc + 9c 4 + 4y + y 4 4b 9a évfolyam javítóvizsgára ) Végezd el az alábbi műveleteket és hozd a

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

5. modul Térfogat és felszínszámítás 2

5. modul Térfogat és felszínszámítás 2 Matematika A 1. évfolyam 5. modul Térfogat és felszínszámítás Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAFELVÉTELI a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA PRÓBAFELVÉTELI a 8. évfolyamosok számára MEGOLDÓKULCS MATEMATIKA PRÓBAFELVÉTELI a 8. évfolyamosok számára 2012. december 17. 10:00 óra NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tollal dolgozz! Zsebszámológépet nem asználatsz. A feladatokat tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

0663 MODUL SÍKIDOMOK. Háromszögek, nevezetes vonalak. Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes

0663 MODUL SÍKIDOMOK. Háromszögek, nevezetes vonalak. Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes 0663 MODUL SÍKIDOMOK Háromszögek, nevezetes vonalak Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes Matematika A 6. évfolyam 0663. Síkidomok Háromszögek, nevezetes vonalak Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő?

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő? Észforgató középiskolásoknak 1.Egy tálba egymás után felütünk tíz darab tojást. A tojások közül kettő romlott, de ez csak a feltöréskor derül ki. A záptojások az összes előttük feltört tojást használhatatlanná

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

3 6. 3 4. o.: 1 50. feladat 5 6. o.: 26 75. feladat. Mérünk és számolunk 2011. Egységnyi térfogatú anyag tömege

3 6. 3 4. o.: 1 50. feladat 5 6. o.: 26 75. feladat. Mérünk és számolunk 2011. Egységnyi térfogatú anyag tömege Jármezei Tamás Egységnyi térfogatú anyag tömege Mérünk és számolunk 211 FELADATGYŰJTEMÉNY AZ ÁLTALÁNOS ISKOLA 3 6. ÉVFOLYAMA SZÁMÁRA Jedlik-verseny I. forduló 3 4. o.: 1 5. feladat 5 6. o.: 26 75. feladat

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 1. FIZ1 modul. Optika feladatgyűjtemény

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 1. FIZ1 modul. Optika feladatgyűjtemény Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csordásné Marton Melinda Fizikai példatár 1 FIZ1 modul Optika feladatgyűjtemény SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4;

Részletesebben

Dr. Hant Lá szló, Há romi Ferenc: Á brázoló geometria feladatok SZÉCHENYI ISTVÁ N EGYETEM

Dr. Hant Lá szló, Há romi Ferenc: Á brázoló geometria feladatok SZÉCHENYI ISTVÁ N EGYETEM Dr. Hant Lá szló, Há romi Ferenc: Á brázoló geometria feladatok SZÉCHENYI ISTVÁ N EGYETEM 1 Tá voktatá si tagozat 1994 Ö sszeállította: Dr. Hant Lá szló fő iskolai docens Há romi Ferenc fő iskolai adjunkus

Részletesebben

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra A Kiadó javaslata alapján összeállította: Látta:...... Harmath Lajos munkaközösség vezető tanár Jóváhagyta:... igazgató

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

O 1.1 A fény egyenes irányú terjedése

O 1.1 A fény egyenes irányú terjedése O 1.1 A fény egyenes irányú terjedése 1 blende 1 és 2 rés 2 összekötő vezeték Előkészület: A kísérleti lámpát teljes egészében egy ív papírlapra helyezzük. A négyzetes fénynyílást széttartó fényként használjuk

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály

Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály SZENT ISTVÁN RÓMAI KATOLIKUS ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS ÓVODA 5094 Tiszajenő, Széchenyi út 28. Tel.: 56/434-501 OM azonosító: 201 669 Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály 1. Hányféleképpen lehet

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára Feladatok MATEMATIKÁBÓL a. évfolyam számára I.. Egy 35 fős osztályból mindenki részvett valamelyik iskolai kiránduláson. 5-en Debrecenbe utaztak, 8-an pedig Pécsre. Hányan utaztak mindkét városba?. Állapítsa

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Országos döntő, 1. nap - 015. május 9. ÖTÖDIK OSZTÁLY - ok 1. Egy háromjegyű szám középső számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk. A két szám összege

Részletesebben

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk MTEMTIK C 1. évflyam. mdul mi terünk Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató mdul célja Időkeret jánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk térfgat- és felszínszámítási

Részletesebben

Póda László Urbán János: Fizika 10. Emelt szintű képzéshez c. tankönyv (NT-17235) feladatainak megoldása

Póda László Urbán János: Fizika 10. Emelt szintű képzéshez c. tankönyv (NT-17235) feladatainak megoldása Póda László Urbán ános: Fizika. Emelt szintű képzéshez c. tankönyv (NT-75) feladatainak megoldása R. sz.: RE75 Nemzedékek Tudása Tankönyvkiadó, Budapest Tartalom. lecke Az elektromos állapot.... lecke

Részletesebben

Felkészülést segítő kérdések Gépszerkesztés alapjai tárgyból

Felkészülést segítő kérdések Gépszerkesztés alapjai tárgyból Felkészülést segítő kérdések Gépszerkesztés alapjai tárgyból - Ismertesse a kézi rajzkészítési technikát (mikor használjuk, előny-hátrány stb.)! Kézi technikák közül a gondolatrögzítés leggyorsabb, praktikus

Részletesebben

VI.7. RÁCSODÁLKOZÁS. A feladatsor jellemzői

VI.7. RÁCSODÁLKOZÁS. A feladatsor jellemzői VI.7. RÁSOÁLKOZÁS Tárgy, téma feladatsor jellemzői háromszögek, négyszögek területe rácssokszögek segítségével. Előzmények él terület fogalma. már ismert terület fogalom (főképp a háromszög és a négyszögek

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik 1991. évi verseny, 1. nap 1. Számold össze, hány pozitív osztója van 16 200-nak! 2. Bontsd fel a 60-at két szám összegére úgy, hogy az egyik szám hetede egyenlő legyen a másik szám nyolcadával! 3. Van

Részletesebben

Alak- és helyzettűrések

Alak- és helyzettűrések 1. Rajzi jelek Alak- és helyzettűrések Az alak- és helyzettűrésekkel kapcsolatos előírásokat az MSZ EN ISO 1101:2006 Termékek geometriai követelményei (GPS). Geometriai tűrések. Alak-, irány-, helyzet-

Részletesebben

MUNKAANYAG. Földi László. Szögmérések, külső- és belső kúpos felületek mérése. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Földi László. Szögmérések, külső- és belső kúpos felületek mérése. A követelménymodul megnevezése: Földi László Szögmérések, külső- és belső kúpos felületek mérése A követelménymodul megnevezése: Általános anyagvizsgálatok és geometriai mérések A követelménymodul száma: 0225-06 A tartalomelem azonosító

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

Matematika javítókulcs

Matematika javítókulcs 2003 ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS Matematika javítókulcs 6. évfolyam Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény - Értékelési Központ ÁLTALÁNOS TUDNIVALÓK A 2003-as tavaszi felmérés célja a tanulók

Részletesebben

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika 2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Hagyományos fakötések rajzai...5 2. Mérnöki fakötések rajzai... 15 3. Fedélidomok szerkesztése,

Tartalomjegyzék. 1. Hagyományos fakötések rajzai...5 2. Mérnöki fakötések rajzai... 15 3. Fedélidomok szerkesztése, Tartalomjegyzék 1. Hagyományos fakötések rajzai...5 2. Mérnöki fakötések rajzai... 15 3. Fedélidomok szerkesztése, fedélsíkok valódi méretének meghatározása... 27 3.1. Fedélidomok szerkesztése... 27 3.1.1.

Részletesebben

Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből)

Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Fénytan 1 Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Feladatok F. 1. Vízszintes asztallapra fektetünk egy negyedhenger alakú üvegtömböt, amelynek függőlegesen álló síklapját

Részletesebben

EÖTVÖS LABOR EÖTVÖS JÓZSEF GIMNÁZIUM TATA FELADATLAPOK FIZIKA. 11. évfolyam. Gálik András. A Tatai Eötvös József Gimnázium Öveges Programja

EÖTVÖS LABOR EÖTVÖS JÓZSEF GIMNÁZIUM TATA FELADATLAPOK FIZIKA. 11. évfolyam. Gálik András. A Tatai Eötvös József Gimnázium Öveges Programja FELADATLAPOK FIZIKA 11. évfolyam Gálik András ajánlott korosztály: 11. évfolyam 1. REZGÉSIDŐ MÉRÉSE fizika-11-01 1/3! BALESETVÉDELEM, BETARTANDÓ SZABÁLYOK, AJÁNLÁSOK A mérés során használt eszközökkel

Részletesebben

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Csavarvonal, csavarfelületek. Összeállította: Dr. Geiger János. Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Csavarvonal, csavarfelületek. Összeállította: Dr. Geiger János. Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA Csavarvonal, csavarfelületek Összeállította: Dr. Geiger János Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM 2014 TARTALOM 1. A munkafüzet célja, területei, elsajátítható kompetenciák...

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz Fejlesztőfeladatok MATEMATIKA 4. szint 2015 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI A Gyakorló feladatsor I. megoldásai Számadó László (Budapest)

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI A Gyakorló feladatsor I. megoldásai Számadó László (Budapest) NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI A Gyakorló feladatsor I. megoldásai Számadó László (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre bontása csak ott lehetséges,

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2007. NOVEMBER 24.) 3. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2007. NOVEMBER 24.) 3. osztály 3. osztály Anna, Béla és Csaba összesen 36 diót talált a kertben. Annának és Bélának együtt 27, Bélának és Csabának együtt 19 diója van. Mennyi diót találtak külön-külön a gyerekek? Gondoltam egy kétjegyű

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 8. EMELT SZINT I. 1) Egy 011-ben készült statisztikai összehasonlításban az alábbiakat olvashatjuk: Ha New York-ban az átlagfizetést és az átlagos árszínvonalat egyaránt

Részletesebben

10. JAVÍTÓKULCS ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS 2007 MATEMATIKA. Oktatási Hivatal Országos Közoktatási Értékelési és Vizsgaközpont É V F O L Y A M C Í M K E

10. JAVÍTÓKULCS ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS 2007 MATEMATIKA. Oktatási Hivatal Országos Közoktatási Értékelési és Vizsgaközpont É V F O L Y A M C Í M K E 10. C Í M K E É V F O L Y A M TANULÓI AZONOSÍTÓ: ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS 2007 JAVÍTÓKULCS MATEMATIKA Oktatási Hivatal Országos Közoktatási Értékelési és Vizsgaközpont ÁLTALÁNOS TUDNIVALÓK Ön a 2007-es

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Név:...EHA kód:... 2007. tavasz

Név:...EHA kód:... 2007. tavasz VIZSGA_FIZIKA II (VHNB062/210/V/4) A MŰSZAKI INFORMATIKA SZAK Név:...EHA kód:... 2007. tavasz 1. Egy 20 g tömegű testet 8 m/s sebességgel függőlegesen felfelé dobunk. Határozza meg, milyen magasra repül,

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Anna, Béla és Csaba összesen 36 diót talált a kertben. Annának és Bélának együtt 27, Bélának és Csabának együtt 19 diója van. Mennyi diót találtak külön-külön a gyerekek? A 36 dióból 27 Annáé

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA É RETTSÉGI VIZSGA 2015. október 22. FIZIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. október 22. 14:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Térgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

Tető nem állandó hajlású szarufákkal

Tető nem állandó hajlású szarufákkal 1 Tető nem állandó hajlású szarufákkal Már korábbi dolgozatainkban is szó volt a címbeli témáról. Most azért vettük újra elő, mert szép és érdekes ábrákat találtunk az interneten, ezzel kapcsolatban, és

Részletesebben

GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK

GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 25. GÉPÉSZETI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 25. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS

Részletesebben

Varga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010.

Varga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010. Varga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010. 1. feladat tengeren léket kapott egy hajó, de ezt csak egy óra múlva vették észre. Ekkorra már 3 m 3 víz befolyt a

Részletesebben

Az ellipszis, a henger AF 22 TORZS/ HATODIK/Tor62al98.doc

Az ellipszis, a henger AF 22 TORZS/ HATODIK/Tor62al98.doc Az ellipszis, a henger AF 22 TORZS/ HATODIK/Tor62al98.doc..\..\Tartalomjegyzék.doc - Az ellipszis Cél: Látvány utáni tanulmány. Szakkörön, rajziskolában heteken át szerkezeti rajzokat készítenénk, átlag

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK Építészeti és építési alapismeretek középszint 1521 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. október 12. ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK

Részletesebben

A próbafelvételi eredményei: (Minden feladat 5 pontos volt...)

A próbafelvételi eredményei: (Minden feladat 5 pontos volt...) A csoport: A próbafelvételi eredményei: (Minden feladat pontos volt...) Minta feladatsor (A) matematikából 014. december 1. (Feladat számolásra) Határozd meg a ; b és c értékét! a = ( 1 3 + 1 6) : 1 6

Részletesebben

3. Geometria. I. Feladatok

3. Geometria. I. Feladatok 3. Geometria I. Feladatok 1. Egy körben adott két, egymásra merőleges átmérő. Az egyik végpontból húzott húrt a másik átmérő 2 és 4 egység hosszú szakaszokra bontja. Mekkora a kör sugara? Kalmár László

Részletesebben

Javítókulcs M a t e m a t i k a

Javítókulcs M a t e m a t i k a 6. évfolyam Javítókulcs M a t e m a t i k a Országos kompetenciamérés 2011 Oktatási Hivatal ÁLTALÁNOS TUDNIVALÓK Ön a 2011-es Országos kompetenciamérés matematikafeladatainak Javítókulcsát tartja a kezében.

Részletesebben

Feladatok GEFIT021B. 3 km

Feladatok GEFIT021B. 3 km Feladatok GEFT021B 1. Egy autóbusz sebessége 30 km/h. z iskolához legközelebb eső két megálló távolsága az iskola kapujától a menetirány sorrendjében 200 m, illetve 140 m. Két fiú beszélget a buszon. ndrás

Részletesebben

Általános gépészeti technológiai feladatok. Géprajzi alapismeretek Gépészeti szakszámítások

Általános gépészeti technológiai feladatok. Géprajzi alapismeretek Gépészeti szakszámítások Általános gépészeti technológiai feladatok Géprajzi alapismeretek Gépészeti szakszámítások A géprajzi feladata A gépalkatrészek gyártását és szerelését műszaki rajzok alapján végzik. A műszaki rajz valamely

Részletesebben

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK Építészeti és építési alapismeretek középszint 1211 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 23. ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

Axonometria és perspektíva. Szemléltető céllal készülő ábrák

Axonometria és perspektíva. Szemléltető céllal készülő ábrák Axonometria és perspektíva Szemléltető céllal készülő ábrák Axonometria Jelentése: tengelyek mentén való mérés (axis: tengely, metrum: mérték) Az axonometria a koordinátarendszer tengelyein mért távolságok,

Részletesebben

b) Adjunk meg 1-1 olyan ellenálláspárt, amely párhuzamos ill. soros kapcsolásnál minden szempontból helyettesíti az eredeti kapcsolást!

b) Adjunk meg 1-1 olyan ellenálláspárt, amely párhuzamos ill. soros kapcsolásnál minden szempontból helyettesíti az eredeti kapcsolást! 2006/I/I.1. * Ideális gázzal 31,4 J hőt közlünk. A gáz állandó, 1,4 10 4 Pa nyomáson tágul 0,3 liter térfogatról 0,8 liter térfogatúra. a) Mennyi munkát végzett a gáz? b) Mekkora a gáz belső energiájának

Részletesebben

L Ph 1. Az Egyenlítő fölötti közelítőleg homogén földi mágneses térben a proton (a mágneses indukció

L Ph 1. Az Egyenlítő fölötti közelítőleg homogén földi mágneses térben a proton (a mágneses indukció A 2008-as bajor fizika érettségi feladatok (Leistungskurs) Munkaidő: 240 perc (A vizsgázónak két, a szakbizottság által kiválasztott feladatsort kell kidolgoznia) L Ph 1 1. Kozmikus részecskék mozgása

Részletesebben

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK 0521 É RETTSÉGI VIZSGA 2005. október 24. ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM A) feladatrész: Teszt jellegű kérdéssor

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2015. október 13. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2015. október 13. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc É RETTSÉGI VIZSGA 2015. október 13. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. október 13. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör lemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 26. 1.1. eladat. z konvex négyszögben {} = és { } = (lásd a mellékelt ábrát). izonyítsd be, hogy a következő három kijelentés egyenértékű: 1. z négyszögbe

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 7. MINISZTÉRIUMA. 2013. május 7. 8:00 EMBERI ERFORRÁSOK

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 7. MINISZTÉRIUMA. 2013. május 7. 8:00 EMBERI ERFORRÁSOK I. rész II. rész a feladat sorszáma maximális pontszám elért pontszám maximális pontszám 1. 11 2. 13 51 3. 13 4. 14 16 16 64 16 16 8 nem választott feladat Az írásbeli vizsgarész pontszáma 115 elért pontszám

Részletesebben