10. évfolyam, ötödikepochafüzet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "10. évfolyam, ötödikepochafüzet"

Átírás

1 10. évfolyam, ötödikepochafüzet (Hasonlóság, trigonometria) Tulajdonos:

2 ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Geometriai transzformációk... 3 I.1. A geometriai transzformációk ismétlése... 3 I.2. A vektorok ismétlése... 7 I.2.1. Vektorok összeadása... 8 I.2.2. Vektorok kivonása... 9 I.2.3. Vektor szorzása számmal I.3. Hasonlóság I.3.1. A középpontos hasonlóság I.3.2. Szakasz felosztása I.3.3. A háromszög súlypontja I.3.4. Hasonló alakzatok arányai, területük, térfogatuk I.3.5. Magasság és befogótétel II. Hegyesszögek szögfüggvényei II.1. Szögfüggvények bevezetése II.2. Szöveges feladatok szögfüggvényekkel II.3. Ívmérték II.4. Térgeometria feladatok szögfüggvényekkel II.5. Nevezetes szögek szögfüggvényei II.6. Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között II.6.1. Összefüggés egy szög tangense és kotangense között II.6.2. Pótszögek szögfüggvényei II.6.3. Pitagoraszi azonosság II.6.4. A tangens és kotangens szögfüggvények kapcsolata a szinusz és koszinusz szögfüggvényekkel III. Feladatgyűjtemény

3 HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA I. Geometriai transzformációk I.1. A geometriai transzformációk ismétlése 1. Gyűjtsd össze a tanult geometriai transzformációkat! a ) Írd le a füzetbe az elnevezésüket, és azt, hogy melyikhez mit kell megadni! (Pl.: tengelyes tükrözéshez adott egy egyenes.) b ) Csoportosítsd a geometriai transzformációkat aszerint, hogy melyik egybevágóság és melyik nem! 2. Keress torzító geometriai transzformációkat! 3. Végezd el a tengelyes és a középpontos tükrözést a négyzetrács segítségével! 4. Legyen a hozzárendelés szabálya: ( ; y) ( x + 5; y 2) x a! Ábrázold az így kapott zászló képét! Melyik geometriai transzformációt adtuk meg? 3

4 ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET Legyen a hozzárendelés szabálya: ( x; y) a ( 2x; 2y) 5. Legyen a hozzárendelés szabálya: háromszög képét! Milyen geometriai transzformációt végeztél?! Ábrázold az így kapott 6. Vetítsd merőlegesen a v egyenesre a P pontot és az AB szakaszt! 7. Rajzolj a füzetedbe egy háromszöget, és betűzd meg a csúcsait. Vegyél fel egy O1 és egy O2 pontot. Tükrözd a háromszöget az O1 pontra, majd az így kapott képet az O2 pontra! 8. Rajzolj a füzetedbe egy háromszöget, betűzd meg a csúcsait, és rajzolj két egymással párhuzamos egyenest (t1 és t2 ). Tükrözd a háromszöget az egyik egyenesre, majd az így kapott képet a másik egyenesre! 9. Hasonlítsd össze az előző két feladat megoldásait! Figyeld meg mindkét feladat esetén, hogy milyen módon kaphatnánk meg az eredeti háromszögből a harmadikat egy geometriai transzformációval! 4

5 HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA 10. Rajzold meg az alakzatok megadott nyíllal eltolt képét! 11. Megadtuk az alakzatok valamely pontjának eltolt képét. Rajzold meg a teljes képet! Jelöld az eltolás vektorát is! 12. Az előző feladatok tapasztalata alapján gyűjtsd össze az eltolás tulajdonságait! Egészítsd ki a szöveget! a) Egyenes eltoltjának a képe... b) Szakasz eltoltjának a képe... c) Alakzat és eltoltjának a körüljárása... d) Egy szög és eltoltjának a képe... e) Van-e az eltolásnak fix pontja? f) Van-e az eltolásnak fix egyenese? 5

6 ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET 13. Készíts egy halmazábrát, melyen a tengelyes tükrözés, a középpontos tükrözés és az eltolás szerepel, és írd a következő tulajdonságokat a megfelelő helyre! a ) távolságtartó b ) szögtartó c ) bármely egyenes és képe párhuzamos egymással d ) a körüljárási irányt megtartja e ) van olyan pont, melynek képe önmaga f ) van olyan egyenes, melynek képe önmaga g ) szög és képe egyállású h ) szög és képe fordított állású 14. Írj az előző feladat halmazábrájába további tulajdonságokat! Próbálj az üresen maradt részekbe is egyet-egyet találni! 6

7 HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA I.2. A vektorok ismétlése Ha az irányított szakaszoknak csak a nagyságát és az irányát vesszük figyelembe azzal nem törődünk, hogy melyik pontból indulnak, akkor azokat vektornak nevezzük. A vektort nagyságával és irányával jellemezhetjük. A v-vel jelölt vektorok egyenlők, mert nagyságuk egyforma, párhuzamosak és irányuk azonos. Az a, b, c,d vektorok mindegyike különböző, mert valamely jellemzőjük eltér egymástól: Az a és c vektorok egyenlő hosszúságúak, de nem párhuzamosak, a b és d vektor párhuzamos, de nem egyenlő hosszú, az a és b vektor egyenlő hosszú, párhuzamos, de ellentétes irányú. A vektorokat írásban kétféleképpen jelölhetjük: aláhúzott kisbetűvel: v a kezdő és végpontot megadva, nyíllal jelölve: AB Speciális vektorok: Nullvektor(0): 0 hosszúságú vektor. Definíciója: olyan vektor, amelynek megegyezik a kezdőpontjaés a végpontja. Irányát tetszőlegesnek tekintjük. Az a vektor ellentettjének nevezzük azt a vektort, amelyik vele egyenlő abszolút értékű, egyező állású, de vele ellentétes irányú. Jelölése: a. 15. Keress egyenlő és ellentett vektorokat a kockán és a szabályos hatszögön! 7

8 ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET 16. Keress egyenlő, egyenlő hosszúságú, illetve ellentett vektorokat az ábrán! I.2.1. Vektorok összeadása Toljuk el az ABC háromszöget előbb az a, majd a bvektorral! A két eltolás egymásutánját helyettesíthetjük egyetlen eltolással is. Ennek vektorát a kétvektor összegének nevezzük. Két vektor összegét kétféle módszer szerint szerkeszthetjük meg: a ) háromszög módszer: az a végpontjából mérjük fel a b vektort; ekkor az a + b vektor az a kezdőpontjából a b végpontjába mutat. b ) paralelogramma módszer: az a és b vektorokat közös kezdőpontból mérjük fel, kiegészítjük paralelogrammává; ekkor az a + b vektor a paralelogramma közös kezdőpontból kiinduló átló vektora. 8

9 HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA Több vektor összeadásánál használható a láncszabály: Egy avektor és a nullvektor összege az avektorral egyenlő: a + 0 = a. 17. Másold át a füzetedbe az a, a b és a c vektort, és szerkeszd meg az alábbi vektorokat: a ) a + b; d ) a + (b + c); b ) b + a; e ) (a + b) + c c ) a + b + c; 18. Fogalmazd az előző feladat tapasztalata alapján a vektorok összeadására vonatkozó műveleti tulajdonságokat! A vektorok összeadását használjuk például vektor összetevőkre bontásakor a fizikában. A szánkót húzó személy a kötélen keresztül F erőt gyakorol a szánkóra. Ennek az erőnek a vízszintes komponense (F v ) a gyorsításra fordítódik, függőleges komponense (F F ) a test talajra ható nyomóerejét csökkenti. F felbontható erre a két komponensre! I.2.2. Vektorok kivonása Laci Párizsból Budapestre repül, Berlin érintésével. Útjának vektorait bejelöltük. Felírhatjuk,hogy a= b+ c.. Ha a c vektort akarjuk kifejezni aés b segítségével, vagyis az összeg és azegyik összeadandó segítségével írjuk fel a másik összeadandót, akkor a két vektor különbségét képezzük: c= a b. 9

10 ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET Az a bvektort úgy is megszerkeszthetjük, hogy az avektorhoz hozzáadjuk bellentett vektorát ( bvektort). Az a és b vektorok különbségét úgy képezzük, hogy közös kezdőpontból mérjük felőket. A végpontjaikat összekötő, a végpontja felé mutató vektor az a b vektor. A vektorok kivonására nem teljesül sem a kommutativitás, sem az asszociativitás. I.2.3. Vektor szorzása számmal Az ábrán az a, bés cvektorok között összefüggések állapíthatók meg. Az ellenetett vektor definíciójánál láttuk, hogy b = a. A cés bvektorok között a számmal való szorzás teremt kapcsolatot: cvektor két bösszeadásával keletkezett, így is írhatjuk: c= 2b.Az ellentett vektor helyett szorzással a b= 1 aösszefüggést is felírhatjuk. Így tehát c= 2 ( 1 a) = 2 a További példák vektorok szorzására: Az a vektor k-szorosa (ahol k egy valós szám) az a vektor, amelynek hossza k a, iránya pedig k > 0 esetén a irányával megegyező, k < 0 esetén a irányával ellentétes. k = 0 esetén nullvektort kapunk. Ha 0-val szorzunk egy vektort, nullvektort kapunk. 1-nél nagyobb abszolút értékű számmal megszorozva a vektor hossza növekszik (nyújtás), 0 és 1 közé eső abszolút értékű számmal megszorozva csökken (összenyomás). A csupán szorzótényezőjükben különböző vektorokat egyneműeknek tekintjük, így azok összevonhatók: a+ 2a= 3a. 19. Mi az összefüggés a b és b a között? 10

11 HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA 20. Adj meg három vektort, és rajzold fel a b c, (a b) c és a (b c) vektorokat! Segítségükkel igazold, hogy a vektorok kivonására nem teljesül az asszociativitás (csoportosíthatóság)! 21. Vegyél fel egy tetszőleges avektort, és szerkeszd meg a következő vektorokat! 22. Adott az ábra szerint az a, b és c vektor. A füzetedbe rajzold meg a következő vektorokat a négyzetrács segítségével! 23. Add meg a vektorműveletek eredményét (összevonás után): 24. Adott egy szabályos hatszög egy csúcsából kiinduló a és b vektor. Írd fel ezek segítségével a következő vektorokat: 25. A paralelogramma oldalvektorainak (a és b )segítségével írd fel a következő vektorokat, ha,! a) ;b) ; c) ; d). Melyik vektort adja meg? e) ;f) ; g)? 11

12 ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET 26. Adott egy két négyzetből álló téglalap, és egy csúcsábólkiinduló = és = vektor. Írd fel az a és a bsegítségével a következő vektorokat (G, M és Hfelezőpontok): 27. Az a és b vektorok 3 egység hosszúak, egymással 60 -os szöget zárnak be. Mekkoraaz a + b vektor hossza? 28. Az a és b vektorok 5 egység hosszúak, egymással 90 -os szöget zárnak be. Mekkoraaz a + b vektor hossza? 29. Egy testre ható erők eredőjét úgy szerkesztjük meg, hogy a súlypontjába mérjük fel atestre ható összes erőt, majd ott összeadjuk az erővektorokat. Szerkeszd meg a testekreható eredő erőt! a ) b ) c ) 30. Írjuk fel az a és b vektorokat az i és j segítségével! (Az i és j vektorok hossza egységnyi, és párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel. Ezeket szoktuk a koordinátarendszer bázisvektorainak is nevezni.) 12

13 HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA 31. Rajzolj egy vektort, mely a koordináta-rendszer rendszer origójából a megadott pontba mutat! Írd fel a vektort az i és j bázisvektorok segítségével! a ) A (3; 5) b ) B (-5; 2) c ) C (-4; -7) d ) D (6; -2) 32. A méhecskék koordináta-rendszerében állítsuk elő az i és j vektoroksegítségével a következő vektorokat! Segítségképpen határozd mega hatszög átlóinak és oldalainak vektorait! Például BD vektor: BD= = 3 (-j) + 2 (- (i+j)) = -5j i. 13

14 ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET I.3. Hasonlóság Az aránytartó geometriai transzformációkat hasonlóságnak nak nevezzük. A hasonlóság aránya megmutatja, hogy a képalakzat bármely mérete hányszorosa az eredeti alakzat megfelelő méretének. 1. Adj becslést a térkép alapján a bejelölt közelítőleg háromszög alakú telek valódi nagyságára! A térkép méretaránya 1 : Osszátok ki egymás között a csoportban az A, B, C, D betűket! a ) Figyeld meg a saját betűdnek megfelelő téglalapot vagy háromszöget és keress hozzá hasonlót! Színezd ki az oldalait megfelelő színekkel! b ) Döntsd el, hogy az eredetihez képest nőtt vagy csökkent a méret! Hányszorosára? c ) Beszéljétek meg a négy feladat megoldását a csoportban! 3. A sor elején álló színes sokszögek mindegyikéhez pontosan egy hasonlót találsz vele egy sorban. Válaszd ki mindegyiknek a hasonló párját, és színezd a megfelelő részeit azonos színnel! Választásodat indokold! 14

15 HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA 4. Nagyítsd kétszeresére, háromszorosára, illetve kicsinyítsd felére a L betűt! 5. Rajzolj a füzetedbe egy koordinátarendszert, és ábrázold azt a négyszöget, melynek csúcsai: A(2;0), B(6; 2), C(6; 6), D(2; 8)! a ) Végezd el a betűjelednek megfelelő transzformációt (írd le, hogy melyik pontnak hogyan változnak a koordinátái), és rajzold meg az így kapott alakzatot színessel! 1 1 A: ( x; y) a x; y pirossal B: ( x; y) a ( 2x; 2y) kékkel 2 2 x y 2x; y x; y a x + 1; y + 2 sárgával C: ( ; ) a ( ) zölddel D: ( ) ( ) b ) Rajzoljátok meg a többi ábrát is a saját koordinátarendszeretekbe, a megfelelő színekkel! c ) Mely alakzatok hasonlóak az eredetihez? 6. Ábrázold a pontokat koordinátarendszerben: A(-1; 2), B(1; 4), C(3; 2) D(1; -3), és kösd össze őket! Milyen négyszöget kaptál? A következő feladatoknál végezd el az utasításnak megfelelő geometriai transzformációt! Figyeld meg az eredeti és a kép alakzatot, majd válaszolj a füzetedben a kérdésekre! Minden feladatot külön koordinátarendszerben oldj meg! (Szétosztható a csoport tagjai között.) x; y a x; y a ) ( ) ( ) Mi a neve az elvégzett geometriai transzformációnak? Van olyan pont a síkon, ami egyhelyben marad? Mit mondhatsz el egy szakasz és képének hosszáról? Hogy nevezzük ezt a tulajdonságot? Mit mondhatsz egy szög és képének nagyságáról? Mi ennek a tulajdonságnak az elnevezése? x; y a 2x; 2y b ) ( ) ( ) Mi a neve az elvégzett geometriai transzformációnak? Van olyan pont a síkon, ami egyhelyben marad? Mit mondhatsz el egy szakasz és képének hosszáról? És az egymáshoz viszonyított helyzetükről? Mit tudsz egy szög és képének nagyságáról? 15

16 ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET c ) ( x; y) a ( x + 3; y + 2) Mi a neve az elvégzett geometriai transzformációnak? Van olyan pont a síkon, ami egyhelyben marad? Mit mondhatsz el egy szakasz és képének hosszáról? És az egymáshoz viszonyított helyzetükről? Mit tudsz egy szög és képének nagyságáról? x; y a x; y d ) ( ) ( ) Mi a neve az elvégzett geometriai transzformációnak? Van olyan pont a síkon, ami egyhelyben marad? Mit mondhatsz el egy szakasz és képének hosszáról? És az egymáshoz viszonyított helyzetükről? Mit tudsz egy szög és képének nagyságáról? 7. Ábrázold és kösd össze a koordinátarendszerben a pontokat: A( 6; 4), B( 4; 1), C( 2; 4), D( 4; 7)! Milyen négyszöget kaptál? Készítsd el a négyszög hasonló képét úgy, hogy az AB oldal képe az A B legyen, ahol A (8; 1) és B (2; 5)! Számold ki a hasonlóság arányát is! 8. Rajzold meg azt a háromszöget, melynek csúcsai: A(3; 1), B(6; 5), C(6; -1)!Készítsd el a háromszög hasonló képét úgy, hogy a BC oldal képe a B C, és B (8; 5), C (6; 5) legyen! Számold ki a hasonlóság arányát is! 9. Megfigyeléseid alapján döntsd el, hogy melyik állítás biztos igaz (i), melyik hamis (h), melyik lehet hogy igaz (l). Hasonló alakzatok megfelelő szöge egyenlő. Egy egyenes és egy körív lehet hasonló. Ha két sokszög hasonló, akkor oldalaik páronként párhuzamosak. Hasonló alakzatok körüljárási iránya megegyezik. Ha két háromszög hasonló, és az egyik egyenlőszárú, akkor a másik is az. Ha egy sokszög két oldala egyforma hosszú, akkor a hozzá hasonló alakzatnak is lesz két egyforma hosszú oldala. EMLÉKEZTETŐ: A háromszögek egybevágóságának alapesetei: Két háromszög egybevágó, ha egyenlő három oldaluk; vagy két oldaluk, és a közéjük zárt szög; vagy két oldaluk, és a hosszabbikkal szemben fekvő szög; vagy egy oldaluk és a rajta fekvő két szög. 10. Válaszold meg a kérdéseket! a ) Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlők. Milyen feltételnek kell teljesülni a háromszög oldalaira, hogy a két háromszög hasonló legyen? 16

17 HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA b ) Két háromszög egybevágó, ha két-két oldaluk és a közrezárt szög egyenlő. Milyen feltételnek kell teljesülni a háromszögek két-két oldalára, és a közrezárt szögre, hogy a két háromszög hasonló legyen? c ) Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk, s a hosszabbikkal szemben fekvő szög egyenlő. Hogy lehetne ezt átfogalmazni hasonlóságra? d ) Két háromszög egybevágó, ha egy oldaluk, s a rajta fekvő két szög egyenlő. Hogy hangzik ennek a feltételnek a hasonló háromszögekre vonatkozó párja? A háromszögek hasonlóságának alapesetei: Két háromszög hasonló, ha oldalaik aránya páronként egyenlő; vagy két oldaluk aránya, és a közéjük zárt szög egyenlő; vagy két oldaluk aránya, és a hosszabbikkal szemben fekvő szög egyenlő; vagy van két egyenlő nagyságú szögük. 17

18 ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET I.3.1. A középpontos hasonlóság A hasonlóság speciális esete, amikor egy középpontból kicsinyítünk, vagy nagyítunk. Ezt a geometria transzformációt középpontos hasonlóságnak nevezzük. Ilyenkor adott egy O középpont és egy λ (lambda) pozitív arányszám. Ha például a λ = 2, akkor bármely P pont képét úgy kapjuk meg, hogy összekötjük az O ponttal, és az OP félegyenesre felmérjük az OP távolság kétszeresét. Ha aλ= 3 1, akkor egy tetszőleges S pont képét úgy kapjuk meg, hogy összekötjük az O ponttal, és az OS félegyenesre felmérjük az OS távolság 3 1 részét. Általánosan: Bármely P pont középpontosan hasonló képe egy olyan P pont, mely az OP' OP félegyenesen van, és = λ. Az O pontból kiinduló félegyeneseket OP vetítősugaraknak nevezzük. Ha aλ értéke 1- nél nagyobb, akkor középpontos nagyításról beszélünk. Ha aλ értéke 0 és 1 közé esik, akkor középpontos kicsinyítésről van szó. 11. Rajzolj a koordinátarendszerbe derékszögű háromszöget, melynek csúcsai: A ( 4; 0), B( 4; 2) és C(0; 2)! a ) Nagyítsd a háromszöget középpontosan kétszeresére úgy, hogy az origó legyen a középpont! b ) Kicsinyítsd a háromszöget a felére középpontosan úgy, hogy az origó legyen a középpont! c ) Nagyítsd a háromszöget középpontosan háromszorosára úgy, hogy a C pont legyen a középpont! 12. Vegyél fel a füzetedbe egy e egyenest, egy A kezdőpontú félegyenest és egy O pontot! a ) Szerkeszd meg az egyenes és a félegyenes középpontosan hasonló képét, ha O a középpont és az arány 2! b ) Szerkeszd meg az egyenes és a félegyenes középpontosan hasonló képét, ha O a középpont és az arány 2 1! 13. Vegyél fel a füzetedbe egy AB szakaszt, egy α szöget, és egy O pontot! a ) Szerkeszd meg a szakasz és a szög középpontosan hasonló képét, ha O a középpont és az arány 2! b ) Szerkeszd meg a szakasz és a szög középpontosan hasonló képét, ha O a középpont és az arány 2 1! c ) Szerkeszd meg a szakasz és a szög középpontosan hasonló képét, ha O a középpont és az arány 3! 14. Szerkessz paralelogrammát, amelynek oldalai 2 és 4 cm-esek, és egyik szöge 45 -os! Betűzd meg a paralelogramma csúcsait és oldalait! 18

19 HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA a ) Jelölj ki egy O pontot és nagyítsd a paralelogrammát kétszeresére az O-ból! Milyen alakzatot kaptál? b ) Mérd meg az így kapott alakzat oldalait, és számold ki az arányukat! Mit tapasztalsz? 15. Rajzolj egy húrtrapézt! a ) Válaszd ki valamelyik csúcsát, és kicsinyítsd abból felére! b ) Színezd az egymásnak megfelelő oldalakat azonos színnel! Figyeld meg ezeket! Mit tapasztalsz? 16. Rajzolj egy kört, és szerkessz bele egy szabályos hatszöget! a ) Nagyítsd a hatszöget a körrel 1,5-szeresére a kör középpontjából! b ) Figyeld meg az eredeti és a kép hatszög megfelelő oldalait és szögeit! 17. Válaszolj a kérdésekre! a ) Milyen alakzatot kapunk, ha egy egyenes középpontosan hasonló képét megrajzoljuk? b ) Vizsgáljuk egy egyenes és középpontosan hasonló képének a helyzetét! c ) Milyen helyzetűek, ha az eredeti egyenes áthalad a középponton? d ) Milyen helyzetűek, ha az eredeti egyenes nem halad át a középponton? e ) Ha egy félegyenest és középpontosan hasonló képét vizsgáljuk, mit tudsz elmondani? f ) Egy szög és hasonló képének szárai milyen félegyenesek? g ) Hogyan neveztük az ilyen szögeket? h ) Hogyan helyezkedhet el egymáshoz képest egy szakasz és középpontosan hasonló képe, attól függően, hogy hol a hasonlóság középpontja? Készíts rajzokat! i ) Milyen alakzatot kapunk, ha egy kört középpontosan nagyítunk, vagy kicsinyítünk? 19

20 ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET EMLÉKEZTETŐ: Ha adott egy e egyenes és rajta kívül egy P pont, akkor az e egyenessel párhuzamost a P ponton át úgy szerkeszthetünk, hogy felhasználjuk a paralelogramma oldalainak párhuzamosságát. A szerkesztés menete: 1. lépés: jelöljünk ki két pontot az egyenesen! 2. lépés: Rajzoljunk egy A középpontú PB sugarú kört! 3 lépés: Rajzoljunk egy P középpontú AB sugarú kört! Az így kapott R pontot P-vel összekötve az eredeti e egyenessel párhuzamos egyenest kapunk. 18. Az ábrán az A pont középpontosan nagyított képe A. Szerkeszd meg a B pont képét is! 20

21 HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA 19. Szerkeszd meg a megadott pontok képét, illetve eredetijét, ha az O középpontú hasonlóság az A pontot A -be viszi! a) b) 21

22 ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET 20. Szerkeszd meg az ABC háromszög O pontra vonatkozó kicsinyített képét, ha az A csúcsának képe A! Ha adott az O középpont, valamint egy Apont és annak középpontosan hasonló képe A, akkor bármely pont képe megszerkeszthető. Szeretnénk B pont képét, vagyis B -t megszerkeszteni. Gondoljuk végig a következőket: Mivel középpontos nagyításról van szó, ezért B rajta van az O kezdőpontú OB félegyenesen. Mivel bármely szakasz és középpontosan hasonló képe párhuzamos, ezért AB és A B is. A szerkesztés menete tehát: 1. lépés: Húzzuk meg az OB félegyenest! 2. lépés: Húzzuk be az AB szakaszt! 3. lépés: húzzunk párhuzamost AB-vel az A ponton át! 22

23 HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA I.3.2. Szakasz felosztása 21. Végezd el az A 1 B 1 szakasz kétszeres (A 2 B 2 ), háromszoros (A 3 B 3 ) illetve négyszeres (A 4 B 4 ) nagyítását! A középpont legyen az O pont! Figyeld meg a rajzod, és válaszolj a kérdésekre! a ) Mit mondhatunk el az A 1 B 1 szakaszról és nagyított képeiről? (helyzetük, nagyságuk) b ) Mit mondhatunk el az A 2 A 3 és az OA 1 szakasz hosszáról? c ) Van még ilyen hosszú szakasz a rajzon? d ) Keress még egyenlő szakaszokat a képen! 22. A képen látható B 3 pont O középpontú háromszoros nagyítással készült. Végezd el az A 1 pont kétszeres illetve háromszoros nagyítását, és annak felhasználásával szerkeszd meg az eredeti B 1 pontot, és kétszeresen nagyítását is! 23

24 ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET 23. Oszd fel az OB 3 szakaszt három egyenlő részre! Egy szakaszt tetszőleges számú egyenlő részre feloszthatunk a középpontos hasonlóság tulajdonságai alapján. Osszunk fel egy AB szakaszt például öt egyenlő részre! 1. lépés: Vegyük fel a szakaszt! 2. lépés: A szakasz egyik végpontjából húzzunk egy félegyenest, és mérjünk fel rá egy tetszőleges távolságot ötször! 3. lépés: Az utolsó osztópontot kössük össze a B ponttal, és ezzel az egyenessel húzzunk párhuzamosakat a többi osztóponton át! 24

25 HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA A középpontos hasonlóság tulajdonságai: Egy egyenes középpontosan hasonló képe egyenes.. Ha a középpont az egyenesen van, akkor képe önmaga, ha az egyenesen kívül esik, akkor az egyenes és képe párhuzamos egymással. Egy félegyenes középpontosan hasonló képe, az eredetivel egyállású félegyenes. Ez igaz a középpontosan hasonló szögek száraira is, ezért ezek egyállásúak, vagyis azonos nagyságúak. A középpontos hasonlóság tehát szögtartó transzformáció. Bármely szakasz és középpontosan hasonló képe párhuzamos, vagy egy egyenesbe esik. Egy kör középpontosan hasonló képe kör. Középpontos hasonlóság esetén bármely két szakasz hosszának aránya megegyezik képeik arányával. I.3.3. A háromszög súlypontja A háromszögek súlyvonalairól szóló tételt már korábban tanultuk. Most, a hasonlóság alapján be is bizonyítjuk ezt az összefüggést. A háromszög súlyvonalai A háromszögben a súlyvonalak egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszög súlypontja. A súlypont harmadolja a súlyvonalakat, a csúcs felé eső rész a hosszabb. Bizonyítás: Az F és a G oldalfelező pontok, emiatt az FG szakasz a háromszög középvonala. A középvonal párhuzamos a háromszög oldalával, emiatt a BAF = AFB, mert váltószögek. Az FSG = BSA, mert csúcsszögek. Az ABS FGS, mert van két egyenlő nagyságú szögük. A hasonlóság aránya AB : FG = 2 : 1, mert a középvonal hossza fele a vele párhuzamos oldalénak. Ebből következik a másik két-két oldal aránya is: AS : FS = 2 : 1 = BS : GS. Ez azt jelenti, hogy S harmadolja mindkét súlyvonalat. Ugyanígy belátható, hogy a c-hez tartozó súlyvonal is az oldalhoz közelebbi harmadoló pontban metszi az s b t, ami állításunk helyességét jelenti. 25

26 ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET I.3.4. Hasonló alakzatok arányai, területük, térfogatuk 1. Egy templomtorony árnyéka 10 méter hosszú. Egy mellette álló 2 méter magas fa árnyéka 140 cm. Milyen magas a templomtorony? 2. A festők előre kinyújtott karjukban tartott ceruzával méregetik az arányokat. Mekkorának méri az 1,2 méteres magasságot a festő, ha a modell tőle 4 méterre van, és a ceruzával a szemétől 50 cm-re mér? 3. Mekkora átmérőjű körlapot kell a szemünk elé tartani 50 cm-reeltakarja? A szükséges adatok: a Nap Föld távolság kb. 1, 5 10 km, a Nap hogy a napot 8 6 átmérője 1, km. 4. A történetírók szerint Thalész árnyékuk segítségével mérte meg a piramisokat úgy, hogy leszúrt egy botot a földbe, és kifigyelte azt a pillanatot, amikor azonos hosszúságú a bot és az árnyéka. Ekkor a piramis árnyéka egyenlő a magasságával. Peti a testmagasságát akarja hasonló módszerrel megmérni. Leszúr egy botot a földbe, aminek 42 cm-es darabja áll ki. Az árnyék hossza 26 cm. A saját árnyéka 109 cm hosszú. Milyen magas Peti? 5. Az ábrán az ABC háromszöget a P pontból nagyítottuk. A hasonlóság jelölése hullámvonallal történik, ezt jegyezd meg és használd a feladatok megoldásánál! Pl.: A ' B' C' ~ ABC. Megszerkesztettük a táblázatban szereplő nevezetes vonalakat. Megmértük a táblázatban szereplő adatokat, és eredményeinket táblázatba foglaltuk. Egészítsd ki a hiányzó adatokat! a = 3, 1cm b 3, 8cm = c = 2,4cm K = s a = 2, 7 cm a'= 6, 2cm b'= 7, 6cm c' = 4,8cm K ' = s a '= 5, 4 cm a b c sa = = = = = a' b' c' K K' sa' m a = 2,35cm T = m a '= 4,7cm T ' = ma = ma' T T' = 26

27 HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA Figyeld meg a kerületet és a területet! Mit tapasztalsz? Gondold tovább, mi lehet az összefüggés hasonló testek térfogatára! Hasonló síkidomok területének aránya megegyezik a hasonlóság arányánaknégyzetével: T' = λ 2 T. Hasonló testek térfogatának aránya megegyezik a hasonlóság arányánakköbével. A 2 felszínek aránya ebben az esetben is λ. V' = λ 3 V és A' = λ 2 A 6. Egy ötszöget egy pontból nagyítottunk, és az a oldala 2 cm-ről 5 cm-re változott. Mekkorák az új ötszög oldalai, ha az eredeti ötszög másik négy oldala: b = 3,6 cm, c = 4cm, d = 5,2 cm, e = 4,2cm. Hányszorosára változott az ötszög kerülete és területe? 7. Mekkora a háromszög egyik középvonala által levágott kisebb háromszög és az eredetiháromszög területének aránya? 8. Rajzolj a füzetedbe egy tetszőleges ABC háromszöget! Nagyítsd az A csúcsából 2- szeresére, és a kapott háromszöget tükrözd az A csúcsra! jelölje a keletkező csúcsokat B és C, BC és B C metszéspontját D. Az A pont milyen nevezetes pontja lesz a DB C háromszögnek? 9. Egy kockát 2-szeresére nagyítunk, az új kocka egy lapjának területe 64 cm 2. Mekkoravolt az eredeti kocka térfogata? 10. Egy könyv ábráit feles kicsinyítéssel tervezik (a kicsinyített ábrán valamennyire eltűnneka rajzi hibák). A megrajzolt ábraterület 120 cm 2. Mekkora terjedelmet jelent ez amegjelent könyvben? 11. Egy trapéz két alapja 15 és 10 cm. Milyen arányban osztják egymást az átlók? 12. A trapéz kiegészítő háromszöge a szárak egyenese és a rövidebb alap által határolt háromszög. Mekkorák a kiegészítő háromszög oldalai, ha az alapok hossza 12 cm és 4 cm, a száraké 8 cm és 3 cm? 13. Az ABC háromszögben az AB = AC. A háromszög B csúcsából induló szögfelező az AC oldalt D-ben metszi. Mekkorák az eredeti háromszög szögei, ha a BCD ABC? 14. Az ABC hegyesszögű háromszögben az AB = 12 cm. A háromszög másik két oldalát felosztjuk három-három egyenló részre. A CA oldal C-hez közelebbi, és a CB oldal B-hez közelebbi harmadolópontjait egy egyenessel összekötjük. Ennek az egyenesnek és az AB oldalegyenesnek a metszéspontját jelölje M! Számítsd ki az MB szakasz hosszát! 27

28 ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET 15. *** Az ABCD húrtrapéz alapjai AB = 7 cm, CD = 13 cm. A trapézba kör írható, amely a BC szárat E, a DA szárat F pontban érinti. a ) Számítsd ki a trapéz szárainak a hosszát! b ) Bizonyítsd be, hogy az AF szakasz párhuzamos a trapéz alapjaival! c ) Számítsd ki az EF szakasz hosszát! 16. *** Bizonyítsd be, hogy a háromszög magasságpontja, súlypontja és köré írt körének középpontja egy egyenesre illeszkednek. Ezt az egyenest a háromszög Euler-egyenesének nevezik. Számítsd ki, hogy a súlypont milyen arányban osztja a magasságpont és a háromszög köré írt körének középpontja közti szakaszt! 17. *** Egy háromszög kör írt körét a háromszög magasságpontjából, mint középpontból a felére kicsinyítjük. Az így keletkező kört a háromszög Feuerbachkörének nevezik. Bizonyítsd be, hogy a Feuerbech-kör tartalmazza a következő kilenc pontot: a háromszög oldalfelező pontjait, a háromszög magasságainak talppontjait, valamint a háromszög csúcsait a magasságponttal összekötő szakaszok felezőpontjait. 28

29 HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA I.3.5. Magasság és befogótétel 18. Egy derékszögű háromszögben a és b a két befogót, c az átfogót jelöli. Az átfogóhoz tartozó m magasság az átfogót c 1 és c 2 szakaszokra bontja. a ) Keresd meg az összes hasonló háromszöget, és írd fel a tanult jelöléssel a füzetbe! b ) Írd fel a megfelelő oldalak arányát! c ) Fejezd ki a derékszögű háromszög magasságát a c 1 és c 2 szakaszok segítségével az előző arányokat felhasználva! d ) Fejezd ki a derékszögű háromszög a befogóját c és c1 szakaszok segítségével, valamint a b befogóját c és c2 szakaszok segítségével, az előző arányokat felhasználva! A most felfedezett összefüggések a magasságtétel és befogótétel névre hallgatnak. 19. Egy derékszögű háromszög befogóinak a hossza 4 cm illetve 6 cm. Mekkora részekre bontja az átfogóhoz tartozó magasság a befogót? 20. A derékszögű háromszög átfogója 12 egység, a magasság az átfogót 1 : 2 arányban osztja. Mekkorák a befogók és az átfogóhoz tartozó magasság? 21. Mekkora a derékszögű háromszög területe és befogói, ha az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót 6 cm és 10 cm hosszú szakaszokra bontja? 22. A derékszögű háromszögben az egyik befogó 8 cm, ennek vetülete az átfogóra 5 cm. Mekkora az átfogó és a másik befogó? 23. Egy tér közepén található szobortól 13 méterre a szobor α szögben látszik. A szobor átellenes oldalán található egy olyan pont a szobortól 8 méterre, amelyből 90 α szögben látszik. Milyen magas a szobor? 24. Egy tető két oldalán sorakozó szarufák derékszögben találkoznak a taréjszelemenfánál. A taréjszelement tartó oszlopokat a 8 m széles padlás szélétől 3 m-re helyezték el. Milyen magas a tető? 25. Határozd meg, hogy az előző feladatban milyen hosszú szarufákra van szükség! 26. Mekkora annak a körnek a sugara, melyből egy 8 cm hosszú húrja egy 6 cm magasságú körszeletet vág le? 27. Szerkessz 5 cm hosszúságú szakaszt! (A szerkesztéshez indoklás is kell!) 29

30 ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET Magasságtétel A derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két olyan szeletre bontja, amelyek mértani közepe a magasság. Bizonyítás: A derékszögű háromszöget a magasság két olyan háromszögre darabolja, melyek az eredetivel és egymással is hasonlóak, mivel szögeik páronként egyenlők. Vagyis BTC ~ CTA. Emiatt a megfelelő c 1 m oldalak aránya egyenlő: =. m c 2 2 Az egyenletet átrendezve kapjuk, hogy m = c1 c2. Gyökvonás után: m = c 1 c2, ami a bizonyítandó állítás volt. Befogótétel A derékszögű háromszögben a befogó megegyezik az átfogónak, és az adott befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepével. Bizonyítás: Az előző bizonyításnál említett hasonlóságok közül most az eredeti és az egyik részháromszög hasonlóságát használjuk: CBT ~ ABC. A megfelelő oldalak aránya a c 2 egyenlő: =. Átrendezve: a = c1 c. c a 1 Négyzetgyökvonás után: a = c c. Hasonló módon belátható, hogy b = c c

31 HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA II. Hegyesszögek szögfüggvényei 1. Szerkessz derékszögű háromszöget, melynek befogói 6 cm és 8 cm! a ) Mérd meg a hosszabb befogó és az átfogó által bezárt szöget! b ) Számítsd ki az átfogó hosszát! 2. Szerkessz egy derékszögű háromszöget, melynek befogói 9 cm é s 12 cm! a ) Mérd meg a hosszabb befogó és az átfogó által bezárt szöget! b ) Számítsd ki az átfogó hosszát! 3. Szerkessz egy derékszögű háromszöget, melynek átfogója 7,5 cm, egyik befogója 6 cm! a ) Mérd meg a hosszabb befogó és az átfogó által bezárt szöget! b ) Számítsd ki hiányzó befogó hosszát! 4. Szerkessz egy derékszögű háromszöget, melynek egyik hegyesszöge 53 -os, azzal szemközti befogója 10 cm! a ) Mérd meg az átfogóját! b ) Számítsd ki hiányzó befogó hosszát! 5. Hasonlítsd össze az előző négy feladat eredményeit, és vonj le következtetéseket! 6. Szerkesszetek a csoportban derékszögű háromszögeket, melyeknek az átfogója kétszer akkora, mint az egyik befogója! Mindenki különböző adatokkal dolgozzon! Mérjétek le a kapott háromszög szögeit! Beszéljétek meg, hogy mit tapasztaltatok! 7. Egy lépcső mellett2 méter hosszú, egyenes rámpa vezet fel a bejárati ajtóhoz. Az ajtó magassága a kiindulási szintjéhez képest 50 cm. Határozd meg, hogy hány fokos szöget zár be a rámpa a vízszintessel! 8. Egy torony magasságát szeretnénk megtudni. Egy teodolittal (szögmérő) meghatároztuk, hogy a torony aljától 12 méter távolságban állva a tetejét 60 -os szögben látjuk. Milyen magas a torony? 9. Határozd meg a derékszögű háromszögek hiányzó adatait, az első ábra alapján! 31

32 ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET II.1. Szögfüggvények bevezetése Hegyesszögek szögfüggvényei Azt tapasztaltuk, hogy derékszögű háromszögben a megfelelő oldalak aránya csak a szög nagyságától függ. Ez azt jelenti, hogy ez az arány a szöget jellemzi, vagyis a szög függvénye. A derékszögű háromszög oldalainak arányával a következő módon adjuk meg a hegyesszögek szögfüggvényeit: Az α szög szinusza: Az α szög koszinusza: Az α szög tangense: Az α szög kotangense: A szinusz és koszinusz szögfüggvények értékeit általában négy tizedesjegyre kerekítjük, a fokokban megadott szögeket egy tizedesjegyre. 10. Számológép segítségével, és a tanult jelölés alkalmazásával írd fel, hogy egy derékszögű háromszögben mekkora a megadott szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya, ha a megadott szög a ) 36 -os b ) 72 -os c ) 16 -os d ) 55 -os 11. Számológép segítségével, és a tanult jelölés alkalmazásával írd fel, hogy egy derékszögű háromszögben mekkora a megadott szög melletti befogó és az átfogó aránya, ha a megadott szög a ) 46 -os b ) 32 -os c ) 61 -os d ) 29 -os 12. Számológép segítségével, és a tanult jelölés alkalmazásával írd fel, hogy egy derékszögű háromszögben mekkora a megadott szöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó aránya, ha a megadott szög a ) 63 -os b ) 22 -os c ) 70 -os d ) 45 -os 13. Egy derékszögű háromszög egyik hegyesszöge 30 -os. Számológép segítségével számold ki, és a tanult jelölések használatával írd le a ) a megadott szög melletti befogó és az átfogó arányát! b ) a megadott szöggel szemközti befogó és a megadott szög melletti befogó arányát! c ) a megadott szöggel szemközti befogó és az átfogó arányát! d ) a megadott szög melletti befogó és a megadott szöggel szemközti befogó arányát! 32

33 HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA 14. Egy derékszögű háromszögben a szög melletti befogó és az átfogó aránya 0,2376. Írd le ezt a tanult jelöléssel, és számítsd ki a háromszög szögeit! 15. Egy derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya 0,8767. Írd le ezt a tanult jelöléssel, és számítsd ki a háromszög szögeit! 16. Egy derékszögű háromszögben a szög melletti befogó és a szöggel szemközti befogó aránya 0,7071. Írd le ezt a tanult jelöléssel, és számítsd ki a háromszög szögeit! 17. Egy derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó és szög melletti befogó aránya 0,6712. Írd le ezt a tanult jelöléssel, és számítsd ki a háromszög szögeit! 18. Egy derékszögű háromszögben a szög melletti befogó és az átfogó aránya 0,5. Írd le ezt a tanult jelöléssel, és számítsd ki a háromszög szögeit! 19. Egy derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya 0,5. Írd le ezt a tanult jelöléssel, és számítsd ki a háromszög szögeit! 20. Adott a derékszögű háromszög két befogója: a = 4,3 cm, b = 5,4 cm. Mekkorák a háromszög szögei? 21. Számítsd ki a derékszögű háromszögek hiányzó oldalait és szögeit! a ) b ) c ) d ) e ) f ) 22. Határozd meg a következő szögek összes szögfüggvényét számológép segítségével! Figyelj a helyes kerekítésre! a) 10 ; b) 30 ; c) 45 ; d) 70 ; e) 20 ; f) 60 ; g) 82,6 ; h) 67,54 ; i) 12 6 ; j) Mekkora az ismeretlen hegyesszög, ha a) sin α= 0, 1234 ; b) sin α= 0, 3420 ; c) cos α= 0,6820; d) cos α= 0,0872; e) tg α= 0, 3891 ; f) tg α= 2, 1445 ; g) ctg α= 0,3245; h) ctg α=3,1102? 24. Szerkessz hegyesszöget, amelynek a) szinusza 0,8; b) koszinusza 0,3; c) szinusza 1; d) koszinusza 0,5; e) tangense 2; g) kotangense 1,6; f) tangense 3; h) kotangense 2. 33

34 ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET 25. Igaz-e, hogy egy hegyesszög szinusza és koszinusza mindig 1-nél kisebb szám? Indokold a választ! Elmondható-e ugyanez a hegyesszögek tangensére és kotangensére? II.2. Szöveges feladatok szögfüggvényekkel A következő feladatok megoldásában segít a jó rajz. 26. Milyen magasra visz egy 300 méter hosszú, 30 -os lejtő? 27. Milyen magas az a nyárfa, melynek árnyéka a földön, vízszintes síkon 100 méter, ha a Nap sugarai 35 -os szög alatt esnek a földre? 28. Milyen magasan van az az ablak, amelyből a homokozóban játszó gyerek 65 -os depressziószög alatt látszik, ha a homokozó a ház aljától 73 méterre van? 29. Egy emelvényre deszkából feljárót készítenek. Milyen hosszú legyen a deszka, ha az emelvénytől számítva 10 méter távolságból 15 -os szögben vezet fel? 30. Milyen távol van az a hajó, amely a világítótoronyból a tenger szintje fölött 45 méter magasságból nyi depressziószög alatt látszik? 31. Egy mérnöki irodának egyenes alagutat kell tervezni két, nem azonos szinten lévő hely között. Méréssel meg lehet kapni a két hely közötti függőleges és vízszintes távolságot: 27 m és 760 m. Számítsd ki, hogy mekkora szöget kell a vízszintessel bezárnia az alagút irányának! 32. Egy hegyi fogaskerekű vasút két állomása a térkép szerint egymástól vízszintes irányban 1,9 m-re van. A valóságban a pályatest 2 km-es, és egyenletes emelkedéssel köti össze a két állomást. Mekkora a pályatest lejtési szöge? 33. Ki nyert? Laci és Peti rettentően unja a színházi előadást. Az erkély első sorában ülnek, így minden színészt jól látnak. Azzal szórakoznak, hogy először szabad szemmel megbecsülik a színészek magasságát, majd bizonyos adatok segítségével ki is számolják. Az nyer, akinek a becsült értéke közelebb van a valódihoz. A játékra már előre készültek, így néhány, a színházra jellemző adatot már megkérdeztek, valamint olyan távcsövet is vittek magukkal, ami szöget is tud mérni. A következőket tudják: az erkély magassága 8,3 méter a színpad magassága 1,6 méter. A férfi főhős éppen a színpad elején áll, amikor Laci megméri, hogy mekkora depressziószög alatt látja a színész feje tetejét és a lábfejét. Az egyik szög 25 3, a másik Laci szerint a főhős 162 cm, Peti szerint 169 cm magas. 34. Marci nem szeret hegyet mászni. Barátai csak úgy tudják elcsábítani a kirándulásra, ha előre bebizonyítják neki, hogy a kiindulási ponttól számítva a szintkülönbség nem nagyobb 100 méternél. Figyelj, Marci! mondják a barátai. 34

35 HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA Az út elején lefelé kell menni. Ennek a résznek a hossza 550 méter, és a vízszintessel 7 -os szöget zár be. Ezután egy emelkedő szakasz jön, melynek a hossza 370 m és az emelkedési szöge 6,3. A harmadik részen megint lefelé kell menni. A lejtős út hossza 1200 méter, és a hajlásszöge 6. Elmegy-e Marci a kirándulásra? (Ismeri a szögfüggvényeket, és helyesen számol velük ) 35. Mekkora a vízszintes síkra eső merőleges vetülete annak a hat méter hosszú pálcának, melyet úgy tartunk, hogy a vízszintessel 43 -ot zárjon be? 36. Majorék telket akarnak vásárolni. A különböző ajánlatok közül a legnagyobb területűt vagy a legnagyobb kerületűt szeretnék megvenni. Melyiket válasszák? a ) A kert szimmetrikus trapéz alakú. A szárak hossza 35 m, a rövidebbik alap 20 m, amely a szárral 148 -os szöget zár be. b ) A kert egyenlő szárú háromszög alakú. A szárszög 137, a szárak hossza 23 m. c ) A kert egy nyeles telek. Lásd az ábrát. d ) A kert trapéz alakú. A szárai 62 m és 38 m. A szárak a vízszintessel 73 -os, illetve 38 -os szöget zárnak be. A rövidebb alap hossza 27 m. e ) A kert rombusz alakú. Az oldala 51 m és a szöge 72. f ) A kert négyszög alakú. Két szemközti szöge 90 -os. A harmadik szöge 137 -os. Az egyik derékszöget közrefogó oldalai 35 m és 92 m hosszúak. 37. Milyen hosszú húr tartozik egy 6 cm sugarú kör 86 -os középponti szögéhez? 38. Mekkora annak a körívnek a hossza, melyhez egy 10 cm sugarú körben 14 cm hosszú húr tartozik? 39. Mekkora annak a körcikknek a középponti szöge, amelyet egy 15 cm sugarú körből vágtunk ki, és az ívének a hossza 43 cm? II.3. Ívmérték Korábban láttuk, hogy egy körben az ívhossz arányos a középponti szög nagyságával. Ez azt is jelenti, hogy az ívhossz és a kerület aránya alkalmas a középponti szög meghatározására. Pl. ha tudjuk, hogy egy középponti szöghöz akkora ív tartozik, mint a kör kerületének a negyede, akkor 90 a középponti szög nagysága. 40. Határozd meg! a ) Mekkora szög tartozik a teljes kör kerületéhez? b ) Mekkora szög tartozik egy félkörhöz? c ) Mekkora szög tartozik egy tizenketted körhöz? 41. Egy kör sugara r. a ) Mekkora ív tartozik a 360 -os középponti szöghöz? b ) Mekkora ív tartozik a 180 -os középponti szöghöz? 35

36 ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET c ) Mekkora ív tartozik a 90 -os középponti szöghöz? d ) Mekkora ív tartozik a 60 -os középponti szöghöz? e ) Mekkora ív tartozik a 30 -os középponti szöghöz? 42. Pótold a szövegben a hiányzó részt! Ha a kör sugarát egységnyire választjuk, akkor a teljes kör kerülete.., az ehhez tartozó középponti szög. A félkör kerülete., az ehhez tartozó középponti szög Bevezetünk a szög mérésre egy új mértékegységet. Az egységnyi sugarú körban az adott középponti szöghöz tartozó körív hosszával mérjük a szöget. Az így mért szög nagyságát ún. ívmértékben, radiánban kapjuk meg. Pl. 360 ívmértéke 2π radián, 180 ívmértéke π radián. Az ívmértékben megadott szögeknél a mértékegységet nem szükséges kiírni: 180 = π (rad) 43. Folytasd az átváltást! 90 = (rad) 30 = (rad) 60 = (rad) 10 = (rad) 120 = (rad) 240 = (rad) 45 = (rad) 1 = (rad) 44. Most váltsd a radiánban megadott szögeket fokokra! π 2π π π (rad) = (rad) = (rad) = (rad) = π π 3π (rad) = (rad) = (rad) = 1 (rad) = Határozd meg a következő középponti szögek nagyságát fokban és ívmértékben! 46. Mekkora a sugara annak a körnek, melynek 3 π rad középponti szögéhez 16 cm hosszúságú húr tartozik? 47. Egy 15 cm sugarú körben mekkora húr tartozik a 5 π rad középponti szöghöz? 48. Adott egy 23 cm sugarú kör. a ) Számold ki, hogy milyen hosszúak azok az érintők, amelyeket a kör középpontjától 30 cm távolságra levő pontból húzunk a körhöz! b ) Mekkora szög alatt látjuk a kör középpontjából két érintési pontot összekötő húrt? Fokban és ívmértékben is add meg a szöget! 36

37 HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA II.4. Térgeometria feladatok szögfüggvényekkel 49. Egy négyzet alapú piramis magassága 146 méter, alapjánakhossza 230 méter. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok atalajjal? 50. Mekkora annak a szabályos négyoldalú gúlának a magassága, melynek alapéle 20 cm, és a oldallapok 55 -os szöget zárnak be az alaplappal? 51. Egy négyzet alapú egyenes gúla magassága 42 dm. Az oldallapjait alkotó háromszögek magassága 58 dm. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok az alaplappal? 52. Egy forgáskúp alapkörének sugara 10 cm, testmagassága 25 cm. Mekkora a kúp nyílásszöge? 53. Egy forgáskúp alkotója 45 -os szöget zár be az alaplappal. magassága 30 cm. Mekkora az alapkörének a sugara? 54. Egy piramisról tudjuk, hogy alapja egy 130 m, illetve 150 m oldalhosszúságú téglalap,magassága 18 m. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok az alaplappal? 55. Egy rombusz alapú egyenes hasáb valamennyi éle 6 cm, a rombusz szöge 63. Számítsd ki a felszínét és a térfogatát! 56. *** Egy szabályos ötoldalú gúla alapéle 50 cm, és az oldaléle az alaplappal 39 -os szöget zár be. Számítsd ki a felszínét és a térfogatát! II.5. Nevezetes szögek szögfüggvényei Nevezetes szögeknek a 30, 60 és 45 -os szögeket nevezzük, mert ezek szögfüggvényértékei könnyen megadhatók valamely speciális háromszög segítségével. 57. Figyeld meg az ábrán látható szabályos háromszöget! a ) Számítsd ki a magasságát a Pitagorasz-tétel segítségével! (Az eredményt hagyd gyökös formában!) b ) Add meg a szögfüggvények értékeit a megfelelő oldalak arányával! sin 60 = cos 60 = tg 60 = ctg 60 = sin 30 = cos 30 = tg 30 = ctg 30 = 37

38 ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET 58. Figyeld meg az ábrán látható egységnyi befogójú egyenlőszárú derékszögű háromszöget! a ) Számítsd ki az átfogóját a Pitagorasz-tétel segítségével! b ) Add meg a szögfüggvények értékeit a megfelelő oldalak arányával! sin 45 = cos 45 = tg 45 = ctg 45 = 59. A nevezetes szögek pontos értékének ismeretében számold ki a következő kifejezéseket! a ) 2sin cos60 + tg 45 = b ) 3tg30 + ctg45 2 tg cos60 = 2 c ) ( tg45 ) ( sin 30 ) 2 2 ( cos 60 ) = π π π d ) cos + sin tg Melyik a nagyobb? sin 60 sin 30 a ) vagy cos 2 30 sin 45 sin 60 + sin 30 b ) 2 tg45 sin 45 cos 45 vagy 1 cos60 sin Egy 30 -os derékszögű háromszögben az átfogó hossza 6 3. Mekkora a két befogó pontoshossza? 62. Egy 30 -os derékszögű háromszögben az átfogó hossza Mekkora a két befogópontos hossza? 63. Egy 30 -os derékszögű háromszögben az átfogó hossza a 3. Mekkora a két befogó pontoshossza? 64. Mekkora az AB, BC és CD szakasz hossza,ha EB = 12 cm? 38

39 HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA 65. Az AD oszlop teteje a talajon az A-tól 6 méterre levő B pontból 45 -os szögben látszik.az AB irányban addig távolodunk az oszloptól a talajon, amíg azt 30 -os szögben nemlátjuk. Milyen messze vagyunk az oszloptól? II.6. Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között II.6.1. Összefüggés egy szög tangense és kotangense között Figyeljük meg a derékszögű háromszögben az α szög tangenség és kotangensét! a tg α = és b b ctg α = a Ez azt jelenti, hogy egy szög tangense és kotangense egymás reciproka. Ezt úgy is felírhatjuk, hogy tg α ctgα = 1 II.6.2. Pótszögek szögfüggvényei Az előző ábra betűzése szerint felírtuk a szögfüggvényeket. Keress közöttük egyenlőket! Derékszögű háromszögben a két hegyesszög összege 90, ezért β felírható β = 90 α alakban. α-t és β-t egymás pótszögének nevezzük. A táblázat alapján felírható összefüggések a pótszögek szögfüggvényeire: II.6.3. Pitagoraszi azonosság Bármely derékszögű háromszögre teljesül a Pitagorasz-tétel: a + b = c Osszuk el a fenti egyenletet c 2 -tel! 2 2 a b + = c c A hatványozás azonosságait felhasználva: a + c c 2 b 2 = 1 39

40 ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET A szögfüggvények definíciója alapján, az előző ábrajelöléseit felhasználva: Bármely hegyesszögre teljesül: (sin α 2 2 ) + ( cos α) = 1 II.6.4. A tangens és kotangens szögfüggvények kapcsolataa szinusz és koszinusz szögfüggvényekkel a b A szögfüggvények értelmezésénél láttuk, hogy sin α = és cos α =. Ezeket c c a sin α a c a egymással elosztva a következőhöz jutunk: = c = =, ami az α szög cos α b c b b c tangense. Az összefüggés reciprokát véve az α szög kotangensét kapjuk. Fennáll a következő két azonosság: 1. Mennyi a következő kifejezések pontos értéke? 2. Mutassuk meg, hogy minden α hegyesszögre fennáll a következő összefüggés: 3. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét számológép használata nélkül! 4. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét számológép használata nélkül: 5. Igazak-e minden α hegyesszögre a következő egyenlőségek: 40

41 HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA 41

42 ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET III. Feladatgyűjtemény Hasonlóság f1. Vegyél fel egy háromszöget, és a belsejében egy O pontot! a) kicsinyítsd a háromszöget e feléreaz O pontból! b) nagyítsd a háromszöget a kétszeresére az O pontból! f2. Rajzolj egy 4 cm-es és egy 2 cm-es sugarú kört! Szerkeszd meg a hasonlóság középpontját, ami az egyiket a másikba viszi! (Hány megoldás van?) f3. Egy háromszög oldalai 10 cm, 14 cm és 18 cm. Egy hozzá hasonló háromszög legrövidebb oldala 15 cm-es. Számítsd ki a másik két oldalát! f4. Dancsi egy kirándulást szervez barátainak. A turistatérképen a tervezett útvonal hossza 40 cm. a) Mekkora a túra hossza, ha a térkép 1 : arányú? b) Mennyi idő alatt teszik meg, ha 3,2 km/h az átlagsebességük? f5. Döntsd el az állításokról, hogy igaz-e (I) vagy hamis (H)! a) Két kör mindig hasonló. b) Bármelyik két hatszög hasonló. c) Ha két egyenlőszárú háromszög szárszöge megegyezik, akkor hasonlók. d) Két téglalap hasonló, ha átlóik ugyanakkora szöget zárnak be. e) Bármelyik két szabályos háromszög hasonló. f) Két négyszög hasonló, hogy szögeik páronként egyformák. g) Két négyzet mindig hasonló. h) Két rombusz mindig hasonló. f6. Döntsd el, hogy hasonlóak-e a háromszögek! a) AB = 2 cm; BC = 5 cm, CA = 3 cm, és A B = 3 cm; B C = 7,5 cm, C A = 4,5 cm. b) AB = 6 cm; BC = 5 cm és β = 30, és A B = 9 cm; B C = 7,5 cm és β = 45. c) AB = 3 cm; BC = 5 cm és α = 30, és A B = 9 cm; B C = 15 cm és α = 30. d) AB = 3 cm; BC = 5 cm és γ = 60, és A B = 6 cm; B C = 10 cm és γ = 60. f7. Egy háromszög oldalai 3 cm, 4 cm és 5 cm. Mekkorák a hozzá hasonló háromszög oldalai, ha kerülete 60 cm? f8. Egy háromszög oldalai 5 cm, 7 cm és 10 cm. Mekkorák a hozzá hasonló háromszög oldalai, ha leghosszabb oldala 5 cm? f9. Egy négyszög oldalai: AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 5 cm és DA = 8 cm. Mekkorák egy hozzá hasonló négyszög oldalai, ha kerülete 15 cm? f10. Egy trapéz két alapja 15 cm és 10 cm. Milyen arányban osztják egymás az átlói? f11. Egy trapéz átlói 2 : 5 arányban osztják egymást két részre. A hosszabb alapja 3 dm. Mekkora a rövidebb alapja? 42

43 HASONLÓSÁG, TRIGONOMETRIA f12. Egy park a térképen 4 cm és 3 cm oldalhosszúságú téglalapnak látszik. a) Mekkora a területe, ha a térkép méretaránya 1 : 1500? b) Milyen hosszú a parkon átlós irányban vezető út? f13. Vegyél fel a füzetedbe egy kört! Szerkessz háromszöget, melyben az oldalak aránya 3 : 4 : 5 és a megrajzolt kör a köré írt köre! f14. Vegyél fel a füzetedbe egy kört! Szerkessz háromszöget, melyben az oldalak aránya 2 : 3 : 4 és a megrajzolt kör a beírt köre! f15. Egy egyenlőszárú háromszögbe, melynek alapja 48 cm és magassága 30 cm téglalapot rajzolunk úgy, hogy a 16 cm-es oldala illeszkedik a háromszög alapjára és a másik két csúcsa a háromszög szárain helyezkedik el. Számítsd ki a téglalap másik oldalának a hosszát! f16. Hány százalékkal változott kicsinyítéskor annak a síkidomnak a területe, amelynek akerülete 25%-kal csökkent? Magasság- és befogótétel f17. Egy derékszögű háromszög befogóinak a hossza 3 cm és 5 cm. a) Mekkora részekre bontja az átfogóhoz tartozó magasság a befogót? b) Milyen távol van a derékszögű csúcs a befogótól? f18. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót két olyan szakaszra bontja, melyek hossza 8 cm, illetve 24 cm. Mekkorák a háromszög befogói? f19. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 13 cm, és ennek a befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete 12 cm. Számítsd ki a háromszög hiányzó oldalait, valamint a magasságát! Szögfüggvények f20. Egy derékszögű háromszög egyik hegyesszöge 60 -os. Számológép segítségével számold ki, és a tanult jelölések használatával írd le a ) a megadott szög melletti befogó és az átfogó arányát! b ) a megadott szöggel szemközti befogó és a megadott szög melletti befogó arányát! c ) a megadott szöggel szemközti befogó és az átfogó arányát! d ) a megadott szög melletti befogó és a megadott szöggel szemközti befogó arányát! f21. Egy derékszögű háromszögben a szög melletti befogó és az átfogó aránya 0,5741. Írd le ezt a tanult jelöléssel, és számítsd ki a háromszög szögeit! f22. Egy derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya 0,2211. Írd le ezt a tanult jelöléssel, és számítsd ki a háromszög szögeit! 43

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 10. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/4365-1/008. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint)

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) (ESZÉV 2004.minta III./7) Egy négyoldalú gúla alaplapja rombusz. A gúla csúcsa a rombusz középpontja felett van, attól 82 cm távolságra. A rombusz oldalának hossza

Részletesebben

0663 MODUL SÍKIDOMOK. Háromszögek, nevezetes vonalak. Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes

0663 MODUL SÍKIDOMOK. Háromszögek, nevezetes vonalak. Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes 0663 MODUL SÍKIDOMOK Háromszögek, nevezetes vonalak Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes Matematika A 6. évfolyam 0663. Síkidomok Háromszögek, nevezetes vonalak Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei a 9. szakközépiskolai osztályban fizikából 2 Minimum követelmények 2 A továbbhaladás feltételei a 10. szakközépiskolai osztályban

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra A Kiadó javaslata alapján összeállította: Látta:...... Harmath Lajos munkaközösség vezető tanár Jóváhagyta:... igazgató

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése: Szabó László Szilárdságtan A követelménymodul megnevezése: Kőolaj- és vegyipari géprendszer üzemeltetője és vegyipari technikus feladatok A követelménymodul száma: 047-06 A tartalomelem azonosító száma

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

Készítette: niethammer@freemail.hu

Készítette: niethammer@freemail.hu VLogo VRML generáló program Készítette: Niethammer Zoltán niethammer@freemail.hu 2008 Bevezetés A VLogo az általános iskolákban használt Comenius Logo logikájára épülő programozási nyelv. A végeredmény

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára Feladatok MATEMATIKÁBÓL a. évfolyam számára I.. Egy 35 fős osztályból mindenki részvett valamelyik iskolai kiránduláson. 5-en Debrecenbe utaztak, 8-an pedig Pécsre. Hányan utaztak mindkét városba?. Állapítsa

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Országos döntő, 1. nap - 015. május 9. ÖTÖDIK OSZTÁLY - ok 1. Egy háromjegyű szám középső számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk. A két szám összege

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás 12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET

MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 10. osztály Heti 3 óra Évi 111 óra Készítette: Ellenőrizte: Literáti Márta matematika tanár.. igazgató Év eleji ismétlés 1. óra: Számhalmazok és számok 2. óra: Algebrai

Részletesebben

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket!

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! ) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! 4 c) d) e) f) 9k + 6k l + l = ay + 7ay + 54a = 4 k l = b 6bc + 9c 4 + 4y + y 4 4b 9a évfolyam javítóvizsgára ) Végezd el az alábbi műveleteket és hozd a

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik 1991. évi verseny, 1. nap 1. Számold össze, hány pozitív osztója van 16 200-nak! 2. Bontsd fel a 60-at két szám összegére úgy, hogy az egyik szám hetede egyenlő legyen a másik szám nyolcadával! 3. Van

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

Geometriai axiómarendszerek és modellek

Geometriai axiómarendszerek és modellek Verhóczki László Geometriai axiómarendszerek és modellek ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2011 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK Építészeti és építési alapismeretek emelt szint 1211 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. október 14. ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK

Részletesebben

Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort.

Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort. VEKTOROK VEKTOROK FOGALMA Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon, hogy az egyik pont a kezdőpont, a másik pont a végpont, akkor irányított szakaszt kapunk. Egy irányított szakasz

Részletesebben

VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ. A feladatsor jellemzői

VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ. A feladatsor jellemzői VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Szögfüggvények derékszögű háromszögben, szinusztétel, koszinusztétel, Pitagorasz-tétel. Előzmények Pitagorasz-tétel, derékszögű háromszög trigonometriája,

Részletesebben

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria 1) Egy gömb alakú labda belső sugara 13 cm. Hány liter levegő van benne? Válaszát indokolja! 2) Egy forgáskúp alapkörének átmérője egyenlő a

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4;

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a 4 egyjegyű pozitív osztóinak halmazát! A keresett halmaz: {1 4 6 8}. ) Hányszorosára nő egy cm sugarú kör területe, ha a sugarát háromszorosára

Részletesebben

Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái

Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Bolyai Intézet Geometria Tanszék Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szakdolgozat Írta: Pásztor Péter Matematika

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2015. október 13. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2015. október 13. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc É RETTSÉGI VIZSGA 2015. október 13. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. október 13. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2006. február 21. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

FIZIKA munkafüzet. o s z t ály. A Siófoki Perczel Mór Gimnázium tanulói segédlete

FIZIKA munkafüzet. o s z t ály. A Siófoki Perczel Mór Gimnázium tanulói segédlete A Siófoki Perczel Mór Gimnázium tanulói segédlete FIZIKA munkafüzet Tanulói kísérletgyűjtemény-munkafüzet az általános iskola 8. osztálya számára 8. o s z t ály CSODÁLATOS TERMÉSZET TARTALOM 1. Elektrosztatika

Részletesebben

Geometria, 11 12. évfolyam

Geometria, 11 12. évfolyam Geometria, 11 1. évfolyam Dobos Sándor, Hraskó ndrás, Kiss Géza és Surányi László 014. június 8. 4 TRTLOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék Feladatok 5 1. Geometriai szerkeszthetőség.......................... 5 1.1.

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

EÖTVÖS LABOR EÖTVÖS JÓZSEF GIMNÁZIUM TATA FELADATLAPOK FIZIKA. 11. évfolyam. Gálik András. A Tatai Eötvös József Gimnázium Öveges Programja

EÖTVÖS LABOR EÖTVÖS JÓZSEF GIMNÁZIUM TATA FELADATLAPOK FIZIKA. 11. évfolyam. Gálik András. A Tatai Eötvös József Gimnázium Öveges Programja FELADATLAPOK FIZIKA 11. évfolyam Gálik András ajánlott korosztály: 11. évfolyam 1. REZGÉSIDŐ MÉRÉSE fizika-11-01 1/3! BALESETVÉDELEM, BETARTANDÓ SZABÁLYOK, AJÁNLÁSOK A mérés során használt eszközökkel

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA É RETTSÉGI VIZSGA 2015. október 22. FIZIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. október 22. 14:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika 2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

Megoldókulcs. Matematika D kategória (11-12. osztályosok) 2015. február 6.

Megoldókulcs. Matematika D kategória (11-12. osztályosok) 2015. február 6. Megoldókulcs Matematika D kategória (11-12. osztályosok) 2015. február 6. 1. Az ABC háromszög mindhárom csúcsából merőlegeseket állítunk a többi csúcs külső és belső szögfelezőire. Igazoljuk, hogy az így

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

1. A testek csoportosítása: gúla, kúp

1. A testek csoportosítása: gúla, kúp TÉRGOMTRI 1. testek csoportosítása: gúla, kúp Keressünk a környezetünkben gömböket, hengereket, hasábokat, gúlákat, kúpokat! Keressük meg a fenti képen az alábbi testeket! gömb egyenes körhenger egyenes

Részletesebben

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Csavarvonal, csavarfelületek. Összeállította: Dr. Geiger János. Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Csavarvonal, csavarfelületek. Összeállította: Dr. Geiger János. Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA Csavarvonal, csavarfelületek Összeállította: Dr. Geiger János Gépészmérnöki és Informatikai Kar MISKOLCI EGYETEM 2014 TARTALOM 1. A munkafüzet célja, területei, elsajátítható kompetenciák...

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Dr. Engler Péter. Fotogrammetria 2. FOT2 modul. A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Dr. Engler Péter. Fotogrammetria 2. FOT2 modul. A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Engler Péter Fotogrammetria 2. FOT2 modul A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk MTEMTIK C 1. évflyam. mdul mi terünk Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató mdul célja Időkeret jánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk térfgat- és felszínszámítási

Részletesebben

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK Építészeti és építési alapismeretek középszint 1212 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 25. ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

3. Geometria. I. Feladatok

3. Geometria. I. Feladatok 3. Geometria I. Feladatok 1. Egy körben adott két, egymásra merőleges átmérő. Az egyik végpontból húzott húrt a másik átmérő 2 és 4 egység hosszú szakaszokra bontja. Mekkora a kör sugara? Kalmár László

Részletesebben

Kompetencia alapú matematika oktatás Oláhné Téglási Ilona

Kompetencia alapú matematika oktatás Oláhné Téglási Ilona Kompetencia alapú matematika oktatás Oláhné Téglási Ilona Ítéletalkotás, döntés képességének fejlesztése Rezner-Szabó Zsuzsanna Matematikatanár, MA Eszterházy Károly Főiskola 1. feladat Építs piramist!

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz Fejlesztőfeladatok MATEMATIKA 4. szint 2015 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Részletesebben

TÉGLATEST, KOCKA, GÖMB TÉGLALAP, NÉGYZET, KÖR

TÉGLATEST, KOCKA, GÖMB TÉGLALAP, NÉGYZET, KÖR Matematika A 3. évfolyam TÉGLATEST, KOCKA, GÖMB TÉGLALAP, NÉGYZET, KÖR 40. modul Készítette: SZILI JUDIT (A 11., 13., 15. PONTOT: LÉNÁRT ISTVÁN) matematika A 3. ÉVFOLYAM 40. modul TÉGLATEST, KOCKA, GÖMB

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva.

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva. Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT Készítette: Szigeti Zsolt Felkészítő tanár: Báthori Éva 2010 október Dolgozatom témája a különböző függvények, illetve mértani

Részletesebben

Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné tankönyv 5 Mozaik Kiadó Szeged, 2013 A TERMÉSZETES SZÁMOK 13. A szorzat változásai Az iskolai könyvtáros 10

Részletesebben