5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?"

Átírás

1 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α, β és γ, akkor 1 sin φ 1 sin α + 1 sin β + 1 sin γ. KöMaL 1999/április; F Az ABCD négyszögben AB 1, BC, CD 3, ABC 10, BCD 90. Mekkora az AD oldal pontos értéke? KöMaL 00/december; C Az ABC háromszögben a szokásos jelölésekkel α 60, β 0 és AB 1. Mennyi az BC kifejezés pontos értéke? KöMaL 1996/szeptember; F Határozzuk meg a háromszög területét két oldal és a közbezárt szög szögfelezőjének ismeretében. KöMaL 1985/október; Gy Oldjuk meg a következő egyenletet: 1 sin x 1 sin x sin x. KöMaL 005/december; C Mekkora ctg x értéke, ha ctg x sin x? KöMaL 006/március; C Oldjuk meg a sin x + cos x + sin x egyenletet. KöMaL 01/január; B Az x 10x egyenlet gyökei u, v és w. Határozzuk meg az arctg u + arctg v + arctg w értékét. KöMaL 00/november; B

2 10. Határozzuk meg a 0; intervallumban az függvény értékkészletét. f(x) 3sin x 3cos x sin x cos x KöMaL 199/december; F Az e és f párhuzamos egyenesek közé eső P pont távolsága az e-től a, f-től b. Határozzuk meg a legkisebb területű EPF háromszög oldalait, ha a háromszög P-nél lévő szöge derékszög, E csúcsa az e egyenesre, F pedig f-re esik! Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 1978; haladók, általános tantervű osztályok,. forduló 1. Egy t területű derékszögű trapézba az oldalakat érintő r sugarú kör írható, ahol t r. Mekkora a trapéz alapjainak aránya? Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/013;haladók, II. kategória, 1.forduló 13. Egy tizenkét egység alapú egyenlő szárú háromszögbe félkört írunk úgy, hogy a félkör átmérője a háromszög alapján van, a félkör íve pedig érinti a háromszög szárait. Mekkora a félkör sugara, ha a félkörív az alaphoz tartozó magasságot a csúcshoz közelebbi harmadoló pontban metszi? Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/005; haladók II. kategória, 1.forduló 1. Az AD egységnyi hosszú szakasz mint átmérő fölé rajzolt félkörív egy pontja B, a BD ív egy további pontja C, és jelölje E a BD és AC szakaszok metszéspontját. Határozza meg az AE AC + DB DE kifejezés pontos értékét! Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 013/01; kezdők I-II. kategória,.forduló 15. Határozzuk meg a 18, 36, 5, 7 szögfüggvényeinek pontos értékét! 16. Legyen az ABCDE szabályos ötszög AC átlójának felezőpontja F. Hogyan aránylik egymáshoz az ABC, a CDF és a DEF háromszög területe? Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 1973; haladók, 1.forduló 17. Az ABC háromszögben a C csúcsnál kétszer akkora szög van, mint az A-nál. Milyen értékeket vehet fel az hányados? 18. Milyen a valós érték mellett van megoldása a egyenletnek? cos 3x cos x sin 3x sin x a OKTV 1979; általános tantervű osztályok,. forduló OKTV 1975; 1. forduló

3 19. Közelítő értékek használata nélkül adjuk meg a kifejezés pontos értékét! K tg 7 + tg 3 tg (tg 7 tg 3 ) OKTV 000/001; általános tantervű osztályok, 1. forduló 0. Az alábbi kifejezés egyes tagjainak nincs értelme, ha α értéke 5 vagy 5. Van-e a kifejezésnek határértéke, ha α az egyik vagy a másik szöghöz tartó olyan sorozaton fut végig, amelynek elemeire van értelme az egyes tagoknak? (1 + tg α) cos α + tg α sin α sin α + cos α (sin α cos α). 1. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert, ha 0 x π, és 0 y π: cos x + cos y 1, (1) OKTV 197; 1. forduló sin x sin y 3. () OKTV 006/007; II. kategória,. forduló. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenséget: tg x 3 > 1 + tg x OKTV 013/01; II. kategória, 1. forduló 3. Mennyi a 1 + cos 30 1 sin 60 különbség értéke? (A) 1 (B) 3 3 (C) 3 (D) 1 (E) 3 Gordiusz Matematika Tesztverseny 008; 1. osztály, megyei forduló. Egy tompaszög tangense. Mennyi a szög felének a tangense? (A) 1 5 (B) 1 (C) 1 (D) (E) Gordiusz Matematika Tesztverseny 010; 11. osztály, megyei forduló 5. Mennyivel egyenlő a valós számok halmazán értelmezett f(x) 8 sin x + 5 cos x függvény legnagyobb és legkisebb értékének szorzata? (A) 169 (B) 9 (C) 0 (D) 6 (E) 13 Gordiusz Matematika Tesztverseny 008; 1. osztály, országos forduló 3

4 6. Azon háromszögek közül, amelyeknek a területe egyenlő és egyik szögük közös, melyikben lesz az ismert szöggel szemközti oldal a legkisebb? Ki miben tudós? vetélkedő 196; országos selejtező feladata 7. Megmértük egy vízszintes terepen álló antennatorony emelkedési szögét a talpponttól 100 m, 00 m és 300 m távolságból. A három szög összege 90. Milyen magas a torony? A Kürschák József Matematikai Tanulóverseny 1959.évi. feladata 8. Bizonyítsuk be, hogy a konvex négyszögek közül csak a paralelogrammáknak van meg az a tulajdonságuk, hogy mind a négy csúcs esetében ugyanakkora összeget kapunk, ha a rajta át nem haladó oldalegyenesektől való távolságait összeadjuk. A Kürschák József Matematikai Tanulóverseny 1967.évi 3. feladata 9. Jelölje egy paralelogramma két szomszédos oldalának arányát λ (ahol λ > 1). Határozzuk meg, hogy hogyan függ λ-tól az átlók közti hegyesszög legnagyobb lehetséges értéke. A Kürschák József Matematikai Tanulóverseny 199.évi 1. feladata 30. (Morley tétele) Egy tetszőleges háromszög szögeit az AY, AZ, BZ, BX, CX, CY egyenesek 3 3 egyenlő részre osztják. Bizonyítsuk be, hogy az XYZ háromszög szabályos. D.O.Skljarszkij N. N. Csencov I. M. Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből Geometria I, 180. feladat

5 II. Megoldások 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C cos 0 cos 0 sin 0 cos(60 0 ) cos 0 sin 0 (cos 60 cos 0 + sin 60 sin 0 ) cos 0 sin cos 0 + sin 0 cos 0 sin 0 cos sin 0 cos 0 sin 0 3 sin 0 sin Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α, β és γ, akkor 1 sin φ 1 sin α + 1 sin β + 1 sin γ. KöMaL 1999/április; F. 38. Az ábra jelöléseit használva kifejezzük a háromszög területét a részháromszögek területének összegeként: Átrendezés után: T xc sinφ ya sinφ sinφ xc T + ya T + zb T. 5 zb sinφ.

6 Felhasználjuk, hogy T bc sinα ac sinβ ab sinγ: 1 sinφ xc bc sinα + ya ac sinβ + zb ab sinγ x b sinα + y c sinβ + z a sinγ. (1) Az APC háromszögben PAC α φ; ACP φ, tehát APC 180 α. Hasonlóan számolva APB 180 β, BPC 180 γ. Az APC; BPC; APC háromszögben felírva a szinusztételt azt kapjuk, hogy Az (1) összefüggésben felhasználva: x b sinφ sin (180 α) sinφ sinα ; y c sinφ sinβ ; z a sinφ sinγ. 1 sinφ x b sinα + y a sinβ + z c sinγ sinφ sin α + sinφ sin β + sinφ sin γ, ahonnan sinφ-vel osztva megkapjuk a feladat állítását: 1 sin φ 1 sin α + 1 sin β + 1 sin γ. 3. Az ABCD négyszögben AB 1, BC, CD 3, ABC 10, BCD 90. Mekkora az AD oldal pontos értéke? KöMaL 00/december; C Az ABC háromszögből koszinusztétellel kiszámítjuk az AC szakasz hosszát és az α-val jelölt szöget: AC cos 10 AC 7 cos α Az AD szakaszt az ADC háromszögből szintén koszinusztétellel tudjuk meghatározni. AD cos(90 α) (1) 6

7 cos(90 α) sin α 1 cos α Ezt az (1) egyenletbe behelyettesítve: Tehát az AD oldal hossza 7. AD Az ABC háromszögben a szokásos jelölésekkel α 60, β 0 és AB 1. Mennyi az BC kifejezés pontos értéke? KöMaL 1996/szeptember; F Az ABC háromszögben a szinusztétel alapján: AB AC 1 sin 100 AC sin 0 Trigonometrikus azonosságok alapján: Így és BC AB BC sin 60 BC 1 sin 100. sin 100 sin 80 cos 10 sin 0 sin 10 cos 10 1 sin 100 sin 60 BC AC sin 0 sin 100 cos 10 sin 60 sin 10 cos 10 cos 10 cos 10 sin 60 sin 10 sin 10 cos 10 (cos 60 cos 10 sin 60 sin 10 ) sin 0 Tehát a kifejezés pontos értéke. 1 cos 10 sin 60 sin 10 sin 0 cos( ) cos 70 cos 70 cos Határozzuk meg a háromszög területét két oldal és a közbezárt szög szögfelezőjének ismeretében. KöMaL 1985/október; Gy. 9. 7

8 Az ábra jelöléseit használva a háromszög területét a, b, f segítségével kell kifejeznünk. A háromszög kétszeres területét két oldallal és a közbezárt területtel kifejezve: T T + T a b sin γ b f sin γ + a f sin γ Felhasználjuk a kétszeres szög szinuszára vonatkozó azonosságot: a b sin γ cosγ b f sin γ + a f sin γ (a + b) f sin γ sin γ 0, ezért oszthatunk vele: (a + b) f a b cosγ (a + b) f cosγ ab sin γ > 0 a feladatbeli jelentése miatt, ezért így a háromszög területe T a b sin γ sin γ 1 cos γ 1 (a + b) f a b, a b sin γ cos γ a b 1 (a + b) f (a + b) f a b ab (a + b) f T a ab b (a + b) f. Ez a képlet a kívánt adatokkal fejezi mi a háromszög területét. 6. Oldjuk meg a következő egyenletet: 1 sin x 1 sin x sin x. Először az egyenlet értelmezési tartományát vizsgáljuk meg: KöMaL 005/december; C.83. 8

9 sin x 0, sin x 0, sin x 0, ezért x k, k Z. Az ismert azonosságok felhasználásával: sin x sin x cos x sin x sin x cos x sin x cos x (cos x sin x). A sin x megfelel közös nevezőnek, ezzel szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát: cos x (cos x sin x) (cos x sin x). Ha a sin x 1 cos x helyettesítést elvégezzük, akkor csak egy szögfüggvényt tartalmaz az egyenletünk: Zárójelfelbontás és rendezés után: cos x (cos x 1) (cos x 1). cos x cos x cos x 0. Az értelmezési tartomány miatt cos x 0, ezért oszthatunk vele: cos x cos x 1 0. Ennek az egyenletnek a cos x 1 és a cos x a megoldása. Az első lehetőség az értelmezési tartomány miatt nem lehet, ezért: x ± π 3 + nπ, ahol n Z. 7. Mekkora ctg x értéke, ha ctg x sin x? A ctg x függvény értelmezése miatt x k π, k Z. A ctg x feladat feltétele így írható: Innen: KöMaL 006/március; C.89. összefüggés alapján a cosx sinx sin x sin x cos x 1 cos x cos x cos x + cos x 1 0. cos x 1 ± 5. Ha cos x, akkor 1-nél kisebb értéket kapunk, ami nem lehetséges. Ha cos x, akkor sin x 1 cos x sin x ±

10 Így ctg x cosx sinx ± Ekkor az értelmezési tartomány feltétele is teljesül. ± 5 1 sin x. 8. Oldjuk meg a sin x + cos x + sin x egyenletet. KöMaL 01/január; B.599. Láthatóan a sin x 1 és cos x 0 megoldása az egyenletnek. A szinusz- és a koszinusz-függvény is korlátos. Próbáljunk meg olyan becslést adni, ami elvezet a megoldáshoz. Az alábbiakban felhasználjuk, hogy sin x 1, cos x 1, sin x 0, cos x 0 és sin x+cos x 1: sin x + cos x + sin x sin x sin x + cos x cos x + sin x 1 sin x + 1 cos x + 1 (sin x + cos x) + 1. Az egyenlőség csak akkor teljesülhet, ha sin x 1, tehát az egyenlet megoldása: x + nπ, ahol n Z. 9. Az x 10x egyenlet gyökei u, v és w. Határozzuk meg az arctg u + arctg v + arctg w értékét. KöMaL 00/november; B Használjuk az α arctg u; β arctg v; γ arctg w jelöléseket. < α, β, γ <. Az addíciós tételek felhasználásával: tg (β + γ) 10 tg β + tg γ 1 tg β tg γ tg β + tg γ tg α + tg (β + γ) tg α + tg (α + β + γ) 1 tg α tg (β + γ) 1 tg β tg γ tg β + tg γ 1 tg α 1 tg β tg γ tg α + tg β + tg γ tg α tg β tg γ u + v + w uvw 1 (tg α tg β + tg α tg γ + tg β tg γ) 1 (uv + uw + vw). (1) Ha a harmadfokú egyenlet három gyöke u, v és w, akkor az egyenlet ilyen alakban írható fel (gyökök és együtthatók közötti összefüggés): Az eredeti egyenlet alapján: x (u + v + w)x + (uv + uw + vw)x uvw 0

11 10. u + v + w 0, (uv + uw + vw) 10, uvw 11. Ezt az (1) összefüggésben felhasználva: tg (α + β + γ) 1 α + β + γ + kπ, ahol k Z. () A gyökök összege 0, a szorzata negatív, ezért egy negatív és két pozitív van köztük. Így α, β, γ közül egy a ; 0, kettő a 0; intervallumba esik, ezért a () összefüggésben k 0, azaz Határozzuk meg a 0; intervallumban az függvény értékkészletét. arctg u + arctg v + arctg w π. f(x) 3sin x 3cos x sin x cos x KöMaL 199/december; F.93. Az a + b (a + b)(a ab + b ), az a + b (a + b) ab, a sin x + cos x 1 azonosságok alapján: sin x + cos x (sin x + cos x)(sin x sin x cos x + cos x) sin x sin x cos x + cos x (sin x + cos x) sin x cos x sin x cos x Ezek alapján az f függvényt így írhatjuk fel: 1 3sin x cos x. f(x) 3(1 3sin x cos x) sin x cos x A sin x sin x cos x összefüggést felhasználva: f(x) 1 + 9(sin x cos x) sin x cos x + 9sin x sin x 1 + 9(sin x cos x). sin x cos x sin x + 9 sinx. Vezessük be a sin x jelölésére az y-t. A x a (0; π) intervallum tetszőleges pontja lehet, ezért sin x a (0; 1]intervallum minden értékét felveszi. A feladat szempontjából így elég a g(y) y + 9 y függvény értékkészletét vizsgálni a (0; 1]intervallumon. A számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenség alapján: g(y) y + 9y Egyenlőség akkor teljesül, ha 9y, azaz y. 9y y 11

12 Megvizsgáljuk, hogy minden 6-nál nagyobb valós szám hozzátartozik-e az értékkészlethez. Legyen c > 6 és Ekkor átalakítva y + 9 y c 9y cy + 0. A másodfokú egyenlet diszkriminánsa c 1, ami c > 6 esetén pozitív, tehát két megoldás van. A gyökök és együtthatók összefüggése alapján a gyökök szorzata, tehát a két gyök azonos előjelű és az egyik abszolút értéke legfeljebb. A két gyök összege pedig, ami pozitív, tehát mindkét gyök pozitív, a kisebbik legfeljebb. Így a g függvény a c értéket felveszi a 0; intervallumban. Tehát az f függvény értékkészlete a 0; intervallumban a [6; ) intervallum. 11. Az e és f párhuzamos egyenesek közé eső P pont távolsága az e-től a, ftől b. Határozzuk meg a legkisebb területű EPF háromszög oldalait, ha a háromszög P-nél lévő szöge derékszög, E csúcsa az e egyenesre, F pedig f-re esik! I. Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 1978; haladók, általános tantervű osztályok,. forduló Az AEP és a BPF merőleges szárú szögek, ezért egyenlők. Ezt a szöget α-val jelöljük. Az ábra jelöléseivel PE, PF. A háromszög területe T. Ez a kifejezés akkor a legkisebb, ha a nevező a legnagyobb, tehát sin α 1. α hegyesszög, ezért α 90, α 5. Így PE a ; PF b, a Pitagorasz-tétel alapján EF a + b. II. 10. évfolyamon még a sin α-ra vonatkozó összefüggést a tanulók nem ismerik. Adunk egy olyan megoldást is, amelyben ennek ismeretére nincs szükség. AEP ~BPF, mert derékszögűek és az α-val jelölt szögek merőleges szárúak, így egyenlőek. Hasonló háromszögekben a megfelelő szakaszok aránya egyenlő, ezért FB a b x FB ab x. 1

13 Pitagorasz tétele alapján: PE a + b, PF b + ab x b x a + x. A PEF háromszög területe: T PE PF b(a + x ) x b a x + x. Alkalmazzuk a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenséget: b a x + x b a x ba. x Egyenlőség akkor teljesül, ha x, tehát a x, azaz α 5. Így a PEF háromszög területének minimuma ab. Ezt a minimumot akkor kapjuk meg, ha PE a ; PF b, Pitagorasz-tétel alapján EF a + b. Láthatóan nagy segítség a feladat megoldásában, ha ismerjük a szögfüggvényeket (I.megoldás). 1. Egy t területű derékszögű trapézba az oldalakat érintő r sugarú kör írható, ahol t r. Mekkora a trapéz alapjainak aránya? Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/013;haladók, II. kategória, 1.forduló A beírható kör középpontja a trapéz szögfelezőire illeszkedik. Az ábra jelöléseit használva: BE r ctg α; 13 FC r ctgβ. Az érintési pontokba húzott sugár merőleges az érintőre, ezért AEOH és HOFD négyszög négyzet, tehát AE AH HD DF r. A trapéz területe: t r (r + r ctg α + r + ctg β) 5 r.

14 Átrendezve, r -tel osztva: + ctg α + ctg β 5. (1) A trapéz egy száron fekvő szögeinek összege 180, ezért α + β 180 α + β 90. Ebből következik, hogy ctg β ctg(90 α) tgα Az (1) egyenletet így írhatjuk: A másodfokú egyenletet megoldva: Az ezekhez tartozó β értékekre:. + ctg α + 1 ctg α 5 ctg α 17ctg α + 0. ctg α vagy ctg α 1. ctg β 1 vagy ctg β. Láthatóan a két megoldás ugyanazt a trapézt határozza meg. Az első eredménypárt használva (AB a hosszabb alap): Tehát a két alap aránya: Ha az AB a rövidebb alap, akkor AB r + r 5r ; AB CD. AB CD 1. CD r + 1 5r r, 13. Egy tizenkét egység alapú egyenlő szárú háromszögbe félkört írunk úgy, hogy a félkör átmérője a háromszög alapján van, a félkör íve pedig érinti a háromszög szárait. Mekkora a félkör sugara, ha a félkörív az alaphoz tartozó magasságot a csúcshoz közelebbi harmadoló pontban metszi? Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/005; haladók II. kategória, 1.forduló 1

15 Az AOE derékszögű háromszögből r 6 sin α, az AOC derékszögű háromszögből m 6 tg α. A feladat szerint OH r m. Így azt az α szöget keressük, amelyre 6 sin α tgα 3 sin α 6 sin α cos α. 3 Az α szög hegyesszög, ezért sin α 0, tehát oszthatunk vele, majd cos α-t kifejezzük: cos α 9. A sin α + cos α 1 összefüggés alapján, felhasználva, hogy α hegyesszög: sin α A félkör sugarát ennek segítségével ki tudjuk számolni: r 6 sin α Az AD egységnyi hosszú szakasz mint átmérő fölé rajzolt félkörív egy pontja B, a BD ív egy további pontja C, és jelölje E a BD és AC szakaszok metszéspontját. Határozza meg az AE AC + DB DE kifejezés pontos értékét! I. Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 013/01; kezdők I-II. kategória,.forduló A Thalesz-tétel miatt ABD és ACD derékszög. Szögfüggvények alkalmazásával: AC AD cos α cos α ; DB AD cos β cos β. Az AED 180 α β. Az AED háromszögre alkalmazva szinusztételt: AE AD DE AD sin β sin(180 α β) sin α sin(180 α β) sin β sin(α + β) sin α sin(α + β) AE DE sin β sin(α + β), sin α sin(α + β). 15

16 Ezek alapján: II. AE AC + DB DE sin β cos α sin(α + β) + sin α cosβ sin(α + β) sin(α + β) sin(α + β) 1 A kezdők kategóriájában még nem tananyag a szögfüggvények témája, ezért ebben a megoldásban szögfüggvények nélkül számolunk. A Thalesz-tétel miatt az ABD háromszög derékszögű, ezért felírhatjuk rá a Pitagorasz-tételt: AD AB + (BE + DE) AB + BE + DE + BE DE. Az AEB háromszög derékszögű, ezért AB + BE AE, és BE DB DE, így: AD AE + DE + (DB DE) DE AE DE + DB DE Az ACD és ECD háromszögekből hasonlóan: A két egyenletet összeadva és -vel osztva: Ebből következik, hogy Megjegyzés: AD DE AE + AE AC. AD AE AC + DB DE. AE AC + DB DE 1. A szögfüggvények alkalmazásával ebben az esetben is egyszerűbb a megoldás. 15. Határozzuk meg a 18, 36, 5, 7 szögfüggvényeinek pontos értékét! Az ABC egyenlő szárú háromszög szögei 7, 7, 36. Az AD szögfelezővel két egyenlőszárú háromszögre bontjuk: ADB és ADC. A nagy háromszög szára egységnyi, alapja x, az ADC háromszög szárai x, alapja 1, az ABD háromszög alapja 1 x, szára x. A szögek egyenlősége miatt ABC ~ABD. Hasonló háromszögekben a megfelelő oldalak aránya egyenlő: x 1 x 1 x x + x 1 0 x 1 ± 5. 16

17 x egy szakasz hosszát jelöli, ezért pozitív, tehát Ezt felhasználva: Az ABC háromszögből koszinusztétel alapján: cos 36 x 5 1. x cos A sin α + cos α 1 összefüggés alapján: A tg α 6 5 sin sin és ctg α összefüggések alapján: , tg , ctg , 5 tg ctg

18 A pótszögek szögfüggvényeire vonatkozó összefüggések alapján: sin 18 cos cos 18 sin tg 18 ctg ctg 18 tg sin 5 cos cos 5 sin tg 5 ctg ctg 5 tg Legyen az ABCDE szabályos ötszög átlójának felezőpontja F. Hogyan aránylik egymáshoz az ABC, a CDF és a DEF háromszög területe? Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 1973; haladók, 1.forduló Válasszuk a szabályos ötszög oldalát egységnek. A szabályos ötszög minden szöge 108. Az ABC háromszög egyenlő szárú, ezért az alapon fekvő szögei egyenlők, ( ): 36. FCD Szimmetria miatt ED AC, a két párhuzamos távolsága a DG szakasz. Ezekkel az adatokkal: T T AB BC sin 108 CF CD sin 7 T sin 7, CF BC cos 36 cos 36, cos 36 1 sin 7 CG DC sin 7 sin 7, ED CG Ezért a háromszögek területek aránya: 1: cos 36 : 1. A 15. feladatban kiszámoltuk cos 36 értékét, így 1 sin 7 T T T sin 7. cos 36 sin 7, 1. 18

19 17. Az ABC háromszögben a C csúcsnál kétszer akkora szög van, mint az A-nál. Milyen értékeket vehet fel az hányados? OKTV 1979; általános tantervű osztályok,. forduló Legyen az A csúcsnál lévő szög α, a C csúcsnál lévő szög α, ekkor a B csúcsnál lévő szög 180 3α. Így az α szögre teljesül a 0 < α < 60 feltétel. A szinusztétel alapján: AC sin(180 3α) sin 3α sin α cos α + cos α sin α AB sin α sin α sin α cos α sin α (cos α 1) + cos α sin α cos α sin α cos α Bevezetjük az a cos α jelölést, így az a cos α 1 cos α. sin α cos α sin α sin α cos α kifejezést vizsgáljuk. A 0 < α < 60 feltétel miatt cos 60 < a < cos 0, így 1 < a < és 1 < <. Ekkor 0 < a <. Még megvizsgáljuk, hogy a 0 és 3 közötti számok mindegyikét megkaphatjuk-e. A cos x függvény folytonos, ezért a [0 ; 60 ]intervallumban minden értéket felvesz az [1; ] intervallumból. Az x függvény is folytonos az [1; ] intervallumon, ezért minden értéket felvesz a 0 és 3 között. Tehát 0 < < és a hányados minden közbülső értéket felvesz. 18. Milyen a valós érték mellett van megoldása a egyenletnek? I. Az addíciós tételek alapján cos 3x cos x sin 3x sin x a OKTV 1975; 1. forduló cos 3x cos x cos x sin x sinx (cos x sin x) cos x sin x cos x sin x cos x 3sin x cos x sin 3x sin x cos x + cos x sin x sin x cos x cos x + (cos x sin x) sin x 3cos x sin x sin x. Ezeket az összefüggéseket behelyettesítjük a megoldandó egyenletbe: cos x 3sin x cos x 3sin x cos x + sin x a (1) A 10. feladat megoldásában levezettük, hogy Az (1) egyenletet tovább alakítva: sin x + cos x 1 3sin x cos x. 1 3sin x cos x 3sin x cos x 3sin x cos x a 19

20 1 3(1 + cos x + sin x) a 1 6sin x cos x a 1 a 6sin x cos x 3 sin x cos x 3 sin x sin x a 3 A szinuszfüggvény értékkészlete alapján ennek az egyenletnek akkor van megoldása, ha 0 a a 1. Ekkor valóban van megoldás, mert az átalakításaink megfordíthatóak voltak. II. Az első megoldásban szereplő képleteket tovább alakítva: cos 3x cos x 3sin x cos x cos x 3(1 cos x) cos x cos x 3 cos x cos x cos 3x + 3 cos x sin 3x 3cos x sin x sin x 3(1 sin x) sin x sin x 3 sin x sin x sin x A megoldandó egyenletbe ezt felhasználva: cos 3x cos 3x + 3 cos x 3 sin x sin 3x 0. 3 sin x sin 3x sin 3x a cos 3x + 3cos 3x cos x 3 sin 3x sin x + sin 3x a 1 + 3(cos 3x cos x sin 3x sin x) a cos x a 1 3 A koszinuszfüggvény értékkészlete miatt ennek az egyenletnek akkor és csak akkor van megoldása, ha 1 a Közelítő értékek használata nélkül adjuk meg a kifejezés pontos értékét! +1 1 a 1. K tg 7 + tg 3 tg (tg 7 tg 3 ) ; 3 5 és felhasználjukaz alábbi összefüggést: tg(x ± y) OKTV 000/001; általános tantervű osztályok, 1. forduló tgx ± tgy 1 tgx tgy,

21 K tg5 + tg tg5 tg tg5 + tg tg5 tg + tg 1 tg5 tg 1 + tg5 tg 1 tg5 tg 1 + tg5 tg. Használjuk az a tg jelölést: K 1 + a 1 a + 1 a + a a a 1 a 1 a 1 + a (1 + a) + (1 a) 1 a a (1 + a) (1 a) 1 a + a a 1 a a 1 a. 0. Az alábbi kifejezés egyes tagjainak nincs értelme, ha α értéke 5 vagy 5. Van-e a kifejezésnek határértéke, ha α az egyik vagy a másik szöghöz tartó olyan sorozaton fut végig, amelynek elemeire van értelme az egyes tagoknak? A kifejezést átalakítjuk: 1 + sin α + cos α (1 + tg α) cos α + tg α sinα + (sin α cos α). cos α + tgα (cos α + sin α) sin α cos α + cos α sin α (sin α cos α) OKTV 197; 1. forduló sin α cos α cos α + cos α sin α (cos α + sin α) + sin α + cos α + sin α cos α + cos α sin α (sin α cos α) sin α cos α cos α + cos α sin α + cos x + sin α cos α (sin α cos α) cos α + sin α cos α cos α sin α cos α cos α sin α cos α cos α 0. cos α + cos α + sin α cos α cos α sin α Tehát a kifejezés minden olyan esetben 0, amikor értelmezve van. Ekkor a határérték is 0, ha α a 5 -hoz vagy a 5 -hoz tart. 1. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert, ha 0 x π, és 0 y π: cos x + cos y 1, (1) sin x sin y 3. () OKTV 006/007; II. kategória,. forduló Vezessük be az u cos x és v cos y jelölést. A () egyenletet négyzetre emeljük, felhasználjuk, hogy sin α + cos α 1, ezután az alábbi egyenletrendszert kapjuk: u + v 1 (3) 1

22 A (3) egyenletből: Ezt a () egyenletben felhasználva: Az uv ben másodfokú egyenletet megoldva: (1 u )(1 v ) () u + v 1 uv. 1 u v + u v u v + uv u v + 3uv 9 0. uv vagy. A koszinuszfüggvény 1-nél nagyobb értéket nem vesz fel, ezért az (1) egyenlet csak úgy teljesülhet, ha cos x és cos y értéke sem negatív, így szorzatuk nem lehet. Most az u + v 1 egyenletrendszert oldjuk meg: uv 1 u(1 u) 1 u u + 1 u 1 0. Tehát: u v 1. Ha cos x cos y, akkor sin x ±, a () egyenlet alapján sin y. Ez alapján a lehetséges értékek: x π 3 és y 5π 3 ; x 5π 3 és y π 3.. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenséget: tg x 3 > 1 + tg x OKTV 013/01; II. kategória, 1. forduló A tangens-függvény értelmezése miatt x + kπ, k Z. A négyzetgyök miatt tg x 3, tehát tgx 3 vagy tgx 3.

23 Az első esetben az eredeti egyenlőtlenség mindkét oldala nemnegatív, ezért négyzetre emelhetünk: tg x 3 > 1 + tgx + tg x 0 > 3 tg x + tgx +. Az adott feltételek mellett az egyenlőtlenség jobb oldala pozitív, így ez sohasem teljesül. Az második esetben a négyzetgyök értékkészlete miatt az egyenlőtlenség bal oldala nemnegatív, a jobb oldal viszont legfeljebb 1 3, ezért ekkor megoldást kapunk: π + kπ < x π + kπ, k Z. 3 Ezzel megadtuk az egyenlőtlenség összes megoldását. 3. Mennyi a 1 + cos 30 1 sin 60 különbség értéke? (A) 1 (B) 3 3 (C) 3 (D) 1 (E) 3 Gordiusz Matematika Tesztverseny 008; 1. osztály, megyei forduló I. 1 + cos 30 1 sin A helyes válasz a D. II. 1 3 A következő összefüggéseket használjuk fel: sin α + cos α 1; cos α sin(90 α) ; sin α sin α cos α; a + b ± ab (a ± b) ; a a. 1 + cos 30 1 sin sin 60 1 sin 60 sin 30 + cos 30 + sin 30 cos 30 sin 30 + cos 30 sin 30 cos 30 (sin 30 + cos 30 ) (sin 30 cos 30 ) sin 30 + cos 30 sin 30 cos 30 A helyes válasz a D Egy tompaszög tangense. Mennyi a szög felének a tangense? (A) 1 5 (B) 1 (C) 1 5 (D) 5 (E) 5 1 Gordiusz Matematika Tesztverseny 010; 11. osztály, megyei forduló 3

24 A tangens függvény szemléletes jelentése látható az ábrán: az egységkörből az (1; 0) pontban húzott érintőből a szög szára negatív irányban egységet vág ki. Az OM szakasz hossza a Pitagorasz-tétel alapján 1 + 5, tehát cos α. Ha α tompaszög, akkor a fele hegyesszög, tehát a tangense pozitív. A összefüggés alapján: tg α 1 cos α 1 + cos α tg α A helyes válasz az E. 5. Mennyivel egyenlő a valós számok halmazán értelmezett f(x) 8 sin x + 5 cos x függvény legnagyobb és legkisebb értékének szorzata? (A) 169 (B) 9 (C) 0 (D) 6 (E) 13 Gordiusz Matematika Tesztverseny 008; 1. osztály, országos forduló f(x) 8sin x + π 6 5 cos x 8 sin x cos π cos x sin π 5 cos x 6

25 8 3 sin x cos x 5 cos x sin x 1 cos x. 7 ezért van olyan α szög,amelyre: , cos α és sin α. A sin(α β) sin α cos β cos α sin β azonosságot használva: f(x) 7 sin(x α). Ennek a függvénynek a legnagyobb értéke 7, legkisebb értéke 7, ezeknek a szorzata 9. A helyes válasz a B. 6. Azon háromszögek közül, amelyeknek a területe egyenlő és egyik szögük közös, melyikben lesz az ismert szöggel szemközti oldal a legkisebb? Ki miben tudós? vetélkedő 196; országos selejtező feladata A háromszög oldalait a szokásos módon betűzzük, az ismert szög γ, a háromszög területe T. A háromszög területét kifejezzük két oldal és a közbezárt szög segítségével és használjuk a szinusztételt: T ac sin β ; a sin α c sin γ A szögfüggvények szorzatát felírhatjuk különbség alakban is: sin α sin β T c. sin γ sin α sin β cos(α β) cos(α + β). Felhasználjuk, hogy cos(α + β) cos(180 γ) cos γ, kifejezzük c -t: c T sin γ cos(α β) cos(α + β) T sin γ cos(α β) + cos γ. Ebben a kifejezésben T, γ állandó, ezért c akkor lesz a legkisebb, ha cos(α β) a legnagyobb. Ez α β esetén teljesül, amikor a háromszög egyenlő szárú. 7. Megmértük egy vízszintes terepen álló antennatorony emelkedési szögét a talpponttól 100 m, 00 m és 300 m távolságból. A három szög összege 90. Milyen magas a torony? A Kürschák József Matematikai Tanulóverseny 1959.évi. feladata A torony magasságát jelöljük x-el. A látószögeket az ábra szerint α, β, γ-val jelöljük, ekkor tg α x x, tg β , tg γ x

26 α + β + γ 90, ezért Innen: tg γ A torony magassága 100 m. x 300 tg90 (α + β) ctg(α + β) 1 1 tgα tgβ tg(α + β) tgα + tgβ 1 x 100 x x x x. 300x 00 x 0000 x x 100. (x > 0) 8. Bizonyítsuk be, hogy a konvex négyszögek közül csak a paralelogrammáknak van meg az a tulajdonságuk, hogy mind a négy csúcs esetében ugyanakkora összeget kapunk, ha a rajta át nem haladó oldalegyenesektől való távolságait összeadjuk. A Kürschák József Matematikai Tanulóverseny 1967.évi 3. feladata A betűzést úgy választjuk, hogy az AB és CD egyenesek illetve az AD és BC egyenesek az ábra szerint az E illetve F pontban metszik egymást vagy párhuzamosak. ε és φ ezen oldalpárok hajlásszöge, ha párhuzamosak, akkor ε 0 illetve φ 0. Az EDC -et δ-val jelöljük, ekkor DCB φ+ δ. A C csúcs merőleges vetülete az AB illetve AD oldalegyeneseken: C és C, a D 6

27 pont vetülete az AB, BC oldalegyeneseken illetve a CC egyenesen D, D, D. Ha a feladatban szereplő összeg a C és D csúcsokra azonos, akkor: CC + CC DD + DD. (1) Felhasználjuk, hogy a betűzés választása miatt CC DD, így CC DD + CD, tehát (1) alapján: CD + CC DD. () CDD és ε egyállású szögek, ezért egyenlőek. A () egyenlőséget szögfüggvényekkel kifejezzük a megfelelő derékszögű háromszögekből: majd DC-vel osztunk: DC sin ε + DC sin δ DC sin(φ + δ), sin ε + sin δ sin(φ + δ) sin φ cos δ + cos φ sin δ. Ugyanezt az A és D csúcsokra végiggondolva: Adjuk össze az utolsó két egyenletet: sin φ + sin δ sin ε cos δ + cos ε sin δ (sin ε + sin φ) (1 cos δ) + ( cos ε cos φ) sin δ 0. 0 < δ < π, ezért az előbbi kifejezésben mindkét tag második tényezője pozitív, az első tényezők pedig nemnegatívak. Az egyenlőség csak akkor teljesülhet, ha sin ε + sin φ 0, cos ε + cos φ. Ez csak ε 0 és φ 0 esetén teljesülhet, ami azt jelenti, hogy az ABCD négyszög paralelogramma. 9. Jelölje egy paralelogramma két szomszédos oldalának arányát λ (ahol λ > 1). Határozzuk meg, hogy hogyan függ λ-tól az átlók közti hegyesszög legnagyobb lehetséges értéke. A Kürschák József Matematikai Tanulóverseny 199.évi 1. feladata 7

28 Legyen egység az AB oldal, ekkor a BC oldal λ. A paralelogramma átlói felezik egymást, az átlók felét e-vel és f-fel jelöljük, az átlók szöge φ. Az AEB és BEC háromszögekre felírjuk a koszinusztételt: 1 e + f efcos φ, λ e + f ef cos(180 φ) e + f + efcos φ. A két egyenletet összeadva és kivonva: λ + 1 (e + f ), λ 1 efcos φ. λ > 1, ezért cos φ > 0. Alkalmazzuk a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenséget: ahonnan: ( λ + 1) cos φ e + f cos φ e f cos φ ef cos φ λ 1, cos φ λ 1 ( λ + 1). Egyenlőség akkor teljesül, ha e f, ilyenkor a paralelogramma téglalap. Legyen φ olyan szög, amelyre cos φ λ 1 ( λ + 1), φ arc cos λ 1 ( λ + 1). Ilyen szög van, mert 0 < < 1. A koszinuszfüggvény a (0; 90 ) intervallumban csökkenő ( ) függvény, ezért a keresett legnagyobb szög a φ. 30. (Morley tétele) Egy tetszőleges háromszög szögeit az AY, AZ, BZ, BX, CX, CY egyenesek 3 3 egyenlő részre osztják. Bizonyítsuk be, hogy az XYZ háromszög szabályos. D.O.Skljarszkij N. N. Csencov I. M. Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből Geometria I, 180. feladat 8

29 A háromszög szögei 3α; 3β; 3γ, a háromszög oldalai AB c; AC b; BC a, BZ u, BX v. Ha a háromszög köré írt körének sugara R, akkor a R sin 3α; b R sin 3β; c R sin 3γ. A háromszög szögeinek összege: 3α + 3β + 3γ 180, tehát α + β + γ 60. A BXC háromszögben a szinusztétel alapján: v a sin γ sin(180 β γ) v Az addíciós tételek alapján levezethető: sin γ sin(β + γ) a sin γ R sin 3α sin(60 α) sin(60 α). sin γ sin(60 α) sin 3α 3 sin α sin α sin α 3 sin α sin α (sin 60 sin α) Ezt felhasználva: Hasonlóan: sin α sin sin α(sin 60 + sin α) (sin 60 sin α) 60 + α 60 α cos A BXZ háromszögből koszinusztétel alapján: cos sin α sin(60 + α) sin(60 α). v 8 R sin α sin γ sin(60 + α). v 8 R sin α sin γ sin(60 + γ). XZ u + v uv cos β 60 + α 60 α sin 6 R sin α sin γ[sin (60 + α) + sin (60 + γ) sin(60 + α) sin(60 + γ) cos β] A szögletes zárójelben lévő kifejezés egy koszinusztételre emlékeztet. Van-e olyan háromszög, amelynek két oldala sin(60 + α) és sin(60 + γ) és a közbezárt szög β? Az α + β + γ 60 összefüggés miatt (60 + α) + (60 + γ) + β 180, ezért van olyan háromszög, amelynek ezek a szögei. Ha a háromszög köré írható körének az átmérője 1, akkor a háromszög oldalai sin(60 + α), sin(60 + γ) és sin β. Így a fenti szögletes zárójelben lévő kifejezés értéke a koszinusztétel alapján sin β. Ezért XZ 6 R sin α sin γ sin β, XZ 8R sin α sinβ sinγ. Ebben a kifejezésben α, β, γ szerepe felcserélhető, ezért ugyanezt a kifejezést kapjuk ZY és YV szakaszokra, ami azt jelenti, hogy az XYZ háromszög oldalai egyenlőek, azaz a háromszög szabályos. 9

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 2. forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 2. forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 010/011-es tanév. forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Egy sportversenyen

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................

Részletesebben

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger. feladat Állítsunk merőlegeseket egy húrnégyszög csúcsaiból a csúcsokon át nem menő átlókra. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjai

Részletesebben

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

3. Geometria. I. Feladatok

3. Geometria. I. Feladatok 3. Geometria I. Feladatok 1. Egy körben adott két, egymásra merőleges átmérő. Az egyik végpontból húzott húrt a másik átmérő 2 és 4 egység hosszú szakaszokra bontja. Mekkora a kör sugara? Kalmár László

Részletesebben

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 2016 Fazekas, Berzsenyi Budapest Berzsenyi Dániel Gimnázium Fazekas Mihály Gimnázium Budapest 2. javított kiadás 2016. március 1115. Technikai el készítés, tördelés:

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ. A feladatsor jellemzői

VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ. A feladatsor jellemzői VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Szögfüggvények derékszögű háromszögben, szinusztétel, koszinusztétel, Pitagorasz-tétel. Előzmények Pitagorasz-tétel, derékszögű háromszög trigonometriája,

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat

Bolyai János Matematikai Társulat Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika 2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A

Részletesebben

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ NYOLCADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ NYOLCADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ NYOLCADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Az apa, az anya és a három lányuk együtt 118 évesek. Az anya 10 évvel idősebb, mint a három lány együtt.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 113 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat Bemutatjuk a NAT 01 és a hozzá kapcsolódó új kerettantervek alapján készült MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat 9 10 1 MATEMATIKA A KÖTETEKBEN FELLELHETŐ DIDAKTIKAI ESZKÖZTÁR A SOROZAT KÖTETEI A KÖVETKEZŐ KERETTANTERVEK

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert) GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

A pillangótétel és más mesék (az elemi geometria néhány szép tétele és feladata) Bíró Bálint, Eger

A pillangótétel és más mesék (az elemi geometria néhány szép tétele és feladata) Bíró Bálint, Eger Kistérségi tehetséggondozás A pillangótétel és más mesék (az elemi geometria néhány szép tétele és feladata) Bíró Bálint, Eger 1. Bevezetés Az alábbiakban szereplő tételeket és feladatokat két téma köré

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel!

Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! SZAKDOLGOZAT Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! Simon Ju lia Matematika BSc., tana ri szakira ny Te mavezeto : Besenyei A da m adjunktus Alkalmazott Analı zis e s Sza mı ta smatematikai Tansze k Eo

Részletesebben

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva.

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva. Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT Készítette: Szigeti Zsolt Felkészítő tanár: Báthori Éva 2010 október Dolgozatom témája a különböző függvények, illetve mértani

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI LAPOK ALAPÍTOTTA: ARANY DÁNIEL 1894-ben

KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI LAPOK ALAPÍTOTTA: ARANY DÁNIEL 1894-ben 2015.2.5 21:19 65. oldal 1. lap KöMaL, 2015. február KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI LAPOK ALAPÍTOTTA: ARANY DÁNIEL 1894-ben 65. évfolyam 2. szám Budapest, 2015. február Megjelenik évente 9 számban,

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI LAPOK INFORMATIKA ROVATTAL BŐVÍTVE

KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI LAPOK INFORMATIKA ROVATTAL BŐVÍTVE 2015.10.8 15:30 385. oldal 1. lap KöMaL, 2015. október KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI LAPOK INFORMATIKA ROVATTAL BŐVÍTVE ALAPÍTOTTA: ARANY DÁNIEL 1894-ben 65. évfolyam 7. szám Budapest, 2015. október

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2007/2008-as tanév 2. forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2007/2008-as tanév 2. forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév. forduló haladók I. kategória Megoldások

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! 5. gyakorlat Lineáris leképezések Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! f : IR IR, f(x) 5x Mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez? x, x IR, f(x +

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

e s gyakorlati alkalmaza sai

e s gyakorlati alkalmaza sai Sze lso e rte k-sza mı ta s e s gyakorlati alkalmaza sai Szakdolgozat ı rta: Pallagi Dia na Matematika BSc szak, elemzo szakira ny Te mavezeto : Svantnerne Sebestye n Gabriella Tana rsege d Alkalmazott

Részletesebben

Méréssel kapcsolt 3. számpélda

Méréssel kapcsolt 3. számpélda Méréssel kapcsolt 3. számpélda Eredmények: m l m 1 m 3 m 2 l l ( 2 m1 m2 m l = 2 l2 ) l 2 m l 3 = m + m2 m1 Méréssel kapcsolt 4. számpélda Állítsuk össze az ábrán látható elrendezést. Használjuk a súlysorozat

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 17 XVII A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 1 PRImITÍV FÜGGVÉNY, ALApINTEGRÁLOk A (nagy) F függvényt a (kis) f függvény primitív függvényének nevezzük valamely nyílt intervallumon, ha itt

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2012 13-as tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a javító

Részletesebben

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99 JUNIOR, 990-9. sz, els forduló. Adott két pozitív valós szám. Bizonyítsuk be, hogy ha az összegük kisebb, mint a szorzatuk, akkor az összegük nagyobb 4-nél. (N. Vasziljev, 4 pont) 2. Egy szabályos háromszög

Részletesebben

Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái

Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Bolyai Intézet Geometria Tanszék Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szakdolgozat Írta: Pásztor Péter Matematika

Részletesebben

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I.

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I. NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM aipari Mérnöki Kar Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet Dr Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I Sopron 9 javított kiadás TARTALOMJEGYZÉK I Bevezetés a mőszaki mechanika

Részletesebben

10. évfolyam, ötödikepochafüzet

10. évfolyam, ötödikepochafüzet 10. évfolyam, ötödikepochafüzet (Hasonlóság, trigonometria) Tulajdonos: ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Geometriai transzformációk... 3 I.1. A geometriai transzformációk ismétlése... 3 I.2. A vektorok ismétlése...

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP-412-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza.

Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza. Matematika Számok, műveletek A természetes számok halmaza: Számhalmazok Ha m és n természetes szám, akkor az m természetes számok halmazán. Példa: 6+x=2. n egyenlet nem feltétlenül oldható meg a Az egész

Részletesebben

Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16).

Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16). FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS Definíció Definíció Az f ( ) függvény pontban értelmezett deriváltja a f ( + ) f ( ) lim határértékkel egyenlő amennyiben az létezik ( lásd Fig 6) df A deriváltat

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat)

Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) I. Pontszerű test 1. Pontszerű test modellje. Pontszerű test egyensúlya 3. Pontszerű test mozgása a) Egyenes vonalú egyenletes

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11.E OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11.E OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Segédlet Egyfokozatú fogaskerék-áthajtómű méretezéséhez

Segédlet Egyfokozatú fogaskerék-áthajtómű méretezéséhez Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Műszaki Kar Gépszerkezettan tanszék Segédlet Egyfokozatú fogaskerék-áthajtómű méretezéséhez Összeállította: Dr. Stampfer Mihály Pécs, 0. . A fogaskerekek előtervezése.

Részletesebben

Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0

Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0 Analízis A differenciálszámítás középértéktételei: 1) Rolle-tétel: Ha f folytonos a korlátos és zárt [a;b] intervallumon, f diffható [a;b]-n és f(a) = f(b), akkor van egy a < c < b belső pont, ahol f'(c)

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2006/2007-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2006/2007-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Alapkezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2006/2007-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 10 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre

Részletesebben