5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!"

Veronika Molnárné
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 5. gyakorlat Lineáris leképezések Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! f : IR IR, f(x) 5x Mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez? x, x IR, f(x + x ) 5(x + x ) 5x + 5x f(x ) + f(x ) Azaz két szám összegéhez a megfelel függvényértékek összegét rendeli. Mit rendel egy szám λ-szorosához? x IR, λ IR, f(λ x) 5 (λ x) λ 5x λ f(x). Azaz egy x szám λ-szorosához az x-beli függvényérték λ-szorosát rendeli. Ha egy f : IR IR függvényre igaz a fenti két tulajdonság minden x, x IR és minden x, λ IR esetén, akkor f-et lineáris függvénynek nevezzük. Lineárisak-e a következ valós függvények? a.) f(x) x IR Legyen x, x IR. Ekkor f(x + x ), azonban f(x ) + f(x ) +. Azaz az azonosan függvény nem lineáris. b.) f(x) x Ez sem lineáris, hiszen pl. f(x) (x) 4x f(x) x. c.) f(x) sin x - szintén nem lineáris, hiszen pl. sin( 90 o ) 0 sin(90 o ) d.) f(x) 5x + f(x + x ) 5(x + x ) + 5x + 5x +, de f(x ) + f(x ) 5x + + 5x + 5x + 5x + 4 5x + 5x + Tehát ez sem lineáris! Ezt a függvényt helyesen lineáris inhomogén függvénynek nevezzük. Tekintsünk most egy E E függvényt! Pl. minden síkvektorhoz rendeljük hozzá a φ szöggel való elforgatottját. A geometriából jól látszik, hogy ez a leképezés is összeghez összeget, skalárszoros vektorhoz skalárszorost rendel. Ez a leképezés a síkvektorok terében egy bázis rögzítésével megfelel egy IR IR függvénynek. A fenti két tulajdonság vizsgálatának bármilyen f : V V függvény esetén van értelme,

Azaz egy x szám λ-szorosához az x-beli függvényérték λ-szorosát rendeli.

2 ahol V és V két vektortér. Egy f : V V függvényt lineárisnak nevezünk, ha egyszerre igaz rá a következ két tulajdonság:. f(x + x ) f(x ) + f(x ) x, x V. f(λ x) λ f(x) x V, λ IR esetén. Melyek a lineáris függvények? Belátható, hogy az IR IR függvények körében csak az f(x) a x alakúak lineárisak, ahol a IR rögzített szám. (Az világos az el z ekb l, hogy az ilyen függvény lineáris, de az is könnyen meggondolható, hogy ha egy valós függvény lineáris, akkor csak ilyen alakú lehet. Ugyanis ha f lineáris, akkor f(x) f( x) f() x a x, ahol a f().) Az IR IR függvények már számpárhoz számpárt rendelnek: (x, x ) (y, y ) ahol a képvektor y és y koordinátája is függ általában x -t l és x -t l. Az ilyen függvények között csak azok lineárisak, amelyekre a következ igaz: y (x, x ) ax +bx és y (x, x ) cx +dx, ahol a, b, c, d rögzített számok, vagyis a képtér vektorainak mindkét koordinátája az alappont koordinátáinak rögzített (azaz x -t l és x -t l nem függ ) számokkal vett lineáris kombinációja. Azaz egy f : IR IR lineáris leképezés négy darab számmal adható meg: a, b, c, d. Vegyük észre, hogy ha ezeket a számokat egy -es mátrixba rendezzük a következ módon: a c akkor az (x, x ) vektor képét megkaphatjuk úgy, hogy ezzel a mátrixszal az (x, x ) vektort mint oszlopmátrixot megszorozzuk (a mátrixszorzás múlt órán tanult szabálya szerint): a c b d x x b d, ax + bx cx + dx Egy IR IR lineáris leképezés tehát nem más, mint egy -es mátrixszal való szorzás.

(Az világos az el z ekb l, hogy az ilyen függvény lineáris, de az is könnyen meggondolható, hogy ha egy valós függvény lineáris, akkor csak ilyen alakú lehet.

3 Végül általában, ha f : IR n IR m, azaz szám-n-esekhez szám-m-eseket rendel: (x, x,..., x n ) (y, y,... y m ) akkor pontosan akkor lineáris, ha az y, y,... y m koordináták mind lineáris kombinációi az x, x,..., x n koordinátáknak: y a x + a x a n x n y a x + a x a n x n. y m a m x + a m x a mn x n ahol a ij, i,..., m, j,,..., n adott számok. Vagyis az (y, y,... y m ) vektort úgy kapjuk meg, hogy az (x, x,..., x n ) vektort mint oszlopmátrixot megszorozzuk a következ m n-es mátrixszal: a a... a n a a... a n.. a m a m... a mn Pl.. Milyen lineáris leképezést határoznak meg a következ mátrixok? a.) A b.) B c.) C a.) f : IR 3 IR, f(x, x, x 3 ) (3x + x + x 3, 4x + 6x + x 3 ) b.) f : IR IR, f(x, x ) (x + x ) c.) f : IR IR, f(x) (x, x) Pl.. Lineárisak-e a következ függvények? a.) f : IR IR, f(x, x ) (x + x, x x ) (igen) b.) f : IR IR, f(x, x ) (x x, x + x ) (nem) E E lineáris leképezés reprezentálása mátrixszal Láttuk, hogy bázis rögzítésével E azonosítható IR -vel. Ebb l következik, hogy egy E E leképezés azonosítható egy IR IR leképezéssel. Nem nehéz belátni, hogy ha az E E leképezés lineáris, akkor a megfelel IR IR leképezés is az. Egy 3

.., n adott számok. Vagyis az (y, y,... y m ) vektort úgy kapjuk meg, hogy az (x, x,..., x n ) vektort mint oszlopmátrixot megszorozzuk a következ m n-es mátrixszal: a a... a n a a... a n.. a m a m.

4 IR IR lineáris leképezés pedig megfelel egy -es mátrixszal való szorzásnak. Így egy E E lineáris leképezés azonosítható (reprezentálható) egy -es mátrixszal. Ez a mátrix függ attól, hogy E -ben milyen bázist használunk. Dolgozzunk most végig a descartes-i bázisban! Megnézzük, hogy hogyan írható fel a leképezést reprezentáló mátrix. Tegyük fel, hogy az f lineáris leképezés az x i + x j vektorhoz az y i + y j vektort rendeli, azaz f(x i + x j) y i + y j. Azt a mátrixot keressük, amelyre a a a a Ehhez próbáljuk kifejezni y -et és y -t x és x függvényeként. Mivel f lineáris, ezért f(x i + x j) x f(i) + x f(j). Tehát x x y y x f(i) + x f(j) y i + y j. Itt f(i) és f(j) (azaz i képe és j képe) is felírható i és j lineáris kombinációjaként: f(i) a i + a j, f(j) b i + b j. Ezeket az összegeket a fenti egyenletbe behelyettesítve az x a i + x a j + x b i + x b j y i + y j egyenl séget kapjuk. Ez az egyenl ség pontosan akkor áll fenn, ha a bal és a jobb oldalon azonos az i együtthatója is és a j együtthatója is. Ebb l y x a + x b y x a + x b. Vagyis a keresett mátrix a b a b alakú. Vegyük észre, hogy az els oszlopban éppen az f(i) vektor, a második oszlopban pedig az f(j) vektor Descartes-koordinátái vannak. Vagyis a mátrix felírásához csak a descartes-i egységvektorok képének koordinátáit kell meghatározni! Az i vektor képének Descartes-koordinátái kerülnek a keresett mátrix els oszlopába, a j képének koordinátái pedig a második oszlopába. 4

Tegyük fel, hogy az f lineáris leképezés az x i + x j vektorhoz az y i + y j vektort rendeli, azaz f(x i + x j) y i + y j.

5 Pl. láttuk, hogy az adott φ szög elforgatás E E lineáris leképezés. Írjuk fel a mátrixát! i elforgatottja a Descartes-bázisban: (cos φ, sin φ) a mátrix els oszlopa j elforgatottja a Descartes-bázisban: ( sin φ, cos φ) a mátrix második oszlopa A forgatási mátrix: Ha pl. φ 90 o akkor a mátrix A φ A 90 o cos φ sin φ sin φ cos φ 0 0 Így pl. a (, ) i + j vektor elforgatottját így számolhatjuk ki: tehát az a i + j vektor lesz. 0 0 El fordul, hogy egymás után több lineáris leképezést is alkalmazunk egy vektorra, azaz lineáris leképezések kompozícióját alkalmazzuk. Lineáris leképezések kompozíciója maga is lineáris leképezés lesz, tehát megfelel neki egy mátrix. Nézzük meg pl. az egymás utáni 90 és 90 fokos elforgatás mátrixát! El ször elforgatjuk az x (x, x ) vektort 90 fokkal. Ez azt jelenti, hogy megszorozzuk az A 90 o mátrixszal, és így megkapjuk a képét, amit jelöljünk y-nal. y A 90 ox Most az y vektort forgatjuk el 90 fokkal, azaz y-t megszorozzuk az A 90 o mátrixszal. Az eredmény: z A 90 oy A 90 o(a 90 ox) Mivel a mátrixszorzás asszociatív, ezért ez másképpen (A 90 oa 90 o)x. Vagyis az egymás utáni 90 és -90 fokos leképezés kompozíciója a -90 és 90 fokos leképezés mátrixának a szorzata. Vigyázzunk a sorrendre: az a mátrix áll elöl, amelyet utolsónak alkalmazunk., 5

φ 90 o akkor a mátrix A φ A 90 o cos φ sin φ sin φ cos φ 0 0 Így pl. a (, ) i + j vektor elforgatottját így számolhatjuk ki: tehát az a i + j vektor lesz.

Hasonló dokumentumok

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség 5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =