8. előadás EGYÉNI KERESLET

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "8. előadás EGYÉNI KERESLET"

Átírás

1 8. előadás EGYÉNI KERESLET Kertesi Gábor Varian 6. fejezete, enyhe változtatásokkal

2 8. Bevezető megjegyzések Az elmúlt héten az optimális egyéni döntést elemeztük grafikus és algebrai eszközökkel: a preferenciatérkép (illetve a hasznossági függvény) által megjelenített preferenciák, adott árak és adott jövedelem mellett meghatároztuk az optimális fogyasztói kosarat. Most ezt a kérdést tesszük fel: Hogyan változik egy termék optimális fogyasztása, ha a termék saját ára, illetve a fogyasztó jövedelme változik? A kifejtés egyszerűsége kedvéért továbbra is az eddig megszokott kéttermékes modellben gondolkodunk. A kérdést két részre bontjuk. Először megvizsgáljuk, hogyan változik az optimális fogyasztás abban az esetben, ha a fogyasztó jövedelme változik, miközben a két jószág ára változatlan marad. Másodszor megvizsgáljuk, hogyan változik az optimális fogyasztás abban az esetben, ha a termék saját ára változik, miközben a másik termék ára és a fogyasztó jövedelme változatlan marad. E két kérdés vizsgálatával ennek az előadásnak a során azt korlátozott célt tűzzük magunk elé, hogy bevezessünk néhány fontos új fogalmat, melyek alapvető szerepet töltenek be a fogyasztói elméletben. Azt az átfogóbb kérdést, hogy az árak és a jövedelem változása nemcsak közvetlenül, hanem áttételeken keresztül is miként befolyásolja e kéttermékes modell termékei iránti keresletet, majd a következő órán vesszük szemügyre. Mindenekelőtt vezessünk be a fogyasztói elmélet kulcsfogalmát: a keresleti függvényt. 8.2 A keresleti függvény A fogyasztói döntés múlt heti elemzésekor a fogyasztás optimális mennyiségét ár- és jövedelemparaméterek segítségével határoztuk meg. Egy termék fogyasztását azonban az árak és a fogyasztói jövedelem mellett számos egyéb tényező is befolyásolja. A szokások, a társadalmi normák, az állami szabályozás és sok más egyéb tényező is befolyásolhatja egy adott termék optimális egyéni fogyasztását. Azt a függvényt, amely mindezen tényezők együttese és a fogyasztás mennyisége közti függvényszerű kapcsolatot megteremti, keresleti függvénynek nevezzük. A keresleti függvény a fogyasztói elmélet központi fogalma. Nevezzük gyűjtőnéven környezeti feltételeknek azokat a tényezőket (K, K 2,, K l ), amelyek az árak (p, p 2 ) és a fogyasztói jövedelem (m) mellett hatással vannak a fogyasztó által keresett mennyiségre (x i, i=,2). A korábbi jelöléseket megtartva, a kéttermékes modell keresleti függvényei legáltalánosabb esetben az alábbi fólián látható formát öltik. A félév folyamán többnyire eltekintünk az imént említett környezeti tényezőktől, és keresleti függvény argumentumértékei közé csak az árakat és a fogyasztó jövedelmét vesszük föl. Az alábbi fólia ezeket az egyszerűsített keresleti függvényeket is mutatja. 8. fólia Bizonyos esetekben (főként empirikus számítási anyagok bemutatásakor) a környezeti változók használatára is hozunk példákat a következő néhány előadás során. 2

3 A keresleti függvény szabatos elemzését a 9-. előadás során végezzük el. Hogy kellően felvértezzük magunkat erre, előbb meg kell ismerkednünk számos új fogalommal, illetve elemzési eszközzel. Ezt az előadást ennek a feladatnak szenteljük. Mint a bevezetőben igértük, első lépésben azt vizsgáljuk meg, hogyan változik az optimális fogyasztás abban az esetben, ha a fogyasztó jövedelme változik, miközben a két jószág ára változatlan marad. A JÖVEDELEMVÁLTOZÁS ELEMZÉSE 8.3 Jövedelem-ajánlati görbe és Engel-görbe Jövedelemváltozás hatására ha az árak nem változnak a költségvetési egyenes párhuzamosan eltolódik, minthogy a költségvetési egyenes meredekségét meghatározó árarány nem változik. Az alábbi ábrán nyomon követhetjük a jövedelemváltozás hatását a keresett mennyiségre. Ha az optimális jószágkosarakat reprezentáló pontokat összekötjük egymással, akkor egy görbéhez jutunk. A szóban forgó görbét jövedelem-ajánlati görbének nevezzük. 8.2 fólia A jövedelem-ajánlati görbe (JAG) a különböző jövedelmi szintekhez tartozó optimális jószágkosarakat adja meg változatlan árak mellett. A jövedelem minden egyes szintjén ( m < m < m ) mindkét termékből megkapjuk az optimális mennyiséget. Tekintsük azonban csak az egyik jószágot (mondjuk: x -et), és rajzoljuk fel e jószág különböző jövedelmi szintekhez tartozó optimális fogyasztását az (m, x ) koordinátarendszerben! 8.3 fólia Ha e koordinátarendszer tengelyeit felcseréljük, akkor egy igen fontos függvényhez jutunk. A függvény neve: Engel-görbe. 2 Az Engel-görbe megmutatja, hogy a jószág fogyasztása milyen összefüggésben áll a fogyasztó jövedelmével. A fólián látható példa szerint az x termék fogyasztása nő a fogyasztó jövedelmének növekedésével. 8.4 fólia Egy jószág fogyasztása nem feltétlenül áll pozitív összefüggésben a fogyasztói jövedelem emelkedésével. További definíciók következnek. 2 Ernst Engel (82-896) német statisztikus után nevezték el. 3

4 8.4 Normál és alsóbbrendű jószág Normál javaknak nevezzük azokat a javakat, melyeknek esetében a jövedelem és fogyasztás között pozitív összefüggés áll fenn. Normál jószág esetében az Engel-görbe pozitív emelkedésű, ami egyszerűen azt jelenti, hogy jövedelemünk növekedése esetén többet fogyasztunk a szóban forgó termékből. Erre láttunk példát az imént bemutatott ábrákon is. A normál jószág Engel-görbéje így fest: 8.5 fólia Alsóbbrendű javaknak nevezzük azokat a javakat, melyeknek esetében a jövedelem és fogyasztás között negatív összefüggés áll fenn. Alsóbbrendű jószág esetében az Engelgörbe negatív lejtésű, ami egyszerűen azt jelenti, hogy jövedelemünk növekedése esetén kevesebbet fogyasztunk a szóban forgó termékből. Az alábbi ábrákon egy alsóbbrendű jószág jövedelem-ajánlati görbéje és Engel-görbéje látható. 8.6 fólia 8.7 fólia Egy jószág normál vagy alsóbbrendű volta a jövedelem szintjétől is függ. Valószínű, hogy a nagyon szegény emberek jövedelmük emelkedésével több olcsó és rossz minőségű felvágottat fognak fogyasztani (normál jószág). Egy jövedelemszint fölött azonban a jövedelem növekedése az embereket arra készteti, hogy inkább jobb minőségű felvágottakat fogyasszanak, és így a olcsó és rossz minőségű felvágottak fogyasztása visszaesik (alsóbbrendű jószág). 8.5 Néhány példa A továbbiakban megvizsgáljuk, hogyan fest a jövedelem-ajánlati görbe és az Engel-görbe különféle speciális preferenciák esetén! Tökéletes helyettesítés: Ha az x és x 2 jószág egymás tökéletes helyettesítői, akkor mint a múlt órán is láttuk fogyasztásunkban kizárólag az egyik termékre specializálódunk, a másik termékből nem fogyasztunk semmit. A p 2 > p esetben csakis a relatíve olcsóbb x terméket fogjuk fogyasztani. A kereslet volumenét ez esetben az x = m / p összefüggés adja meg. Ebből közvetlenül adódik, hogy az Engel-görbe egy egyenes lesz, melynek meredeksége: / p. 8.8 fólia Tökéletes kiegészítés: Ha az x és x 2 jószág egymás tökéletes kiegészítői, akkor az azt jelenti, hogy változatlan arányban mindig együtt fogyasztjuk őket. Ha ez az arány :-hez * * * * (mint a jobb- és ballábas cipők esetében), akkor ez az ( x, x2 ) csomag ( x = x2 ) fogyasztását jelenti. A fogyasztás mennyiségét ez esetben az x = m /( p + p2) összefüggés adja meg. Ebből közvetlenül adódik, hogy az Engel-görbe megint egy egyenes lesz, melynek meredeksége: /( p + ). p2 4

5 8.9 fólia Cobb-Douglas preferenciák: Könnyen megmutatható (erre a szemináriumokon kerül sor), hogy a jól viselkedő preferenciák körébe tartozó Cobb-Douglas preferenciák esetében a kereslet mennyiségét az x = am / p, illetve x2 = ( a) m / p2 összefüggések adják meg. Ezekből közvetlenül adódik, hogy a megfelelő Engel-görbék lineárisak, meredekségük pedig rendre a / p, illet-ve ( a) / p fólia 8. fólia Homotetikus preferenciák: Az előbbiekben említett mindhárom preferencia az ún. homotetikus preferenciák körébe tartozik. Homotetikus preferenciák esetében igaz az alábbi állítás: ha valaki előnyben részesít egy adott A jószágkosarat egy másik B jószágkosárral szemben, akkor ha a szóban forgó kosarak által reprezentált mennyiségeket (fogyasztásvektorokat) egy konstanssal megszorozzuk, az illető egyén az eredetileg preferált A kosarat továbbra is előnyben részesíti B-vel szemben. Ilyen jellegű preferenciák esetében (amikor is a fogyasztó preferenciái a javak arányaitól függnek) az Engel-görbe lineráris, és az origóból indul ki. 8.2 fólia A homotetikus preferenciák nem túl realisztikusak, viszont könnyű velük dolgozni a lineáris jövedelmi hatásokat könnyű technikailag kezelni, ami vonzóvá teheti őket a közgazdasági elemzések során. Kvázilineáris preferenciák: A közgazdasági elemzésekben fontos szerepet töltenek be a a kvázilineáris preferenciák. Erről a preferenciatípusról a korábbi hetekben már volt szó. 8.3 fólia A megadott u ( x, x2) = v( x) + x2 hasznossági függvény és a hozzá tartozó közömbösségi térkép alapján belátható, hogy a jövedelem növekedése nem érinti x termék fogyasztását, egyedül x 2 fogyasztását növeli. A kvázilineráris preferenciák alkalmazásával könnyen elérhetjük, hogy egy termék fogyasztását (jelen esetben x -ét) függetlenítsük a jövedelmi hatástól. Ez bizonyos elemzések esetében hasznunkra lehet. A megfelelő Engel-görbe az x tengellyel párhuzamos egyenes. Bár az efféle hasznossági függvény nem tűnik túl realisztikusnak, tény az, hogy bizonyos javakból (például fogkrémből vagy sóból) nem veszünk többet akkor, ha nő a jövedelmünk. Ha az összes többi jószág, illetve egy olyan termék közti választást vizsgáljuk, amely költségvetésünk nem túl nagy részét teszi ki, akkor a kvázilineáris preferenciák feltételezésével nem tévedünk túl nagyot (legalábbis akkor, ha az összjövedelmünk elég nagy). 5

6 AZ ÁRVÁLTOZÁS ELEMZÉSE A továbbiakban rátérünk a bevezetőben ígért másik kérdés, az árváltozás hatásának elemzésére. Arra vagyunk kíváncsiak, hogyan változik a fogyasztás mennyisége, ha az illető termék ára változik, miközben a többi termék ára és a fogyasztó jövedelme változatlan marad. Ha a költségvetési egyenes egyenletét átrendezzük, és x 2 -t x függvényében fejezzük ki, akkor könnyen belátható, hogy az x termék saját árának változása elforgatja költségvetési egyenest a függőleges tengelymetszet pontjából, hiszen a költségvetési egyenes meredekségét meghatározó árarány megváltozott: ha p ár csökken, akkor a költségvetési halmaz tágabbra nyílik, ha p ár nő, akkor leszűkül. Hogyan hat ez x termék fogyasztására? A probléma megértéséhez be kell vezetnünk néhány új fogalmat. 8.6 Ár-ajánlati görbe és keresleti görbe Induljunk ki abból az esetből, hogy p ár fokozatosan csökken! Kössük össze egymással az így fokozatosan egyre laposabbá váló költségvetési egyenesek és a megfelelő közömbösségi görbék érintési pontjait, amelyek kijelölik az változó árarányokhoz tartozó fogyasztói optimumokat! Az ily módon meghatározott görbét ár-ajánlati görbének nevezzük. 8.4 fólia Az ár-ajánlati görbe (ÁAG) megadja egy adott termék változó áraihoz tartozó optimális fogyasztói kosarakat (miközben a másik termék ára és a fogyasztó jövedelme változatlan marad). Az ár-ajánlati görbét a két termék mennyisége által meghatározott ( x, x ) 2 koordinátarendszerben ábrázoltuk. Minket azonban itt csak az egyik termék fogyasztásának alakulása érdekel, nevezetesen: azé a terméké, amelynek az ára változott. A sajátár-változás (p változása) és a fogyasztás változása (x változása) közti függvényszerű összefüggést az ár-ajánlati görbét is tartalmazó ( x, x ) koordinátarendszerről 2 könnyen leolvashatjuk. Nem kell mást tennünk, mint egy másik ( p, x ) koordinátarendszerre felrajzolni ezeket a pontokat. Az ily módon felrajzolható görbét inverz keresleti görbének nevezzük. Az inverz keresleti görbe a termék árát adja meg a mindenkori optimális fogyasztás függvényében. 8.5 fólia Ha a koordinátatengelyeket felcseréljük, akkor megkapjuk a keresleti görbét, amely az adott termék saját árának függvényében adja meg a fogyasztás optimális mennyiségét. Vegyük észre, hogy a keresleti görbe nem más, mint egy, a grafikus ábrázolhatóság céljából leegyszerűsített keresleti függvény. Az x = x ( p ) keresleti görbe az x = x p, p, ) keresleti függvény pontjait jelöli azzal a feltétellel, hogy a másik ( 2 m 6

7 termék árát (p 2 -t) és a fogyasztó jövedelmét (m-et) egy előre megadott szinten rögzítettük: x = x p p = ~ p, m = ~ ). ( 2 2 m 8.6 fólia Közönséges esetben, amikor egy jószág ára nő, a kereslete csökkenni fog. Egy jószág ára és kereslete általában ellenkező irányban változik, ami azt jelenti, hogy a keresleti görbének rendszerint negatív meredeksége van: dx / dp < 0. A következő előadás során pontosítani fogjuk ezt a megállapítást mely a közgazdaságtan egyik legfontosabb megállapítása, és a bizonyítását is megadjuk. 8.7 Az inverz keresleti görbe közgazdasági értelmezése Az inverz keresleti görbe egyes pontjainak fontos közgazdasági jelentése van. 8.7 fólia Emlékezzünk vissza arra, hogy optimális döntés esetén fenn kell állnia a leggyakoribb, legérdekesebb esetben az MRS = p / p 2 érintőfeltételnek: a fogyasztói optimumban a fogyasztó szubjektív értékelését kifejező helyettesítési határarány és piac objektív értékelését kifejező árarány megegyezik. Ha ebből az egyenletből kifejezzük p árat, megkapjuk a p = p2 MRS egyenlőséget. Ez azt jelenti: az x jószág ára arányos az x és x 2 jószág közötti helyettesítési határaránnyal. Tekintsük azt a különösen fontos esetet, amikor a másik jószág (x 2 ) nem más, mint az összes többi termékre való kiadásunk, vagyis azt az esetet, amikor x 2 az összetett jószág. Minthogy az összetett jószág ára, az érintőfeltétel az alábbi alakot ölti: p = MRS. Maga egy konkrét p ár tehát nem más, mint a fogyasztó fizetési határhajlandósága éppen aktuális szintű fogyasztása esetén: azt fejezi ki, hogy mennyi egyéb fogyasztásról lenne hajlandó lemondani x termék mennyiségének egységnyi növeléséért. Mivel ez a megállapítás az inverz keresleti görbe minden pontjára (a fogyasztás minden lehetséges szintjére) igaz, ezért az inverz keresleti görbe pontjai azt fejezik ki, hogy a fogyasztó az x termék mindenkor adott fogyasztási szintjén mennyi pénzt lenne hajlandó áldozni (mennyi egyéb fogyasztási lehetőségről lenne hajlandó lemondani) annak érdekében, hogy fogyasztását x termékből egységnyivel növelje. Egy apró terminológiai megjegyzés: A közgazdászok körében (Marshall óta) az a konvenció, hogy amikor keresleti görbéről beszélnek, a grafikus ábrázolásokban voltaképpen nem azt, hanem annak inverzét szokták felrajzolni. Ez senkit se zavarjon meg. Ez a pongyolaság nagyjából száz éve szokássá vált a közgazdász-társadalomban. A grafikus ábrázolások során gyakran felrajzolt (voltaképpen: inverz) keresleti görbét a későbbiekben mi sem fogjuk minden esetben rigorózusan inverz keresleti görbének nevezni. Ebben az előadásban azonban hogy ne keverjük össze a frissen bevezett fogalmakat pontosan fogjuk használni a keresleti görbe és az inverz keresleti görbe terminusait. 7

8 8.8 Közönséges javak és Giffen-javak További fogalomtisztázó definíciók következnek. Ez az előadás sajnos ilyen. Ezt a fáradságot nem takaríthatjuk meg. A következő előadások során mindezeket az újonnan bevezetett fogalmakat gyakran fogjuk használni. Az ár-ajánlati görbe, illetve a keresleti (vagy inverz keresleti görbe) alakja ismét csak elárul egy fontos dolgot. Nem szükségszerű ugyanis az, hogy a keresleti görbe az ár és a kereslet mennyisége között negatív összefüggést írjon le. Csak az ún. közönséges javak esetében igaz, hogy a termékből fogyasztott mennyiség nő, ha a termék ára csökken. Ezen az eseten mutattuk meg az ár-ajánlati görbét és az inverz keresleti görbét. Most megismételjük egy pillanatra a már egyszer bemutatott ábrát. 8.8 fólia A közönséges javak szöges ellentétét jelentik a Giffen-javak 3. Giffen-javak esetében az ár és a kereslet mennyisége között pozitív kapcsolat van: ha a termék ára nő, nő a termékből fogyasztott mennyiség is. 8.9 fólia Bár Giffen-javak létezhetnek, illetve egy jószág fogyasztása elvileg alakulhat e szerint az összefüggés szerint, ez az eset mégis inkább nagyon ritka kivételnek tekinthető. A jövő órán már jobban fogjuk érteni, hogy miért. 8.9 Néhány példa Korábbi gyakorlatunkhoz híven, nézzük meg, hogyan fest az ár-ajánlati görbe és az inverz keresleti görbe néhány jellegzetes preferenciatípus esetén! Tökéletes helyettesítés: Ha az x és x 2 jószág egymás tökéletes helyettesítői, akkor az x jószág kereslete nulla, amennyiben a két ár között a p > p2 reláció áll fenn. Ha p = p2, akkor a kereslet a költségvetési egyenes mentén tetszőleges nagyságú. Amennyiben p < p 2, a kereslet nagysága: m / p fólia Tökéletes kiegészítés: Ha az x és x 2 jószág egymás tökéletes kiegészítői, akkor az azt jelenti, hogy változatlan arányban mindig együtt fogyasztjuk őket. Ha ez az arány :-hez * * * * (mint a jobb- és ballábas cipők esetében), akkor ez az ( x, x2 ) csomag ( x = x2 ) fogyasztását jelenti. A kereslet mennyiségét ez esetben az x = m /( p + p2) összefüggés adja meg. Ha rögzítjük m és p 2 értékét, akkor a keresleti görbe egyenlete x ~ /( ~ = m p + p2) lesz, ahol m ~ és~ p 2 egy-egy konkrét szám. Ebből p -et kifejezve, megkapjuk az inverz keresleti görbét, amely nem más, mint egy hiperbola: p = ( m~ / x ) ~ p. Lejtése természetesen negatív. 2 3 Robert Giffen (837-90) angol statisztikus után nevezték el. 8

9 8.2 fólia 8.0 Helyettesítés és komplementaritás (kiegészítés) Használtuk már a helyettesítés és kiegészítés (komplementaritás) kategóriáit, de adósak maradtunk azzal, hogy formálisan is definiáljuk őket. Mivel eddig csak a tökéletes helyettesítés, illetve a tökéletes kiegészítés eseteivel találkoztunk, hasznos lesz a nem tökéletes helyettesítés és a nem tökéletes kiegészítés eseteit is szemügyre venni. Tökéletes vs. nem tökéletes helyettesítés/kiegészítés: piros és kék ceruzák bizonyos helyzetekben (ha valaki nem törődik a szinekkel) tökéletesen helyettesítik egymást; ezzel szemben a toll és a ceruza csak bizonyos mértékig helyettesíti egymást (a toll pl. nem radírozható). Hasonlóképpen: a jobb és ballábas cipők egymás tökéletes kiegészítői (mindig együtt használják őket); a cipő és a zokni is kiegészítői egymásnak, de nem tökéletes kiegészítői: előfordulhat (bár ritka), hogy valaki zokni nélkül hord cipőt. A helyettesítés és kiegészítés közgazdasági fogalmának megértéséhez a keresleti függvényt kell megvizsgálnunk. Emlékszünk rá: egy jószág keresleti függvénye azt mutatja meg, hogyan változik az adott termék kereslete a jószág saját árának, a többi jószág árának és a fogyasztó jövedelmének a függvényében. Amikor azt vizsgáljuk, hogyan változik egy jószág kereslete egy másik jószág árának függvényében, akkor voltaképpen a szóban forgó két jószág közti lehetséges helyettesítési és komplementaritási relációkat firtatjuk. Ha az x jószág kereslete megnő, amikor az x 2 jószág ára emelkedik, akkor azt mondjuk, hogy az x helyettesítője x 2 -nek. A keresleti függvény szóban forgó deriváltja ennek megfelelően pozitív fólia Tökéletes helyettesítés esetén esetén e derivált értéke pozitív vagy nulla fólia Ha az x jószág kereslete csökken, amikor az x 2 jószág ára emelkedik, akkor azt mondjuk, hogy az x kiegészítője x 2 -nek. A keresleti függvény szóban forgó deriváltja ennek megfelelően negatív. E derivált értéke tökéletes kiegészítés esetén is negatív. E fogalmakkal kapcsolatban két dologra kell fölhívnunk a figyelmet. Mindkét dolog kéttermékes modellünk sajátosságaiból fakad.. Mivel a jövedelem rögzített, ha többet költünk az egyik jószágra, kevesebb marad a másikra. Ez némiképp korlátozza a lehetséges helyettesítési és kiegészítő kapcsolatok körét. Kettőnél több termékes modellben ez nem olyan nagy probléma. 2. A helyettesítés és kiegészítés fent adott meghatározásaival gondjaink lehetnek kettőnél több termékes modell esetén. Például: előfordulhat, hogy két termék közti helyettesítési vagy komplementaritási kapcsolatok nem szimmetrikusak: az i-edik termék helyettesítője/komplementere a j-ediknek, de a j- 9

10 edik termék nem helyettesítője/komplementere az i-ediknek. E sajátosság miatt egy másik definíciót is szokás adni a helyettesítés, illetve kiegészítés fogalmainak. (Erre a problémára még visszatérünk a. előadás során.) 8. Összegzés Foglaljuk össze a javak osztályozása kapcsán tanultakat. A javakat osztályoztuk aszerint, hogy a termék kereslete hogyan reagál a jövedelem, a saját ár és egy másik termék árának változására. Az alábbi táblázatban a keresleti függvény megfelelő parciális deriváltjainak értékével definiáltuk az egyes fogalmakat fólia 0

11 8. előadás EGYÉNI KERESLET MELLÉKLET Kertesi Gábor

12 8. Keresleti függvény Környezeti tényezőket reprezentáló argumentumok-kal: x x ( p,p,m,k,, ) = x 2 K l ( p,p,m,k,, ) 2 = x2 2 K l Környezeti tényezők nélkül: = x( p,p,m) x ( p,p,m) x 2 x2 = 2 2 2

13 8.2 Jövedelem-ajánlati görbe (JAG) 3

14 8.3 Jövedelem-ajánlati görbe és az Engel-görbe 4

15 8.4 Engel-görbe 5

16 8.5 Normál jószág Engel-görbéje 6

17 8.6 Alsóbbrendű jószág jövedelem-ajánlati görbéje és Engel-görbéje 7

18 8.7 Alsóbbrendű jószág Engel-görbéje 8

19 8.8 Jövedelem-ajánlati görbe és Engel-görbe tökéletes helyettesítés esetén 9

20 8.9 Jövedelem-ajánlati görbe és Engel-görbe tökéletes kiegészítés esetén 20

21 8.0 Jövedelem-ajánlati görbe Cobb-Douglas preferenciák esetén 2

22 8. Engel-görbék Cobb-Douglas preferenciák esetén 22

23 8.2 Jövedelem-ajánlati görbe és Engel-görbe homotetikus preferenciák esetén 23

24 8.3 Jövedelem-ajánlati görbe és Engel-görbe kvázilineáris preferenciák esetén 24

25 8.4 Ár-ajánlati görbe (ÁAG) 25

26 8.5 Ár-ajánlati görbe és az inverz keresleti görbe 26

27 8.6 Keresleti függvény és keresleti görbe Keresleti függvény: = x( p,p,m) x ( p,p,m) x 2 x2 = 2 2 Keresleti görbe: x x 2 = x = x 2 (p (p 2 ) ), ami valójában azt jelenti, hogy: x x 2 = x = x 2 (p (p 2 p 2 p = p ~ = p ~ 2,m = m ~ ),m = m ~ ), ahol m ~, illetve p ~ és p ~ 2 valamely előre rögzített érték. 27

28 8.7 Az inverz keresleti görbe közgazdasági jelentése Az optimális fogyasztás pontjában (általában) fennáll az érintőfeltétel: p MRS,2 = () p 2 Átrendezve: p p2 MRS,2 = (2) Így: Ha x 2 = összetett áru (fogyasztásunk értéke minden egyéb termékből), akkor p 2 =. p = MRS,2 (3) Mivel különböző árarányok esetén más és más x optimális fogyasztást kapunk, így a p = p(x ) (4) inverz keresleti görbe voltaképpen a fogyasztó fizetési határhajlandóságát fejezi ki minden lehetséges x fogyasztási szinten. 28

29 8.8 Közönséges jószág 29

30 8.9 Giffen-jószág 30

31 8.20 Ár-ajánlati görbe és inverz keresleti görbe tökéletes helyettesítés esetén 3

32 8.2 Ár-ajánlati görbe és inverz keresleti görbe tökéletes kiegészítés esetén 32

33 8.22 x jószág x 2 helyettesítője * x keresleti függvénye: x 2 = x(p,p,m). () Amennyiben fennáll az alábbi összefüggés: x p > 2 0, (2) akkor azt mondjuk, hogy az x jószág x 2 helyettesítője: ha x 2 drágul a fogyasztó többet fogyaszt x -ből (x 2 -t x -gyel helyettesíti). * A 0. és. előadás során még finomítjuk ezt a meghatározást. 33

34 8.23 x jószág x 2 kiegészítője (komplementere) * x keresleti függvénye: x 2 = x(p,p,m). () Amennyiben fennáll az alábbi összefüggés: x p < 2 0, (2) akkor azt mondjuk, hogy az x jószág x 2 kiegészítője (komplementere): ha x 2 drágul a fogyasztó x -ből is kevesebbet fogyaszt, hiszen a kiegészítő javakat együtt fogyasztják. * A 0. és. előadás során még finomítjuk ezt a meghatározást. 34

35 8.24 A javak osztályozása az x i = x i (p, p 2, m), i =, 2 keresleti függvény alapján Jövedelemváltozásra való reakciók alapján: Normál jószág: x i m 0 i =, 2 Alsóbbrendű jószág: x i m 0 i =, 2 Sajátár-változásra való reakciók alapján: Közönséges jószág: Giffen-jószág: x p i x p i i i 0 0 i =, 2 i =, 2 A másik termék árának változására való reakciók alapján: x i jószág x j helyettesítője: x p i j i, j =, 2 0 i j x i jószág x j kiegészítője: x p i j 0 i, j =, 2 i j 35

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

6. előadás PREFERENCIÁK (2), HASZNOSSÁG

6. előadás PREFERENCIÁK (2), HASZNOSSÁG 6. előadás PREFERENCIÁK (), HASZNOSSÁG Kertesi Gábor Varian 3. fejezetének 50-55. oldalai és 4. fejezete alapján PREFERENCIÁK FEJEZET FOLYTATÁSA 6. A helyettesítési határarány Dolgozzunk mostantól fogva

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

14. előadás JÓLÉTI TÉTELEK

14. előadás JÓLÉTI TÉTELEK 4. előadás JÓLÉTI TÉTELEK Kertesi Gábor Varian 9. fejezetének 9-3. alfejezetei átdolgozva 4. evezető Ennek az előadásnak a során az előző órán vett kéttermékes, kétszereplős, termelés nélküli általános

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

Mikroökonómia szeminárium 2. Konzultáció

Mikroökonómia szeminárium 2. Konzultáció Mikroökonómia szeminárium 2. Konzultáció Révész Sándor Budapesti Corvinus Egyetem Makroökonómia Tanszék 2011. október 12. Tesztek - Preferenciák, közömbösségi görbék Egy közömbösségi görbe mentén biztosan

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN)

KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN) 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május. KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN) EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

Részletesebben

4. A GYÁRTÁS ÉS GYÁRTÓRENDSZER TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS MODELLJE (Dudás Illés)

4. A GYÁRTÁS ÉS GYÁRTÓRENDSZER TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS MODELLJE (Dudás Illés) 4. A GYÁRTÁS ÉS GYÁRTÓRENDSZER TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS MODELLJE (Dudás Illés) ). A gyártás-előkészítés-irányítás funkcióit, alrendszereit egységbe foglaló (általános gyártási) modellt a 4.1. ábra szemlélteti.

Részletesebben

Termékdifferenciálás. Modellek. Helyettesíthetıség és verseny. 13.elıadás: Monopolisztikus verseny és monopolista viselkedés

Termékdifferenciálás. Modellek. Helyettesíthetıség és verseny. 13.elıadás: Monopolisztikus verseny és monopolista viselkedés 1 /8 13.elıadás: Monopolisztikus verseny és monopolista viselkedés Termékdifferenciálás A termékek azért differenciáltak, mert a fogyasztók úgy gondolják, hogy különböznek egymástól A fogyasztónak mindig

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30.

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. 1. Határozzuk meg, hány egybevágósága van egy négyzetnek! Melyek azonos jellegűek ezek között? Ez egy általános bevezető feladat tud

Részletesebben

Mikroökonómia I. feladatok

Mikroökonómia I. feladatok Mikroökonómia I. feladatok 2014 december Írta: Rózemberczki Benedek András Alkalmazott közgazdaságtan szak Got It! konzultáció 2014 TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék 1. Preferenciák 3 2.

Részletesebben

Diplomamunka. Koczka László

Diplomamunka. Koczka László Diplomamunka Koczka László Debrecen 010 Debreceni Egyetem Informatikai Kar Közgazdasági Modellek Számítógépes Szimulációja Témavezető: Dr. Földvári Péter Egyetemi adjunktus Készítette: Koczka László Gazdaságinformatikus

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva.

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva. Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT Készítette: Szigeti Zsolt Felkészítő tanár: Báthori Éva 2010 október Dolgozatom témája a különböző függvények, illetve mértani

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA - konzultáció - Piac és fogyasztás

MIKROÖKONÓMIA - konzultáció - Piac és fogyasztás MIKROÖKONÓMIA - konzultáció - Piac és fogyasztás Révész Sándor szuperkonzultacio.hu 2012. január 7. Dierenciálszámítási alapok A mikroökonómiai problémák megoldása két formában fog történni: 1. egyensúly

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 2. hét TÉNYEZŽPIACOK ÉS JÖVEDELEMELOSZTÁS 2. RÉSZ

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 2. hét TÉNYEZŽPIACOK ÉS JÖVEDELEMELOSZTÁS 2. RÉSZ MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B TÉNYEZŽPIACOK ÉS JÖVEDELEMELOSZTÁS 2. RÉSZ Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack Hirshleifer,

Részletesebben

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Készítette: Dr. Ábrahám István A játékelmélet a 2. század közepén alakult ki. (Neumann J., O. Morgenstern). Gyakran

Részletesebben

A migrációs statisztika fejlesztésének lehetőségei

A migrációs statisztika fejlesztésének lehetőségei A migrációs statisztika fejlesztésének lehetőségei Megvalósíthatósági tanulmány Összeállította Tóth Pál Péter Készült a A migrációs statisztika fejlesztésének lehetőségei c. projekt (EIA/2010/3.2.1.1.)

Részletesebben

Költségvetési korlát és költségvetési egyenes

Költségvetési korlát és költségvetési egyenes (C) htt://kgt.bme.hu/ ikroökonómia Elıadásvázlat. október 4. I. Rövid elmélettörténeti visszatekintés - Klasszikus közgazdaságtan (dam Smithtıl egészen a XIX. század második feléig) kínálatorientált közgazdaságtan

Részletesebben

Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Hermán Dániel Nyugdíjváromány el rejelzése egyéni paraméterek alapján MSc. szakdolgozat Témavezet

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA II. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február

MIKROÖKONÓMIA II. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február MIKROÖKONÓMIA II. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Tantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1.

Tantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1. Tantárgyi útmutató 1. A tantárgy helye a szaki hálóban Gazdálkodási és menedzsment szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz kattintson a képre! Turizmus - vendéglátás szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Mikroökonómia I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét PREFERENCIÁK, HASZNOSSÁG 2. RÉSZ

Mikroökonómia I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét PREFERENCIÁK, HASZNOSSÁG 2. RÉSZ MIKROÖKONÓMI I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia I. PREFERENCIÁK, HSZNOSSÁG 2. RÉSZ Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010. június tananyagot

Részletesebben

MAGYARORSZÁG NYUGDÍJRENDSZERE (1997-2013) 2013. Október 5-7.

MAGYARORSZÁG NYUGDÍJRENDSZERE (1997-2013) 2013. Október 5-7. MAGYARORSZÁG NYUGDÍJRENDSZERE (1997-2013) 2013. Október 5-7. 1 TARTALOM: I. Előzmény 1997-(röviden) 1. MAGÁNNYUGDÍJ RENDSZER II. NYUGDÍJREFORM FOLYAMATOK MAGYARORSZÁGON 2009-2013 1. KORHATÁREMELÉS 2. MAGÁNNYUGDÍJ

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Összeállította: Kucsinka Katalin Tartalomjegyzék Előszó 4 1. Kombinatorika 5 2. Eseményalgebra 14 3. Valószínűségszámítás 21 3.1. Klasszikus valószínűség.....................

Részletesebben

Mikroökonómia II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 2. rész

Mikroökonómia II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 2. rész MIKROÖKONÓMIA II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 2. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack

Részletesebben

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8.

Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8. Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8. 1. feladat: Az elszökő hélium Több helyen hallhattuk, olvashattuk az alábbit: A hélium kis móltömege miatt elszökik a Föld gravitációs teréből. Ennek

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

A készletezés Készlet: készletezés Indok Készlettípusok az igény teljesítés viszony szerint

A készletezés Készlet: készletezés Indok Készlettípusok az igény teljesítés viszony szerint A készletezés Készlet: Olyan anyagi javak, amelyeket egy szervezet (termelő, vagy szolgáltatóvállalat, kereskedő, stb.) azért halmoz fel, hogy a jövőben alkalmas időpontban felhasználjon A készletezés

Részletesebben

3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, RC és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió)

3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, RC és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió) 3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, R és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió Zoli 2009. október 28. 1 Tartalomjegyzék 1. Frekvenciafüggő elemek, kondenzátorok és tekercsek:

Részletesebben

A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok.

A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok. A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok. A legtöbb test dörzsölés, nyomás következtében elektromos töltést nyer. E töltéstől függ a test elektromos feszültsége, akárcsak a hőtartalomtól a hőmérséklete;

Részletesebben

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002.

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002. M Ű S Z A K I B I Z O N S Á G I F Ő F E L Ü G Y E L E 4. sz. Füzet A hibafa számszerű kiértékelése 00. Sem a Műszaki Biztonsági Főfelügyelet, sem annak nevében, képviseletében vagy részéről eljáró személy

Részletesebben

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (c) Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Utolsó módosítás: 2015. január 17. 1 Az elektromágneses hullámok visszaverődési és törési törvényei (1) Kérdés: Mi történik

Részletesebben

* Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Tárgyfelelős neve * Modern piacelmélet Kutatás és fejlesztés. * Kutatás és fejlesztés

* Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Tárgyfelelős neve * Modern piacelmélet Kutatás és fejlesztés. * Kutatás és fejlesztés * Modern piacelmélet ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Tárgyfelelős neve * Modern piacelmélet Kutatás és fejlesztés ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Készítette: Hidi János * Kutatás és fejlesztés

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

1. Előadás Lineáris programozás Szállítási feladatok

1. Előadás Lineáris programozás Szállítási feladatok 1. Előadás Lineáris programozás Szállítási feladatok Salamon Júlia Előadás II. éves gazdaság informatikus hallgatók számára Projekt Témák: Lineáris programozási feladat (3 hallgató) Szállítási feladat

Részletesebben

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Arató Miklós, Prokaj Vilmos és Zempléni András 2013.05.07 Tartalom Tartalom 1 1. Bevezetés, véletlen kísérletek 4 1.1 Bevezetés...................................

Részletesebben

Az analízis néhány közgazdaságtani alkalmazása

Az analízis néhány közgazdaságtani alkalmazása Az analízis néhány közgazdaságtani alkalmazása Szakdolgozat Írta: Simon Anita Matematika Bsc szak Matematikai elemző szakirány Témavezető: Sikolya Eszter, adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 5. A közbeszerzési eljárás főbb eljárási cselekményei. 6. Eljárási időkedvezmények a közbeszerzési törvényben

Tartalomjegyzék. 5. A közbeszerzési eljárás főbb eljárási cselekményei. 6. Eljárási időkedvezmények a közbeszerzési törvényben Magyar Terület- és Regionális Fejlesztési Hivatal Regionális Fejlesztés Operatív Program Irányító Hatósága INFORMÁCIÓS CSOMAG a Strukturális Alapokból és a Kohéziós Alapból származó támogatásokat felhasználó

Részletesebben

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Z UNIVERSITAS-GYŐR Kht. Győr, 25 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR TÁVKÖZLÉSI TANSZÉK Egyetemi jegyzet Írta:

Részletesebben

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.

Részletesebben

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

Munkaerő-piaci diszkrimináció

Munkaerő-piaci diszkrimináció Központi Statisztikai Hivatal Internetes kiadvány www.ksh.hu 2010. október ISBN 978-963-235-295-4 Munkaerő-piaci diszkrimináció Tartalom Bevezető...2 A diszkrimináció megtapasztalása nem, kor, iskolai

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat 2016. április 5. Piaci szerkezetek, piaci koncentráció: tökéletes verseny monopólium

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat 2016. április 5. Piaci szerkezetek, piaci koncentráció: tökéletes verseny monopólium Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat 206. április 5. Piaci szerkezetek, piaci koncentráció: tökéletes verseny monopólium. Optimális (maximális profitot biztosító) termelési mennyiség

Részletesebben

Kártyajátékok és bűvésztrükkök

Kártyajátékok és bűvésztrükkök Szalkai Balázs, Szalkai István : Kártyajátékok és bűvésztrükkök Közismert, hogy nagyon sok bűvésztrükk matematikai alapokon nyugszik, a kártyaés egyéb játékok matematikai elemzéséről nem is szólva. Nem

Részletesebben

J/55. B E S Z Á M O L Ó

J/55. B E S Z Á M O L Ó KÖZBESZERZÉSEK TANÁCSA J/55. B E S Z Á M O L Ó az Országgyűlés részére a Közbeszerzések Tanácsának a közbeszerzések tisztaságával és átláthatóságával kapcsolatos tapasztalatairól, valamint a 2005. január

Részletesebben

(1. és 2. kérdéshez van vet-en egy 20 oldalas pdf a Transzformátorokról, ide azt írtam le, amit én kiválasztanék belőle a zh-kérdéshez.

(1. és 2. kérdéshez van vet-en egy 20 oldalas pdf a Transzformátorokról, ide azt írtam le, amit én kiválasztanék belőle a zh-kérdéshez. 1. A transzformátor működési elve, felépítése, helyettesítő kapcsolása (működési elv, indukált feszültség, áttétel, felépítés, vasmag, tekercsek, helyettesítő kapcsolás és származtatása) (1. és 2. kérdéshez

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés

Részletesebben

Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Selei Adrienn

Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Selei Adrienn Modern piacelmélet ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Selei Adrienn A tananyag a Gazdasági Versenyhivatal Versenykultúra Központja és a Tudás-Ökonómia Alapítvány támogatásával készült az ELTE TáTK

Részletesebben

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

J/19392. A Magyar Köztársaság legfőbb ügyészének. országgyűlési beszámolója. az ügyészség 2005. évi tevékenységéről

J/19392. A Magyar Köztársaság legfőbb ügyészének. országgyűlési beszámolója. az ügyészség 2005. évi tevékenységéről J/19392 A Magyar Köztársaság legfőbb ügyészének országgyűlési beszámolója az ügyészség 2005. évi tevékenységéről 2 TARTALOMJEGYZÉK 1. Az ügyészi szervezet 6 2. A büntetőjogi ügyészi tevékenység 8 A) A

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP-412-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Szegény gazdagok és gazdag szegények ( Vizsgálódások a személyi jövedelmek körében)

Szegény gazdagok és gazdag szegények ( Vizsgálódások a személyi jövedelmek körében) Közgazdasági Szemle, XXXI.évf.1984.6.sz. (664-678.l.) Szegény gazdagok és gazdag szegények ( Vizsgálódások a személyi jövedelmek körében) Práger László A társadalomtudományi kutatások, a közgazdasági elemzések

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február

MIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február MIKROÖKONÓMIA II. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

Szakképzés Foglalkoztatás Gyakorlati képzés Pályakezdők Munkaerő-piaci kereslet-kínálat. Tanulmány

Szakképzés Foglalkoztatás Gyakorlati képzés Pályakezdők Munkaerő-piaci kereslet-kínálat. Tanulmány Szakképzés Foglalkoztatás Gyakorlati képzés Pályakezdők Munkaerő-piaci kereslet-kínálat Tanulmány Pályakezdő szakmunkások elhelyezkedésének alakulása Gazdálkodók szakképző iskolát végzettek, felsőfokú

Részletesebben

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy

Részletesebben

AZ EU KÖZÖS ÁRUSZÁLLÍTÁSI LOGISZTIKAI POLITIKÁJA

AZ EU KÖZÖS ÁRUSZÁLLÍTÁSI LOGISZTIKAI POLITIKÁJA DR. RIXER ATTILA * DR. TÓTH LAJOS ** AZ EU KÖZÖS ÁRUSZÁLLÍTÁSI LOGISZTIKAI POLITIKÁJA 1. BEVEZETÉS Az EU közös áruszállítási logisztikai politikája önállóan nem létezik, de az EU közös közlekedéspolitikájának

Részletesebben

19. Az elektron fajlagos töltése

19. Az elektron fajlagos töltése 19. Az elektron fajlagos töltése Hegyi Ádám 2015. február Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. Mérési összeállítás 4 2.1. Helmholtz-tekercsek.............................. 5 2.2. Hall-szonda..................................

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8.

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8. Pénzügyi matematika Medvegyev Péter 13. szeptember 8. Az alábbi jegyzet a korábbi ötéves gazdaságmatematikai képzés keretében a Corvinus egyetemen tartott matematikai el adásaim kib vített verziója. A

Részletesebben

Pongrácz Tiborné S. Molnár Edit: A gyermekvállalási magatartás alakulása

Pongrácz Tiborné S. Molnár Edit: A gyermekvállalási magatartás alakulása Pongrácz Tiborné S. Molnár Edit: A gyermekvállalási magatartás alakulása (elektronikus verzió, készült 2006-ban) A tanulmány eredetileg nyomtatásban megjelent: Pongrácz Tiborné S. Molnár Edit (1997): A

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN ALAPJAI

KÖZGAZDASÁGTAN ALAPJAI KÖZGAZDASÁGTAN ALAPJAI Tartalom 1. A makroökonómia alapkérdései, a makroszintű jövedelem mérése 2. Gazdasági körforgás 3. Az árupiac és az IS görbe 4. A pénzpiac és az LM görbe 5. Az IS-LM rendszer 6.

Részletesebben

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG MÁTRIX DEFINITSÉGÉNEK FOGALMA ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG ELDÖNTÉSÉRE DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-..1.B-10//KONV-010-0001

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

KÖNYVEKRŐL. Ádám G yörgy: Az orvosi hálapénz M agyarországon. (Magvető Kiadó, Budapest 1986.)

KÖNYVEKRŐL. Ádám G yörgy: Az orvosi hálapénz M agyarországon. (Magvető Kiadó, Budapest 1986.) KÖNYVEKRŐL Ádám G yörgy: Az orvosi hálapénz M agyarországon (Magvető Kiadó, Budapest 1986.) Magam sem hittem volna, hogy Ádám György m onográfiájával az orvosi hálapénz ilyen újszerű megközelítését és

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

NeoSzámla Használati Útmutató. Verziószám: 2014/Q2 Kelt: 2014.07.15. neoszamla.hu info@neoszamla.hu 06 30 535 2181

NeoSzámla Használati Útmutató. Verziószám: 2014/Q2 Kelt: 2014.07.15. neoszamla.hu info@neoszamla.hu 06 30 535 2181 NeoSzámla Használati Útmutató Verziószám: 2014/Q2 Kelt: 2014.07.15 neoszamla.hu info@neoszamla.hu 06 30 535 2181 Tartalom Szolgáltatói adatok... 3 Kiállítható számlák... 3 Regisztráció... 3 A vállalkozás

Részletesebben

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai.

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. Halmazok Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. 1. lapfogalmak halmaz és az eleme fogalmakat alapfogalmaknak tekintjük, nem deniáljuk ket. Jelölés: x H,

Részletesebben

GEOGRAPHICAL ECONOMICS

GEOGRAPHICAL ECONOMICS GEOGRAPHICAL ECONOMICS ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Regionális gazdaságtan A MONOPOLISZTIKUS VERSENY ÉS A DIXITSTIGLITZ-MODELL Készítette: Békés Gábor és Rózsás Sarolta Szakmai felel s: Békés

Részletesebben

Híd és ajtó. Georg Simmel. Ó z e r K a t alin fo r dí t á s a

Híd és ajtó. Georg Simmel. Ó z e r K a t alin fo r dí t á s a Georg Simmel Híd és ajtó Ó z e r K a t alin fo r dí t á s a 30 A külvilág dolgainak képe számunkra azzal a kétértelműséggel bír, hogy a külső természetben minden egymáshoz kapcsolódva, ám ugyanakkor különállóként

Részletesebben

Közbeszerzési referens képzés Gazdasági és pénzügyi ismeretek modul 1. alkalom. A közgazdaságtan alapfogalmai Makro- és mikroökonómiai alapfogalmak

Közbeszerzési referens képzés Gazdasági és pénzügyi ismeretek modul 1. alkalom. A közgazdaságtan alapfogalmai Makro- és mikroökonómiai alapfogalmak Közbeszerzési referens képzés Gazdasági és pénzügyi ismeretek modul 1. alkalom A közgazdaságtan alapfogalmai Makro- és mikroökonómiai alapfogalmak ALAPKÉRDÉSEK TISZTÁZÁSA I. A gazdasági törvények lényege:

Részletesebben

A nemzetközi vándorlás hatása a magyarországi népesség számának alakulására 1994 2010 között 1

A nemzetközi vándorlás hatása a magyarországi népesség számának alakulására 1994 2010 között 1 Hablicsek László Tóth Pál Péter A nemzetközi vándorlás hatása a magyarországi népesség számának alakulására 1994 2010 között 1 A magyarországi népesség-előreszámítások eddig a zárt népesség elvén készültek,

Részletesebben

Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás. 1. Bevezetés. 2. A modell

Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás. 1. Bevezetés. 2. A modell . Bevezetés Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás Egy osztrák gimnáziumi tankönyvben több, közismerten kaotikus mozgással járó jelenség bemutatása

Részletesebben

Matematika. 5-8. évfolyam

Matematika. 5-8. évfolyam Matematika 5-8. évfolyam Matematika 5-8. évfolyam 1. Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

Novák Nándor. Készletezés. A követelménymodul megnevezése: A logisztikai ügyintéző speciális feladatai

Novák Nándor. Készletezés. A követelménymodul megnevezése: A logisztikai ügyintéző speciális feladatai Novák Nándor Készletezés A követelménymodul megnevezése: A logisztikai ügyintéző speciális feladatai A követelménymodul száma: 0391-06 A tartalomelem azonosító száma és célcsoportja: SzT-005-50 KÉSZLETEZÉS

Részletesebben

1993. évi LXXVIII. törvény. a lakások és helyiségek bérletére, valamint az elidegenítésükre vonatkozó egyes szabályokról ELSİ RÉSZ.

1993. évi LXXVIII. törvény. a lakások és helyiségek bérletére, valamint az elidegenítésükre vonatkozó egyes szabályokról ELSİ RÉSZ. 1993. évi LXXVIII. törvény a lakások és helyiségek bérletére, valamint az elidegenítésükre vonatkozó egyes szabályokról Az Országgyőlés a lakások és helyiségek bérletére vonatkozó szabályok egységesítése,

Részletesebben

e s gyakorlati alkalmaza sai

e s gyakorlati alkalmaza sai Sze lso e rte k-sza mı ta s e s gyakorlati alkalmaza sai Szakdolgozat ı rta: Pallagi Dia na Matematika BSc szak, elemzo szakira ny Te mavezeto : Svantnerne Sebestye n Gabriella Tana rsege d Alkalmazott

Részletesebben