MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely június

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június"

Átírás

1 MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP /2/a/KMR pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet és a Balassi Kiadó közrem ködésével Készítette: K hegyi ergely és Horn Dániel Szakmai felel s: K hegyi ergely 2010 június 1

2 ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék MIKROÖKONÓMIA I 4 hét Elemzési eszközök 2 rész K hegyi ergely, Horn Dániel A tananyagot készítette: K hegyi ergely Jack Hirshleifer, Amihai lazer és David Hirshleifer (2009) Mikroökonómia Budapest, Osiris Kiadó, ELTECONkönyvek (a továbbiakban: HH), illetve Kertesi ábor (szerk) (2004) Mikroökonómia el adásvázlatok kertesi/kertesimikro/ (a továbbiakban: K) felhasználásával Optimalizálás Összes, átlagos és határmennyiségek Összes, átlagos és határmennyiségek Eladott mennyiség: Q Ár: P Bevétel: R = P Q Átlagbevétel: AR = R Q = P Q Q = P Határbevétel: MR = R Q 1 Megjegyzés A szimbólum kis, illetve egységnyi változásokat jelöl 2

3 A fels grakon az R összbevételfüggvényt ábrázolja, az alsó grakon a hozzá tartozó AR átlagbevétel- és M R határbevétel-függvényt A Q = 4 esetén például a teljes bevétel, R = 24 Az alsó grakon AR görbéjének magassága a fels grakonon kivastagított ON szakasz meredekségével egyenl, azaz AR = R/Q = 24/4 = 6, ha Q = 4 Az MR görbe magassága Q = 4 esetén egyenl a teljes bevétel görbéjének meredekségével Ezt az LN és N M meredekségek átlagával közelítjük 2 Megjegyzés FIYELEM! Összmennyiséget (mint amilyen a bevétel az ábra fels grakonján) SOHASE ábrázoljunk azonos grakonon az átlag- és határmennyiségekkel (mint amilyenek az átlagbevétel és a határbevétel az ábra alsó grakonján)! A mértékegységeik ugyanis nem azonosak Az ábra fels részében a függ leges tengely mértékegysége dollár, miközben az alsó részében termékegységre jutó dollár (dollár/termékegység) A C összköltségfüggvényéb l levezethetjük az AC átlagköltséget és M C határköltséget Annál a kibocsátási mennyiségnél, ahol az összköltségfüggvény meredeksége a legkisebb (a fels grakon K pontja), M C minimális Ahol az origóból a görbéig húzott egyenes meredeksége a legkisebb (a fels grakon L pontja), AC a minimumpontjában van Ahol AC csökken, ott MC alatta van AC-nek; ahol AC növekv, ott MC felette van AC-nek 3

4 Pl: Vándorló életmód Az y(s) hozamú gy jtögetési helyeken akkor érik el az optimális s tartózkodási id t, amikor az illet hely határhozama egyenl a teljes t id szakot gyelembe véve számolt y/t átlaghozammal, t = d + s Az egyes helyekhez tartozó átlagos id tehát nemcsak az s tartózkodási id t, hanem az egyik helyr l a másikra vándorlás d holtidejét is tartalmazza 4

5 Diszkrét mennyiségek 3 Megjegyzés Ha csak diszkrét választások lehetségesek, akkor a kibocsátási szint optimuma annál az értéknél található, ahol a lehet legsz kebb következ szakaszon a határbevétel kisebb a határköltségnél, és a lehet legsz kebb el z szakaszon a határbevétel nagyobb a határköltségnél Cikkek Átlagzetés- Határzetés-többlet száma többlet (dollár) (dollár) Matematikailag kicsit precízebben Egy változó esetén Endogén változó: x Az endogén változótól függ összmennyiség: = f(x), f : R R Átlagmennyiség: A = f(x) x f(x) Határmennyiség: M = lim x 0 x = df(x) dx = f Két változó esetén Endogén változók: x 1, x 2 Az endogén változóktól függ összmennyiség: = f(x 1, x 2 ), f : R 2 R Átlagmennyiségek: A 1 = x 1 = f(x1,x2) x 1, A 2 = x 2 = f(x1,x2) x 2, A i : R 2 R; i = 1, 2 Határmennyiségek: M 1 = f(x1,x2) x 1, M 2 = f(x1,x2) x 2 ; M i : R 2 R; i = 1, 2 n változó esetén Endogén változók: x 1, x 2,, x i,, x n Az endogén változóktól függ összmennyiség: = f(x 1, x 2,, x i,, x n ), f : R n R Átlagmennyiségek: A 1 = x 1, A 2 = x 2,, A i = x i,, A n = x n Határmennyiségek: M 1 = f x 1, M 2 = f x 2,, M i = f x i,, M n = f x n Vektorokkal kifejezve Endogén változók: x = x 1 x 2 x i x n Az endogén változótól függ összmennyiség: = f(x), f : R n R 5

6 Átlagmennyiségek: A = Határmennyiségek: M = A 1 A 2 A i A n M 1 M 2 M i M n Mennyiségek közti összefüggések = = x 1 x 2 x i x n ; A : R n R n x 1 x 2 x i x n ; M : R n R n Tegyük fel, hogy az x és y endogén változók közti öszefüggést az y = x 3 6x+x 2 függvény írja le Milyen x érték mellett maximális, illetve minimális y értéke és mekkorák ezek az értékek? Átlag és határmennyiségek közti összefüggések A határnagyság az összmennyiség függvényének a meredeksége Az átlagnagyság az origóból az összmennyiség függvényéhez húzott sugár meredeksége 1 Állítás Ha az összmennyiség növekv, a megfelel határmennyiség pozitív (yakori hiba!) Ha az összmennyiség csökken, a megfelel határmennyiség negatív Ahol az összmennyiségnek maximuma (vagy minimuma) van, a megfelel határmennyiség nulla 2 Állítás Ahol az átlagmennyiség csökken, a határmennyisegnek az átlagmennyiség alatt kell lennie Ahol az átlagmennyiség növekv, a határmennyiség az átlagmennyiség felett lesz Ahol az átlagmennyiség nem csökken es nem is növekv (minimumában vagy maximumában van), a határmennyiség egyenl az átlagmennyiséggel Tegyük fel, hogy az x és y endogén változók közti öszefüggést az y = x 3 6x+x 2 függvény írja le Milyen x érték mellett maximális, illetve minimális y értéke és mekkorák ezek az értékek, ha a függvényt csak a [0; 2] zárt intervallumon vizsgáljuk? 1 Deníció Legyen f(x) S R deriválható függvény, ahol S R n! Legyen továbbá c S bels pontja az S részhalmaznak! Ekkor c stacionárius pontja az f(x) függvénynek, ha f i(c) = 0 i = 1, 2,, n f (c) = 0 6

7 1 Tétel Legyen f(x) S R deriválható függvény, ahol S R n! Legyen továbbá c S bels pontja az S halmaznak! Ha c széls érték helye az f(x) függvénynek az S halmazon, akkor c stacionárius pontja az f(x) függvénynek 2 Tétel Legyen f(x, y) egy S R 2 halmazon értelmezett függvény, amely folytonos els - és másodrend parciális deriváltakkal rendelkezik! Legyen továbbá (x 0, y 0 ) az S halmaz egy bels pontja, amely stacionárius pontja az f(x, y) függvénynek! Ekkor f 11(x 0, y 0 ) < 0 és f 11(x 0, y 0 )f 22(x 0, y 0 ) f 2 12 (x 0, y 0 ) > 0 (x 0, y 0 ) lokális maximum hely; f 11(x 0, y 0 ) > 0 és f 11(x 0, y 0 )f 22(x 0, y 0 ) f 2 12 (x 0, y 0 ) > 0 (x 0, y 0 ) lokális minimum hely; f 11(x 0, y 0 )f 22(x 0, y 0 ) f 2 12 (x 0, y 0 ) < 0 (x 0, y 0 ) nyeregpont; f 11(x 0, y 0 )f 22(x 0, y 0 ) f 12 2 (x 0, y 0 ) = 0 (x 0, y 0 ) lehet lokális minimum vagy maximum vagy nyeregpont is Pl: Legyenek y, x 1 és x 2 endogén változók és a köztük lév kapcsolatot a írja le az y = x 2 1 6x 1 + x 2 2 4x függvény Milyen x 1 és x 2 értékek esetén vesz fel y minimum, illetve maximum értéket és mi ez az érték? 3 Tétel Tegyük fel, hogy f(x, y)-nak és g(x, y)-nak léteznek folytonos parciális deriváltjai az xy-sík egy A tartományában, valamint azt, hogy (x 0, y 0 ) az A egy bels pontja, másrészt, hogy f(x, y)-nak a g(x, y) = 0 feltétel melletti lokális széls értékhelye Tegyük fel továbbá, hogy g 1(x 0, y 0 ), g 2(x 0, y 0 ) közül legalább az egyik nem 0 Ekkor létezik pontosan egy darab olyan λ szám, hogy az (x 0, y 0 ) számpár a Lagrange-függvény stacionárius pontja L(x, y) = f(x, y) λg(x, y) 4 Tétel Legyen f(x, y) és g(x, y) R 2 R folytonosan deriválható függvény, és tegyük fel, hogy a } max(min)f(x, y) g(x, y) = 0 feladat optimális megoldásait keressük Tegyük fel továbbá, hogy (x 0, y 0 ) a feladathoz tartozó Lagrangefüggvény L(x, y) = f(x, y) λg(x, y) stacionárius pontja, valamint hogy g(x 0, y 0 ) = 0 Ekkor L(x, y) konkáv (x 0, y 0 ) a maximalizálási feldat megoldása; L(x, y) konvex (x 0, y 0 ) a minimalizálási feldat megoldása Pl: Legyenek y, x 1 és x 2 endogén változók és a köztük lév kapcsolatot a írja le az y = x 2 1 6x 1 + x 2 2 4x függvény Milyen x 1 és x 2 értékek esetén vesz fel y minimum, illetve maximum értéket és mi ez az érték az x 1 + x 2 = 100 feltétel mellett? 7

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA II. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február

MIKROÖKONÓMIA II. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február MIKROÖKONÓMIA II. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Mikroökonómia I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét PREFERENCIÁK, HASZNOSSÁG 2. RÉSZ

Mikroökonómia I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét PREFERENCIÁK, HASZNOSSÁG 2. RÉSZ MIKROÖKONÓMI I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia I. PREFERENCIÁK, HSZNOSSÁG 2. RÉSZ Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010. június tananyagot

Részletesebben

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás A lineáris programozás A geometriai megoldás Készítette: Dr. Ábrahám István A döntési, gazdasági problémák optimalizálásának jelentős részét lineáris programozással oldjuk meg. A módszer lényege: Az adott

Részletesebben

Mikroökonómia I. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 3. hét ALKALMAZÁSOK, OPTIMALIZÁLÁS

Mikroökonómia I. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 3. hét ALKALMAZÁSOK, OPTIMALIZÁLÁS MIKROÖKONÓMIA I. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia I. B ALKALMAZÁSOK, OPTIMALIZÁLÁS K hegyi Gergely, Horn Dániel, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010. június Vázlat

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 2. hét TÉNYEZŽPIACOK ÉS JÖVEDELEMELOSZTÁS 2. RÉSZ

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 2. hét TÉNYEZŽPIACOK ÉS JÖVEDELEMELOSZTÁS 2. RÉSZ MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B TÉNYEZŽPIACOK ÉS JÖVEDELEMELOSZTÁS 2. RÉSZ Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack Hirshleifer,

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február

MIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február MIKROÖKONÓMIA II. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok

Részletesebben

e s gyakorlati alkalmaza sai

e s gyakorlati alkalmaza sai Sze lso e rte k-sza mı ta s e s gyakorlati alkalmaza sai Szakdolgozat ı rta: Pallagi Dia na Matematika BSc szak, elemzo szakira ny Te mavezeto : Svantnerne Sebestye n Gabriella Tana rsege d Alkalmazott

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0

Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0 Analízis A differenciálszámítás középértéktételei: 1) Rolle-tétel: Ha f folytonos a korlátos és zárt [a;b] intervallumon, f diffható [a;b]-n és f(a) = f(b), akkor van egy a < c < b belső pont, ahol f'(c)

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Az analízis néhány alkalmazása

Az analízis néhány alkalmazása Az analízis néhány alkalmazása SZAKDOLGOZAT Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Szerz : Fodor Péter Szak: Matematika Bsc Szakirány: Matematikai elemz Témavezet : Sikolya Eszter, adjunktus

Részletesebben

Mikroökonómia II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 2. rész

Mikroökonómia II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 2. rész MIKROÖKONÓMIA II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 2. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Játékelmélet és pénzügyek

Játékelmélet és pénzügyek Játékelmélet és pénzügyek Czigány Gábor 2013. május 30. Eötvös Lóránd Tudományegyetem - Budapesti Corvinus Egyetem Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak Témavezet : Dr. Csóka Péter Tartalomjegyzék

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

Nevezetes függvények

Nevezetes függvények Nevezetes függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Tanmenetjavaslat 5. osztály

Tanmenetjavaslat 5. osztály Tanmenetjavaslat 5. osztály 1. A természetes számok A tanmenetjavaslatokban dőlt betűvel szedtük a tananyag legjellemzőbb részét (amelyet a naplóba írunk). Kisebb betűvel jelezzük a folyamatos ismétléssel

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002.

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002. M Ű S Z A K I B I Z O N S Á G I F Ő F E L Ü G Y E L E 4. sz. Füzet A hibafa számszerű kiértékelése 00. Sem a Műszaki Biztonsági Főfelügyelet, sem annak nevében, képviseletében vagy részéről eljáró személy

Részletesebben

Mikrohullámok vizsgálata. x o

Mikrohullámok vizsgálata. x o Mikrohullámok vizsgálata Elméleti alapok: Hullámjelenségen valamilyen rezgésállapot (zavar) térbeli tovaterjedését értjük. A hullám c terjedési sebességét a hullámhossz és a T rezgésido, illetve az f frekvencia

Részletesebben

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai

Részletesebben

Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei

Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei K házi-kis Ambrus, Klebniczki József Kecskeméti F iskola GAMF Kar Matematika és Fizika Tanszék, 6000 Kecskemét, Izsáki út 10. Véges transzverzális

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

8. előadás EGYÉNI KERESLET

8. előadás EGYÉNI KERESLET 8. előadás EGYÉNI KERESLET Kertesi Gábor Varian 6. fejezete, enyhe változtatásokkal 8. Bevezető megjegyzések Az elmúlt héten az optimális egyéni döntést elemeztük grafikus és algebrai eszközökkel: a preferenciatérkép

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Z UNIVERSITAS-GYŐR Kht. Győr, 25 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR TÁVKÖZLÉSI TANSZÉK Egyetemi jegyzet Írta:

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Adatbányászati módszerek alkalmazása a Robert Bosch számára

Adatbányászati módszerek alkalmazása a Robert Bosch számára Adatbányászati módszerek alkalmazása a Robert Bosch számára Készítette: Tóth Zsolt Neptun kód: F23Y80 Témavezet : Dr. Kovács László Ipari konzulens: Gróf Richárd Miskolci Egyetem, 2010 1. fejezet Bevezetés

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ NYOLCADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ NYOLCADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ NYOLCADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Az apa, az anya és a három lányuk együtt 118 évesek. Az anya 10 évvel idősebb, mint a három lány együtt.

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

Agrár-környezetvédelmi Modul Vízgazdálkodási ismeretek. KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI MSc

Agrár-környezetvédelmi Modul Vízgazdálkodási ismeretek. KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI MSc Agrár-környezetvédelmi Modul Vízgazdálkodási ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI MSc Dréncső távolság meghatározása 33.lecke A mezőgazdasági területek vízkezelése szempontjából

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június KÖZGAZDASÁGTAN I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével

Részletesebben

III. rész: A VÁLLALATI MAGATARTÁS

III. rész: A VÁLLALATI MAGATARTÁS III. rész: A VÁAATI MAGATARTÁS Az árupiacon a kínálati oldalon a termelőegységek, a vállalatok állnak. A vállalatok különböznek tevékenységük, méretük, tulajdonformájuk szerint. Különböző vállalatok közös

Részletesebben

Funkcionálanalízis. Általánosított függvények Disztribúciók. 12-13. el adás. 2012. május 9.-16. Lineáris funkcionál

Funkcionálanalízis. Általánosított függvények Disztribúciók. 12-13. el adás. 2012. május 9.-16. Lineáris funkcionál Funkcionálanalízis 12-13. el adás 212. május 9.-16. Általánosított függvények Disztribúciók Lineáris funkcionál Legyen C () az függvénytér, amely a végtelen sokszor dierenciálható, kompakt tartójú függvényeket

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM

MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM SZERZŐK: Veppert Károlyné, Ádám Imréné, Heibl Sándorné, Rimainé Sz. Julianna, Kelemen Ildikó, Antalfiné Kutyifa Zsuzsanna, Grószné Havasi Rózsa 1 1-2. ÉVFOLYAM Gondolkodási, megismerési

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

Fizikai alapismeretek

Fizikai alapismeretek Fizikai alapismeretek jegyzet Írták: Farkas Henrik és Wittmann Marian BME Vegyészmérnöki Kar J6-947 (1990) Műegyetemi Kiadó 60947 (1993) A jegyzet BME nívódíjat kapott 1994-ben. Az internetes változatot

Részletesebben

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! 5. gyakorlat Lineáris leképezések Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! f : IR IR, f(x) 5x Mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez? x, x IR, f(x +

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

Adótörvények 2016 évi változásaiból

Adótörvények 2016 évi változásaiból Adótörvények 2016 évi változásaiból SZJA 2016.01.01-től az SZJA általános mértéke:16%-ról 15%-ra csökken 2016 évtől kapott jövedelmekre kell alkalmazni először. Egyes külön adózó jövedelmeknél alkalmazott

Részletesebben

Környezeti elemek védelme II. Talajvédelem

Környezeti elemek védelme II. Talajvédelem Globális környezeti problémák és fenntartható fejlődés modul Gazdálkodási modul Gazdaságtudományi ismeretek I. Közgazdasá Környezeti elemek védelme II. Talajvédelem KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (c) Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Utolsó módosítás: 2015. január 17. 1 Az elektromágneses hullámok visszaverődési és törési törvényei (1) Kérdés: Mi történik

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét AZ IDŽ KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét AZ IDŽ KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B AZ IDŽ KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack Hirshleifer, Amihai

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS TARTÁLYOK

HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS TARTÁLYOK HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS TARTÁLYOK GEOMETRIAI TARTÁLYHITELESÍTÉS HE 31/4-2000 TARTALOMJEGYZÉK 1. AZ ELŐÍRÁS HATÁLYA 2. MÉRTÉKEGYSÉGEK, JELÖLÉSEK 3. ALAPFOGALMAK 3.1 Tartályhitelesítés 3.2 Folyadékos (volumetrikus)

Részletesebben

ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ

ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ Szolnoki Főiskola Üzleti Fakultás, 5000 Szolnok, Tiszaligeti sétány ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ A 4/1996. (I. 18.) Korm. rendelet a közgazdasági felsőoktatás alapképzési szakjainak képesítési

Részletesebben

6. előadás PREFERENCIÁK (2), HASZNOSSÁG

6. előadás PREFERENCIÁK (2), HASZNOSSÁG 6. előadás PREFERENCIÁK (), HASZNOSSÁG Kertesi Gábor Varian 3. fejezetének 50-55. oldalai és 4. fejezete alapján PREFERENCIÁK FEJEZET FOLYTATÁSA 6. A helyettesítési határarány Dolgozzunk mostantól fogva

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 2. forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 2. forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 010/011-es tanév. forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Egy sportversenyen

Részletesebben

COMENIUS ANGOL-MAGYAR KÉT TANÍTÁSI NYELVŰ ÁLTALÁNOS ISKOLA MATEMATIKA TANMENET

COMENIUS ANGOL-MAGYAR KÉT TANÍTÁSI NYELVŰ ÁLTALÁNOS ISKOLA MATEMATIKA TANMENET COMENIUS ANGOL-MAGYAR KÉT TANÍTÁSI NYELVŰ ÁLTALÁNOS ISKOLA MATEMATIKA TANMENET 5. osztály 2015/2016. tanév Készítette: Tóth Mária 1 Tananyagbeosztás Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Témakörök:

Részletesebben

Tartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév

Tartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Egyenes Sík Háromszög Gömb 2010/2011. tavaszi félév Descartes-koordináták Geometriai értelmezés

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

Síklefedések Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa

Síklefedések Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa Magas szintű matematikai tehetséggondozás Síklefedések Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa Kisebbeknek és nagyobbaknak a programozási versenyfeladatok között nagyon gyakran fordul elő olyan, hogy valamilyen

Részletesebben

Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34

Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34 Valószín½uségszámítás és matematikai statisztika Mihálykóné Orbán Éva Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34 Valószín½uségi változók számérték½u jellemz½oi 1 várható érték 2 szórásnégyzet/szórás

Részletesebben

b) Adjunk meg 1-1 olyan ellenálláspárt, amely párhuzamos ill. soros kapcsolásnál minden szempontból helyettesíti az eredeti kapcsolást!

b) Adjunk meg 1-1 olyan ellenálláspárt, amely párhuzamos ill. soros kapcsolásnál minden szempontból helyettesíti az eredeti kapcsolást! 2006/I/I.1. * Ideális gázzal 31,4 J hőt közlünk. A gáz állandó, 1,4 10 4 Pa nyomáson tágul 0,3 liter térfogatról 0,8 liter térfogatúra. a) Mennyi munkát végzett a gáz? b) Mekkora a gáz belső energiájának

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Matematikai alapszöveg: Bálint Péter, BME Differenciálegyenletek Tanszék Konzultáció, kiegészítések gépészmérnöki szempontok

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel!

Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! SZAKDOLGOZAT Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! Simon Ju lia Matematika BSc., tana ri szakira ny Te mavezeto : Besenyei A da m adjunktus Alkalmazott Analı zis e s Sza mı ta smatematikai Tansze k Eo

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,

Részletesebben

A vas-oxidok redukciós folyamatainak termodinamikája

A vas-oxidok redukciós folyamatainak termodinamikája BUDAESTI MŰSZAKI EGYETEM Anyagtudomány és Technológia Tanszék Anyag- és gyártástechnológia (hd) féléves házi feladat A vas-oxidok redukciós folyamatainak termodinamikája Thiele Ádám WTOSJ Budapest, 11

Részletesebben

103. számú melléklet: 104. számú Elıírás. Hatályba lépett az Egyezmény mellékleteként 1998. január 15-én

103. számú melléklet: 104. számú Elıírás. Hatályba lépett az Egyezmény mellékleteként 1998. január 15-én 1998. január 22. ENSZ - EGB 104. sz. Elıírás EGYEZMÉNY A KEREKES JÁRMŐVEKRE, VALAMINT AZ ILYEN JÁRMŐVEKRE FELSZERELHETİ ÉS/VAGY ILYENEKEN ALKALMAZHATÓ SZERELVÉNYEKRE ÉS ALKATRÉSZEKRE VONATKOZÓ EGYSÉGES

Részletesebben

A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI

A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI Irodalom: Temesi J., A döntéselmélet alapjai, Aula, 2002, Budapest Lawrence, J.A., Pasternack, B.A., Applied management science, John Wiley & Sons Inc. 2002 Stevenson, W. J., Operation

Részletesebben

SITRANS FUS380 ultrahangos áramlásmér. SITRANS FUE380 ultrahangos áramlásmér

SITRANS FUS380 ultrahangos áramlásmér. SITRANS FUE380 ultrahangos áramlásmér Beépítési utasítás 2007/08-as kiadás SITRANS F US SITRANS FUS380 ultrahangos áramlásmér SITRANS FUE380 ultrahangos áramlásmér (MID tanúsítvánnyal h mennyiség méréshez) [ ] Technical Documentation (handbooks,

Részletesebben

Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük.

Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük. Líneáris függvének Definíció: Az f() = m + b alakú függvéneket, ahol m, m, b R elsfokú függvéneknek nevezzük. Az f() = m + b képletben - a b megmutatja, hog a függvén hol metszi az tengelt, majd - az m

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben