10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET"

Átírás

1 .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9. w a) b) c) ( ) + Zérushele nincs. Minimum értéke:, hele:. ( +) Zérushel:,. Minimum értéke:, hele:. ( ) 9 9 Zérushel:,. Minimum értéke: 9, hele:. d) e) f ) ( +) ( ) 6 Zérushel: 6,. Minimum értéke:, hele:. Zérushel:. Minimum értéke:, hele:. 9 ( 6) 9 Zérushel:, 9. Minimum értéke: 9, hele: 6. g) h) i) ( +)+ Zérushele nincs. Minimum értéke:, hele:. ( ) 8 8 Zérushel:,. Minimum értéke: 8, hele:. ( ) + Zérushel:,. Maimum értéke:, hele:.

2 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM j) k) l) 7 8 Zérushel:., Minimum értéke:, 8 7 hele:. w a) a(), zérushelek: és. b) b() ( + ) +, nincs zérushel. c) c() ( ), zérushel:. d) d() ( + ), zérushelek: és. e) e() ( ), zérushelek: és. f) f() ( + ), zérushelek: és. g) g() ( ), zérushelek: és. h) h() ( + ) + 9, zérushelek: és 7. w a) f () ( + ) + c 9. Nincs zérushel, ha c > 9. Eg zérushel van, ha c 9. Két zérushel van, ha c < 9. b) g() ( ) + c 6. Nincs zérushel, ha c > 6. Eg zérushel van, ha c 6. Két zérushel van, ha c < 6. c) h() c. + Nincs zérushel, ha c > Eg zérushel van, ha c Két zérushel van, ha c <... w a) + p ( 7) 9 + p minden valós helen pozitív, ha p > 9. b) 6 + p 9 minden valós helen pozitív, ha p > 9 + p. c) 8 + p 6 minden valós helen pozitív, ha p > 6 + p. w a) f () ( ) + +. Tehát b ; c. b) f () ( ) +. Tehát b ; c. c) f () ( + ) Tehát b 6; c 6. ( +) + Zérushel: 7,. Maimum értéke:, hele:. ( +) + Zérushel:,. Maimum értéke:, hele:.

3 w f () ( ), a függvén grafikonja az ábrán látható. a) Az adott intervallumon eg zérus helvan:. b) Az adott intervallumon maimum található az helen, értéke:. Minimum az helen van, értéke:. c) A függvén szigorúan monoton csökken, ha Î[ ; ], növekszik, ha Î[; ]. f w6 a) b + 8, ebbõl b. b b) f () 8 Nincs zérushel, ha 8 >, < b <. b b c) f () b 8 tehát b esetén lesz az helen a minimum, ekkor b b +. 8, f () ( ) + 6, a minimum érték 6 és nem. Tehát nincs a feltételnek megfelelõ b. A másodfokú egenlet megoldóképlete megoldások w7 a), ; b) ; c) ;,, d), e), ; f), ; ; g), ; h) nincs megoldás; i), ; j) 7, 7; k), ; l),. w8 a), ; b), 7; c), ; d), e), f), ; ; ; g), 9 7 h), 7 ;. w9 a), ; b), 6; c), 6; d), 9; e) nincs megoldás; f), 9; g), 9; h), ; i) 6, 8. w6 a), ; b), ; c), ; d), 7; e), ; f) ; g), h), ; i), ; ; 7 j) ; k),, ; l) nincs megoldás;

4 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM m) 7 n) o) ;, ;, ; 9, 7 p) 7; q) r) 7, ;,. w6 a), ; b), ; c), ; d), ; e) f) 8;, ;, g), ; h) i), ;, 8 ; j), k), ; l), ; ; m), ; n), ; o) ; p),. w6 a) ¹ és ¹, ÎR. Beszorzás és rendezés után:. Nincs megoldás. b) ¹ és ¹, ÎR. Beszorzás és rendezés után: Az egenlet megoldása az adott számhalmazon:. c) ¹ és ¹, ÎR. Beszorzás és rendezés után: Nincs megoldás. d) ¹ és ¹, ÎR. Beszorzás és rendezés után:. Az egenlet megoldása az adott számhalmazon: és. e) ¹ ±, ÎR. Átalakítás után: 6 ( + ) ( ). Rendezve: + 7 6, amibõl: és. Az egenlet megoldása az adott számhalmazon:. f) a¹ ±, a ÎR +. Átalakítás után: + a a a + 7 ( a+ ) ( a ) a + a. Rendezve: 6a 7a, amibõl: a és a. 6 Az egenletnek az adott számhalmazon nincs megoldása. g) b ¹ ±, b ÎQ. Átalakítás után: 6 + b b b + ( b+ ) ( b ) ( b + ). ( b ) Rendezve: 7b b, amibõl: b és b. 7 Az egenlet megoldása az adott számhalmazon: b. 7

5 h) d ¹, d ¹ ±, d ÎN. Átalakítás után: d d ( d + ) ( d + ) ( d ) d ( d ). Rendezve: d d + 6, amibõl: d és d. Az egenlet megoldása az adott számhalmazon: d. i) e ¹, e ¹, e ÎN. Átalakítás után: e ( + e) ( ) + e e e + Rendezve: e e + 96, amibõl: e és e 8. Az egenletnek mindkét göke megoldás az adott számhalmazon. j) ¹, ¹, ÎZ. Átalakítás után:. + ( ) ( + ) Rendezve: 6, amibõl: és. Az egenlet megoldása az adott számhalmazon:. w6 Az egenlet diszkriminánsa: 6 c. a) Két különbözõ valós megoldás van, ha 6 c >, vagis c <. b) Eg valós megoldás van, ha 6 c, vagis c. c) Nincs valós megoldás, ha 6 c <, vagis c >. w6 a) a ( ) + 6 ( ), ha a 9 9. b) Az egenlet diszkriminánsa: 6 + a. Eg valós megoldás van: I. Ha az egenlet elsõfokú: a, ekkor 6. II. Ha a ¹, D 6 + a, vagis a 9. Ebben az esetben. c) Két különbözõ valós megoldás van, ha a ¹ és 6 + a >, vagis ha a > 9, de a ¹. d) Nincs valós megoldás, ha 6 + a <, vagis ha a < 9. w6 Az egenlet diszkriminánsa (m + ) m (m ) 6m +. a) Eg valós megoldás van: I. Ha az egenlet elsõfokú, azaz m, ekkor. II. Ha m ¹, a diszkrimináns 6m +, amibõl m. 6 9 Az egenlet:, a megoldása b) Két megoldás van, ha 6m + >, azaz m >, de m ¹. 6 c) Nincs megoldás, ha 6m + <, azaz m <. 6.

6 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM w66 w67 Vizsgáljuk meg az egenlet diszkriminánsát: D (k + ) (k + 6k + ) 6. Eredménünk azt mutatja, hog können megkaphatjuk az egenlet gökeit: ( k + ) + k + ( k + ) k + k + és k +. A gökök különbsége:, valóban független k-tól. Ha van valós gök, akkor az egenlet diszkriminánsa nemnegatív: D (a b + c) (a + b + c ) ³. Átalakítva: [(a b + c) (a + b + c )] 8 (a + b + c + ab ac + bc). Teljes négzeteket kialakítva: D [(a + b) + (a c) + (b + c) ], ez a kifejezés soha nem pozitív, csak akkor van megoldás, ha -val egenlõ. Ekkor a + b, a c és b + c. Mindhárom feltétel teljesül, ha a c b. Ekkor a c helére a-t, és b helére ( a)-t helettesítve és -mal osztva azt az egenletet kapjuk, hog a + a +, ahol a ¹. Az egenlet egetlen megoldása. a A gökténezõs alak. Gökök és egütthatók közötti összefüggés megoldások w68 a) ( ) ( + ); b) ( + ) ( + ); c) ( ) ( + 7); d) ( + ) ( + 6); e) ( 8) ; f) nincs megfelelõ szorzat; g) ( + ) ( ); h) ( + 7) ; i) ( + ) ( + ); j) ( ) ( + ); k) ( ) ( + 6); l) ( ) ( + ). w69 a) 7 + ; b) ; c) ; d) + ; e) 6 ; f) + ; g) + ; h) ; i) + ; j) ; k) ; l) 7 9. w7 Például: a) + ; b) + ; c) + ; d) ; e) + ; f) ; g) + ; h) ( + ) ( + ) w7 a) + b) + 8 ( + ) ( ) ; + ( + ) ( ) c) d) ; + + ( + ) ( + ) + ( + ) ( ) + ; 7 ( + ) ( ) + ( + ) ( ) ( ) ( ) 6

7 w7 a) + ; b) ; c) + + ; d) 9 + ( + ) ; e) + ( + ), az egenlet:., w7 w7 w7 f) Ha és, akkor: + + és ( + )+ Az egenlet: a) Az + kifejezést átalakítva: ( + ), majd ebbe helettesítve a Vietéformulákkal kapott eredméneket ( + 7; ) kapjuk, hog: + 8. Vegük észre, hog + ( + ). Ebbe helettesítsük a Viéte-formulákkal kapott eredméneket ( + 7; ). Íg kapjuk, hog: +. b) Hasonlóan az a) feladathoz, kapjuk, hog: + és + c) Hasonlóan az a) feladathoz, kapjuk, hog: + és + Az + ( + ) átalakítást elvégezve, az egenletbe helettesítjük a Viéteformulákkal kapott eredméneket ( + p; ), íg kapjuk, hog: ( p) ( ), amibõl p ±. Oldjuk meg a megfelelõ egenleteket paraméteresen, és alakítsuk szorzattá: ( + ) ( ) a) + + ( ) ( ) ; b) c) d) ( ) 6 ( ) ( + ) + ( + ) + ( ) ( ) ; ( ) ( + ) + ( ) ( + ) + ; 6 + ( + ) + ( + ) ( + ) ( 9) 6 ( + ) ( )

8 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM w76 A gökök és egütthatók közötti összefüggések alapján: + ( + ) p q, + ( + ) ( + ) ( + ) ( p) q ( p) p+ p q. A keresett egenlet egütthatói szintén felírhatók a gökökkel, ezért a megfelelõ egenlet: [(p q) + (p q p )] + (p q) (p q p ). Felbontva a zárójeleket: + (p p p q + q) p + p q 6p q. Másodfokúra visszavezethetõ magasabb fokszámú egenletek, másodfokú egenletrendszerek megoldások w77 a) :, ; vag :,. b) 9:, ; vag :,. c) :, ; vag : nincs megoldása. d) 9:, ; vag : nincs megoldása. e) :, ; vag : nincs megoldása. f) vag 7: nincs megoldása. g) vag. :, ; 6 :, h) ; vag : nincs megoldása. :, i) : ; vag 8:. j) 7: ; vag :. k) : ; vag 8:. l) : ; vag :. w78 a), ; 7 b) 8, ;, ;, ; c), ; 8 7 d), ;, ;, 9 ; e), ;, ; f), ;, ; g), ; 6, h), 8;, ; ; 8 i), ;, ; j) ;,., 8

9 w79 a) Ha a ( ) az egenlet: a a +. Megoldásai: a és a. Visszahelettesítve: ( ), amibõl, ; ( ), amibõl,. b) A b ( + ) helettesítéssel: b 7b 8, aminek megoldásai: b 9, b. Visszahelettesítve: ( + ) 9, ahonnan, 6; ( + ), aminek nincs megoldása. c) A c ( + ) helettesítéssel: c c 8, aminek megoldásai: c 6, c. Visszahelettesítve: ( + ) 6, amibõl, 9; ( + ), aminek nincs megoldása. d) A d ( ) helettesítéssel: 6d d +, aminek megoldásai: d d Visszahelettesítve: ( ) 7 amibõl,, ;, 9. ( ) 8 amibõl 9,,. w8 a) Az a + 6 helettesítéssel: a (a + ) 77, aminek megoldásai: a 7, a. Visszahelettesítve: + 6 7, amibõl, 7; + 6, aminek nincs megoldása. b) A b helettesítéssel: b (b ), aminek megoldásai: b, b. Visszahelettesítve:, amibõl, ;, amibõl +,. c) Az egenlet átalakítható: ( ) ( ) +. A c helettesítéssel: c c +, aminek megoldásai: c 8, c. Visszahelettesítve: 8, amibõl, ;, amibõl,. w8 a) Az elsõ egenletbe helettesítve a másodikat: 8 +, ebbõl -t kifejezve és behelettesítve a második egenletbe: + +,ebbõl, 8;,. b) Az elsõ egenlethez hozzáadva a második -szeresét: 7, ebbõl:, ;, ;, ;,. c) Az elsõbõl helettesítve a másodikba, beszorzás után: 7 +, ebbõl, ;,. d) A másodikból helettesítve az elsõbe, beszorzás után: +,ebbõl:, 6,. e) Az elsõ egenletbõl a másodikba helettesítve az + 6 egenlet adódik, ebbõl, ;, ;, ;,. f) Az elsõ egenletbõl a másodikba helettesítve az egenlet adódik, ebbõl, ;,. g) Összeadva az egenleteket: + 6, megoldva és visszahelettesítve:, ;, ; 6, ; 6,. h) A két egenlet bal oldalát szorzattá alakítva és elosztva az elsõt a másodikkal: ezt visszahelettesítve:, ;,., ; 9

10 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM w8 w8 a) Mivel az nem megoldás, eloszthatjuk mindkét oldalt -tel: Helettesítsük az -et, ekkor + +. Az egenlet: ( ) 9 +. A megoldásai:., Visszahelettesítve: + A megoldásai:,. ; +. A megoldása:. b) Mivel az nem megoldás, eloszthatjuk mindkét oldalt -tel: Helettesítsük az -et, ekkor + +. Az egenlet: 6 ( ) 8. A megoldásai:., Visszahelettesítve: + A megoldásai:,. ; +. A megoldásai:,. a) Ha megvizsgáljuk az egenletet, kiderül, hog az megoldás, ennek megfelelõen alakítsuk: ( ) ( ) ( ), ( ) ( ). A szorzat másik ténezõje is lehet :. A megoldásai:,. b) Az egenlet egik megoldása az. Alakítsuk szorzattá: ( + ) ( + ) 6 ( + ), ( + ) ( 6). Ha a másik ténezõ : 6, aminek a megoldásai:,. c) Az egenlet egik megoldása az. Alakítsuk szorzattá: ( ) + 9 ( ) + ( ), ( ) ( + 9+ ). A második ténezõbõl: + 9 +, aminek a megoldásai:,. Másodfokú egenlõtlenségek megoldások w8 a) < 7 vag > 7; b) ; c) 6 vag ³ 6; d) < < ; e) ÎR; f) nincs megoldás; g) ; h) 7 vag ³ 7; i) vag ; j) 8 < < ; k) < vag > ; l).

11 w8 a) b) c) a b c 7 < < ; vag ; < < 6; d) e) f ) d e f nincs megoldás; < 6 vag < ; ÎR; g) h) i) g h i ; < < ; ÎR; j) k) l) j k l,,,,,,,,,,, < vag < ; nincs megoldás. 7 ; w86 a) {; ; ; ; ; }; b) { ; ; ; ; ; ; ; ; ; }; c) { ; ; ; ; ; ; ; ; }; d) minden egész szám megoldás; e) { 7; 6; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; }; f) { ; ; ; ; ; ; ; }; g) { 9; 8; 7; 6; ; ; ; ; ; }; h) { 6; ; ; ; ; ; ; ; }; i) { ; ; ; 9; 8; 7; 6; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 6; 7; 8}.

12 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM w87 a) Az kiemelése utáni másodfokú kifejezést alakítsuk szorzattá: + ( + ) ( ). A megoldás: vag. + b) Az kiemelése utáni másodfokú kifejezést alakítsuk szorzattá: 7 + ( ) ( + ) >. A megoldás: < vag < < > + > >. c) 8 vag ³, az elsõnek nincs megoldása, a másodikból: vag. d) < < 9, amibõl < < vag < <. w88 a) A nevezõ: + 7 >. b) ( + ) ( 6 ) >. A megoldás: <. A megoldás: < vag < < < +7> > > + > ( + ) ( ) c) ³, d). ( ) ( + ) ( ) ( + 9) ezért: vag < < vag. A megoldás: 9 < <. + > + > 7 + > +9> 9 >

13 8+ ( ) ( ) e) <. f ) ( + ) ( ) 7 ( ) ( + ). + 6 ( + ) ( ) A megoldás: < < vag < <. A megoldás: < vag < > > +> > > + > ( ) ( + ) + ( + ) ( ) g). h) ³. ( + ) ( 6) + ( ) ( ) A megoldás: < 6. A megoldás: vag < <. 6 + > 6 > + > > ( ) ( ) w89 a) >, ¹. Meghatározzuk, hog a feladatban szereplõ ( ), ( ) és ( ) kifejezések mel értékekre pozitívak, illetve negatívak. Az ábra szerint a megoldás: < vag < <. > > > b) ³ ¹, ¹., Redukáljuk nullára az egenlõtlenséget, majd a közös nevezõre hozatal és összevonás után kapjuk:. ( ) ( ) A kifejezések elõjelvizsgálata után a megoldás: <. ³ > >

14 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM c) ¹ ±. >, Redukáljuk nullára az egenlõtlenséget, hasonlóan a b) feladat megoldásához. A közös nevezõre hozatal, és az összevonás után + > + > a következõ egenlõtlenséghez jutunk: 8 + ( + ) <, melbõl: <. ( + ) ( ) ( + ) ( ) A hánadosban szereplõ kifejezések elõjelvizsgálata után kapjuk, hog az egenlõtlenség megoldása: < vag <. d), ¹, ¹. + > > Átalakítás után az alábbi egenlõtlenséghez jutunk: + ( ) ( + ) + melbõl:. ( + ), ( + ) A kifejezések elõjelvizsgálat után kapjuk, hog az egenlõtlenség megoldása: < vag <. e),. + Mivel a számláló konstans és negatív, íg a hánados akkor pozitív, ha a nevezõje negatív. A nevezõt teljes négzetté alakítva kapjuk: ( ), amel kifejezés soha nem lesz negatív. Az egenlõtlenségnek nincs tehát megoldása. 6 f), ¹, ¹. 6 > Mivel a számláló konstans és pozitív, íg a hánados akkor pozitív, ha a nevezõ pozitív. (Az egenlõség soha nem teljesülhet.) + 6> A6 kifejezést szorzattá alakítva: ( + 6) ( ) >, vagis ( + 6) ( ) < egenlõtlenséghez jutunk. Elõjelvizsgálatot tartunk. E szorzat akkor negatív, ha a két ténezõje ellenkezõ elõjelû (és ez egszerre teljesül). Az egenlõtlenség megoldása: 6 < <. 6 w9 Az, ha,. Az egenlõtlenség különbözõ alakú lesz: I. Ha vag, akkor + 7. Azaz 7, ennek megoldása: +. A feltétellel összevetve: vag +. II. Ha < <, akkor Azaz, ennek megoldása: vag. A feltétellel összevetve: < vag <. A végeredmén: vag +.

15 w9 a) A törtnek és a gököknek akkor van értelme, ha: 8 ³ és + 8 >. Az elsõ megoldása: vag 7. A második megoldása: < 6 vag <. A közös megoldás: < 6 vag > b) A göknek akkor van értelme, ha: 8 ³. + 8 A számlálót és a nevezõt szorzattá alakítva: ( 7) ( + ) ³. ( ) ( + 6) A megoldás: < 6 vag < vag > > w9 Mivel az egész számok körében keressük a megoldást, ha, akkor a harmadik egenlõtlenség miatt z, és a második miatt. Általában is igaz, hog ha valamelik ismeretlen, akkor a másik kettõ is az. Ha egik ismeretlen sem, adjuk össze a három egenlõtlenséget: + + z + + z+ z z, + + z + + z+ z, ( + ) + ( + z) + ( + z). A teljes négzetek nemnegatívak és az ismeretlenek -tól különbözõ egészek. Csak akkor kaphatunk megoldást, ha: ( + ), ( + z), ( + z). A teljes négzeteken belül a tagok nem lehetnek azonos elõjelûek, mert akkor pl. ½ + ½³ miatt ( + ) ³. Tehát csak az fordulhat elõ, hog és ellentétes elõjelû. Minden párra teljesülnie kellene az elõbbinek, ami lehetetlen. Tehát az egenlõtlenség-rendszer egetlen megoldása az egész számok körében a következõ számhármas: z.

16 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM Paraméteres másodfokú egenletek megoldások w9 w9 w9 Az adott egenlet gökei akkor egenlõek, ha a diszkriminánsa. Tehát átalakítva az egenletet, kapjuk, hog: (p ) + p p 7. Vagis: [ (p )] (p p 7). Az egenlet megoldásai: p és p. Valóban, a p helettesítéssel kapott egenletünk: +, ami ( ), íg tehát a parabola érinti az tengelt. A p helettesítéssel kapott egenletünk: + 9, vagis ( 7). Ez a parabola szintén érinti az tengelt. a) Az egenlet diszkriminánsa: 8b. Megoldásai: b, 7b. b) Az egenlet diszkriminánsa: 9 + b + 6b ( + b). Megoldásai: b,. c) Az egenlet diszkriminánsa: 89b (7b) b b. Megoldásai:., d) Ha b, akkor az egenlet elsõfokú, a megoldása:. Ha b ¹, akkor az egenlet diszkriminánsa: 6b +6b +(b + ), íg a megoldások: b. b, a) Vizsgáljuk meg, hog az egenlet diszkriminánsa mikor nemnegatív: ( b) 8 ( b+ ), b b 8. Ennek a megoldásai: ³ b vag b. Tehát az egenletnek nincs megoldása, ha < b < ; megoldása van, ha b, ekkor, vag ha b, ekkor ; megoldása van, ha > b, vag < b. b) Ha b, az egenlet elsõfokú, eg megoldása van:. Ha b ¹, vizsgáljuk meg, hog mikor lesz a diszkrimináns nemnegatív: 6 b ( b), b b+ 6. Megoldásai: b vag 8 b. Tehát az egenletnek nincs megoldása, ha < b < 8; megoldása van, ha b, ekkor, ha b, ekkor, ha b 8, ekkor ; megoldása van, ha b < vag < b < vag 8 < b. 6

17 w96 w97 w98 a) A törtek miatt ¹ b és ¹ b. A közös nevezõ az ( b) ( +b) 9b szorzat, ezzel beszorozva: ( + b) ( + b) + ( + 7b) ( b) 8 + 6b. Elvégezve a mûveleteket: b + b. Megoldóképlettel megoldva: 8b, b, ez utóbbi nem megoldás, az elõbbi pedig csak akkor, ha b ¹. Tehát ha b, az egenletnek nincs megoldása, ha b ¹, akkor 8b. b) Vizsgáljuk meg a nevezõket: + b + b ¹, mivel az + b + b egenlet diszkriminánsa b, csak akkor van megoldás, ha b, ekkor. Az b ¹ ésb ¹ mindkettõ teljesül, ha ¹ b. Tehát minden tört értelmezhetõ, ha ¹ b. Legen a közös nevezõ az ( + b + b ) ( b) b, ezzel beszorozva mindkét oldalt: ( b) b ( + b + b ). Megoldások: b, b, az elsõ a feltételek miatt nem megoldás. Tehát ha b, az egenletnek nincs megoldása, ha b ¹, akkor b. a) A kifejezés minden valós számra pozitív, ha az b +b + egenlet diszkriminánsa negatív: ( b) ( b+ ) <, b b <. Megoldása: < b <. b) A kifejezés minden valós számra pozitív, ha b > és a b + b + b egenlet diszkriminánsa negatív: ( b ) b ( b) <, ( b ) ( b + b) <, ( b ) ( b ) <. Az egenlõtlenség megoldása: < b <, és ez mindkét kezdeti feltételnek megfelel. a) A kifejezés minden valós számra negatív, ha b < és a b + b + + b + egenlet diszkriminánsa negatív: ( b+ ) b ( b+ ) <, ( b+ ) ( b) <. Az egenlõtlenség megoldásai: b < vag < b. Mindkét feltétel teljesül, ha b <. b) A kifejezés minden valós számra negatív, ha b < és a b + b egenlet diszkriminánsa negatív: b ( b) <, b b+ 6 <. Az egenlõtlenség megoldása: < b <. Mivel a két kezdeti feltétel metszete az üres halmaz, nincs olan b paraméterérték, amelre a kifejezés minden valós helen negatív értéket venne fel. 7

18 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM w99 Vizsgáljuk meg elõször az egenlet diszkriminánsát: D (b +) +8 (b + ) >, ezért minden valós b esetén két megoldása van az egenletnek. Nézzük a gökök szorzatát:, negatív, mert b + >. b + A szorzat negatív elõjele azt jelenti, hog megoldásaink ellentétes elõjelûek, tehát a ]; [ intervallumba legfeljebb az egik gök kerülhet, a pozitív elõjelû. Gondoljunk most az f ()(b +) +(b + ) másodfokú függvénre, melnek b +> miatt minimuma van, és két zérushellel rendelkezik. A pozitív zérushel akkor kerül a ]; [ intervallumba, ha a függvén a és az heleken ellentétes elõjelû értéket vesz fel. Mivel f (), ezért f () b + + b + > kell teljesüljön. Ebbõl b + b >, ha b < vag < b. Tehát b < vag < b esetén teljesül, hog az egenletnek pontosan az egik göke esik a ]; [ intervallumba. Négzetgökös egenletek és egenlõtlenségek megoldások w a) Értelmezési tartomán: ³, megoldás:. b) Értelmezési tartomán: ³, megoldás: 86. c) Értelmezési tartomán: ³ megoldás:., d) Értelmezési tartomán: ³, nincs megoldás. e) Értelmezési tartomán: ³, megoldás: 9,. 77 f) Értelmezési tartomán: ³ megoldás: 8, 8. g) Értelmezési tartomán: ³ megoldás:., h) Értelmezési tartomán: ³, megoldás:. 7 i) Értelmezési tartomán: ³, azt kapjuk, hog, de ez nem megoldás. 7 j) Értelmezési tartomán: ³, megoldás:. 6 8 k) Értelmezési tartomán: ³ megoldás: 8,. l) Az értelmezési tartomán az üres halmaz, nincs megoldás. w a) Értelmezési tartomán: ³. A másodfokú egenlet gökei:,. Csak megoldás. b) Értelmezési tartomán: ³. A másodfokú egenlet gökei: 7,. Csak 7 megoldás. 8

19 c) Értelmezési tartomán: ³. A másodfokú egenlet gökei:,. Csak megoldás. d) Értelmezési tartomán: ³. Megoldások:,, mindkettõ megoldás. e) Értelmezési tartomán:. A másodfokú egenlet gökei:,. Csak megoldás. f) Értelmezési tartomán: ³. Megoldások:, de csak az megoldás., g) Értelmezési tartomán: ³. Megoldások:,, mindkettõ megoldás. h) Értelmezési tartomán: ³ Megoldások:,, mindkettõ megoldás.. i) Értelmezési tartomán: ³ A másodfokú egenlet gökei:,.. Csak megoldás. j) Értelmezési tartomán: ³. A másodfokú egenlet gökei:,. Csak megoldás. k) Értelmezési tartomán: A másodfokú egenlet gökei:.., Csak megoldás. 8 l) Értelmezési tartomán: ³ Megoldások:, de csak az megoldás.. 8, w a) Értelmezési tartomán: ³. négzetre emelés után: ³. A megoldás: ³. 9 9 b) Értelmezési tartomán: ³ Négzetre emelés után: < A megoldás: <... c) Értelmezési tartomán: ³ Mivel az egenlõtlenség bal oldala nemnegatív, a jobb oldala. pedig negatív, ezért a megoldás: ³. d) Értelmezési tartomán: ³ Négzetre emelés után: > A megoldás: >... e) Értelmezési tartomán: ³ A bal oldala nemnegatív, a jobb oldala negatív szám, ezért nincs megoldás.. f) Értelmezési tartomán: ³ 8 Négzetre emelés után: A megoldás: g) Értelmezési tartomán:. Négzetre emelés után:. A megoldás:. h) Értelmezési tartomán:. Négzetre emelés után: >. A megoldás: <. w a) Értelmezési tartomán: ³. Két négzetre emelés után a megoldás: 7. 6 b) Értelmezési tartomán: ³ Két négzetre emelés után a megoldások:, Csak az elsõ megoldás... c) Értelmezési tartomán: ³. Két négzetre emelés után a megoldások: 7,. Az ellenõrzésbõl kiderül, hog csak a második megoldás. 9

20 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM d) Értelmezési tartomán: ³. Két négzetre emelés után a megoldások:,,,. Az ellenõrzésbõl kiderül, hog csak a második megoldás. e) Értelmezési tartomán: ³. Két négzetre emelés után a megoldások:, 6. Csak az elsõ megoldás. f) Értelmezési tartomán: Két négzetre emelés után a megoldások:, mindkettõ megoldás.., g) Értelmezési tartomán: ³ 6. Két négzetre emelés után a megoldások: 7,. Csak az elsõ megoldás. h) Értelmezési tartomán: Két négzetre emelés után a megoldások:. Csak a második megoldás.. 9, w a) Vegük észre, hog a négzetgök alatt teljes négzet alak áll, íg az egenlet: ½ ½., ha ³, Az abszolút érték definíciója miatt: ½ ½ +, ha <. Íg ³ esetén az egenlet: +, amelnek a diszkriminánsa negatív, ekkor nincs megoldás. Az < esetén az egenletünk: +, melnek az és gökei, az adott egenlet megoldásai. b) Az a) feladathoz hasonlóan az egenlet felírható ½ +½ ½½ alakban. Az abszolút érték definíciója miatt: Ha <, akkor az egenlet: ( ), amibõl. Ez nem megoldás az értelmezési tartománon. Ha <, akkor az egenlet: +, amibõl. Ez megoldása az adott eredeti egenletnek. Ha ³, akkor az egenlet: +, amibõl. Ez megoldása az adott egenletnek. Összefoglalva: az egenlet megoldásai: és. w c) Az egenlet felírható ½ ½ ½ ½ alakban. Az abszolút érték definíciója miatt: Ha <, akkor az egenlet: ( ), amibõl. Ha <, akkor az egenlet: ( + ), amibõl ¹. Ha ³, akkor az egenlet: + ( + ), amibõl Az egenlet megoldásai: és. a) Értelmezési tartomán: 9 ³, ha ³ vag. Vegük észre, hog a helettesítéssel a p p 6 egenlethez jutunk, amelbõl p és p. Ha p, akkor 9, ekkor 8, amibõl ± Ha p, akkor az egenletnek nincs megoldása, hiszen az oldal nemnegatív, a jobb oldal negatív. Ellenõrzés bal oldalon:. 8 9 ( 8 9) , mellel a jobb oldal eredménéhez jutottunk p egenletben a bal

21 b) Értelmezési tartomán: ³. Vegük észre, hog mindkét oldal négzetre emelése után a következõ egenlethez jutunk: ( + ), amibõl. + Ez megoldása az eredeti egenletnek. Ellenõrzés bal oldalon: Ezután az -et vigük be a gökjel alá:. A jobb oldalon álló kifejezéshez jutottunk. w6 a) Értelmezési tartomán: ³, ekkor a jobb oldal is pozitív. Négzetre emelés és rendezés után: >, amibõl a megoldás: < <. b) Értelmezési tartomán:, mindkét oldal nemnegatív, ha. Négzetre emelve és rendezve +, ennek megoldása vag. A végeredmén:. c) Értelmezési tartomán:. Ha +<,azaz <, a jobb oldal negatív, nincs megoldás. Ha ³, négzetre emelés után rendezve +, amibõl 6 vag. A végeredmén:. d) Értelmezési tartomán: ³ 7,. Ha >, a jobb oldal negatív, teljesül az egenlõtlenség. Ha, négzetre emelés és rendezés után: >, amibõl < <. Ebben az esetben a megoldás: <. A végeredmén: <. e) A négzetgök alatti kifejezésnek nincs zérushele, tehát minden valós számra értelmezhetõ. Ha <,vagis < a jobb oldal negatív, az egenlõtlenség teljesül., Ha ³ négzetre emelés és rendezés után: ³, amibõl, ebben az, esetben a megoldás:. A végeredmén:. f) Értelmezési tartomán: vag. Ha 6 + <, azaz < 8, a jobb oldal negatív, nincs megoldás. Ha ³ 8, négzetre emelés és rendezés után: , amibõl vag 6. Csak a második ad megoldást. A végeredmén: 6 vag.

22 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM w7 a) Értelmezési tartomán: ³ Négzetre emelés után: ( 6 9) , Mivel a gök alatt teljes négzet áll: ½ ½ 8. Ha ³, az egenlet: 8, megoldása:,. Ha <, az egenlet: + 8, nincs megoldás. b) Értelmezési tartomán a valós számok halmaza. Vezessünk be új változót: +, ahol ³. Az egenlet: 6+, ennek megoldásai:,, a második nem megoldás. Az elsõt visszahelettesítve: +, +. Megoldások:,. c) Értelmezési tartomán: ³ 9. Alakítsuk át a gök alatti kifejezéseket (érdemes a másodikkal kezdeni): ½ 9½, ( ) Az egenlet: ½ 9½+ ½ 9½. Három esetre bontva: I. Ha 9<, akkor 9+ 9, amibõl 9, nincs benne a kiindulási halmazban. II. Ha 9<, akkor 9 + 9, minden számra igaz, ami benne van a kiindulási halmazban. III. Ha 9, akkor , amibõl 9. Tehát a megoldás: 9, amibõl négzetre emelés után 8. d) Értelmezési tartomán: ³, és láthatóan az nem megoldás. Alakítsuk a hatodik gök alatti kifejezést: ( ) 9 ( ) ( ) ( 9) ( ) ( + ). Osszuk el az egenlet mindkét oldalát a nem nulla, 6 ( ) ( + ) kifejezéssel. Az egenlet az osztás után: ( ) ½ ½

23 Vezessünk be új változót: 6. + Az új egenlet: + 6 7, beszorzás után: Alakítsuk a bal oldalt: 6 6 +, 6 ( ) ( ), 6 ( ) ( ) ( + ), ( ) ( 6 ). Ha, akkor nincs megoldás. Ha 6, akkor, csak az elsõ megoldás., 6 Visszahelettesítve: 6, amibõl ami eleme az értelmezési tartománnak. +, w8 Értelmezési tartomán: ³. Az abszolút érték miatt az elsõ ténezõ nemnegatív, csak akkor van megoldás, ha a második ténezõ pozitív: + >, aminek a megoldása: < <. Összevetve az értelmezéssel: <. Ilen -ek esetén az elsõ ténezõ: <. A második ténezõ: < + ( ). Mivel mindkét ténezõ legfeljebb, a szorzatuk csak úg lehet, ha mindkét ténezõ -gel egenlõ. Ez pedig csak akkor igaz, ha. w9 Értelmezési tartomán: ³. Mivel az egenlet bal oldala nemnegatív, ezért p ³, ami azt jelenti, hog akkor ad megoldásokat, ha p ³. Négzetre emelés után rendezzük az egenletet: (p + ) + p. Akkor van megoldás, ha a diszkrimináns nemnegatív: D (p + ) 6 (p ) 8p + ³, aminek a megoldása: p ³. ami csak 8 Összevetve a kezdeti feltétellel azt kapjuk, hog p ³ esetén lesz az egenletnek megoldása. Meg kell vizsgálnunk, hog teljesül-e ilen esetekben a megoldásokra az értelmezés ³ feltétele. Ha p ³, akkor D ³, mivel a megoldások: p+ ± D,, 8 az egik gök: p+ + D p+ + p+ ³ ³ > Tehát ha p ³, akkor az egenletnek biztosan van megoldása. p,

24 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM A számtani és mértani közép, szélsõérték feladatok megoldások w a) A számtani közép:, a mértani közép 9, különbségük 6. b) A számtani közép: 9,, a mértani közép 8, különbségük,. c) A számtani közép:,, a mértani közép, különbségük,. d) A számtani közép: 6, a mértani közép 6, különbségük. e) A számtani közép:,, a mértani közép»,, különbségük»,. f) A számtani közép:, a mértani közép»,98, különbségük»,. g) A számtani közép: 79, a mértani közép» 66,97, különbségük»,. h) A számtani közép:, a mértani közép»,, különbségük» 697,. w a) 6; b) 6,; c) ; d),7. w A négzet oldala cm. w a) v átl. 6,» ;, b) v átl. 7,» ; c) v átl. 7,» w w w6 Átlagosan,%-kal csökkent az üzemanag ára. I. megoldás. Ha a négzetek oldalának hossza a és b, akkor a kerület: a + b, amibõl a + b. A területek négzetösszege: a + b a + ( a) a a + (a ) +. Minimális, ha a cm, ekkor b cm. Íg a területösszeg minimuma cm. II. megoldás. Az a + b (a + b) ab minimális, ha ab maimális. A számtani és mértani közép közötti egenlõtlenség alapján: akkor maimális a szorzat, ha a b. a b ab +, a) Ha a téglalap oldalainak hossza a és b, akkor a +b, vagis a +b. A számtani és mértani közép közötti összefüggés alapján: a+ b ab 6, a szorzat maimális, ha a b, tehát a megoldás a négzet.

25 w7 w8 b) Legen a vízpartra merõleges oldal hossza, akkor a másik oldal. Keressük a ( ) szorzat maimumát. A számtani és mértani közép közötti összefüggés alapján: + ( ) ( ) a szorzat maimális, ha, amibõl. Tehát a téglalap oldalait m és m hosszúra kell választani. Legen a és b a téglalap két oldalán elhelezett járólapok száma. a) Ebben az esetben a b. Keressük a (a + b) kifejezés minimumát. A számtani és mértani közép közötti összefüggés alapján: a+ b az összeg akkor minimális, ha a b. A minimális kerület 8 cm. b) Most a b, és újra a (a + b) kifejezés minimumát keressük. Alkalmazzuk az elõzõ módszert: a+ b ³ a b, ³ a b, az összeg minimális, ha a b»,. Mivel a járólapokat nem vághatjuk el, ez nem valósítható meg. Keressük az a b egenlet egész megoldásait, és vizsgáljuk meg, hog mikor lesz minimális a (a + b) kifejezés. A lehetséges szorzatok: 8. Rendre kiszámítva a kerületeket: 8; 8; 6; 8; ;. Tehát akkor lesz a legkisebb a kirakott téglalap kerülete, ha a két különbözõ oldal mentén, illetve darab járólapot helezünk el. a) A hajók távolságát Pitagorasz-tétellel számolva: d( ) + km, d( ) + 6, km., b) A távolság négzete t idõ múlva: d(t) ( 8t) + ( t) 8t 88 t + 8 (t,) + 8. A hajók közötti távolság, óra múlva lesz a legkisebb. c) A minimális távolság: d min. 8 89, km.

26 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM w9 Alakítsuk át a bizonítandó állítás bal oldalát, ha ab : a + b ( a b) + a b ( a b) + ( a b) + a b a b a b a b. Mivel a b >, alkalmazhatjuk a számtani és mértani közép közötti egenlõtlenséget: Akkor van egenlõség, ha a + és b Ezzel az állítást beláttuk. ( a b) + ³ ( a b). a b a b. Másodfokú egenletre vezetõ problémák megoldások w a) Az ( + ) egenletbõl a két szám a és vag a és a. b) Az + ( + ) egenletbõl a két szám az és 7 vag a 7 és. + c) Az egenletbõl a két szám a és vag a és. w a) Az ( ) 6 egenletbõl a két szám a és 8. b) Az + ( ) 8 egenletbõl a két szám a 8 és. c) Az ( ) egenletbõl a két szám a és. w Az ( + ) + egenlet alapján a vásárolt sapkák száma. w Az ( + ) + 9 egenletbõl a négzetek oldala cm és 8 cm. w ( ) Az 9 egenletbõl a bajnokságban résztvevõ csapatok száma. w Az + ( + ) ( + ) egenlet megoldásából a téglalap oldalai 7 cm és cm. w6 Az ( + ) ( + ) + 6 egenlet megoldása alapján a két szám a és vag a és. w7 8 8 Az egenlet: Megoldása alapján 6» sebességgel haladtak, és óra alatt értek célhoz.. w8 Az egenlet: Megoldás: az ana óra, a lána 6 óra alatt takarítana ki egedül.. w9 Az egenlet: 9 Beszorzás és összevonás után: 9. A muskátli 9 palánta Ft-ba kerül, 6 darabot lehet megvenni Ft-ból. w n ( n ) a) Az n egenletbõl n. n ( n ) b) Az + n egenlet pozitív megoldása»,8. Tehát nincs ilen sokszög. n ( n ) c) Az 9 egenletbõl a sokszög 7 oldalú. 6

27 w A képernõ 8,%-a: 6,6 cm. A keret területébõl felírható egenlet: ,6. A keret körülbelül cm széles. 7 cm cm w Jelöljük -szel azt, amenni autót gárt naponta a hagomános részleg. Az egenlet: Beszorzás után: 9. A pozitív megoldása:. A két üzem, naponta, illetve autót gárt, az elsõ nap, a második 6 nap alatt. w Tudjuk, hog n különbözõ dologból -t n n n -féleképpen választhatunk ki. ( ) Az egenlet: ( ) ( ) + 8. Beszorzás után: 7. A pozitív megoldás:. Tehát az osztálban -en vannak. w Legen a háromjegû szám:. A következõ egenletrendszer írható fel: A másodikból -t helettesítve az elsõ egenlet: 9 +. Aminek megoldásai: 7,,. Csak az elsõ lehet számjeg, ebbõl. A keresett szám a 7, ellenõrzéssel látható, hog valóban megfelel. w a) Legen a nõk száma, a férfiaké. ( ) ( ) A puszik száma:, a kézfogások száma:. Mivel >, ezért az elsõ tört nagobb, tehát több puszi van, mint kézfogás. 7

28 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM b) A kézcsókok száma: 8, és tudjuk, hog + 7. A második egenletbõl -t kifejezve és beírva az elsõbe: A megoldások:,. A férfiak számára, adódik, a feladat feltételeinek az elsõ számpár felel meg. Tehát a társaságban nõ és férfi van. A kézfogások száma: 78. w6 w7 a) Ha az ezüst fakanál árát elsõ alkalommal %-kal emelték, akkor a következõ egenlet írható fel: + +,. Beszorzás és egszerûsítés után: + 6. Az egenletnek csak a pozitív megoldása felel meg:. Tehát az ezüst fakanál árát elõször %-kal, másodszor %-kal emelték. b) Ha %-os volt a karácson elõtti emelés, akkor a következõ egenlet írható fel: + 8,. A beszorzás és egszerûsítés után: + 6. Aminek megoldásai: 8,. Mindkét megoldás megfelel. Tehát az aran fakanál árát decemberben vag 8%-kal vag %-kal emelték. a) Ki kell számítanunk h() értékét: h() + +. Tehát a kilövés után másodperccel méter magasan lesz a rakéta. b) Alakítsuk teljes négzetté a függvén hozzárendelési szabálát: h(t) t + t + (t ) +. Amibõl kiderül, hog másodperc múlva lesz a legmagasabban, a földtõl méterre. c) Amikor földet ér, h lesz. Meg kell oldani a következõ egenletet: t + t +. A megoldások: t 9, t. Csak a pozitív megoldás felel meg. Tehát a rakéta 9 másodperccel a kilövés után ér földet. 8

29 Veges feladatok megoldások w8 a) 7 ÎZ; b) ÎQ; c) ÎN; d) ÎZ. w9 a) b) ;, ;, c) 7, d),, ; ;, e), ; f) ; g) ; h), 6, ; i),. w a) ; b) < vag < ; 8 c) ; d) < vag < ; e) < ; f ). w a) b) c) ( ) ( ) ( +) < vag >.. < vag >. Megjegzés: A feladat nem kéri a megoldás típusát, íg megoldható függvének felhasználásával vag algebrai úton is. Ezért adtunk elõször mindhárom feladatra függvének felhasználásával kapott eredmént, majd csak az a) feladatra következzenek más megoldási lehetõségek is: I. megoldás Az ( ) > rendezése után kapjuk, hog: 6 + >. Határozzuk meg a bal oldalon álló kifejezés zérusheleit (, + + ). Mivel az egütthatója pozitív, a parabola felfelé níló, íg egszerû ábrát készítve kapjuk, hog: < vag >. 9

30 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM w w II. megoldás Rendezés után kapjuk, hog: 6 + >. Megoldás lehet a bal oldali kifejezés szorzattá alakítása: ( ) ( ) >. Ábrát készítünk és megkapjuk, hog a bal oldal akkor pozitív, ha: < vag >. Ha a befogók és, a következõ egenletrendszert kapjuk:. + Az egenletrendszerbõl a befogók hossza: cm és cm. Ha a sokszögek oldalszáma és, az alábbi egenletrendszerhez jutunk: ( ) ( ) ( ) 8º+ ( ) 8º 7º A második egenletbõl érdemes helettesíteni. A sokszögek 7, illetve oldalúak. w a) A { ÎR½ }; B { ÎR½ < vag < }. b) A È B R. c) A Ç B { ÎR½ < vag < }. w w6 a) Teljes négzetté alakítás után kapjuk: 9 f () +, 9 amelbõl leolvasható, hog az f függvénnek maimuma van az helen, értéke. A zérushelek megállapíthatóak a másodfokú egenlet megoldóképletével. E szerint 6 és az egenlet két zérushele. b) Teljes négzetté alakítás után kapjuk: g() ( ) +, amibõl leolvasható, hog a függvénnek minimuma van az helen, értéke. A zérushelek meghatározásánál vegük észre, hog a diszkrimináns negatív, mert: b ac, ezért a g függvénnek nincs zérushele, nem érinti és nem metszi az tengelt. Az egenletrendszer megoldásaiból a következõ nég pont adódik: P (; ), P (; ), P ( ; ), P ( ; ). B P > A P > P P 6

31 w7 a) A gökök négzetösszege: + ( + ) b) Az egenletbõl 8. c) A hiánzó számjeg:. w8 Ha b, az egenlet elsõfokú, megoldása:. Ha b ¹, a másodfokú egenlet diszkriminánsa: D (b +) (b ) b b + (b ). Ha b, eg valós megoldás van:. Ha b ¹, a diszkrimináns pozitív, tehát két valós megoldás van. 9. 6

Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük.

Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük. Líneáris függvének Definíció: Az f() = m + b alakú függvéneket, ahol m, m, b R elsfokú függvéneknek nevezzük. Az f() = m + b képletben - a b megmutatja, hog a függvén hol metszi az tengelt, majd - az m

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

12.6. ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK

12.6. ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM.6. ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK KÖZÉPSZINTÛ FELADATSOROK. Feladatsor I. rész megoldások. ( + ).. A háromszög köré írható kör sugara,6 cm.. Körtébõl 9 kg-ot, almából 8 kg-ot, banánból

Részletesebben

Többváltozós függvények Riemann integrálja

Többváltozós függvények Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Az integrál konstrukciója tetszőleges változószám esetén Deiníció: n dimenziós

Részletesebben

Másodfokú függvények

Másodfokú függvények Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Közgazdaságtan - 3. elıadás

Közgazdaságtan - 3. elıadás Közgazdaságtan - 3. elıadás A FOGYASZTÓI DÖNTÉS TÉNYEZİI 1 A FOGYASZTÓI DÖNTÉS ELEMEI Példa: Eg személ naponta 2000 Ft jövedelmet költhet el pogácsára és szendvicsre. Melikbıl mennit tud venni? 1 db pogácsa

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT Matematika RÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK RÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT dottak a 0; ; ; ; ; ; 5; 7; 7; 8 számjegyek. a Hány darab tízjegyű, 5-tel osztható szám készíthető az adott számjegyekből

Részletesebben

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK 18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva 18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3.

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3. Analízis I. jegzet László István 2008. november 3. Tartalomjegzék 1. Halmazok 5 1.1. Halmaz fogalma............................ 5 1.2. Halmaz megadása........................... 6 1.2.1. Eplicit megadás.......................

Részletesebben

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

IV.4. EGYENLŐTLENSÉGEK. A feladatsor jellemzői

IV.4. EGYENLŐTLENSÉGEK. A feladatsor jellemzői IV.4. EGYENLŐTLENSÉGEK Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Egyenlőtlenségek megoldási módszerei, egyenlőtlenségekre vezető szöveges feladatok megoldása. A legalább és legfeljebb fogalma. Előzmények Egyenletek

Részletesebben

Mechanika II. Szilárdságtan

Mechanika II. Szilárdságtan echanika II. Szilárdságtan Zalka Károl / q / B Budapest, 05 Zalka Károl, 05, e-kiadás Szabad ezt a kiadvánt sokszorosítani, terjeszteni és elektronikus vag bármel formában tárolni. Tilos viszont a kiadvánt

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

KÁOSZ EGY TÁLBAN Tóthné Juhász Tünde Karinthy Frigyes Gimnázium (Budapest) Gócz Éva Lónyai Utcai Református Gimnázium

KÁOSZ EGY TÁLBAN Tóthné Juhász Tünde Karinthy Frigyes Gimnázium (Budapest) Gócz Éva Lónyai Utcai Református Gimnázium válaszolására iránuló, még folamatban lévô (a dekoherencia és a hullámcsomag kollapszusa tárgkörökbe esô) elméleti próbálkozások ismertetésétôl. Ehelett inkább a kísérletek elôfeltételét képezô kvantumhûtés

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

10. OPTIMÁLÁSI LEHETŐSÉGEK A MŰVELET-ELEMEK TERVEZÉSEKOR

10. OPTIMÁLÁSI LEHETŐSÉGEK A MŰVELET-ELEMEK TERVEZÉSEKOR 10. OPIMÁLÁSI LEHEŐSÉGEK A MŰVELE-ELEMEK ERVEZÉSEKOR A technológiai terezés ezen szintén a fő feladatok a köetkezők: a forgácsolási paraméterek meghatározása, a szerszám mozgásciklusok (üresárati, munkautak)

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss

Részletesebben

ÅÌ ¹ ÄÌ ÐÑ Ð Ø Þ Ì Ò Þ ÃÙØ Ø ÓÔÓÖØ Ì ÓÖØÙ ÓÑ ÒÝÓ ÑÙÒ Ø Ö Î Ñ Ö Ø ØÙ Ó Ú ÒØÙÑØ Ö ÐÑ Ð Ø Ò ÅÌ Ó ØÓÖ ÖØ Þ ÒÝ ØÚ ¾¼¼ º ÖÙ Ö ¾ Ã Þ Ò ØÒÝ ÐÚ Ò Ø ÀÓÖÚ ÞØÓ ØÓØØ Þ È ÐÐ Ä Þ ØÓÒ Þ Ò Ø ØÑÓÒ Ó Ñ Ò ÞÓ Ò Ò Ð Ð Þ ÑÙÒ

Részletesebben

Lepárlás. 8. Lepárlás

Lepárlás. 8. Lepárlás eárlás 8. eárlás csefolós elegek szétválasztására leggakrabban használt művelet a leárlás. Míg az egszeri leárlás desztilláció néven is ismerjük az ismételt leárlás vag ismételt desztillációt rektifikálásnak

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 113 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KIALAKÍTÁSA 3 REPÜLŐKÉPESSÉG

MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KIALAKÍTÁSA 3 REPÜLŐKÉPESSÉG Dr. Óvári Gula 1 - Dr. Urbán István 2 MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KILKÍTÁS 3 cikk(soroatban)ben a merev sárnú repülőgépek veérsík rendserinek terveését és építését követheti nomon lépésről

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat

Bolyai János Matematikai Társulat Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

VASBETON LEMEZEK. Oktatási segédlet v1.0. Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas György. Budapest, 2001. május hó

VASBETON LEMEZEK. Oktatási segédlet v1.0. Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas György. Budapest, 2001. május hó BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőmérnöki Kar Hidak és Szerkezetek Tanszéke VASBETON LEMEZEK Oktatási segédlet v1.0 Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas Görg Budapest, 001. május

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Az oszlopdiagram kinézhet például úgy, mint a bal oldali ábra. 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2. Kategória busz teherautó furgon személyautó összesen

Az oszlopdiagram kinézhet például úgy, mint a bal oldali ábra. 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2. Kategória busz teherautó furgon személyautó összesen STATISZTIKA 9.7. STATISZTIKA Az adatok ábrázolása megoldások wx76 Az oszlopdiagram kinézhet például úgy, mint a bal oldali ábra. Napi futásteljesítmény Almafajták megtett kilométerek 9 7 6 hétfô kedd szerda

Részletesebben

Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet!

Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola,. osztály. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! lg(0x ) lg(x + ) = lg () Kikötések: x > 5 és x >. lg(0x ) lg(x + ) = lg () lg 0x (x + ) = lg (3)

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája

5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája TARTALOM 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE... 7 5.. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája... 7 5.. Koordináta transzformációk... 5... Forgatás... 5... R-P-Y szögek... 5... Homogén transzformációk...

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

Néhány érdekes függvényről és alkalmazásukról

Néhány érdekes függvényről és alkalmazásukról Néhán érdekes függvénről és alkalmazásukról Bevezetés Meglehet, a középiskola óta nem kedveltük az abszolútérték - függvént; most itt az ideje, hog változtassunk ezen. Erre az adhat okot, hog belátjuk:

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára Feladatok MATEMATIKÁBÓL a. évfolyam számára I.. Egy 35 fős osztályból mindenki részvett valamelyik iskolai kiránduláson. 5-en Debrecenbe utaztak, 8-an pedig Pécsre. Hányan utaztak mindkét városba?. Állapítsa

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.

1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x. Mat. A3 9. feladatsor 06/7, első félév. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek típusát (eplicit-e vag implicit, milen rendű, illetve fokú, homogén vag inhomogén)! a) 3 (tg) +ch = 0 b) = e ln c)

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

Diplomamunka. Szabó Anett

Diplomamunka. Szabó Anett Diplomamunka Intracelluláris Ca 2+ -dinamika vizsgálata Szabó Anett Témavezet : dr. Tóth János docens Budapesti M szaki és Gazdaságtudománi Egetem Matematika Intézet Analízis Tanszék BME 2010 TARTALOMJEGYZÉK

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2008. október 21. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2008. október 21. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc É RETTSÉGI VIZSGA 2008. október 21. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. október 21. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN ÉRETEZÉS ELLENŐRZÉS STATIUS TERHELÉS ESETÉN A méreteés ellenőrés célkitűése: Annak elérése hog a serkeet rendeltetésserű hasnálat esetén előírt ideig és előírt bitonsággal elviselje a adott terhelést anélkül

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK Sokszínű matematika /. oldal. feladat a) = Mivel mindegik hatván alapja hatván, ezért átírjuk a -et és a -ot: = ( ) Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot! ( ) = A bal oldalon az azonos alapú hatvánok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 8. EMELT SZINT I. 1) Egy 011-ben készült statisztikai összehasonlításban az alábbiakat olvashatjuk: Ha New York-ban az átlagfizetést és az átlagos árszínvonalat egyaránt

Részletesebben

1. Lineáris leképezések

1. Lineáris leképezések Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2

Részletesebben

Nevezetes függvények

Nevezetes függvények Nevezetes függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ. A feladatsor jellemzői

VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ. A feladatsor jellemzői VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Szögfüggvények derékszögű háromszögben, szinusztétel, koszinusztétel, Pitagorasz-tétel. Előzmények Pitagorasz-tétel, derékszögű háromszög trigonometriája,

Részletesebben

Acélszerkezetek. 2. előadás 2012.02.17.

Acélszerkezetek. 2. előadás 2012.02.17. Acélszerkezetek 2. előadás 2012.02.17. Méretezési eladat Tervezés: új eladat Keresztmetszeti méretek, szerkezet, kapcsolatok a tervező által meghatározandóak Gazdasági, műszaki, esztétikai érdekek Ellenőrzés:

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát! Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg

Részletesebben

Váltakozó áram. A váltakozó áram előállítása

Váltakozó áram. A váltakozó áram előállítása Váltakozó áram A váltakozó áram előállítása Mágneses térben vezető keretet fogatunk. A mágneses erővonalakat metsző vezetőpárban elektromos feszültség (illetve áram) indukálódik. Az indukált feszültség

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

Szeminárium-Rekurziók

Szeminárium-Rekurziók 1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az

Részletesebben

A legrövidebb úton úgy tudunk menni az A-ból B-be, hogy csak rézsútosan jobbra és lefele megyünk. (3 pont)

A legrövidebb úton úgy tudunk menni az A-ból B-be, hogy csak rézsútosan jobbra és lefele megyünk. (3 pont) NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 015 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY 9-. OSZTÁLY 015. MÁRCIUS 30. FELADATOK CSAK SZAKKÖZÉPISKOLÁSOKNAK Sz 1. Futár Berci csomagokat szállít Erdőfalván. Most az A pontból kell eljutnia

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja Bolai János Matematikai Társulat Rátz László Vándorgűlés 06. Baja Záródolgozat dr. Nag Piroska Mária, Dunakeszi Dunakeszi, 06.07.. A Vándorgűlésen Erdős Gábor az általános iskolai szekcióban tartott szemináriumot

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II.

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II. Egváltozós függvének differenciálszámítása II.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok:

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

Hiányos másodfokú egyenletek. x 8x 0 4. A másodfokú egyenlet megoldóképlete

Hiányos másodfokú egyenletek. x 8x 0 4. A másodfokú egyenlet megoldóképlete Hiányos másodfokú egyenletek Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! 1. = 0 /:. = 8 /:. 8 0 4. 4 4 0 A másodfokú egyenlet megoldóképlete A másodfokú egyenletek általános alakja: a

Részletesebben

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám,

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám, Dobos Sándor, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: 005. november 1. feladat A 70-nek 80%-a mely számnak a 70%-a? I. rész. feladat Egy szabályos

Részletesebben

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében DIMENZIÓK 35 Matematikai Közlemének III. kötet, 5 doi:.3/dim.5.5 Az alkalmazott matematika tantárg oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében Horváth-Szováti Erika NME EMK

Részletesebben

Sokszínû matematika 7. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 7. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika 7. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Szerzõk: IRÓNÉ FÜLE ZSUZSANNA középiskolai tanár DR. SZEDERKÉNYI ANTALNÉ ny. gyakorlóiskolai vezetõtanár Tartalom. TERMÉSZETES SZÁMOK, RACIONÁLIS SZÁMOK....

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

Szakközépiskola 9. évfolyam. I/1 gyakorló feladatsor

Szakközépiskola 9. évfolyam. I/1 gyakorló feladatsor Szakközépiskola 9. évfolyam I/1 gyakorló feladatsor 1. Adott az A={1,,3,4,5,6} és a B={1,3,5,7,9} halmaz. Adjuk meg elemeinek felsorolásával az AUB és az A\B halmazokat!. Számítsuk ki a 40 és 560 legnagyobb

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. okt. 9. Elméleti kérdések A csoport. Hogan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komple szám szorzatát más alakba való átváltás

Részletesebben