SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)

Átírás

1 SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A másodrendű tenzor transzponáltjának értelmezése (2) 3. Szimmetrikus és ferdeszimmetrikus tenzor értelmezése (3) 4. A vektorinvariáns értelmezése (3) 5. A felbontási tétel (2) 6. Az alakváltozás fogalmának értelmezése általában (2) 7. A rugalmas alakváltozás értelmezése (1) 8. A képléken alakváltozás értelmezése (1) 9. A kis elmozdulás definíciója (1) 10. A kis alakváltozás definíciója (1) 11. Két erőrendszer szilárdságtani egenértékűségének értelmezése (2) 12. A derivált tenzormező és az elmozdulási vektormező kapcsolata (az egenlet tenzoriális alakja) (1) 13. Elmozdulásmező linearizálása a szilárd test eg P pontjának körnezetében a derivált tenzor felhasználásával (4) 14. A derivált tenzor felbontása szimmetrikus és ferdeszimmetrikus részekre és a részek kinematikai tartalma (2) 15. Az alakváltozási tenzormező és elmozdulási vektormező kapcsolata (az egenlet tenzoriális alakja) (3) 16. Az alakváltozási jellemzők (és előjelük jelentése) (3) 17. Az alakváltozási tenzor megadása diádokkal és mátriokkal derékszögű descartes-i koordináta rendszerben (3) 18. Az alakváltozási tenzor szemléltetése az elemi triéderen (2) 19. Fajlagos núlások, fajlagos szögtorzulások számítása az alakváltozási tenzorból (2) 20. Alakváltozási főtengelek, főnúlások értelmezése (2) 21. Alakváltozási jellemzők számítása az elmozdulásokból (4) 22. A ρ n feszültségvektor felbontása az n normálisú elemi felületen (2) 23. A feszültségi tenzor szemléltetése az elemi kockán (2) 24. Feszültségi főtengelek, főfeszültségek értelmezése (2) 25. Az energia tétel és alkalmazása rugalmas testek szilárdságtani feladataira (4) 26. A prizmatikus rúd fogalma (1) 27. Az egtengelű feszültségi állapot fogalma (1) 28. A lineárisan rugalmas, homogén, izotróp test fogalma (3) 29. Az egszerű Hooke törvén húzásra (nomásra) (2) 30. A feszültségi tenzor és a normálfeszültség értéke húzott-nomott rudak esetén (2) 31. Az alakváltozási energia számítása húzott-nomott rúd esetén (2) 32. Az I p poláris másodrendű nomaték értelmezése és kiszámítása kör és körgűrű keresztmetszetre (3) 33. Feszültségi tenzor kör és körgűrű keresztmetszetű rudak csavarására polárkoordináta rendszerben (2) 34. A τ ϕz = τ ϕz (R) feszültségeloszlás szemléltetése kör és körgűrű keresztmetszetű rudak csavarása esetén (2) 35. Az alakváltozási energia számítása kör és körgűrű keresztmetszetű rudak csavarása esetén (2) 36. Prizmatikus rúd tiszta hajlításának értelmezése (1) 37. A Bernoulli hipotézis (2) 38. Az egenes hajlítás értelmezése (1)

2 39. A feszültségi tenzor mátria prizmatikus rúd tiszta, egenes hajlítása esetén (2) 40. A σ z = σ z () feszültségeloszlás szemléltetése egenes hajlítás esetén (2) 41. A görbület és hajlítónomaték kapcsolata prizmatikus rúd tiszta hajlítására (2) 42. Az alakváltozási energia számítása prizmatikus rúd egenes hajlítására a nírás hatásának elhanagolásával (2) 43. Tengelre, tengelpárra és pontra számított másodrendű nomaték értelmezése (3) 44. Az A keresztmetszet súlponti tehetetlenségi tenzora és a tenzor elemei értelmezések koordinátarendszerhez kötötten (4) 45. Az A keresztmetszet súlponti tehetetlenségi tenzorának invariáns azaz KR független alakja (2) 46. A Steiner-tétel tenzoriális és skaláris egenletei (3) 47. Cauch tétele (feszültség számítása az n normálisú felületen) (2) 48. Az egensúli egenlet szilárd testre (vektoriális és skaláris alakok) (4) 49. A teljes feszültségi Mohr kör szerkesztése, ha eg főfeszültség ismert (4) 50. Az általános Hooke-törvén izotróp testre (2) 51. A fajlagos alakváltozási energia értelmezése általános esetben (3) 52. A Mohr szerinti redukált feszültség értelmezése (1) 53. A Huber-Mises-Henck szerinti redukált feszültség értelmezése (3) 54. A redukált feszültségek számítása ha eg normálfeszültség és vele azonos síkon eg csúsztató feszültség nem zérus (2) 55. A ferde hajlítás értelmezése (2) 56. A zérusvonal értelmezése és egenlete ferde hajlítás esetén (3) 57. A feszültségi tenzor mátria és a feszültségek számítása prizmatikus rudak tiszta, ferde hajlítása esetén (3) 58. A feszültségi tenzor mátria és a feszültségek számítása zömök rudak ecentrikus húzása, nomása esetén (3) 59. A zérusvonal egenlete zömök rudak ecentrikus húzása, nomása esetén (4) 60. A redukált nomaték értelmezése (2) 61. Hajlított és csavart kör és körgűrű keresztmetszetű egenes rudak ellenőrzése és méretezése feszültségcsúcsra (2) 62. A feszültségi tenzor mátria és a feszültségek számítása hajlított nírt prizmatikus rúd esetén (4) 63. A nírófeszültségek számítása téglalapkeresztmetszetű rúdra (2) 64. A nírási középpont definíciója (2) 65. Az I r értelmezése (2) 66. A görbület és hajlítónomaték kapcsolata síkgörbe rúd tiszta hajlítására (2) 67. A Grashoff formula és érvénességi tartomána (3) 68. A síkgörbe rúdban felhalmozódó alakváltozási energia (2) 69. A Betti tétel (2) 70. A Castigliano tétel (2) 71. Mikor mondjuk, hog a vizsgált szerkezet külsőleg statikailag határozatlan (2) 72. Mikor mondjuk, hog a vizsgált szerkezet belsőleg statikailag határozatlan (2) 73. A törzstartó fogalma (2) 74. A tengelvonal és a rugalmas vonal definíciója (1+1) 75. Mit jelent a képzelt terhelés módszere (2) 76. Hogan számítunk szögelfordulást a képzelt terhelés módszerével (2) 77. Hogan számítjuk a v függőleges elmozdulást a képzelt terhelés módszerével (2) 78. Hogan számítjuk a w vízszintes elmozdulást a képzelt terhelés módszerével (2) 79. Az egensúli alak stabilitása karcsú nomott rúdra (2) 80. Mikor léphet fel kihajlás és miért jelent veszélt (3) 81. A kihajlási határgörbe (kritikus feszültség) egenlete (Euler hiperbola, Tetmajer egenes) és ábrázolása (4)

3 SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdéseinek megoldásai 1. A másodrendű tenzoron (tág értelemben) a háromméretű tér eg önmagára történőhomogén lineáris leképezését értjük. Kartéziuszi koordinátarendszerben az e, e és e z vektorok w, w és w z képei egértelműen meghatározzák a leképezést (a tenzort). 2. A W = w e + w e + w z e z másodrendű tenzor transzponáltját a W T = e w + e w + e z w z kifejezés értelmezi. A transzponált tenzor mátria a tenzor mátriának transzponáltja. 3. Szimmetrikus az W tenzort, ha W = W T, ferdeszimmetrikus az W tenzor, ha W = W T. Szimmetrikus tenzor mátria szimmetrikus: w kl = w lk l, k =,, z; ferdeszimmetrikus tenzor mátria pedig ferdeszimmetrikus: w kl = w lk l, k =,, z. 4. A W = w e + w e + w z e z másodrendű tenzor vektorinvariánsát a w a = 1 2 (w e + w e + w z e z ) összefüggés értelmezi. Ha a vektorinvariáns zérus, akkor a tenzor szimmetrikus. 5. Bármel W tenzor felbontható eg szimmetrikus és eg ferdeszimmetrikus tenzor összegére W = W asz + W sz ahol W asz = 1 W W T s W sz = 1 W + W T. 2 2 Fennáll továbbá, hog W asz n = w a n. 6. Terhelés hatására a vizsgálat tárgát képező szilárd test pontjai egmáshoz képest elmozdulnak és a test anagi, geometriai alakzatai (anagi vonalak hosszai, anagi vonalak által bezárt szögek, etc.) megváltoznak. Ezt a jelenséget alakváltozásnak nevezzük. 7. Rugalmas alakváltozásról beszélünk, ha a terhelés megszüntetése után a terhelés hatására alakváltozást szenvedő test maradéktalanul visszaneri eredeti, terhelés előtti alakját. 8. Képléken alakváltozásról beszélünk, ha a terhelés megszüntetése után a terhelés hatására alakváltozott test nem neri vissza eredeti, terhelés előtti alakját. 9. Kis elmozdulások esetén a szilárd test pontjainak maimális elmozdulása is nagságrendekkel kisebb mint a test legkisebb geometriai mérete. 10. Ha a test alakváltozására jellemző menniségek (fajlagos núlások, szögtorzulások) abszolut értékének maimuma nagságrendekkel kisebb mint az egség, akkor az alakváltozások kicsik.

4 11. Két, uganazon testre ható egmással statikailag egenértékű erőrendszert szilárdságtanilag is egenértékűnek nevezünk, ha azok mindegike eltekintve az erőrendszerek gakorlatilag egbeeső terhelési tartománától lénegében uganazt az alakváltozási állapotot hozza létre. 12. A derivált tenzort a U = u módon számítjuk ha ismeretes az elmozdulási vektormező. 13. A P pont elemi körnezetében u = u P + U P (r r P )+(...) alakú az elmozdulásmező, ahol u P a P pont eltolódása, U P a derivált tenzor a P pontban, r = r r P sokkal kisebb, mint eg alkalmas hosszegség, az r a futópont, az r P pedig a P pont helvektora. A derivált tenzor U P = Ψ P + A P alakú felbontásával u = u P + Ψ P r + A P r ahol Ψ P r a merevtestszerű forgás hatására létrejövő mozgás, az u P + Ψ P r összeg pedig a P pont körnezetének merevtestszerű mozgása (eltolódás + forgás). 14. Az U derivált tenzor az U = 1 2 (U U T ) Ψ (U + U T ) A módon bontható fel, ahol Ψ a forgató tenzor, az A pedig az alakváltozási tenzor. ( T a transzponálás jele.) 15. Az alakváltozási tenzor az A = 1 ( u + u ) 2 módon számítható. 16. Fajlagos núlás az n iránban: Jelölése: n ;Előjelszabál: n > 0megnúlás; n < 0 rövidülés Fajlagos szögtorzulás az egmásra merőleges n és m iránok között: Jelölése: γ mn ;Előjelszabál: {γ mn > 0}[γ mn < 0] azeredetileg90 -os szög {csökken} [növekszik]. 17. A tenzor diádikus alakban és mátriával is megadható: A = α e + α e + α z e z, 1 2 γ 1 2 γ z A = 1 2 γ 1 2 γ z 1 2 γ 1. z 2 γ z z 18. Az alakváltozási tenzort az elemi triéderen, az z koordinátarendszerben az ábra szemlélteti:

5 ε z γ z /2 γ z /2 P e z γ e z /2 γ z/2 e ε γ/2 γ /2 ε 19. Legen az n és m egségvektor és m n (azaz m n =0). Ekkor n = n A n, γ mn =2m A n a fajlagos núlás az n iránban, illetve a fajlagos szögtorzulás az m és n iránok között. (Az n, m n 6= m rendre felveheti az, és z értéket. Ekkor n és m helett értelemszerűen e, e és e z áll.) 20. Az n és m egségvektor. Ha α n = n n azaz minden m n -re fennáll, hog γ nm = 2m α n =0, akkor az n irán alakváltozási főirán (az általa kijelölt n tengel pedig alakváltozási főtengel), míg n a vonatkozó főnúlás. 21. Az z kartéziuszi koordinátarendszerben = u, γ = u + u, = u, γ z = u z + u z, z = u z z, γ z = u z + u z, ahol, és z fajlagos núlás, γ, γ z és γ z pedig fajlagos szögtörzulás (u, u és u z a három elmozduláskoordináta). 22. Az n normálisú lapon ρ n = σ n n + τ n a feszültségvektor. Itt σ n = n ρ n a normálfeszültség, míg τ mn = m ρ n és τ ln = l ρ n a τ n csúsztatófeszültség két összetevője vag koordinátája (m n, n l és l m; azn, m és l egségvektorok). 23. A feszültségi tenzort az elemi kockán, az z kartéziuszi koordinátarendszerben az ábra szemlélteti: z σ z τz τz σ τz τ τz τ σ 24. Az n és m egségvektor. Ha ρ n = σ n n azaz minden m n -re fennáll, hog τ nm = m ρ n =0, akkor az n irán feszültségi főirán (az általa kijelölt n tengel pedig feszültségi főtengel), míg σ n avonatkozófőfeszültség. 25. Az energia tétel az E 2 E 1 = W 12 = W K + W B

6 alakban írható fel ahol E a kinetikai energia, az 1 és 2 indeek a terhelés kezdetét és végét azonosítják, W K akülsőerők munkája, W B pedigabelsőerők munkája. Szilárdságtanban E 1 = E 2 =0mivel a vizsgált test (tartó) tartós nugalomban van. Következésképp W 12 = W K + W B =0, azaz W K = W B = U + W D, ahol W D a disszipált (elnelt) alakváltozási energia, U pedig a belső energia. Rugalmas testre W D =0és íg W K = U. 26. A prizmatikus rúd tengelvonala (súlponti szála) egenes, a keresztmetszete pedig állandó. 27. Egtengelű feszültségi állapotról beszélünk, ha csak eg főfeszültség különbözik zérustól (a másik kettő zérus). 28. Lineárisan rugalmas, homogén, izotróp testről beszélünk, ha lineáris a T = T függvénkapcsolat (lineárisan rugalmas az anag), az anagjellemzők (anagi tulajdonságok) minden pontban azonosak (homogén a test) ésazanagjellemzők (anagi tulajdonságok) nem függenek irántól (izotróp az anag). 29. Húzásra (nomásra) σ z = E z, k = ν z az egszerű Hooke törvén, ahol az E rugalmassági modulus és a ν Poisson szám anagjellemzők. 30. Húzott (nomott) rúdra T = σ z = N 0 0 σ A z a feszültségi tenzor és a normálfeszültség. N a ruderő, A a keresztmetszet területe. 31. Ha N = állandó, akkor U = 1 N 2 l 2 AE a húzott (nomott) rúdban tárolt rugalmas energia (N a ruderő, l a rúd hossza, E a rugalmassági modulus, A a rudkeresztmetszet területe). 32. Kör és körgűrű keresztmetszetű rúdra a poláris másodrendű nomaték I p = R 2 da képletéből kör keresztmetszetre az körgűrű keresztmetszetre pedig az I p = d4 π 32, I p = (D4 d 4 )π 32 eredmén következik. 33. Kör és körgűrű keresztmetszetű prizmatikus rúd csavarásakor polárkoordináta rendszerben T = τ ϕz, τ ϕz = M c R 0 τ zϕ 0 I p

7 a feszültségi tenzor és a csúsztató feszültség. (M c a csavarónomaték, I p a poláris másodrendű nomaték, R a vizsgált ponthoz tartozó sugár). 34. Kör és körgűrű keresztmetszetű rúdra az alábbi két ábra szemlélteti a csúsztató feszültségek eloszlását polárkoordináta rendszerben: e ϕ τ ϕz e R e ϕ τ ϕz e R Mc Mc 35. Ha M c = állandó, akkor U = 1 Mc 2 l 2 I P G a csavart kör, körgűrű keresztmetszetű rúdban tárolt rugalmas energia (M c acsavarónomaték, l a rúd hossza, I P a poláris másodrendű nomaték, G a nírási rugalmassági modulus). 36. Tiszta hajlításról beszélünk ha a vizsgált rúdszakaszon csak hajlítás az igénbevétel. 37. A Bernoulli hipotézis szerint tiszta hajlítás esetén a rúd deformált keresztmetszetei síkok maradnak, a keresztmetszetek síkjában nincs szögtorzulás és a keresztmetszetek a deformáció után is merőlegesek a rúd deformált középvonalára (tengelvonalára, súlponti szálára). 38. Egenes hajlításról beszélünk, ha az M S hajlítónomaték vektor párhuzamos a keresztmetszet valamelik súlponti tehetetlenségi főtengelével. 39. Egenes, tiszta hajlításra T = , σ z = M h 0 0 σ I z a feszültségi tenzor és a normálfeszültség. (M h a hajlítónomaték, I asúlponti tengelre a hajlítás tengelére vett másodrendű nomaték, a vizsgált pont koordinátája). 40. A vázolt rúdkeresztmetszetre az alábbi ábra szemlélteti a σ (z) feszültségeloszlást S M h s z 41. Egenes, tiszta hajlításra κ = 1 ρ = M h I E a görbület (ρ a görbületi sugár, M h a hajlítónomaték, I asúlponti tengelre a hajlítás tengelére vett másodrendű nomaték, E a rugalmassági modulus).

8 42. Ha ismert az M h = M h (z) hajlítónomaték, akkor U = 1 Mh 2 2 l I E dz a rúdban tárolt tárolt rugalmas energia, ha elhanagoljuk a nírásból adódó rugalmas energiarészt (M h a hajlítónomaték, I asúlponti tengelre a hajlítás tengelére vett másodrendű nomaték, E a rugalmassági modulus, l a rúd középvonalának mint egméretű tartománnakajelölése). 43. Legen és az A keresztmetszet O pontjához kötött egmásra kölcsönösen merőleges tengelpár (Kartéziuszi koordinátarendszer O origóval). Az, tengelekre számított másodrendű nomatékot az I = 2 da és I = 2 da képletek, az tengelpárra számított másodrendű nomatékot pedig az I = da összefüggés értelmezi. Az I 0 = r 2 da = ( )da = I + I integrál az O pontra számított másodrendű nomaték. 44. Legen ξ és η az A keresztmetszet S súlpontjához kötött kartéziuszi koordinátarendszer. A ξη koordinátarendszerben Iξ I I S = ξη I ηξ I η a súlponti tehetetlenségi tenzor mátria, ahol I ξ, I η és I ηξ a vonatkozó másodrendű nomatékok: I ξ = η 2 da, I η = ξ 2 da, I ξη = ξηda. 45. Legen R a felületelem S súlpontra vonatkoztatott helvektora és jelölje E az egségtenzort. Az I S tenzor invariáns alakját a I S n = R (n R) da, I S = R 2 E R R da összefüggések értelmezik. 46. Legen ξ és η az A keresztmetszet S súlpontjához kötött kartéziuszi koordinátarendszer. Legen továbbá és az A keresztmetszet O pontjához kötött kartéziuszi koordinátarendszer. Feltételezzük, hog S 6= O és hog a két koordinátarendszer megfelelő koordinátatengelei párhuzamosak. A két koordinátarendszerben rendre I ξ, I η és I ηξ, illetve I, I és I amásodrendű nomatékok. A I I = I I I O Iξ I ξη I ηξ I η I S + A 2 SO SO SO SO SO {z 2 SO } I OS egenlet a Steiner tétel mátri alakja. Skaláris alakban: I = I ξ + ASO 2, I = I η + A 2 SO, I = I ξη + A SO SO.

9 47. Legen T a feszültségi tenzor a szilárd test eg belső P pontjában. Legen továbbá n eg a P pontra illeszkedő belső sík normálisa. A sík P pontjában a síkon ébredő ρ n feszültségvektor Cauch tétele szerint a ρ n = T n módon számítható. 48. Legen q a térfogaton megoszló erőrendszer sűrűségvektora, T pedig a feszültségi tenzor. Az erőegensúlt vektoriális alakban a T + q =0 egenlet fejezi ki. Az ekvivalens skaláregenleteket az z kartéziuszi koordinátarendszerben az alábbiak részletezik: σ + τ + τ z z + q =0, τ + σ + τ z z + q =0, τ z + τ z + σ z z + q z =0. Itt σ, σ, σ z normálfeszültség, τ, τ z, τ, τ z, τ z, τ z nírófeszültség. A nomatéki egensúlt a τ = τ, τ z = τ z, τ z = τ z egenletek fejezik ki, azaz a feszültségi tenzor szimmetrikus. 49. A k, m,n iránok az,, z iránokkal egeznek meg, de a sorrend azonos és eltérõ is lehet. Feltevés, hog a k irán ismert fõirán. A T = σ τ 0 τ σ 0 σ >σ z > 0 >σ ; 0 0 σ z esetben pl. k = z, = m, = n. t n Y X R t s 3 O 1 s s z s 1 s n s A szerkesztés lépéseit az alábbiak részletezik. (a) Megrajzoljuk a K [σ k ;0](most [σ z ;0]) pontot. (b) Megszerkesztjük az M [σ m ; τ nm ] (most X [σ ; τ ]) ésazn [σ n ; τ mn ] (most Y [σ z ; τ ]) pontokat. (c) Az MN szakasz (most XY szakasz) felező merőlegese kimetszi az egik félkör középpontját (most az O 1 pontot). (d) A megszerkesztett középpont körül R sugarú kört rajzolunk. (e) Az R sugarú kör és a σ n tengel metszéspontjai valamint a K (most ) által meghatározott szakaszok mint átmérők fölé két félkört szerkesztünk.

10 50. Az általános Hooke törvén izotróp testre az A = 1 µ T ν 2G 1+ν T IE µ T =2G A + ν 1 2ν A IE alakban írható fel, ahol A az alakváltozási tenzor, T a feszültségi tenzor, G anírási rugalmassági modulus, ν a Poisson szám, E az egségtenzor, T I és A I rendre a feszültségi és alakváltozási tenzor első skalárinvariánsa. 51. Az z kartéziuszi koordinátarendszerben a szokásos jelölésekkel u = 1 2 T A = 1 2 (ρ α + ρ α + ρ z α z ) = 1 2 (σ + σ + σ z z + τ γ + τ z γ z + τ z γ z ) a fajlagos rugalmas energia (az egségni térfogatban tárolt rugalmas energia). 52. A Mohr szerint redukált feszültséget a σ red Mohr = σ 1 σ 3 képlet értelmezi (a σ 1 σ 3 különbség a legnagobb kör átmérője a teljes Mohr féle kördiagrammon). 53. A Huber Mises Henck féle redukált feszültséget a főtengelek koordinátarendszerében a r 1 σ red HMH = 2 [(σ 1 σ 2 ) 2 +(σ 2 σ 3 ) 2 +(σ 3 σ 1 ) 2 ] összefüggés, az z koordinátarendszerben pedig a r 1 σ red HMH = (σ σ ) 2 2 +(σ σ z ) 2 +(σ z σ ) 2 +6(τ 2 + τz 2 + τz) 2 képlet értelmezi. (A képletek felírásánál a szokásos jelöléseket alkalmaztuk.) 54. Ha a keresztmetszeten a veszéles pontban a normálfeszültség és csúsztatófeszültség nem zérus ezeket rendre σ és τ jelöli, akkor σ red = p ½ 4 σ 2 + βτ 2 ahol β = ha a Mohr elmélet 3 ha a HMH elmélet érvénes. 55. Ferde hajlításról beszélünk, ha az M S nomatékvektor nem párhuzamos a rúd A keresztmetszetének egik súlponti tehetetlenségi főtengelével sem. 56. A zérusvonal (ferde hajlítás) azon pontok mértani hele, ahol a σ z normálfeszültség zérus, azaz σ z =0= M h I + M h I (M h és M h az és súlponti főtengelekre vett hajlítónomaték, I és I az és súlponti tengelekre számított másodrendű nomaték, és pontkoordináták az A keresztmetszeten). Az értelmező egenlet ra történő feloldásával = M h I M h I a zérusvonal egenlete. 57. Egenes prizmatikus rúd tiszta ferde hajlítása esetén a szokásos z koordinátarendszerben T = , 0 0 σ z σ z = M h I + M h I

11 a T feszültségi tenzor és a σ z normálfeszültség (M h és M h az és iránú hajlítónomaték, I és I az és súlponti főtengelekre számított másodrendű nomaték, és pontkoordináták az A keresztmetszeten). 58. Egenes, zömök, prizmatikus rúd ecentrikus húzása (nomása) estén a szokásos z koordinátarendszerben T = σ z, σ z = F A + Fη I + Fξ I a T feszültségi tenzor és a σ z normálfeszültség [F ahúzó(> 0) illetve nomóerő (< 0), η és ξ az erő támadáspontjának koordinátái, I és I az és súlponti főtengelekre számított másodrendű nomaték, és pontkoordináták az A kereszmetszeten). 59. A zérusvonal [egenes, zömök, prizmatikus rúd ecentrikus húzása (nomása)] azon pontok mértani hele ahol a σ z normálfeszültség zérus. Az előző kérdésre adott válasz alapján az σ z = F A + Fη + Fξ =0 I I egenlet értelmezi a zérusvonalat. Az F/A hánadossal való átosztás után az i 2 = I /A s i 2 = I /A jelölések bevezetésével a fenti értelmező egenletből két lépésben kapjuk meg a zérusvonal egenletét: 0=1+ η i 2 + ξ i 2 = i2 ξ i 2 η i2 η. 60. A vizsgált kör, vag körgűrű keresztmetszetű rúdnak hajlítás és csavarás az igénbevétele. Az összetevőket M h,m h és M c jelöli. A redukált nomatékot az q ½ M red = Mh 2 + M h 2 + β Mc 2 β 1 Mohr elmélete szerint = 3 4 a HMH elmélet szerint q képlet értelmezi. A hajlítás azonban egenes és M h = Mh 2 + M h 2 a vonatkozó hajlítónomaték. 61. A veszéles keresztmetszetben ismert az M red ennek értelmezését illetően az előző válaszra utalunk és adott a σ meg. Ha a rúd megfelel akkor fennáll a M red σ meg K reláció ahol K a keresztmetszeti ténező. Tervezéskor K az ismeretlen és a reláció egenlőség. Ellenőrzéskor K is ismert és a reláció fennállását vizsgáljuk. 62. Hajlított, nírt prizmatikus rúd esetén T = 0 0 τ z 0 0 τ z τ z τ z σ z a feszültségi tenzor mátria az z koordinátarendszerben, ahol a σ z normálfeszültség az egenes hajlításra vonatkozó képletből, a τ z pedig a nírófeszültséget adó képletből számítható: σ z = M h, τ z = T S () I I a(). Itt M h és T a hajlítónomaték és níróerő, az pontkoordináta illetve a jelzővonal ordinátája, S () ajelzővonal feletti ( >0) [jelzővonal alatti ( <0)] keresztmetszetrész,

12 statikai nomatéka az tengelre, a() pedig a keresztmetszet vastagsága a jelzővonalon. A τ z pedig a τ z feszültségvektor iránával kapcsolatos feltételből számítható. 63. Az b T M h z a ábra jelöléseit is felhasználva à τ z = 3 2 τ köz 1 b 2! 2 τ köz = T ab a nírófeszültség értéke. 64. A nírási középpont a nírásból adódó τ z és τ z feszültségeloszlások eredőinek metszéspontja. 65. A redukált I r másodrendű nomatékot a I r = A ρ 0 ρ 0 + η η2 da összefüggés értelmezi. A képletben ρ 0 a síkgörbe rúd súlponti szálának görbületi sugara, az η pontkoordináta az A keresztmetszeten a súlponthoz kötött ξ =, η koordinátarendszerben, ahol ξ merőleges a rúd síkjára. A görbületi középpontnak η = ρ 0 a koordinátája. 66. Legen ρ 0 az alakváltozás előtt a súlponti szál görbületi sugara. Jelölje ρ a hajlítás utáni görbületi sugarat. A görbületváltozást az 1 ρ 1 = M h ρ 0 I r E képlet adja, ahol M h a hajlítónomaték, I r a redukált másodrendű nomaték és E a rugalmassági modulus. 67. Síkgörbe rúd esetén a húzás és hajlítás hatására kialakuló normálfeszültségek a σ S = N A + M h ρ 0 A + M h ρ 0 I r ρ 0 + η η képletből számíthatók, ahol N és M h a rúderő és hajlítónomaték, A a keresztmetszet területe, I r a redukált másodrendű nomaték, ρ 0 a súlponti szál görbületi sugara. A képletet olan esetekben kell alkalmazni, amikor fennáll a ρ 0 < e ma egenlőtlenség. (Az e ma a keresztmetszet S súlpontja és a szélső szálak közötti távolság maimuma, az η pontkoordinátát a 68 számú válasz értelmezi.) 68. A síkgörbe rúdban felhalmozódó U alakváltozási energiát, ha csak a hajlítást vesszük figelembe, az U = 1 Mh 2 2 L I r E ds képlet adja, ahol az integrált a súlpontvonal teljes hosszán kell venni. M h ahajlítónomaték, I r a redukált másodrendű nomatékése a rugalmassági modulus.

13 69. A vizsgált szerkezeten két erőrendszer működik, elnevezés szerint a eges és kettes erőrendszer. Jelölje W 12 az eges erőrendszer munkáját a kettes erőrendszer okozta elmozdulásokon és forgásokon. A bevezetett jelöléssel összhangban W 21 a kettes erőrendszer munkája az eges erőrendszer okozta elmozdulásokon és forgásokon. Betti tétele szerint W 12 = W A vizsgált szerkezetet a P i támadáspontú erők és a P j támadáspontú F i = F i e i ; F i > 0, e i e i =1, i =1,...,n f M j = M j e j ; M j > 0, e j e j =1, j =1,...,n m erőpárok terhelik. Legen u i és ψ j rendre a P i illetve a P j pont elmozdulása és szögelfordulása. Az alakváltozási energiát U jelöli. Castigliano tétele szerint U U = u i e i = u i és = ψ j e j = ψ j. F i M j 71. Ismeretesek a szerkezetre ható terhelések. Ha az ismeretlen külső erők (támasztóerők és nomatékok) nem határozhatók meg statikai módszerekkel (egensúli egenletek segítségével), akkor a vizsgált rúdszerkezetet statikailag külsőleg határozatlannak nevezzük. 72. Ismeretesek a szerkezetre ható külső erők. Haabelsőerők nem határozhatók meg statikai módszerekkel (egensúli egenletek segítségével) akkor a vizsgált rúdszerkezetet statikailag belsőleg határozatlannak nevezzük. 73. A törzstartó eg statikailag határozottá tett eredetileg statikailag határozatlan tartó. A határozottá tétel során anni támaszt hagunk el, hog a törzstartó mind statikailag mind pedig kinematikailag határozott legen (azaz egensúli módszerekkel tisztázható az erőjáték és maga a tartó mozgásképtelen). 74. Egenes rúd tengelvonalán a rúdkeresztmetszetek súlpontjain áthaladó egenest értjük. Szokás a tengelvonalat súlponti szálnak is nevezni. A rugalmas vonal arúdterhelés hatására deformálódott tengelvonala. 75. A középvonalon megoszló hajlítónomatékokból a f = f z = f = I 0 I M h képlettel fiktív (képzelt) terhelést képezünk (I 0 referenica másodrendű nomaték) majd a középvonal pontjaiban a merevtestszerű mozgáson túli, tehát a rugalmas alakváltozásból származó szögelfordulást és elmozdulásokat a képzelt terhelésből számítjuk mint képzelt belsõ erőt és képzelt hajlító nomatékot. 76. Alábbiakban felhasználjuk az előző kérdésekre adott válaszok jelöléseit. Legen f = f z = f = I 0 I M h a tartó középvonalán működő fiktív (képzelt) és z iránú megoszló terhelés. Jelölje a fenti terhelésekhez tartozó fiktív belső erőket rendre B és B z. A tartó eg keresztmetszetének szögelfordulása feltéve, hog nincs a tartón közbülső csukló a ψ (s) = ψa {z} + B (s). A pontbeli forgás rugalmas forgás képletből számítható. Vegük észre, hog a második tag az f (vag ami uganaz az f z ) fiktív teherhez tartozó fiktív B (vag ami uganaz a B z )belsőerő(z középvonalú rúd esetén fiktív níróerő), amel statikai módszerekkel számítható.

14 77. A szokott jelölésekkel v P = v A (z P z A ) ψ A merevtestszerű mozgás P (z P z) f (s)ds A rugalmas mozgás afüggőleges elmozdulás. Vegük észre, hog a merevtestszerű mozgás a kezdőponti v A függőleges eltolódásból és a kezdőpont ψ A merevtestszerű forgásából adódik. A rugalmas mozgás pedig a tartóra működő f fiktív teherből adódó hajlítónomaték, amel statikai módszerekkel számítható. 78. A szokott jelölésekkel w P = w A +( P A ) ψ A merevtestszerű mozgás + P ( P ) f z (s)ds A rugalmas mozgás a vízszintes elmozdulás. Vegük észre, hog a merevtestszerű mozgás a kezdőponti w A vízszintes eltolódásból és a kezdőpont ψ A merevtestszerű forgásából adódik. A rugalmas mozgás pedig a tartóra működő f z fiktív teherből adódó hajlítónomaték, amel statikai módszerekkel számítható. 79. Stabilis a karcsú nomott rúd tekintett egensúli helzete ha az egensúli helzet megzavarását követően (a zavarás megszűnése után) a rúd visszatér a zavarás előtti egensúli helzetébe. 80. Kihajlás léphet fel, ha a karcsú rúdra működő F nomóerő nagobb vag egenlő mint az első (a legkisebb) kritikus erő azf krit. Ekkor az egenes alak ugan egensúli, de nem stabilis (vagis a rúd a legkisebb megzavarás hatására is elveszti egenes egensúli alakját és kihajlás lép fel). A kihajlás azért veszéles mivel a kihajlás során fellépő hajlítás tetemesen megnöveli a normálfeszültségek abszolut értékének maimumát. (Nomás helett hajlítás plusz nomás az igénbevétel.) 81. Karcsú, nomott prizmatikus rúd esetén σ kr = σ F σ F σ E λ ha 0 λ λ λ E (Tetmajer egenes) E π 2 E ha λ λ 2 E λ (Euler hiperbola) a kritikus feszültség. Itt σ F a foláshatár, σ E az aránossági határ, λ a rúd karcsusági ténezője, λ E a határkarcsúsági ténező. A σ kr (λ) függvént az ábra szemlélteti. σ F σ kr Tetmajer egenes σ E Euler hiperbola λ E λ