Bevezetés az elméleti zikába

Átírás

1 Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Kontinuumok mechanikája Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011

2 TARTALOMJEGYZÉK 01 Kontinuumok mechanikája A deformálható testek geometriája A deformációtenzor 7 02 Deformálható testek kinematikája Mérlegegyenletek A kontinuitás törvénye Általános mérlegegyenlet skalár mennyiség esetén Általános mérlegegyenlet vektoriális mennyiség esetén A deformálható testek dinamikája Deformációk termodinamikája A Hooke-törvény 16 1 Rugalmasságtan A Hooke-törvény Homogén feszültségek A nyírás Harántirányú összehúzódás nélküli nyújtás Csavart rúd, nyíróhullámok A hajlítás Elméleti rugalmasságtan Homogén deformációk Izotrop testek egyensúlyi egyenletei Rugalmas hullámok izotrop közegben Kristályok rugalmas tulajdonságai Rugalmas hullámok kristályokban 38

3 6 TARTALOMJEGYZÉK 01 Kontinuumok mechanikája Nagyon sok részecskéb l álló rendszerekben, ha a rendszert és dinamikáját jellemz térbeli méretekhez képest az alkotórészek közötti távolságok elhanyagolhatók, akkor a rendszert folytonos közegnek tekintjük, azaz olyannak, mely kitölti a tér egy részét Ennek legegyszer bb esetével találkoztunk a merev testek tárgyalásánál, mikoris ezt úgy tekintettük, hogy a közeget alkotó részecskék relatív mozgása a test egésszének mozgásához képest elhanyagolhatók Ugyanakkor a rendszert összetartó potenciális energiában a csekély relatív mozgások miatt fellép változás is elhanyagolható a tömegközéppontra vonatkoztatott haladási illetve forgási energiákhoz képest Egy ilyen testet egy hat szabadsági fokú rendszerként modelleztünk Amennyiben a közeg deformálható, a küls er k hatására alakot változtat olyan mértékben, hogy úgy geometriailag mint energetikailag szerepet kap az alkotórészek egymáshoz képesti elmozdulása A deformálható testeket két csoportba oszthatjuk: rugalmas: olyanok, melyek a küls er hatás megsz nte után visszanyerik eredeti alakjukat, például radírgumi, m anyag vonalzó, acélrugó rugalmatlan: olyanok, melyek maradandó alakváltozást szenvednek, mint például a gyurma, viasz A rugalmas állapotváltozás jellemz a gáz és folyékony halmazállapotú közegekre Ezekre a közös uidum nevet is használjuk A uidumok alakváltozásuk szempontjából lehetnek: összenyomhatók, mikoris a küls er hatás változása térfogatváltozást idéz el - els sorban a gázok, illetve összenyomhatatlanok, mely esetben a uidum az alakváltozás során megtartja térfogatát - els sorban a folyadékok Természetesen a fenti osztályozás már egy modellezési folyamat eredménye A valós testek a körülmények függvényében több osztályba is bekerülhetnek A rugalmasnak tekintett anyag is rugalmatlan alakváltozáson mehet keresztül, ha az alakváltozás nagymérték, például egy er sen megnyújtott rúgó vagy gumi A merev test is addig merev míg nincs kitéve olyan igénybevételnek, melyek az anyagot alkotó atomok szintjén összemérhet az azok közötti kölcsönhatással A talaj például a tektonikus mozgás során egy nagyon nagy tér és id skálán folyadékhoz hasonlóan viselkedik Egy gáz addig összenyomhatatlannak tekinthet, amíg a dinamika jellemz tér és id skáláin a nyomásban észlelt változások sokkal kisebbek mint a gáz nyomása A légzésünk modellezésekor a leveg t összenyomhatatlan tekinthetjük Ezt viszont nem tehetjük meg mikor a légköri jelenségeket tanulmányozzuk Hasonlóképpen a víz a gyakorlati esetek többségében összenyomhatatlannak tekinthet Viszont a mélyebb oceánfenék közelében a térfogatváltozás már számottev Szemben a merev testekkel a deformálható közeg esetén a szabadsági fokok száma is nagyon megn Normális körülmények között - szobah mérsékleten, tengerszinti nyomáson - egy cm 3 leveg ben 10 19, ugyanakkora térfogatú vízben molekula található Ekkora szabadsági fokkal rendelkez rendszer minden egyes szabadsági fokát nem tudjuk és nem is akarjuk leírni, mivel a túl sok információ nem segít a jelenség megértésében A számunkra érdekes zika elválasztható az érdektelent l a megfelel tér, id és energiaskálák azonosítása révén Az atomi szintet szilárdtest esetén angströmnyi (10 10 ), gáz

4 01 KONTINUUMOK MECHANIKÁJA 7 esetén átlagos szabad úthossznyi (10 7 ) távolságok jellemzik Id ben pedig a másodperc is hosszúnak számít Ezt a szintet mikroszkópikusnak nevezzük Ezzel szemben a deformálható testek mechanikája az atomi szintet sok nagyságrenddel meghaladó - ún makroszkópikus - skálán végbemen folyamatokkal foglalkozik Ez a skála a milliméter és másodperc töredékét l egészen a kozmikus távolságokig és id tartamokig nyúlik A pontrendszerek mechanikájában láttuk, hogy a mechanika alapelvei függetlenek a tér- és id skálától Ugyanakkor ezen rendszerek viselkedésével kapcsolatban hasznos adatokkal szolgálnak a rendszer egésszére vonatkoztatott helyzet - a pontrendszer tömegközéppontja - és az impulzus, energia, impulzusnyomaték Láttuk, hogy az utóbbi három, bizonyos feltételek mellett, megmaradó mennyiség és a tömeghez hasonlóan additívak Ez azt jelenti, hogy a makroszkópikus megfelel jük is értelmezhet és ezeket extenzív mennyiségeknek nevezzük 1 Ezeket teljes általánossággal értelmezni tudjuk egy tetsz leges térbeli tartomány esetén mégpedig úgy, mint az illet tartományban található részecskékhez rendelt megfelel additív mennyiségek összegét Ha a térbeli tartomány jóval kisebb mint a minket érdekl jelenségben megjelen bármely hosszúság - például hullámhossz vagy görbületi sugár - akkor a tartományban alakja nem számít és az illet extenzív mennyiség arányos lesz a tartomány térfogatával Tekintsük a deformálható közeg egy, makroszkópikus skálán kicsinek számító, tartományát Legyen ennek térfogata V és jellemezzük helyzetét az r-el jelölt tömegközéppontjával A tartományban található nagy számú mikroszkópikus részecske teljes tömegét jelöljük m-el 2 Ha ezt a kicsi de makroszkópikus térfogatot matematikailag eleminek, azaz tetsz legesen kicsinek tekintjük, akkor a tömegs r ségnek nevezett ρ(r, t) = m lim V 0 V = dm dv határérték csak a tartomány helyzetét l illetve az id t l függ, független a tartomány méretét l és alakjától Hasonlóképpen értelmezhetjük a π(r, t) impulzus-, illetve e(r, t) energias r ségeket Az elemi tartományban található valamely részecske mozgása a tartomány tömegközéppontjának illetve a részecskének a tömegközépponthoz viszonyított mozgásából tev dik össze Miképpen a pontrendszerek mechanikájánál láttuk, a teljes energia a tömegközépponti mozgásból származó energia illetve a bels energia összege Az utóbbi s r ségét ɛ(r, t)-vel jelölve megállapíthatjuk, hogy e = ρv2 2 + ɛ 011 A deformálható testek geometriája A deformációtenzor Küls er k hatására a közeg deformálódik, azaz változtatjak alakját és térfogatát Makroszkópikus szinten a közeg elmozdulása az elemi tartományok tömegközéppontjainak helyzetváltozásával jellemezhet A test egy A pontjának helyzetét az r = (x 1, x 2, x 3 ) 1 Az extenzív és intenzív mennyiségek termodinamikai fogalmak Az el bbi olyan mennyiséget jelöl, melyre fennáll, hogy két azonos rendszer egyesítése réven az illet mennyiségek összeadódnak Az intenzív mennyiségek pedig megegyezik az eredeti két rendszer megfelel értékeivel 2 Mikroszkópikus id skálán a tömeg értéke uktuál, viszont makroszkópikus szinten ezt helyettesítjük az id beli átlagával

5 8 TARTALOMJEGYZÉK helyzetvektorral adjuk meg A deformáció során az adott pont elmozdul az r = r + u(r) pontba Az u vektort deformációvektornak (elmozdulásvektornak) nevezzük A deformációteret folytonosnak tekintjük ezért az r ponthoz tetsz legesen közeli r + dr helyzet B pont u(r + dr) elmozdulást szenved, így a deformációt követ en a két pont helyzete a dr = dr + du (1) elemi vektorban különbözik egymástól Az elmozdulásvektor teljes dierenciája indexes felírásban du i = u i x j dx j 1 ábra Deformáció geometriája Deformációról akkor beszélünk, ha a két pont közötti távolság változik Az elemi távolság négyzete dl 2 = dr dr = dx dx dx 2 3 = dx i dx i A (1) egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve a a deformáció el tt és után mért elemi távolságok közötti összefüggés: dl 2 = dl 2 + 2du dr + du du = dl u i dx j dx i + u k u k dx i dx j = x j x i x j ( = dl 2 ui + + u j + u ) k u k dx i dx j = x j x i x i x j = dl 2 + 2u ij dx i dx j, ahol az utolsó lépésben a u i / x j tenzort annak szimmetrikus összetev jével helyettesítettük Ez azért lehetséges, mivel a szorzatban megjelen dx i dx j is a két index felcseré-

6 01 KONTINUUMOK MECHANIKÁJA 9 lésével szemben egy szimmetrikus kifejezés Az így kapott u ij = 1 ( ui + u j + u ) k u k, i = 1, 2, 3 (2) 2 x j x i x i x j szimmetrikus tenzort deformációtenzornak nevezzük Ez a deformáció mértékét jellemzi a tér és az id egy adott pontjában Amennyiben egy adott r pontban és t pillanatban a tenzor mind a kilenc eleme nulla, következik, hogy az illet pont közvetlen közelében, lokálisan, nem lépett fel deformáció Kis deformációk esetén u i x j 1, és a (2) kifejezésében a harmadik tag elhanyagolható A deformálható testek leglényegesebb tulajdonságai leírhatók ebben a határesetben is, ezért a deformációtenzor a következ kben használt alakja: u ij = 1 ( ui + u ) j, i = 1, 2, 3 (3) 2 x j x i Ellen rizhetjük, hogy a merevtestre jellemz távolságtartó transzformációknak, eltolásnak és forgatásnak, megfelel deformációmez k deformációtenzora elt nik Eltolás esetén az u(r) =állandó homogén deformációmez összes deriváltja nulla Egy n irányú tengely körüli elemi δϕ forgatás esetén pedig u i = (r nδϕ) i = ε ilm x l n m δϕ, és u i x j = ε ilm δ lj n m δϕ = ε ijm n m δϕ = ε jim n m δϕ = u j x i Mivel a tenzor szimmetrikus, minden pontban f tengelyre transzformálható, amikoris a tenzor diagonális, azaz u 11, u 22, u 33 elemei kivételével mind nullák Ebben a koordinátarendszerben u i / u j = 0, ha i j, azaz a deformációvektor egyes összetev i csak a megfelel irányban változnak - u x az x irányban, u y az y irányban, stb Ennek gyelembevételével (1) indexes felírásban: dx i = dx i + u i x i dx i = (1 + u ii )dx i, ahol nem alkalmaztuk az összegzési konvenciót Innen az egyes irányokban történ relatív megnyúlás dx i dx i dx i = u ii Ha a dx 1, dx 2 és dx 3 három különálló, a koordinátarendszer tengelyeivel párhuzamos, elemi helyzetkülönbség vektor nem elt n összetev i dr 1 = (dx 1, 0, 0), dr 2 = (0, dx 2, 0), dr 3 = (0, 0, dx 3 ) akkor ezek vegyes szorzata megadja a deformáció el tti dv = dx 1 dx 2 dx 3 elemi térfogatot A deformációt követ en dv = dx 1dx 2dx 3 = dv (1 + u 11 )(1 + u 22 )(1 + u 33 ) = dv (1 + u 11 + u 22 + u 33 ) + O(u 2 ) A jobboldalon, a deformációtenzor elemeiben egynél magasabb fokú tagokat elhagyva az elemi térfogat relatív változása dv dv dv = u ii, (4)

7 10 TARTALOMJEGYZÉK ahol az összegzési konvenciót alkalmaztuk (4) jelent ségét az a tény adja, hogy a deformációtenzor nyoma (átlós elemeinek összege) egy invariáns mennyiség Bár az összefüggéshez egy sajátos koordinátarendszer feltétele mellett jutottunk el, érvényessége kiterjeszthet tetsz leges koordinátarendszerre (4) alapján a deformáció során bekövetkez térfogatváltozást az u ii összeg határozza meg Ha ez az összeg elt nik akkor a térfogat állandó marad, ilyenkor nyírásról beszélünk Az ellentétes eset, hogy a deformáció csak térfogaváltozással jár, az alak nem változik Ilyenkor a test bármely térfogateleme önmagával hasonló marad, azaz u ij =állandó δ ij alakú Az ilyen deformációt egyenletes összenyomásnak nevezzük Egy tetsz leges deformációt mindig el állíthatunk egy tiszta nyírás és egy egyenletes összenyomás összegeként Ehhez elég az alábbi azonosság felhasználása : u ij = (u ij 13 ) δ iju ll δ iju ll Az els tag tiszta nyírást ír le, mivel átlója elt nik, a második pedig egyenletes összenyomásnak felel meg 02 Deformálható testek kinematikája A korábban tanulmányozott geometriai változások véges id alatt zajlanak A r tömegközéppontú elemi cellában található anyag v(r, t) = u(r, t) t sebességgel halad 3 A közeget jellemz zikai mennyiségek is tért l és id t l függ mez k Ezek változását két féle megközelítésben tanulmányozhatjuk Vegyünk egy adott ϕ(r, t) mez t és annak a dϕ = ϕ ϕ dt + t r dr teljes dierenciálját Az ún Euler-i leírásmód szerint az elemi cellát rögzítettnek tekintem térben (dr), és az illet cellába be- illetve kiáramlik az anyag és vele együtt a különböz zikai mennyiségek is dt id alatt a változás dϕ = ϕ t dt, tehát dϕ dt = ϕ t Megtehetjük, hogy a geometriai elemi cellát az anyaghoz kötjük, és az anyaggal együtt mozgónak tekintjük Ebben a Lagrange-i leírásmódnak ismert közelítésben az elemi cellában az anyagmennyiség (tömeg) állandó Az anyag pályájának folytonossága miatt a 3 Jogosan tev dik fel a kérdés, hogy miképpen egyeztethet össze a sebesség fenti hely és id függése a megszokott v = dr/dt meghatározással? Az utóbbiban r vektor az anyaghoz kötött geometriai pont helyzetére vonatkozik A v(r, t) függvényben megjelen helyparaméterek az elemi tartomány azonosítását szolgálja és mint ilyen a pontrendszereknél használt részecskeindexnek felel meg Ezek a paraméterek egymástól és a közeg állapotától függetlenek és tetsz leges értéket vehetnek fel a térben Mint ilyen a két esetben megjelen helyzetvektornak semmi köze egymáshoz

8 03 MÉRLEGEGYENLETEK A KONTINUITÁS TÖRVÉNYE 11 különböz id - és térpontok nem függetlenek egymástól Az elemi elmozdulás és id hossz között a dr = vdt összefüggés teremt kapcsolatot és a mozgó pontot jellemz ϕ id beli változását a dϕ dt = ϕ t + v ϕ ún szubsztanciális derivált adja meg 03 Mérlegegyenletek A kontinuitás törvénye Tekintsük egy deformálható közeg egy egyszeresen összefügg D tartományát és a közrezárt anyag valamely extenzív Φ D (t) mennyiségét Ezt a megfelel ϕ(r, t) = dφ/v s r ség integráljaként kaphatjuk meg: Φ D (t) = ϕ(r, t)dv D Konkrét esetben a Φ és ϕ lehetnek például a tömeg (M) és tömegs r ség (ρ), impulzus (P) és impulzuss r ség (π) vagy energia (E) és energias r ség (e) Tegyük fel, hogy megmaradó mennyiségr l van szó, azaz ha követjük a tartomány belsejében található anyag mozgását, akkor az illet mennyiségre fennáll, hogy dφ D dt = 0 Ez azt jelenti, hogy a [ ] d 1 ϕ(r, t)dv = lim ϕ(r, t + t)dv ϕ(r, t)dv = = 0 dt D t 0 t D(t+ t) D(t) Mivel ϕ(r, t + t) ϕ(r, t) = ϕ t D(t+ t) t, és dv ahol D a D(t + t) és D(t) tartományok különbsége ϕ(r, t) dv + ϕv ds = 0 D t D D(t) dv = D dv, Itt gyelembe vettük, hogy a D tartomány a dv = dr ds térfogatelemekb l tev dik össze, ahol a r = v t a felületelem elemi elmozdulása dφ D (t) = d ϕ(r, t)dv = j(r, t) ds = dt dt D D ϕ(r, t) = dv + ϕv ds = D t D ϕ(r, t) = dv + (ϕv)dv, D t D ahol az második jobboldali tagban a Gauss-Osztogradszkij tétel alkalmazásával alakítottuk át a felületi integrált térfogati integrállá Ezt követ en

9 12 TARTALOMJEGYZÉK 2 ábra Az anyaghoz rögzített D(t) tartomány változása t id alatt egy v(r, t) áramlási sebességmez vel jellemzett közegben ϕ(r, t) dv + (ϕv + j) ds = 0 D t D Mivel bármely D tartományra érvényes a fenti összefüggés ezért egyenérték a ϕ t + (ϕv + j) = 0 mérlegegyenletnek nevezett parciális dierenciálegyenlettel 031 Általános mérlegegyenlet skalár mennyiség esetén ϕ t + j = 0 (5) ϕ - valamely extenzív skalár Φ mennyiség térfogati s r sége: ϕ = dφ/dv j - árams r ség (vektoriális mennyiség) Az árams r ségnek több összetev je lehet: j = vϕ + j rev + j irrev (6) vϕ - advekció (az anyaggal való együttmozgásnak tulajdonítható áram) j rev - reverzibilis áram (pl energia esetén a nyomáskülönbség munkavégzése révén energia áramlik bármely zárt tartományba) j irrev - irreverzibilis (transzport) áram, valamely disszipatív folyamat eredménye Egy intenzív mennyiségben pl h mérséklet, tömegs r ség fennálló térbeli kiegyensúlyozottlanság ennek megszüntetésének irányába ható áramát generálja a megfelel extenzív mennyiségnek pl bels energia, tömeg Például, az energia esetén a nagy bels energias r ség, azaz h mérséklet különbségek olyan h áramot generálnak, ami a h mérséklet kigyenlít désének irányában hat

10 04 A DEFORMÁLHATÓ TESTEK DINAMIKÁJA Általános mérlegegyenlet vektoriális mennyiség esetén ahol A fentebbiek kiterjeszthet k vektoriális mennyiségre is: θ t + Ĵ = 0, azaz θ i t + jj ij = 0, (7) θ - valamely extenzív vektoriális Θ mennyiség térfogati s r sége: θ = dθ/dv Ĵ - megfelel árams r ség (tenzoriális mennyiség) Az árams r ségnek összetev i: Ĵ = θ v + Ĵrev + Ĵirrev, azaz J ij = θ i v j + J rev ij + J irrev ij (8) v θ - advekció (az anyaggal való együttmozgásnak tulajdonítható áram) Ĵrev - reverzibilis áram (pl a nyomáskülönbség hatására impulzus áramlik bármely zárt tartományba) Ĵirrev - irreverzibilis áram Például, az impulzus esetén ha viszonylag közel elhelyezked rétegek áramlási sebességei nagymértékben különböznek, ezek kiegyenlít dését el segít impulzuscsere (kölcsönhatás) lép fel a rétegek között 04 A deformálható testek dinamikája Ezt a v(r, t) = π(r, t)/ρ(r, t) sebességmez vel modellezzük A deformáció során, a molekulák helyzetének megváltozása miatt, fellép bels er ket bels feszültségeknek nevezzük A rugalmasságtan szempontjából rendkivül fontos az a körülmény, hogy a molekuláris er k hatótávolsága igen kicsiny, a molekulák átlagos távolságának nagyságrendjébe esik Az általunk vizsgált makroszkopikus elméletben nullának kell venni A bels feszültséget létesít er k közelható er k, csak az egymáshoz legközelebb fekv részecskék között hatnak Tehát a test egy kiszemelt részére a környezete az illet rész határán hat Ha F az egységnyi térfogatra ható er, akkor egy tetsz leges térfogatára ható ered er : FdV Az ered er t a korábban mondottak értelmében az egyes felületelemekre ható er k összegeként, az illet térfogat határfelületére vett integrálással lehet kiszámítani Ezért az F i vetorkomponensek egy másodrend tenzor divergenciája, azaz F i = σ ik x k alakú kell, hogy legyen Ekkor valamely térfogatra ható er el allítható az t határoló zárt felületre vett integrál formájában : σik F i dv = dv = σ ik df k, x k

11 14 TARTALOMJEGYZÉK ahol df i a df felületelem-vektor egy komponense A σ ik tenzort feszültségtenzornak nevezzüka σ ik df k a df felületelemre ható er i edik komponensea σ ik feszültségi tenzor egy eleme az x k normálisú, egységnyi felületre ható er i edik komponense A σ ik df k el jelét az szabja meg, hogy az er az integrációs felület által határolt térfogatra a test többi része által kifejtett er Az er, amelyet a test fejt ki környezetére ellenkez el jel σ ik df k, ahol df a küls normális irányába mutat Határozzuk meg a test valamilyen térfogatára ható er k nyomatékát Az F er nyomatékát az F i x k F k x i komponensekkel megadott másodrend antiszimmetrikus tenzorból származtathatjuk A dv térfogatra ható er nyomatéka (F i x k F k x i )dv A teljes térfogatra ( σil M ik = (F i x k F k x i )dv = x k σ ) kl x i dv, x l x l forgatónyomaték hat Átalakíthatjuk az alábbi ( ) (σil x k σ kl x i ) x k x i M ik = dv σ il σ kl dv x l x l x l formábamivel x k x l = δ kl egységtenzor, és δ kl σ il = σ ik, δ il σ kl = σ ki, következik : M ik = (σ il x k σ kl x i )df l + (σ ki σ ik )dv Az M ik mennyiség akkor állítható el felületi integrálként ha: σ ik = σ ki, a feszültségi tenzor szimmetrikus Egyenletes összenyomás esetén a feszültségi tenzor : σ ik = pδ ik A negatív el jel amiatt van, hogy az er a felület bels normalisának irányában hat A testek felületére általában a mer leges nyomóer mellett, érint leges er k, ún nyíró feszültségek is hatnak Egyensúly esetén a bels feszültságekb l származó er k kompenzálják egymást, azaz F i = 0 A deformált test egyensúlyát megadó egyenlet : σ ik x k = 0 Ha a test gravitációs er térben van az egyensúly feltétele az F + ρg eltünése, azaz σ ik x k + ρg i = 0 Ha P a test felületére ható küls er, akkor a df felületelemre Pdf er hategyensúly esetén ezt kompenzálja a σ ik df k, ami a megfelel felületelemre a bels feszültségek által kifejtett er Teljesülni kell tehát a P i df σ ik df k = 0

12 04 A DEFORMÁLHATÓ TESTEK DINAMIKÁJA 15 egyenl ségnek A df k felületelem-vektorkomponenst az n (küls ) normális egységvektorral így fejezhetjük ki : df k = n k df, ezzel a fenti feltétel : σ ik n k = P i Ez a határfeltétel az egyensúlyban lev test egész felületén teljesül 041 Deformációk termodinamikája Tekintsünk valamilyen deformált testet Deformációja oly módon változik meg, hogy az u i elmozdul'svektor δu i megváltozása kicsiny Meghatározzuk a bels feszültségek által végzett munkát Az F i = σ ik x k er t a δu i elmozdulással megszorozva, és a test térfogatára integrálva : σik δrdv = δu i dv x k ahol δr-rel a bels er knek a test egységnyi térfogatára vonatkoztatott munkáját jelöltük Parciálisan integrálva : δr dv = σ ik δu i df k σ ik δu i x k Végtelen kiterjedés közeget tekintve, és feltéve, hogy a határon a deformációk és velük együtt a feszültségek is elt nnek, következik, hogy a az els integrál eltünik, a második integrál pedig, kihasználva σ ik szimmetriáját : δr dv = 1 ( δui σ ik + δu ) k dv = (9) 2 x k x i Tehát : = 1 2 σ ik δ ( ui x k + u k x i ) δr = σ ik δu ik dv = dv σ ik δu ik dv (10) Feltételezzük, hogy a deformáció oly lassan megy végbe, hogy a test minden id pillanatban termodinamikai egyensúlyi állapotban van, tehát termodinamikailag megfordítható E A bels energiának végtelen kicsi de megváltozása a test adott egységnyi térfogataáltal közölt h és a bels feszültségb l származó er k által végzett dr munka különbségemegfordítható folyamat esetén a h közlés T ds Ilyen módon de = T ds drbehelyettesítve dr fenti kifelyezését : de = T ds + σ ik du ik Ez a képlet a deformálható te4stekre vonatkozó alapvet termodinamikai összefüggés Egyenletes összenyomás esetén a feszültségtenzor σ ik = pδ ik Ekkor σ ik du ik = pδ ik du ik = p du ii Láttuk, hogy az u ii összeg éppen a deformáció során bekövetkez relatív térfogatváltozás Egységnyi térfogatot tekintve ez éppen a térfogatnak a megváltozását jelenti,du ii pedig a térfogatváltozás dv elemea fenti termodinamikai összefüggés ekkor a szokásos alakba írható : de = T ds p dv

13 16 TARTALOMJEGYZÉK Az F = E T S szabadenergiát bevezetve df = S dt + σ ik du ik ahonnan állandó T h mérséklet mellett : ( ) F σ ik = u ik A test Φ termodinamikai potenciálja : Φ = E T S σ ik u ik = F σ ik u ik Ez a szokásos Φ = E T S + P V kifejezés általánosításakövetkezik, hogy : dφ = S dt u ik dσ ik, T és ( ) Φ u ik = σ ik T 042 A Hooke-törvény A test F szabadenergiáját ki kell fejeznünk a deformációtenzor komponenseinek függvényeként ahoz hogy az el z leg levezetett σ ik = F u ik összefüggésb l megkapjuk a rugalmasságtan alapegyenleteit Mivel a deformációk kicsik ezért a szabadenergia u ik hatványai szerint sorba fejthet Minthogy skaláris mennyiség, a sor minden tagja skaláris kell legyenmivel u ik = 0 esetén σ ik = 0 feltételnek is fenn kell állnia, az F szabadenergia u ik hatványai szerint haladó sorában lineáris tagok nem léphetnek fel Az u ik szimmetrikus tenzor komponenseib l két független másodrend skalár képezhet : az u ii négyzetösszeg és az u 2 mennyiség Az F-et ik u ik hatványai szerint a másodrend tagokig bezárólag sorba fejtve : F = F 0 + λ 2 u2 ii + µu 2 ik Ez a szabadenergia általános kifejezése izotrop test esetén A λ és µ mennyiségeket Laméállandóknak nevezzük Az F-et a következ formába írhatjuk : ( F = µ u ik 1 ) 2 3 δ iku ll + K 2 u2 ll A K és µ mennyiségeket kompressziómodulusnak, illetve torziómodulusnak nevezzük Az összefüggés a Lame-állandókkal : K = λ µ Termodinamikai egyensúly állapotban a szabadenergia minimális Az F-nek küls er k hiányában az u ik = 0 helyen minimuma van Ez azt jelenti, hogy a kvadratikus alak pozitív Ebbl az következik, hogy a K és µ együtthatók pozitívak K > 0, µ > 0

14 04 A DEFORMÁLHATÓ TESTEK DINAMIKÁJA 17 Most számoljuk ki a F u ik kifejezést df = Ku ll du ll + 2µ (u ik 13 ) u llδ ik d (u ik 13 ) u llδ ik A második tag zárójelének δ ik -val szorzata nullát ad Így marad, hogy df = Ku ll du ll + 2µ (u ik 13 ) u llδ ik du ik, vagy du ll -et δ ik du ik alakban írva : [ df = Ku ll δ ik + 2µ (u ik 13 )] u llδ ik du ik Ebb l a feszültségtenzor : σ ik = Ku ll δ ik + 2µ (u ik 13 u llδ ik ) Ez a kifejezés meghatározza a feszültségtenzort a deformációtenzor segítségével izotrop testek esetén Látható, hogy ha a deformáció tiszta nyírás vagy tiszta egyenletes összenyomás, akkor a σ ik és u ik tenzorok közötti összefüggésben csak a torziómodulus, illetve a kompressziómodulus szerepel A fordított összefüggés meghatározásához felhasználjuk, hogy σ ii = 3Ku ii, vagyis u ii = 1 3K σ ii Ezt behelyettesítve, a fenti σ ik összefüggésébe u ik = 1 9K δ ikσ ll + 1 2µ (σ ik 13 δ ikσ ll ) Egyenletes összenyomás esetén a feszültségtenzor σ ik = pδ ik alakú Ez esetben tehát Az uii p : u ii = p K hányadost kis deformációk esetén az 1 V 1 K = 1 V ( ) V p ( ) V p T T dierenciális alakban írhatjuk Így Az 1 K mennyiséget kompreszibilitásnak nevezzüklátjuk,hogy az u ik deformációtenzor a σ ik feszültségtenzor lineáris függvényemás szavakkal:a deformáció arányos a testre ható er vel Ez kis deformációk esetén a Hooke-törvény Mivel F kvadratikus függvény, Euler homogenitási tételéb l következik, hogy : Minthogy F u ik u ik F u ik = 2F = σ ik, ebb l következik, hogy F = σ iku ik 2

15 18 TARTALOMJEGYZÉK Könny belátni, hogy az F a σ ik -kban is kvadratikus, tehát : tehát az el z kkel összevetve σ ik F σ ik = 2F u ik = F σ ik Hangsúlyozni kell azonban, hogy míg σ ik = F u ik általános termodinamikai összefüggés, a megel z képlet érvényessége a Hooke-törvény teljesülését l függ

16 1 FEJEZET Rugalmasságtan 11 A Hooke-törvény A rugalmasságtan azon anyagok viselkedését írja le, amelyek a deformálóer megszünte után visszanyerik eredeti alakjukat és méreteiket Bizonyos fokig minden szilárd test rugalmas A rugalmasságtan határai akkor jelenkeznek amikor olyan nagy er hat, hogy a test maradandó (plasztikus) alakváltozást szenved Elég gyenge er hatására az anyagon belüli különböz pontok relatív elmozdulása arányos az er vel,azt mondjuk, hogy az anyag rugalmas 11 ábra Homogén feszültség hatására megnyúló hasáb Nézzünk egy hasábot, amelynek a hossza a, szélessége b, magassága c (11) Az élekre mer leges téglalap alakú felületpárok területe rendre: A, B és C Ha az a oldalél mentén hatunk a hasáb két végére F húzóer vel, a hasáb hossza a-val megn Többféle anyaggal végzett kísérlet azt mutatja, hogy az er hatás irányában a megnyúlás arányos az er vel, azaz a F Ez az összefüggés a Hooke-törvény Könny belátni, hogy a a hosszváltozás, adott F er esetén, arányos a rúd hosszával és fordítottan arányos A keresztmetszetével: a F a A 19

17 20 FEJEZET 1 RUGALMASSÁGTAN Az egységnyi felületre vonatkoztatott er t F A feszültségnek nevezzük,az egységnyi hosszra vonatkoztatott megnyúlást pedig relatív nyúlásnak Az el bbi összefüggést az alábbi formában írhatjuk F A a a A feszültség és a relatív megnyúlás arányossága egyenletbe megy át, gyelembe véve az anyag rugalmassági tulajdonságát kifejez E Young modulus anyagállandót A Hooketörvény végs alakja : F A = E a a A Hooke-törvénynek van egy másik vonatkozása is Ha az anyagdarabot megnyújtjuk az egyik irányban, akkor az összehúzódik az erre mer leges irányban Ez az összehúzódás arányos a b szélességgel és a a a relatív megnyúlással Az oldalirányú (relatív- )összehúzódás mértéke ugyanaz az anyagminta szélességben és magasságban, és úgy írható fel, hogy b b = c a = σ c a, ahol σ anyagállandót az ún Poisson-állandónak nevezzük Kés bb megmutatjuk, hogy 0 < σ < 1 2 Az E és a σ állandók egyértelm en meghatározzák a homogén, izotróp (azaz nem kristályos) anyag rugalmas tulajdonságait Egy ideig korlátozódjunk csak az ilyen típusú anyagokra Lehetséges az E, σ állandók helyett más két független állandót használnunk, amelyek kifejezhet k σ-val, és E-vel Még egy általános törvényre, a szuperpozició elvére van szügségünk Mivel az el z két törvény az er ben és elmozdulásban lineáris, ezért teljesülnek a szuperpozició feltételei: Szuperpozíció elve: ha van egy er rendszerünk és az általa létrehozott elmozdulás, majd ehhez az er rendszerhez hozzáteszünk egy másikat, amely további elmozdulást hoz létre, akkor az ered elmozdulás annak a két elmozdulásnak az összege lesz, amelyet az egyes er rendszerek külön-külön hatva egymástól függetlenül hoztak volna létre 12 Homogén feszültségek Vizsgáljuk meg, mi történik, ha egy hasábot vízzel telt edényben homogén hidrosztatikus nyomásnak vetünk alá (12 ábra) Mivel a hidrosztatikus nyomás homogén, ezért a feszültség a hasáb minden oldalán ugyanakkora A hosszirányú és keresztirányú er kre és elmozdulásokra alkalmazzuk a szuperpozício elvét (13 ábra) A hasáb fed lapjaira ható p nyomás p/e relatív összehúzódáshoz vezet, tehát értéke negatív: a 1 a = p E

18 12 HOMOGÉN FESZÜLTSÉGEK ábra Hasáb, melyre homogén hidrosztatikus nyomás hat A hasáb másik két élének is ugyanaz lesz a relatív összehúzódása: b b = c c = p E ami viszont a második egyenlet alapján a hosszirányú kiterjedéshez vezet a 2 a = a 3 a = +σ p E Az a oldalél teljes a változása a három alakváltozás szuperpoziciójának a = a 1 + a 2 + a 3 eredménye Azt kapjuk, hogy a a = p (1 2σ) E Minthogy a feladat megoldása mindhárom dimenzióban szimmetrikus, ezért b b = c c = p (1 2σ) E Határozzuk meg a hasáb V = abc térfogatának relatív változását ( V/V ) Mivel V + V = (a + a)(b + b)(c + c) = V (1 + a a a magasabbrend tagokat elhanyagolva: A megel z eredmények alapján V V a a + b b + c c V V = 3 p (1 2σ), E b c )(1 + )(1 + b c ), amit írhatunk p = K V V formában, vagyis a p térfogati feszültség arányos a relatív térfogatváltozással A K együttható az anyag térfogati rugalmassági modulusza, mely a többi állandó segítségével így fejezhet ki: E K = 3(1 2σ)

19 22 FEJEZET 1 RUGALMASSÁGTAN 13 ábra A hidrosztatikus nyomás három longitudinális összenyomás szuperpozíciójaként fogható fel Ebb l már az is kit nik, hogy azért kell a K hogy a σ Poisson-állandónak 1 2 nél kisebbnek lennie, térfogati rugalmassági modulus, a meg gyelésekkel öszhangban, ne legyen negatív 13 A nyírás Nyíráson a 14 ábrán látható igénybevételt értjük Látható, hogy a nyírás esetén a rugalmas közeg felületére az er érint legesen hat Az egységnyi felületre érint legesen ható er t nyírófeszültségnek nevezzük Megmutatjuk, hogy nyíró igénybevétel esetén fellép feszültség ekvivalens két egymásra mer leges, egyenl nagyságú, a kocka eredeti lapjaival 45 -os szöget bezáró húzó-és nyomófeszültség kombinációjával El ljáróban vessünk egy pillantást az ábrán felvázolt kockára ható er kre és a benne ébred feszültségekre (?? ábra) A függ leges irányú összenyomás és a vízszintes irányú nyújtás eredményeként, a vízszintes irányú hosszváltozás, a kockalap felülete esetén l2 = A-val jelölt l 1F 1F = +σ l EA EA A függ leges irányú hosszváltozás ugyanakkora, csak éppen ellentétes el jellel Most ugyanerre a kockára hassanak nyíróer k Az er knek egyenl nagyságúnak kell lennie, különben a kocka nem maradhatna egyensúlyban A két egymásmelletti G

20 13 23 A NYÍRÁS 14 ábra Kocka homogén nyíró igénybevétele 15 ábra A kocka alap- és fed lapjára nyomó-, két oldaláara pedig egyenl nagysagú húzóer k hatnak er ered je 2G nagyságú húzó-ill nyomóer t produkál a Következésképpen a két feszültség értéke G/A 2A felületre (16 ábra) Ezzel bebizonyítottuk, hogy a húzás és nyomás kombinációja ekvivalens a nyírással A fentebb kapott eredmény felhasználásával belátható, hogy a 17 ábrán az átló hosszváltozása 1+σG D = D E A Gyakran kényelmesebb, ha a relatív nyíró elmozdulást azzal a ϑ szöggel jellemezzük, amellyel a kocka elhajlott Az 17 ábra meggy z arról, hogy a fels él vízszintes irányú eltolódása 2 D-vel δ egyenl Tehát: δ ϑ= = l 2 D D =2 l D Az egységnyi felületre ható érint irányú er a τ = G/A két összefüggésb l következik, hogy ϑ=2 1+σ τ E lesz a nyírófeszültség Az e z

21 24 FEJEZET 1 RUGALMASSÁGTAN 16 ábra 17 ábra A relatív nyírási elmozdulás ϑ szöge D/D-vel egyenl Felírva, feszültség=állandó relatív elmozdulás formában: τ = µϑ A µ arányossági tényez t nyírási-vagy torzió-modulusnak nevezik és a következ képpen fejezhet ki E és σ segítségével: E µ = 2(1 + σ) A nyírási modulusnak mindenképpen pozitívnak kell lennie, következik, hogy σ-nak 1- nél nagyobbnak kell lennie Ezt az el z ekkel összevetve σ értékének 1 és + 1 közé kell 2 esnie; a gyakorlatban azonban a σ mindig nagyobb, mint nulla 14 Harántirányú összehúzódás nélküli nyújtás Egy négyszög keresztmetszet mintadarabot kell megnyújtanunk oly módon, hogy igyanakkor megakadályozzuk harántirányú összehúzódását Ahhoz, hogy ezt elérjük, olyan oldalirányú er hatásokra van szükség, amelyek meggátolják, hogy az anyagdarab vastagsága megváltozzon Az 18 ábrán feltüntetett er kre alkalmazzuk a szuperpozício

22 14 HARÁNTIRÁNYÚ ÖSSZEHÚZÓDÁS NÉLKÜLI NYÚJTÁS 25 elvét Az ered relatív elmozdulások az egyes élek irányában: l x l x = 1 E F x σ F y σ F z = A x E A y E A z 18 ábra Harántirányú összehúzódás nélküli nyújtás l y l y l z l z = 1 E = 1 E = 1 E [ Fx A x σ [ Fy σ A y [ Fz σ A z ( Fy + F )] z A y A z )] ( Fx + F z A x A z ( Fx + F y A x A y A l y = l z = 0, egyenleteteket megoldva F y -ra és F z -re, megoldásunk Behelyettesítve az els egyenletbe : F y = F z = σ f x A y A z 1 σ A x )],, l x l x = 1 E ) (1 2σ2 Fx = 1 σ A x = 1 E ( 1 σ 2σ 2 1 σ Gyakran találkozhatunk e képlet fordítottjával : ) Fx A x F A = 1 σ (1 + σ)(1 2σ) E l l Vagyis, ha megakadályozzuk az oldalak elmozdulását, a Young-modulus egy 1-nel nagyobb, a σ-nak függvényével szorzódiktehát ha a négyszög keresztmetszet mintadarab oldalait rögzítjük, akkor jobban ellenáll a nyújtásnak

23 26 FEJEZET 1 15 RUGALMASSÁGTAN Csavart rúd, nyíróhullámok Egy csavart rúd esetén a test egyes részeire eltér nagyságú feszültségek hatnakaz 1 ábrán láthatö hengeres alakú l a hosszuságú, sugarú rúd egyik vége a másikhoz képest ϕ szöggel csavarodott eltekintsük úgy a rudat, mintha sok-sok vékonyfalú hengeres cs b l lenne összerakva 19 ábra a) Megcsavart hengeres rúd; b) megcsavart hengeres cs ; c) a cs falának egy kis darabjára nyíró igénybevétel hat r r vastafságú cs gy darabjáta henger minden elemére nyíróer hat ; a ϑ nyírási Vizsgáljuk meg, hogy mi történik az egyes csövekbena 19 ábrán felvázoltuk az sugarú, szög : ϑ= rϕ l és az anyagban fellép nyírófeszültség : τ = µϑ = µ rϕ l Másrészt a nyírófeszültség egyenl a 3ábrán felvázolt négyzet oldalai mentén ható érint irányú F er és a l r felület hányadossával : τ= A négyzet oldala mentén ható M F F l r er által létrehozott, a rúd tengelyére vonatkoztatott forgatónyomaték : M = r F = rτ l r Ha a henger teljes kerülete mentén összegezük az elemi forgatónyomatékokat, akkor az M teljes forgatónyomatékot kapjuk meg A el a r l-ek összege megadja a falvastagságú üres cs re ható teljes forgatónyomatékhoz : rτ (2πr) r Illetve τ fentebb megadott kifejezését felhasználva : M = 2πµ r3 rϕ l 2πr-t és így jutunk

24 15 27 CSAVART RÚD, NYÍRÓHULLÁMOK Az adódott tehát, hogy csavarással szemben az üres cs ellenállása (nyomatéka) egyenesen arányos a cs viszont a cs l r sugarának köbével es a r falvastagsággal, fordítottan arányos hosszávala rúd által kifejttt teljes nyomatékot úgy adhatjuk meg, hogy a koncentrikus csövek által kifejtett nyomatékokat integrálás révén összeadjuk Tehát a szilárd rúdra ható forgatónyomaték : M = 2πµ ϕ l Z a r3 dr 0 Elvégezve az integrálást : M =µ πa4 ϕ 2l Tehát egy rúd elcsavarása esetén a forgatónyomaték arányos az elcsavarás szögével és az átmér negyedik hatványával A továbbiakban alkalmazzuk a kapott eredményeket 110 ábra a) Torzióshullám egy rúd mentén; b) a rúd kis térfogateleme a torziós hullámok vizsgálatánálha van egy hosszú rudunk és hirtelen megcsavarjuk az egyik végét, akkor az elcsavarodás (110), végigszalad az egész rúdon Tekintsünk egy pontot, amely a rúd végétöl z távolságra helyezkedik elsztatikus torzió esetén a rúd mentén mindenütt egyenl nagyságú a forgatónyomaték és arányos a ϕ/l-lel,azaz a teljes hosszra jutó teljes elforgatássala rúd elcsavarodása szempontjából csak a helyi relatív ϕ z -vel egyenl Ha tehát a torzió, azaz az elcsavarodás nem állandó a rúd mentén,akkor az alábbi elfordulás lényeges, amely értelemszer en M (z) = µ πa4 ϕ 2 z kifejezést kell a fentebb kapott képlet helyébe tennünk Vizsgáljuk meg, hogy mi történik egy olyan z hosszuságú, amelynek felnagyított képét a következ ábrán láthatjukaz elemi rúddarab végein M (z) és M (z + z) forgatónyomatékok hatnakmivel M (z + z) = M (z) + z + z közé es darabkájára egyenl Felhasználva M (z) kifejezését a rúdnak a z és M = µ A M M z z, ható forgatónyomaték M = ( M z ) z -vel πa4 2 ϕ z 2 z 2 ered forgatónyomaték szöggyorsulást okoz az rúddarabn A rúddarabka tömege : m = (πa2 z)%,

25 28 FEJEZET 1 RUGALMASSÁGTAN és a henger darab tehetetlenségi nyomatéka : Θ = π 2 ϱa4 z Ismert, hogy az er nyomaték egyenl a tehetetlenségi nyomaték és a szöggyorsulás szorzatával,azaz : M = Θ 2 ϕ t 2 Mindent a helyére téve adódik : 2 ϕ z 2 ϱ 2 ϕ µ t 2 = 0 A képletre nézve felismerhetjük, hogy egydimenziós hullámegyenletet ír leazt találjuk tehát, hogy a torzióhullám µ v nyiro = ϱ A torziós hullámok a nyíróhullámok speciális eseteiáltalában akkor beszélünk nyíróhullámokról, ha a relatív hosszváltozások mellett az egyes anyagi részek térfogata változatlan maradmás ttípusú rugalmas hullám is lehetséges a szilárd testben :longitudinális vagy más néven nyomáshullámok, a szilárd test feluletén felléphetnek az ún Rayleighnagy Love-hullámokVégtelen kiterjedés közegben a longitudinális hullámok sebessége :v long = E/ϱ, ha viszont az összenyomás nem jár keresztmetszet-változással akkor E helyébe az E longitudinális modulus lépezek sebessége : vlong 2 = E ϱ = 1 σ E (1 + σ)(1 2σ) ϱ A tanulmányozott anyagállandókra érvényesek az alábbi µ < E < E egyenl tlenségekismerve kétfajta hullám sebességét, könnyen adódik az E és a σ értéke 16 A hajlítás A rudak hajlítására vonatkozó kifejtend elméletünket csak akkor tekinthetjük helyesnek, ha a hajlítási sugár sokkal nagyobb, mint a vizsgált rúd méreteha egy egyenes pálcát meghajlítunk(ábra), a pálca anyagának a körív középpontja felé es része összenyomódik, a másik fele pedig megnyúlik Azt a felületet, amely többé-kevésbé párhuzamos a pálca tengelyével, amely nem nyúlik, és nem nyomódik össze semleges felültnek nevezzük Tiszta hajlítás esetén a pálca vékony tranzverzális rétege az 111 ábrának megfelel en deformálódik A semleges l hosszúságú rétegt l kivüles réteg l megnyúlása arányos a semleges felülett l mért y távolsággal Az ábrából leolvasható, hogy: l l = y R

26 16 29 A HAJLÍTÁS 111 ábra Meghajlított pálca kis darabja ahol R a görbületi sugáraz y -nál elhelyezked vékony csíknál a feszültség : F y =E A R A semleges felület két oldalán fellép huzó és nyomóer k által létrehozott teljes nyomaték : Z M= ydf A ahol a fenti 0sszefüggés alapján df = Ey/RdA, ezért Z y M= y 2 da R y 2 da mennyiség integrálját a geometriai keresztmetszet tömegközéppontján áthaladó tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéknak nevezik és Θ-val jelölik : Az M= ahol Z EΘ, R y 2 da Θ= Ha adott mennyiség anyagból a lehet legmerevebb gerendát akkarjuk készíteni,akkor az anyag zömét a semleges felülett l minél messzebb kell elhejezni, hogy így a lehet legnagyobb tehetetlenségi nyomatékot érjük elezért belátható, hogy miert szerkesztik a I vagy H alakura (112 ábra) M -re kapott hajlatási alapegyenlet gerendákat Az segítségével meghatározhatjuk az 113 ábrán felrajzolt konzolgerenda lehajlását, ha a gerenda szabad végére rögzített egyik végét l x távolságra a lehajlást jelöljük z -vel F A er hat A vizszintesen z(x) függvényt akarjuk meghatározni, de csak kis lehajlások esetén Felhasználjuk a görbületi sugár 1 =h R d2 z dx2 1+ i3/2 dz 2 dx

27 30 FEJEZET 1 RUGALMASSÁGTAN 112 ábra I gerenda kifejezését Mivel kis görbületre szorítkozunk ezért (dz/dx) 2 1, tehát 1 R d2 z dx 2 Határozzuk meg az F er nyomatékát, amelyet a gerendának ellensúlyozni kell A keresett egyenlet tehát: M(x) = F (l x) 113 ábra Egyik végén terhelt konzolgerenda vagy F (l x) = EΘ R = EΘ d2 z dx 2 d 2 z dx 2 = F (l x) EΘ Az integrálásnál felhasználjuk, hogy z(0) = 0 és ( ) dz : A gerenda végének lehajlása: z(x) = dx (x=0) F ( ) lx 2 EΘ 2 x3 6 z(l) = F EΘ l3 3 = 0 A keresett görbe egyenlete

28 17 ELMÉLETI RUGALMASSÁGTAN 31 Közelít hajlítási elméletünk levezetése közben feltételeztük, hogy a gerenda keresztmetszete hajlítás közben nem változikha a gerenda keresztmetszete a görbületi sugárhoz képest kicsi, akkor valóban nagyon kicsi a keresztmetszet megváltozása, és így a következtetéseink igazak 17 Elméleti rugalmasságtan 171 Homogén deformációk Homogén a deformáció, ha a deformációtenzor a test egész térfogatában állandóvizsgáljuk el ször is a rudak egyszer húzásának(vagy összenyomásának) esetéta rúd legyen a z tengely mentén és a végein hassanak ellenkez irányú er k Az egységnyi felületre ható er legyen p Minthogy a deformáció homogé, azaz u ik állandó, a σ ik feszültségtenzor is állandó a rúd oldalán küls er k nem hatnak, amib l következik, hogy σ ik n k = 0Az n egységvektor az oldalfalakon a z tengelyre mer leges, csak n x és n y komponense van,ezért a σ zz kivételével a többi komponense 0-val egyenl A rúd végeinek felületén viszont σ zi n i = p, ezért σ zz = p A deformációtenzor és a feszültségtenzor komponenseit összekapcsoló általános összefüggésb l látható, hogy u ik minden i k komponense elt nik A többi komponensre kapjuk, hogy u xx = u yy = 1 ( 1 3 2µ 1 ) p, u zz = 1 ( 1 3K 3 3K + 1 ) p µ Az u zz komponens a rúd z tengely mentén vett relatív megnyulását adja A p el tt álló együtthatót nyúlási együtthatónak, reciprokát Young-modulusnak nevezzük,és E- vel jelöljük : u zz = p E, ahol E = 9Kµ 3K + µ Az u xx és u yy komponensek megadják a rúd relatív haránt-összehúzódásátennek az összehúzódásnak és a hossztengely irányú relatív-megnyúlásnak a hányadosát Poissonszámnak nevezzük, és σ-val jelöljük : ahol u xx = σu zz, σ = 1 3K 2µ 2 3K + µ Minhogy K és µ mindig pozitívak, a Poisson-szám különböz anyagok esetén 1(K = 0 nál)és 1 2 (µ = 0 nál) között vehet csak fel értékeket : 1 σ 1 2

29 32 FEJEZET 1 RUGALMASSÁGTAN Végül a rúd relatív térfogatváltozása megnyúlás esetén így írható : u ii = p 1 3K A megnyúlt rúd szabadenergiáját a már megadott kifejezés felhasználásával közvetlenül írhatjukminthogy csak a σ zz komponens különbözik nullától, F = 1 2 σ zzu zz, így : F = p 2E A továbbiakban, a szokáshoz igazodva, K és µ helyett az E és σ mennyiségeket használjukaz el z képletek átalakitásával kapjuk, hogy µ = E 2(1 + σ), K = E 3(1 2σ) Az alábbiakban az el z részben kapott általános összefüggéseket átírjuk az E és σ mennyiségek felhasználásávala szabadenergiára a következ kifejezés adódik : ( ) F = u 2 ik + E 2(1 + σ) E 1 + σ σ 1 2σ u2 ll A feszültségtenzor pedig így adódik a deformációtenzorból : ( σ ik = u ik + Megfordítva : σ 1 2σ u llδ ik u ik = 1 E [(1 + σ)σ ik σσ ll δ ik ] Minthogy az utóbbi képleteket állandóan használjuk, a kényelem kedvéért komponensenként is felírjuk : σ xx = σ yy = σ zz = ) E (1 + σ)(1 2σ) [(1 σ)u xx + σ(u yy + u zz )], E (1 + σ)(1 2σ) [(1 σ)u yy + σ(u xx + u zz )], E (1 + σ)(1 2σ) [(1 σ)u zz + σ(u xx + u yy )], σ xy = E 1 + σ u xy, σ xz = E 1 + σ u xz, σ yz = E 1 + σ u yz A fordított összefüggések : u xx = 1 E [σ xx σ(σ yy + σ zz )], u yy = 1 E [σ yy σ(σ xx + σ zz )], u zz = 1 E [σ zz σ(σ xx + σ yy )],

30 17 ELMÉLETI RUGALMASSÁGTAN 33 u xy = 1 + σ E σ xy, u xz = 1 + σ E σ xz, u yz = 1 + σ E σ yz Vizsgáljuk meg egy rúd összenyomását, ha oldalai oly módon rögzítettek, hogy keresztméretei nem változhatnakaz ilyen deformációt egyirányú összenyomásnak nevezzük A rúd csak a z tengely mentén deformálódik, ezért az u ik komponensek közül csak u zz különbözik nullátóla fenti összefüggések felhasználásával : σ xx = σ yy = Eσ (1 + σ)(1 2σ) u E(1 σ) zz, σ zz = (1 + σ)(1 2σ) u zz Az össszenyomó er t ismét p-vel jelölve(σ zz = p; p összenyomás esetén negatív): u zz = (1 + σ)(1 2σ) p E(1 σ) A p el tt álló álandót az egyirányú összenyomás állandójának nevezzük A haránt irányban fellép feszültségeket így kapjuk : σ xx = σ yy = p σ 1 σ Végül a rúd szabadenergiáját az alábbi képlet adja : 2 (1 + σ)(1 2σ) F = p 2E(1 σ) 172 Izotrop testek egyensúlyi egyenletei u ik = 1 2 ( ) u i x k + u k x i σ ik = σ ik x k = E 1 + σ E 2 u i 2(1 + σ) x 2 + k σ ik + ρg i = 0 x k ( u ik + σ 1 2σ u llδ ik Eσ u ll + (1 + σ)(! 2σ) x i ) E u ik 1 + σ x k E 2 u l + ρg i = 0 2(1 + σ)(1 2σ) x i x l u + 1 2(1 + σ) ( u) = ρg 1 2σ E Néha kényelmes ezt az egyenletet egy kicsit különböz alakban használnialkalmazva a vektoranalízis jól ismert képletét : Az el z egyenlet így módusul : ( u) = u + ( u) ( u) 1 2σ (1 + σ)(1 2σ) ( u) = ρg 2(1 σ) E(1 σ)

31 34 FEJEZET 1 RUGALMASSÁGTAN Más térfogati er k fellépte esetén a jobb oldalon álló ρg vektort megfelel módon változtatni kell A legfontosabbesetek mégis azok, amelyerkben a deformációt nem térfogati er k, hanem a test felületén ható er k okozzák Ebben az esetben az egyensúlyi egyenlet : vagy más alakban (1 2σ) u + ( u) = 0, 2(1 σ) ( u) (1 2σ) ( u) = 0 A küls er k csak a határfeltételeken keresztül befolyásolják a megoldást A fenti egyenletre a divergenciaoperációt alkalmazva, gyelembevételével adódik, hogy u = 0, azaz a u mennyiség (amely a deformáció során bekövetkez térfogatváltozást határozza meg) harmonikus függvényha az el z egyenletre a laplace-operátort alkalmazzuk, azt kapjuk, hogy u = 0 Egyensúlyi állapotban a deformációvektor eleget tesz a biharmonikus egyenletnek Ezek az eredmények homogén gravitációs tér esetén is érvényben maradnak [ugyanis direnciáloperátorok alkalmazása esetén az állandó jobboldal elt nik],de érvényüket vesztik, amikor a testben változó térfogati er k hatnak 173 Rugalmas hullámok izotrop közegben Amikor a deformált test belsejében mozgás megy végbe, h mérséklete általában nem állandó hanem id ben és a testben pontról pontra változik Legtöbbször azonban egyszer södik a helyzet, minthogy a test egyes részei között a h csere igen lassan megy végbeha a testben végbemen rezg mozgás periódusidejealatt gyakorlatilag nincs h csere, a test minden részét termikusan szigeteltnek tekintjük, azaz a mozgást adiabatikusnak vehetjükadiabatikus deformációk esetén σ ik t u ik val a szokásos összefüggések kacsolják össze különbség csak az állandók számértékében lép fel :E és σ szokásos (izotermikus) értékei helyett adiabatikus értékeiket kell használnimivel ebben a fejezetben feltételezzük, hogy az emlitett feltevésteljesül, E-vel és σ-val rendre az adiabatikus értékeket jelöljük A rugalmas közeg mozgásegyenletének általános alakja : ρü i = σ ik x k Izotrop rugalmas közeg esetén közvetlenül írhatjuk, hogy ρü = E 2(1 + σ) u + E ( u) 2(1 + σ)(1 2σ) Mivel valamenyi deformáció kicsi, a mozgások is kicsinyek, ezeket szokás rugalmas rezgésnek vagy hullámnak nevezni El ször a rugalmas síkhullám tulajdonságait tanulmányozzuk Az u deformáció, ennél a rezgésformánál az id mellett csak egy koordinátátol,

32 17 ELMÉLETI RUGALMASSÁGTAN 35 mondjuk x függvénye, minden y és z szerinti derivált eltünik Az u különböz komponenseire a következ egyenletet kapjuk : ahol 2 u x x 2 1 c 2 l 2 u x t 2 = 0, 2 u y x 2 1 c 2 t 2 u y t 2 = 0, E(1 σ) c l = ρ(1 + σ)(1 2σ), c E t = 2ρ(1 + σ) a longitudinális és tranzverzális hullámok terjedési sebességea mozgásegyenlet felírható Az u vektort felbontjuk két tag összegére : és megköveteljük, hogy u t elégítse ki a feltételt,u l -re pedig a ü = c 2 t u + (c 2 l c 2 t ) ( u) u = u l + u t, u t = 0 u l = 0 feltétel tejesüljöna vektoranalízisb l ismeretes, hogy ilyen felbontás mindig lehetséges(egy vektornak egy rotáció és egy gradiens összegeként való el állítása) Az u = u l +u t behelyettesítve : ü l + ü t = c 2 t (u l + u t ) + (c 2 l c 2 t )grad u l Alkalmazzuk mind két oldalára a div operációtminthogy u t = 0, kapjuk, hogy vagy ü l = c 2 t u l + (c 2 l c 2 t ) u l, (ü l c 2 l u l ) = 0 Másrészt a zárójelben álló kifejezés rotációja szintén nulla Ha azonban egy vektor rotációja és divergenciája az egész térben elt nik, akkor a vektor maga is elt nik Így tehát 2 u l t 2 c2 l u l = 0 Hasonló módon alkalmazva az egyenletre a rot operátort, u l = 0 gyelembevételével, kihasználva, hogy minden gradiens rotációja azonosan elt nik : (ü t c 2 t u t ) = 0 A zárójelben álló vektor divergenciája azonban szintén nulla, így ismét az el z esethez hasonlóan : 2 u t t 2 c2 t u t = 0

33 36 FEJEZET 1 RUGALMASSÁGTAN A kapott egyenletek közönséges (háromdimenziós)hullámegyenletekmegoldásuk megfelel egy-egyc l illetve c t sebességgelterjed hullámnakaz u t hullámok a u t = 0 következtében nem jár térfogatváltozással,az u l hullámot s r södések és ritkulások kisérik A monokromatikus rugalmas hullám elmozdulásvektora : u = Re{u 0 (r)e iωt }, ahol u 0 csak a koordináták függvényeez a függvény a c 2 t u 0 + (c 2 l c 2 t ) ( u 0 ) + ω 2 u 0 = 0 egyenletnek tesz eleget Monokromatikus hullám esetén a longitudinális és a tranzverzális rész a következ egyeletet elégiti ki : u l + k 2 l u l = 0, u t + k 2 t u t = 0 ahol k l = ω c l, k t = ω c t a longitudinális és a tranzverzális hullámvektor abszolút értéke Végül vizsgáljuk meg monokromatikus rugalmas hullám két különboz rugalmas közeg határán bekövetkez törését és visszaver dését Figyelembe kell venni, hogy a hullám jellege törés, illetve visszaver dés során általában megváltozik Még ha a határfelületre tisztán longitudinális vagy tisztán tranzverzális hullám esik is, az eredményül adódó hulám longitudinális és trazverzális részt egyaránt tartalmaza hullám jellege csak akkor nem változik, ha a hullám a két közeget elválasztó felületre mer legesen esik,illetve tarnzverzális hullám tetsz leges szög beesésekor, amennyiben a rezgés a határsíkkal párhuzamos A visszavert és a megtört hullám iránya közvetlenül meghatározható a frekvenciából, valamint a hullámvektornak a két közeget elválasztó felület érint síkjára es komponense állandóságából Legyen ϑ a beesési, ϑ a visszaver dési(vagy törési)szög,c és c pedig a vizsgált két hullám sebessége Ekkor sin ϑ sin ϑ = c c Legyen például a bees hullám tranzverzális Ekkor c = c t1 a trazverzális hullám sebessége az els közegbena visszavert tranzverzális hullámra is fennáll, hogy c = c t1, ezért az el z képlet alapján : ϑ = ϑ, azaz a beesési és a visszver dési szög megegyezika visszavert longitudinális hullám sebessége c = c l1,így sin ϑ sin ϑ = c t1 c l1 A tranzverzális megtört hullámra c = c t2, és a tranzverzális bees hullám esetén sin ϑ sin ϑ = c t1 c t2 Teljesen hasonló módon a megtört longitudinális hullámra sin ϑ sin ϑ = c t1 c l1