Gróf Gyula HŐKÖZLÉS. Ideiglenes jegyzet

Átírás

1 Gróf Gyula HŐKÖZLÉS Ideiglenes jegyzet Budapest, 999

2 Az. 5. fejezet a Termodinamka részt jelenti.

3 TARTALOMJEGYZÉK 6. HŐVEZETÉS SZILÁRD TESTEKBEN A hőterjedés mechanizmusa, leírása A hőterjedés alapvető formái Fourier-törvény, hővezetési tényező Hőátadás, hőátadási tényező Síkfal, henger és gömb állandósult hővezetése, hőellenálása Hőátvitel Bordák (rudak) hővezetése Időben állandósult, hőforrás mentes hővezetés Az alaktényező Hőmérsékletfüggő anyagjellemzők, a Kirchoff-transzformáció Konform leképezések alkalmazása Fiktív hőforrások/hőnyelők alkalmazása Grafikus módszer A Relaxációs módszer HŐMÉRSÉKLET-ELOSZLÁS BELSŐ HŐFORRÁSOK ESETÉN Időben állandósult belső hőforrások Síklemez hőmérséklet-eloszlása belső hőforrások esetében Belső hőforrásos, végtelen magas henger hőmérséklet-eloszlása Elektromos fűtőtestek AZ IDŐBEN VÁLTOZÓ HŐVEZETÉS Hővezetés általános differenciálegyenlete A hővezetés differenciálegyenletének egydimenziós alapmegoldásai Hasonlóság, dimenziótlan egyenlet Hőmérséklet-eloszlás fél-végtelen testek esetében A felszíni hőmérséklet ugrásszerű változása Két, különböző hőmérsékletű, fél-végtelen test érintkezése Periodikusan változó felszíni hőmérséklet A "belső" hőellenállás nélküli testek lehűlése (felmelegedése) KÖZELÍTŐ MÓDSZEREK Az explicit differencia módszer Az implicit differencia módszer A Crank Nicolson módszer Egy grafikus módszer: a SCHMIDT-BINDER szerkesztés Kísérleti módszerek Homológ modell Analóg modell A HŐÁTADÁSI TÉNYEZŐ GYAKORLATI MEGHATÁROZÁSA A hőátadás alapfogalmai A hőterjedés áramló közegekben A határréteg és szerepe a konvektív hőátadásban A sebesség és hőmérséklet-eloszlás meghatározásához szükséges differenciálegyenletek A kísérleti eredmények általánosítása, dimenziótlan mennyiségek A differenciálegyenletek dimenzótlanítása Dimenzió analizis Rayleigh algebrai módszere Hőátadás kényszeríttet áramlásnál Hőátadás vízszintes csövekben áramló közegek esetén Körüláramlott testek hőátadása kényszerített áramlásnál Hőátadás természetes (szabad) áramlásnál Hőátadás halmazállapot változás esetén Forrásban lévő folyadékok hőátadása Hőátadás gőz kondenzációjakor

4 . HŐCSERÉLŐK A rekuperatív hőcserélők Az egyen- és ellenáramú hőcsere hőmérséklet viszonyai A keresztáramú hőcsere hőmérséklet viszonyai..... Rekuperatív hőcserélők méretezése méretezés a logaritmikus közepes hőmérséklet- különbség alapján A hőcserélők hatásossága (Bosnjakovic féle Φ tényező) Csőköteges hőcserélők Csőköteges hőcserélők közegáramlás szerinti típusai Hőátadás a köpenytérben Regeneratív hőcserélők Keverő hőcserélők HŐSUGÁRZÁS A hősugárzás alapjai Bevezetés és alapfogalmak A hősugárzás alaptörvényei Két szilárd test közötti sugárzásos hőáram számítása Távolságukhoz képest nagy felületek közötti hőáramsűrűség Egymást burkoló felületek közötti hőáram Általános helyzetű felületek közötti hőáram Sugárzás és konvekció IRODALMI FORRÁSOK

5 6. HŐVEZETÉS SZILÁRD TESTEKBEN 6.. A hőterjedés mechanizmusa, leírása 6... A HŐTERJEDÉS ALAPVETŐ FORMÁI Az energia hőmérséklet-különbség következtében történő térbeli terjedése általában igen összetett folyamatok eredménye. A hő terjedésének mennyiségi leírásához a következő három elkülöníthető elemi folyamat formát szokás megkülönböztetni:. Hővezetés az energia térbeli terjedésének az a formája, amikor a hő egy közeg egyik - magasabb hőmérsékletű - részéből annak másik része felé történő "áramlása" során a közeget alkotó részecskék elmozdulása nem számottevő illetve rendezetlen. (Például az egyik végén melegített rúd másik vége is, felmelegszik, az energia a rúd melegebb végétől hővezetéssel jut a másik végéhez.) A hővezetés konkrét mechanizmusa a különböző közegek esetében azonban lényegesen különbözik egymástól. Gázokban az atomok, molekulák rendezetlen mozgása miatti ütközéseknek (és a diffúzió) következtében terjed az energia. A fémekben a hő két párhuzamos, majdnem független mechanizmus révén terjed, egyrészt a kristály rácsot alkotó atomok rezgése által, másrészt a szabad elektronok diffúziója révén. A nem fémes anyagok és folyadékok esetén az energia terjedése rugalmas elemi hullámok révén valósul meg.. Hőszállítás (konvekció) az energia térbeli terjedésének az a módja, amely a közeget alkotó részecskék rendezett elmozdulásának (áramlásának) következtében valósul meg. Az áramló közegben az energia térbeli terjedésének a (molekuláris szintű) vezetéses és bizonyos közegekben a sugárzásos formája is jelen van. A közeg áramlását okozhatja a hőmérséklet-különbség miatti sűrűség változásból származó felhajtó erő, ekkor szabad áramlásnak, amennyiben valamilyen külső mechanikai hatás az áramlás okozója, kényszerített áramlásnak nevezzük a jelenséget. (Például szabad áramlás a központi fűtés radiátorai által felmelegített levegő felfelé történő áramlása, míg kényszerített az áramlás a hajszárító ventilátora által a fűtő spirálon átfúvott levegő esetében.) A szilárd testek és a folyadékok (gázok) érintkező felületein keresztül történő hőterjedést hőátadásnak nevezzük. Ez a mechanizmus nem a hőterjedés külön formája, hanem hővezetés, hőszállítás és olykor hősugárzás együttes megvalósulása melletti összetett folyamat. Áramló közegek esetében a folyadékok (gázok) saját hővezetése a hőszállításhoz képest jelentéktelen az áramló közeg nagy részében, azonban a szilárd felülettel érintkező, áramló folyadék esetében mindig találunk egy vékony (határ)réteget amelyen belül a hőterjedés hővezetés révén valósul meg. 5

6 3. Hősugárzás az energia térbeli terjedésének elektromágneses hullámok formájában megvalósuló folyamata, ami közvetítő közeg szükségessége nélküli mechanizmus. E folyamat a hővezetéstől és hőszállítástól eltérő természetű, folyamatos energia átalakukás révén valósul meg, azaz a hő elektromágneses sugárzássá majd a tér egy másik pontján az elektromágneses sugárzás ismét hővé alakul. A terjedés mechanizmusából következően a hőmérsékletnek a terjedés irányában nem kell monoton csökkennie. (Például a Napból a Földre elektromágneses sugárzás formájában érkező energia döntő része a földfelszínen, illetve a légkörben hővé alakul.) A szobahőmérsékletű tárgyak esetében a hősugárzás szerepe sok esetben a többi energia terjedési formához képest elhanyagolható, de a hőmérséklet növekedésével egyre jelentősebbé válik. A hőterjedés összetett jelenségének elemi folyamat formákra való bontása valójában módszertani fogás, a valóságban a hőterjedés a fenti formák egyidejű kombinációjaként valósul meg, és önmagukban, tiszta formában ritkán lépnek fel. Nagyon sokszor (pl. hőveszteség kiszámítása során) elkülöníthetjük egymástól a hőszállítást és a hősugárzást, majd azok eredőjeként számíthatjuk ki a hőmennyiség tényleges értékét. A műszaki gyakorlatban sok esetben valamely hőterjedési forma lényeges túlsúlya érvényesül, ilyenkor elegendő lehet az adott (pl. csak konvektív) hőterjedés leírása. A hőterjedés mindhárom fenti formája lehet időben állandósult (stacionárius) illetve változó (instacionárius) folyamat FOURIER-TÖRVÉNY, HŐVEZETÉSI TÉNYEZŐ FOURIER (8.) törvénye szerint egy homogén testben a hőáram a csökkenő hőmérsékletek irányába mutat, arányos a terjedési irányú, hosszegységenkénti hőmérséklet-változással és az erre az irányra merőleges keresztmetszettel. Ez az összefüggés un. empirikus törvény, azaz a jelenség, itt a hővezetés, megfigyelésén alapul. A törvény matematikailag megfogalmazva, a 6.. ábra jelöléseivel:!q= F dt dx λ, (6.) ahol:!q a hőáram, az F felületen időegységenként átáramlott energia, mértékegysége: W. λ a hővezetési tényező, az adott test anyagjellemzője, mértékegysége: F a hővezető keresztmetszet, mértékegysége: m. dt dx W. m K a hőmérséklet-eloszlás hely szerinti differenciálhányadosa azaz a hosszegységenkénti hőmérséklet-változás, mértékegysége: K m. 6

7 A hőáram és a keresztmetszet hányadosa,! = a hőáramsűrűség, azaz a felület-egységenkénti hőáram, mértékegysége!q q W m K Q! F, és ezzel a FOURIER törvény: dt = λ. (6.) dx F t!q t!q Q! t dx t+ d t x δ dx 6.. ábra FOURIER törvényhez A FOURIER törvényben bevezetett hővezetési tényező az anyag fizikai jellemzője, és azt fejezi ki, hogy mekkora a hőáramsűrűség K/m hosszegységenkénti hőmérséklet-változás esetén, azaz: λ =!q dt. (6.3) dx A hővezetési tényező számértéke az adott anyag szerkezetétől és termodinamikai állapotától függ. Meghatározása bonyolult, többnyire valamely hővezetési folyamat laboratóriumi körülmények között megvalósított mérési eredményei alapján történik. Néhány, gyakrabban előforduló anyag fizikai jellemzőit a Függelék táblázataiban megtaláljuk, további anyagokra vonatkozó adatokat a különféle kézikönyvek tartalmaznak. (Egyes intézmények fizikai jellemzőkre vonatkozó adatbázisai az INTERNETEN keresztül is elérhetőek.) 7

8 6..3. HŐÁTADÁS, HŐÁTADÁSI TÉNYEZŐ A szilárd testekben lejátszódó hővezetési folyamatokat a legtöbb esetben az okozza, hogy azok a felszíni hőmérsékletüktől eltérő hőmérsékletű folyadékkal (gázzal) érintkeznek. A szilárd felszín és a folyadék határon át való hőterjedés a hőszállításnál említetteket megismételve a hőátadás. (Megjegyezzük, hogy nem csak szilárd felületen, de folyadék felszínen is történhet hőátadás.) A hőátadás alapegyenlete NEWTON nyomán Q! = F ( t t ) α, (6.4) w foly a szereplő mennyiségek pedig a következők:!q a szilárd test felszínén fellépő hőáram, W. F a folyadékkal érintkező felület, m. tw a test felszínének hőmérséklete, C, vagy K. tfoly a folyadék hőmérséklete, C, vagy K. α a hőátadási tényező, W/(m K). A test felszíne és a folyadék közötti hőáram fenti felírásakor feltételeztük, hogy a teljes felszín hőmérséklete azonos (izotermikus), és a folyadék egyetlen hőmérséklettel jellemezhető. A hőátadási tényező ilyen módon történő bevezetésével egy összetett folyamat két leglényegesebb paraméterét, a hőmérséklet-különbséget és a felületet kiemelve, valamennyi egyéb fizikai hatást (áramlás jellege, sebesség, stb.) a hőátadási tényező maga - számértékével - fejezi ki. A hőátadással részletesen a. fejezet foglalkozik SÍKFAL, HENGER ÉS GÖMB ÁLLANDÓSULT HŐVEZETÉSE, HŐELLENÁLÁSA A homogén anyagú, egyszerű geometriájú testek egydimenziós, állandósult hővezetésének összefüggéseit a 6.. táblázat foglalja össze. Az egyes összefüggéseket a FOURIER törvény integrálásával kapjuk meg, részletesen ld. Műszaki Fizika II. kötet vonatkozó fejezetében. HŐVEZETÉS VÁLTOZÓ HŐVEZETÉSI TÉNYEZŐ ESETÉN A hővezetési feladatok egy részében, a testeken belüli hőmérséklet-különbségek nagysága miatt, a hővezetési tényezőt nem tekintjük állandónak. Az, hogy ez mekkora hőmérséklet-különbség esetében lesz így, attól függ, milyen pontosan kívánunk számolni és milyen mértékű a hővezetési tényező hőmérsékletfüggősége. Ez a függés sokféle lehet, a gyakorlatban többnyire a hőmérséklettel való lineáris kapcsolatot feltételezve, a λ() t = λ ( + bt) alakú összefüggés használata megfelelő pontosságú eredményt ad. Ebben az esetben a hőmérsékleteloszlás és a hőáram számítási összefüggések bonyolultabbak lesznek az egyszerű geometriájú testeknél is. A síkfalra vonatkozó összefüggés levezetésén mutatjuk be, hogy az említett képletek hogyan származtathatóak. A FOURIER törvényt, figyelembe véve λ hőmérséklettől való függését, így írhatjuk 8

9 dt dt!q = λ() t = λ ( + bt ) dx (6.5) dx A változók szétválasztása, és (6.5) integrálása után az eredmény δ t ( )!qdx = λ + bt dt t λ!q = t t + δ amit ebben az alakban is írhatunk, b ( ) ( t t ) λ b q! = + ( t + t ) ( t t ) ( t t ), = δ δ λ λ = λ t +t (6.6) (6.7). (6.8) Azaz, a hővezetési tényezőt a középhőmérsékleten kiszámítva, a hőáramot az állandó λ esetére érvényes összefüggésből kapjuk. A hőmérséklet-eloszlásra vonatkozó összefüggést a (6.6)-ból határozzuk meg úgy, hogy δ helyett x-ig és t helyett pedig t-ig integrálunk, majd t-ét kifejezzük, ezzel az eredmény: t b> λ=állandó tx () qx! = t + b bλ b. (6.9) Ha a b pozitív, a (6.9) szerinti görbe alulról homorú, azaz a lineáristól felfelé tér el, és b negatív értékére pedig domború. A hőmérséklet említett menetét tanulságos még egyszer átgondolni, ha a λ nő a hőmérséklettel, a nagyobb hőfok értékű helyen a hőmérséklet görbe kisebb meredekségű, és fordítva ha λ csökken a hőmérséklet növekedésével, a hőmérséklet görbe meredeksége a nagyobb hőmérsékletű helyen lesz nagyobb, mint az alacsonyabb hőmérsékletű helyen. A változó λ-jú hengeres és gömb fal hőáramát is úgy határozzuk meg, hogy a középhőmérsékleten számolt hővezetési tényezőt helyettesítjük az állandó λ-ra vonatkozó hőáram képletébe. A hőmérséklet-eloszlást ez utóbbi esetekben a következő egyenletek írják le. Hengeres fal Gömb fal b< t δ tx () Q! r = t + ln b πλ b r b b (6.) tx () Q = t + b πλ b r r b (6.) 9

10 HŐELLENÁLLÁS, ELEKTROMOS ANALÓGIA A 6.. táblázat hőáram számításának síkfalra vonatkozó egyenletét úgy átrendezve, hogy a hőmérsékletek különbsége maradjon a jobboldalon, az eredmény δ!q λ F = t t. (6.) δ Az Rh = un. termikus- v. hőellenállás bevezetésével a FOURIER és az OHM λ F törvény analógiája nyilvánvaló:!q Rh = t t, I R = U. (6.3) Az egyszerű geometriájú, állandó hővezetési tényezőjű testek hőellenállásának számítási összefüggésit szintén tartalmazza a.. táblázat, egy- és többrétegű szerkezetekre is. A réteges szerkezetekre a táblázatbeli értékek csak abban az esetben érvényesek ha az egyes rétegek ideálisan kapcsolódnak egymáshoz, azaz a közöttük lévő kontaktus a hőáram számára nem jelent ellenállást. A valóságban ez a feltételezés sok esetben nem teljesül. Ilyenkor a rétegek közötti hőellenállást is figyelembe kell vennünk, ami azt jelenti, hogy az eredő hőellenállás kiszámításánál az egyes rétegek ellenállásával sorba kapcsolódva a kontaktusok hőellenállását is számításba vesszük. A kontaktus hőellenállása (Rk) abból adódik, hogy a rétegek a felületi érdességük miatt nem érintkeznek tökéletesen egymással, a fellépő rés átlagos (δ) vastagsága és a rést kitöltő anyag (λ) hővezetési tényezője ismeretében értéke megbecsülhető (Rk δ/λ), pontosan általában csak laboratóriumi mérésekkel tudjuk meghatározni. A hőellenállás fogalmát kiterjesztjük más hőterjedési formákra is, így pl. a hőátadás alapegyenletét úgy átrendezve, hogy a jobb oldalon a hőmérsékletek különbsége maradjon, a hőáram mellet megjelenő tényezőt a hőátadás hőellenállásaként definiáljuk:!q = t t F w α R α foly, (6.4) =. (6.5) αf A hőellenállás fogalmának alkalmazása a hőáram számításában igen hatékony. A különböző, összetett hőterjedési folyamatoknál a sorosan ill. párhuzamosan kapcsolt ellenállásokra vonatkozó összegző összefüggések felhasználásával írhatjuk fel a szükséges számítási összefüggéseket, határozhatjuk meg a hőáramot, amint ezt a hőátvitel esetében is alkalmazni fogjuk.

11 6.. táblázat Síkfal, henger és gömb hővezetése Geometria, használatos jelölések t δ λ x t t r r!q t t t t r r r Q Hőáram és a hőfokeloszlás számítási összefüggései! ( ) Q F t = λ t δ tx ( ) tx ( ) Q! = t λ F x t = t t δ x! πλl Q = ( t t) ln tr () ( r r ) Q! r = t ln Lπλ r t ( ) t r tr = t ln ln( r r ) r tr () t(r) = t! 4πλ( t t ) Q = r r Q! = t 4πλ r r ( ) t t rr r r r r Egyenértékű hővezető keresztmetszet Egy réteg hőellenállása δ = r r Q! λ = Fe ( t t) πlr δ Fe = ln( r / r ) Hőáramot hengerre és gömbre így is ha r r számíthatjuk, a δ és az Fe értékeivel. Fe ( r + r ) π L Rλ δ Fλ ( r) = ( r r ) Rλ = ln Lπλ δ = r r Fe = 4π rr r r Rλ = 4πλrr Több réteg eredő hőellenállása n δi Rλ = F λ i Rλ = πl n ri ln r λ + i i Rλ = 4π n ri r + ri rλ i+ i i

12 6..5. HŐÁTVITEL Amikor egy szilárd fal két különböző, (pl. tf>tf) állandó hőmérsékletű folyadékot választ el, a melegebb közegtől a hidegebb felé hőáram lép fel. A melegebb közeg oldalon a folyadék és a vele érintkező felszín között hőátadás, a falban hővezetés és a hidegebb folyadékkal érintkező felületen ismét hőátadás történik. A hőterjedésnek ezt az együttes folyamatát hőátvitelnek nevezzük. A két folyadék között, a hőátvitel eredményezte hőáramot a k hőátviteli tényező, az Fv vonatkoztatási (v. hőátviteli) felület és a közegek hőmérsékletei alapján a hőátadáshoz hasonló módon számítjuk: ( )!Q = F t t k v f f (6.6) A hőáramot az előző fejezetben definiált hőellenállás fogalmának felhasználásával így is felírhatjuk ( α λ α) ( f f )!Q R + R + R = t t. (6.7) ahol a jobboldali összeg tagjai sorrendben a következők: az egyik oldali hőátadás, a hővezetés és a másik oldali hőátadás hőellenállása. A hőáram előbbiekben felírt két összefüggése alapján kfv szorzatot a hőátvitelt alkotó részfolyamatok eredő hőellenállásának reciprokának tekinthetjük, azaz R + R + R α λ α = k. (6.8) Az eredő hőellenállás reciprok mennyiségét egy Fv felület és egy a hőátadási tényezővel megegyező dimenziójú mennyiség szorzataként felírva eljutunk a k hőátviteli tényezőhöz, amiből következik, hogy annak értéke szorosan a felület kiválasztásához kötődik, és önmagában nem jellemzi a hőátvitel mértékét. Az áramló közeget elválasztó, egyszerű geometriájú falon keresztüli hőátvitel számítási képleteit a 6. táblázat foglalja össze. Az összefüggések levezetése pl. a már említett Műszaki Fizika II. kötetében megtalálható. F v t f α δ λ t w α tw δ Rα = R αf λ = Rα = λf αf 6.. ábra A hőátvitel hőellenállásai t f

13 6.. táblázat A hőátviteli tényező számítása a különböző falak esetén t f δ síkfalra λ α Jelölések t w α tw hengerre,göm bre r r t f Síkfal Hengeres fal F kf kf v = v = + + Rλ Fα F α Fv = F = F = F k = δ + + α α λ ln + + F α F α Lπλ ( r r ) = r π, F = r π és F = F v e k Fe = Fe F δ F + + e λ α F α Gömbfal kf v = r r + + Fα Fα 4πλrr F = 4r π, F = 4r π és Fv = F e k Fe = F δ Fe + + λ α F e α F 3

14 HŐÁTVITEL BORDÁZOTT FALON Hőátadó felületek bordázattal való megnövelése egy gyakran alkalmazott módja egy falfelület és a vele érintkező közeg közötti hőáram fokozásának. Bordázaton a falfelületből a felület melletti közegbe kinyúló, általában a fallal megegyező anyagú, magával a fallal hővezetéses kapcsolatban álló elemeket értünk. Az anyagok véges hővezető képessége miatt a bordázott felület hőárama nem a felület növekedésének arányában növekszik, mert a bordák átlagos felületi hőmérsékletének eltérése a körülöttük lévő közeg hőmérsékletétől kisebb, mint a bordázatlan felület esetében, amit a 6.3. ábra szemléltet. t b ha λ= t b <t f t w t f F b H t b ha λ= t b <t f H x ábra Borda hőmérséklet-eloszlása hőleadásnál, hőfelvételnél A bordák hőáramát az un. bordahatásfok segítségével számítjuk. A bordahatásfok, a borda tényleges hőáramának és az állandó (tw) hőmérsékletű, azaz végtelen hővezetési tényezőjű borda azonos feltételek melletti hőáramának hányadosa, azaz η b Q! = Q b. (6.9)! b, A nevezőben álló hőáramot a hőátadás alapegyenlete szerint számíthatjuk ezzel a borda által leadott hőáram ( )! b, = α b w f, (6.) Q F t t ( )!Q = F t t b ηα b b w f, (6.) amihez, persze a bordahatásfok ismerete szükséges. A borda hőáramát a hőátadási egyenlet alapján, mivel a felület mentén változik a hőmérséklet, így kell számítanunk ( ( ) f )!Q b = α t F t df. (6.) F b A fenti integrál kényelmetlen kiszámítása helyett, különböző típusú bordák hőáramának meghatározásánál, abból a meggondolásból indulunk ki, hogy a borda átadott hőárama a tőkeresztmetszetben fellépő vezetéses hőárammal megegyezik. Továbbá, általában a bordák kis keresztmetszettel, jó hővezető

15 anyagból készülnek, ezért gyakran egydimenziós hőmérséklet-eloszlásúnak tekinthetők, és ekkor!q = F b dt dx λ b. (6.3) x= A borda hőáramát, és ezzel a bordahatásfokot, a borda hőmérséklet-eloszlásának ismeretében tudjuk meghatározni, amivel a következő fejezet foglalkozik. Néhány bordatípus hatásfokát a 6.3. táblázat tartalmazza. A bordázott felület hőátadásának felírásához visszatérve, jelölje Fb a bordázott felületet, Fr a bordatövek között bordázatlanul megmaradt felületet és F pedig a bordák elhagyásával kapott falfelületet, így a bordázott felület teljes hőárama ( r r b b)( w f )!Q = α F + αη F t t. (6.4) A bordákra és a bordázatlanul maradt felületre vonatkozó hőátadási tényezőket egymástól megkülönböztettük, mert a hőátadási viszonyaik különbözőek lehetnek. Továbbra is az és a jelű közegeket szerepeltetve a hőátvitelben, a mindkét oldalon bordázott falra vontakozó hőátvitel egyenlete a következő = + R + kf F F ( α + αη ) ( α F + α η F ) λ. (6.5) v r r b b r r b b Sok esetben feltehetjük, hogy αr α, így (6.5)-öt egyszerűbben írhatjuk fel. Vezessük be a bordázottságot mint b= Fb F, és az r pedig jelölje a Fr F hányadost, így ( ηb )( w f )!Q = α F r + b t t. (6.6) Amennyiben az F = Fb + Fr összes felülettel kívánunk számolni az F felület helyett, bevezethetjük az F-re vonatkoztatott összhatásfokot, azaz ahonnan ηf = F + η F = F F + η F, (6.7) r b b b b b F η= b ηb η η F + F F F r b b r ( ) = ( ) = ( ) + + r b b b. (6.8) (Vegyük észre, hogy ha a bordázatlanul maradt rész aránya a bordafelülethez képest elhanyagolható, az összhatásfok a bordahatásfokkal azonos.) A bordázott felület hőátvitelének egyszerűsített egyenlete a (6.6)-ot felhasználva, tehát = + R + kf α F r b η α η ( + ) F ( r + b ) λ. (6.9) v b b Ezt az eredményt alkalmazva egy mindkét oldalon bordázott síkfal hőátvitelére, ahol természetesen az F = F fennáll, azt kapjuk, hogy 5

16 k = α δ + + ( r + bη ) λ α ( r + b η ) b b. (6.3) A HŐÁTVITEL INTENZITÁSÁNAK NÖVELÉSE A gyakorlatban a hőátvitelt bizonyos esetekben erősíteni, és más esetekben pedig fékezni kell. Láttuk, hogy a hőátvitel több elemi hőterjedési folyamat együtteseként jön létre. A (6.8) összefüggés szerint a hőátvitel eredő hőellenállása a kétoldali hőátadás és a hővezetés hőellenállásainak összege, azaz ezen tagok megváltoztatásával érhető el a kívánt eredmény. A továbbiakban, az elemi folyamatok elemzése nélkül, pusztán azt vizsgáljuk meg, hogy a hőátadás és a hővezetés leíró paramétereinek változása milyen hatást gyakorol a hőátvitelre. A részfolyamatok megvalósulási körülményeinek vizsgálata, a leíró paraméterek meghatározása a következő fejezetek tárgyköre lesz. Először a hőátvitel erősítésének kérdésével foglalkozunk. Ahhoz, hogy az egyes tényezők hatását megvizsgálhassuk, szükséges ismernünk a hőátvitelre vonatkozó, a vizsgált tényezőket tartalmazó egyenletet, annak elemzésével, az egyes tagok hatásait, a beavatkozás korlátait feltárhatjuk. Példaként a síkfalra vonatkozó hőátviteli tényező meghatározására felírt összefüggést vizsgáljuk meg. A gyakorlati esetek egy részében, mivel a fémek hővezető képessége jó, és az alkalmazott falvastagságok sem nagyok, a síkfalban lejátszódó hővezetés hőellenállását elhanyagolhatjuk, így eredményül a k = + α α αα = α + α (6.3) összefüggést kapjuk a hőátviteli tényező meghatározására. Innen megállapíthatjuk, hogy a k értéke mindig kisebb, mint a kisebbik hőátadási tényező, amiből azonnal az a következtetés adódik, hogy a kisebbik hőátadási tényezőt növelése célszerű, a hőátvitel erősítése végett k,w /m K α = αα 6.3. ábra Az k = függvény menete α + α 5 3 α,α W m K α 6

17 Meddig érdemes a növelést véghezvinni? A választ a k = f( α α ), függvény vizsgálatával adhatjuk meg, aminek menetét a 6.3. ábrán követhetjük. Ha az α értéke jóval kisebb mint α, akkor α-et növelve a k értéke gyorsan nő, míg α egyenlő nem lesz α-vel. Ezt követően az α növelésével a k növedése lelassul, majd pedig jelentéktelenné válik. Mindezek alapján tehát azt állapíthatjuk meg, hogy ha a hőátadási tényezők közel azonosak, a hőátvitel intenzitásának erősítését bármelyikük növelésével kiválthatjuk, azonban ha nagyon különböznek egymástól, célunkat elérni csak a kisebbik hőátadási tényező növelésével tudjuk. Az előzőekben a hővezetésből származó hőellenállást elhanyagoltuk. Most megvizsgáljuk, milyen hatással van a hőátviteli tényező értékére a fal hőellenállásának változása. Legyen a vonatkoztatási hőátviteli tényezőnk a fal hőellenállása nélkül számított, azaz k = + α α Ugyanakkor a véges hőellenállású fal esetén k = = δ δ α α λ λ A két hőátviteli tényező hányadosát felírva, az eredmény k k = δ k + λ. (6.3) k. (6.34). (6.35) k/k k = δ/λ, m K/W ábra A k/k függvény menete 7

18 A 6.4. ábra a k/k hányadost a δ/λ függvényében, a k értékekkel paraméterezve ábrázolja. A függvény menetéből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a hőellenállás növekedése annál jelentősebben csökkenti a hőátviteli tényező értékét, minél nagyobb a k értéke. A fal hőellenállása a berendezések üzemeltetése során keletkező lerakódások következtében is megváltozhat, pl. mm vastag vízkő 4 mm vastag acélfal, mm korom pedig 4 mm vastag acélfal hőellenállásával egyenértékű. Ahhoz, hogy a hőcserélő berendezések a tervezettnek megfelelő hőteljesítményt nyújtsák, a lerakódásokat lehetőség szerint el kell kerülni, ami vagy az áramló közegek szűrését, tisztítását vagy ha ez nem lehetséges, a hőátadó felületek rendszeres tisztítását, cseréjét jelentheti. HŐSZIGETELÉS A hőátvitel csökkentését az eredő hőellenállás növelésével tudjuk elérni. Ehhez elegendő valamely rész hőellenállás növelése, amit többféle módon is elérhetünk. A hőátadás körülményeinek megváltoztatása helyett aminek erőssége sokszor amúgy sem csökkenthető egy bizonyos határnál tovább a fal vezetéses hőáramát csökentjük, általában egy hőszigetelésnek nevezett réteg alkalmazásával. A hőszigetelésként alkalmazott anyagoknak több feltételnek is eleget kell tenniük, de közös jellemzőjük a kis hővezető képesség. (λ <. W/(m K) A szigetelő anyagok egy részét természetes állapotukban alkalmazzák, (fűrészpor, tőzeg, homok, parafa stb.) többségben azonban, valamilyen gyártási folyamat eredményeként, mesterségesen állítják elő a hőszigetelés céljára alkalmas anyagokat. Az ismert salakgyapotot pl. úgy gyártják, hogy a salakot először megolvasztják, majd gőzsugárral permetezik. Mivel a gázok hővezetése kicsi, a különböző habosított anyagok, esetenként a levegőtől eltérő gázzal töltött cellákkal, igen alacsony hővezetési tényezővel rendelkeznek.(.3.6 W/(m K)) Gyakori hőszigetelési megoldás, hogy zárt üregeket, légréseket képezünk ki a szerkezetekben, az ilyen, a gázok alacsony hővezető képességét kihasználó hőszigeteléseknél a résekben, üregekben fellépő konvekció és a hősugárzás rontja a szigetelés hatékonyságát. Fontos, hogy a hőszigetelésként alkalmazott anyag a hőszigetelő képességét biztosító tulajdonságait megtartsa, ha szükséges, a külső behatások (emberi, természeti) ellen megfelelően védeni kell. A nedves helységek, alacsony hőmérsékletű berendezések szigetelésénél külön problémaként jelentkezik a hőszigetelés elnedvesedése, mert a nedveséggel telítődő anyag hővezető képessége megnő, esetenként a nedvességnek a megfagyására is számítani kell. A hőszigetelések hatékonyságát az alkalmazott anyagokon kívül befolyásolja számos egyéb körülmény, mint a szerelés, rögzítés alkalmazott technológiája, kivitelezésének minősége stb. A hőszigetlések méretezésére alapvetően a hőátvitel számítására szolgáló összefüggéseket használjuk. Egy adott hőszigetelési probléma jó megoldása, mint a mérnöki tevékenység általában, nem csak műszaki, hanem gazdaságossági kérdés is. Így a megfelelő hőszigetelések kialakításához a műszaki adatokon túl szükséges az energia, anyag és a kivitelezés költségeire vonatkozó adatok 8

19 ismerete is. Ebből a szempontból optimálisnak, a legalacsonyabb összköltségű szigetelést tekintjük általában. Mivel egy nagyon gyakori feladat, vizsgáljuk meg a csővezeték hőszigetelésének kérdését. A csőfelület belső hőátadási és hőmérséklet viszonyait adottnak tekintjük, azon változtatni általában úgy sem lehet. A belső csőfelszín és a külső környezet közötti hőellenállás a csőfal és a hőszigetelés hővezetéséből, továbbá a külső felület hőátadásából adódik. A hőszigetelés hőellenállásához képest a fémcsövek hőellenállása elhanyagolható, így egy db belső, dk külső átmérőjű csőszigetelés és az αk külső hőátadási tényező esetén, a hőátvitel hőellenállása L=m csőszakaszon R L d k = + πλ d α d π szig ln. (6.35) b k k Amikor a külső hőátadás körülményei nem ismertek, a szigetelés külső felszíni hőmérsékletének megadásával a probléma megkerülhető. Általában az ( αkd kπ) tag nem nagy, ha kiszámításában mintegy %-os hibát elkövetünk, a végeredményre alig %-nyi hatással van. Az RL -re vonatkozó összefüggés vizsgálatából megállapíthatjuk, hogy a szigetelés külső átmérőjének növelése nem feltétlenül jelenti a hőátvitel hőellenállásának növelését. Ugyanis kiszámítva az RL, dk szerinti deriváltját RL d = πλ d α d π k szig k k k, (6.36) és annak zérus helyét, az eredmény a d kr = λα, mely átmérőnél az RL-nek minimuma van, a reciroknak, és ezzel hőaramnak pedig maximuma..3.5 W, R k m K, α k = W m K λ =. W m K. λ=.5.5 λ=.. λ= d k,mm 6.5 ábra Az R L változása 9

20 Ebből következően ha a db átmérő kisebb, mint a szigetelés kritikus átmérőjének nevezett előbbi eredmény, a szigetelés külső átmérőjének helytelen megválasztásakor a hőáram nem csökkenni, hanem éppen nőni fog. Minél kisebb hővezetési tényezőjű anyagot alkalmazunk, a kritikus átmérő annál kisebb, így a kis átmérőjű csöveknél a kis λ-jú anyagok alkalmazása célszerű, hogy a túlságosan nagy szigetelési vastagságokat elkerülhessük. A 6.5. ábrán az m szigetelt csőre vonatkozó hőátvitel eredő hőellenállásának reciprokát ábrázoltuk, ami az C hőmérséklet-különbség okozta hőáram. Az elektromos szigetelések kialakításának a hőszigeteléssel ellentétes szempontja, hogy a hő hatékony elvezetését is biztosítsa a megfelelő villamos szigetelés mellett. Ilyen esetekben az alkalmasan megválasztott λ-jú anyagból kialakítható az éppen kritikus, vagy ahhoz közeli szigetelési vastagság is BORDÁK (RUDAK) HŐVEZETÉSE A borda hosszirányú hőmérséklet-eloszlásának meghatározásához feltételezzük, hogy benne hosszirányú, egydimenziós hővezetés játszódik le, azaz a hosszra merőleges keresztmetszetben a hőmérséklet állandó. A 6.6. ábrán a bordatő hőmérséklete (t), a borda palástja mentén a hőátadási tényező (α) és környezetének hőmérséklete (t ) állandó. A borda keresztmetszetét A, a keresztmetszet kerületét U-val jelöljük. x t dx Q Q p A U Q+dQ 6.6. ábra A borda hővezetéséhez Az x helyen a hőáram: Q! A( x) dt dx = λ. (6.37) A paláston átadott hőáram: [ ] Q! U( x) dx t( x) t p = α. (6.38) Az energia megmaradását alkalmazva a rúdból kivágott szeletre, írhatjuk, hogy a vezetéssel belépő és távozó hőáram különbsége a paláston leadott hőárammal egyezik meg: (6.38)-ból behelyettesítve, átrendezve Q! ( Q! + dq! ) = Q! p, (6.39) dq! = U( x) t( x) dx (6.37)-ből a hőáramot behelyettesítve d dx [ t ] α, (6.4) Ax dt ( x ) λ ( ) = αu( x) [ t( x) t ] dx. (6.4) A differenciálás elvégzése után a leíró differenciálegyenletet kapjuk eredményül da( x) dt( x) λ λax d t ( x ) + ( ) = αu( x) t( x) dx dx dx [ t ]. (6.4)

21 Bevezetve a t(x)=t(x)-t helyettesítést, az eredmény () d t() x () da x λ λax () d + t x = αu( x) t() x. (6.43) dx dx dx Legyen U(x) és A(x) állandó, azaz a borda egy prizmatikus rúd (a differenciálegyenlet változó keresztmetszetek esetében is megoldható az U(x), A(x) függvények ismeretében, ezek a megoldások azonban meghaladják a fejezet terjedelmének kereteit): d t( x) U = m t( x), ahol m = α dx λ A. (6.44) A változók szétválasztása és integrálás után a (6.44) általános megoldása: mx ahol C és C integrálási állandók. mx C e + C e = t( x). (6.45) a./ Végtelen hosszú rúd A megoldásnak a következő peremfeltételeket kell kielégítenie: x= (azaz a rúd tövében) a t()=t() t = t t = t innen C= t x esetén pedig t( )=t( ) t = t t = innen C= Így a megoldás alakja: mx. (6.46) t( x) = ( t t )e + t vagyis a rúd hossza mentén a hőmérséklet exponenciálisan csökken. αu A hőmérséklet csökkenésének mértékét a értéke határozza meg. λa A rúd palástja által leadott hőáram a rúdtőbe belépő hőárammal egyezik meg: behelyettesítve:! ( ) Q A dt x rud = λ dx x =! αu Q rud = λa ( ) ( ) A t t = λ A α U t t λ, (6.47). (6.48) b./ Véges (H) hosszúságú rúd A megoldásnak a következő peremfeltételeket kell kielégítenie: x= (azaz a rúd tövében) a t()=t() t = t t = t x=h (azaz véglapon) a környezet felé leadott hőáramra teljesülni kell

22 λa dt ( x ) = αh At [ ( H) t ]. (6.49) dx x= H A levezetés elhagyásával, a megoldás ebben az esetben: α H cos hmh ( ( x)) + sin hmh ( ( x)) tx ( ) = ( t t ) mλ + t α H cos hmh ( ) + sin hmh ( ) mλ. (6.5) A rúd által leadott hőáram pedig (6.4) egyenletbe helyettesítve a fenti t(x)-t: α H + tanh( mh) Q! Am( t t ) m rud = λ λ α H + tanh( mh) λm továbbá, ha a véglapon és a paláston a hőátadási tényezők azonosak: tanh( mh) +! m Qrud = ( t αλ α t ) A + ( αλm) tanh( mh), (6.5). (6.5) Az (α/λm)= esetén a fenti kifejezés éppen a tőkeresztmetszetnek megfelelő felület hőátadásával egyezik meg és független a borda hosszúságától. Az (α/λm)> esetén a!q rúd<αa(t t ), így a borda alkalmazása csökkenti a felületről távozó hőt a csupasz felülethez képest. Az (α/λm)< esetén a!q rúd>αa(t t ), így a borda alkalmazása növeli a felületről távozó hőt a csupasz felülethez képest. Az alkalmazható összefüggések jelentősen egyszerűsödnek, mert a véglapon a hőleadás általában elhanyagolható (pl. mert a véglap felület nagyon kicsi, vagy αh ). Ekkor a (6.5) megoldás: és a rúd által leadott hőáram pedig: cos hmh ( ( x)) tx ( ) = ( t t ) + t cos hmh ( ), (6.53) Q! ma( t t ) tanh( mh) rud = λ. (6.54) A rúdban nincs hosszirányú hőmérséklet változás λ= esetén (m=), és ekkor a rúd teljes felszíne t hőmérsékletű, a paláston leadott hőáram pedig: Q! = UH( t t ) α. (6.55) A bordahatásfok a! Q rúd (λ=valóságos érték) és a! Q hányadosa: η borda tanh( mh) =. (6.56) mh

23 A rúd által leadott hőáram a bordahatásfokkal felírva: Q! = η αf ( t t ) ahol F = UH. (6.57) rud borda rud rud Az egyszerűbb (6.53)...(6.57) összefüggések alkalmazása esetén is jó közelítéssel figyelembe vehetjük a véglap hőátadását, ha a borda hosszúságát a fél vastagsággal megnöveljük (véglap felületet a palást megtoldásaként állítva elő) táblázat Különböző bordatípusok bordahatásfoka Bordatípus m = α λδ w A bordahatásfok a véglap hőátadása nélkül Lemezborda, δw = δ = állandó tanh( mh) δ η b = mh H Parabolikus, δ () x = δ w x H δw H x η b = mh I I 3 3 4mH 3 4mH 3 Háromszögű, δ () x = δ w x H δw H x η b = mh mh I 3 mh I 3 Parabolikus, δ () x = δ w x H δw x η b = ( mh) H Hengeres rúd, δw = δ = állandó tanh( mh) η b = mh δ H 3

24 Paraboloid, δ () x = δ w x H δw H x η b = 4 mh 3 4 mh I 3 4 mh I 3 Kúpos, δ () x = δ w x H δw H x 4 I( mh) η b = mh I( mh) Paraboloid δ () x = δ w x H δw H x η b = 8 + ( mh) + 9 Gyűrűborda, δw = δ = állandó r H δ η b = mh r r I( mrw) K( mrh) I( mrh) K( mrw) I( mrw) K( mrh) I( mrh) K( mrw) r w h w A következő fejezetekben a hővezetéshez kapcsolódóan az un. első-, másod- és harmadfajú peremfeltételek ismeretét feltételezzük. Előtanulmányok hiányában a 8.. pont előre átolvasása javasolt. 4

25 6.. Időben állandósult, hőforrás mentes hővezetés A hőforrásmentes, állandósult (stacionárius) hővezetés differenciál egyenlete hőmérséklettől független anyagjellemzők esetében a t (6.58) = un. LAPLACE egyenlet. A LAPLACE egyenlet számos más fizikai jelenség pl. a stacionárius folyadékáramlás, diffúzió, elektrosztatika stb. leírásának is alapegyenlete, melynek derékszögű, henger és gömbi koordináta rendszerbeli alakjai a következők: t t t = + + x y z t t t t = r r r r ϕ z t t = + + ϕ t (sin ) + r r r r sin ϕ ϕ ϕ r sin, (6.59), (6.6) t ϕ ω. (6.6) A (6.58) egyenlet megoldásának meghatározásával az a célunk, hogy különböző (alakú) testekben meghatározzuk a hőmérséklet térbeli eloszlását. Sok esetben - esetleg csak közelítőleg - a vizsgált tárgy (=tartomány) egymásra merőleges (ortogonális) adiabatikus és izotermikus felületekkel határolt. Ilyen esetekben az izotermikus felületek hőmérsékleteinek ismeretében szeretnénk a két vagy több izotermikus felület közötti hőáramot meghatározni. Bizonyos valóságos tárgyaknak a különböző irányú kiterjedésének nagymérvű különbsége lehetőséget nyújt végtelen határfelületekkel (izotermikus, adiabatikus) való közelítésre és a leíró tér dimenziójának csökkentésére is AZ ALAKTÉNYEZŐ Két izotermikus felület között a hőáramot a felületek menti lokális hőmérsékletgradiens integrálásával határozhatjuk meg: t!q = λ n da = λ A A t n da. (6.6) A (6.6) egyenlet azt fejezi ki, hogy az A felületről távozó hőáram az A felületre érkezővel meg kell, hogy egyezzen. A hőáramot felírhatjuk a következő módon is: Q! = S ( t t ) λ. (6.63) ahol az S a [m] mértékegységű, un. alaktényező, melynek definíciója (6.6) és (6.63) egybevetése alapján: 5

26 S = A dt dn da t t = A dt da dn t t. (6.64) Az alaktényező független a tartomány anyagának hővezetési tényezőjétől és a hőmérsékletektől, pusztán csak az izotermák (a testek) geometriai alakja határozza meg. A (6.64) szerinti S alaktényező kiszámítása nem mindig egyszerű feladat. Hővezetéssel foglalkozó különféle kézikönyvekben megtaláljuk számos, a gyakorlatban előforduló esetre vonatkozó számítási összefüggést. Sok alakzatra pl. a fejezetben szereplő konform leképzéssel előállított izotermahálózat alapján határozható meg a számítási összefüggés. Amennyiben az izotermikus S felületek prizmatikusak, a hosszegységre vonatkozó alaktényező S L = mértékegység nélküli szám, és a hosszegységenkénti hőáramot így L számítjuk: ( )!Q = S t t L λ L. (6.65) Különböző alakú, prizmatikus izoterma felületek közötti tér alaktényezőjét a 6.4. táblázat tartalmazza. Mivel az alaktényező a hőellenállás reciprokával arányos a párhuzamos hőáramok esetén összegezni, soros hőáramok esetén reciprok összegezni kell a számításokhoz Táblázat Az alaktényező kiszámítása néhány alapesetben A keresztmetszet alakja, jelölések Az alaktényező kifejezése r r T T r <<r n oldalú szabályos sokszög πl r A ln r n A 3, r e T T r π L ρ arch ρ ρ = r r + + ε ; ε = e r 6

27 T T r a b πl ln 4a π r A b/a A * -7 T a T r πl ln 4a π r T a T b c d πl ln c + d a+ b T T b r S L = π b arch r r sugarú henger, b mélységben r S = 4 r λ Talajon álló, r sugarú henger 7

28 6... HŐMÉRSÉKLETFÜGGŐ ANYAGJELLEMZŐK, A KIRCHOFF-TRANSZFORMÁCIÓ A stacionárius hővezetés differenciálegyenlete hőforrásmentes esetben, derékszögű koordináta rendszerben, hőfokfüggő hővezetési tényező esetén alakú. KIRCHHOFF javaslatára vezessük be λ t λ t λ t + + = (6.66) x x y y z z λdϑ összefüggéssel a ϑ új hőmérsékletet. =. (6.67) λdt Ahol λ, a λ( T ) hőmérsékletfüggő hővezetési tényezőnek a hőmérséklettől független átlagértéke. A (6.66) differenciál egyenlet ezzel a következő alakú λ ϑ ϑ ϑ + + = (6.68) x y z A (6.68) egyenlet alapján az mondhatjuk, hogy az állandó hővezetési tényezővel meghatározott megoldások kiterjeszthetők a hőmérsékletfüggő hővezetési tényező esetére is. A ϑ újhőmérséklet határértékeit a probléma természetes hőmérséklet határaival azonosnak definiálva, legyen t az előforduló legalacsonyabb t pedig a legmagasabb hőmérséklet, ekkor ϑ = t és ϑ = t. A (6.67) egyenlet integrálásával kapjuk, hogy t ( ) ( ) () λϑ ϑ = λt t = λt dt A λ( T ) hőmérsékletfüggvény gyakran lineáris, ekkor a t. (6.69) λ = λ ( t + t ) Sok esetben a hőmérséklet valamelyik szélső értéke csak a feladat megoldása után ismert, ilyenkor a (6.69) egyenletből nem tudjuk λ - t kiszámolni. Ebben az esetben sorozatos iterációval jutunk a feladat megoldásához. Közelítő hőmérséklet-eloszlásból kiindulva meghatározzuk λ értékét és kiszámítjuk a hőmérséklet-eloszlását, majd az eredmény függvényében módosítunk a kiinduló feltételünkön és megismételjük az eljárást addig míg az előfeltételezett és a számításul kapott hőmérsékletértékek az általunk szükségesnek előírt (pl.: %,5% stb.) mértékben megközelítik egymást.. 8

29 6..3. KONFORM LEKÉPEZÉSEK ALKALMAZÁSA A síkbeli, hőforrásmentes, stacioner hőmérséklet-eloszlások meghatározásához a LAPLACE egyenletnek az adott tartományon a peremfeltételeket kielégítő megoldását kell meghatározni. A hőmérséklet-eloszlás T(x,y) meghatározásával egyenértékű a qxy!(, ) függvény meghatározása. A qxyfüggvény!(, ) a sík minden egyes pontjához a!q hőáram vektort rendeli hozzá. Számos fizikai jelenség esetében érvényes, hogy valamilyen vektor mennyiség a tér vagy sík pontjaihoz van rendelve. Pl. gondoljunk az elektrosztatikus erőtérre vagy az áramló folyadékok sebesség terére. A kétdimenziós vektorterek leírásának közös módszere a komplex potenciálokkal való leírásuk, amelynek elemeit összefoglaljuk a következőkben és amely tananyag megértéséhez haladó matematikai ismeretek feltételezünk. (A komplex potenciálok elméletének eredményei a hőtani alkalmazásokon kívül is rendkívül jelentősek voltak a tudomány fejlődésében, ezért tesszük meg e helyütt az alkalmazott elmélet rövid összefoglalását.) Egy f () z = u(, x y) + i v(, x y) komplex függvény a z = x+ i y síkot képezi le a u,v síkra. Az f(z) függvény által megvalósított leképezést konformnak nevezzük, ha a z sík két tetszőleges, egymást metsző görbéjére teljesül:./ c és c görbék Z metszéspontjának a W képpontján átmenő, a γ és γ görbéknek, mint kép görbéknek W pontbeli metszésszöge, irányával együtt megegyezik c és c görbék Z pontbeli metszésszögével és irányával../ A Z pont köré rajzolt R sugarú kör képgörbéjének H sugara csak R magasabb rendűen kicsiny mennyiségeivel különbözik R-től. y z sík v w sík α Z R c c γ H α W γ x u 6.7. ábra A konform leképezés (A konform szó jelentése: a formát változatlanul megtartó. A fenti definíciót tekintve, ez azt jelenti, hogy egy tetszőleges pont környezetében = (kicsiben) alaktartó azaz, konform leképezés.) A komplex függvények differenciálhatóságának feltétele, a CAOUCHY-RIEMANN feltételek teljesülése, azaz: u x u y v =, y v =. x (6.7) 9

30 A differenciálható komplex függvényeket analitikus függvényeknek is szokás nevezni. Az analitikus komplex függvények által megvalósított leképezés konform. Így az analitikus f (), z z = x+ i y komplex függvény a z sík tetszőleges merőleges görbeseregét (pl.: x = áll., y = áll. vagy r = áll., ϕ = áll.) u(x,y), v(x,y) egymásra szintén merőleges (ortogonális) görbeseregbe viszi át. Mivel az f(z) differenciálható, és a deriváltja a következő u v v u f () z = + i = i x x y y. (6.7) Újra alkalmazva (6.7) összefüggést az f (z) differenciálható függvényre ahonnan következik, hogy u v u v f () z = + i = i x x y y u x u v v = = y x y, (6.7),. (6.73) Azaz az u(x,y), v(x,y) függvények kielégítik a LAPLACE egyenletet. Az u(x,y), v(x,y) ortogonális görbeseregnek a vizsgált fizikai jelenség függvényében, (egymás között felcserélhetően) fizikai jelentés adható. A w= f () z függvényt a jelenség komplex potenciáljának nevezzük. Tekintsünk példaként néhány esetet: Forrás és örvénymentes áramláskor: v w= Φ( z) = ϕ(, x y) + iψ (, x y). (6.74) ϕ( xy, ) az áramlás potenciál függvénye, melyből a sebesség komponenseket a x = ϕ és vy = ϕ szerint határozzuk meg, azaz a v = gradϕ( x). x y ψ ( xy, ) az áramfüggvény - az áramló részecskék pályáját leíró függvény. Elektrosztatika: w= Fz () = Uxy (, ) + ivxy (, ). (6.75) U(x,y) erő függvény, így az U(x,y) = állandó, az elektrosztatikus tér erővonalait meghatározó összefüggés. V(x,y) az elektrosztatikus tér potenciálfüggvénye, így a V(x,y) =állandó, az ekvipotenciális vonalakat meghatározó összefüggés. Hőforrás mentes, állandósult hőmérséklet-eloszlások esetén: W = W() z = (, x y) + i T(, x y) ψ. (6.76) T(x,y) a hőmérsékletfüggvény, így a T(x,y) = állandó, az izoterma vonalakat meghatározó összefüggés. 3

31 ψ(x,y) az áram függvény, így a ψ(x,y) = állandó, összefüggés az áramvonalakat meghatározó összefüggés. A hőáram és hőmérséklet kapcsolata a FOURIER törvény: T T q! x = λ ; q! y = λ x y. (6.77)!q = λ gradt. (6.78) Az előbbiekben megadott valamennyi komplex potenciálra érvényesek a CAUCHY RIEMANN összefüggések. Fejezetünk témájánál maradva a hőáram komplex potenciáljára CAUCHY - RIEMANN összefüggések érvényessége a forrás- és őrvény-mentességből következnek, mert: a hőforrás mentesség azt jelenti, hogy továbbá a hőáram vektor tér örvénymentes azaz, q! q! x y + =, (6.79) x y q! q! x y + = y x (6.8) A!q hőáram vektort a T(x,y) hőmérsékletfüggvényéből mint potenciálból kapjuk a (6.78) szerint. A (6.77) összefüggést felhasználva, egy tetszőleges ψ ( xy, ) függvény teljes differenciáját így írhatjuk le: ( q dx q dy) ψ ψ = + λ x dx y dy y x. (6.8) Az így bevezetett ψ ( xy, ) függvényt a hőáram áramfüggvényének nevezzük. A (6.8) alapján nyilvánvaló: ψ x = T y és ψ T =. (6.8) y x A LAPLACE egyenletnek a z= x+ i y függvény is megoldása, a x = állandó vonalaknak az izotermáknak, az y = állandó vonalaknak a hőáram vonalaknak való megfeleltetéssel a síkfal hővezetési feladat megoldása adódik. A z = rexp( i ϕ ) polár koordináták használatával az r = állandó vonalaknak az izotermáknak, ϕ = állandó vonalaknak a hőáramvonalaknak való megfeleltetéssel a hengerekben kialakuló hőmérséklet-eloszlást kapjuk meg. A konform leképezés alkalmazásának középponti problémája a megfelelő transzformációs függvény meghatározása. Különböző eljárások ismertek a megfelelő leképező függvények meghatározására melyek érintőleges ismertetése is meghaladja e fejezet kereteit, a módszert csupán egy egyszerű példával illusztráljuk. 3

32 A w(z) = z függvény által megvalósított transzformáció a következő: amelyet a 6.8. ábra szemléltet. ( ) u = u+ i v = x+ i y = x y + i x y, (6.83) c v=v v w sík b y d c -u u= z sík u v b d a u a x u=-u u=u 6.8. ábra A w(z)=z leképezés ábrázolása A (6.83) alapján a hőáram vonalak egyenlete ψ = x, (6.84) y a hőmérséklet állandó vonalak egyenlete pedig T = x y. (6.85) Eredményül a 9 -os sarok körüli kis környezet hőmérséklet hőáramvonal hálózatát kapjuk. y Ψ Q Q T 6.9. ábra Derékszögű sarok (kis)környezetének T és Ψ vonalai (Vegyük észre, hogy a T és Ψ felcserélésével az eredmény nem változik, csak 45 -os elforgatást kell a 6.9. ábrán alkalmazni.) A (6.64) szerint definiált alaktényezők meghatározásához ismernünk kell az adott tartomány hőmérséklet-eloszlását. A 6.4. táblázatban közölt alaktényezők is a megfelelő konform leképezés meghatározásával kerültek kiszámításra. x FIKTÍV HŐFORRÁSOK/HŐNYELŐK ALKALMAZÁSA A LAPLACE egyenlet lineáris volta miatt annak különböző megoldásainak lineáris kombinációja is megoldás azaz ha pl. f és f megoldásai (6.58) 3

33 egyenletnek akkor f = a f + b f is megoldása, ahol az a és b tetszőleges konstans. A fiktív hőforrások/hőnyelők alkalmazása azt jelenti, hogy a vizsgált probléma hőmérséklet-eloszlását hőforrások/hőnyelők ismert hőmérsékletmezőinek szuperpozíciójával állítjuk elő. A módszert egy földbe fektetett csővezeték körüli hőmérsékletmező meghatározásán keresztül mutatjuk be. ϑ c y R h x p R P y p x h R R ϑ c 6.. ábra Izotermikus henger és a fiktív hőnyelő A 6.. ábra szerinti R átmérőjű csővezeték t izotermikus hőmérsékletű. Az y= magasságában a talaj felszíne izotermikus, t = t hőmérsékletű. Vezessük be a ϑ = t t hőmérsékletet, így a cső felszín ϑ c = t c t, a talaj felszín pedig ϑ = hőmérsékletű lesz. Ahhoz, hogy az x - tengely vonalában izoterma legyen - itt van a talaj felszín - egy, a csővel azonos geometriájú és azonos erősségű hőnyelőt kell feltételeznünk, a 6.. ábra szerint melynek hőmérséklete -ϑ c értékű. A hosszegységre redukált!q L hőáram a forrástól számítva R távolságra a P pontban: ( ) Q! Q! c a L = L = π λ ϑ ϑ R ln R A nyelőtől számítva R távolságra a P pontban: ( ) = = π λ Q! Q! ϑc ϑb L L R ln R. (6.86). (6.87) A két hőáram azonos értékű, de ellentétes előjelű. A ϑ a és ϑ b hőmérsékleteket (6.86) és (6.87) egyenletekből kifejezhetjük. Ezek azok az értékek melyek a másik hőforrás jelenléte nélkül lépnének fel. A P pontbeli hőmérséklet ezek összege lesz a két hőforrás egyidejű jelenlétében, azaz: 33

34 ϑ = ϑ + ϑ = A 6.. ábra geometriája alapján amelyből másként pedig a b Q! R R R L ln ln Q! L ln R R R = π λ 4 π λ R = x + ( y+ h), R = x + ( h y), ( ) ( ) Q! L x + h y ϑ = ln 4 π λ x + h+ y e πλϑ 4 Q! L ( ) ( ) x + h y = x + h+ y R = ω = R Ha ϑ állandó, akkor ω is állandó, és viszont, így az izotermákat az ( ) ( ) x + h y x + h+ y összefüggésből határozzuk meg. A (6.9)- t átalakítva a következő alakra hozhatjuk: x + y ω = + ω. (6.88) (6.89), (6.9). (6.9) = ω = állandó (6.9) 4hω ( ω ), (6.93) így az izotermák geometriai megjelenése könnyebben felismerhető, azaz r = h ω ω sugarú körök, melyeknek középpontjai az y tengelyen helyezkednek el, b= + ω ω h távolságra az origótól, amint azt a 6.. ábra mutatja. (6.94) (6.95) 34

35 Izoterm talajfelszín y x b T 3 T 4 T T T r 6.. ábra Talajban futó, izotermikus csővezeték körüli hőmérséklet-eloszlás A hőáramot (6.5)- ből kifejezve kapjuk: Q! L = ln = π λ ϑ ω π λ ϑ. (6.96) b arch r Ez a hőáram, mely a hosszegységre redukált, a b mélységben elhelyezkedő r sugarú cső vagy kábel által generált hőáram ahonnan az alaktényezőt kifejezve: S L = π b arch r egyezően a 6.4. táblázat 6. sorával., (6.97) GRAFIKUS MÓDSZER Az izotermák és a hőáram áramvonalak egymásra merőlegességét felhasználva, az alak tényezőt grafikus úton is meghatározhatjuk. Α ψ és ψ áramvonalak között áramló hő a T izotermától a T izotermáig a 6.. ábra szürke ívnégyszöge alapján, a következő: ahonnan: Q! s = λ ψ ψ = λ n T T ( ) ( ) L, ψ ψ s = T T n, (6.98). (6.99) Amennyiben a hőmérséklet és a hőáram vonalakat egyenletes osztással vesszük fel, és a s/ n hányados állandó, akkor a ψa és a ψb közötti hőáram:!! s QL = Q m, L = λ ψa ψb = λ s n T T ( ) ( ) ahol ms a ψa és ψb közötti áramcsatornák száma., (6.) 35

36 T a T T T b Ψb s n Ψ Ψa Ψ ábra Az izoterma és áramvonal hálózat részlete A Ta-T, T-T,...,T mn -Tb izotermák közötti hőáram azonos, így (6.) alapján s n T T : λ ( ψ ψ ) = λ m ( ) a b s a : λ ( ψ ψ ) = λ m ( ) a b s mn: ( ) s n T T " s λ ψ ψ = λ a b ms Tm T b n n mn Q! L = mn λ ( ψa ψb) = λ ms ( a b), (6.), (6.) s n T T, (6.3). (6.4) Az eredményt mn db egyenlet jobb és baloldalának összegzésével kaptuk. A (6.4) összefüggés átrendezésével kapjuk, hogy!q m s = λ ψ ψ = λ m n T a T s ( ) ( ) L a b ahonnan az alaktényezőt kifejezve, azaz S L ψa ψb ms s = = T T m n a b n n b, (6.5). (6.6) A módszer alkalmazására tekintsük a két izotermikus, koncentrikus négyzet közötti izotermák és áramvonalak megszerkesztését a 6.3. ábrán. Elég lenne a szimmetria tengelyek miatt csak az /8-ad részt vizsgálni, de szemléletesség miatt az /4-ed részt ábrázoltuk. Ha s/ n= a zavartalan hálózat szabályos négyzethálózat lesz, így indulásként a saroktól távol ilyen négyzeteket rajzolunk. A hálózat megrajzolását segítik a segédkörök, melyek érintői az izotermák és az áramvonalak lesznek. A segédköröket úgy kell elhelyezni, hogy párhuzamos darabszámuk azonos legyen és érintsék egymást, amit az átmérőik változtatásával érhetünk el. A szerkesztést valamilyen egyszerű grafikus segédprogrammal célszerű végezni. A hálózat próbálgatásos rajzolása közben az áramvonal és izoterma