Matematikai programozás gyakorlatok

Átírás

1 VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév

2 Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek Javasolt órai feladat Javasolt házi feladatok Számábrázolás számítógépen Javasolt órai feladat Javasolt házi feladatok Számolás egész számokkal Javasolt órai feladat Javasolt házi feladatok Számolás valós számokkal Javasolt órai feladat Javasolt házi feladatok Elemi függvények, függvénytranszformáció Javasolt órai feladat Javasolt házi feladatok Empirikus képletek el állítása Javasolt órai feladat Javasolt házi feladatok Interpolációs polinomok Javasolt órai feladat Javasolt házi feladatok Numerikus dierenciálás és integrálás Javasolt órai feladat Javasolt házi feladatok Nemlineáris egyenletek megoldása Javasolt órai feladat Javasolt házi feladatok

3 Tartalomjegyzék 3 10.Polinomegyenletek megoldása Javasolt órai feladat Javasolt házi feladatok Irodalomjegyzék 20

4 1. fejezet Számrendszerek 1.1. Javasolt órai feladat Szczepan Jelenski Pitagorasz nyomában cím könyvében szerepel az alábbi feladat: Az egyetemet 44 éves koromban fejeztem be, egy év múlva, már mint 100 éves ifjú, feleségül vettem egy 34 éves kisasszonyt. A jelentéktelen korkülönbség - mindössze 11 év - nagyon kedvezett harmonikus házaséletünknek. Aránylag rövid id n belül már 10 gyermekünk volt. Az én havi keresetem zloty volt. melyb l 1/10 részt a húgomnak adtam, úgyhogy saját magunk eltartására csak zloty maradt havonta, mégis boldogan éltünk. Hogyan lehetne megfejteni ezt az életrajzot? Mit jelenthetnek ezek a furcsa adatok? Az r és az R = r k alapú számrendszerek között akarunk számokat átváltani. Ekkor v = a n r n + a n 1 r n a 1 r + a 0 + a 1 r 1 + a 2 r 2 + = b m R m + b m 1 R m b 1 R + b 0 + b 1 rr 1 + b 2 R 2 +, ahol b i = a ik+k 1 r k 1 +a ik+k 2 r k 2 + +a ik+1 r+a ik, azaz az R alapú számrendszer mindegyik számjegye az r alapú számrendszer számjegyeinek k tagú csoportjára konvertálható és viszont. kettes nyolcas alapú számrendszerek között: triádolás kettes tizenhatos alapú számrendszerek között: tetrádolás 1.2. Javasolt házi feladatok 1. Írjuk fel a tízes számrendszerben azokat a számokat, amelyek a tizenegyes számrendszerben (a0b) 11, a kilences számrendszerben pedig (b0a) 9 alakban írhatók fel. 2. Határozzuk meg, milyen alapú számrendszerben lehet az 0 v < V természetes számokat a legkevesebb tároló elemmel ábrázolni, ha feltesszük hogy egy számjegy tárolásához szükséges tároló elemek száma egyenl a számrendszer alapszámával. 3. Tegyük fel, hogy két-állapotú tároló elemekkel ábrázolunk tizes számrendszerbeli legfeljebb n számjegy természetes számokat. Érhet -e el megtakarítás és mekkora, ha ugyanezeket a számokat kettes számrendszerbeli számokként tárolnánk. 4

5 2. fejezet Számábrázolás számítógépen 2.1. Javasolt órai feladat Tekintsük át, hogy a Turbo Pascal az egész és valós számok ábrázolásásra milyen beépített típusokat használ. Az IDE 1 nyomkövet jének 2 használatával (Break/Watch menü) vizsgáljuk meg az ábrázolási módokat és az ábrázolási tartományokat ([5]). A Watch ablakba: valtozo-nev, formatum-specikátor(ok) formatum-specikátor dollárjel vagy H vagy X : hexadecimális kiírás C : karakteres D : decimális Fn : 2 n 18 számjegyek száma (default 11) M : memória dump P : pointer seg:ofs formában R : record mez nevekkel S : sztring formában (a M specikátorral használjuk) 2.2. Javasolt házi feladatok 1. Bizonyítsuk be, hogy a kettes komplemens összeadásnál pontosan akkor esik két az ábrázolási tartományba es szám összege is az ábrázolási tartományba, ha a két legmagasabb helyiértékr l (n bites ábrázolás esetén a 2 n 2 és a 2 n 1 helyiértékekr l) azonos átvitel keletkezik. 2. Legyenek 0 x, y 2 n 1 egész számok. Deniáljuk közöttük a következ m veletet: x y 1Integrated Development Enviroment 2Debugger x + y + 2 n 1 ha x + y 2 n 1 1, x + y 2 n 1 ha 2 n 1 x + y 2 n + 2 n 1 1, x + y 2 n 1 2 n ha 2 n + 2 n 1 x + y. 5

6 6 2. Számábrázolás számítógépen A m velet neve: többletes összeadás. Bizonyítsuk be, hogy két többletes kódban ábrázolt szám többletes összege éppen a két szám összegének többletes kódja, ha a két szám összege az ábrázolási tartományba esik.

7 3. fejezet Számolás egész számokkal Amikor egy számítógép (xpontosan ábrázolt) számokkal számol (pl. összeadja ket), könnyen el fordulhat, hogy az eredmény már nem ábrázolható az el írt módon a rendelkezésre álló területen. Ilyen esetben túlcsordulásról beszélünk. El fordulhat az is, hogy a számítás végeredménye ugyan ábrázolható lenne, azonban egy részeredmény túlcsordulást okoz, és ez a végeredményt is elrontja. Ennek az a következménye, hogy egyszer algebrai azonoságok, mint pl. (a + b) + c = a + (b + c) nem mindig teljesülnek, csak akkor, ha nem lépett fel közben túlcsordulás. A túlcsordulást el kell kerülni ben Leonardo Pisano itáliai matematikus, akit L. Fibonacci (Filius Bonaccio, azaz Bonaccio a) néven ismernek, oldotta meg a következ problémát: Ha egy pár újszülött nyulat kapok az év elején, hány pár nyulam lesz az év végén. Természetesen tett néhány egyszer sít feltevést: minden feln tt nyúlpárnak havonta egy hím és egy n stény utóda születik, a vemhesség ideje egy hónap, az újszülöttek pontosan egy hónap alatt válnak ivaréretté, és egy nyúl sem pusztul el. Tegyük fel, hogy az n-edik hónapban a nyúlpárok száma F (n), és ebb l a feln tt nyúlpárok száma V (n). Tegyük fel továbbá, hogy az els pár újszülött nyuszit az els hónap elején kaptuk, tehát a nyúlpárok száma az el z hónapban még 0 volt, azaz F (0) = 0 és F (1) = 1. Mivel minden hónapban annyi feln tt pár van, ahány nyúlpár az el z hónapban összesen volt, ezért V (n) = F (n 1). Másrészt a V (n) feln tt nyúlpár mindegyike egy pár nyulat alt az n + 1-edik hónap kezdetén, úgyhogy F (n + 1) = F (n) + V (n) = F (n) + F (n 1). Ekkor a probléma formálisan a következ képpen fogalmazható meg: mennyi lesz F (12) értéke, ha tudjuk, hogy F (0) = 0 F (1) = 1 és minden n 1 esetén F (n + 1) = F (n) + F (n 1). Egyébként ezekkel az összefüggésekkel megadott Fibonacci-számok fontos szerepet játszanak a legkülönfélébb természeti folyamatokban. Pl. a növénytanban a Fibonacciszámok a phyllotaxisban, azaz a levélállások tanában jelennek meg: a levelek a növénytanban a Fibonacci-számok szerinti elrendezésben n nek a szár körül; a szomszédos 7

8 8 3. Számolás egész számokkal Fibonacci-számok hányadosának határértéke pedig az ún. aranymetszés arányszáma. Knuth [2] alapján a 41 értékes jegyre csonkított eredmény: Javasolt órai feladat Számoljuk ki két szomszédos Fibonacci-szám hányadosaként el álló sorozat elemeit, ameddig lehet Javasolt házi feladatok 1. Határozzuk meg, az egészek összes lehetséges összeadásának, illetve szorzásának hány százaléka vezet túlcsorduláshoz a számítógépünkön. 2. Írjuk fel értékadó utasítások olyan sorozatát, amely két egész számot tárolni tudó változó értékét segédváltozó nélkül felcseréli. Gondoljunk a túlcsordulásra is! 3. Intevallumösszeg. Írjunk programot, amely egy adott s egész számhoz megkeresi az i és j egészek (1 i j) összes olyan párosítását, hogy az [i, j] zárt intervallumba es egész számok összege éppen s legyen. 4. Osztók maximális összege. Keressük meg azt az egész számot az [i, j] zárt intervallumban (1 i j), melyre igaz, hogy osztóinak összege maximális. (Az 1 és maga a szám is osztó.) 5. Háló pontjainak megszámlálása. Írjunk programot, amely beolvas egy r egész számot és megszámolja, hogy az r sugarú körbe az egységnyi oldalú négyzetháló hány pontja esik, azaz hány (x, y) pár elégíti ki az x x + y y r r egyenl tlenséget. 6. Pithagoraszi számhármasok. Keressük meg az 1 i i max és az 1 j j max tartományokban az összes olyan (i, j) párt, amelyek pithagoraszi számhármast alkotnak (azaz i i + j j négyzetszám).

9 4. fejezet Számolás valós számokkal Jól ismert a másodfokú egyenlet megoldóképlete, amely nem elfajult esetben a gyököket adja meg. Eszerint az ax 2 + bx + c = 0 egyenlet gyökeit az képletekkel számolhatjuk. x 1 = b b 2 4ac 2a x 2 = b + b 2 4ac 2a 4.1. Javasolt órai feladat Felhasználva ezt az összefüggést, készítsünk a másodfokú egyenletet megoldására programot. Számítsuk ki a programmal az (x 10.0 i ) (x 1.0) = 0.0 másodfokú egyenlet gyökeit az i = 1, 2, 3,... értékekre. Figyeljük meg a kisebbik gyökként el állított értékeket. A hiba oka: a nagyon kis gyökök relatív hibája nagy, különösen akkor, ha az egyenlet két gyöke abszolút értékben jelent sen eltér egymástól. Ilyenkor ugyanis a is, és c is kicsi b-hez képest, s ezért b és b 2 4ac közel azonos érték. A korlátozott pontosság következtében e két érték különbségének nagy lesz a relatív hibája. Jobb eredményt kapunk, ha a megoldóképlettel ekvivalens 2c b x 1 = ac b 2 c x 2 = ax 1 képletek alapján határozzuk meg a gyököket, ahol abszolút értékét tekintve x 1 a kisebbik és x 2 a nagyobbik gyök. 9

10 10 4. Számolás valós számokkal 4.2. Javasolt házi feladatok 1. Vizsgáljuk meg a valós aritmetika viselkedését a következ számítások elvégzésével: (a) 1 1/3 1/3 1/3 (b) 1 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 (c) x x 2 x néhány értékére (d) x ( x) 2 x néhány értékére (e) x tan(arctan(x)) x néhány értékére 2. A rendelkezésünkre álló leírásokból határozzuk meg számítógépünk valós aritmetikai m veleteinek és valós függvényeinek tulajdonságait! Ha tudjuk, számítsuk ki a végrehajtási id ket is. 3. Számítsuk ki e és 1/e közelít értékét az e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! /e = 1 1/1! + 1/2! 1/3! +... sorok segítségével. A közelít értékek összeszorzásával minden lépés után ellen rizzük az eredményt. 4. Számítsuk ki π/4 közelít értékét a π/4 = 1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9... sor segítségével. Minden lépés után irassuk ki a közelít értéket, és hasonlítsuk össze a számítógépünk által számolt π/4 hányadossal. 5. Számítsuk ki ln(2) közelít értékét a ln(2) = 1 1/2 + 1/3 1/4 + 1/5... sor segítségével. Ellen rzésképpen számítsuk ki e-nek a közelít értékek szerinti hatványát.

11 5. fejezet Elemi függvények, függvénytranszformáció Elemi algebrai függvények Racionális egész függvények általános alakjuk: y = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, ahol a n,..., a 0 tetsz leges valós számok. Ha a n 0, ez egy n-ed fokú racionális egész függvény (a jobb oldal n-ed fokú polinom). néhány racionális egész függvény: lineáris függvény: y = ax + b, ahol a 0, képe egyenes; másodfokú függvény: y = ax 2 + bx + c, ahol a 0, képe az y-tengellyel párhuzamos tengely parabola; Racionális törtfüggvények általános alakjuk: y = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b m x m + a m 1 x m b 1 x + b 0, ahol a n,..., a 0, b m,..., b 0 tetsz leges valós számok (a n, b m 0). Általában feltételezzük, hogy ebben az alakban már egyszer síteni nem lehet. néhány racionális törtfüggvény: a legegyszer bb: y = x, a ahol a 0, képe hiperbola; lineáris törtfüggvény: y = ax+b cx+d, ahol a, c 0; Algebrai irracionális függvények egyszer sített alakjukban a független változó gyökvonásban is el fordul y = ± ax + b, ahol a 0, képe parabola, melynek szimmetriatengelye az x-tengely; y = ± ax 2 + bx + c, ahol a 0, képe a és ax 2 + bx + c diszkriminánsának el jelét l függ en ellipszis vagy hiperbola; Elemi transzcendens függvények 11

12 12 5. Elemi függvények, függvénytranszformáció exponenciális függvény általános alakja: y = a x, ahol a > 0 és a 1 logaritmusfüggvény általános alakja: y = log a x, ahol a > 0 és a 1 trigonometrikus függvények alakjuk: y = sin x, y = cos x, y = tan x és y = cot x hiperbolikus függvények alakjuk: y = sinh x = ex e x és y = cosh x = ex + e x 2 y = tanh x = ex e x és e x + e y = coth x = ex + e x x e x e x 5.1. Javasolt órai feladat Rajzoljuk meg program segítségével a fenti függvények grakonját beolvasott paraméterek mellett Javasolt házi feladatok 1. Írjunk az y = x 2 másodfokú függvény transzformációit grakusan szemléltet programot. 2. Írjunk az y = sin x trigonometrikus függvény transzformációit grakusan szemléltet programot. 2

13 6. fejezet Empirikus képletek el állítása Empirikus képleteknek nevezzük azokat a mennyiségi összefüggéseket, amelyeket közvetlen meggyelés, mérés útján nyert tapasztalati eredmények alapján határoztunk meg. Az alkalmazott matematikának legtöbbször a természettudományok és a m szaki tudományok területén kell ilyen problémákkal foglalkozni. Célunk, hogy lehet leg egyszer képlettel kifejezzük az összetartozó (x i, y i ) i = 1, 2,..., n tapasztalati eredmények kapcsolatát. A probléma megoldása során el ször megállapítjuk az empirikus képlet típusát. A kiválasztott típusú y = ϕ(x; a 1, a 2,..., a m ) empirikus függvény paramétereinek értékeit úgy határozzuk meg, hogy a Φ(a 1, a 2,..., a m ) n (y i ϕ(x i ; a 1, a 2,..., a m )) 2 függvény minimális legyen. A Φ(a 1, a 2,..., a m ) függvény minimumát a Φ a 1 = 0, i=1 Φ a 2 = 0,..., Φ a m = 0 egyenletrendszert megoldva nyerhetjük. A gyakorlatban ezek a deriváltak, illetve ebb l a paraméterek lineáris empirikus függvény esetén könnyen számolhatók. Más közelít függvény alkalmazása esetén különböz transzformációkkal lineárissá alakítjuk, és így felhasználhatjuk a lineáris eset összefüggéseit. Az eredményt természetesen vissza kell alakítani. Az alábbi táblázatban foglaltuk össze a legfontosabb empirikus függvénytípusokat és linearizálásukat. Típus Függvény x y a b lineáris y = a + bx x y α β exponenciális y = ae bx x ln y e α β hatványfüggvény y = ax b ln x ln y e α β arrhenius y = ae b x 1 ln y e α β x reciprok y = 1 a+bx x 1 racionális tört y = ax x x 1+bx y y kvadratikus y = x(a + bx) x y α β vektoriális y = a + bx 2 x 2 y 2 α β hiperbola y = a + b 1 y α β x x logaritmikus y = a ln bx ln x y β e β α 13 1 α β α x α β

14 14 6. Empirikus képletek el állítása és Linearizálva a tapasztalai értékeinket kiszámíthatjuk az értékeket, majd ezekb l a s 3 = s 1 = n x i, s 2 = i=1 n (x i) 2, s 4 = i=1 β = ns 4 s 2 s 1 ns 3 s 2 1 n i=1 y i n x iy i, i=1 α = s 2 βs 1 n értékeket, amib l az a és b együtthatók a táblázat alapján nyerhet k Javasolt órai feladat Határozzunk meg az x y mérési adatok esetén megfelel empirikus függvényt Javasolt házi feladatok 1. Határozzunk meg program segítségével az x (a) y x (b) y x (c) y mérési adatok esetén megfelel empirikus függvényt C -on, különböz nyomásokon megmértük 1 mól NH 3 térfogatát: P V Határozzuk meg a van der Waals állandókat. 3. Egy Weston-elem feszültsége 20 C -tól eltér h mérsékleten, az eltérés függvényében: δ U Adjunk egy polinomközelítést.

15 7. fejezet Interpolációs polinomok A függvények grakus ábrázolása olyan terület, ahol gyakran találkozunk az interpoláció szükségességével. Ha néhány pontjával megadott függvényt kell folytonos görbével ábrázolnunk, a függvény ismeretlen pontjait mindig valamilyen interpolációs módszerrel határozzuk meg Javasolt órai feladat A Lagrange interpolációs polinom helyettesítési értékének kiszámítására gyakran használják Aitken módszerét. Ez az eljárás egyrészt egyszer síti a számítás elvégzését, másrészt módot ad arra, hogy ha az interpoláció fokszáma nem bizonyul elegend nek egy újabb alappont felvételével a már kiszámolt helyettesítési értékekb l az eggyel magasabb fokszámú polinom helyettesítési értékét el állítsuk. Az x 1, x 2,..., x n, x n+1 alappontokra támaszkodó n-edfokú interpolációs polinom el állítható a következ képpen: p 1,...,n 1,n,n+1 (x) = p 1,...,n 1,n(x) (x n+1 x) p 1,...,n 1,n+1 (x) (x n x) x n+1 x n. Az Aitken-interpoláció rekurzív módon állítja el az egyre nagyobb fokszámú polinomokból adódó helyettesítési értékeket. Írjuk meg a Lagrange-interpolációt, illetve az Aitken-interpolációt megvalósító függvényeljárásokat! bemen paraméterek: n: alappontok száma x: alappontok tömbje y: függvényértékek tömbje x0: ahol a függvényértékre kíváncsiak vagyunk visszatérési értékek az x0-hoz tartozó függvényérték hibajelzés 15

16 16 7. Interpolációs polinomok 7.2. Javasolt házi feladatok Írjunk programot, mely a Lagrange-interpolációval, illetve az Aitken-interpolációval kiszámolja az [1, 4] intervallumban 0.5-es lépésközzel az alábbi alappontokban megadott függvények értékét x y x y

17 8. fejezet Numerikus dierenciálás és integrálás 8.1. Javasolt órai feladat Írjuk meg a következ Pascal függvényeket az b f(x)dx kiszámítására: a function kistrapez(a,b:real;f:fuggv):real; function nagytrapez(a,b:real;n:integer;f:fuggv):real; function kissimpson(a,b:real;f:fuggv):real; function nagysimpson(a,b:real;n:integer;f:fuggv):real; Számítsuk ki az x 2 dx integrál értékét a megírt eljárások segítségével. (Megjegyezzük, hogy a programban {ŸF+} fordítási direktíva szükséges, mert az integráló függvényeljárásokban az integrálandó függvényt paraméterként vesszük át: type fuggv = functions (x:real):real; 8.2. Javasolt házi feladatok Számítsuk ki az alábbi függvények b f(x)dx integráljait adott intervallumon, adott lépéstávolsággal, a megírt függvényeljárások a segítségével: 1. a = 3.00, b = 5.00, h = 0.20; 2. a = 40.00, b = 43.00, h = 0.30; f(x) = ln sin x π 3. a = 1.70, b = 2.70, h = 0.10; f(x) = ln cos x e 2 f(x) = ln tan x π 17

18 9. fejezet Nemlineáris egyenletek megoldása 9.1. Javasolt órai feladat Határozzuk meg az f(x) = 2 cos x x 2 függvény legkisebb pozitív gyökét 10 1 pontossággal felez módszerrel. A gyököket grakusan elkülöníthetjük az f 1 (x) = 2 cos x és f 2 (x) = x 2 függvények metszéspontjainak behatárolásával. A legkisebb és egyetlen pozitív gyök a [0, π 2 ] intervallumban van. Induljunk ki a [0.0, 1.5] intervallumból és ε legyen = 0.1. i [a i, b i ] c i f(c i ) b i a i 0. [0.0, 1.5] [0.75, 1.5] [0.75, 1.125] [0.9375, 1.125] [0.9375, ] Tehát a gyök közelít értéke 10 1 pontossággal: Írjuk meg a felez, a húr-, a szel és a Newton-módszert megvalósító függvényeljárásokat. A f(x) = 2 cos x x 2 függvény legkisebb pozitív gyökét keressük az eljárásokkal pontossággal, és hasonlítsuk össze a módszerek konvergenciájának gyorsaságát Javasolt házi feladatok Határozzuk meg az alábbi függvények gyökeinek számát és különítsük el ket. Közelítsük a függvények elkülönített gyökeit alkalmas módszerrel pontossággal: 1. f(x) = x 2 + lg x 9 2. f(x) = e x + x f(x) = sin x + 1 x 18

19 10. fejezet Polinomegyenletek megoldása Javasolt órai feladat A gyökközelít eljárásokat alkalmazva egy polinom gyökeinek keresésére, általában ki kell számítani a polinom néhány helyettesítési értékét. Ha a p n (x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n polinom értékét a c helyen a képlet alapján számítjuk, rendre ki kell számítani a c 2, c 3,..., c n, a n 1 c, a n 2 c 2,..., a 0 c n értékeket. Ez összesen 2n 1 szorzást kíván, majd p n (c) kiszámításához ezután még n összeadást kell elvégezni. Ha pedig a Horner-elrendezés segítségével számolunk, csak n szorzást és n összeadást kell elvégeznünk. Számítsuk ki a Horner-elrendezés segítségével a p 5 (x) = 4x 5 3x 3 + 6x 2 9 polinom értékét az x 0 = 2 helyen Próbáljuk meg elkülöníteni a polinom valamelyik gyökét: x és x 1 + Tehát a (0, 2) intervallumban van gyök. Induljunk ki a c 0 = 1 pontból, és alkalmazzuk a Newton módszert: Tehát c 1 = = a gyök új közelít értéke. Írjuk meg a Horner-elrendezés alapján polinom helyettesítési értékét számító függvényeljárást. Az el z óra eljárásait is felhasználva közelítsük a gyököt

20 Polinomegyenletek megoldása Javasolt házi feladatok Határozzuk meg az alábbi polinomegyenletek valós gyökeit. El ször különítsük el a gyököket a tanult szabályokkal, majd keressük az egyes intervallumba es valós gyököket Newton-módszerrel. Használjuk a Horner-sémát. 1. x 4 2x 3 3x 2 3x 4 = 0 2. x x x x = 0

21 Irodalomjegyzék [1] C.H.A., Programozás felülnézetben, M szaki Könyvkiadó, Budapest, [2] Knuth, D.E., A számítógép-programozás m vészete, 1. kötet: Alapvet algoritmusok, M szaki Könyvkiadó, Budapest, [3] Obádovics J.Gy., Gyakorlati számítási eljárások, Gondolat Kiadó, [4] Programozási feladatok és algoritmusok Turbo Pascal nyelven, ComputerBooks, [5] Turbo Pascal User's Guide 21