Matematikai programozás gyakorlatok

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematikai programozás gyakorlatok"

Átírás

1 VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév

2 Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek Javasolt órai feladat Javasolt házi feladatok Számábrázolás számítógépen Javasolt órai feladat Javasolt házi feladatok Számolás egész számokkal Javasolt órai feladat Javasolt házi feladatok Számolás valós számokkal Javasolt órai feladat Javasolt házi feladatok Elemi függvények, függvénytranszformáció Javasolt órai feladat Javasolt házi feladatok Empirikus képletek el állítása Javasolt órai feladat Javasolt házi feladatok Interpolációs polinomok Javasolt órai feladat Javasolt házi feladatok Numerikus dierenciálás és integrálás Javasolt órai feladat Javasolt házi feladatok Nemlineáris egyenletek megoldása Javasolt órai feladat Javasolt házi feladatok

3 Tartalomjegyzék 3 10.Polinomegyenletek megoldása Javasolt órai feladat Javasolt házi feladatok Irodalomjegyzék 20

4 1. fejezet Számrendszerek 1.1. Javasolt órai feladat Szczepan Jelenski Pitagorasz nyomában cím könyvében szerepel az alábbi feladat: Az egyetemet 44 éves koromban fejeztem be, egy év múlva, már mint 100 éves ifjú, feleségül vettem egy 34 éves kisasszonyt. A jelentéktelen korkülönbség - mindössze 11 év - nagyon kedvezett harmonikus házaséletünknek. Aránylag rövid id n belül már 10 gyermekünk volt. Az én havi keresetem zloty volt. melyb l 1/10 részt a húgomnak adtam, úgyhogy saját magunk eltartására csak zloty maradt havonta, mégis boldogan éltünk. Hogyan lehetne megfejteni ezt az életrajzot? Mit jelenthetnek ezek a furcsa adatok? Az r és az R = r k alapú számrendszerek között akarunk számokat átváltani. Ekkor v = a n r n + a n 1 r n a 1 r + a 0 + a 1 r 1 + a 2 r 2 + = b m R m + b m 1 R m b 1 R + b 0 + b 1 rr 1 + b 2 R 2 +, ahol b i = a ik+k 1 r k 1 +a ik+k 2 r k 2 + +a ik+1 r+a ik, azaz az R alapú számrendszer mindegyik számjegye az r alapú számrendszer számjegyeinek k tagú csoportjára konvertálható és viszont. kettes nyolcas alapú számrendszerek között: triádolás kettes tizenhatos alapú számrendszerek között: tetrádolás 1.2. Javasolt házi feladatok 1. Írjuk fel a tízes számrendszerben azokat a számokat, amelyek a tizenegyes számrendszerben (a0b) 11, a kilences számrendszerben pedig (b0a) 9 alakban írhatók fel. 2. Határozzuk meg, milyen alapú számrendszerben lehet az 0 v < V természetes számokat a legkevesebb tároló elemmel ábrázolni, ha feltesszük hogy egy számjegy tárolásához szükséges tároló elemek száma egyenl a számrendszer alapszámával. 3. Tegyük fel, hogy két-állapotú tároló elemekkel ábrázolunk tizes számrendszerbeli legfeljebb n számjegy természetes számokat. Érhet -e el megtakarítás és mekkora, ha ugyanezeket a számokat kettes számrendszerbeli számokként tárolnánk. 4

5 2. fejezet Számábrázolás számítógépen 2.1. Javasolt órai feladat Tekintsük át, hogy a Turbo Pascal az egész és valós számok ábrázolásásra milyen beépített típusokat használ. Az IDE 1 nyomkövet jének 2 használatával (Break/Watch menü) vizsgáljuk meg az ábrázolási módokat és az ábrázolási tartományokat ([5]). A Watch ablakba: valtozo-nev, formatum-specikátor(ok) formatum-specikátor dollárjel vagy H vagy X : hexadecimális kiírás C : karakteres D : decimális Fn : 2 n 18 számjegyek száma (default 11) M : memória dump P : pointer seg:ofs formában R : record mez nevekkel S : sztring formában (a M specikátorral használjuk) 2.2. Javasolt házi feladatok 1. Bizonyítsuk be, hogy a kettes komplemens összeadásnál pontosan akkor esik két az ábrázolási tartományba es szám összege is az ábrázolási tartományba, ha a két legmagasabb helyiértékr l (n bites ábrázolás esetén a 2 n 2 és a 2 n 1 helyiértékekr l) azonos átvitel keletkezik. 2. Legyenek 0 x, y 2 n 1 egész számok. Deniáljuk közöttük a következ m veletet: x y 1Integrated Development Enviroment 2Debugger x + y + 2 n 1 ha x + y 2 n 1 1, x + y 2 n 1 ha 2 n 1 x + y 2 n + 2 n 1 1, x + y 2 n 1 2 n ha 2 n + 2 n 1 x + y. 5

6 6 2. Számábrázolás számítógépen A m velet neve: többletes összeadás. Bizonyítsuk be, hogy két többletes kódban ábrázolt szám többletes összege éppen a két szám összegének többletes kódja, ha a két szám összege az ábrázolási tartományba esik.

7 3. fejezet Számolás egész számokkal Amikor egy számítógép (xpontosan ábrázolt) számokkal számol (pl. összeadja ket), könnyen el fordulhat, hogy az eredmény már nem ábrázolható az el írt módon a rendelkezésre álló területen. Ilyen esetben túlcsordulásról beszélünk. El fordulhat az is, hogy a számítás végeredménye ugyan ábrázolható lenne, azonban egy részeredmény túlcsordulást okoz, és ez a végeredményt is elrontja. Ennek az a következménye, hogy egyszer algebrai azonoságok, mint pl. (a + b) + c = a + (b + c) nem mindig teljesülnek, csak akkor, ha nem lépett fel közben túlcsordulás. A túlcsordulást el kell kerülni ben Leonardo Pisano itáliai matematikus, akit L. Fibonacci (Filius Bonaccio, azaz Bonaccio a) néven ismernek, oldotta meg a következ problémát: Ha egy pár újszülött nyulat kapok az év elején, hány pár nyulam lesz az év végén. Természetesen tett néhány egyszer sít feltevést: minden feln tt nyúlpárnak havonta egy hím és egy n stény utóda születik, a vemhesség ideje egy hónap, az újszülöttek pontosan egy hónap alatt válnak ivaréretté, és egy nyúl sem pusztul el. Tegyük fel, hogy az n-edik hónapban a nyúlpárok száma F (n), és ebb l a feln tt nyúlpárok száma V (n). Tegyük fel továbbá, hogy az els pár újszülött nyuszit az els hónap elején kaptuk, tehát a nyúlpárok száma az el z hónapban még 0 volt, azaz F (0) = 0 és F (1) = 1. Mivel minden hónapban annyi feln tt pár van, ahány nyúlpár az el z hónapban összesen volt, ezért V (n) = F (n 1). Másrészt a V (n) feln tt nyúlpár mindegyike egy pár nyulat alt az n + 1-edik hónap kezdetén, úgyhogy F (n + 1) = F (n) + V (n) = F (n) + F (n 1). Ekkor a probléma formálisan a következ képpen fogalmazható meg: mennyi lesz F (12) értéke, ha tudjuk, hogy F (0) = 0 F (1) = 1 és minden n 1 esetén F (n + 1) = F (n) + F (n 1). Egyébként ezekkel az összefüggésekkel megadott Fibonacci-számok fontos szerepet játszanak a legkülönfélébb természeti folyamatokban. Pl. a növénytanban a Fibonacciszámok a phyllotaxisban, azaz a levélállások tanában jelennek meg: a levelek a növénytanban a Fibonacci-számok szerinti elrendezésben n nek a szár körül; a szomszédos 7

8 8 3. Számolás egész számokkal Fibonacci-számok hányadosának határértéke pedig az ún. aranymetszés arányszáma. Knuth [2] alapján a 41 értékes jegyre csonkított eredmény: Javasolt órai feladat Számoljuk ki két szomszédos Fibonacci-szám hányadosaként el álló sorozat elemeit, ameddig lehet Javasolt házi feladatok 1. Határozzuk meg, az egészek összes lehetséges összeadásának, illetve szorzásának hány százaléka vezet túlcsorduláshoz a számítógépünkön. 2. Írjuk fel értékadó utasítások olyan sorozatát, amely két egész számot tárolni tudó változó értékét segédváltozó nélkül felcseréli. Gondoljunk a túlcsordulásra is! 3. Intevallumösszeg. Írjunk programot, amely egy adott s egész számhoz megkeresi az i és j egészek (1 i j) összes olyan párosítását, hogy az [i, j] zárt intervallumba es egész számok összege éppen s legyen. 4. Osztók maximális összege. Keressük meg azt az egész számot az [i, j] zárt intervallumban (1 i j), melyre igaz, hogy osztóinak összege maximális. (Az 1 és maga a szám is osztó.) 5. Háló pontjainak megszámlálása. Írjunk programot, amely beolvas egy r egész számot és megszámolja, hogy az r sugarú körbe az egységnyi oldalú négyzetháló hány pontja esik, azaz hány (x, y) pár elégíti ki az x x + y y r r egyenl tlenséget. 6. Pithagoraszi számhármasok. Keressük meg az 1 i i max és az 1 j j max tartományokban az összes olyan (i, j) párt, amelyek pithagoraszi számhármast alkotnak (azaz i i + j j négyzetszám).

9 4. fejezet Számolás valós számokkal Jól ismert a másodfokú egyenlet megoldóképlete, amely nem elfajult esetben a gyököket adja meg. Eszerint az ax 2 + bx + c = 0 egyenlet gyökeit az képletekkel számolhatjuk. x 1 = b b 2 4ac 2a x 2 = b + b 2 4ac 2a 4.1. Javasolt órai feladat Felhasználva ezt az összefüggést, készítsünk a másodfokú egyenletet megoldására programot. Számítsuk ki a programmal az (x 10.0 i ) (x 1.0) = 0.0 másodfokú egyenlet gyökeit az i = 1, 2, 3,... értékekre. Figyeljük meg a kisebbik gyökként el állított értékeket. A hiba oka: a nagyon kis gyökök relatív hibája nagy, különösen akkor, ha az egyenlet két gyöke abszolút értékben jelent sen eltér egymástól. Ilyenkor ugyanis a is, és c is kicsi b-hez képest, s ezért b és b 2 4ac közel azonos érték. A korlátozott pontosság következtében e két érték különbségének nagy lesz a relatív hibája. Jobb eredményt kapunk, ha a megoldóképlettel ekvivalens 2c b x 1 = ac b 2 c x 2 = ax 1 képletek alapján határozzuk meg a gyököket, ahol abszolút értékét tekintve x 1 a kisebbik és x 2 a nagyobbik gyök. 9

10 10 4. Számolás valós számokkal 4.2. Javasolt házi feladatok 1. Vizsgáljuk meg a valós aritmetika viselkedését a következ számítások elvégzésével: (a) 1 1/3 1/3 1/3 (b) 1 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 (c) x x 2 x néhány értékére (d) x ( x) 2 x néhány értékére (e) x tan(arctan(x)) x néhány értékére 2. A rendelkezésünkre álló leírásokból határozzuk meg számítógépünk valós aritmetikai m veleteinek és valós függvényeinek tulajdonságait! Ha tudjuk, számítsuk ki a végrehajtási id ket is. 3. Számítsuk ki e és 1/e közelít értékét az e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! /e = 1 1/1! + 1/2! 1/3! +... sorok segítségével. A közelít értékek összeszorzásával minden lépés után ellen rizzük az eredményt. 4. Számítsuk ki π/4 közelít értékét a π/4 = 1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9... sor segítségével. Minden lépés után irassuk ki a közelít értéket, és hasonlítsuk össze a számítógépünk által számolt π/4 hányadossal. 5. Számítsuk ki ln(2) közelít értékét a ln(2) = 1 1/2 + 1/3 1/4 + 1/5... sor segítségével. Ellen rzésképpen számítsuk ki e-nek a közelít értékek szerinti hatványát.

11 5. fejezet Elemi függvények, függvénytranszformáció Elemi algebrai függvények Racionális egész függvények általános alakjuk: y = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, ahol a n,..., a 0 tetsz leges valós számok. Ha a n 0, ez egy n-ed fokú racionális egész függvény (a jobb oldal n-ed fokú polinom). néhány racionális egész függvény: lineáris függvény: y = ax + b, ahol a 0, képe egyenes; másodfokú függvény: y = ax 2 + bx + c, ahol a 0, képe az y-tengellyel párhuzamos tengely parabola; Racionális törtfüggvények általános alakjuk: y = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b m x m + a m 1 x m b 1 x + b 0, ahol a n,..., a 0, b m,..., b 0 tetsz leges valós számok (a n, b m 0). Általában feltételezzük, hogy ebben az alakban már egyszer síteni nem lehet. néhány racionális törtfüggvény: a legegyszer bb: y = x, a ahol a 0, képe hiperbola; lineáris törtfüggvény: y = ax+b cx+d, ahol a, c 0; Algebrai irracionális függvények egyszer sített alakjukban a független változó gyökvonásban is el fordul y = ± ax + b, ahol a 0, képe parabola, melynek szimmetriatengelye az x-tengely; y = ± ax 2 + bx + c, ahol a 0, képe a és ax 2 + bx + c diszkriminánsának el jelét l függ en ellipszis vagy hiperbola; Elemi transzcendens függvények 11

12 12 5. Elemi függvények, függvénytranszformáció exponenciális függvény általános alakja: y = a x, ahol a > 0 és a 1 logaritmusfüggvény általános alakja: y = log a x, ahol a > 0 és a 1 trigonometrikus függvények alakjuk: y = sin x, y = cos x, y = tan x és y = cot x hiperbolikus függvények alakjuk: y = sinh x = ex e x és y = cosh x = ex + e x 2 y = tanh x = ex e x és e x + e y = coth x = ex + e x x e x e x 5.1. Javasolt órai feladat Rajzoljuk meg program segítségével a fenti függvények grakonját beolvasott paraméterek mellett Javasolt házi feladatok 1. Írjunk az y = x 2 másodfokú függvény transzformációit grakusan szemléltet programot. 2. Írjunk az y = sin x trigonometrikus függvény transzformációit grakusan szemléltet programot. 2

13 6. fejezet Empirikus képletek el állítása Empirikus képleteknek nevezzük azokat a mennyiségi összefüggéseket, amelyeket közvetlen meggyelés, mérés útján nyert tapasztalati eredmények alapján határoztunk meg. Az alkalmazott matematikának legtöbbször a természettudományok és a m szaki tudományok területén kell ilyen problémákkal foglalkozni. Célunk, hogy lehet leg egyszer képlettel kifejezzük az összetartozó (x i, y i ) i = 1, 2,..., n tapasztalati eredmények kapcsolatát. A probléma megoldása során el ször megállapítjuk az empirikus képlet típusát. A kiválasztott típusú y = ϕ(x; a 1, a 2,..., a m ) empirikus függvény paramétereinek értékeit úgy határozzuk meg, hogy a Φ(a 1, a 2,..., a m ) n (y i ϕ(x i ; a 1, a 2,..., a m )) 2 függvény minimális legyen. A Φ(a 1, a 2,..., a m ) függvény minimumát a Φ a 1 = 0, i=1 Φ a 2 = 0,..., Φ a m = 0 egyenletrendszert megoldva nyerhetjük. A gyakorlatban ezek a deriváltak, illetve ebb l a paraméterek lineáris empirikus függvény esetén könnyen számolhatók. Más közelít függvény alkalmazása esetén különböz transzformációkkal lineárissá alakítjuk, és így felhasználhatjuk a lineáris eset összefüggéseit. Az eredményt természetesen vissza kell alakítani. Az alábbi táblázatban foglaltuk össze a legfontosabb empirikus függvénytípusokat és linearizálásukat. Típus Függvény x y a b lineáris y = a + bx x y α β exponenciális y = ae bx x ln y e α β hatványfüggvény y = ax b ln x ln y e α β arrhenius y = ae b x 1 ln y e α β x reciprok y = 1 a+bx x 1 racionális tört y = ax x x 1+bx y y kvadratikus y = x(a + bx) x y α β vektoriális y = a + bx 2 x 2 y 2 α β hiperbola y = a + b 1 y α β x x logaritmikus y = a ln bx ln x y β e β α 13 1 α β α x α β

14 14 6. Empirikus képletek el állítása és Linearizálva a tapasztalai értékeinket kiszámíthatjuk az értékeket, majd ezekb l a s 3 = s 1 = n x i, s 2 = i=1 n (x i) 2, s 4 = i=1 β = ns 4 s 2 s 1 ns 3 s 2 1 n i=1 y i n x iy i, i=1 α = s 2 βs 1 n értékeket, amib l az a és b együtthatók a táblázat alapján nyerhet k Javasolt órai feladat Határozzunk meg az x y mérési adatok esetén megfelel empirikus függvényt Javasolt házi feladatok 1. Határozzunk meg program segítségével az x (a) y x (b) y x (c) y mérési adatok esetén megfelel empirikus függvényt C -on, különböz nyomásokon megmértük 1 mól NH 3 térfogatát: P V Határozzuk meg a van der Waals állandókat. 3. Egy Weston-elem feszültsége 20 C -tól eltér h mérsékleten, az eltérés függvényében: δ U Adjunk egy polinomközelítést.

15 7. fejezet Interpolációs polinomok A függvények grakus ábrázolása olyan terület, ahol gyakran találkozunk az interpoláció szükségességével. Ha néhány pontjával megadott függvényt kell folytonos görbével ábrázolnunk, a függvény ismeretlen pontjait mindig valamilyen interpolációs módszerrel határozzuk meg Javasolt órai feladat A Lagrange interpolációs polinom helyettesítési értékének kiszámítására gyakran használják Aitken módszerét. Ez az eljárás egyrészt egyszer síti a számítás elvégzését, másrészt módot ad arra, hogy ha az interpoláció fokszáma nem bizonyul elegend nek egy újabb alappont felvételével a már kiszámolt helyettesítési értékekb l az eggyel magasabb fokszámú polinom helyettesítési értékét el állítsuk. Az x 1, x 2,..., x n, x n+1 alappontokra támaszkodó n-edfokú interpolációs polinom el állítható a következ képpen: p 1,...,n 1,n,n+1 (x) = p 1,...,n 1,n(x) (x n+1 x) p 1,...,n 1,n+1 (x) (x n x) x n+1 x n. Az Aitken-interpoláció rekurzív módon állítja el az egyre nagyobb fokszámú polinomokból adódó helyettesítési értékeket. Írjuk meg a Lagrange-interpolációt, illetve az Aitken-interpolációt megvalósító függvényeljárásokat! bemen paraméterek: n: alappontok száma x: alappontok tömbje y: függvényértékek tömbje x0: ahol a függvényértékre kíváncsiak vagyunk visszatérési értékek az x0-hoz tartozó függvényérték hibajelzés 15

16 16 7. Interpolációs polinomok 7.2. Javasolt házi feladatok Írjunk programot, mely a Lagrange-interpolációval, illetve az Aitken-interpolációval kiszámolja az [1, 4] intervallumban 0.5-es lépésközzel az alábbi alappontokban megadott függvények értékét x y x y

17 8. fejezet Numerikus dierenciálás és integrálás 8.1. Javasolt órai feladat Írjuk meg a következ Pascal függvényeket az b f(x)dx kiszámítására: a function kistrapez(a,b:real;f:fuggv):real; function nagytrapez(a,b:real;n:integer;f:fuggv):real; function kissimpson(a,b:real;f:fuggv):real; function nagysimpson(a,b:real;n:integer;f:fuggv):real; Számítsuk ki az x 2 dx integrál értékét a megírt eljárások segítségével. (Megjegyezzük, hogy a programban {ŸF+} fordítási direktíva szükséges, mert az integráló függvényeljárásokban az integrálandó függvényt paraméterként vesszük át: type fuggv = functions (x:real):real; 8.2. Javasolt házi feladatok Számítsuk ki az alábbi függvények b f(x)dx integráljait adott intervallumon, adott lépéstávolsággal, a megírt függvényeljárások a segítségével: 1. a = 3.00, b = 5.00, h = 0.20; 2. a = 40.00, b = 43.00, h = 0.30; f(x) = ln sin x π 3. a = 1.70, b = 2.70, h = 0.10; f(x) = ln cos x e 2 f(x) = ln tan x π 17

18 9. fejezet Nemlineáris egyenletek megoldása 9.1. Javasolt órai feladat Határozzuk meg az f(x) = 2 cos x x 2 függvény legkisebb pozitív gyökét 10 1 pontossággal felez módszerrel. A gyököket grakusan elkülöníthetjük az f 1 (x) = 2 cos x és f 2 (x) = x 2 függvények metszéspontjainak behatárolásával. A legkisebb és egyetlen pozitív gyök a [0, π 2 ] intervallumban van. Induljunk ki a [0.0, 1.5] intervallumból és ε legyen = 0.1. i [a i, b i ] c i f(c i ) b i a i 0. [0.0, 1.5] [0.75, 1.5] [0.75, 1.125] [0.9375, 1.125] [0.9375, ] Tehát a gyök közelít értéke 10 1 pontossággal: Írjuk meg a felez, a húr-, a szel és a Newton-módszert megvalósító függvényeljárásokat. A f(x) = 2 cos x x 2 függvény legkisebb pozitív gyökét keressük az eljárásokkal pontossággal, és hasonlítsuk össze a módszerek konvergenciájának gyorsaságát Javasolt házi feladatok Határozzuk meg az alábbi függvények gyökeinek számát és különítsük el ket. Közelítsük a függvények elkülönített gyökeit alkalmas módszerrel pontossággal: 1. f(x) = x 2 + lg x 9 2. f(x) = e x + x f(x) = sin x + 1 x 18

19 10. fejezet Polinomegyenletek megoldása Javasolt órai feladat A gyökközelít eljárásokat alkalmazva egy polinom gyökeinek keresésére, általában ki kell számítani a polinom néhány helyettesítési értékét. Ha a p n (x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n polinom értékét a c helyen a képlet alapján számítjuk, rendre ki kell számítani a c 2, c 3,..., c n, a n 1 c, a n 2 c 2,..., a 0 c n értékeket. Ez összesen 2n 1 szorzást kíván, majd p n (c) kiszámításához ezután még n összeadást kell elvégezni. Ha pedig a Horner-elrendezés segítségével számolunk, csak n szorzást és n összeadást kell elvégeznünk. Számítsuk ki a Horner-elrendezés segítségével a p 5 (x) = 4x 5 3x 3 + 6x 2 9 polinom értékét az x 0 = 2 helyen Próbáljuk meg elkülöníteni a polinom valamelyik gyökét: x és x 1 + Tehát a (0, 2) intervallumban van gyök. Induljunk ki a c 0 = 1 pontból, és alkalmazzuk a Newton módszert: Tehát c 1 = = a gyök új közelít értéke. Írjuk meg a Horner-elrendezés alapján polinom helyettesítési értékét számító függvényeljárást. Az el z óra eljárásait is felhasználva közelítsük a gyököt

20 Polinomegyenletek megoldása Javasolt házi feladatok Határozzuk meg az alábbi polinomegyenletek valós gyökeit. El ször különítsük el a gyököket a tanult szabályokkal, majd keressük az egyes intervallumba es valós gyököket Newton-módszerrel. Használjuk a Horner-sémát. 1. x 4 2x 3 3x 2 3x 4 = 0 2. x x x x = 0

21 Irodalomjegyzék [1] C.H.A., Programozás felülnézetben, M szaki Könyvkiadó, Budapest, [2] Knuth, D.E., A számítógép-programozás m vészete, 1. kötet: Alapvet algoritmusok, M szaki Könyvkiadó, Budapest, [3] Obádovics J.Gy., Gyakorlati számítási eljárások, Gondolat Kiadó, [4] Programozási feladatok és algoritmusok Turbo Pascal nyelven, ComputerBooks, [5] Turbo Pascal User's Guide 21

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0

Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0 Analízis A differenciálszámítás középértéktételei: 1) Rolle-tétel: Ha f folytonos a korlátos és zárt [a;b] intervallumon, f diffható [a;b]-n és f(a) = f(b), akkor van egy a < c < b belső pont, ahol f'(c)

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

Az aperturaantennák és méréstechnikájuk

Az aperturaantennák és méréstechnikájuk Az aperturaantennák és méréstechnikájuk (tanulmány) Szerzők: Nagy Lajos Lénárt Ferenc Bajusz Sándor Pető Tamás Az aperturaantennák és méréstechnikájuk A vezetékmentes hírközlés, távközlés és távmérés egyik

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék III 1. Aritmetika 1 1.1. Elemi számolási szabályok............................... 1 1.1.1. Számok..................................... 1 1.1.1.1. Természetes, egész és racionális számok.............. 1

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva.

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva. Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT Készítette: Szigeti Zsolt Felkészítő tanár: Báthori Éva 2010 október Dolgozatom témája a különböző függvények, illetve mértani

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! 5. gyakorlat Lineáris leképezések Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! f : IR IR, f(x) 5x Mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez? x, x IR, f(x +

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz

Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz Vas Gabriella 204. február A feladatgy jtemény a TÁMOP-4.2.4.A/2-/-202-000 azonosító számú Nemzeti Kiválóság Program Hazai hallgatói, illetve

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I.

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I. NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM aipari Mérnöki Kar Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet Dr Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I Sopron 9 javított kiadás TARTALOMJEGYZÉK I Bevezetés a mőszaki mechanika

Részletesebben

Az analízis néhány alkalmazása

Az analízis néhány alkalmazása Az analízis néhány alkalmazása SZAKDOLGOZAT Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Szerz : Fodor Péter Szak: Matematika Bsc Szakirány: Matematikai elemz Témavezet : Sikolya Eszter, adjunktus

Részletesebben

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert) GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Determinisztikus folyamatok. Kun Ferenc

Determinisztikus folyamatok. Kun Ferenc Determinisztikus folyamatok számítógépes modellezése kézirat Kun Ferenc Debreceni Egyetem Elméleti Fizikai Tanszék Debrecen 2001 2 Determinisztikus folyamatok Tartalomjegyzék 1. Determinisztikus folyamatok

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (c) Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Utolsó módosítás: 2015. január 17. 1 Az elektromágneses hullámok visszaverődési és törési törvényei (1) Kérdés: Mi történik

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ. A feladatsor jellemzői

VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ. A feladatsor jellemzői VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Szögfüggvények derékszögű háromszögben, szinusztétel, koszinusztétel, Pitagorasz-tétel. Előzmények Pitagorasz-tétel, derékszögű háromszög trigonometriája,

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom

Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom Távvezetékek és síkhullám Reichardt András 2015. április 23. ra (evt/hvt/bme) Emt2015 6. alkalom 2015.04.23 1 / 60 1 Távvezeték

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16).

Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16). FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS Definíció Definíció Az f ( ) függvény pontban értelmezett deriváltja a f ( + ) f ( ) lim határértékkel egyenlő amennyiben az létezik ( lásd Fig 6) df A deriváltat

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor

Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Topográfia 7. : Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Lektor : Alabér, László Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

8. előadás EGYÉNI KERESLET

8. előadás EGYÉNI KERESLET 8. előadás EGYÉNI KERESLET Kertesi Gábor Varian 6. fejezete, enyhe változtatásokkal 8. Bevezető megjegyzések Az elmúlt héten az optimális egyéni döntést elemeztük grafikus és algebrai eszközökkel: a preferenciatérkép

Részletesebben

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 2016 Fazekas, Berzsenyi Budapest Berzsenyi Dániel Gimnázium Fazekas Mihály Gimnázium Budapest 2. javított kiadás 2016. március 1115. Technikai el készítés, tördelés:

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Felkészülést segítő kérdések Gépszerkesztés alapjai tárgyból

Felkészülést segítő kérdések Gépszerkesztés alapjai tárgyból Felkészülést segítő kérdések Gépszerkesztés alapjai tárgyból - Ismertesse a kézi rajzkészítési technikát (mikor használjuk, előny-hátrány stb.)! Kézi technikák közül a gondolatrögzítés leggyorsabb, praktikus

Részletesebben

MATEMATIKA A és B variáció

MATEMATIKA A és B variáció MATEMATIKA A és B variáció A Híd 2. programban olyan fiatalok vesznek részt, akik legalább elégséges érdemjegyet kaptak matematikából a hatodik évfolyam végén. Ezzel együtt az adatok azt mutatják, hogy

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat 1. Egy borfajta alkoholtartalmának meghatározására méréseket végzünk. Az egyes mérések eredményei egymástól független valószínûségi változók, melyek normális eloszlásúak,

Részletesebben

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka

Részletesebben

Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet!

Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola,. osztály. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! lg(0x ) lg(x + ) = lg () Kikötések: x > 5 és x >. lg(0x ) lg(x + ) = lg () lg 0x (x + ) = lg (3)

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás. 1. Bevezetés. 2. A modell

Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás. 1. Bevezetés. 2. A modell . Bevezetés Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás Egy osztrák gimnáziumi tankönyvben több, közismerten kaotikus mozgással járó jelenség bemutatása

Részletesebben

Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat)

Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) I. Pontszerű test 1. Pontszerű test modellje. Pontszerű test egyensúlya 3. Pontszerű test mozgása a) Egyenes vonalú egyenletes

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február Helyi tanterv Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február 1 A TANTERV SZERKEZETE Bevezető Célok és feladatok Fejlesztési célok és kompetenciák Helyes

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Matematikai alapszöveg: Bálint Péter, BME Differenciálegyenletek Tanszék Konzultáció, kiegészítések gépészmérnöki szempontok

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Összeállította: Kucsinka Katalin Tartalomjegyzék Előszó 4 1. Kombinatorika 5 2. Eseményalgebra 14 3. Valószínűségszámítás 21 3.1. Klasszikus valószínűség.....................

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 17 XVII A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 1 PRImITÍV FÜGGVÉNY, ALApINTEGRÁLOk A (nagy) F függvényt a (kis) f függvény primitív függvényének nevezzük valamely nyílt intervallumon, ha itt

Részletesebben

TIMSS 2011. Tanári kérdőív Matematika. online. 8. évfolyam. Azonosító címke

TIMSS 2011. Tanári kérdőív Matematika. online. 8. évfolyam. Azonosító címke Azonosító címke TIMSS 2011 Tanári kérdőív Matematika online 8. évfolyam Oktatási Hivatal Közoktatási Mérési és Értékelési Osztály 1054 Budapest, Báthory u. 10. IEA, 2011 Tanári kérdőív Az Önök iskolája

Részletesebben

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Szakdolgozat Írta: Balogh Teréz Biztosítási és

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. *************** JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002.

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002. M Ű S Z A K I B I Z O N S Á G I F Ő F E L Ü G Y E L E 4. sz. Füzet A hibafa számszerű kiértékelése 00. Sem a Műszaki Biztonsági Főfelügyelet, sem annak nevében, képviseletében vagy részéről eljáró személy

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Nevezetes függvények

Nevezetes függvények Nevezetes függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2007/2008-as tanév 2. forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2007/2008-as tanév 2. forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév. forduló haladók I. kategória Megoldások

Részletesebben