Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék

Átírás

1 III 1. Aritmetika Elemi számolási szabályok Számok Természetes, egész és racionális számok Irracionális és transzcendens számok Valós számok Bizonyítási módszerek Direkt bizonyítás Indirekt (ellentmondással történő) bizonyítás Teljes indukció Konstruktív bizonyítás Nemkonstruktív bizonyítás Összegek és szorzatok Összegek Szorzatok Hatványok, gyökök, logaritmusok Hatványok Gyökök Logaritmusok Speciális logaritmusok Algebrai kifejezések Definíciók Az algebrai kifejezések osztályozása Racionális egész kifejezések Előállítás polinomalakban Polinom felbontása tényezőkre Speciális képletek Binomiális tétel Két polinom legnagyobb közös osztójának meghatározása Racionális törtkifejezések Visszavezetés a legegyszerűbb alakra A racionális egész rész meghatározása Parciális törtekre bontás Arányosságok átalakítása Irracionális kifejezések Véges sorok A véges sor definíciója Számtani sorok Mértani sor Speciális véges sorok Középértékek

2 IV Számtani közép Mértani közép Harmonikus közép Négyzetes közép A középértékek összehasonlítása két pozitív a b mennyiség esetén Pénzügyi matematika Százalékszámítás Kamatoskamat-számítás Törlesztésszámítás Törlesztés Egyenlő törlesztőrészletek Egyenlő annuitások Járadékszámítás Járadék Utólagos konstans járadék Számlaegyenleg n-szeri járadékfizetés után Leírások Egyenlőtlenségek Tiszta egyenlőtlenségek Definíciók Az I. és II. típusú egyenlőtlenségek tulajdonságai Speciális egyenlőtlenségek Háromszög-egyenlőtlenség Egyenlőtlenségek két szám különbségének abszolút értékére A számtani és a mértani középre vonatkozó egyenlőtlenség A számtani és a négyzetes középre vonatkozó egyenlőtlenség Valós számok különféle középértékeire vonatkozó egyenlőtlenségek Bernoulli-egyenlőtlenség Binomiális egyenlőtlenség Cauchy Schwarz-egyenlőtlenség Csebisev-egyenlőtlenség Általánosított Csebisev-egyenlőtlenség Hölder-egyenlőtlenség Minkowski-egyenlőtlenség Első- és másodfokú egyenlőtlenségek megoldása Általános rész Elsőfokú egyenlőtlenségek Másodfokú egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlőtlenség általános esete Komplex számok Képzetes és komplex számok Képzetes egység Komplex számok Geometriai szemléltetés Előállítás vektoralakban Komplex számok egyenlősége Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex szám exponenciális alakja Konjugált komplex számok Számolás komplex számokkal Összeadás és kivonás Szorzás

3 V Osztás A négy alapműveletre vonatkozó általános szabályok Komplex szám hatványozása Komplex szám n-edik gyökének meghatározása Algebrai és transzcendens egyenletek Algebrai egyenletek normálalakra hozása Definíció n számú algebrai egyenletből álló rendszerek Hamis gyökök fokú egyenletek Elsőfokú (lineáris) egyenletek Másodfokú (kvadratikus) egyenletek Harmadfokú egyenletek Negyedfokú egyenletek Ötöd- és magasabbfokú egyenletek n-edfokú egyenletek Algebrai egyenletek általános tulajdonságai Valós együtthatójú egyenletek Transzcendens egyenletek visszavezetése algebrai egyenletekre Definíció Exponenciális egyenletek Logaritmikus egyenletek Trigonometrikus egyenletek Egyenletek hiperbolikus függvényekkel Függvények és előállításuk A függvény fogalma A függvény definíciója Függvény Valós függvény Többváltozós függvény Komplex függvény További függvények Funkcionálok Függvény és leképezés Módszerek valós függvények értelmezésére Függvény megadása Valós függvény analitikus előállítása Néhány függvényfajta Monoton függvények Korlátos függvények Függvény szélsőértékei Páros függvények Páratlan függvények Előállítás páros és páratlan függvény segítségével Periodikus függvények Inverz függvény Függvény határértéke Függvény határértékének definíciója Visszavezetés sorozat határértékére A Cauchy-féle konvergenciakritérium Végtelen mint függvény-határérték

4 VI Függvény bal oldali és jobb oldali határértéke Függvény határértéke a végtelenben Függvények határértékeire vonatkozó tételek Határértékek kiszámítása Függvények nagyságrendje és a Landau-féle szimbólumok Függvény folytonossága A folytonosság és a szakadási hely fogalma A folytonosság definíciója Gyakran fellépő szakadásfajták Elemi függvények folytonossága és szakadási helyei Folytonos függvények tulajdonságai Elemi függvények Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények Transzcendens függvények Exponenciális függvények Logaritmusfüggvények Trigonometrikus függvények Inverz trigonometrikus függvények Hiperbolikus függvények Inverz hiperbolikus függvények Polinomok Lineáris függvény Másodfokú polinom Harmadfokú polinom n-edfokú polinom n-edrendű parabola Racionális törtfüggvények Fordított arányosság Harmadrendű görbe, I. típus Harmadrendű görbe, II. típus Harmadrendű görbe, III. típus Reciprok hatvány Irracionális függvények Lineáris binom négyzetgyöke Másodfokú polinom négyzetgyöke Hatványfüggvény Exponenciális és logaritmusfüggvények Exponenciális függvények Logaritmusfüggvények Gauss-féle haranggörbe Exponenciális összeg Általánosított Gauss-féle haranggörbe Hatványfüggvény és exponenciális függvény szorzata Trigonometrikus függvények Elemi tudnivalók Definíció és ábrázolás Értékkészletek és a függvények menete Trigonometrikus függvényekre vonatkozó további fontos formulák Trigonometrikus függvények közötti összefüggések

5 VII Trigonometrikus függvények szögek összegéhez, ill. különbségéhez tartozó értékei Trigonometrikus függvények szögek többszöröseihez tartozó értékei Trigonometrikus függvények szög feléhez tartozó értékei (félszögtételek) Trigonometrikus függvények két értékének összege, ill. különbsége (addíciós tételek) Trigonometrikus függvények értékeinek szorzata Trigonometrikus függvények hatványai Rezgések leírása A probléma megfogalmazása Rezgések szuperpozíciója vagy összetétele Rezgések vektordiagramja Rezgések csillapítása Ciklometrikus függvények (árkuszfüggvények) A ciklometrikus függvények definíciója Visszavezetés a főértékekre Összefüggések a főértékek között Képletek ellentett argumentumpárokra arcsin x és arcsin y összege és különbsége arccosx és arccosy összege és különbsége arctg x és arctg y összege és különbsége Speciális összefüggések az arcsinx, arccosx, arctg x függvényekre Hiperbolikus függvények A hiperbolikus függvények definíciója A hiperbolikus függvények grafikus előállítása Szinusz hiperbolikusz Koszinusz hiperbolikusz Tangens hiperbolikusz Kotangens hiperbolikusz Hiperbolikus függvényekre vonatkozó fontos képletek Egyező argumentumú hiperbolikus függvények Hiperbolikus függvény előállítása azonos argumentumú másikkal Ellentett argumentumpárokra vonatkozó képletek Hiperbolikus függvények két argumentum összegéhez és különbségéhez tartozó értékei (addíciós tételek) Hiperbolikus függvényeknek az eredeti argumentum kétszeresén felvett értékei Moivre-képlet hiperbolikus függvényekre Hiperbolikus függvényeknek az eredeti argumentum felén felvett értékei Hiperbolikus függvény két helyen felvett értékének összege és különbsége sh-val és/vagy ch-val kifejezve Összefüggés a hiperbolikus és a trigonometrikus függvények között komplex z argumentum esetén Áreafüggvények Definíciók Área szinusz hiperbolikusz Área koszinusz hiperbolikusz Área tangens hiperbolikusz Área kotangens hiperbolikusz Az áreafüggvények előállítása a természetes alapú logaritmussal

6 VIII Összefüggések a különböző áreafüggvények között Áreafüggvények két értékének összege és különbsége Képletek ellentett argumentumpárokra Harmadrendű görbék Neil-parabola Agnesi-féle kürt (verziera) Descartes-levél Cisszoid Sztrofoid Negyedrendű görbék Nikomedes-féle konchoid Általános konchoid Pascal-féle csiga Kardioid Cassini-féle görbék Lemniszkáta Cikloisok Közönséges ciklois Hurkolt és nyújtott cikloisok, más néven trochoidok Epiciklois Hipociklois és asztroid Hurkolt és nyújtott epiciklois és hipociklois Spirálok Archimédeszi spirál Hiperbolikus spirál Logaritmikus spirál A kör evolvense Klotoid Különféle egyéb görbék Láncgörbe Traktrix Empirikus görbék meghatározása A módszer vázlata Függvénygörbék összehasonlítása Rektifikálás A paraméterek meghatározása A leggyakrabban használt empirikus képletek Hatványfüggvények Exponenciális függvények Másodfokú polinom Lineáris törtfüggvény Másodfokú polinom négyzetgyöke Általánosított Gauss-féle haranggörbe Harmadrendű görbe, II. típus Harmadrendű görbe, III. típus Harmadrendű görbe, I. típus Hatványfüggvény és exponenciális függvény szorzata Exponenciális összeg Skálák és függvénypapírok Skálák Függvénypapírok Egyszer logaritmikus függvénypapír

7 IX Kétszer logaritmikus függvénypapír Függvénypapír reciprok skálával Megjegyzés Többváltozós függvények Definíció és előállítás Többváltozós függvények előállítása Többváltozós függvények geometriai ábrázolása Különféle értelmezési tartományok a síkban Függvény értelmezési tartománya Kétdimenziós tartományok Három- és többdimenziós tartományok Függvényértelmezési módszerek Függvények analitikus előállítási módjai Függvények összefüggése Határértékek Definíció Egzakt megfogalmazás Általánosítás több változóra Többszörös határértékek Folytonosság Folytonos függvények tulajdonságai Bolzano zérushely-tétele Közbülsőérték-tétel Függvény korlátosságáról szóló tétel Weierstrass tétele a legnagyobb és legkisebb függvényérték létezéséről Geometria Síkgeometria Alapfogalmak Pont, egyenes, félegyenes, szakasz Szög Két metsző egyenesnél fellépő szögek Párhuzamosokat metsző egyenesnél fellépő szögpárok Szög kifejezése fokokban és ívmértékben A körfüggvények és a hiperbolikus függvények geometriai definíciója A kör- vagy trigonometrikus függvények definíciója A hiperbolikus függvények geometriai definíciója Síkháromszögek Síkháromszögekre vonatkozó állítások Szimmetria Síknégyszögek Paralelogramma Téglalap és négyzet Rombusz Trapéz Általános négyszög Síkbeli sokszögek Síkbeli köralakzatok Kör Körszelet és körcikk Körgyűrű

8 X 3.2. Síkbeli trigonometria Háromszögek adatainak kiszámítása Derékszögű síkháromszögekre vonatkozó számolások Síkháromszögekre vonatkozó számolások Geodéziai alkalmazások Geodéziai koordináták Szögek a geodéziában Méréstechnikai alkalmazások Térgeometria Egyenesek és síkok a térben Élek, csúcsok, térszögek Poliéderek Görbült felületekkel határolt testek Gömbháromszögtan (szférikus trigonometria) A gömbfelület geometriájának alapfogalmai Görbék, ívek és szögek a gömbön Speciális koordinátarendszerek Gömbkétszög Gömbháromszög Polárgömbháromszög Euler-féle és nem Euler-féle háromszögek Triéder A gömbháromszögek fő tulajdonságai Általános állítások Alapképletek és alkalmazásaik További képletek Gömbháromszögek megoldása Alapfeladatok, pontossági megfontolások Derékszögű gömbháromszög Ferdeszögű gömbháromszög Gömbfelületi görbék Vektoralgebra és analitikus geometria Vektoralgebra A vektor definíciója, számolási szabályok Skaláris szorzat és vektoriális szorzat Többszörös szorzási kapcsolatok Vektoregyenletek Vektor kovariáns és kontravariáns koordinátái A vektoralgebra geometriai alkalmazásai A sík analitikus geometriája Alapvető fogalmak és képletek, síkbeli koordinátarendszerek Egyenes Kör Ellipszis Hiperbola Parabola Másodrendű görbék (kúpszeletek) A tér analitikus geometriája Alapvető tudnivalók, térbeli koordinátarendszerek Térbeli egyenes és sík Másodrendű felületek, az egyenletek normálalakja Másodrendű felületek, általános elmélet

9 XI 3.6. Differenciálgeometria Síkgörbék Lehetőségek síkgörbék definiálására Görbék lokális alkotóelemei Görbék kitüntetett pontjai, aszimptoták Görbék általános vizsgálata egyenletük alapján Evoluták és evolvensek Görbeseregek burkolói Térgörbék Térgörbék definiálására alkalmas lehetőségek Kísérő triéder Görbület és torzió Felületek Felület definiálására alkalmas lehetőségek Érintősík és felületi normális Felületi vonalelem Felület görbülete Vonalfelületek és lefejthető felületek Felület geodetikus vonalai Lineáris algebra Mátrixok A mátrix fogalma Kvadratikus mátrixok Vektorok Mátrixműveletek Mátrixműveletek szabályai Vektor- és mátrixnorma Vektornormák Mátrixnormák Determinánsok Definíciók Determinánsok Aldeterminánsok Determinánsok számítási szabályai Determinánsok kiszámítása Tenzorok Koordinátarendszerek transzformációja Tenzorok megadása derékszögű koordinátákkal Speciális tulajdonságú tenzorok Másodrendű tenzorok Invariáns tenzorok Tenzorok görbevonalú koordinátarendszerekben Kovariáns és kontravariáns bázisvektorok Elsőrendű tenzorok kovariáns és kontravariáns koordinátái Kovariáns, kontravariáns és vegyes koordinátái a másodrendű tenzoroknak Számítási szabályok Pszeudotenzorok Ponttükrözés a koordinátarendszer kezdőpontjára Pszeudotenzor fogalmának a bevezetése Lineáris egyenletrendszerek

10 XII Lineáris rendszerek, elemcsere-eljárás Lineáris rendszerek Elemcsere-eljárás Lineáris függőség Mátrix invertálása Lineáris egyenletrendszerek megoldása Definíció és megoldhatóság Az elemcsere-eljárás alkalmazása Cramer-szabály Gauss-féle algoritmus Túlhatározott lineáris egyenletrendszerek Túlhatározott lineáris egyenletrendszerek és lineárisnégyzetes közép problémák A legkisebb négyzetek feladatának numerikus megoldása Mátrixok sajátérték-feladata Általános sajátérték-probléma Speciális sajátérték-probléma Karakterisztikus polinom Valós szimmetrikus mátrixok, hasonlósági transzformáció Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Útmutatás a sajátértékek numerikus meghatározásához Szinguláris értékek szerinti felbontás Algebra és diszkrét matematika Logika Ítéletkalkulus A predikátumkalkulus kifejezései Halmazelmélet A halmaz fogalma, különleges halmazok Műveletek halmazokkal Relációk és leképezések Ekvivalencia és rendezési relációk Halmazok számossága Klasszikus algebrai struktúrák Műveletek Félcsoportok Csoportok Definíció és alapvető tulajdonságok Részcsoportok és direkt szorzatok Csoportok közötti leképezések Lie-csoportok Lie-algebrák Félegyszerű Lie-csoportok leképezése Csoportok alkalmazásai Szimmetria műveletek, szimmetria elemek Szimmetria csoportok Molekulák szimmetria műveletei A krisztallográfia szimmetria csoportjai A kvantummechanika szimmetria csoportjai Részecskefizikai alkalmazások További fizikai alkalmazási példák Gyűrűk és testek

11 XIII Definíciók Részgyűrűk, ideálok Homomorfizmusok, izomorfizmusok, homomorfia tétel Vektorterek Definíció Lineáris függőség Lineáris leképezések Alterek, dimenziótétel Euklideszi vektorterek, euklideszi norma Lineáris operátorok vektorterekben Elemi számelmélet Oszthatóság Oszthatóság és alapvető oszthatósági szabályok Prímszámok Oszthatósági kritériumok Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös Fibonacci-számok Lineáris Diophantoszi egyenletek Kongruenciák és maradékosztályok Fermat, Euler és Wilson tétele Kódok Kriptológia A kriptológia feladata Titkosítási rendszerek Matematikai megfogalmazás Titkosítási rendszerek biztonsága A klasszikus kriptológia módszerei Cserével végzett titkosítás A Vigenere-kód Mátrix helyettesítések A klasszikus kriptoanalízis módszerei Statisztikus analízis A Kasiski Friedman-próba One-Time-Tape Nyilvános kulcsú eljárások Diffie és Hellman koncepciója Egyirányú függvények RSA eljárás DES algoritmus (Data Encription Standard) IDEA algoritmus (International Data Encryption Algorithm) Univerzális algebra Definíció Kongruencia relációk, faktoralgebrák Homomorfizmusok Homomorfia tétel Varietások Kijelentésalgebrák, szabad algebrák Boole-algebrák és kapcsolási algebrák Definíció A dualitási elv Véges Boole-algebrák Boole-algebra mint rendezés

12 XIV Boole-függvények, Boole-kifejezések Normálformák Kapcsolások algebrája Gráfelméleti algoritmusok Alapfogalmak és jelölések Irányítatlan gráfok bejárása Élsorozatok Euler-utak Hamilton-körök Fák és favázak Fák Feszítő fa Párosítások Síkgráfok Pályák irányított gráfokban Szállítási hálózatok Fuzzy logika A fuzzy logika alapja A fuzzy halmazok értelmezése Tagsági függvények Fuzzy halmazok Fuzzy halmazműveletek Általános fuzzy halmazműveletek A gyakorlatban használt fuzzy halmazműveletek Aggregációs vagy kompenzáló operátorok Kiterjesztési szabály Fuzzy komplemensfüggvény Fuzzy relációk Fuzzy relációk folalma Fuzzy szorzatreláció R S Fuzzy következtető rendszerek Kiértékelési (defuzzyfikációs) módszerek Tudásalapú fuzzy rendszerek A Mamdani-módszer A Sugeno-módszer Alkalmazási példák Tudásalapú interpolációs rendszer Differenciálszámítás Egyváltozós függvények differenciálása Differenciálhányados Egyváltozós függvényekre vonatkozó differenciálási szabályok Elemi függvények deriválása A differenciálás alapszabályai Magasabb rendű deriváltak A magasabb rendű derivált definíciója Egyszerűbb függvények magasabb rendű deriváltjai A Leibniz-formula Paraméteres alakban adott függvények magasabb rendű deriváltjai Inverz függvények magasabb rendű deriváltjai A differenciálszámítás legfontosabb tételei Monotonitási feltételek

13 XV Fermat tétele Rolle tétele A differenciálszámítás középértéktétele Az egyváltozós függvényekre vonatkozó Taylor-tétel A differenciálszámítás középértéktételének általánosítása A szélsőértékek és inflexiós pontok meghatározása Maximum és minimum Lokális szélsőérték létezésének szükséges feltétele Differenciálható, y = f(x) explicit alakban adott függvény lokális szélsőértékei Abszolút (globális) szélsőértékek meghatározása Implicit alakban adott függvény szélsőértékeinek meghatározása Többváltozós függvények differenciálása Parciális deriváltak Függvény parciális deriváltja Geometriai jelentés két változó esetén A differenciál fogalma A differenciál főbb tulajdonságai Parciális differenciál Teljes differenciál és magasabb rendű differenciálok Többváltozós függvény teljes differenciáljának fogalma Magasabb rendű deriváltak és differenciálok Többváltozós függvények differenciálasi szabályai Összetett függvények differenciálása Implicit függvények differenciálása Változók helyettesítése differenciálkifejezésekben és koordinátatranszformációknál Egyváltozós függvény Kétváltozós függvények Többváltozós függvények szélsőértékei Definíció Geometriai jelentés Kétváltozós függvény szélsőértékeinek meghatározása Szélsőérték meghatározása n-változós függvény esetén Feladatok közelítő megoldása Feltételes szélsőérték meghatározása Végtelen sorok Számsorozatok Számsorozatok tulajdonságai Számsorozatok, alapfogalmak Monoton számsorozatok Korlátos sorozatok Számsorozat határértéke Konstans tagú sorok Általános konvergencia-tételek Végtelen sorok konvergenciája és divergenciája Sorok konvergenciájára vonatkozó tételek Pozitív tagú sorokra vonatkozó konvergencia-kritériumok Összehasonlító kritérium d Alembert-féle hányadoskritérium A Cauchy-féle gyökkritérium

14 XVI Cauchy-féle integrálkritérium Abszolút és feltételes konvergencia Definíció Abszolút konvergens sorok tulajdonságai Alternáló sorok Néhány speciális sor Néhány konstans tagú sor összege Bernoulli- és Euler-féle számok A maradéktag becslése Becslés majoráns segítségével Alternáló konvergens sorok Speciális sorok Függvénysorok Definíciók Egyenletes konvergencia Definíció, Weierstrass-féle kritérium Egyenletesen konvergens sorok tulajdonságai Hatványsorok Definíció, konvergencia Műveletek hatványsorokkal Taylor-sorfejtés, MacLaurin-sor Közelítő formulák Aszimptotikus hatványsorok Aszimptotikus egyenlőség Aszimptotikus hatványsorok Fourier-sorok Trigonometrikus összeg és Fourier-sor Alapfogalmak A Fourier-sorok legfontosabb tulajdonságai Szimmetrikus függvények együtthatóinak meghatározása Különböző szimmetriák A Fourier-sorfejtés formulái Az együtthatók meghatározása numerikus módszerekkel Fourier-sor és Fourier-integrál Útmutató a Fourier-sorfejtések táblázatához Integrálszámítás Határozatlan integrál Primitív függvény vagy integrál (antiderivált) Határozatlan integrál (antiderivált) Elemi függvények integrálja Integrálási szabályok Racionális függvények integrálása Racionális egész függvények (polinomok) integrálja Racionális törtfüggvények integrálása A parciális törtekre való bontás négy esete Irracionális függvények integrálása Racionális függvény integrálására visszavezető helyettesítés Az integrál átalakítása trigonometrikus és hiperbolikus függvények racionális kifejezéseinek integráljává Binomiális integrandus integrálása Elliptikus integrál

15 XVII Trigonometrikus függvények integrálása Helyettesítés Egyszerűsített módszerek További transzcendens függvények integrálása Exponenciális függvényt tartalmazó integrálok Hiperbolikus függvények integrálja A parciális integrálás alkalmazása Transzcendens függvények integrálása Határozott integrál Alapfogalmak, szabályok és tételek A határozott integrál fogalma A határozott integrál jellemzői Az integrációs határokra vonatkozó további tételek A határozott integrál kiszámítása A határozott integrál alkalmazása A határozott integrál alkalmazásának általános elve Geometriai alkalmazások Mechanikai és fizikai alkalmazások Improprius integrálok, Stieltjes- és Lebesgue-integrálok Az integrálfogalom általánosításai Végtelen integrációs határokkal rendelkező integrálok Nemkorlátos függvény integrálja Paraméteres integrál A paraméteres integrál definíciója Differenciálás az integráljel mögött Integrálás az integráljelen belül Integrálás sorbafejtéssel, speciális nem elemi függvények Vonalintegrál típusú vonalintegrál Definíciók Egzisztenciatétel típusú vonalintegrálok kiszámítása Az 1. típusú vonalintegrál alkalmazása típusú vonalintegrál Általános típusú vonalintegrálok A vonalintegrálnak az integrációs úttól való függetlensége Többszörös integrálok Kettős integrál A kettős integrál fogalma A kettős integrál kiszámítása Kettős integrálok alkalmazása Hármas integrál A hármas integrál fogalma A hármas integrál kiszámítása A hármas integrálok alkalmazása Felületi integrál típusú felületi integrál típusú felületi integrál fogalma Az 1. típusú felületi integrál kiszámítása Az 1. típusú felületi integrál alkalmazásai típusú felületi integrál A 2. típusú felületi integrál fogalma

16 XVIII típusú felületi integrálok kiszámítása A felületi integrál egy alkalmazása Differenciálegyenletek Közönséges differenciálegyenletek Elsőrendű differenciálegyenletek Megoldások létezése, iránymező Elemi úton integrálható differenciálegyenletek Implicit differenciálegyenletek Szinguláris integrálok és szinguláris pontok Elsőrendű differenciálegyenletek közelítő megoldási módszerei Magasabb rendű differenciálegyenletek, differenciálegyenlet-rendszerek Alapvető fogalmak A rendszám csökkentése n-edrendű lineáris differenciálegyenletek Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenletek megoldása Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Másodrendű lineáris differenciálegyenletek Peremérték-feladatok A probléma megfogalmazása A sajátértékek és sajátfüggvények főbb tulajdonságai A sajátfüggvények szerinti sorfejtés Parciális differenciálegyenletek Elsőrendű parciális differenciálegyenletek Elsőrendű lineáris parciális differenciálegyenletek Elsőrendű nemlineáris parciális differenciálegyenletek Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek Két független változójú másodrendű differenciálegyenletek osztályozása és tulajdonságai Több, mint két független változót tartalmazó másodrendű differenciálegyenletek osztályozása és tulajdonságai Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek megoldásának módszerei A természet- és műszaki tudományok differenciálegyenletei A probléma felvetése és a peremfeltételek A hullámegyenlet Hővezetés egyenlete és a diffúziós egyenlet homogén közegben A Poisson-egyenlet A Schrödinger-egyenlet és a kvantummechanika alapjai Nemlineáris parciális differenciálegyenletek, szolitonok A probléma elméleti fizikai megközelítése A Korteweg de Vries-egyenlet Nemlineáris Schrödinger-egyenlet A szinusz Gordon-egyenlet További szolitonmegoldással rendelkező nemlineáris evolúciós egyenletek Variációszámítás A feladat kitűzése Klasszikus feladatok Izoperimetrikus probléma A brachisztochron-probléma

17 XIX Egydimenziós variációs problémák A variációszámítás legegyszerűbb feladattípusa, extremálisok A variációszámítás Euler-féle differenciálegyenlete Variációs problémák mellékfeltételekkel Magasabbrendű variációs problémák Több függvényre vonatkozó variációs problémák Paraméteres variációs problémák Többdimenziós variációs problémák A legegyszerűbb variációs probléma Általánosabb variációs problémák Variációs problémák numerikus megoldása Kiegészítés Első és második variáció Fizikai alkalmazások Lineáris integrálegyenletek Bevezetés és osztályozás Másodfajú Fredholm-féle integrálegyenletek Elfajuló magú integrálegyenletek A sorozatos megközelítés (szukcesszív approximáció) módszere, Neumann-sor Fredholm-féle megoldási módszer, Fredholm tételei Fredholm-féle megoldási módszer Fredholm tételei Numerikus módszerek a Fredholm-féle másodfajú integrálegyenletek megoldására Az integrál approximációja Mag-approximáció Kollokációs módszer Fredholm-féle elsőfajú integrálegyenletek Elfajuló magú integrálegyenletek Fogalmak, analízisbeli segédeszközök Az integrálegyenlet visszavezetése lineáris egyenletrendszerre Az elsőfajú homogén integrálegyenlet megoldása Megadott maghoz két speciális ortonormált rendszer meghatározása Iterációs módszer Volterra-féle integrálegyenletek Elméleti alapok Megoldás differenciálással Volterra-féle másodfajú integrálegyenletek megoldása Neumann-sorral Konvolúció típusú Volterra-féle integrálegyenletek Volterra-féle másodfajú integrálegyenletek numerikus tárgyalása Szinguláris integrálegyenletek Abel-féle integrálegyenlet Szinguláris integrálegyenletek Cauchy-típusú magokkal A feladat megfogalmazása A megoldás létezése A Cauchy-féle integrál tulajdonságai Hilbert-féle peremérték-feladat A Hilbert-féle peremérték-feladat megoldása A karakterisztikus integrálegyenlet megoldása

18 XX 12. Funkcionálanalízis Vektorterek A vektortér fogalma Lineáris és affin alterek Lineárisan független elemek Konvex részhalmazok és konvex burok Konvex halmazok Kúpok Lineáris operátorok és funkcionálok Leképezések Homomorfizmus és endomorfizmus Izomorf vektorterek Valós vektorterek komplexifikálása Rendezett vektorterek Kúpok és részbenrendezés Rendezésre nézve korlátos halmazok Pozitív operátorok Vektorhálók Metrikus terek A metrikus tér fogalma Gömbök és környezetek Sorozatok konvergenciája metrikus térben Zárt halmazok és lezárás Sűrű részhalmazok és szeparábilis metrikus terek Teljes metrikus terek Cauchy-sorozatok Teljes metrikus tér Néhány alapvető tétel teljes metrikus terekben A kontrakcióelv néhány alkalmazása Metrikus tér teljessé tétele Folytonos operátorok Normált terek A normált tér fogalma A normált tér axiómái A normált terek néhány tulajdonsága Banach-terek Sorok normált terekben A fontosabb Banach-terek Szoboljev-terek Rendezett normált terek Normált algebrák Hilbert-terek A Hilbert-tér fogalma Skalárszorzat Unitér terek és néhány tulajdonságuk Hilbert-tér Ortogonalitás Az ortogonalitás tulajdonságai Ortogonális rendszerek Fourier-sorok a Hilbert-térben Legjobb megközelítés Parseval-egyenlőség, Riesz Fischer-tétel

19 XXI Bázis létezése. Izomorf Hilbert-terek Folytonos lineáris operátorok és funkcionálok Lineáris operátorok korlátossága, normája és folytonossága Lineáris operátorok korlátossága és normája A folytonos lineáris operátorok tere Operátorsorozatok konvergenciája Folytonos lineáris operátorok Banach-terekben A lineáris operátorok spektrálelméletének elemei Operátor rezolvenshalmaza és rezolvense Operátor spektruma Folytonos lineáris funkcionálok Definíció Folytonos lineáris funkcionálok a Hilbert-téren, Riesz Frigyes tétele Folytonos lineáris funkcionálok L p -ben Lineáris funkcionálok kiterjesztése Konvex halmazok elválasztása (szétválasztása) Biduális tér és reflexív terek Adjungált operátorok normált terekben Korlátos operátor adjungáltja Nem korlátos operátor adjungáltja Önadjungált operátorok Pozitív definit operátorok Projektorok a Hilbert-térben Kompakt halmazok és kompakt operátorok Normált terek kompakt részhalmazai Kompakt operátorok A kompakt operátor fogalma Kompakt lineáris operátorok tulajdonságai Elemek gyenge konvergenciája Fredholm-féle alternatíva Kompakt lineáris operátorok a Hilbert-térben Kompakt önadjungált operátorok a Hilbert-téren Nemlineáris operátorok Példák nemlineáris operátorra Nemlineáris operátorok differenciálhatósága Newton-módszer Schauder-féle fixpont-elv Leray Schauder-elmélet Pozitív, nemlineáris operátorok Monoton operátorok Banach-terekben Mérték és Lebesgue-integrál σ-algebrák és mértékek Mérhető függvények Mérhető függvény A mérhető függvények osztályának tulajdonságai Integrálás Az integrál definíciója Az integrál néhány tulajdonsága Konvergenciatételek L p -terek Disztribúciók A parciális integrálás képlete

20 XXII Általánosított derivált Disztribúció Disztribúció deriváltja Vektoranalízis és térelmélet A térelmélet alapfogalmai Egyparaméteres vektor-skalárfüggvény Definíciók Vektorfüggvény differenciálhányadosa Vektorfüggvények differenciálási szabályai Vektorfüggvények Taylor-sorfejtése Skalármezők Skalármező vagy skalár pontfüggvény Fontosabb skalármezők Skalármezők megadása a koordináták függvényeként Szintfelületek és szintvonalak Vektormezők Vektormező vagy vektoriális, azaz vektorértékű pontfüggvény Fontosabb vektormezők A vektormezők megadása a koordináták függvényeként Áttérés egyik térbeli koordinátarendszerről egy másikra egy V ( r) vektormező megadásában Erővonalak Térbeli differenciálszámítás Iránymenti és térfogati differenciálhányados (derivált) Skalármező iránymenti differenciálhányadosa Vektormező iránymenti differenciálhányadosa Térfogati vagy térbeli differenciálhányados Skalármező gradiense Gradiens definíciója Gradiens és iránymenti differenciálhányados Gradiens és térfogati differenciálhányados A gradiens további tulajdonságai Skalármező gradiense különböző koordinátarendszerekben Műveleti és számítási szabályok Vektorgradiens Vektormező divergenciája A divergencia definíciója Divergencia megadása különböző koordinátarendszerekben A divergencia műveleti szabályai Centrális mező divergenciája Vektormező rotációja Rotáció definíciója Rotáció a különböző koordinátarendszerekben A rotáció kiszámítási szabályai Potenciálos mező rotációja Nablaoperátor, Laplace-operátor Nablaoperátor A nablaoperátorra vonatkozó számítási szabályok Vektorgradiens A nablaoperátor kétszeres alkalmazása Laplace-operátor