JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok"

Átírás

1 JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994

2 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus

3 1 Előszó Ez a jegyzet egy több kötetre tervezett sorozat első része. A sorozat szándékaink szerint a matematikának a tanárképzés szempontjából legfontosabb fejezeteit dolgozza fel, figyelembe véve a tanárképző intézmények tanterveit. Az analíızis tárgy keretében oktatott tananyagot 6-8 kisebb terjedelmű kötetben tervezzük kiadni. Ebben a sorozatban jelent meg Kamarás Lajos: Matematikai bevezetés című kötete, amely a halmazelméleti és logikai alapokat tartalmazza. A jegyzetben a szorosabb értelemben vett tananyagon túlmenően néhány olyan téma is szerepel, amely a kitekintést szolgálja és a tanár-továbbképzésben hasznosítható. Minden fejezethez egy feladatsor kapcsolódik, amely a gyakorlás mellett az anyag mélyebb elsajátítását is elősegítheti. A jegyzethez fűzött függelék a felhasznált legfontosabb halmazelméleti és algebrai fogalmakat foglalja össze, ezzel is elősegítve a jegyzet önálló használatát.

4 2 TARTALOM 1. Valós és komplex számok 1.1. A valós számok axiómái Számok abszolút értéke, intervallumok Számok gyöke Számhalmazok alsó és felső határa Az R n tér Nevezetes egyenlőtlenségek Komplex számok Feladatok Számsorozatok 2.1. A sorozat fogalma Monoton sorozatok Korlátos és korlátos változású sorozatok Konvergens sorozatok Műveletek határértékekkel Monoton sorozatok határértéke A Cauchy-féle konvergencia kritérium Tágabb értelemben vett határérték Sorozat alsó és felső határértéke Feladatok Végtelen sorok és végtelen szorzatok 3.1. Végtelen sorok konvergenciája Végtelen szorzatok Nevezetes sorok Pozitív tagú sorok Leibniz-típusú sorok Számok végtelen tört előállítása Műveletek végtelen sorokkal Konvergencia kritériumok Kettős sorozatok és kettős sorok Végtelen sorok szorzása Feladatok

5 4. Függelék 4.1. Relációk Ekvivalencia relációk Rendezési relációk Függvények Műveletek függvényekkel Algebrai struktúrák

6 A valós számok axiómái 1. Valós és komplex számok Ebben a pontban összefoglaljuk a valós számokkal kapcsolatos legfontosabb fogalmakat, az algebrai műveletekre és az egyenlőtlenségre vonatkozó műveleti szabályokat. Különös hangsúllyal foglalkozunk a matematikai analízis szempontjából alapvető szétválasztási axiómával és annak következményeként megmutatjuk számok gyökének, valamint számhalmazok alsó és felső határának a létezését. A valós számok mellett használni fogjuk a komplex számokat és az n-dimenziós vektorokat is. Ezért ezekkel kapcsolatosan egy rövid áttekintést adunk, kiemelve azokat a fogalmakat és tételeket, amelyek később felhasználásra kerülnek A valós számok axiómái Jelöljük R-rel a valós számok halmazát. Az alábbiakban röviden összefoglaljuk a valós számok legfontosabb az R-et meghatározó tulajdonságait. Test axiómák A valós számok halmaza a rajta értelmezett összeadás és szorzás műveletével testet alkot. Ez részletesen szólva a következőket jelenti. I. Az R-en értelmezve van az összeadás művelete, azaz a leképezés az alábbi tulajdonságokkal: R R (a, b) a + b R i) a + b = b + a (a, b R) (az összeadás kommutatív) ii) (a + b) + c = a + (b + c) (a, b, c R) (az összeadás asszociatív) iii) iv) létezik egy, az összeadásra nézve kitüntetett elem, a 0 szám, amelyre a + 0 = a (a R) minden a R elemhez létezik egy a R szám, amelyre teljesül. a + a = 0

7 1. Valós és komplex számok 5 II. Az R-en értelmezve van a szorzás művelete, azaz a R R (a, b) a b R leképezés az alábbi tulajdonságokkal: i) a b = b a (a, b R) (a szorzás kommutatív) ii) (a b) c = a (b c) (a, b, c R) (a szorzás asszociatív) iii) létezik egy, a szorzásra nézve kitüntetett elem, az 1 szám, amelyre a 1 = a (a R) iv) minden a R, a 0 elemhez létezik egy a 1 R szám, amelyre a 1 a = 1 teljesül. III. Az összeadást és a szorzást a disztributivitás szabálya kapcsolja össze: (a + b) c = a c + b c (a, b, c R). Könnyen igazolható (lásd az 1. feladatot és a Függeléket), hogy egyetlen olyan 0 ill. 1 szám létezik, amelyre I.iii) ill. II.iii) teljesül. Ezt az összadásra nézve kitüntetett 0 elemet az R nullelemének, a szorzásra nézve kitüntetett 1 elemet pedig az R egységelemének nevezzük. Megmutatható (lásd a Függeléket), hogy minden a R számhoz egyetlen I.iv) tulajdonságú a szám létezik, melyet az a additív inverzének vagy ellentettjének nevezünk. Az a + ( b) számot az egyszerűbb a b szimbólummal fogjuk jelölni, és az a és b számok különbségének fogjuk nevezni. A szorzás műveletének jelét ha ez nem okoz félreértést gyakran elhagyjuk. Ennek megfelelően az a, b R valós számok szorzatára az a b és az ab jelöléseket egyaránt használjuk. Megmutatható, hogy minden 0-tól különböző a számhoz egyetlen II.iv) tulajdonságú a 1 szám létezik, melyet az a reciprokának vagy multiplikatív inverzének nevezünk. A nullától különböző valós számok halmazát az R := R \ { 0 } szimbólummal jelöljük. Az a b 1 számot az a és b hányadosának nevezzük, és általában az a vagy az a/b szimbólumok valamelyikével fogjuk jelölni. b Ezekből az axiómákból a valós számok egyéb ismert tulajdonságai már levezethetők. Ilyen példul az a 0 = 0 (a R),

8 A valós számok axiómái állítás vagy a jól ismert ( a) b = (a b) (a, b R) szabály. Ezekkel kapcsolatban utalunk az 1. feladatra. Rendezési axiómák A valós számok halmazán értelmezve van egy reláció, amelyre nézve R rendezett test. Ez részletesebben szólva a következőket jelenti. IV. A reláció lineáris rendezés az R-en, azaz i) a a (a R) (a reláció reflexív) ii) a b és b a a = b (a, b R) (a reláció antiszimmetrikus) iii) a b és b c a c (a, b, c R) (a reláció tranzitív) iv) a b vagy b a (a, b R) (a reláció lineáris rendezés). V. A relációt az összeadással és a szorzással az alábbi szabályok kapcsolják össze: i) a b a + c b + c (a, b, c R) (az összeadás monoton) ii) a b és 0 c a c b c (a, b, c R) (a szorzás monoton). A kisebb-egyenlő ( ) rendezési reláció mellett szokás még a kisebb (<) relációt használni. Akkor mondjuk, hogy az a, b R számokra a < b teljesül, ha a b és a b. Néha a és < relációk helyett a nagyobb-egyenlő ( ) és a nagyobb ( > ) relációkat is használjuk a következő értelemben: b a a b, b > a a < b. Könnyen igazolható, hogy bármely a R számra a a 0. Speciálisan az 1 számra 1 = 1 1 > 0 teljesül, következésképpen V. i) alapján minden a R számra a < a + 1. Az R 0-nál nagyobb elemeit pozitív-, a 0-nál kisebb elemeit negatív számoknak, az R + := {x R : 0 x } halmaz elemeit pedig nem-negatív számoknak nevezzük.

9 1. Valós és komplex számok 7 A rendezési axiómákból levezethetők az egyenlőtlenségre vonatkozó jól ismert számolási szabályok, mint például a következő: ha a b és c d, akkor a + c b + d. Ezzel kapcsolatban lásd a 2. feladatot. Természetes számok A valós számok további meghatározó tulajdonságainak a megfogalmazásához felhasználjuk a természetes számok fogalmát. Az R valamely H nem üres részhalmazát induktívnak nevezzük, ha i) 0 H, ii) x H = x + 1 H. Nyilvánvaló, hogy pl. R induktív halmaz és induktív halmazok közös része is induktív. Definíció. Az R induktív részhalmazainak közös részét a természetes számok halmazának nevezzük, és az N szimbólummal jelöljük. Az N értelmezéséből következik, hogy a természetes számok halmaza az R legszűkebb induktív részhalmaza, következésképpen az N minden induktív halmaznak része. Az N mellett gyakran használni fogjuk a természetes számok alábbi részhalmazát is: N := N \ {0}. Az R + halmaz nyilván induktív. Ezért az induktív halmazok közös részének, azaz az N halmaznak az elemei nem-negatívok. A természetes számoknak ez a bevezetése magában foglalja a teljes indukció elvét és a rekurzióval való értelmezés lehetőségét. A teljes indukció elve A teljes indukció elve a következőképpen fogalmazható meg. Tegyük fel, hogy a természetes számokra vonatkozó valamely állítás igaz a 0 számra, abból, hogy az n természetes számra igaz az állítás, következik, hogy az n + 1 számra is igaz. Ekkor a szóban forgó állítás minden természetes számra igaz. Valóban, a fentiek szerint az a halmaz, amelyre az állítás igaz, a természetes számoknak egy induktív részhalmaza. Mivel az N a legszűkebb ilyen halmaz, azért

10 A valós számok axiómái a szóban forgó halmaz tartalmazza az N-et. Másrészt, mivel a feltétel szerint a vizsgált halmaz része is N-nek, azért szükségképpen egyenlő vele. A valós számoknak egy fontos geometriai tulajdonságával kapcsolatos az Archimédeszi axióma VI. Minden a és b pozitív valós számhoz létezik olyan n természetes szám, hogy b < n a. A valós számoknak a matematikai analízis szempontjából talán legfontosabb tulajdonságát fejezi ki az ún. Szétválasztási axióma VII. Legyen A és B a valós számok két nem üres részhalmaza. Ha minden a A és minden b B elemre a b, akkor létezik olyan ξ valós szám, amelyre a A, b B : a ξ b teljesül. Utalva az axióma szemléletes tartalmára azt szoktuk mondani, hogy a ξ szám szétválasztja az A és B halmazt. Megjegyezzük, hogy az Archimédeszi és a szétválasztási axióma nem független egymástól. Nevezetesen a test-, a rendezési- és a szétválasztási axiómát felhasználva az Archimédeszi axiómában megfogalmazott állítás bebizonyítható (lásd a 18. feladatot). A természetes számok fogalmát felhasználva értelmezhetjük a véges halmazok fogalmát. Tetszőleges n természetes szám esetén az N n := {k N : k < n} halmazt az N n-edik szeletének nevezzük. Ennek megfelelően az N 0-adik szelete az üres halmazt, első szelete a {0} halmaz, második szelete a {0, 1} halmaz, stb. Az n természetes számot az N n szelet hosszának nevezzük. A bijekció fogalmára támaszkodva (lásd a Függeléket), most már könnyen értelmezhetjük a véges halmaz fogalmát. Bebizonyítható (lásd a Függeléket), hogy bármely nem üres H halmaz esetén N-nek legfeljebb egy olyan N n szelete létezik, amelyre a H kölcsönösen egyértelműen leképezhető. Definíció. Akkor mondjuk, hogy a H halmaz véges, ha létezik olyan n természetes szám, hogy H és N n kölcsönösen egyértelműen megfeleltethető egymásnak. Az n természetes számot a H halmaz elemei számának nevezzük. A nem véges halmazokat végtelen halmazoknak nevezzük.

11 1. Valós és komplex számok 9 Azt, hogy a H halmaz elemeinek száma n, úgy is szokás kifejezni, hogy H egy n-elemű halmaz. A fenti definícióban szereplő valamely x : N n H bijekciót felhasználva és az x leképezés i N n helyen felvett értékét x i -vel jelölve az n elemű H halmazra gyakran a H = {x 0, x 1,, x n 1 } jelölésmódot használjuk (lásd még a Függeléket). Véges halmaz és annak valódi részhalmaza között nem létesíthető kölcsönösen egyértelmű leképezés (lásd a Függeléket). A természetes számok halmaza és annak N valódi részhalmaza között az N n n + 1 N leképezés egy bijekció, következésképpen N nem véges. A végtelen halmazok legegyszerűbb osztályát alkotják azok a halmazok, amelyek bijektív módon az N-re képezhetők. Ezekre vonatkozik az alábbi fogalom. Definíció. Akkor mondjuk, hogy a H halmaz megszámlálhatóan végtelen (röviden: megszámlálható), ha létezik a H és N között egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. A megszámlálható halmazok tehát alkalmas, természetes számok halmazán értelmezett függvények értékkészleteként is megkaphatók. Ezzel összhangban az ilyen halmazokat az szimbólummal szoktuk jelölni. {x 0, x 1,, x n, } vagy az {x n : n N} Bebizonyítható, hogy a racionális számok halmaza megszámlálható (lásd a 19. feladatot). Az alábbiakban a Függelék pontjában megadott általános definícióval összhangban bevezetjük számhalmazok maximumának és minimumának a fogalmát. Definíció. Akkor mondjuk, hogy a H R nem üres számhalmaznak van legkisebb eleme (más szóval: van minimuma), ha létezik olyan α H, hogy minden x H számra α x. Akkor monjuk, hogy a H számhalmaznak van legnagyobb eleme (más szóval: van maximuma), ha létezik olyan β H, hogy minden x H elemre x β teljesül. Ezek jelölésére bevezetjük az szimbólumokat. α = min H, β = max H

12 A valós számok axiómái Nyilvánvaló, hogy ha H = {a} egyelemű számhalmaz, akkor max H = min H = a. Egyszerűen adódik, hogy bármely kételemű számhalmaznak van maximuma és minimuma. Valóban a maximumra és a minimumra egy újabb jelölést bevezetve az alábbiakat állíthatjuk: { α, ha α β max {α, β} = α β := β, ha α < β, { α, ha α β min {α, β} = α β := β, ha α > β. Az α β számot az α és a β felső burkolójának, az α β számot pedig az α és β számok alsó burkolójának nevezzük. Legyen n N egy természetes szám és {α 0, α 1,, α n 1 } egy n elemű valós számhalmaz. n-re vonatkozó teljes indukcióval egyszerüen igazolható, hogy ennek a halmaznak is létezik a maximuma és a minimuma. Ezekre az alábbi jelöléseket használjuk: max {α k : k N n } = n 1 k=0 α k, min {α k : k N n } = n 1 k=0 α k. A természetes számok halmazának nincs legnagyobb eleme. Valóban, minthogy bármely n N természetes számra n + 1 N és n + 1 > n, azért N-nek nincs legnagyobb eleme. A továbbiakban gyakran felhasználjuk az alábbi állítást: 1.Tétel. A természetes számok bármely, nem üres részhalmazának van legkisebb eleme. Bizonyítás. Legyen K N, K a szóban forgó halmaz és vezessük be az L := {l N : l k ( k K)} jelölést. Minthogy 0 L, azért L nem üres. Megmutatjuk, hogy i) létezik olyan l L, hogy l + 1 / L, ii) ez az l szám K-nak is eleme. Innen figyelembe véve az L halmaz értelmezését már következik, hogy minden k K esetén l k, azaz l a K halmaz legkisebb eleme. Indirekt bizonyítást alkalmazva tegyük fel, hogy az i) állítással ellentétben minden l L elemre l + 1 L. Minthogy 0 L, azért az N értelmezését figyelembe véve L = N következne. Innen az L definíciója alapján minden l N és minden k K számra l k következne. Ez az állítás az l := k + 1 számot véve a k + 1 k ellentmondáshoz vezet.

13 1. Valós és komplex számok 11 A ii) igazolásához vegyük figyelembe, hogy l k minden k K elemre. Minthogy l + 1 / L, azért az L definíciója alapján létezik olyan k 0 K, hogy k 0 < l + 1. Erre a k 0 elemre tehát l k 0 < l + 1 teljesül. Egyszerűen igazolható viszont, hogy nincs olyan m természetes szám, amelyre l < m < l + 1 teljesülne (lásd a 3. feladatot), következésképpen l = k 0 K. Ezzel a tételt bebizonyítottuk. A teljes indukció újabb alkalmazásaként bebizonyítjuk az alábbi, később felhasználásra kerülő nevezetes egyenlőtlenséget. Bernoulli-féle egyenlőtlenség. Bármely n N természetes szám és h R valós szám esetén i) 1 + nh (1 + h) n, ha h > 1, ii) (1 + h) n 1 + 2nh, ha 0 < h < 1 2n. Bizonyítás. Az i) egyenlőtlenség n = 1 esetén nyilván fennáll. Tegyük fel, hogy valamilyen n-re igaz, és ezt felhasználva igazoljuk n + 1-re. Valóban, (1 + h) n+1 = (1 + h) n (1 + h) (1 + nh)(1 + h) = = 1 + (n + 1)h + nh (n + 1)h, ahol az utolsó lépésben a nyilvánvalóan nem-negatív nh 2 tag elhagyásával az összeget legfeljebb csökkentettük. Ezzel az i) állítást n + 1-re, következésképpen a teljes indukció elve alapján minden természetes számra igazoltuk. A ii) egyenlőtlenség igazolásához felhasználjuk az i)-et és az alábbi két egyenlőtlenséget: h > 1 h, 1 nh > nh, ha 0 < h < 1 2n. Az első a nyilvánvaló 1 > 1 h 2 egyenlőtlenségből, a második pedig az (1 nh)(1 + 2nh) = 1 + nh 2n 2 h 2 = 1 + nh(1 2nh) azonosságból a 0 < h < 1/(2n) feltétel alapján pozitív második tag elhagyásával adódik. Ezeknek és az i) egyenlőtlenségnek a felhasználásával 1 (1 + h) n > (1 1 h)n 1 nh > 1 + 2nh adódik, ahonnan a kifejezések reciprokra térve át ii) már következik.

14 Számok abszolut értéke, intervallumok Megjegyzések 1. Az I, II, III követelményeknek eleget tevő algebrai struktúrákat testeknek nevezzük (lásd a Függeléket). Ezek a követelmények még nem határozzák meg a valós számokat. Valóban, már a két elemű Z 2 := {0, 1} halmazon is lehet olyan összeadást és szorzást értelmezni, amelyekre nézve Z 2 testet alkot. Könnyen ellenőrizhető, hogy ha a Z 2 halmazon az összeadást és a szorzást a = = 0, = = 1, 0 0 = 0 1 = 1 0 = 0, 1 1 = 1 szerint értelmezzük, akkor teljesülnek a test axiómák. Mivel minden testnek van nulleleme és egységeleme, azért ennél szűkebb test nem létezik. Továbbá, a 0 0, 0 1, 1 1 utasítással értelmezett reláció nyilván eleget tesz IV -nek. Ugyanez igaz akkor is, ha 0 1 helyett az 1 0 relációt írjunk elő, de V triviális módon nem teljesül egyik választással sem. Nyilvánvaló tehát, hogy a Z 2 test lényegesen különbözik a valós számok halmazától. 2. A természetes számok fenti értelmezése alapján azok több ismert tulajdonsága nem magától értetődő. Pl. az a tény, hogy két természetes szám összege és szorzata is természetes szám, külön bizonyításra szorul, ha az N említett definícióját vesszük alapul. Ezzel kapcsolatban lásd a 3.feladatot. 3. A Z := {n R : n N vagy n N} halmaz elemeit egész számoknak nevezzük. Az egész számok hányadosaként előállítható számokat racionális számoknak nevezzük és a Q := {r = p R : p, q Z, q 0} q szimbólummal jelöljük. Megmutatható, hogy Q maga is testet alkot, amelyre a rendezési és az Arhimédeszi axióma is teljesül. Az említett axiómák együtt sem határozzák meg a valós számok halmazát, hiszen azokat Q is kielégíti, és amint az ismeretes, Q R. A szétválasztási axióma azonban nem teljesül a Q-ra (lásd később). 4. A racionális számok körében, amint az már a középiskolai tanulmányok alapján is ismeretes, nem végezhető el a gyökvonás minden esetben. A 2 egész számnak például nincs négyzetgyöke a racionális számok körében. Más szóval, nincs olyan racionális szám, amelynek négyzete 2-vel egyenlő. Ez egyszerű oszthatósági meggondolással igazolható. A következő pontban a szétválasztási axióma alapján bebizonyítjuk, hogy minden a pozitív valós szám és bármely n 2 természetes szám esetén van olyan x R szám, hogy x n = a. 5. Megmutatható, hogy ezek az axiómák izomorfia erejéig egyértelműen meghatározzák a valós számok halmazát. Ez azt jelenti, hogy bármely két, az I. V II. axiómáknak eleget tevő rendezett test között létezik egy kölcsönösen egyértelmű, művelet- és rendezéstartó leképezés. Minthogy ilyen halmazok között sem az algebrai struktúrát sem a rendezést tekintve nincs különbség, azért ezeket azonosnak tekinthetjük (lásd a Függeléket). 6. Itt most nem foglalkozunk a valós számok szisztematikus, a halmazelmélet axióma rendszeréből kiinduló felépítésével. Egyfajta felépítést, más ún. lokális testek konstrukciójával együtt e sorozat egy további részében fogunk bemutatni. 7. A valós számokkal kapcsolatban célszerű bizonyos geometriai szóhasználattal élni. Az euklideszi geometria axióma rendszeréből következik, hogy bármely egyenes pontjai és a valós számok halmaza között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Ezzel

15 1. Valós és komplex számok 13 összhangban az R-et egy egyenessel, az ún. számegyenessel, magukat a valós számokat pedig az egyenes pontjaival szokás azonosítani. Ennek megfelelően valós számok helyett gyakran a számegyenes pontjairól fogunk beszélni Számok abszolút értéke, intervallumok A reláció felhasználásával értelmezhetjük számok abszolút értékét. Tetszőleges x R szám x szimbólummal jelölt abszolút értékét az { + x, ha x 0 x := x, ha x < 0 utasítással értelmezzük. Az alábbiakban összefoglaljuk az abszolút érték legfontosabb tulajdonságait. 2. Tétel. i) x 0 és x = 0 x = 0 (x R) ii) x y = x y (x, y R) iii) x + y x + y (x, y R) iv) x y x y (x, y R). Bizonyítás. Mivel az i) és ii) állítások közvetlenül adódnak az abszolút érték definíciójából és a szorzás előjel szabályából, azért ezek bizonyítását nem részletezzük (lásd az 1. feladatot). Az x értelmezése alapján az x szám vagy x -kel, vagy x -kel egyenlő. Következésképpen bármely x, y R számpárra Innen, összeadva az egyenlőtlenségeket x x x, y y y. ( x + y ) x + y x + y következik. Mivel sem x+y sem annak 1 szerese nem nagyobb x + y -nél, azért x + y x + y. A iv) egyenlőtlenség a iii) egyszerű következménye. Valóban, iii) alapján x = y + (x y) y + x y,

16 Számok abszolut értéke, intervallumok azaz x y x y. Ha ez utóbbi egyenlőtlenségben az x és az y szerepét felcseréljük ( x y ) x y adódik. Ezt és az ezt megelőző egyenlőtlenséget egybevetve a bizonyítandó iv) egyenlőtlenség adódik. Az abszolút értéknek szemléletes geometriai jelentése van: x y az x és y számoknak megfelelő pontok távolságaként értelmezhető. A iii)-ban szereplő becslést háromszög egyenlőtlenségnek nevezzük. A, műveletek kifejezhetők az abszolút érték segítségével. Bármely két α, β R valós számra ui. (1) α β = (α + β) + α β, α β = 2 (α + β) α β. 2 Mindkét azonosság jobb és bal oldala is szimmetrikus az α, β változókban. Feltehetjük tehát, hogy pl. α β. Ekkor a bal oldalon α, ill. β áll. A jobb oldalak pedig az abszolút érték definíciója alapján a következőkkel egyenlők: (α + β) + (α β) 2 = α, ill. (α + β) (α β) 2 = β. A továbbiakban fontos szerepet játszanak a valós számok bizonyos részhalmazai, az intervallumok. Legyen α, β R és tegyük fel, hogy α < β. Az (α, β) := {x R : α < x < β}, [α, β] := {x R : α x β} számhalmazokat nyílt, ill. zárt intervallumoknak nevezzük. Az R [α, β) := {x R : α x < β}, (α, β] := {x R : α < x β} részhalmazait balról zárt, jobbról nyílt, ill. jobbról zárt, balról nyílt intervallumoknak nevezzük. Az α szám az intervallum bal-, a β szám az intervallum jobb végpontja. A valós számokat a számegyenes pontjaival azonosítva az intervallumok a szakaszoknak felelnek meg. Az α és β pontok a szakasz végpontjai, az (α + β)/2 szám az intervallum felezéspontjának, más szóval középpontjának felel meg. A β α számot a szóban forgó négy intervallum hosszának vagy mértékének nevezzük. Az α középpontú, 2r hosszúságú intervallumra külön jelölést is bevezetünk: K r (α) := (α r, α + r) = {x R : x α < r}. A K r (α) intervallumot az α pont r-sugarú környezetének is szokás nevezni.

17 1. Valós és komplex számok 15 Az Archimédeszi axióma geometriai tartalma a következő: ha bármilyen szakaszra a kezdőpontból kiindulva egymás után felmérünk egy másik szakaszt, akkor véges sok lépés után lefedjük azt. A szóban forgó axióma egyik érdekes következménye a 3.Tétel. Minden intervallum tartalmaz racionális számot. Bizonyítás. Nyilván elegendő az állítást nyílt intervallumokra igazolni. Legyen (α, β) egy nyílt intervallum és jelölje γ := β α az intervallum hosszát. Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor α > 0. Alkalmazva az Archimédeszi axiómát az 1 és az 1 γ > 0 számokra azt kapjuk, hogy létezik olyan n pozitív egész szám, amelyre 1 γ < n 1 = n, azaz γ > 1 n. Vezessük be a természetes számok alábbi részhalmazát: K := {k N : k 1 n β}. Először megmutatjuk, hogy a K halmaz nem üres. Ehhez alkalmazzuk még egyszer az Archimédeszi axiómát a β és az 1/n számokra. Következésképpen van olyan k pozitív egész, hogy k/n > β. Jelöljük m-mel a K legkisebb elemét. Ekkor (2) Megmutatjuk, hogy m 1 n < β m n. (3) α < m 1 n. Ez egybevetve (2)-vel azt jelenti, hogy az r := (m 1)/n racionális számra nyilván r (α, β) teljesül. A (3) egyenlőtlenséget indirekt bizonyítással igazoljuk. Ekkor az indirekt feltétel és (2) alapján m 1 α, β m n n. Innen az első egyenlőtlenséget beszorozva 1-gyel és a két egyenlőtlenséget összeadva γ = β α 1 n adódik, ami ellentmond az n definíciójának. Ezzel a tételt az α > 0 esetben bebizonyítottuk.

18 Számok abszolut értéke, intervallumok Az α 0 eset visszavezethető az előzőre. Valóban, legyen l N olyan, hogy l > α, azaz α 1 := l + α > 0. Legyen β 1 := l + β és alkalmazzuk az első részben igazolt állítást az (α 1, β 1 ) intervallumra. Létezik tehát olyan r racionális szám, amelyre teljesül. Innen α 1 = α + l < r < β 1 = β + l α < r l < β következik, azaz az r l racionális szám az (α, β) intervallumnak eleme. Ezzel a tételt a második esetben is igazoltuk. A tétel bizonyítása szemléletes tartalommal rendelkezik. Nevezetesen, ha ui. az n N számot elég nagynak választjuk, akkor 1/n kisebb az (a, b) intervallum hosszánál. A számegyenes 0 pontjából kiindulva egymás után felmérve az 1/n hosszúságú szakaszt, a végpontok nem ugorhatják át az (α, β) intervallumot. A tételt az (α, r) intervallumra alkalmazva adódik, hogy ebben az intervallumban is létezik racionális szám. Ezt az eljárást folytatva rekurzióval egy racionális számokból álló, megszámlálható számhalmazt kapunk. Ezzel beláttuk, hogy minden intervallum végtelen sok racionális számot tartalmaz. Az előzőhöz hasonló meggondolással adódik, hogy minden x R számhoz egyetlen olyan n Z egész szám létezik, amelyre n x < n + 1 teljesül. Ezt az n számot az x szám egész részének nevezzük és az szimbólumokkal jelöljük. Az [x] := Int (x) := n {x} := x [x] számot az x R szám tört részének nevezzük. Legyen {[a n, b n ] : n N} zárt intervallumoknak egy megszámlálható halmaza (más szóval: rendszere). Akkor mondjuk, hogy ezek az intervallumok egymásba vannak skatulyázva, ha bármely n N számra [a n+1, b n+1 ] [a n, b n ]. Az intervallum rendszer közös részére, azaz a halmazra vonatkozik az alábbi, ún. n N [a n, b n ]

19 1. Valós és komplex számok 17 Cantor axióma. Zárt intervallumok bármely megszámlálható, egymásba skatulyázott rendeszerének a közös része nem üres. A most megfogalmazott állítás egyszerű következménye a szétválasztási axiómának. Valóban, legyen A := {a n : n N}, B := {b n : n N} az intervallumok bal, ill. jobb végpontjainak halmaza. Ekkor az intervallumokra tett feltétel alapján bármely m, n N esetén a m < b n, s ezért az A és B halmazokra teljesülnek a szétválasztási axiómában megfogalmazott kikötések. Következésképpen létezik olyan ξ R, hogy minden n természetes számra a n ξ b n teljesül. Nyilvánvaló, hogy ez a ξ szám a szóban forgó intervallumok közös részének is eleme Számok gyöke A szétválasztási axióma egyik következménye, hogy minden pozitív valós számnak létezik n-edik gyöke, amelynek értelmezéséhez az alábbi állítás szolgáltat alapot. 4. Tétel. Legyen n 2 természetes szám és α nem-negatív valós szám. Ekkor egyetlen olyan ξ nem-negatív valós szám létezik, amelyre (4) ξ n = α teljesül. Bizonyítás. Először a tételben szereplő ξ szám létezését igazoljuk. Minthogy az α = 0 esetben ξ = 0 megfelelő, azért elegendő pozitív α-val foglalkozni. A szétválasztási axióma alkalmazásához vezessük be a következő két számhalmazt: A := {x R + : x n < α}, B := {y R + : y n α}. Minthogy 0 A, az A halmaz nem üres. Ha α 1, akkor 1 B, ha pedig α > 1, akkor α n > α, következésképpen α B, s ezért B sem üres. Most megmutatjuk, hogy az A minden eleme kisebb vagy egyenlő a B bármely eleménél. Indirekt bizonyítást alkalmazva tegyük fel, hogy valamely x A, y B elempárra x > y teljesülne. Ekkor az A és B definiciója alapján α y n < x n < α, azaz α < α következne, ami nyilván nem igaz. Ezzel beláttuk, hogy a most bevezetett halmazokra teljesülnek a szétválasztási axióma feltélei, következésképpen létezik olyan ξ valós szám, amely a két halmazt szétválasztja. Megmutajuk, hogy erre (4) teljesül.

20 Számok gyöke Ezt az állítást is indirekt úton igazoljuk, megmutatva, hogy a i) ξ n < α, ii) ξ n > α egyenlőtlenségek közül egyik sem állhat fenn. Az i) esetben ui., amint azt rögtön belátjuk, létezne olyan ξ-nél nagyobb ξ 1 elem, amelyre ξ1 n < α teljesülne. Ez azt jelentené, hogy ξ 1 A, következésképpen ξ-nél nagyobb A-beli elem is lenne, s ez nyilván ellentmond annak, hogy ξ szétválasztja a szóban forgó két halmazt. Ha ii) teljesülne, akkor létezne olyan ξ 2 B elem, amelyre ξ 2 < ξ, s ez ismét ellentmond a ξ szétválasztó tulajdonságának. Tegyük fel először, hogy i) teljesül. Ekkor van olyan ɛ > 0 szám, hogy Válasszuk a δ > 0 számot úgy, hogy ξ n + ɛ = α. (5) δξ n 1 < ɛ és δ ξ < 1 teljesüljön és legyen h := δ/(2ξn). Ekkor 0 < h < 1 2n, következésképpen alkalmazhatjuk a Bernoulli-egyenlőtlenség ii)-részét: (1 + h) n = (1 + δ 2ξn )n < 1 + δ ξ. Mindkét oldalt beszorozva ξ n -nel és felhasználva az (5) feltételt adódik. Ezzel beláttuk, hogy a (ξ + δ 2n )n < ξ n + δξ n 1 < ξ n + ɛ = α ξ 1 := ξ + δ 2n > ξ számra ξn 1 < α. A ii) esetben létezik olyan ɛ > 0 szám, hogy α = ξ n ɛ. Alkalmazzuk a Bernoulli-egyenlőtlenség i) részét a h := δ nξ számra, ahol a δ > 0 számot úgy választjuk, hogy (6) δ nξ < 1 és δξn 1 < ɛ teljesüljön. Ekkor azt kapjuk, hogy (1 + h) n = (1 δ nξ )n > 1 δ ξ,

21 1. Valós és komplex számok 19 ahonnan ξ n -nel való szorzás után a (6) feltétel figyelembe vételével (ξ δ n )n > ξ n δξ n 1 > ξ n ɛ = α, azaz a ξ 2 := ξ δ n < ξ számra ξn 2 > α teljesül. létezik. Ezzel megmutattuk, hogy a (4) feltételnek eleget tevő ξ szám valóban Az egyértelműség bizonyításához tegyük fel, hogy az állítással ellentétben létezik két különböző ξ 1, ξ 2 nem-negatív szám, úgy, hogy mindkettőre (7) ξ n 1 = α ξ n 2 = α teljesül. Tegyük fel, hogy pl. ξ 1 < ξ 2. Ekkor ξ n 1 < ξ n 2 következik, ami nyilván ellentmond (7)-nek. Ezzel a tételt bebizonyítottuk. A fenti tétel alapján értelmezhetjük a gyök fogalmát. Definíció. Legyen n > 1 természetes szám és α R +. Azt a ξ R + számot, amelyre ξ n = α az α szám n-edik gyökének nevezzük, és az n α szimbólummal jelöljük. A gyök értelmezéséből egyszerűen következnek a gyökvonás alapazonosságai: ( n α ) n = α, n α n = α (α R + ). Az első ekvivalens az n-edik gyök definíciójával. A második abból következik, hogy α eleget tesz az n α n definíciójában szereplő követelményeknek. Az n számot az n α gyökkitevőjének nevezzük. Ha n = 2, azaz ún. négyzetgyök esetén a gyökkitevőt elhagyva a α jelölést használjuk. Megjegyezzük, hogy ha n páros szám, akkor bármely α pozitív valós számhoz két olyan valós szám is létezik, amelynek n-edik hatványa α, az n α és n α. Minthogy minden valós szám páros kitevőjű hatványa nem-negatív, azért a negatív számoknak az előbbi definiciónak megfelelő módon nem értelmezhető páros kitevőjű gyöke a valós számok körében. Ez szükségessé teszi a valós számok kibővítését. A gyök értelmezése alapján egyszerűen igazolhatók a következő azonosságok: bármely α, β R + valós számra és minden 1-nél nagyobb m, n N természetes számra (8) n αβ = n α n β, α n β = n α n β

22 Számhalmazok alsó és felső határa (9) ( n α ) m = n α m, m n α = nm α, ahol a hányadosra vonatkozó azonosságban feltesszük, hogy β 0. Példaként bebizonyítjuk a szorzatra vonatkozó azonosságot, megjegyezve, hogy a többi hasonlóan igazolható. Az előző megjegyzés szerint elegendő az n-edik hatványok egyenlőségét igazolni. A bal oldal n-edik hatványa a gyök értelmezése szerint ( ) n n αβ = αβ. A jobb oldal n-edik hatványa pedig a szorzat hatványára vonatkozó azonosság és a gyökvonás értelmezése szerint a következővel egyenlő: ( n ) n ( α n β = n ) ( n ) n α n β = αβ. Ezzel a szorzat gyökére vonatkozó azonosságot bebizonyítottuk Számhalmazok alsó és felső határa A szétválasztási axióma szoros kapcsolatban van számhalmazok ún. felső és alsó határával. Ezek értelmezéséhez először vezessük be az alábbi fogalmakat. Definíció. Akkor mondjuk, hogy a nem üres H R számhalmaz felülről korlátos, ha (10) K R x H : x K. Ha a fenti definicióban a jelet a jellel cseréljük fel, eljutunk az alulról korlátos számhalmaz értelmezéséhez. Definíció. Akkor mondjuk, hogy a nem üres H R halmaz alulról korlátos, ha (11) k R x H : x k. Az (10) feltételnek eleget tevő K számokat a H halmaz felső, a (11) feltételt kielégítő k számokat H alsó korlátjainak nevezzük. Nyilvánvaló, hogy minden felső korlátnál nagyobb szám is felső korlát, és minden alsó korlátnál kisebb szám is alsó korlát. Definíció. Akkor mondjuk, hogy valamely számhalmaz korlátos, ha felülről is és alulról is korlátos.

23 1. Valós és komplex számok 21 Egyszerűen belátható, hogy valamely H számhalmaz akkor és csak akkor korlátos, ha K R x H : x K. Végtelen számhalmaznak általában nincs legkisebb (legnagyobb) eleme. A szétválasztási axióma következményeként adódik viszont az alábbi 5. Tétel. Felülről korlátos számhalmaz felső korlátjai között van legkisebb, alulról korlátos számhalmaz alsó korlátjai között van legnagyobb. Bizonyítás. Legyen A egy nem üres halmaz és jelöljük B-vel az A felső korlátjainak a halmazát. Ekkor B sem üres és a felső korlát értelmezése alapján a B halmaz minden eleme nagyobb vagy egyenlő az A halmaz bármely eleménél. Az A és B halmazpárra teljesülnek a szétválsztási axióma feltételei, következésképpen létezik a szóban forgó halmazokat elválasztó szám, azaz olyan ξ R, amelyre i) x A : x ξ, ii) K B : ξ K telejesül. Az i) állítás azt jelenti, hogy ξ az A halmaznak egy felső korlátja és ii) szerint az A-nak nincs ξ-nél kisebb felső korlátja. Ezzel beláttuk, hogy ξ a legkisebb felső korlát. A bizonyításban a felső korlátok halmazát az alsó korlátok halmazával cserélve fel, hasonlóan adódik az állítás alsó korlátokra vonatkozó része. Egyszerűen belátható, hogy a fenti tételben szereplő legkisebb és legnagyobb elem egyértelmű (lásd a Függeléket). Ez a tétel lehetővé teszi az alábbi fogalom bevezetését. Definíció. Felülről korlátos számhalmaz legkisebb felső korlátját a számhalmaz felső határának, alulról korlátos számhalmaz legnagyobb alsó korlátját a számhalmaz alsó határának nevezzük. A H R számhalmaz felső határát (más szóval: szuprémumát vagy lényeges felső korlátját) a sup H, alsó határát (más szóval: infimumát vagy lényeges alsó korlátját) az inf H szimbólummal jelöljük. Azt, hogy az α szám a H halmaz felső határa, gyakran a következő formában fogjuk felhasználni: i) α a H halmaz felső korlátja, vagyis x H : x α, ii) bármely α-nál kisebb szám H-nak már nem felső korlátja, vagyis a < α x H : x > a.

24 Számhalmazok alsó és felső határa Hasonlóan, az inf H = β állítás az alábbiakat jelenti: i) β a halmaz alsó korlátja, vagyis x H : x β, ii) bármely β-nál nagyobb szám H-nak már nem alsó korlátja, vagyis b > β x H : x < b. Megjegyzések 1. A felső és az alsó határ létezésére vonatkozó 1. Tétel a szétválasztási axióma következményeként adódott. Megmutatható (lásd a 17. feladatot), hogy a felső határ létezésére vonatkozó állítás valójában ekvivalens a szétválasztási axiómával. 2. Nyilvánvaló, hogy egy számhalmaz akkor és csak akkor korlátos, ha létezik olyan intervallum, amely a halmazt tartalmazza. 3. Ha valamely H halmaznak van legnagyobb eleme, akkor ez egyben a H felső határa is, azaz Hasonló állítás igaz a legkisebb elemre: max H = sup H. min H = inf H, feltéve, hogy H-nak van legkisebb eleme. Ezek alapján a szuprémum a maximum, az infimum pedig a minimum fogalmának kiterjesztéseként (általánosításaként) is felfogható. Ha H véges valós számhalmaz, akkor van legnagyobb és legkisebb eleme, végtelen halmaznak azonban általában nincs se maximuma, se minimuma. Ilyenkor ezek szerepét a felső és az alsó határ veszi át. 4. Célszerű kiterjeszteni az alsó és felső határ fogalmát nem korlátos halmazokra. Ehhez kibővítjük a valós számok halmazát két elemmel, amelyeket plusz, ill. mínusz végtelennek nevezünk és a +, szimbólumokkal jelölünk. Szokás ezeket ideális elemeknek is nevezni, és ugyanúgy, mint a valós számok esetében a + előjelet gyakran elhagyjuk. A valós számok ezekkel bővített halmazára az R := R {+, } jelölést használjuk. Ha valamely halmaz felülről nem korlátos, akkor azt fogjuk mondani, hogy felső határa +, ha pedig alulról nem korlátos, akkor definició szerint alsó határa legyen. 5. A < relációt terjesszük ki a valós számok ideális elemekkel bővített R halmazára az alábbiak szerint. Legyen x R : < x < +. A most bevezetett szóhasználattal élve azt mondhatjuk, hogy egy halmaz pontosan akkor felülről korlátos, ha sup H < +, és pontosan akkor alulról korlátos, ha inf H >.

25 1. Valós és komplex számok 23 A korábban bevezetett ún. véges intervallumok mellett használni fogjuk az alábbi ún. végtelen intervallumokat is: (α, + ) := {x R : x > α}, (, β) := {x R : x < β}, [α, + ) := {x R : x α}, (, β] := {x R : x β}. Ezekkel összhangban a valós számok és az ideális elemekkel kibővített valós számok halmazát a (, ) := R, végtelen intervallumokkal is jelöljük. [, ] := R 1.5. Az R n tér Az alábbiakban bevezetjük a vektor fogalmának egy általánosítását. Ehhez nem geometriai és fizikai meggondolások, hanem algebrai definíciókon keresztül jutunk el. Legyen n egy rögzített pozitív egész szám és jelöljük R n -nel az R-nek önmagával vett n-szeres direkt szorzatát (lásd a Függeléket). Az R n elemei tehát rendezett szám n-esek, amelyeket az x = (x 1, x 2,, x n ), y = (y 1, y 2,, y n ) szimbólumokkal jelölünk. Utalva ezek geometria jelentésére, az R n elemeit vektoroknak, az x 1, x 2,, x n számokat az x vektor koordinátáinak szokás nevezni. Az x, y R n vektorokat akkor tekintjük egyenlőknek, ha x 1 = y 1, x 2 = y 2,, x n = y n. Az x, y R n vektorok összegét, továbbá az x vektor és a λ valós szám szorzatát az x + y := (x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ) λ x := (λx 1, λx 2,, λx n ) utasítással értelmezzük. (A szorzás jelét el szokás hagyni.) A ( 1) x helyet x-et is írunk. Az R algebrai tulajdonságainak az összefoglalásához felhasználjuk a csoport fogalmát (lásd a Függeléket). Egyszerűen ellenőrizhető, hogy

26 Az R n tér I. R n a most értelmezett összeadásra nézve csoportot alkot, amelynek a nulleleme a Θ := (0, 0,, 0) R n vektor, s az x elem inverze a x vektor. II. A szorzást és az összeadást az alábbi műveleti szabályok kapcsolják össze: bármely x, y R n vektorra és minden λ, µ R számra (más szóval: skalárra) i) λ(µx) = (λµ)x (skalár asszociativitás) ii) (λ + µ)x = λx + µx (skalár disztributivitás) iii) λ(x + y) = λx + λy (vektor disztributivitás) iv) 1 x = x. A geometriában és a fizikában is fontos szerepet játszik a skaláris szorzat fogalma. Az x, y R n vektorok skaláris szorzatán az x, y := x 1 y 1 + x 2 y x n y n valós számot értjük. Az x vektornak önmagával vett skaláris szorzatának négyzetgyökét, azaz az x := x, x = x x x2 n számot az x vektor abszolút értékének vagy euklideszi normájának nevezzük. Az n = 2 esetben az R n elemeit azonosíthatjuk a sík pontjaival vagy vektoraival az x = (x 1, x 2 ) R 2 elemnek az x 1 (első), x 2 (második) koordinátájú pontot, ill. vektort feleltetve meg. Ehhez hasonlóan a tér pontjait, ill. vektorait az R 3 elemeivel azonosíthatjuk. A skaláris szorzat fenti definíciója összhangban van a geometriai és fizikai értelmezéssel és az x R n (n = 2, 3) elem abszolút értéke egyenő az x-et reprezentáló vektor hosszával, vagy az x pontnak a koordináta rendszer kezdőpontjától vett távolságával. A definíció alapján könnyen ellenőrizhetők a skaláris szorzat következő tulajdonságai: bármely x, y, z R n vektorra és λ, µ R számra i) x, y = y, x (kommutativitás) ii) λx + µy, z = λ x, z + µ y, z (linearitás) iii) x, x 0 és x, x = 0 x = Θ.

27 1. Valós és komplex számok Nevezetes egyenlőtlenségek Ebben a pontban bebizonyítunk néhány nevezetes egyenlőtlenséget, amelyeket később még felhasználunk. Számtani és mértani közép. Legyen n > 1 egy természetes szám és tegyük fel, hogy x 1, x 2,..., x n nem-negatív számok. Ekkor n (12) x 1 x 2 x n x 1 + x x n. n Az egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha x 1 = x 2 = = x n. Bizonyítás. Az egyenlőtlenséget a teljes indukció egy más esetekben is jól használható változatával igazoljuk. i) Legyen először n = 2. Ekkor a bizonyítandó állítás a 0 x x 1 x 2 + x x 1 x 2 = (x 1 x 2 ) 2 4 nyilvánvalóan fennálló egyenlőtlenséggel ekvivalens. Innen az egyenlőségre vonatkozó állítás is következik. ii) Második lépésben most az n = 2 m (m N ) alakú számokra igazoljuk az állítást teljes indukcióval. Mivel m = 1-re az egyenlőtlenséget már bebizonyítottuk, teljes indukciót használva tegyük fel, hogy 2 m tagra igaz az állítás. Vezessük be az X 1 := x 1 + x x 2 m 2 m, X 2 := x2m +1 + x 2m x 2 m+1 2 m jelöléseket. Figyelembe véve, hogy az egyenlőtlenség két tagra és 2 m tagra igaz, ( x1 + x x 2 m+1 2 m+1 ) 2 m+1 ( X1 + X 2 = 2 x 1 x 2 m x 2m +1 x 2 m+1 ) 2 2 m X 2m 1 X 2m 2 adódik, azaz 2 m+1 tagra is igaz. Ezzel az egyenlőtlenséget minden 2 m (m N ) esetén igazoltuk. iii) Az általános eset igazolásához válasszunk olyan m N számot, amelyre 2 m > n teljesül és legyen l := 2 m n. Az n darab y 1 := x 1,, y n := x n

28 Nevezetes egyenlőtlenségek számot az y n+1 := y n+2 := := y 2 m := x 1 + x x n n utasítással egészítsük ki 2 m tagra, és ezekre alkalmazzuk a már bebizonyított egyenlőtlenséget. Ekkor azt kapjuk, hogy ( ) 2 m ( ) 2 m y1 + y y 2 m nz + lz = = z 2m x 1 x 2 x n z l, ahonnan 2 m 2 m ( ) n z n x1 + x x n = x 1 x 2 x n n következik. Ezzel az egyenlőtlenséget minden 1-nél nagyobb természetes számra bebizonyítottuk. Az egyenlőségre vonatkozó állítás is adódik a közölt bizonyításból. A (12) bal oldalán álló számot a nem-negatív x 1, x 2,, x n számok mértani közepének, a jobb oldalán álló számot ezek számtani közepének nevezzük. Az n-tagú összegeket és az n-tényezős szorzatokat a (szumma) és a (produktum) jelek alkalmazásával szokás még a n x k := x 1 + x x n, k=1 =: z n x k := x 1 x 2 x n k=1 alakban felírni. Ezzel a jelöléssel (12) a következő alakú: n n x k 1 n x k. n k=1 k=1 Cauchy-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. Tegyük fel, hogy n N és legyenek x 1, x 2,, x n és y 1, y 2,, y n valós számok. Ekkor (13) x 1 y 1 + x 2 y x n y n x x x2 n y1 2 + y y2 n. Az egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha létezik olyan λ R szám, hogy x 1 = λy 1,, x n = λy n vagy y 1 = λx 1,, y n = λx n. Felhasználva az x = (x 1,, x n ), y = (y 1,, y n ) R n vektorok skaláris szorzatát és abszolút értékét (13) a következőképpen írható: x, y x y.

29 1. Valós és komplex számok 27 Bizonyítás. (13) helyett a bal és a jobb oldal négyzeteire igazoljuk az egyenlőtlenséget. Legyen először n = 2. Ekkor a bizonyítandó egyenlőtlenség ekvivalens a következővel: (x x 2 2)(y y 2 2) x 1 y 1 + x 2 y 2 2 = = x 2 1y x 2 2y 2 1 2x 1 y 1 x 2 y 2 = (x 1 y 2 x 2 y 1 ) 2 0, amely nyilvánvalóan fennáll. Az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha x 1 y 2 = x 2 y 1, amiből egyszerű diszkusszióval ellenőrizhető az egyenlőséggel kapcsolatos állítás. Az általános eset hasonlóan igazolható, csak a fenti két tagra vonatkozó azonosságot az alábbival kell felcserélni: ( n ) ( n ) ( n ) 2 n k 2 2 x k y k x k y k = (x k y l x l y k ) 2. k=1 k=1 k=1 k=1 l=1 Ez az azonosság vagy n-re vonatkozó teljes indukcióval igazolható, vagy a bal oldalon elvégezve a szorzást és a négyzetre emelést, összevonás után közvetlenül adódik. Innen a szóban forgó egyenlőtlenség és az egyenlőség esete is következik. Minkowski-egyenlőtlenség. Tegyük fel, hogy n N és legyenek x 1, x 2,, x n és y 1, y 2,, y n valós számok. Ekkor (14) (x1 + y 1 ) 2 + (x 2 + y 2 ) (x n + y n ) 2 x x x2 n + y1 2 + y y2 n, vagy felhasználva az x = (x 1,, x n ), y = (y 1,, y n ) R n vektorok abszolút értékét (15) x + y x + y. Az egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha létezik olyan λ R + szám, hogy λx = y vagy λy = x. Bizonyítás. Az egyenlőtlenséget a második formájában fogjuk igazolni, felhasználva az abszolút érték definícióját, a skaláris szorzat linearitását és a Cauchy- Bunyakovszkij-egyenlőtlenséget. Ha a bal oldal nulla, akkor az egyenlőtlenség nyilván fennáll. Tegyük fel tehát, hogy a bal oldal pozitív. Ekkor a mondottak felhasználásával x + y 2 = x + y, x + y = x, x + y + y, x + y x, x + y + y, x + y x x + y + y x + y = = ( x + y ) x + y

30 Komplex számok. adódik. Innen az x+y > 0 számmal való osztás után a bizonyítandó egyenlőtlenség adódik. Az x+y > 0 esetben egyenlőség nyilván akkor és csak akkor áll fenn, ha a fenti bizonyításban szereplő egyenlőtlenségekben mindenhol egyenlőség van. Ez pedig azzal egyenértékű, hogy egyrészt x, x + y és y, x + y azonos előjelű, másrészt vannak olyan γ, µ R számok, hogy γx = x + y és µy = x + y. Innen következik, hogy γ és µ azonos előjelű, továbbá γx = µy, ahonnan pl. µ 0 esetén y = λx (λ = γ/µ > 0) adódik. Vektorok abszolút értékének tulajdonságai. Bármely x = (x 1, x 2,, x n ), y = (y 1, y 2,, y n ) R n vektorra és λ R számra (16) i) x 0 és x = 0 x = Θ ii) λ x = λ x iii) x + y x + y iv) x y x y. Bizonyítás. Az i) és ii) közvetlenül adódik az abszolút érték definíciójából és a szorzat gyökére vonatkozó (8) azonosságból. A iii) azonos a Minkowski-féle egyenlőtlenséggel, iv) pedig szórol szóra ugyanúgy igazolható, mint a számok abszolút értékére vonatkozó hasonló egyenlőtlenség. Becslések vektor abszolút értékére. Bármely x = (x 1, x 2,, x n ) R n -beli vektorra i) x x 1 + x x n n x ii) 1 x max { x 1, x 2,, x n } x. n Bizonyítás. Az i) első fele könnyen ellenőrizhető. Valóban, négyzetre emelés után a bal oldalon a koordináták négyzeteinek az összege, a jobb oldalon ezen kívül a koordináták abszolút értékei szorzatainak kétszeresei is fellépnek. Az i) második része a Cauchy-Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenség alapján adódik, ha azt az x 1, x 2,, x n és az 1, 1,, 1 szám n-esekre alkalmazzuk. A ii) az x definíciójából következik, ha abban minden koordináta helyére a maximális abszolút értékűt írjuk, ill. csak a maximális abszolút értékűt hagyjuk meg.

31 1. Valós és komplex számok Komplex számok Az 1.3. pontban a gyökök értelmezése során nem-negatív számokra szorítkoztunk. Ennek az volt az oka, hogy a negatív számoknak nincs páros kitevőjű gyöke a valós számok körében, hiszen bármely valós szám páros kitevőjű hatványa nem-negatív. Speciálisan, nincs olyan valós szám, amelynek a négyzete 1 lenne. Célszerű a valós számok halmazát olymódon kibővíteni, hogy a kibővített halmaz is testet alkosson, és benne a gyökvonás már maradéktalanul elvégezhető legyen. Az új számokat az R 2 elemeivel vagy ami ugyanazt jelenti, a sík pontjaival fogjuk azonosítani. Első lépésben az R 2 halmazon bevezetünk egy összeadást és egy szorzást, és megmutatjuk, hogy R 2 ezekre nézve testet alkot. Definíció. Tetszőleges x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) R 2 elemekre legyen (17) x + y : = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ), x y : = (x 1 y 1 x 2 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ). Egyszerű számolással ellenőrizhető a következő állítás. 6. Tétel. R 2 a (17) alatt értelmezett műveletekkel testet alkot, amelynek nulleleme Θ := (0, 0), egységeleme e := (1, 0). Bizonyítás. Minthogy a + művelet ugyanaz, mint az R n -ben már korábban bevezetett összeadás, azért amint azt már láttuk R 2 erre nézve kommutatív csoportot alkot, amelynek nulleleme a Θ. Most megmutatjuk, hogy R 2 \{Θ} a fent bevezetett szorzásra nézve is csoportot alkot. A szorzás kommutativitása a definícióból leolvasható. Az aszociativitás igazolásához tekintsük az x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ), z = (z 1, z 2 ) R 2 elemeket. A szorzás értelmezése alapján, felhasználva a valós számokra vonatkozó műveleti szabályokat, egyrészt (x y) z = (x 1 y 1 x 2 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) z = = (x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 1 x 1 y 2 z 2 x 2 y 1 z 2, x 1 y 1 z 2 x 2 y 2 z 2 + x 1 y 2 z 1 + x 2 y 1 z 1 ), másrészt x (y z) = x (y 1 z 1 y 2 z 2, y 1 z 2 + y 2 z 1 ) = = (x 1 y 1 z 1 x 1 y 2 z 2 x 2 y 1 z 2 x 2 y 2 z 1, x 1 y 1 z 2 + x 1 y 2 z 1 + x 2 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ) adódik. Innen az asszocitivitás már nyilvánvaló.

32 Komplex számok. Egyszerűen belátható, hogy e := (1, 0) egységelem a fenti szorzásra nézve. Valóban, bármely x = (x 1, x 2 ) elemre x e = (x 1 1 x 2 0, x x 2 1) = x. Végül megmutatjuk, hogy bármely x = (x 1, x 2 ) Θ elemnek az x 1 := elem a multiplikatív inverze. Valóban ( x1 x 2 1 +, x2 2 x 2 x x2 2 ( x x 1 x1 x 1 + x 2 x 2 = x 2 1 +, x ) 1x 2 x 2 x 1 x2 2 x = (1, 0) = e. x2 2 Ezzel beláttuk, hogy R 2 a fent bevezetett műveletekkel testet alkot. ) Az R x x := (x, 0) R 2 leképezés nyilvánvalóan kölcsönösen egyértelmű az R és az R := {(x, 0) : x R} R 2 halmaz között. Bármely x = (x 1, 0), y = (y 1, 0) R elempárra x + ŷ = (x 1 + y 1, 0) = x + y, x ŷ = (x 1 x 2, 0) = x y teljesül. Ez más szóval azt jelenti, hogy a szóban forgó leképezés R-beli összeget R-beli összegbe, R-beli szorzatot R-beli szorzatba visz át, s ezért a két halmaz algebrai szempontból azonosnak tekinthető, más szóval: egymással izomorfak (lásd a Függeléket). Ebben a leképezésben a 0-nak a Θ, az 1-nek az e és a 1-nek a e := ( 1, 0) felel meg. Az R-et azonosítva az R 2 test R részhalmazával, a most értelmezett test a valós számok bővítésének tekinthető. Egyszerűen megmutatható, hogy a bővebb testben a 1 számnak megfelelő e elemnek van négyzetgyöke, nevezetesen az ı := (0, 1) elem. Valóban, a szorzás definíciója alapján ı ı = (0 1, 0 + 0) = e. Később megmutatjuk, hogy a gyökvonás nem csak a valós számoknak megfelelő számok körében végezhető el, hanem a kibővített számtest bármely elemének minden n N, n > 1 esetén létezik n-edik gyöke.

33 1. Valós és komplex számok 31 Kiindulva a z =: (x 1, y 1 ) = (x 1, 0) + (y 1, 0) (0, 1) = x + ŷ ı azonosságból, az említett megfeleltetésben egymáshoz rendelt elemek között jelölésben sem teszünk különbséget. Ekkor az R 2 elemeit azonosíthatjuk a C := {z = x + y ı : x, y R} halmaz elemeivel, ahol ı 2 = 1, és a megfeleltetés az R 2 (x, y) z := x + y ı C leképezéssel adható meg. Ezzel összhangban az öszeadás és a szorzás a C-ben a következő: tetszőleges z 1 := x 1 + y 1 ı, z 2 = x 2 + y 2 ı C elemre z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 ) ı, z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + (x 1 y 2 + x 2 y 1 ) ı. A z C, z 0 szám multiplikatív inverzére a valós számok körében is szokásos jelöléseket és elnevezéseket használva z 1 = 1 z = x x 2 + y 2 y x 2 + y 2 ı adódik, és ezt az elemet a z reciprokának is szokás nevezni. A szorzás jelét a valós esethez hasonlóan elhagyjuk, ha az nem okoz félreértést. Az egymással izomorf két test közül általában a másodikat szokás használni. A C elemeit komplex számoknak, magát a C-t a komplex számok testének nevezzük. Az x, y R számokat a z = x + yı komplex szám valós, ill. képzetes részének nevezzük, és az x =: Rz, y =: Iz szimbólumokkal jelöljük. A z := x y ı komplex számot a z komplex konjugáltjának, az z := x 2 + y 2 = zz nem-negatív valós számot a z abszolút értékének nevezzük. A C elemeit, az R 2 elemeihez hasonlóan, szokás a sík pontjaival, ill. vektoraival azonosítani, a valós számok halmazának megfelelő egyenest valós tengelynek, az {yı : y R} halmaznak megfelelő egyenest képzetes vagy imaginárius tengelynek, magát a síkot komplex számsíknak nevezni. A z szám abszolút értéke a neki megfelelő vektor hosszával

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. *************** JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ

Részletesebben

Gáspár Csaba. Analízis

Gáspár Csaba. Analízis Gáspár Csaba Analízis Készült a HEFOP 3.3.-P.-004-09-00/.0 pályázat támogatásával Szerzők: Lektor: Gáspár Csaba Szili László, egyetemi docens c Gáspár Csaba, 006. Tartalomjegyzék. Bevezetés 5. Alapvető

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka

Részletesebben

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás A lineáris programozás A geometriai megoldás Készítette: Dr. Ábrahám István A döntési, gazdasági problémák optimalizálásának jelentős részét lineáris programozással oldjuk meg. A módszer lényege: Az adott

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában

Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Simon Péter Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában egyetemi jegyzet A jegyzet az ELTE IK 2010. évi Jegyzettámogatási pályázat támogatásával készült

Részletesebben

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február Helyi tanterv Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február 1 A TANTERV SZERKEZETE Bevezető Célok és feladatok Fejlesztési célok és kompetenciák Helyes

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2006

A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2006 A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2006 Köszönöm Koós Gabriella végzős hallgatónak, hogy felhívta a figyelmemet az anyag előző változatában szereplő néhány

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus

Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus Síktopológiák a Sorgenfrey-egyenes ötletével Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus 1. Bevezetés A Sorgenfrey-egyenes

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

A kvantummechanika általános formalizmusa

A kvantummechanika általános formalizmusa A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.

Részletesebben

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9.Ny osztály Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Algebra és számelmélet Alapműveletek az egész és törtszámok körében Műveleti sorrend,

Részletesebben

Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában

Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában Nagy V. Gábor SZTE Bolyai Intézet Eötvös Loránd Kollégium, Matematika Műhely Szeged, 2013. október 25. ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés 1/21 Definíció. A G 1,...,

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Szeminárium-Rekurziók

Szeminárium-Rekurziók 1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az

Részletesebben

Analízis lépésről - lépésre

Analízis lépésről - lépésre Analízis lépésről - lépésre interaktív tananyag Dr. Stettner Eleonóra Klingné Takács Anna Analízis lépésről - lépésre: interaktív tananyag írta Dr. Stettner Eleonóra és Klingné Takács Anna Tartalom Előszó...

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Horváth Árpád 2008. december 16. A segédletek egy része a matek honlapon található: http://www.roik.bmf.hu/matek Kötelező irodalom: Bagyinszki

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Vektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet).

Vektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet). Vektortér A vektortér (lineáris tér, lineáris vektortér) két, már tanult algebrai struktúrát kapcsol össze. Def.: Legyen V nemüres halmaz, amelyben egy összeadásnak nevezett művelet van definiálva, és

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban

Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az

Részletesebben

Gyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk).

Gyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk). Gyakorlatok Din 1 Jelölje P (n) azt a számot, ahányféleképpen mehetünk le egy n lépcsőfokból álló lépcsőn a következő mozgáselemek egy sorozatával (zárójelben, hogy mennyit mozgunk az adott elemmel): lépés

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika. István Fazekas

Valószínűségszámítás és statisztika. István Fazekas Valószínűségszámítás és statisztika István Fazekas Tartalomjegyzék 1. fejezet. A valószínűségszámítás alapfogalmai 5 1.1. A valószínűség 5 1.2. Halmazalgebrák és σ-algebrák 11 1.3. A feltételes valószínűség

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás 12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra A Kiadó javaslata alapján összeállította: Látta:...... Harmath Lajos munkaközösség vezető tanár Jóváhagyta:... igazgató

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8.

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8. Pénzügyi matematika Medvegyev Péter 13. szeptember 8. Az alábbi jegyzet a korábbi ötéves gazdaságmatematikai képzés keretében a Corvinus egyetemen tartott matematikai el adásaim kib vített verziója. A

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza.

Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza. Matematika Számok, műveletek A természetes számok halmaza: Számhalmazok Ha m és n természetes szám, akkor az m természetes számok halmazán. Példa: 6+x=2. n egyenlet nem feltétlenül oldható meg a Az egész

Részletesebben

Matematika. 5. 8. évfolyam

Matematika. 5. 8. évfolyam Matematika 5. 8. évfolyam 5. 6. évfolyam Éves órakeret: 148 Heti óraszám: 4 Témakörök Óraszámok Gondolkodási és megismerési módszerek folyamatos Számtan, algebra 65 Összefüggések, függvények, sorozatok

Részletesebben

Ismerkedés az Abel-csoportokkal

Ismerkedés az Abel-csoportokkal Ismerkedés az Abel-csoportokkal - Szakdolgozat - Készítette: Takács Mária (Matematika BSc, Tanári szakirány) Témavezető: Kiss Emil (Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet) Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Juhász Tibor. Lineáris algebra

Juhász Tibor. Lineáris algebra Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék

Részletesebben

Geometriai axiómarendszerek és modellek

Geometriai axiómarendszerek és modellek Verhóczki László Geometriai axiómarendszerek és modellek ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2011 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének

Részletesebben

Geometria, 11 12. évfolyam

Geometria, 11 12. évfolyam Geometria, 11 1. évfolyam Dobos Sándor, Hraskó ndrás, Kiss Géza és Surányi László 014. június 8. 4 TRTLOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék Feladatok 5 1. Geometriai szerkeszthetőség.......................... 5 1.1.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG MÁTRIX DEFINITSÉGÉNEK FOGALMA ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG ELDÖNTÉSÉRE DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-..1.B-10//KONV-010-0001

Részletesebben

Halmazok-előadás vázlat

Halmazok-előadás vázlat Halmazok-előadás vázlat Naiv halmazelmélet:. Mi a halmaz? Mit jelent, hogy valami eleme a halmaznak? Igaz-e, hogy a halmaz elemei valamilyen kapcsolatban állnak egymással? Jelölés: a A azt jelenti, hogy

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.)

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) 22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) A) A PERMUTÁCIÓK CIKLIKUS SZERKEZETE 1. feladat: Egy húsztagú társaság ül az asztal körül. Néhányat közülük (esetleg az összeset) párba állítunk, és a párok

Részletesebben

EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3. Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára

EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3. Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3 Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára Célok és feladatok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Tómács Tibor. Matematikai statisztika

Tómács Tibor. Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Építőkari Matematika A3 1. Ha E(X = 1 és D 2 (X = 5, határozzuk meg (a E[(2 + X 2 ], (b D 2 (4 + 3X értékét. 2. Legyenek X 1, X 2,... független azonos eloszlású

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat

Részletesebben

Egy euklidészi gyűrű

Egy euklidészi gyűrű Acta Academiae Paedagogicae Agriensis, Sectio Mathematicae, 25. (1998) pp. 71 76 Egy euklidészi gyűrű KIRÁLY BERTALAN, OROSZ GYULÁNÉ Abstract. We showe in this paper that the polynomial ring over a field

Részletesebben

A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal

A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal Tasnádi Attila Kivonat Mikroökonómia tankönyvekből és példatárakból ismert, hogy egy homogén termékű Cournot-oligopol piacon a termelők

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

Mikrohullámok vizsgálata. x o

Mikrohullámok vizsgálata. x o Mikrohullámok vizsgálata Elméleti alapok: Hullámjelenségen valamilyen rezgésállapot (zavar) térbeli tovaterjedését értjük. A hullám c terjedési sebességét a hullámhossz és a T rezgésido, illetve az f frekvencia

Részletesebben

A sorozatok az egyetemen és a középiskolákban

A sorozatok az egyetemen és a középiskolákban A sorozatok az egyetemen és a középiskolákban Szakdolgozat Készítette: Piliszky András Matematika BSc, Matematika tanári szakirány Témavezető: Munkácsy Katalin, főiskolai docens ELTE TTK, Matematikatanítási

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

Tevékenység: Olvassa el a fejezetet! Gyűjtse ki és jegyezze meg a ragasztás előnyeit és a hátrányait! VIDEO (A ragasztás ereje)

Tevékenység: Olvassa el a fejezetet! Gyűjtse ki és jegyezze meg a ragasztás előnyeit és a hátrányait! VIDEO (A ragasztás ereje) lvassa el a fejezetet! Gyűjtse ki és jegyezze meg a ragasztás előnyeit és a hátrányait! VIDE (A ragasztás ereje) A ragasztás egyre gyakrabban alkalmazott kötéstechnológia az ipari gyakorlatban. Ennek oka,

Részletesebben

Hálók kongruenciahálója

Hálók kongruenciahálója Hálók kongruenciahálója Diplomamunka Írta: Skublics Benedek Témavezet : Pálfy Péter Pál Eötvös Loránd Tudományegyetem Matematikai Intézet 2007 Tartalomjegyzék Bevezetés 1 1. Hálók kongruenciái 3 1.1. A

Részletesebben

különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.

különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson amatematikáról, mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

A matematikai logika alapjai

A matematikai logika alapjai A matematikai logika alapjai A logika a gondolkodás törvényeivel foglalkozó tudomány A matematikai logika a logikának az az ága, amely a formális logika vizsgálatára matematikai módszereket alkalmaz. Tárgya

Részletesebben

különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.

különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1-4./1.2.3.

Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont. Helyi tanterv. Matematika. készült. a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1-4./1.2.3. 1 Apor Vilmos Katolikus Iskolaközpont Helyi tanterv Matematika készült a 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1-4./1.2.3. alapján 1-4. évfolyam 2 MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja,

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal. PhD értekezés

Miskolci Egyetem. Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal. PhD értekezés Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal PhD értekezés Készítette: Lengyelné Szilágyi Szilvia Hatvany

Részletesebben

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar 2.3.2.2.1.2 Keresztirányú stabilitás nagy dőlésszögeknél A keresztirányú stabilitás számszerűsítésénél, amint korábban láttuk, korlátozott a metacentrikus magasságra való támaszkodás lehetősége. Csak olyankor

Részletesebben

MATEMATIKA 1-2.osztály

MATEMATIKA 1-2.osztály MATEMATIKA 1-2.osztály A matematikatanítás feladata a matematika különböző arculatainak bemutatása. A tanulók matematikai gondolkodásának fejlesztése során alapvető cél, hogy mind inkább ki tudják választani

Részletesebben

Matematika 8. PROGRAM. általános iskola 8. osztály nyolcosztályos gimnázium 4. osztály hatosztályos gimnázium 2. osztály. Átdolgozott kiadás

Matematika 8. PROGRAM. általános iskola 8. osztály nyolcosztályos gimnázium 4. osztály hatosztályos gimnázium 2. osztály. Átdolgozott kiadás Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Novák Lászlóné tanár Dr. Sümegi Lászlóné szaktanácsadó Zankó Istvánné tanár Matematika 8. PROGRAM

Részletesebben

Debrecen. Bevezetés A digitális képfeldolgozás közel hetven éves múlttal rendelkezik. A kezdeti problémák

Debrecen. Bevezetés A digitális képfeldolgozás közel hetven éves múlttal rendelkezik. A kezdeti problémák VÁZKIJELÖLŐ ALGORITMUSOK A DIGITÁLIS KÉPFELDOLGOZÁSBAN Fazekas Attila Debrecen Összefoglalás: A digitális képfeldolgozásban vonalas ábrák feldolgozása során gyakran használatos a vázkijelölés. Ez a módszer

Részletesebben

reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv életkornak

reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv életkornak MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben