Szeminárium-Rekurziók

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Szeminárium-Rekurziók"

Átírás

1 1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, az értékkészlete pedig a valós számok vagy annak egy részhalmaza, vagy komplex számok vagy.... Értelmezési tartomány: N. Értékkészlet: a n R. A sorozat elemeit a-val jelöljük. Az elem sorszámát alsóindexbe tesszük: a 1,a,a 3,...,a n,..., ahol a 1 az első elem, a n az n-edik elem. A líceumi tananyag keretén belül többször találkozunk sorozatokkal. Az első ismerkedés a IX. osztályban történik a számtani illetve mértani sorozatok keretén belül, ugyanakkor a matematikai indukció elvénél is találkozhatunk néhány sorozattal, bár ekkor még hallgatólagosan használjuk a sorozat fogalmát. A IX osztályban még csak ismerősöként ismert sorozatok, X,XI osztályban már komoly barátokká válnak, s a tananyag majdnem minden részében felismerhetjük őket. Ez annak köszönhető, hogy a sorozatra nem kell másképp nézni mint egy függvényre, sajátos függvényre. Röviden ismételjük át a számtani illetve mértani sorozatok fő tulajdonságait. 1.. Számtani sorozatok A számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben bármely két - ugyanolyan sorrendben vett - szomszédos elemének kül"onbsége állandó. A különbséget differenciának nevezzük, és d-vel jelöljük. Így: a n+1 a n = d, ahol n N, d R (1..1) 1

2 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK A sorozat bármelyik elemét megkapjuk, ha az előző elemhez hozzáadjuk a különbséget: a n+1 = a n + d. (1..) Ha d > 0 akkor a számtani sorozat szigorúan növekvő, ha d < 0 akkor a sorozat elemi szigorúan monoton csökkenőek, ha d = 0 akkor állandó vagy konstans sorozatról beszélünk Tétel. A számtani sorozat n-edik elemét a következő képlettel is kiszámíthatjuk: adjuk hozzá az első elemhez a differencia n 1-szeresét: a n = a 1 + (n 1) d. (1..3) 1... Tétel. A számtani sorozat első n tagjának az összegét a következő képlettel számíthatjuk ki: S n = (a 1 + a n ) n = a 1 + (n 1)d. (1..4) Tétel. A számtani sorozatban bármely három szomszédos eleme közül a középső a két szélsőnek a számtani közepe. Ez az összefüggés általánosan is igaz: bármely elem a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemeknek a számtani közepe: a n = a n+i + a n i, ahol i N, i < n. (1..5) 1.3. Mértani sorozatok A mértani sorozat olyan számsorozat, amelyben bármely két - ugyanolyan sorrendben vett - szomszédos elemének hányadosa állandó. A hányadost, más néven quotienst q-val jelöljük. Így és az elemek között sem szerepel a nulla. a n+1 a n = q, ahol n N, q 0, (1.3.6) A sorozat bármelyik elemét megkapjuk, ha az előző elemet szorozzuk a hányadossal: a n+1 = a n q. (1.3.7) Ha a hányados pozitív, akkor a sorozat minden eleme azonos előjelű, ha negatív, akkor az elemek váltakozó előjelűek. Ha q > 1, akkor a sorozat szigorúan monoton növekvő, ha 0 < q < 1, akkor a sorozat szigorúan monoton csökkenő, ha q = 1, akkor a sorozat konstans Tétel. A mértani sorozat n-edik elemét a következő képlettel is kiszámolhatjuk: az első tagot megszorozzuk a hányados n 1-edik hatványával a n = a 1 q n 1. (1.3.8) Tétel. A mértani sorozat első n tagjának összegét a következő képlettel számíthatjuk ki q n 1 S n = a 1, q 1. (1.3.9) q 1

3 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK Megjegyzés. Ha q = 1, akkor létezik egy β R konstans, amelyre a n = β, minden n N esetén, ami azt jelenit, hogy S n = n β Tétel. A mértani sorozat bármely három szomszédos eleme közül a középső négyzete a két szélsőnek a szorzatával egyenlő: a n+1 = a n a n+. (1.3.10) Megjegyzés. Ez az összefüggés általánosan is igaz: bármely elem négyzete a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemeknek a szorzata: a n = a n i a n+i, i < n Egy alkalmazás A sorozatok közül több kereskedelmi, gazdasági kérdés tisztázásában a mértani sorozatnak van jelentős szerepe. Ilyen például a kamatos kamat számítás, tehát hogy a bankba betett pénzösszeg az évenként hozzácsatolt éves kamattal együtt mennyi lesz. Ezt nevezzük évenkénti tőkésítésnek. Ha évi p% a kamatláb, akkor évi kamata p, évi tőkésítéssel a bankba tett x RON egy év múlva x + x ( 100 p = x 1 + p ) 100 lesz. A pénz 1 + p 100- szorosára növekszik. Ezt jelöljük el q-val, ezt kamattényezőnek nevezzük. Ezzel a jelöléssel a bankba tett x RON 1,, 3,..., n év elteltével kamatos kamataival felnövekedve xq, xq,..., xq n RON lesz Megoldott feladatok Hanoi tornyai Elöször a Hanoi tornyai néven ismert feladatot mutatjuk be. Edouard Lucas francia matematikus 1883-ban vizsgálta a következő feladatot: Feladat. Van egy nyolc korongból álló torony; a korongok három rúd egyikén helyezkednek el, alulról felfelé csökkenő méretben. A cél az, hogy a teljes tornyot valamelyik másik rúdra helyezzük át úgy, hogy minden lépésben egyetlen korongot mozgathatunk, és a följebb elhelyezkedő korong mindig kisebb kell, hogy legyen, mint a lejjebb elhelyezkedő. Megoldás. Az ilyen jellegű problémákhoz legjobb oly módon hozzákezdeni, hogy kissé általánosítjuk, majd sajátos esetben a saját feladatot is visszakapjuk. Nézzük mi a helyzet n korong esetén. Az általánosítás egyik előnye, hogy még jobban leszükíthetjük a feladatot. Elöször megfigyeljük a jelenségek kis n értékekre. Egy vagy két korong esetén könnyen láthatjuk, hogy miként tudjuk átpakolni a tornyot, és némi kisérletezéssel rátalálunk a megoldásra három korong esetén is. A probléma megoldásában a következő lépés a megfelelő jelöl a bevezetése- a jó jelölés és megoldás megszervezés fél győzelem. Legyen T n a minimális szükséges lépések száma. Ekkor nyilván T 1 = 1, T = 3.

4 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK 4 Tekinthetjük, hogy T 0 = 0, hiszen egyetlen lépésre sincs szükség a torony átrakásához, ha n = 0. Elöször helyezzük át az n 1 legkisebb korongot egy másik rúdra(ehhez T n 1 lépésre van szükség). Ez azt mutatja, hogy T n T n A megoldásunkkal eddig csak annyit bizonyítottunk, hogy T n lépés elegendő, de azt még nem igazoltuk, hogy szükség van ennyi lépésre. Egy leleményes ember talán egy rövidebb utat gondolt el. De létezik jobb út? Valójában nem. Valamikor el kell mozdítanunk a legnagyobb korongot. Ekkor az n 1 kisebbnek, egyetlen rúdon kell lennie, és ahhoz, hogy ezeket ide helyezzük, legalább T n 1 elmozgatásra van szükség. Miután legutoljára mozdítottuk el a legnagyobb korongot, még át kell raknunk n 1 kisebbet (amelyeknek ismét egyetlen rúdon kell elhelyezkedniük) a legnagyobbra és ehez ismét T n 1 lépés kell. Tehát T n T n Azaz a következő rekurziót kapjuk { T 0 = 0, T n = T n 1 + 1, A fenti rekurziót többféleképpen is megoldhatjuk: Megsejtjük és indukcióval igazoljuk, hogy T n = n 1. Bevezetjük a n := T n +1 jelölést és ekkor a következő rekurzióhoz jutunk a n+1 = a n, ami valójában egy mértani sorozat, melynek általános tagjának képletét a Tétel segítségével határozhatjuk meg, azaz a n = n, és így T n = n Josephus probléma A második bevezető probléma az első században élt híres történetíró, Josephus Flavius nevéhez füzödő régi probléma egy változata. A zsidó-római háború idején tagja volt a lázadók egy 41 fős csapatának, amelyet egy barlangban tőrbe csaltak a rómaiak. A felkelők úgy gondolkták, hogy inkább az öngyilkosságot válsztják, semmint fogságba essenek. Elhatározták, hogy körbeállva, és a körben köröskörül haladva megölik minden második, még élő személyt, amíg senki sem marad életben. Ám Josephus egy ismeretlen összeesküvő-társával hallani sem akart erről az öngyilkossági hülyeségről, ezért gyorsan kiszámolta, hova álljanak a barátjával ebben az ördögi körben. A mi változatunkban kiinduláskor n ember áll egy körben, akiket, 1-től n-ig megszámozunk, és addig végzünk minden második személlyel, múg végül egyetlen túlélő marad. n = 10 esetén példúl a kiinduló helyzet az alábbi:

5 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK A kivégzési sorrend most, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9 így 5 a túlélő. A feladat az, hogy meghatározzuk meg a túlélő sorszámát, J n -et. Láttuk, hogy J 1 0 = 5. Azt sejthetjük, hogy J n = n ha n páros. Az n = szintén alátámsztja a sejtésünket, ámbár: n J n a fenti táblázat azt mutatja, hogy n = 4 és n = 6 esetén a feltételezésünk nem igazol dott be. Tehát valami jobb ötlethez kell fordulnunk, ahhoz, hogy képesek legyünk a pontos értéket megadni. Úgy tűnik, hogy J n mindig páratlan. És valóban, jó magyarázata van ennek: amikor elöször haladunk körbe, kiesik valamennyi páros szám. Ezen kivül ha n maga is páros, akkor a kiinduló helyzethez hasonló szituációt kapunk kivéve, hogy fele annyi ember van, és megváltozott a sorszámuk. Tegyük fel, hogy eredetileg n ember van. Az első körbejárás után a helyzet a következő:

6 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK 6 n n és a következő lépésben a 3 sorszámú következik. Ez ugyanaz, mint amikor n ember volt, kivéve, hogy valamennyi személy sorszáma megkétszereződött és eggyel csökkent, azaz J n = J n 1, ha n 1. Most már gyorsan áttérhetünk a nagy n-ekre. Tudjuk példálul, hogy J 10 = 5, így J 0 = 9. Vagy hasonlóan J 40 = 17 és általában J 5 m = m De még nem vizsgálodtunk abban az esetben amikor n páratlan. Ha n + 1 személy van, akkor kiderül, hogy az 1 sorszámú ember rögtön n után esik ki, és ekkor az alábbi helyzettel van dolgunk:

7 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK 7 n n Ismét csaknem az eredeti helyzethez jutottunk, amikor n ember volt, de most megmaradtak sorszáma megkétszereződik és megnő eggyel, ezért J n+1 = J n + 1, ha n 1. Figyelembe véve, hogy J 1 = 1, a következő rekurziót tudjuk levezetni: J 1 = 1, J n = J n 1, ha n 1 J n+1 = J n + 1, ha n 1 (1.4.11) Keressük a zárt alakot, mert az még gyorsabb, és több információt ad. Végül is ez az élte vagy halál kérdése. Rekurziós összefüggésünk alkalmat teremt rá, hogy kis értékekre gyorsan készítsünk táblázatot. Talán kiszúrunk valami mintázatot, és akkor kitaláljuk a választ: n J n Úgy néz ki, hogy -hatványonként lehet csoportosítani(ezt függőleges vonallan jelöltük a táblázatban); J n mindig 1 a csoport elején, és -vel növekszik a csoporton belül. Ha tehát n-et, n = m + l alakban írjuk, ahol m a legmagassab hatványa -nek, amely nem nagyob n-nél, akkor látszólag az alábbi megoldást kapjuk a rekurzióra: J m +1 = l + 1 ha m 0, és 0 l < m. (1.4.1) A fenti képletünket m szerinti matematikai indukcióval igazolhatjuk. Látható, hogy m = 0, akkor l = 0, így J 1 = 1 -t kapjuk ami nyilvánvalóan igaz, hiszen ez volt a rekurzió kezdeti értéke. Az indukciós lépés két lépsből áll attól függően, hogy l páros vagy páratlan. Amennyiben, m > 0 és m + l = n, akkor l párps, és (1.4.11) valamint az indukciós feltevés alapján J m +l = J m 1 +l/ 1 = (l/ + 1) 1 = l + 1,

8 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK 8 és ez pontosan az amit vártunk. Hasonló a bizonyítás a páratlan esetben is, amikor m + 1 = n + 1. A (1.4.1) illusztrálására határozzuk meg J 100 -t: 100 = , tehát J 100 = = Egyenesek és particiók Harmadik minta példánk inkább geometriai: hány szelet pizzához jutunk n egyenes vágással? Vagy másképpen mennyi a sík n egyenese által meghatározott tartományainal az L n, maximális száma? Ezt a problémát elsőként Jacob Steiner svájci matematikus oldotta meg 186-ban. Ismét a kis esetekből fogunk kiindulni, nem elfelejtve, hogy a lehető legkisebbel fogjuk kezdeni. Egyenes nélkül a síknak egyetlen tartománya van, egy egyenes esetén, kettő, még két egyenes négy tartományt hoz létre: L 0 = 1 L 1 = 4 L = 4 Természetesen minden egyenes mindkét irányban végtelen. Bizonyára azt gondoljuk, hogy L n = n, azzal érvelve, hogy új egyenest véve megduplázódik a tartományok száma. Sajnos ez tévedés. Akkor kapnánk kétszer annyi tartományt ha az n. egyenes mindegyik tartományt két részre vágná; természetesen eyg régi tartományt legfeljebb két darabra vág, mivel ezek mindegyike konvex. (Egy egyenes maximum két részre vág egy konvex tartományt amelyek maguk is konvexek.) Ám a harmadik egyenes legfeljebb csupán három régi tartományt tud kettévágni, bárhogy helyezkedik is el az első két egyenes:

9 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK 9 1a 1b 4b 4a 3a 3b Ily módon L 3 = = 7 a legtöbb, amit elérhetünk. Némi gondolkodás után rájöhetünka megfelelő általánosításra. Az n. egyenes akkor és csak akkor növeli k-val a tartományok számát, ha k korábbi tartományt metsz, és pontosan akkor vág ketté k régi tartományt, ha az eredeti egyenesekkel k 1 eltérő pontban találkozik. Két egyenesnek legfeljeebb egy metszéspontja van, így az új egynes az n 1 régi egyenest legfeljebb n 1 különböző pontban metszheti el, ezért k n. Megkaptuk a felső korlátot L n L n 1 + n, ha n > 0. Azt is könnyű megmutatni, hogy elérhető az egyenlőség ebben a kifejezésben. Egyszerűen úgy helyezzük el az n. egyenest, hogy az ne legyen párhuzamos az előzőek közül egyikkel sem, ezért valamennyit metszik, és egyetlen már meglévő metszéspontosn se menjen át (tehát valamennyit különböző pontban metsz). Ennélfogva a következő rekurziót kaptuk: { L 0 = 1, L n = L n 1 + n, ha n > 0. Az általános képlet meghatározásához a következőket írhatjuk fel: L n = L n 1 + n L n 1 = Ln + (n 1). L = L L 1 = L n Összeadva L n = L = L 0 + j = Egyéb feladatok j=1 n(n + 1) Feladat. Határozzuk meg a következő rekurzívan értelmezett sorozatok általános tagját: (a) a 1 = 1, a n+1 = an 5 ; (1.4.13)

10 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK 10 (b) a 1 = 1, a n+1 = 3a n + 4; (c) a 1 = 3, a n+1 = a n + n; (d) a 1 = 3, a = 3, a n+ a n = a n+1 a n+1 a n ; (e) a 1 = 5, a n+1 = a n 4a n + 6; Megoldás. 1. a n+1 = an 5 = 1 a n. Ekkor a Tétel segítségével könnyedén megtudjuk mondani az általános }{{} 5 q tag képletét behelyetesítve a képletbe az információkat.. a n+1 = 3a n + 4, ekkor ha bevezetjük a b n = a n + jelölést akkor a következő rekurziót kapjuk b n+1 = b n. Ezt a rekurziót szintén megoldhatjuk a Tétel segítségével. 3. a n+1 = a n + n rekurzió megoldását lásd fentebb. 4. a n+ a n = a n+1 a n+1 a n, az adott összefüggés mindkét oldalát a n+1 a n, a kezdeti értékekből igazolható, hogy egyik sem nulla. Ekkor bevezetve az x n = an+1 a n kapjuk x n+1 = x n. Ami egy csökkenő számtani haladványra utal. Ezért x n = 3 n. jelölést a követekező rekurziót Ekkor x 1 x.. x n = a a 1 a3 a... an+1 a n = a n+1 a 1 = ( 1) n 1 (n 3)!! 5. A megadott rekurzió a következőképpen írhatjuk át a n+1 = (a n ). Ebből következik, hogy a n > (figyelembe vettük a kezdeti értékeket is). Ekkor logaritmálva mindkét oldalt és bevezetve x n = ln(a n ) a következő rekurziót kapjuk x n+1 = x n. Melynek általános tagjának a képletére alkalmazzuk a Tétel Feladat. Határozzuk meg a következő rekurzívan értelmezett sorozatok általános tagját: (a) x 0 = 1 3, x n+1 = xn 1+x n, n 0; (b) x 0 = 1, x n+1 = 3 xn, n 0; 1+x 3 n

11 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK 11 Megoldás. 1. A megadott rekurziót megfordítjuk és bevezetjük az y n = 1 x n kapjuk y n+1 = y n +. jelölést akkor a következő rekurziót A fenti rekurzió egy számtani haladvány, így általános tagjának meghatározása nem mutat túl a tanult képletek használatán.. Ennek a feladatnak is a megoldása, hasonló az előző feladat megoldásáéhoz, ugyanis mindkét oldalt felemeljül a harmadik hatványra és alkalmazzuk az előző pontban ismertetett ötletet Kitűzött feladatok-házi feladatok Az alábbi feladatok esetén a piros színű feladatok ismerkedő (kötelezően megoldandó) feladatok, a kék gyakorló feladatok és a zöld elmélyítő jellegű feladatok. A feladatok mellett szerepel egy pontszám. Az összpontszámnak 10-el való osztása adja meg a szemináriumi jegyet. A piros feladatok nem megoldása pontlevonással jár. Minden színű feladatkörből(piros, kék,zöld) kötelező feladatot oldani. 1. Minden ló színe azonos, amit egy adott ménes lovainak száma szerinti indukcióval bizonyíthatunk az alábbi módon: "Ha egyetlen ló van akkor ez önmagával azonos színű, így az állítás az triviális. Az indukciós lépéshez tegyük fel, hogy n ló van 1-től n-ig számozva. Az indukciós felvetés szerint az első n 1 ló színe megegyezik, és azonos az utolsó n 1 ló színe is. Ám a -től n 1 ig számozott lovak színe nem változik attól, hogy más csoportba soroljuk őket, végtére is ezek lovak, nem kaméleonok. Ekkor viszont az 1 és n sorszámú lovak színe is azonos a tranzitivitás alapján, ami azt jelenti, hogy mind az n ló színe megegyezik, amivel a bizony tás kész. " Hol a hiba a fenti okoskodásban, ha egyáltalán van benne hiba?. Adjuk meg a kegkevesebb lépésből álló megoldást, amellyel az n korongot tartalmazó torony átvihető A rúdról B rúdra, ha közvetlenül nem szabad A-ról B-re és fordítva korongot áthelyezni( vagyis minden lépésben a középső rúdról vagy a középső rúdra kerül a korong; természetesen nagyobb korong soha nem kerülhet egy kisebbre.) 3. Az n egyenes átlal a síkon létrehozott régió közül néhány végtelen, miközben mások korlátosak. Mennyi a korlátos tartományok lehetséges maximális száma? 4. Legyen H n = J n+1 J n. A (1.4.11) alapján H n = és H n+1 = J n+ J n+1 = H n, minden n 1 esetén. Ennélfogva úgy tűnik, hogy n szerinti indukcióval bizonyítható a minden n-re érvényes H n = egyenlőség. Hol a hiba? 5. Maximum hány tartományt hozható létre n egyszeresen törött vonallal? 6. Maximum hány tartományt hozhatunk létre n kétszeresen megtört vonallal. ha mindegyik két párhuzamos félegyenes és az őket összekötő egyenes szakaszból áll, mint a Z betű?

12 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK 1 7. Hány sajtszelet nyerhető egyeltlen vastag darabból öt egyenes vágással? (A sajtnakeredeti helyén kell maradnia, amíg valamennyi vágást végrehajtjuk, és mindenegyes vágás egy sík a három dimenziós térben.) Keressünk rekurziós összefüggést az n különböző síkkal nyerhető háromdimenziós tartományok maximális P n számára. 8. Jospehus barátja aki, úgy menekült meg, hogy az utolsó előtti helyen állt. Mi lesz I n, azaz az utolsó előtti túlélő sorszáma, ha minden másodikat végzik ki? (Adjunk rekurziós összefüggést, majd oldjuk meg a kapott rekurziót) 9. Határozzuk meg a következő rekurzívan értelmezett sorozatok általános tagját: (a) a 1 = 1, a = 1 3, a n+ = (b) a 1 = 4, a n+1 = 3a n, n 1; an an+1 3a n a n+1, n 1; (c) x 0 = 3, x 1 = 4, x n+1 = x n 1 nx n, n 1 (e) x 0 = 1, x 1 =, x n+1 = x n + 6 x n 1, n 1; (f) x 1 = 3, x =, x n+ + 1 x n =, n 1; 10. Határozzuk meg az összes olyan egész számsorozatot amely teljesíti az x n+1 = n xn+1 x n+n, n N összefüggéseket! 11. Bizonyítsuk be, hogy az x n+1 = x n, n 1 sorozat peridódikus(ha értelmezett)! 1. Bizonyítsuk be, hogy az x 0, x 1 ( k, k), x n+ = k (x n+1 x n) k x n x n+1, n 0 rekurziót teljesítő sorozat peridódikus! 13. Határozd meg az x n = x n 1 3x n 1, n 1.x 0 [, ] sorozat általános tagját! 14. Határozd meg az x 0 = 1, x n+1 ( x n) = x n, n 0 sorozat általános tagját. 15. Határozd meg az x 0 = 1, x n = xn 1 3 3x n 1 4, n 1 sorozat általános tagját! 16. Bizonyítsuk be, hogy x 0 = 1, x 1 = 41, x n+ = 3x n + 8(x n + x n+1 ), n 0 összefüggésekkel értelmezett sorozat minden tagja természetes szám!

Analízis lépésről - lépésre

Analízis lépésről - lépésre Analízis lépésről - lépésre interaktív tananyag Dr. Stettner Eleonóra Klingné Takács Anna Analízis lépésről - lépésre: interaktív tananyag írta Dr. Stettner Eleonóra és Klingné Takács Anna Tartalom Előszó...

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör lemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 26. 1.1. eladat. z konvex négyszögben {} = és { } = (lásd a mellékelt ábrát). izonyítsd be, hogy a következő három kijelentés egyenértékű: 1. z négyszögbe

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.)

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) 22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) A) A PERMUTÁCIÓK CIKLIKUS SZERKEZETE 1. feladat: Egy húsztagú társaság ül az asztal körül. Néhányat közülük (esetleg az összeset) párba állítunk, és a párok

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

REKURZIÓ. Rekurzív: önmagát ismétlő valami (tevékenység, adatszerkezet stb.) Rekurzív függvény: függvény, amely meghívja saját magát.

REKURZIÓ. Rekurzív: önmagát ismétlő valami (tevékenység, adatszerkezet stb.) Rekurzív függvény: függvény, amely meghívja saját magát. 1. A REKURZIÓ FOGALMA REKURZIÓ Rekurzív: önmagát ismétlő valami (tevékenység, adatszerkezet stb.) Rekurzív függvény: függvény, amely meghívja saját magát. 1.1 Bevezető példák: 1.1.1 Faktoriális Nemrekurzív

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE

6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE 6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE A kurzus anyagát felhasználva összeállíthatunk egy kitűnő feladatlapot, de még nem dőlhetünk nyugodtan hátra. Diákjaink teljesítményét még osztályzatokra kell átváltanunk,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint)

Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint) Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint) (KSZÉV Minta (2) 2004.05/II/16) a) Egy számtani sorozat első tagja 9, különbsége pedig 4. Adja meg e számtani sorozat első 5 tagjának az összegét!

Részletesebben

Alkalmazott modul: Programozás

Alkalmazott modul: Programozás Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Alkalmazott modul: Programozás Feladatgyűjtemény Összeállította: Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto Frissítve: 2015.

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

KVANTITATÍV MÓDSZEREK

KVANTITATÍV MÓDSZEREK KVANTITATÍV MÓDSZEREK Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 6 Tartalomjegyzék Kvantitatív módszerek. Valószínűségszámítási tételek. eltételes valószínűség. Események függetlensége.... 3.. eltételes valószínűség...

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ KOMPETENCIATERÜLET B. 6. évfolyam

ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ KOMPETENCIATERÜLET B. 6. évfolyam ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS KOMPETENCIATERÜLET B MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ 6. évfolyam A kiadvány az Educatio Kht. kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterve alapján készült. A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési

Részletesebben

A sorozatok az egyetemen és a középiskolákban

A sorozatok az egyetemen és a középiskolákban A sorozatok az egyetemen és a középiskolákban Szakdolgozat Készítette: Piliszky András Matematika BSc, Matematika tanári szakirány Témavezető: Munkácsy Katalin, főiskolai docens ELTE TTK, Matematikatanítási

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

Bevezetés a lineáris programozásba

Bevezetés a lineáris programozásba Bevezetés a lineáris programozásba 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Szimplex módszer p. 1/1 Az LP feladatok általános modellje A korlátozó feltételeket írjuk fel

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4;

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT AZ ÚJ KERETTANTERVHEZ MATEMATIKA 1. ÉVFOLYAM KÉSZÍTETTÉK: KURUCZNÉ BORBÉLY MÁRTA ÉS VARGA LÍVIA TANKÖNYVSZERZŐK 2013

TANMENETJAVASLAT AZ ÚJ KERETTANTERVHEZ MATEMATIKA 1. ÉVFOLYAM KÉSZÍTETTÉK: KURUCZNÉ BORBÉLY MÁRTA ÉS VARGA LÍVIA TANKÖNYVSZERZŐK 2013 TANMENETJAVASLAT AZ ÚJ KERETTANTERVHEZ MATEMATIKA 1. ÉVFOLYAM KÉSZÍTETTÉK: KURUCZNÉ BORBÉLY MÁRTA ÉS VARGA LÍVIA TANKÖNYVSZERZŐK 2013 1 Kedves Kollégák! Tanmenet javaslatunkkal segítséget kívánunk nyújtani

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás A lineáris programozás A geometriai megoldás Készítette: Dr. Ábrahám István A döntési, gazdasági problémák optimalizálásának jelentős részét lineáris programozással oldjuk meg. A módszer lényege: Az adott

Részletesebben

Nyitott mondatok Bennfoglalás maradékkal

Nyitott mondatok Bennfoglalás maradékkal Matematika A 2. évfolyam Nyitott mondatok Bennfoglalás maradékkal 35. modul Készítette: Szitányi Judit 2 modulleírás A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A képességfejlesztés

Részletesebben

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai.

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. Halmazok Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. 1. lapfogalmak halmaz és az eleme fogalmakat alapfogalmaknak tekintjük, nem deniáljuk ket. Jelölés: x H,

Részletesebben

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória 2005. január 12. feladatok kidolgozására két óra áll rendelkezésre. Számológép nem használható. példák tetszőleges sorrendben megoldhatók.

Részletesebben

Tájékozódás számvonalon, számtáblázatokon

Tájékozódás számvonalon, számtáblázatokon Matematika A 2. évfolyam Tájékozódás számvonalon, számtáblázatokon 12. modul Készítette: Bóta Mária Kőkúti Ágnes matematika A 2. évfolyam 12 modul Tájékozódás számvonalon, számtáblázatokon modulleírás

Részletesebben

RavaszNégyzet egy kombinatorikai játék

RavaszNégyzet egy kombinatorikai játék XVIII.köt., 1.sz., 2009. okt. RavaszNégyzet egy kombinatorikai játék Csákány Béla, Makay Géza, Nyőgér István A játék leírása; jelölések. A RavaszNégyzet védett nevű táblás játékot id. Incze Attila szegedi

Részletesebben

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése: Szabó László Szilárdságtan A követelménymodul megnevezése: Kőolaj- és vegyipari géprendszer üzemeltetője és vegyipari technikus feladatok A követelménymodul száma: 047-06 A tartalomelem azonosító száma

Részletesebben

MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények

MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények MATEMATIKA 9 10. évfolyam 1066 MATEMATIKA 9 10. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségét,

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 2008 április 11 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti keretbe írja!

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

TERMELÉSMENEDZSMENT. Gyakorlati segédlet a műszaki menedzser szak hallgatói számára. Összeállította: Dr. Vermes Pál főiskolai tanár 2006.

TERMELÉSMENEDZSMENT. Gyakorlati segédlet a műszaki menedzser szak hallgatói számára. Összeállította: Dr. Vermes Pál főiskolai tanár 2006. Szolnoki Főiskola Műszaki és Mezőgazdasági Fakultás Mezőtúr TERMELÉSMENEDZSMENT Gyakorlati segédlet a műszaki menedzser szak hallgatói számára Összeállította: Dr. Vermes Pál főiskolai tanár Mezőtúr 6.

Részletesebben

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt?

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? skombinatorika 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot írhatunk föl 2 db 1-es, 1 db 2-es és 1 db 3-as

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint)

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) (ESZÉV 2004.minta III./7) Egy négyoldalú gúla alaplapja rombusz. A gúla csúcsa a rombusz középpontja felett van, attól 82 cm távolságra. A rombusz oldalának hossza

Részletesebben

Gyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk).

Gyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk). Gyakorlatok Din 1 Jelölje P (n) azt a számot, ahányféleképpen mehetünk le egy n lépcsőfokból álló lépcsőn a következő mozgáselemek egy sorozatával (zárójelben, hogy mennyit mozgunk az adott elemmel): lépés

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Matematika 8. PROGRAM. általános iskola 8. osztály nyolcosztályos gimnázium 4. osztály hatosztályos gimnázium 2. osztály. Átdolgozott kiadás

Matematika 8. PROGRAM. általános iskola 8. osztály nyolcosztályos gimnázium 4. osztály hatosztályos gimnázium 2. osztály. Átdolgozott kiadás Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Novák Lászlóné tanár Dr. Sümegi Lászlóné szaktanácsadó Zankó Istvánné tanár Matematika 8. PROGRAM

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

Gáspár Csaba. Analízis

Gáspár Csaba. Analízis Gáspár Csaba Analízis Készült a HEFOP 3.3.-P.-004-09-00/.0 pályázat támogatásával Szerzők: Lektor: Gáspár Csaba Szili László, egyetemi docens c Gáspár Csaba, 006. Tartalomjegyzék. Bevezetés 5. Alapvető

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika. István Fazekas

Valószínűségszámítás és statisztika. István Fazekas Valószínűségszámítás és statisztika István Fazekas Tartalomjegyzék 1. fejezet. A valószínűségszámítás alapfogalmai 5 1.1. A valószínűség 5 1.2. Halmazalgebrák és σ-algebrák 11 1.3. A feltételes valószínűség

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30.

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. 1. Határozzuk meg, hány egybevágósága van egy négyzetnek! Melyek azonos jellegűek ezek között? Ez egy általános bevezető feladat tud

Részletesebben

Axonometria és perspektíva. Szemléltető céllal készülő ábrák

Axonometria és perspektíva. Szemléltető céllal készülő ábrák Axonometria és perspektíva Szemléltető céllal készülő ábrák Axonometria Jelentése: tengelyek mentén való mérés (axis: tengely, metrum: mérték) Az axonometria a koordinátarendszer tengelyein mért távolságok,

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés

Részletesebben

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják matematikai tudásukat, és felismerjék, hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos

képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják matematikai tudásukat, és felismerjék, hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika 2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A

Részletesebben

A figurális számokról (I.)

A figurális számokról (I.) A figurális számokról (I.) Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely A figurális számok felfedezését a pitagoreusoknak tulajdonítják, mert k a számokat kavicsokkal, magokkal szemléltették. Sok esetben így jelképezték

Részletesebben

Gyakorló feladatok ZH-ra

Gyakorló feladatok ZH-ra Algoritmuselmélet Schlotter Ildi 2011. április 6. ildi@cs.bme.hu Gyakorló feladatok ZH-ra Nagyságrendek 1. Egy algoritmusról tudjuk, hogy a lépésszáma O(n 2 ). Lehetséges-e, hogy (a) minden páros n-re

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

23. Kombinatorika, gráfok

23. Kombinatorika, gráfok I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta

Részletesebben

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A:= { a csoport tanulói b) B:= { Magyarország városai ma c) C:=

Részletesebben

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra A Kiadó javaslata alapján összeállította: Látta:...... Harmath Lajos munkaközösség vezető tanár Jóváhagyta:... igazgató

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.

különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Horváth Árpád 2008. december 16. A segédletek egy része a matek honlapon található: http://www.roik.bmf.hu/matek Kötelező irodalom: Bagyinszki

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

Készítette: niethammer@freemail.hu

Készítette: niethammer@freemail.hu VLogo VRML generáló program Készítette: Niethammer Zoltán niethammer@freemail.hu 2008 Bevezetés A VLogo az általános iskolákban használt Comenius Logo logikájára épülő programozási nyelv. A végeredmény

Részletesebben

MATEMATIKA. Tildy Zoltán Általános Iskola és Alapfokú Művészeti Iskola Helyi tanterv 1-4. évfolyam 2013.

MATEMATIKA. Tildy Zoltán Általános Iskola és Alapfokú Művészeti Iskola Helyi tanterv 1-4. évfolyam 2013. MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás 12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat

Részletesebben

a) az állami ingatlan-nyilvántartási térképi adatbázisból szolgáltatott, hiteles ingatlannyilvántartási

a) az állami ingatlan-nyilvántartási térképi adatbázisból szolgáltatott, hiteles ingatlannyilvántartási 178/2008. (VII. 3.) Korm. rendelet a kisajátítási terv elkészítéséről, felülvizsgálatáról, záradékolásáról, valamint a kisajátítással kapcsolatos értékkülönbözet megfizetésének egyes kérdéseiről A Kormány

Részletesebben

6. előadás PREFERENCIÁK (2), HASZNOSSÁG

6. előadás PREFERENCIÁK (2), HASZNOSSÁG 6. előadás PREFERENCIÁK (), HASZNOSSÁG Kertesi Gábor Varian 3. fejezetének 50-55. oldalai és 4. fejezete alapján PREFERENCIÁK FEJEZET FOLYTATÁSA 6. A helyettesítési határarány Dolgozzunk mostantól fogva

Részletesebben

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar 2.3.2.2.1.2 Keresztirányú stabilitás nagy dőlésszögeknél A keresztirányú stabilitás számszerűsítésénél, amint korábban láttuk, korlátozott a metacentrikus magasságra való támaszkodás lehetősége. Csak olyankor

Részletesebben

Operációkutatás vizsga

Operációkutatás vizsga Tel.: (0) 9- Operációkutatás vizsga A csoport Budapesti Corvinus Egyetem 007. január. Egyéb gyakorló és vizsgaanyagok találhatók a honlapon a Letölthető vizsgasorok, segédanyagok menüpont alatt. OPERÁCIÓKUTATÁS,

Részletesebben

EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3. Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára

EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3. Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3 Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára Célok és feladatok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet

Részletesebben

Matematika. 1 4. évfolyam. Vass Lajos Általános Iskola Helyi tanterv Matematika 1 4. osztály

Matematika. 1 4. évfolyam. Vass Lajos Általános Iskola Helyi tanterv Matematika 1 4. osztály Matematika 1 4. évfolyam Célok és feladatok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Matematika. 5. 8. évfolyam

Matematika. 5. 8. évfolyam Matematika 5. 8. évfolyam 5. 6. évfolyam Éves órakeret: 148 Heti óraszám: 4 Témakörök Óraszámok Gondolkodási és megismerési módszerek folyamatos Számtan, algebra 65 Összefüggések, függvények, sorozatok

Részletesebben

PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK. I. Kamatos kamat számítása

PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK. I. Kamatos kamat számítása PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK I. Kamatos kamat számítása Kamat: a kölcsönök után az adós által időarányosan fizetendő pénzösszeg. Kamatláb: 100 pénzegység egy meghatározott időre, a kamatidőre vonatkozó kamata.

Részletesebben

ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS, KIVONÁS. A MŰVELETI SORREND SZÁMÍTÁSOKBAN ÉS SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA SORÁN. 9. modul

ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS, KIVONÁS. A MŰVELETI SORREND SZÁMÍTÁSOKBAN ÉS SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA SORÁN. 9. modul Matematika A 4. évfolyam ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS, KIVONÁS. A MŰVELETI SORREND SZÁMÍTÁSOKBAN ÉS SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA SORÁN 9. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 4. ÉVFOLYAM 9. modul ÍRÁSBELI

Részletesebben