Szeminárium-Rekurziók

Átírás

1 1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, az értékkészlete pedig a valós számok vagy annak egy részhalmaza, vagy komplex számok vagy.... Értelmezési tartomány: N. Értékkészlet: a n R. A sorozat elemeit a-val jelöljük. Az elem sorszámát alsóindexbe tesszük: a 1,a,a 3,...,a n,..., ahol a 1 az első elem, a n az n-edik elem. A líceumi tananyag keretén belül többször találkozunk sorozatokkal. Az első ismerkedés a IX. osztályban történik a számtani illetve mértani sorozatok keretén belül, ugyanakkor a matematikai indukció elvénél is találkozhatunk néhány sorozattal, bár ekkor még hallgatólagosan használjuk a sorozat fogalmát. A IX osztályban még csak ismerősöként ismert sorozatok, X,XI osztályban már komoly barátokká válnak, s a tananyag majdnem minden részében felismerhetjük őket. Ez annak köszönhető, hogy a sorozatra nem kell másképp nézni mint egy függvényre, sajátos függvényre. Röviden ismételjük át a számtani illetve mértani sorozatok fő tulajdonságait. 1.. Számtani sorozatok A számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben bármely két - ugyanolyan sorrendben vett - szomszédos elemének kül"onbsége állandó. A különbséget differenciának nevezzük, és d-vel jelöljük. Így: a n+1 a n = d, ahol n N, d R (1..1) 1

2 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK A sorozat bármelyik elemét megkapjuk, ha az előző elemhez hozzáadjuk a különbséget: a n+1 = a n + d. (1..) Ha d > 0 akkor a számtani sorozat szigorúan növekvő, ha d < 0 akkor a sorozat elemi szigorúan monoton csökkenőek, ha d = 0 akkor állandó vagy konstans sorozatról beszélünk Tétel. A számtani sorozat n-edik elemét a következő képlettel is kiszámíthatjuk: adjuk hozzá az első elemhez a differencia n 1-szeresét: a n = a 1 + (n 1) d. (1..3) 1... Tétel. A számtani sorozat első n tagjának az összegét a következő képlettel számíthatjuk ki: S n = (a 1 + a n ) n = a 1 + (n 1)d. (1..4) Tétel. A számtani sorozatban bármely három szomszédos eleme közül a középső a két szélsőnek a számtani közepe. Ez az összefüggés általánosan is igaz: bármely elem a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemeknek a számtani közepe: a n = a n+i + a n i, ahol i N, i < n. (1..5) 1.3. Mértani sorozatok A mértani sorozat olyan számsorozat, amelyben bármely két - ugyanolyan sorrendben vett - szomszédos elemének hányadosa állandó. A hányadost, más néven quotienst q-val jelöljük. Így és az elemek között sem szerepel a nulla. a n+1 a n = q, ahol n N, q 0, (1.3.6) A sorozat bármelyik elemét megkapjuk, ha az előző elemet szorozzuk a hányadossal: a n+1 = a n q. (1.3.7) Ha a hányados pozitív, akkor a sorozat minden eleme azonos előjelű, ha negatív, akkor az elemek váltakozó előjelűek. Ha q > 1, akkor a sorozat szigorúan monoton növekvő, ha 0 < q < 1, akkor a sorozat szigorúan monoton csökkenő, ha q = 1, akkor a sorozat konstans Tétel. A mértani sorozat n-edik elemét a következő képlettel is kiszámolhatjuk: az első tagot megszorozzuk a hányados n 1-edik hatványával a n = a 1 q n 1. (1.3.8) Tétel. A mértani sorozat első n tagjának összegét a következő képlettel számíthatjuk ki q n 1 S n = a 1, q 1. (1.3.9) q 1

3 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK Megjegyzés. Ha q = 1, akkor létezik egy β R konstans, amelyre a n = β, minden n N esetén, ami azt jelenit, hogy S n = n β Tétel. A mértani sorozat bármely három szomszédos eleme közül a középső négyzete a két szélsőnek a szorzatával egyenlő: a n+1 = a n a n+. (1.3.10) Megjegyzés. Ez az összefüggés általánosan is igaz: bármely elem négyzete a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemeknek a szorzata: a n = a n i a n+i, i < n Egy alkalmazás A sorozatok közül több kereskedelmi, gazdasági kérdés tisztázásában a mértani sorozatnak van jelentős szerepe. Ilyen például a kamatos kamat számítás, tehát hogy a bankba betett pénzösszeg az évenként hozzácsatolt éves kamattal együtt mennyi lesz. Ezt nevezzük évenkénti tőkésítésnek. Ha évi p% a kamatláb, akkor évi kamata p, évi tőkésítéssel a bankba tett x RON egy év múlva x + x ( 100 p = x 1 + p ) 100 lesz. A pénz 1 + p 100- szorosára növekszik. Ezt jelöljük el q-val, ezt kamattényezőnek nevezzük. Ezzel a jelöléssel a bankba tett x RON 1,, 3,..., n év elteltével kamatos kamataival felnövekedve xq, xq,..., xq n RON lesz Megoldott feladatok Hanoi tornyai Elöször a Hanoi tornyai néven ismert feladatot mutatjuk be. Edouard Lucas francia matematikus 1883-ban vizsgálta a következő feladatot: Feladat. Van egy nyolc korongból álló torony; a korongok három rúd egyikén helyezkednek el, alulról felfelé csökkenő méretben. A cél az, hogy a teljes tornyot valamelyik másik rúdra helyezzük át úgy, hogy minden lépésben egyetlen korongot mozgathatunk, és a följebb elhelyezkedő korong mindig kisebb kell, hogy legyen, mint a lejjebb elhelyezkedő. Megoldás. Az ilyen jellegű problémákhoz legjobb oly módon hozzákezdeni, hogy kissé általánosítjuk, majd sajátos esetben a saját feladatot is visszakapjuk. Nézzük mi a helyzet n korong esetén. Az általánosítás egyik előnye, hogy még jobban leszükíthetjük a feladatot. Elöször megfigyeljük a jelenségek kis n értékekre. Egy vagy két korong esetén könnyen láthatjuk, hogy miként tudjuk átpakolni a tornyot, és némi kisérletezéssel rátalálunk a megoldásra három korong esetén is. A probléma megoldásában a következő lépés a megfelelő jelöl a bevezetése- a jó jelölés és megoldás megszervezés fél győzelem. Legyen T n a minimális szükséges lépések száma. Ekkor nyilván T 1 = 1, T = 3.

4 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK 4 Tekinthetjük, hogy T 0 = 0, hiszen egyetlen lépésre sincs szükség a torony átrakásához, ha n = 0. Elöször helyezzük át az n 1 legkisebb korongot egy másik rúdra(ehhez T n 1 lépésre van szükség). Ez azt mutatja, hogy T n T n A megoldásunkkal eddig csak annyit bizonyítottunk, hogy T n lépés elegendő, de azt még nem igazoltuk, hogy szükség van ennyi lépésre. Egy leleményes ember talán egy rövidebb utat gondolt el. De létezik jobb út? Valójában nem. Valamikor el kell mozdítanunk a legnagyobb korongot. Ekkor az n 1 kisebbnek, egyetlen rúdon kell lennie, és ahhoz, hogy ezeket ide helyezzük, legalább T n 1 elmozgatásra van szükség. Miután legutoljára mozdítottuk el a legnagyobb korongot, még át kell raknunk n 1 kisebbet (amelyeknek ismét egyetlen rúdon kell elhelyezkedniük) a legnagyobbra és ehez ismét T n 1 lépés kell. Tehát T n T n Azaz a következő rekurziót kapjuk { T 0 = 0, T n = T n 1 + 1, A fenti rekurziót többféleképpen is megoldhatjuk: Megsejtjük és indukcióval igazoljuk, hogy T n = n 1. Bevezetjük a n := T n +1 jelölést és ekkor a következő rekurzióhoz jutunk a n+1 = a n, ami valójában egy mértani sorozat, melynek általános tagjának képletét a Tétel segítségével határozhatjuk meg, azaz a n = n, és így T n = n Josephus probléma A második bevezető probléma az első században élt híres történetíró, Josephus Flavius nevéhez füzödő régi probléma egy változata. A zsidó-római háború idején tagja volt a lázadók egy 41 fős csapatának, amelyet egy barlangban tőrbe csaltak a rómaiak. A felkelők úgy gondolkták, hogy inkább az öngyilkosságot válsztják, semmint fogságba essenek. Elhatározták, hogy körbeállva, és a körben köröskörül haladva megölik minden második, még élő személyt, amíg senki sem marad életben. Ám Josephus egy ismeretlen összeesküvő-társával hallani sem akart erről az öngyilkossági hülyeségről, ezért gyorsan kiszámolta, hova álljanak a barátjával ebben az ördögi körben. A mi változatunkban kiinduláskor n ember áll egy körben, akiket, 1-től n-ig megszámozunk, és addig végzünk minden második személlyel, múg végül egyetlen túlélő marad. n = 10 esetén példúl a kiinduló helyzet az alábbi:

5 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK A kivégzési sorrend most, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9 így 5 a túlélő. A feladat az, hogy meghatározzuk meg a túlélő sorszámát, J n -et. Láttuk, hogy J 1 0 = 5. Azt sejthetjük, hogy J n = n ha n páros. Az n = szintén alátámsztja a sejtésünket, ámbár: n J n a fenti táblázat azt mutatja, hogy n = 4 és n = 6 esetén a feltételezésünk nem igazol dott be. Tehát valami jobb ötlethez kell fordulnunk, ahhoz, hogy képesek legyünk a pontos értéket megadni. Úgy tűnik, hogy J n mindig páratlan. És valóban, jó magyarázata van ennek: amikor elöször haladunk körbe, kiesik valamennyi páros szám. Ezen kivül ha n maga is páros, akkor a kiinduló helyzethez hasonló szituációt kapunk kivéve, hogy fele annyi ember van, és megváltozott a sorszámuk. Tegyük fel, hogy eredetileg n ember van. Az első körbejárás után a helyzet a következő:

6 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK 6 n n és a következő lépésben a 3 sorszámú következik. Ez ugyanaz, mint amikor n ember volt, kivéve, hogy valamennyi személy sorszáma megkétszereződött és eggyel csökkent, azaz J n = J n 1, ha n 1. Most már gyorsan áttérhetünk a nagy n-ekre. Tudjuk példálul, hogy J 10 = 5, így J 0 = 9. Vagy hasonlóan J 40 = 17 és általában J 5 m = m De még nem vizsgálodtunk abban az esetben amikor n páratlan. Ha n + 1 személy van, akkor kiderül, hogy az 1 sorszámú ember rögtön n után esik ki, és ekkor az alábbi helyzettel van dolgunk:

7 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK 7 n n Ismét csaknem az eredeti helyzethez jutottunk, amikor n ember volt, de most megmaradtak sorszáma megkétszereződik és megnő eggyel, ezért J n+1 = J n + 1, ha n 1. Figyelembe véve, hogy J 1 = 1, a következő rekurziót tudjuk levezetni: J 1 = 1, J n = J n 1, ha n 1 J n+1 = J n + 1, ha n 1 (1.4.11) Keressük a zárt alakot, mert az még gyorsabb, és több információt ad. Végül is ez az élte vagy halál kérdése. Rekurziós összefüggésünk alkalmat teremt rá, hogy kis értékekre gyorsan készítsünk táblázatot. Talán kiszúrunk valami mintázatot, és akkor kitaláljuk a választ: n J n Úgy néz ki, hogy -hatványonként lehet csoportosítani(ezt függőleges vonallan jelöltük a táblázatban); J n mindig 1 a csoport elején, és -vel növekszik a csoporton belül. Ha tehát n-et, n = m + l alakban írjuk, ahol m a legmagassab hatványa -nek, amely nem nagyob n-nél, akkor látszólag az alábbi megoldást kapjuk a rekurzióra: J m +1 = l + 1 ha m 0, és 0 l < m. (1.4.1) A fenti képletünket m szerinti matematikai indukcióval igazolhatjuk. Látható, hogy m = 0, akkor l = 0, így J 1 = 1 -t kapjuk ami nyilvánvalóan igaz, hiszen ez volt a rekurzió kezdeti értéke. Az indukciós lépés két lépsből áll attól függően, hogy l páros vagy páratlan. Amennyiben, m > 0 és m + l = n, akkor l párps, és (1.4.11) valamint az indukciós feltevés alapján J m +l = J m 1 +l/ 1 = (l/ + 1) 1 = l + 1,

8 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK 8 és ez pontosan az amit vártunk. Hasonló a bizonyítás a páratlan esetben is, amikor m + 1 = n + 1. A (1.4.1) illusztrálására határozzuk meg J 100 -t: 100 = , tehát J 100 = = Egyenesek és particiók Harmadik minta példánk inkább geometriai: hány szelet pizzához jutunk n egyenes vágással? Vagy másképpen mennyi a sík n egyenese által meghatározott tartományainal az L n, maximális száma? Ezt a problémát elsőként Jacob Steiner svájci matematikus oldotta meg 186-ban. Ismét a kis esetekből fogunk kiindulni, nem elfelejtve, hogy a lehető legkisebbel fogjuk kezdeni. Egyenes nélkül a síknak egyetlen tartománya van, egy egyenes esetén, kettő, még két egyenes négy tartományt hoz létre: L 0 = 1 L 1 = 4 L = 4 Természetesen minden egyenes mindkét irányban végtelen. Bizonyára azt gondoljuk, hogy L n = n, azzal érvelve, hogy új egyenest véve megduplázódik a tartományok száma. Sajnos ez tévedés. Akkor kapnánk kétszer annyi tartományt ha az n. egyenes mindegyik tartományt két részre vágná; természetesen eyg régi tartományt legfeljebb két darabra vág, mivel ezek mindegyike konvex. (Egy egyenes maximum két részre vág egy konvex tartományt amelyek maguk is konvexek.) Ám a harmadik egyenes legfeljebb csupán három régi tartományt tud kettévágni, bárhogy helyezkedik is el az első két egyenes:

9 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK 9 1a 1b 4b 4a 3a 3b Ily módon L 3 = = 7 a legtöbb, amit elérhetünk. Némi gondolkodás után rájöhetünka megfelelő általánosításra. Az n. egyenes akkor és csak akkor növeli k-val a tartományok számát, ha k korábbi tartományt metsz, és pontosan akkor vág ketté k régi tartományt, ha az eredeti egyenesekkel k 1 eltérő pontban találkozik. Két egyenesnek legfeljeebb egy metszéspontja van, így az új egynes az n 1 régi egyenest legfeljebb n 1 különböző pontban metszheti el, ezért k n. Megkaptuk a felső korlátot L n L n 1 + n, ha n > 0. Azt is könnyű megmutatni, hogy elérhető az egyenlőség ebben a kifejezésben. Egyszerűen úgy helyezzük el az n. egyenest, hogy az ne legyen párhuzamos az előzőek közül egyikkel sem, ezért valamennyit metszik, és egyetlen már meglévő metszéspontosn se menjen át (tehát valamennyit különböző pontban metsz). Ennélfogva a következő rekurziót kaptuk: { L 0 = 1, L n = L n 1 + n, ha n > 0. Az általános képlet meghatározásához a következőket írhatjuk fel: L n = L n 1 + n L n 1 = Ln + (n 1). L = L L 1 = L n Összeadva L n = L = L 0 + j = Egyéb feladatok j=1 n(n + 1) Feladat. Határozzuk meg a következő rekurzívan értelmezett sorozatok általános tagját: (a) a 1 = 1, a n+1 = an 5 ; (1.4.13)

10 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK 10 (b) a 1 = 1, a n+1 = 3a n + 4; (c) a 1 = 3, a n+1 = a n + n; (d) a 1 = 3, a = 3, a n+ a n = a n+1 a n+1 a n ; (e) a 1 = 5, a n+1 = a n 4a n + 6; Megoldás. 1. a n+1 = an 5 = 1 a n. Ekkor a Tétel segítségével könnyedén megtudjuk mondani az általános }{{} 5 q tag képletét behelyetesítve a képletbe az információkat.. a n+1 = 3a n + 4, ekkor ha bevezetjük a b n = a n + jelölést akkor a következő rekurziót kapjuk b n+1 = b n. Ezt a rekurziót szintén megoldhatjuk a Tétel segítségével. 3. a n+1 = a n + n rekurzió megoldását lásd fentebb. 4. a n+ a n = a n+1 a n+1 a n, az adott összefüggés mindkét oldalát a n+1 a n, a kezdeti értékekből igazolható, hogy egyik sem nulla. Ekkor bevezetve az x n = an+1 a n kapjuk x n+1 = x n. Ami egy csökkenő számtani haladványra utal. Ezért x n = 3 n. jelölést a követekező rekurziót Ekkor x 1 x.. x n = a a 1 a3 a... an+1 a n = a n+1 a 1 = ( 1) n 1 (n 3)!! 5. A megadott rekurzió a következőképpen írhatjuk át a n+1 = (a n ). Ebből következik, hogy a n > (figyelembe vettük a kezdeti értékeket is). Ekkor logaritmálva mindkét oldalt és bevezetve x n = ln(a n ) a következő rekurziót kapjuk x n+1 = x n. Melynek általános tagjának a képletére alkalmazzuk a Tétel Feladat. Határozzuk meg a következő rekurzívan értelmezett sorozatok általános tagját: (a) x 0 = 1 3, x n+1 = xn 1+x n, n 0; (b) x 0 = 1, x n+1 = 3 xn, n 0; 1+x 3 n

11 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK 11 Megoldás. 1. A megadott rekurziót megfordítjuk és bevezetjük az y n = 1 x n kapjuk y n+1 = y n +. jelölést akkor a következő rekurziót A fenti rekurzió egy számtani haladvány, így általános tagjának meghatározása nem mutat túl a tanult képletek használatán.. Ennek a feladatnak is a megoldása, hasonló az előző feladat megoldásáéhoz, ugyanis mindkét oldalt felemeljül a harmadik hatványra és alkalmazzuk az előző pontban ismertetett ötletet Kitűzött feladatok-házi feladatok Az alábbi feladatok esetén a piros színű feladatok ismerkedő (kötelezően megoldandó) feladatok, a kék gyakorló feladatok és a zöld elmélyítő jellegű feladatok. A feladatok mellett szerepel egy pontszám. Az összpontszámnak 10-el való osztása adja meg a szemináriumi jegyet. A piros feladatok nem megoldása pontlevonással jár. Minden színű feladatkörből(piros, kék,zöld) kötelező feladatot oldani. 1. Minden ló színe azonos, amit egy adott ménes lovainak száma szerinti indukcióval bizonyíthatunk az alábbi módon: "Ha egyetlen ló van akkor ez önmagával azonos színű, így az állítás az triviális. Az indukciós lépéshez tegyük fel, hogy n ló van 1-től n-ig számozva. Az indukciós felvetés szerint az első n 1 ló színe megegyezik, és azonos az utolsó n 1 ló színe is. Ám a -től n 1 ig számozott lovak színe nem változik attól, hogy más csoportba soroljuk őket, végtére is ezek lovak, nem kaméleonok. Ekkor viszont az 1 és n sorszámú lovak színe is azonos a tranzitivitás alapján, ami azt jelenti, hogy mind az n ló színe megegyezik, amivel a bizony tás kész. " Hol a hiba a fenti okoskodásban, ha egyáltalán van benne hiba?. Adjuk meg a kegkevesebb lépésből álló megoldást, amellyel az n korongot tartalmazó torony átvihető A rúdról B rúdra, ha közvetlenül nem szabad A-ról B-re és fordítva korongot áthelyezni( vagyis minden lépésben a középső rúdról vagy a középső rúdra kerül a korong; természetesen nagyobb korong soha nem kerülhet egy kisebbre.) 3. Az n egyenes átlal a síkon létrehozott régió közül néhány végtelen, miközben mások korlátosak. Mennyi a korlátos tartományok lehetséges maximális száma? 4. Legyen H n = J n+1 J n. A (1.4.11) alapján H n = és H n+1 = J n+ J n+1 = H n, minden n 1 esetén. Ennélfogva úgy tűnik, hogy n szerinti indukcióval bizonyítható a minden n-re érvényes H n = egyenlőség. Hol a hiba? 5. Maximum hány tartományt hozható létre n egyszeresen törött vonallal? 6. Maximum hány tartományt hozhatunk létre n kétszeresen megtört vonallal. ha mindegyik két párhuzamos félegyenes és az őket összekötő egyenes szakaszból áll, mint a Z betű?

12 FEJEZET 1. SZEMINÁRIUM SZEMINÁRIUM-REKURZIÓK 1 7. Hány sajtszelet nyerhető egyeltlen vastag darabból öt egyenes vágással? (A sajtnakeredeti helyén kell maradnia, amíg valamennyi vágást végrehajtjuk, és mindenegyes vágás egy sík a három dimenziós térben.) Keressünk rekurziós összefüggést az n különböző síkkal nyerhető háromdimenziós tartományok maximális P n számára. 8. Jospehus barátja aki, úgy menekült meg, hogy az utolsó előtti helyen állt. Mi lesz I n, azaz az utolsó előtti túlélő sorszáma, ha minden másodikat végzik ki? (Adjunk rekurziós összefüggést, majd oldjuk meg a kapott rekurziót) 9. Határozzuk meg a következő rekurzívan értelmezett sorozatok általános tagját: (a) a 1 = 1, a = 1 3, a n+ = (b) a 1 = 4, a n+1 = 3a n, n 1; an an+1 3a n a n+1, n 1; (c) x 0 = 3, x 1 = 4, x n+1 = x n 1 nx n, n 1 (e) x 0 = 1, x 1 =, x n+1 = x n + 6 x n 1, n 1; (f) x 1 = 3, x =, x n+ + 1 x n =, n 1; 10. Határozzuk meg az összes olyan egész számsorozatot amely teljesíti az x n+1 = n xn+1 x n+n, n N összefüggéseket! 11. Bizonyítsuk be, hogy az x n+1 = x n, n 1 sorozat peridódikus(ha értelmezett)! 1. Bizonyítsuk be, hogy az x 0, x 1 ( k, k), x n+ = k (x n+1 x n) k x n x n+1, n 0 rekurziót teljesítő sorozat peridódikus! 13. Határozd meg az x n = x n 1 3x n 1, n 1.x 0 [, ] sorozat általános tagját! 14. Határozd meg az x 0 = 1, x n+1 ( x n) = x n, n 0 sorozat általános tagját. 15. Határozd meg az x 0 = 1, x n = xn 1 3 3x n 1 4, n 1 sorozat általános tagját! 16. Bizonyítsuk be, hogy x 0 = 1, x 1 = 41, x n+ = 3x n + 8(x n + x n+1 ), n 0 összefüggésekkel értelmezett sorozat minden tagja természetes szám!