Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea"

Átírás

1

2 Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák

3 Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá van rendelve S-nek egy eleme. Jelöljük ezt az elemet x y-nal, ahol a művelet jele:. Általában két műveletet különböztetünk meg, az összeadást és a szorzást.

4 A műveletet kommutatívnak nevezzük, ha bármely x, y S esetén x y = y x. Példa: Az összeadás is és a szorzás is kommutatív az egész számok körében. A műveletet asszociatívnak nevezzük, ha bármely x, y, z S esetén (x y) z = x (y z). Példa: Az összeadás is és a szorzás is asszociatív az egész számok körében.

5 Ha S-ben definiálva van az összeadás és szorzás művelete, és ha bármely x, y, z S esetén és x (y + z) = x y + x z (y + z) x = y x + z x teljesül, akkor a szorzást disztributívnak nevezzük az összeadásra nézve. Példa: Az egész számok körében a szorzás disztributív az összeadásra nézve.

6 Az S-nek valamely e elemét egységelemnek vagy neutrális elemnek nevezzük, ha bármely x S esetén e x = x e = x. Példa: Az egész számok halmazán szorzás műveletére nézve az egységelem az 1. Ha S-ben létezik e egységelem, és ha az x elemhez létezik olyan y elem, hogy x y = y x = e, akkor y-t az x inverzének nevezzük. Példa: A valós számok halmazában 2 inverze 1/2.

7 Egy S = {x, y,... } halmazt algebrai struktúrának nevezzük, ha definiálva van benne legalább egy művelet.

8 Egy S halmaz félcsoport, ha definiálva van benne egy asszociatív művelet. Egy S halmaz csoport, ha definiálva van benne egy asszociatív művelet, létezik neutrális elem vagy egységelem, és minden elemnek létezik az inverze. Egy S halmaz Abel csoport, ha csoport és a művelet kommutatív is. Egy S halmaz gyűrű, ha definiálva van az összeadás és szorzás művelet, valamint a halmaz az összeadásra nézve Abel csoport, szorzásra nézve félcsoport és a szorzás disztributív az összeadásra nézve. Az S kommutatív, egységelemes gyűrű, ha a szorzás kommutatív, valamint létezik egységelem a szorzásra nézve. Egy S halmaz test, ha kommutatív, egységelemes gyűrű és minden nem 0 elemnek van inverze a szorzás műveletére nézve.

9 Oszthatóság Az a egész számot egy b egész szám osztójának nevezzük, ha létezik olyan q egész szám, hogy b = a q. Jelölés: a b. Példák: 3 12, 5 20, 3 9, 15 60, 2 10, 4 6, 5 2 Egy számot egységnek nevezünk, ha minden számnak osztója. Az egész számok körében két egység van, az 1 és 1.

10 (Oszthatóság tulajdonságai) 1 Minden a egész számra a a (reflexív). 2 Ha a b és b c, akkor a c (tranzitív). 3 Az a b és b a oszthatóságok egyszerre akkor és csak akkor teljesülnek, ha az a szám a b szám egységszerese, azaz a = b. (nem szimmetrikus) 4 Ha a b és a c, akkor a (r b + s c). 5 Ha a b és b 0, akkor a b. Fontos megjegyezni, hogy az egész számok halmazán az oszthatóság nem szimmetrikus. A természetes számok halmazán az oszthatóság antiszimmetrikus reláció, hiszen a harmadik pontban levő abszolút érték jelek elhagyhatók. Így az oszthatóság a természetes számok halmazán rendezési reláció, azaz reflexív, tranzitív és antiszimmetrikus.

11 (Maradékos osztás tétele) Ha a, b Z és b 0, akkor egyértelműen léteznek olyan q Z és r Z számok, hogy a = b q + r, ahol 0 r < b. Bizonyítás Tekintsük azt az esetet, amikor b > 0. A 0 r = a bq < b feltétel pontosan akkor teljesül, ha azaz bq a < b(q + 1), q a b < q + 1. Ilyen q Z pontosan egy létezik: q = a b, az a b (alsó) egészrésze, azaz a legnagyobb olyan egész szám, amely még kisebb vagy egyenlő, mint a b.

12 Ha b < 0, akkor a 0 r = a bq < b feltétel pontosan akkor áll fenn ha, q a b > q 1, ami ismét pontosan egy a q = a b egészre áll fenn, az a b felső egészrészére, azaz a legkisebb olyan egészre, amely még nagyobb vagy egyenlő, mint a b. A maradékos osztás végrehajtása után kapott q értéket hányadosnak, az r értéket pedig legkisebb nemnegatív maradéknak nevezzük. Amennyiben a maradék értéke 0, akkor b a.

13 Példák: 1 Legyen a = 19 és b = 5, ekkor 19 = , azaz q = 3 és r = 4. 2 Legyen a = 23 és b = 8, ekkor 23 = ( 2) ( 8) + 7, azaz q = 2 és r = 7. 3 Legyen a = 23 és b = 8, ekkor 23 = ( 3) 8 + 1, azaz q = 3 és r = 1. 4 Legyen a = 28 és b = 9, ekkor 28 = 4 ( 9) + 8, azaz q = 4 és r = 8.

14 Legyenek a és b egész számok, ekkor az a és b legnagyobb közös osztója d, ha d a, d b és c Z esetén, ha c a és c b teljesül, akkor c d. Jelölés: (a, b) Példák: Legyen a = 100 és b = 35, ekkor a és b közös osztói: 5, 1, 1, 5. A fenti definíció szerint a legnagyobb közös osztók 5, 5. Pozitív egész számok halmazán: (100, 35) = 5. Amennyiben a = b = 0, akkor definíció szerint (a, b) = 0.

15 Bármely két egész számnak létezik legnagyobb közös osztója. Bizonyítás Ha a = b = 0, akkor definíció szerint létezik a legnagyobb közös osztó, mégpedig (a, b) = 0. Ha a 0 és b = 0, akkor a legnagyobb közös osztók a, a, illetve ha a = 0 és b 0, akkor b, b. A továbbiakban tegyük fel, hogy a és b nullától különböző egész számok és a > b. Ha b a, akkor a legnagyobb közös osztók: b, b.

16 Ha b a, akkor a maradékos osztás tétele miatt egyértelműen léteznek q i és r i egészek, ahol i = 0,..., n, hogy a = b q 1 + r 2, ahol 0 < r 2 < b, b = r 2 q 2 + r 3, ahol 0 < r 3 < r 2, r 2 = r 3 q 3 + r 4, ahol 0 < r 4 < r 3,. r n 2 = r n 1 q n 1 + r n, ahol 0 < r n < r n 1, r n 1 = r n q n, ahol r n+1 = 0. Az előbbi eljárás bármely nullától különböző a, b egészek esetén véges sok lépés után befejeződik, hiszen a maradékok nemnegatív egészekből álló szigorúan monoton csökkenő sorozatot alkotnak. b > r 2 > > r n > 0. Tehát r n mindig létezik.

17 Belátjuk, hogy r n az egyik legnagyobb közös osztó. A definíció szerint két dolgot kell igazolnunk: 1 r n a és r n b Az algoritmuson alulról felfelé haladunk. Tekintsük az algoritmus utolsó sorát. Triviális, hogy r n r n 1. Az utolsó előtti sor alapján: r n r n 2. Ugyanis, ha r n r n és r n r n 1, akkor r n r n 2. Ugyanígy folytatva megkapjuk a második, illetve az első sor alapján, hogy r n b és r n a. 2 c esetén, ha c a és c b, akkor c r n Az algoritmuson felülről lefelé haladunk. Az első sor alapján, ha c a és c b, c Z esetén, akkor c (a b q 1 ), azaz c r 2. A második sor szerint, ha c b és c r 2, akkor c r 3. Ugyanígy folytatva, az utolsó sor alapján c r n. A fenti bizonyítás konstruktív, azaz a bizonyítás során egy algoritmust adtunk az egyik legnagyobb közös osztó kiszámítására. Ez az algoritmus az euklideszi algoritmus. A másik legnagyobb közös osztó a ( r n ).

18 Az a és b két egész szám legnagyobb közös osztója alkalmas x, y Z számokkal kifejezhető alakban. (a, b) = a x + b y A már ismertett euklideszi algoritmust bővítjük ki x i és y i értékekkel, ahol i = 0,..., n. Legyen és x 0 = 1, x 1 = 0, y 0 = 0, y 1 = 1 x i+1 = x i q i + x i 1, y i+1 = y i q i + y i 1. Az x = ( 1) n x n és y = ( 1) n+1 y n A bizonyítás konstruktív. Az algoritmust kibővített euklideszi algoritmusnak nevezzük.

19 Példa: Írjuk fel a 112 és a 63 legnagyobb közös osztóját a számok lineáris kombinációjaként. A megoldást a következő táblázat segítségével adjuk meg: k r k q k x k y k A táblázat alapján az utolsó nemnulla maradék r 4 = 7, tehát n = 4. A legnagyobb közös osztók egyike: (112, 63) = 7. x = ( 1) 4 x 4 = 4, y = ( 1) 5 y 4 = 7. A megoldás a kapott értékekből: 7 = ( 7).

20 Az a 1, a 2,..., a n számok relatív prímek, ha nincs egységtől különböző közös osztójuk, azaz (a 1, a 2,..., a n ) = 1. Példa: 5, 3, 15, 56 számok relatív prímek. Az a 1, a 2,..., a n számok páronként relatív prímek, ha bármely kettő legnagyobb közös osztója 1, azaz minden 1 i j k esetén, (a i, a j ) = 1.

21 A p egységtől és nullától különböző számot prímszámnak (vagy prímnek) nevezzük, ha csak úgy lehet osztója két egész szám szorzatának, ha legalább az egyik tényezőnek osztója. Azaz p ab = p a vagy p b. Minden a Z számnak osztója az 1, a, 1, a. Ezeket triviális osztóknak nevezzük. A nem triviális osztók a valódi osztók. A p egységtől (és nullától) különböző számot felbonthatatlan (irreducibilis) számnak nevezzük, ha csak úgy bontható fel két egész szám szorzatára, hogy valamelyik tényező egység. Azaz p = ab = a vagy b egység.

22 Az egész számok körében p akkor és csak akkor prím, ha felbonthatatlan. Minden nullától és egységtől különböző egész számnak létezik felbonthatatlan osztója. A következő tétel a számelmélet alaptételét mondja ki. Minden, a nullától és egységektől különböző egész szám felbontható véges sok felbonthatatlan szám szorzatára, és ez a felbontás a tényezők sorrendjétől és egységszeresektől eltekintve egyértelmű.

23 Kongruenciák Legyenek a és b egész számok és m pozitív egész. Azt mondjuk, hogy a kongruens b-vel modulo m, ha m a b. Jelölés: a b (mod m) Az m számot modulusnak nevezzük. Két szám pontosan akkor kongruens modulo m, ha m-mel osztva ugyanazt a maradékot adják Amennyiben a és b nem kongruensek modulo m, akkor a és b inkongruensek modulo m, jelölése: a b (mod m) Példák: 13 8 (mod 5), (mod 7), (mod 7)

24 Ekvivalenciareláció A kongruencia (mod m) ekvivalenciareláció. Bizonyítás Azt kell igazolnunk, hogy a kongruencia reflexív, szimmetrikus és tranzitív reláció. A kongruencia reláció reflexív: a Z, a a (mod m), hiszen m a a. szimmetrikus: Ha a b (mod m), akkor b a (mod m) teljesül, mert ha m a b, akkor m b a is. tranzitív: Ha a b (mod m) és b c (mod m), akkor m a b és m b c. Az előbbiek alapján m (a b) + (b c), azaz m a c. Ezzel beláttuk, hogy ha a b (mod m) és b c (mod m), akkor a c (mod m).

25 Jelölés: (a) m Maradékosztályok 1 Ha a b (mod m) és c d (mod m), akkor a + c b + d (mod m) és a c b d (mod m). 2 Ha a b (mod m) és c d (mod m), akkor ac bd (mod m) 3 Ha a b (mod m), akkor a n b n (mod m) 4 Legyen d = m (c,m). Ha ac bc (mod m), akkor a b (mod d). Ha a Z, akkor az a-val kongruens (mod m) egész számok halmazát az a által reprezentált (mod m) maradékosztálynak nevezzük.

26 Maradékrendszerek Ha rögzített m modulus mellett minden egyes maradékosztályból pontosan egy elemet veszünk, akkor modulo m teljes maradékrendszert kapunk. Az (a) m maradékosztály redukált maradékosztály, ha (a, m) = 1. Ha egy rögzített m modulus mellett minden egyes redukált maradékosztályból pontosan egy elemet veszünk, akkor redukált maradékrendszert kapunk.

27 Adott egész számok pontosan akkor alkotnak modulo m teljes maradékrendszert, ha 1 számuk m és 2 páronként inkongruensek modulo m. (Euler-féle ϕ függvény) Tetszőleges n pozitív egész esetén ϕ(n) jelöli az 1, 2,..., n számok közül az n-hez relatív prímek számát. ϕ(n) = n p n p 1, ahol p prím. p

28 Adott számok egy rögzített m modulus mellett pontosan akkor alkotnak redukált maradékrendszert, ha 1 számuk ϕ(m), 2 páronként inkongruensek modulo m, és 3 valamennyien relatív prímek m-hez. Legyen r 1, r 2,..., r ϕ(m) redukált maradékrendszer modulo m és (a, m) = 1. Ekkor ar l, ar 2,..., ar ϕ(m) is redukált maradékrendszer modulo m.

29 Euler-Fermat tétel Ha (a, m) = 1, akkor a ϕ(m) 1 (mod m). Bizonyítás Legyen r 1, r 2,..., r ϕ(m) egy redukált maradékrendszer (mod m), ekkor ar 1, ar 2,..., ar ϕ(m) is redukált maradékrendszer (mod m). Ebből következik, hogy minden ar i -hez létezik egy és csak egy r j, hogy ar i r j (mod m), továbbá különböző ar i - khez különböző elemek tartoznak az eredeti redukált maradékrendszerből. Tehát a következőt kapjuk: ar 1 s 1 (mod m), ar 2 s 2 (mod m), ar ϕ(m) s ϕ(m). (mod m),

30 Euler-Fermat tétel ahol s 1, s 2,..., s ϕ(m) az r 1, r 2,..., r ϕ(m) egy permutációja. Most szorozzuk össze ezeket a kongruenciákat: a ϕ(m) r 1 r 2 r ϕ(m) r 1 r 2 r ϕ(m) (mod m). Ha egyszerűsítünk r 1 r 2 r ϕ(m) -mel, amely m-hez relatív prím, kapjuk, hogy a ϕ(m) 1 (mod m). (kis Fermat tétel) 1 Ha p prímszám, a Z és p a, akkor a p 1 1 (mod p). 2 Ha p prímszám és a Z, akkor a p a (mod p).

31 Lineáris kongruenciák Ha a, b Z és m pozitív egész, akkor az ax b (mod m) kongruenciát lineáris kongruenciának nevezzük. A kongruencia megoldásai olyan egész számok, melyeket x helyébe írva a kongruencia teljesül. Megoldások számán a különböző maradékosztályok számát értjük, melyekből vett egészek a kongruenciát kielégítik. Ha a, b Z és m pozitív egész, az ax b (mod m) lineáris kongruencia akkor és csak akkor oldható meg, ha (a, m) b.

32 Lineáris kongruenciák Ha a, b Z, az m pozitív egész és az ax b (mod m) lineáris kongruencia megoldható, akkor a megoldások száma (a, m). Amennyiben (y) m megoldása a kongruenciának, akkor az összes megoldást az y, y + m (a, m), y + 2 m m,..., y + ((a, m) 1) (a, m) elemek által reprezentált maradékosztályok alkotják. (a, m)

33 Ha (a, m) = 1, akkor az ax b (mod m) lineáris kongruencia egyetlen megoldása x a ϕ(m) 1 b (mod m). Bizonyítás Ha x a ϕ(m) 1 b (mod m), akkor x valóban megoldás, hiszen az Euler-Fermat tétel szerint aa ϕ(m) 1 b b (mod m).

34 Szimultán kongruenciarendszer Ha ugyanazon ismeretlenre több különböző modulusú kongrueciafeltételt adunk, akkor szimultán kongruenciarendszert kapunk. Az x y 1 (mod m) x y 2 (mod n) szimultán kongruenciarendszer megoldhatóságának szükséges és elégséges feltétele, hogy (m, n) y 1 y 2. Az összes megoldás egy maradékosztályt alkot modulo [m, n]. Az [m, n] az m és n modulusok legkisebb közös többszörösét jelöli.

35 Kínai maradéktétel Legyenek m 1, m 2,..., m k páronként relatív prímek. Ekkor x y 1 (mod m 1 ) x y 2 (mod m 2 ). x y k (mod m k ) szimultán kongruenciarendszer bármilyen y 1, y 2,, y k egészek esetén megoldható, és a megoldások egyetlen maradékosztályt alkotnak modulo m 1 m 2 m k.

36 Kínai maradéktétel Bizonyítás Legyen M = m 1 m 2 m k és M i = M m i, ahol i = 1, 2,..., k. Mivel az m 1,..., m k modulusok páronként relatív prímek, ezért (M i, m i ) = 1, i = 1, 2,..., k. Tekintsük az M i x 1 (mod m i ), ahol i = 1, 2,..., k kongruenciákat. Bármely i esetén a kongruencia megoldható, hiszen (M i, m i ) = 1, legyen x c i (mod m i ) a megoldás. Ekkor M i c i 1 (mod m i ) és M i c i 0 (mod m j ), ahol i j. Legyen x 0 k M i c i y i i=1 (mod M). Az előbbiek alapján x 0 y i (mod m i ), i = 1,..., k, tehát x 0 megoldása a szimultán kongruenciarendszernek. Ezzel egy konstruktív bizonyítást adtunk a megoldás létezésére.

37 Most lássuk be, hogy csak egy megoldása van. Tegyük fel, hogy x 0 szintén megoldása a szimultán kongruenciarendszernek. Így x 0 y i (mod m i ), i = 1, 2,..., k, azaz m i x 0 y i, bármely i-re. Ugyanakkor x 0 szintén megoldás, tehát m i x 0 y i, ahonnan m i x 0 x 0 bármely i-re. Ha az előbbi oszthatóság tetszőleges i {1, 2,..., k}-re teljesül, akkor m 1 m 2 m k x 0 x 0 is áll, azaz m x 0 x 0, így x 0 x 0 (mod M). Tehát x 0 és x 0 megoldások egy maradékosztályba esnek modulo M.

38 Algebrai struktúra Az (a) m és (b) m maradékosztályok összegén az (a + b) m, szorzatán pedig az (ab) m maradékosztályt értjük, azaz (a) m + (b) m = (a + b) m és (a) m (b) m = (ab) m. Bármely két modulo m maradékosztály összege, illetve szorzata egyértelműen meghatározott.

39 Kommutatív, egységelemes gyűrű A modulo m maradékosztályok esetén az összeadás asszociatív és kommutatív, a (0) m nullelem, azaz minden (a) m -ra (0) m + (a) m = (a) m + (0) m = (a) m, az (a) m ellentettje ( a) m, azaz ( a) m + (a) m = (a) m + ( a) m = (0) m, a szorzás asszociatív és kommutatív, az (1) m egységelem, azaz minden (a) m -ra (1) m (a) m = (a) m (1) m = (a) m, érvényes a disztributivitás. Könnyen látható, hogy amennyiben a modulus prím, akkor a modulo m maradékosztályok halmaza testet alkot.

40 Legyen (a, m) = 1. Az a elem rendjének nevezzük modulo m azt a k kitevőt, melyre a k 1 (mod m), és a i 1 (mod m) bármely i-re, ahol i = 1, 2,..., k 1. Az elem rendjét o m (a)-val jelöljük. Az Euler-Fermat tételből következik, hogy o m (a) φ(m). Egy g számot primitív gyöknek nevezünk modulo m, ha o m (g) = φ(m). Legyen g primitív gyök modulo p, ahol p prím és (a, p) = 1. Ekkor a-nak g alapú diszkrét logaritmusán azt a 0 k p 2 számot értjük, melyre a g k (mod p).

41 Egy S csoport ciklikus, ha egy elemmel generálható. Tegyük fel, hogy S ciklikus csoport a szorzásra nézve, és az x elem segítségével generálható. Ezek szerint S minden eleme feĺırható x 0 = e, x 1, x 1, x 2, x 2, x 3, x 3,... alakban. Két esetet különböztetünk meg: 1 Végtelen ciklikus csoportról beszélünk, ha x 0 = e, x 1, x 1, x 2, x 2, x 3, x 3,... elemek mind különbözőek. 2 Véges ciklikus csoportról beszélünk, ha x hatványai nem mind különbözőek. Ekkor létezik olyan k és l, hogy x k = x l. Legyen k > l, ekkor x k l = e. Ami azt jelenti, hogy x-et k l-edik hatványra emelve egységet kapunk. Legyen n a legkisebb pozitív egész, melyre x n = e. Ekkor e, x, x 2, x 3,..., x n 1 elemek mind különböznek és a csoport bármely eleme ezek egyikével egyenlő.

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. Számfogalmak kialakítása:

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Horváth Árpád 2008. december 16. A segédletek egy része a matek honlapon található: http://www.roik.bmf.hu/matek Kötelező irodalom: Bagyinszki

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Ismerkedés az Abel-csoportokkal

Ismerkedés az Abel-csoportokkal Ismerkedés az Abel-csoportokkal - Szakdolgozat - Készítette: Takács Mária (Matematika BSc, Tanári szakirány) Témavezető: Kiss Emil (Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet) Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Juhász Tibor. Lineáris algebra

Juhász Tibor. Lineáris algebra Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem 2006 Bevezetés Ez az anyag tartalmazza az Algebra és számelmélet című tárgy 4. féléves részének kötelező elméleti

Részletesebben

2. témakör: Számhalmazok

2. témakör: Számhalmazok 2. témakör: Számhalmazok Olvassa el figyelmesen az elméleti áttekintést, és értelmezze megoldási lépéseket, a definíciókat, tételeket. Próbálja meg a minta feladatokat megoldani! Feldolgozáshoz szükségesidö:

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,... RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2012 13-as tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a javító

Részletesebben

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat 8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2006

A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2006 A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2006 Köszönöm Koós Gabriella végzős hallgatónak, hogy felhívta a figyelmemet az anyag előző változatában szereplő néhány

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Szakdolgozat Készítette: Borostyán Dóra Matematika BSc matematikai elemző Témavezető:

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

Farkas Gábor: Diszkrét matematika II. (elıadás diák) Lektorálta: Láng Csabáné

Farkas Gábor: Diszkrét matematika II. (elıadás diák) Lektorálta: Láng Csabáné Farkas Gábor: Diszkrét matematika II. (elıadás diák) Lektorálta: Láng Csabáné Felhasznált irodalom: Járai Antal & al: Láng Csabáné: Láng Csabáné: Gonda János: Láng Csabáné: Bevezetés a matematikába ELTE

Részletesebben

Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort.

Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort. VEKTOROK VEKTOROK FOGALMA Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon, hogy az egyik pont a kezdőpont, a másik pont a végpont, akkor irányított szakaszt kapunk. Egy irányított szakasz

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.)

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) 22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) A) A PERMUTÁCIÓK CIKLIKUS SZERKEZETE 1. feladat: Egy húsztagú társaság ül az asztal körül. Néhányat közülük (esetleg az összeset) párba állítunk, és a párok

Részletesebben

Szeminárium-Rekurziók

Szeminárium-Rekurziók 1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal. PhD értekezés

Miskolci Egyetem. Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal. PhD értekezés Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal PhD értekezés Készítette: Lengyelné Szilágyi Szilvia Hatvany

Részletesebben

Alkalmazott modul: Programozás

Alkalmazott modul: Programozás Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Alkalmazott modul: Programozás Feladatgyűjtemény Összeállította: Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto Frissítve: 2015.

Részletesebben

1. Bevezetés. A számítógéptudomány ezt a problémát a feladat elvégzéséhez szükséges erőforrások (idő, tár, program,... ) mennyiségével méri.

1. Bevezetés. A számítógéptudomány ezt a problémát a feladat elvégzéséhez szükséges erőforrások (idő, tár, program,... ) mennyiségével méri. Számításelmélet Dr. Olajos Péter Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematika Tanszék e mail: matolaj@uni-miskolc.hu 2011/12/I. Készült: Péter Gács and László Lovász: Complexity of Algorithms (Lecture Notes,

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

1. Lineáris leképezések

1. Lineáris leképezések Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA I. TÉTELEK

DISZKRÉT MATEMATIKA I. TÉTELEK DISZKRÉT MATEMATIKA I. TÉTELEK Szerkesztette: Bókay Csongor 2011 őszi félév Az esetleges hibákat kérlek a csongor@csongorbokay.com címen jelezd! Utolsó módosítás: 2012. január 16. Ez a Mű a Creative Commons

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/0-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató.

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

A kvantummechanika általános formalizmusa

A kvantummechanika általános formalizmusa A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

VÉGES CIKLIKUS CSOPORTOKNAK VÉGES CIKLIKUS CSOPORTOKKAL VALÓ SZÉTES BVÍTÉSEIRL

VÉGES CIKLIKUS CSOPORTOKNAK VÉGES CIKLIKUS CSOPORTOKKAL VALÓ SZÉTES BVÍTÉSEIRL 2 HUBER LÁSZLÓ VÉGES CIKLIKUS CSOPORTOKNAK VÉGES CIKLIKUS CSOPORTOKKAL VALÓ SZÉTES BVÍTÉSEIRL 995 BARÁTOMNAK ÉS URANITA TESTVÉREMNEK SZERETETTEL 995. 2. 08. Mota 3 Köszönettel tartozom Corrádi Keresztélynek

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

Diszkrét matematika I. bizonyítások

Diszkrét matematika I. bizonyítások Diszkrét matematika I. bizonyítások Készítette: Szegedi Gábor SZGRACI.ELTE DYDHMF (http://szegedigabor.web.elte.hu) Burcsi Péter tanár úr előadása alapján készült 2010-2011. őszi félév 1. Fogalmazza meg

Részletesebben

Analízis lépésről - lépésre

Analízis lépésről - lépésre Analízis lépésről - lépésre interaktív tananyag Dr. Stettner Eleonóra Klingné Takács Anna Analízis lépésről - lépésre: interaktív tananyag írta Dr. Stettner Eleonóra és Klingné Takács Anna Tartalom Előszó...

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

Prímtesztelés és prímfaktorizáció

Prímtesztelés és prímfaktorizáció Prímtesztelés és prímfaktorizáció Diplomamunka Írta: Gerbicz Róbert Alkalmazott matematikus szak Email : robert.gerbicz@gmail.com Témavezető: Gyarmati Katalin, tudományos munkatárs Algebra és Számelmélet

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

Jelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b) ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb.

Jelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b) ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb. BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE vázlat az előadáshoz (2013 őszi félév Waldhauser Tamás 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, rímfaktorizáció az egész számok körében Az oszthatósági reláció alavető tulajdonságai

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika. István Fazekas

Valószínűségszámítás és statisztika. István Fazekas Valószínűségszámítás és statisztika István Fazekas Tartalomjegyzék 1. fejezet. A valószínűségszámítás alapfogalmai 5 1.1. A valószínűség 5 1.2. Halmazalgebrák és σ-algebrák 11 1.3. A feltételes valószínűség

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória 2005. január 12. feladatok kidolgozására két óra áll rendelkezésre. Számológép nem használható. példák tetszőleges sorrendben megoldhatók.

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat

Bolyai János Matematikai Társulat Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Operációkutatás I. 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

TANMENET javaslat. a szorobánnal számoló. osztály számára. Vajdáné Bárdi Magdolna tanítónő

TANMENET javaslat. a szorobánnal számoló. osztály számára. Vajdáné Bárdi Magdolna tanítónő 2 TANMENET javaslat a szorobánnal számoló 2. osztály számára Szerkesztette: Dr. Vajda József - Összeállította az Első Szorobán Alapítvány megbízásából: Vajdáné Bárdi Magdolna tanítónő Makó, 2001. 2010.

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Lineáris algebra bevezető

Lineáris algebra bevezető Lineáris algebra bevezető 1 Egyismeretlenes egyenletek bemelegítés Az ilyen egyenletek rendezés után ax = b alakba írhatók Ha a 0, akkor a(z egyértelmű megoldás x = b/a Ha a = 0, akkor b 0 esetben nincs

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +

Részletesebben

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és

Részletesebben

Gáspár Csaba. Analízis

Gáspár Csaba. Analízis Gáspár Csaba Analízis Készült a HEFOP 3.3.-P.-004-09-00/.0 pályázat támogatásával Szerzők: Lektor: Gáspár Csaba Szili László, egyetemi docens c Gáspár Csaba, 006. Tartalomjegyzék. Bevezetés 5. Alapvető

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Bevezetés a Gröbner-bázisok elméletébe

Bevezetés a Gröbner-bázisok elméletébe Bevezetés a Gröbner-bázisok elméletébe Oktatási segédlet a Komputer algebra c. tárgyhoz Felszeghy Bálint Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Alapfogalmak és a Gröbner-bázisok elemi tulajdonságai 5 2.1. Jelölések..............................

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük.

Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük. Líneáris függvének Definíció: Az f() = m + b alakú függvéneket, ahol m, m, b R elsfokú függvéneknek nevezzük. Az f() = m + b képletben - a b megmutatja, hog a függvén hol metszi az tengelt, majd - az m

Részletesebben

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt?

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? skombinatorika 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot írhatunk föl 2 db 1-es, 1 db 2-es és 1 db 3-as

Részletesebben

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30.

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. 1. Határozzuk meg, hány egybevágósága van egy négyzetnek! Melyek azonos jellegűek ezek között? Ez egy általános bevezető feladat tud

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Kis-Benedek Ágnes Szimmetrikus és periodikus szerkezetek merevsége

Kis-Benedek Ágnes Szimmetrikus és periodikus szerkezetek merevsége Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kis-Benedek Ágnes Szimmetrikus és periodikus szerkezetek merevsége Alkalmazott matematikus MSc Operációkutatás szakirány Szakdolgozat Témavezető: Jordán

Részletesebben