1. Lineáris leképezések

Átírás

1 Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2 ) = A(v )+A(v 2 ); skalárszorostartó, azaz v V és λ T esetén A(λv) = λa(v) Az A : V W lineáris leképezések halmaza Hom(V, W) Állítás (F52 Tétel) Minden lineáris leképezés nullát nullába, ellentettet ellentettbe visz, azaz A( V ) = W és A( v) = A(v) i ötlet az első állításra A( V ) = A( V + V ) = A( V )+A( V ), adjunk hozzá A( V )-t Példák lineáris leképezésre () A sík és a tér origót fixáló egbevágósági és hasonlósági transzformációi (tükrözés, forgatás, nújtás) (2) V = T n és W = T m a T fölött, M T m n rögzített mátrix Legen A(v) = Mv (3) V = W = T[x] a T fölött, A(p) = p (a p polinom deriváltja) (4) V = R[x] az R fölött, W = R önmaga fölött A(p) = p(3) (az 3 szám behelettesítése) (5) V vektortér T fölött, W = T n a T test fölött B = (b,,b n ) rögzített bázis V -ben és A(v) = [v] B (6) V és W tetszőleges vektorterek T fölött, A(v) = W Ez a nulla leképezés, jele (7) V = W tetszőleges vektortér, A(v) = v Ez az identikus leképezés, jele I vag I V

2 Tükrözés egenesre Példa Legen R az = x egenesre való tükrözés 2 2 = x R R () = () = () R = 2 2 A tükrözés képlete Kérdés Legen R az = x egenesre való tükrözés R () Láttuk: R () x R = R ([ x = ] + [ () x =? () és R = Ezért ]) () () x = R +R, hiszen R összegtartó A skalárszoros-tartás miatt ez ( ) ( ) () () R x +R = xr +R = = x + = + = x x 2

3 Vektor képe általános transzformációnál Kérdés Legen A : T 2 T 2 lineáris transzformáció () () () a c x Ha A = és A =, akkor A =? b d A () x = A ( x + ) = A () x +A (), hiszen A összegtartó A skalárszoros-tartás miatt ez ( ) ( ) () () A x +A = xa +A = a c ax c ax+c = x + = + = b d bx d bx+d Tehát minden vektor képét ki tudjuk számolni, ha ismerjük a,b,c,d értékét Lineáris transzformáció mátrixa Láttuk Legen A : T 2 T 2 lineáris transzformáció Ha () () () a c x ax+c A = és A =, akkor A = b d bx+d Definíció A fenti A mátrixa [A] = a c (Az oszlopok b d és képei) A mátrix-vektor szorzás definíciójának indoka: a c x ax+c = (íg lehet kiszámolni eg vektor képét) b d bx+d Azaz A(v) = [A]v A forgatás mátrixa Példa cosα sinα Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa [F]= sinα cosα A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF Komplex számokkal: ez a forgatás szorzás cos α + i sin α-val x Az x+i számnak az felel meg: és i A [F] első oszlopa: (cosα+isinα) [ cosα sinα A második: i(cosα+isinα) = sinα+icosα ] sinα cosα 3

4 Mátrix bázispárban Definíció (F57 Definíció) b = (b,,b n ) bázis V -ben, d = (d,,d m ) bázis W-ben Ha A : V W lineáris leképezés, ] akkor A mátrixa a (b, d) bázispárban [A] d/b = [[A(b )] d,,[a(b n )] d T m n A mátrix j-edik oszlopába A(b j ) koordinátáit írjuk a d bázisban λ λ n Azaz [A] d/b = azt jelenti, hog λ m λ mn A(b ) = λ d ++λ m d m,, A(b n ) = λ n d ++λ mn d m Az előbbi példákban a sík szokásos bázisa szerepelt Vektor képének kiszámítása Tétel (F573 Tétel) Legen b bázis V -ben, d bázis W-ben, A Hom(V,W) és v V Ekkor [A(v)] d = [A] d/b [v] b Bázisok megjegzése: d = (d/b)b ( kiesik a b) Legen [A] d/b = ((λ ij )) és [v] b = ((µ j )) Ekkor λ λ n µ λ µ ++λ n µ n [A] d/b [v] b = = λ m λ mn µ n λ m µ ++λ mn µ n Tudjuk: A(v) = A(µ b ++µ n b n ) = µ A(b )++µ n A(b n ), és A(b j ) = λ j d ++λ mj d m Behelettesítve A(v) = (λ µ ++λ n µ n )d ++(λ m µ ++λ mn µ n )d m 4

5 2 Lineáris leképezések szorzata Példa kompozícióra Kérdés Melik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünk az = x egenesre, majd forgatunk az origó körül 9 -kal? Ez a két transzformáció kompozíciója (egmás utánja) () x x R = x [ cos9 sin9 Mivel [F] = F ([ x ] sin9 cos9 =, ezért képe x ]) +( )x x = = = x +x Az eredmén az -tengelre való tükrözés (Házi Feladat) A kompozíció mátrixa Definíció Ha A,B : T 2 T 2 transzformációk, akkor kompozíciójuk (A B)(v) = A ( B(v) ) tetszőleges v T 2 esetén Összetett függvén: először B-t, utána A-t alkalmazzuk Tétel a c a c Ha [A] =, és [B] = b d b d, akkor aa [A B]= +cb ac +cd ba +db bc +dd Tehát [A B] = [A][B]: kompozíció mátrixa a mátrixok szorzata A mátrixok szorzását azért definiáltuk ezekkel a képletekkel, hog ez az összefüggés igaz legen A kompozíció mátrixának kiszámítása Tétel a c a c [A]=, [B]= aa b d b d = [A B]= +cb ac +cd ba +db bc +dd ( ) () a a c a aa A B = A b = b d b = +cb ba +db Ezért A B első oszlopa ténleg az, ami a tételben szerepel ( ) () c a c c ac A B = A d = b d d = +cd bc +dd Ezért A B második oszlopa is megfelelő 5

6 Példa: [F R] = [F][R] = = Kompozíció az általános esetben Definíció (F56 Definíció) Legenek U, V és W vektorterek uganazon T test fölött Az A : V W és a B : U V lineáris leképezések szorzata (kompozíciója) (AB)(u) = A ( B(u) ) minden u U-ra Tétel (F562 Tétel) Ha A és B lineáris, akkor AB is az AB skalárszoros-tartó: AB(λu) = A ( B(λu) ) = A ( λb(u) ) = λa ( B(u) ) = λab(u) A kompozíció definíciója miatt B skalárszoros-tartása miatt A skalárszoros-tartása miatt A kompozíció definíciója miatt HF: AB összegtartó Általános kompozíció mátrixa Tétel (F576 Tétel) Legen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W-ben, A Hom(V,W) és B Hom(U,V) Ekkor [AB] d/a = [A] d/b [B] b/a : HF Bázisok megjegzése: d/a = (d/b)(b/a) ( kiesik a b) Következmén Inverz leképezés mátrixa a mátrix inverze: [A ] b/d = [A] d/b [A ] b/d [A] d/b = [A A] b/b = [I] b/b, ami az egségmátrix Hasonlóan [A] d/b [A ] b/d is az egségmátrix 6

7 3 Leképezések összege és skalárszorosa Pontonkénti műveletek Definíció (F55 és F552 Definíció) Legenek V és W vektorterek uganazon T test fölött, A,B : V W lineáris leképezések és λ T () A és B összege (A+B)(v) = A(v)+B(v) minden v V -re (2) A λ-szorosa (λa)(v) = λ ( A(v) ) minden v V -re Tétel (F53 Tétel) A + B és λa is lineáris transzformáció Mintabizonítás: λa összegtartó (λa)(u+v) = λ ( A(u+v) ) = λ ( A(u)+A(v) ) = = λ ( A(u) ) +λ ( A(v) ) = (λa)(u)+(λa)(v) A λa definíciója miatt Az A összegtartása miatt A skalárral szorzás tulajdonsága (vektortéraxióma) miatt A λa definíciója miatt (kétszer alkalmazva) A másik három állítás HF Az összeg mátrixa Tétel (F574 Tétel) Rögzített b és d bázisok esetén az A [A] d/b leképezés összegtartó Hom(V,W) és T m n között Azaz összeg mátrixa a mátrixok összege w [w] d összegtartó W és T m között Ha A,B Hom(V,W), akkor (A + B)(b i ) = A(b i ) + B(b i ) az A + B definíciója miatt Íg [(A + B)(b i )] d = [A(b i ) + B(b i )] d = [A(b i )] d + [B(b i )] d Vagis A + B mátrixának oszlopai az A, illetve a B mátrixából vett megfelelő oszlopok összegei A mátrixok összeadásának definíciója miatt tehát [A+B] d/b = [A] d/b +[B] d/b 7

8 A skalárszoros mátrixa Tétel (F574 Tétel) Rögzített b és d bázisok esetén az A [A] d/b leképezés skalárszoros-tartó Hom(V,W) és T m n között Azaz λ-szoros mátrixa a mátrix λ-szorosa w [w] d skalárszorostartó W és T m között Ha A Hom(V,W), akkor (λa)(b i ) = λa(b i ) a λa definíciója miatt Íg [(λa)(b i )] d = [λa(b i )] d = λ[a(b i )] d Vagis λa mátrixának oszlopai az A mátrixából vett megfelelő oszlopok λ-szorosai A mátrixok λ-szorosának definíciója miatt tehát [λa] d/b = λ[a] d/b A műveletek tulajdonságai Jelölés Hom(V,V) rövidítve Hom(V), elemei lineáris transzformációk Állítás (F53 és F563 Tétel) Legenek V és W vektorterek uganazon T test fölött Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V,W) vektortér Nullelem: a nulla leképezés Az A ellentettje: ( A)(v) = A(v) Hom(V) egségelemes gűrű az összeadásra és a szorzásra, és λ(ab) = (λa)b = A(λB) (A,B Hom(V), λ T) Az egségelem az identikus transzformáció FONTOS házi feladat önállóan kidolgozni a bizonítást! Különösen ajánlom a két disztributív azonosság levezetését: A(B +C) = AB +AC és (B +C)A = BA+CA 4 Izomorf vektorterek Példák izomorfizmusra Definíció (F52 Definíció) Az A Hom(V, W) izomorfizmus, ha kölcsönösen egértelmű A V és W izomorf vektorterek, ha van közöttük izomorfizmus Jele: V =W Két fontos példa Ha V vektortér a T test fölött, és b bázis V -ben, akkor v [v] b izomorfizmus V és T n között Ezért minden V vektortér izomorf T dim(v) -vel Legen b bázis V -ben, d bázis W-ben Ekkor A [A] d/b izomorfizmus Hom(V,W) és T m n között Vagis Hom(V,W) =T dim(w) dim(v) A művelettartást láttuk, az egértelműséget most bebizonítjuk 8

9 Az előírhatósági tétel Tétel (F53 Tétel) Legenek V és W vektorterek a T test fölött, b,,b n bázis V -ben, és c,,c n W tetszőleges vektorok Ekkor pontosan eg olan A : V W lineáris leképezés van, melre A(b j ) = c j minden j n esetén : egértelműség Ha A megfelel a feltételeknek, akkor A(λ b ++λ n b n ) = A(λ b )++A(λ n b n ), mert A összegtartó, és ez λ A(b )++λ n A(b n ) = λ c ++λ n c n, mert A skalárszorostartó Azaz A értékét V minden elemén ki tudjuk számítani, és íg csak eg megfelelő A leképezés létezhet Az egértelműséget tehát beláttuk Az előírhatósági tétel: létezés : létezés Legen A(λ b ++λ n b n ) = λ c ++λ n c n Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egértelműen írható fel λ b ++λ n b n alakban Az A összegtartó, mert ha v = λ b ++λ n b n és w = µ b ++µ n b n, akkor v +w = (λ +µ )b ++(λ n +µ n )b n, és íg A(v +w) = (λ +µ )c ++(λ n +µ n )c n A(v)+A(w) = (λ c ++λ n c n )+(µ c ++µ n c n ), azaz ténleg A(v +w) = A(v)+A(w) A skalárszorostartás bizonítása hasonló: HF Mivel b = b + b 2 ++ b n, ezért A(b ) = c + c 2 ++ c n = c Hasonlóan A(b j ) = c j minden j n esetén Mátrixok és leképezések: egértelműség Tétel (F574 Tétel) Rögzített b és d bázisok esetén az A [A] d/b leképezés izomorfizmus Hom(V,W) és T m n között w [w] d kölcsönösen egértelmű W és T m között, hiszen W minden eleme egértelműen írható λ d + + λ m c m alakban Ha A B Hom(V,W), akkor az előírhatósági tétel egértelműségi állítása miatt A(b ),,A(b n ) és B(b ),,B(b n ) valahol eltér Íg a koordinátavektorok is uganott eltérnek, azaz A és B mátrixa különböző Ha adott eg M T m n mátrix, akkor annak oszlopvektorai eg c,,c m vektorrendszert adnak W-ben, és az előírhatósági tételből kapott A leképezésnek M lesz a mátrixa 9

10 Az izomorfizmus jellemzése Tétel (F525 Tétel) Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortér akkor és csak akkor izomorf, ha a dimenziójuk megegezik Következmén: dim ( Hom(V,W) ) = dim(v)dim(w) vázlat Tegük föl, hog V és W dimenziója egenlő Legen b,,b n bázis V -ben és d,,d n bázis W-ben Az előírhatósági tétel miatt vannak olan B és C lineáris leképezések, melekre B(b j ) = d j és C(d j ) = b j minden j-re HF: ezek egmás inverzei, és íg izomorfizmusok Megfordítva: ha A : V W izomorfizmus és b,,b n bázis V -ben, akkor HF: A(b ),,A(b n ) bázis W-ben Ezért a két dimenzió megegezik 5 Összefoglaló A 3 előadáshoz tartozó vizsgaanag Fogalmak Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa, szorzata Izomorfizmus Tételek Nullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa Hom(V, W) vektortér és izomorf T n k -val Hom(V) gűrű, és a megfeleltetés T n n -nel szorzattartó Vektortér-izomorfia jellemzése a dimenzióval Hom(V, W) dimenziója Az előírhatósági tétel