Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged
|
|
- Dezső Vörös
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást követő tagjai, a legrövidebb oldal 4 egység hosszú. Tudjuk, hogy a háromszög nem szabályos. Igazoljuk, hogy a háromszögnek nincs 60 -os szöge. A feladatra az egyik diák az alábbi megoldást adta. Legyen 4 = a < b < c! A háromszög nem szabályos, így van 60 -nál kisebb szöge. Mivel a legrövidebb oldallal szemben a legkisebb szög van, ezért a 4 hosszúságú oldallal szemben nem lehet 60 -os szög. A háromszögnek van 60 -nál nagyobb szöge is, így a leghosszabb oldallal szemben sem lehet 60 -os szög. Tegyük fel, hogy a b oldallal szemben 60 -os szög van. Az oldalakat felírhatjuk a velük szemközti szögek szinuszainak segítségével. a = R sinα b = R sin β c = R sin γ (1) a + c A feltétel szerint b =. Ebbe beírva az (1)-esben szereplő kifejezéseket kapjuk, R sinα + R sin γ sinα + sin γ hogy R sin β =, azaz sin β = (). Tehát az oldalakkal szemközti szögek szinuszai is számtani sorozat egymást követő elemei a megadott sorrendben. 3 3 Tudjuk, hogy bármely háromszögben igaz a szögekre a sinα + sin β + sin γ (3) összefüggés. Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a háromszög szabályos. 3 3 A () alapján sinα + sin β + sin γ = 3sin β = 3sin 60 =. A (3) alapján a háromszög szabályos, ami ellentmondás, így nincs 60 -os szöge. 14
2 Ábrahám Gábor: Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán A javításban részt vevő kollégák közül néhányan nem ismerték a (3)-as összefüggést, többek között az a kolléga sem, aki ezt a dolgozatot javította. A dekódolás után az is kiderült, hogy a megoldó az egyik diákom volt, aki egy emelt óraszámú, de nem speciális matematika osztályba járt. Ez adta az ötletet arra, hogy az előadásomban felvázoljam azt az utat, ahogy ezt a témakört 11. osztályban feldolgoztuk órán. A sok lehetséges megközelítés közül talán ez kívánja a legkevesebb előkészítést. Előkészítő feladatok 1. Az ABC háromszög oldalai a szokásos jelölésekkel legyenek a, b, c. A beírt kör az oldalakat rendre az E, F, G pontokban érinti. Legyen AG = x, BE = y és CF = z. Fejezzük ki az x, y és z szakaszok hosszát a háromszög oldalaival. Mivel a külső pontból körhöz húzott érintő szakaszok egyenlők, ezért FA = AG = x, GB = BE = y és EC = CF = z. Ekkor y + z = a z + x = b x + y = c egyenletrendszert kapjuk. Ennek megoldása b + c a x = = s a, c + a b y = = s b és a + b c z = = s c, ahol s a háromszög félkerülete.. Bizonyítsuk be, hogy bármely a, b, c valós szám esetén fennáll az egyenlőtlenség. ab + bc + ca a + b + c 15
3 Könnyen meggondolható, hogy 0 ( a b) + ( b c) + ( c a) = a + b + c ab bc ca! Ebből kapjuk, hogy ab + bc + ca a + b + c. Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a = b = c. 3. Bizonyítsuk be, hogy az x, y, z valós számokra fennáll az összefüggés. ( )( ) x + y + z 3xyz = x + y + z x + y + z xy yz zx Végezzük el a beszorzást és a lehetséges összevonásokat a jobb oldali kifejezésben, így megkapjuk a bal oldali kifejezést! 4. Bizonyítsuk be, hogy bármely a, b, c pozitív valós számra fennállnak az alábbi egyenlőtlenségek. a) b) 3 a + b + c abc (háromtagú számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség), 3 a + b + c a + b + c (háromtagú számtani és négyzetes közép közötti 3 3 egyenlőtlenség). a) Legyen ekvivalens az x a, y b, z c = = =! Ekkor a bizonyítandó egyenlőtlenség x y z xyz egyenlőtlenséggel. Ez pedig könnyen 16
4 Ábrahám Gábor: Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán jön az előző feladatbeli összefüggés és a. példa felhasználásával. Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha x = y = z, azaz a = b = c. b) Mivel mindkét oldal pozitív, ezért az egyenlőtlenség négyzetre emelése és 9-cel való beszorzás után az eredetivel ekvivalens ( a + b + c) 3( a + b + c ) egyenlőtlenséghez jutunk. A négyzetre emelés elvégzése és rendezés után a vele ekvivalens ab + bc + ca a + b + c egyenlőtlenséget kapjuk, melyet a. példában már bizonyítottuk. Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a = b = c. Háromszöggel kapcsolatos trigonometrikus egyenlőtlenségek 5. Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszögben 8( s a)( s b)( s c) abc (1), ahol a, b, c a háromszög oldalai, s a félkerülete. Alkalmazzuk az 1. példa jelöléseit! Ez alapján az (1) ekvivalens a 8xyz ( y + z)( z + x)( x + y) () egyenlőtlenséggel. A kéttagú számtani- mértani egyenlőtlenség alapján yz y + z, zx z + x, xy x + y. A kapott egyenlőtlenségeket összeszorozva kapjuk az (1) egyenlőtlenséget. Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha x = y = z, azaz a = b = c. Megjegyzés: 1. Ismert, hogy a háromszög területe felírható az alábbi képletekkel, ahol r a beírt, R a körül írt kör sugara abc T = s( s a)( s b)( s c), T = s r, T =. 4R 17
5 Ez alapján T s r 8( s a)( s b)( s c) 8 8 8sr s s = = =, másrészt abc = 4RT. Ezeket behelyettesítve az (1)-be kapjuk, hogy bármely háromszögben r R, azaz a sugáregyenlőtlenséget. Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a háromszög szabályos.. Ha a sugáregyenlőtlenséget elemi geometriai úton bizonyítjuk hasonlóság és a Feuerbach-kör felhasználásával, akkor a 3. feladat megoldható az 1. megjegyzésben felvázolt gondolatmenet megfordításával. [.] 6. Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszögben fennáll a r cosα + cos β + cosγ = 1+ R összefüggés, ahol α, β, γ a háromszög szögei, r a beírt, R a körülírt kör sugara. Használjuk fel a koszinusz-tételt és végezzük el az alábbi átalakításokat! ( )( )( )( ) ( ) b + c a c + a b a + b c cos α + cosβ + cos γ = + + = bc ca ab a + b + c b + c a a + c b a + b c 16s ( s a)( s b)( s c) = 1+ = 1+ = abc a + b + c abc s 4T T 4T r = 1+ = 1+ = 1+ abcs s abc R 18
6 Ábrahám Gábor: Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán 7. Milyen határok között mozog egy háromszög szögei koszinuszának összege? Legkisebb felső korlát: r Mivel cosα + cos β + cosγ = 1+ és a 3. feladat. megjegyzése nyomán R 3 r R, így cosα + cos β + cosγ. Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a háromszög szabályos. Tehát a legkisebb felső korlát 1,5. Legnagyobb alsó korlát: r r Az előző feladatból ismert, hogy cosα + cos β + cosγ = 1+. Mivel 0 R R >, ezért a koszinuszok összege nagyobb 1-nél. Az 1-et viszont tetszőlegesen megközelítheti. Az előzőhöz hasonlóan legyen α = π, β =, γ =! 1 1 n n n 1 1 cos α + cosβ + cos γ = cos π cos cos cos 1 1, n + = + + = n n n ha n. Felhasználtuk, hogy a koszinusz függvény az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos. Tehát legnagyobb alsó korlátja az 1. Megjegyzés: A legkisebb felső korlát meghatározására egy lehetséges vektorgeometriai utat találhatunk a [.] első fejezetének 3. leckéjében. 8. Az ABC háromszög köré írt körének középpontjából a csúcsokhoz mutató vektorok legyenek ra, rb, rc. Bizonyítsuk be, hogy a kör középpontjából a magasságpontba mutató m vektor felírható m = r A + r B + r C alakban. 19
7 Vektorizáljuk a háromszög AB oldalát! Legyen AB = c! Azt fogjuk bizonyí- tani, hogy az m = r A + r B + r C alakban megadott vektor M végpontja a háromszög magasságpontja. Ehhez elég azt megmutatni, hogy pl. a CM AB vektorra és BM merőleges az AC vektorra. Nyilván CM = m rc = r A + r B, másrészt AB = c = r B r A. Így a skaláris szorzatuk merőleges az AB CM = r B r A r B + r A = r B r A = R R = 0, ahol R a háromszög köré írt kör sugara. Tehát AB vektor merőleges a CM vektorra. Hasonlóan látható be, a másik is. Tehát M a háromszög magasságpontja. Megjegyzés: Ebből könnyen jön az Euler-egyenes létezése és némi tovább gondolással a Feuerbach-kör is. 9. Egy háromszög oldalai legyenek a, b, c, köré írt körének sugara R, melynek középpontját a magasságponttal m hosszúságú szakasz köti össze. Bizonyítsuk be, hogy m = 9 R ( a + b + c ). Az előző feladat jelöléseit használva legyen az ABC háromszög köré írt körének középpontjából a csúcsokhoz mutató vektorok legyenek ra, rb, rc! Ekkor m r r r = A + B + C. Ebből kapjuk, hogy A B C A B C A B C m = m = r + r + r = 3R + r r + r r + r r. 0
8 Ábrahám Gábor: Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Nyilván így AB = c = r B r A, BC = a = r C r B, CA = b = r A r C, B A B A c = c = r r = R r r. Ebből r B r A = R c. Hasonlóan A C C B r r = R b, r r = R a. Ez alapján m = 3R + r r + r r + r r = 9R a + b + c ( ) A B C A B C. 10. Egy háromszög oldalai legyenek a, b, c, köré írt körének sugara R. Bizonyítsuk be, hogy a + b + c 9R. Mivel 0 m 9R ( a b c ) = + +, ezért nyilvánvaló az állítás. Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a háromszög szabályos. 11. Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszögben félkerülete, R a köré írt körének sugara. s 3 3 R, ahol s a háromszög Használjuk fel a 4. példa b) részét és az előző feladatot! 1 3 a + b + c 3 9R 3 3 ( ) s = a + b + c = R 3 3 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a háromszög szabályos. 1
9 1. Milyen határok között mozog egy háromszög szögei szinuszának összege? Legkisebb felső korlát: Használjuk fel, hogy az ABC háromszög oldalai kifejezhetők a háromszög szögeinek és a köré írt köre sugarának segítségével, azaz a = R sin α, b = R sin β, c = R sin γ. Ebből az előző feladat felhasználásával kapjuk, hogy a + b + c 3 3 sinα + sin β + sin γ =. R Tehát a legkisebb felső korlátja 3 3. Legnagyobb alsó korlát: Tekintsük egy olyan egyenlő szárú háromszöget, melynek szögei Ekkor 1 1 α = π, β =, γ =! n n n 1 1 sin α + sin β + sin γ = sin π sin sin sin n + = + = n n n 1 1 = sin cos 1 0, ha n. n + n Felhasználtuk, hogy a szinusz függvény az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos. Tehát legnagyobb alsókorlátja a 0.
10 Ábrahám Gábor: Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán 13. Bizonyítsuk be, hogy bármely nem derékszögű háromszög szögei között fennáll a tgα + tg β + tgγ = tgα tg β tgγ összefüggés. Tudjuk, hogy tgα + tg β tgγ = tg ( 180 α β ) = tg ( α + β ) = tgα tg β 1. Ebből átrendezéssel kapjuk az összefüggést. 14. Milyen határok között mozog egy hegyesszögű háromszög szögei tangensének az összege? Létezik-e felső korlát? Tekintsük azt a háromszöget, melynek szögei Ekkor π π 1 π 1 α =, β = +, γ = +! n 4 n 4 n π π 1 tgα + tg β + tgγ = tg + tg +, n 4 n π π ha n, hisz tg és tg 1, ha n. Itt felhasználtuk, a tangens függvény folytonosságát is. Tehát felülről nem korlátos. n 4 n Legnagyobb alsó korlát: A háromtagú számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség alapján kapjuk, hogy tgα + tg β + tgγ 3 3 tgα tg β tgγ. Használjuk fel a 13. feladat összefüggését! Ez alapján kapjuk, hogy α + β + γ α + β + γ. tg tg tg 3 3 tg tg tg 3
11 Ebből átrendezéssel kapjuk, hogy tgα + tg β + tgγ 3 3, ahol egyenlőség akkor és csak akkor van, ha a háromszög szabályos. Tehát a legnagyobb alsó korlát a 3 3. Gyakorló feladatok 1. Bizonyítsuk be hogy bármely háromszögben fennállnak az alábbi egyenlőtlenségek. a) , s a s b s c s b) s < s a + s b + s c 3s ahol s a háromszög félkerülete. (Ötlet: Használjuk fel az 1. példa jelöléseit, majd az a) részben a háromtagú számtani-harmonikus közép közötti egyenlőtlenséget, a b) rész második egyenlőtlenségénél a 4/b példát, az elsőnél alkalmazzunk némi átalakítást!). Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszög szögeire fennállnak az alábbi egyenlőtlenségek. a) b) 1 cosα cos β cosγ, sinα sin β sin γ. 8 (Ötlet: Az a) rész nem hegyesszögű háromszög esetén triviális, hegyesszögű esetén pedig alkalmazzuk a 4/a példát, valamint a 7. példa eredményét! A b) résznél alkalmazzuk a 4/a példát, valamint a 1. példa eredményét!) 3. Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszög szögei között fennállnak az alábbi összefüggések. α β β γ γ α a) tg tg + tg tg + tg tg = 1, 4
12 Ábrahám Gábor: Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán b) cos α cos β cos γ cosα cos β cosγ =, c) sin α sin β sin γ ( 1 cosα cos β cosγ ) + + = +. (Ötlet: Az a) résznél alkalmazzuk két szög összegének tangensére vonatkozó összefüggést valamint a szög és pótszögének megfelelő szögfüggvényei közötti összefüggést! A b) résznél használjuk fel, hogy és ( ) cos α + β = cosγ = cosα cos β sinα sin β, cosα cos β + cosγ = sinα sin β így négyzetre emelés után ( )( ) cos α cos β + cosα cos β cosγ + cos γ = 1 cos α 1 cos β = = 1 cos α cos β + cos α cos β ebből pedig jön az állítás. A c) ehhez hasonló) 4. Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszögben α β γ + +. tg tg tg 1 (Ötlet: Használjuk a. példát és az előző feladat a) részét!) 5. Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszögben fennállnak az alábbi egyenlőtlenségek. a) b) 9 sin α + sin β + sin γ, 4 3 cos α + cos β + cos γ. 4 (Ötlet: Alkalmazzuk az a) résznél az előző feladat d) részét és a /a feladatot! A b) résznél alkalmazzuk 3/c és a /a feladatot!) 5
13 6. Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszög szögeire teljesül, hogy sinα sinβ sinγ (Ötlet: Alkalmazzuk a háromtagú számtani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenséget, valamint a 1. példa eredményét!) 7. Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszögben fennállnak az alábbi egyenlőtlenségek, ahol s a háromszög félkerülete, t a háromszög területe, R a háromszög köré írt, r beírt körének sugara. a) 3 3t s, b) 3 3r s, c) 3 3R t. 4 (Ötlet: Az a) résznél végezzük el jobb oldalon a négyzetre emelést, majd alkalmazzuk a. példát, a trigonometrikus területképletet, valamint az előző feladatot! A b) rész könnyen jön az a) részből. A c) résznél használjuk fel az a) részt és a 11. példát!) 8. Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszög oldalaira fennáll az a ( b + c a) + b ( a + c b) + c ( b + a c) 3abc egyenlőtlenség. (Ötlet: Bontsuk fel a zárójeleket a baloldalon, majd megfelelő csoportosítás és kiemelés után alkalmazzuk a koszinusz-tételt, valamint a 7. példa eredményét!) 9. Bizonyítsuk be, hogy bármely hegyesszögű háromszög oldalaira fennáll az bc ac ba b + c a a + c b b + a c egyenlőtlenség. 6
14 Ábrahám Gábor: Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán (Ötlet: Alkalmazzuk a koszinusz tételt, valamint a háromtagú számtani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenséget és a 7. példát.) 10. *Bizonyítsuk be, hogy ha a, b, c egy háromszög három oldala, s a félkerülete, akkor ab bc ca + + 4s. s c s a s b (Ötlet: Leosztva a + b + c -vel az alábbi átalakítást végezhetjük: ab bc ca + + = a + b c b + c a c + a b ( ) ( ) ( ) = cos 1 cos 1 cos ( + γ ) ( + β ) ( + α) 9 = 1 cos 1 cos 1 cos ( + γ ) + ( + β ) + ( + α) = = 1) 3 + cos γ + cosβ + cos α *Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszögben fennáll az R a b c 4r egyenlőtlenség, ahol R a köré írt, r a beírt kör sugara, a, b, c a háromszög oldalai. (Ötlet: Az első egyenlőtlenségnél beszorozva R négyzetével, alkalmazhatjuk, hogy a háromszög oldalai kifejezhetők a háromszög szögeinek és a köré írt köre sugarának segítségével, valamint a háromtagú számtani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenséget, és az 5/a) feladatot! A második egyenlőtlenségnél alkalmazzuk az 1. példában látottakat, majd alkalmazzunk számtani mértani közép közötti összefüggést, hozzuk be a szögek felének tangensét és alkalmazzuk a 3/a feladatot!) 7
15 1. *Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszögre teljesül az a b c t sa sb sc egyenlőtlenség, ahol sa, sb, s c a háromszög súlyvonalai, a, b, c a háromszög oldalai, t a területe. (Ötlet: Szorozzunk be t-vel, majd hozzuk egyszerűbb alakra a bal oldal nevezőit a koszinusz-tétel felhasználásával és alkalmazzuk a trigonometrikus területképletet! Ezután használjuk fel a 14. példa eredményét!) 13. *Bizonyítsuk be, hogy bármely hegyesszögű háromszögre fennáll a t t t + + a b 4t c b 4t a c 4t ahol a, b, c a háromszög oldalai, t a területe. 3 3 (Ötlet: Használjuk a trigonometrikus területképletet, valamint némi átalakítás után a 14. példát!) További feladatok találhatók a [.],[3.], [4.] és [5.] szakirodalomban., Felhasznált irodalom: [1.] Reiman István: Geometria és határterületei [.] Reiman István: Fejezetek az elemi geometriából [3.] D. O. Sklarszkij- N. N. Csencov- I. M Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből / ( Geometriai egyenlőtlenségek és szélsőérték-feladatok) [4.] Titu Andreescu-Zuming Feng: 103 Trigonometry Problems [5.] Ábrahám Gábor: Nevezetes egyenlőtlenségek [6.] KöMaL 8
Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)
Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0
5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?
5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,
9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes
9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell
MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11.E OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai
2. előadás: További gömbi fogalmak
2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással
Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból
Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.
Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =
2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög
MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz
Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva.
Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT Készítette: Szigeti Zsolt Felkészítő tanár: Báthori Éva 2010 október Dolgozatom témája a különböző függvények, illetve mértani
MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ
MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
A pillangótétel és más mesék (az elemi geometria néhány szép tétele és feladata) Bíró Bálint, Eger
Kistérségi tehetséggondozás A pillangótétel és más mesék (az elemi geometria néhány szép tétele és feladata) Bíró Bálint, Eger 1. Bevezetés Az alábbiakban szereplő tételeket és feladatokat két téma köré
VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ. A feladatsor jellemzői
VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Szögfüggvények derékszögű háromszögben, szinusztétel, koszinusztétel, Pitagorasz-tétel. Előzmények Pitagorasz-tétel, derékszögű háromszög trigonometriája,
2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika
2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás
Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!
Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa
Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz
V. Gyakorlat: Vasbeton gerendák nyírásvizsgálata Készítették: Friedman Noémi és Dr. Huszár Zsolt
. Gyakorlat: asbeton gerenák nyírásvizsgálata Készítették: Frieman Noémi és Dr. Huszár Zsolt -- A nyírási teherbírás vizsgálata A nyírási teherbírás megfelelő, ha a következő követelmények minegyike egyiejűleg
Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0
Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,
Elektromágneses hullámok - Hullámoptika
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (c) Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Utolsó módosítás: 2015. január 17. 1 Az elektromágneses hullámok visszaverődési és törési törvényei (1) Kérdés: Mi történik
Analízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................
Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál
Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra
A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.
Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.
NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I.
NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM aipari Mérnöki Kar Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet Dr Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I Sopron 9 javított kiadás TARTALOMJEGYZÉK I Bevezetés a mőszaki mechanika
A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató
OktatásiHivatal A 014/01. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató 1. feladat: Adja meg az összes olyan (x,
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési
PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ
PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok
FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.
FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +
TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255
TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...
MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY
MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.
Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI
A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja
MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:
. Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,
Anyagmozgatás és gépei. 3. témakör. Egyetemi szintű gépészmérnöki szak. MISKOLCI EGYETEM Anyagmozgatási és Logisztikai Tanszék.
Anyagmozgatás és gépei tantárgy 3. témakör Egyetemi szintű gépészmérnöki szak 3-4. II. félé MISKOLCI EGYETEM Anyagmozgatási és Logisztikai Tanszék - 1 - Graitációs szállítás Jellemzője: hajtóerő nélküli,
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 0814 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:
Méréssel kapcsolt 3. számpélda
Méréssel kapcsolt 3. számpélda Eredmények: m l m 1 m 3 m 2 l l ( 2 m1 m2 m l = 2 l2 ) l 2 m l 3 = m + m2 m1 Méréssel kapcsolt 4. számpélda Állítsuk össze az ábrán látható elrendezést. Használjuk a súlysorozat
Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016
Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 2016 Fazekas, Berzsenyi Budapest Berzsenyi Dániel Gimnázium Fazekas Mihály Gimnázium Budapest 2. javított kiadás 2016. március 1115. Technikai el készítés, tördelés:
5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség
5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =
A csavarvonalról és a csavarmenetről
A csavarvonalról és a csavarmenetről A témáoz kapcsolódó korábbi dolgozatunk: Ricard I. A Gépészeti alapismeretek tantárgyban a csavarok mint gépelemek tanulmányozását a csavarvonal ismertetésével kezdjük.
Az analízis néhány alkalmazása
Az analízis néhány alkalmazása SZAKDOLGOZAT Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Szerz : Fodor Péter Szak: Matematika Bsc Szakirány: Matematikai elemz Témavezet : Sikolya Eszter, adjunktus
Mátrixaritmetika. Tartalom:
Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám
Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái
Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Bolyai Intézet Geometria Tanszék Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szakdolgozat Írta: Pásztor Péter Matematika
A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából
A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei a 9. szakközépiskolai osztályban fizikából 2 Minimum követelmények 2 A továbbhaladás feltételei a 10. szakközépiskolai osztályban
MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam
MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok
Ábrahám Gábor: A Jensen-egyenlőtlenség. Megoldások. Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)
Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) I. Geometriai egyenlőtlenségek, szélsőérték feladatok 1. Mivel az [ ] f :0; π ; xa sin xfolytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni,
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok
Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak
Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger
Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger. feladat Állítsunk merőlegeseket egy húrnégyszög csúcsaiból a csúcsokon át nem menő átlókra. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjai
MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM
MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent
4. modul Poliéderek felszíne, térfogata
Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott
2. Halmazelmélet (megoldások)
(megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek
MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT
MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT I. rész: Az alábbi 4 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egy idegen nyelvekkel kapcsolatos online kérdőívet hetven SG-s töltött ki. Tudja, hogy minden
MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET
MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 10. osztály Heti 3 óra Évi 111 óra Készítette: Ellenőrizte: Literáti Márta matematika tanár.. igazgató Év eleji ismétlés 1. óra: Számhalmazok és számok 2. óra: Algebrai
MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat
Bemutatjuk a NAT 01 és a hozzá kapcsolódó új kerettantervek alapján készült MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat 9 10 1 MATEMATIKA A KÖTETEKBEN FELLELHETŐ DIDAKTIKAI ESZKÖZTÁR A SOROZAT KÖTETEI A KÖVETKEZŐ KERETTANTERVEK
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
2. Hatványozás, gyökvonás
2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője
LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás
LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László
Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan
Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................
Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel!
SZAKDOLGOZAT Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! Simon Ju lia Matematika BSc., tana ri szakira ny Te mavezeto : Besenyei A da m adjunktus Alkalmazott Analı zis e s Sza mı ta smatematikai Tansze k Eo
MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok
MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve
Egyetemi matematika az iskolában
Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen
GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)
GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,
Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam
Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................
Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013
UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS
Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9.Ny osztály Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Algebra és számelmélet Alapműveletek az egész és törtszámok körében Műveleti sorrend,
Matematikai programozás gyakorlatok
VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................
Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára
Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási
Elsőfokú egyenletek...
1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1
Analitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
Széchenyi István Egyetem, 2005
Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását
4. előadás. Vektorok
4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához
Lineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 113 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fontos tudnivalók
Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!
Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április
Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1
2. fejezet Halmazelmélet D 2.1 Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenl nek, ha elemeik ugyanazok. A halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele:. D 2.2 Az A halmazt a B halmaz
Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8.
Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8. 1. feladat: Az elszökő hélium Több helyen hallhattuk, olvashattuk az alábbit: A hélium kis móltömege miatt elszökik a Föld gravitációs teréből. Ennek
Felkészülést segítő kérdések Gépszerkesztés alapjai tárgyból
Felkészülést segítő kérdések Gépszerkesztés alapjai tárgyból - Ismertesse a kézi rajzkészítési technikát (mikor használjuk, előny-hátrány stb.)! Kézi technikák közül a gondolatrögzítés leggyorsabb, praktikus
Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész
Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.
Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,
Bolyai János Matematikai Társulat
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév első (iskolai) forduló haladók II.
Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A =
Mátrixok 25. február 23.. Feladat: Legyen A ( 3 2 B ( 3 4 Határozzuk meg A + B, A B, 2A, 3B, 2A 3B,A T és (B T T mátrixokat. A deníciók alapján ( + 3 + 3 + A + B 2 + 4 + + ( 4 2 6 2 ( ( 3 3 2 4 A B 2 4
Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza.
Matematika Számok, műveletek A természetes számok halmaza: Számhalmazok Ha m és n természetes szám, akkor az m természetes számok halmazán. Példa: 6+x=2. n egyenlet nem feltétlenül oldható meg a Az egész
Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris
Valószín ségelmélet házi feladatok
Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott
Az aperturaantennák és méréstechnikájuk
Az aperturaantennák és méréstechnikájuk (tanulmány) Szerzők: Nagy Lajos Lénárt Ferenc Bajusz Sándor Pető Tamás Az aperturaantennák és méréstechnikájuk A vezetékmentes hírközlés, távközlés és távmérés egyik
Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit
Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.
Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert
Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris
MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A
MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő
Matematika POKLICNA MATURA
Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét
Segédlet a menetes orsó - anya feladathoz Összeállította: Dr. Kamondi László egyetemi docens, tárgyelőadó Tóbis Zsolt tanszéki mérnök, feladat felelős
Segélet a menetes orsó - anya felaathoz Összeállította: Dr. Kamoni László egyetemi ocens, tárgyelőaó Tóbis Zsolt tanszéki mérnök, felaat felelős Terhelhetőségi vizsgálat Az ismert geometriai méretek, és