Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Átírás

1 Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05

2

3 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal Egyenes vektoriális egyenlete Vektorok szorzatai Kiegészítő feladatok Térbeli egyenesek és síkok egyenletei 3.. Egyenesek Síkok Síkok és egyenesek Koordináta-rendszer megválasztásával megoldható feladatok Analitikus mértan síkban Derékszögű Descartes féle koordináta rendszer használata Affin koordináta-rendszer használata Kúpszeletek Kör Ellipszis Hiperbola Parabola Geometriai transzformációk Síkizometrák Izometriák és skálázás síkban Izometriák és skálázás térben Homotétiák Inverziók Másodrendű felületek tanulmányozása A gömb Ellipszoid, egy-, kétpalástú hiperboloid, elliptikus, hiperbolikus paraboloid Felületek származtatása Hengerfelület Kúpfelület Konoidfelület Forgásfelület Irodalomjegyzék 47

4

5 . fejezet Vektoralgebra.. Műveletek vektorokkal. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC + DA + CD.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC. Igaz ez az összefüggés bármely négy pontra a térből? 3. Legyen O az ABCDEF szabályos hatszög középpontja. Határozzuk meg az OA, OB, OC és OD vektorokat az OE = p és OF = q vektorok függvényében! 4. Legyen ABC egy tetszőleges háromszög és M a BC oldal felezőpontja. Mutassuk ki, hogy AM = ( ) AB + AC 5. Legyen ABC egy tetszőleges háromszög és M egy pont a BC egyenesen úgy, hogy MB = k MC, ahol k R. Igazoljuk, hogy AB k AC AM =. k 6. Legyenek E és F az ABCD négyszög átlóinak felezőpontjai. Igazoljuk, hogy EF = ( AB + CD) = ( AD + CB). 7. Legyenek E és F az ABCD négyszög AB és CD oldalainak a felezőpontjai. Igazoljuk, hogy EF = ( AD + BC), majd innen vezessük a trapéz középvonalának tételét! 8. Adott egy C C C 3 C 4 C 5 C 6 szabályos hatszög. Igazoljuk, hogy C C + C C 3 + C C 4 + C C 5 + C C 6 = 3 C C 4!

6 4 Vektoralgebra 9. Egy ABC háromszögben megszerkesztjük az AD szögfelezőt és az AE magasságot. Határozzuk meg az AD és AE vektorokat az AB = c és AC = b vektorok valamint az ABC háromszög BC = a, AC = b, AB = c oldalainak függvényében. 0. Adott egy ABCD trapéz, amelynek az AB nagyalapja k-szor nagyobb (k > ) mint a CD kisalap. Legyenek M és N az alapok felezőpontjai. Bontsuk fel az AC, MN és BC vektorokat az AB = a és AD = b vektorok segítségével.. Legyen ABC egy tetszőleges háromszög és G az ABC háromszög súlypontja. Tekintve egy tetszőleges O pontot a térben mutassuk ki, hogy a) ( OG = OA + OB + OC ); 3 a) GA + GB + GC = 0.. Legyen A B C D, A B C D két paralelogramma a térben és A 3, B 3, C 3, D 3 az A A, B B, C C és D D szakaszok felezőpontjai. Mutassuk ki, hogy A 3 B 3 C 3 D 3 paralelogramma! 3. Legyen O, A, B, C, D öt pont a térben. Mutassuk ki, hogy ABCD akkor és csakis akkor paralelogramma, ha OA + OC = OB + OD. 4. Egy O középpontú körben az AB és CD egymásra merőleges húrok az M pontban metszik egymást. Igazoljuk, hogy OA + OB + OC + OD = OM. 5. Legyen A B C, A B C két nem azonos síkban fekvő háromszög és G, G a súlypontjaik. Igazoljuk, hogy A A + B B + C C = 3 G G. 6. Legyen ABC egy háromszög, H a magasságpont, O a háromszög köré írt kör özéppontja és A az A-nak átmérősen ellentett pontja. Mutassuk ki, hogy a) OA + OB + OC = OH; b) HB + HC = HA ; c) HA + HB + HC = HO; d) HA + HB + HC = 3 HG; e) a H, G, O pontok kollineárisak (Euler féle egyenes) és GO = HG. 7. Legyen A A...A n az O középpontú körbe írt szabályos n oldalú sokszög. Igazoljuk, hogy n OA i = 0. i= 8. (Euler kör) Az ABC háromszögben legyen O a háromszög köréírt kör középpontja, H a magasságok metszéspontja és A, B, C, A, B, C, F a BC, CA, AB, HA, HB, HC és OH szakaszok felezőpontjai. Mutassuk ki, hogy az A, B, C, A, B, C pontok az F középpontú körön helyezkednek el. (Vektoriális módszerrel!)

7 Egyenes vektoriális egyenlete 5 9. Legyen O az ABCD konvex négyszög átlóinak metszéspontja. Az OAB, OBC, OCD és OAD háromszögek súlypontját rendre G, H, I illetve K jelöli. Igazoljuk, hogy GHIK paralelogramma! 0. Adott az ABCD paralelogramma, valamint a P, Q, R és S pontok, amelyeket az AP = k AB, BQ = k BC, CR = kcd és DS = kda egyenlőségek határoznak meg (k R ). a) Készítsünk rajzot k = esetén! b) Igazoljuk, hogy P QRS paralelogramma ( k R )!. Az ABCD konvex négyszögben legyen G a BCD háromszög súlypontja és H az ACD háromszög magasságpontja. Bizonyítsuk be, hogy az ABGH négyszög akkor és csak akkor paralelogramma, ha G egybeesik az ACD háromszög köré írt kör középpontjával.. Az ABC háromszög síkjában adottak a D és E pontok úgy, hogy AD = AB + AC és BE = 3BC. Igazoljuk, hogy az A, D és E pontok egy egyenesen helyezkednek el! 3. Bizonyítsuk be, hogy ha A, B, C, D, E, F egy hatszög egymás utáni oldalfelezési pontjai, akkor az AB, CD és EF szakaszokkal háromszög szerkeszthető! 4. Igazoljuk, hogy egy háromszög oldalfelezőivel háromszög szerkeszthető! 5. Egy ABC háromszög szögfelezőivel akkor és csakis akkor szerkeszthető háromszög, ha az ABC háromszög egyenlő oldalú! 6. Adott két tetszőleges háromszög: ABC és A B C. Legyen AA = A B, BB = B C és CC = C A. Bizonyísuk be, hogy az ABC és A B C háromszögnek közös súlypontjuk van!.. Egyenes vektoriális egyenlete 7. Legyen O, A, B három nem kollineáris pont és C egy tetszőleges pont a térben. Bevezetve az OA = a, OB = b, OC = c jelöléseket, mutassuk ki, hogy annak szükséges és elégéges feltétele, hogy: i) C (OAB) m, n R, úgy, hogy c = m a + n b ; ii) C AB m, n R, m + n = úgy, hogy c = m a + n b (az AB egyenes vektoriális egyenlete); iii) C [AB] m, n [0, ], m + n =, úgy, hogy c = m a + n b (az [AB] szakasz vektoriális egyenlete). 8. Legyen O, A, B, C négy nem kollineáris pont és D egy pont a térben. úgy, hogy az A, B, C, D pontok nem koplanárisak. Bevezetve az OA = a, OB = b, OC = c, OD = d jelöléseket, mutassuk ki, hogy i) D (ABC) m, n, p R, m + n + p = úgy, hogy d = m a + n b + p c ;

8 6 Vektoralgebra ii) D int(abc ) m, n, p (0, ), m + n + p = úgy, hogy d = m a + n b + p c. Ebben az esetben m = T BCD, n = T ACD, p = T ABD. T ABC T ABC T ABC 9. Legyen O, A, B, C, D öt pont a térben úgy, hogy az A, B, C, D pontok nem koplanárisak. Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy egy E pont benne legyen az ABCD tetraéder belsejében az, hogy e = m a + n b + p c + qd alakú legyen, ahol OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, OE = e és m, n, p, q (0, ), m + n + p + q =. Ekkor m = V EBCD V ABCD, n = V EACD V ABCD, p = V EABD V ABCD, q = V EABC V ABCD. 30. Legyen A A A 3 A 4 egy tetraéder és O egy tetszőleges pont a térben. a) Igazoljuk, hogy a szemközti élek felezőpontjai által meghatározott egyenesek összefutóak egy G pontban! b) Igazoljuk, hogy a csúcsokat a szemközti oldallapok súlypontjaival összekötő egyenesek szintén a G pontban futnak össze! c) Milyen arányban osztja a G pont a csúcsokat a szemközti oldallapok súlypontjaival összekötő szakaszokat? d) Igazoljuk, hogy GA + GA + GA 3 + GA 4 = 0! e) Igazoljuk, hogy OA + OA + OA 3 + OA 4 = 4 OG! 3. Egy ABC háromszög AB és AC oldalain felvesszük a C és B pontokat úgy, hogy AC = λ BC, AB = µ CB. A BB és CC egyenesek metszik egymást egy M pontban. Legyen O egy tetszőleges pont a térben és bevezetjük a következő jelöléseket: r A = OA, r B = OB, r C = OC, rm = OM. Ekkor igazoljuk, hogy r M = r A λ r B µ r C. λ µ 3. Felhasználva a 3. feladat jelöléseit igazoljuk, hogy a) r A + r B + r C r G =, ahol G a háromszög súlypontja; 3 b) r I = a r A + b r B + c r C, ahol I a háromszögbe írt kör középpontja; a + b + c c) r H = tga r A + tgb r B + tgc r C, ahol H a háromszög magasságpontja; tga + tgb + tgc d) r O = sin A r A + sin B r B + sin C r C, O a háromszög köré írt kör középpontja. sin A + sin B + sin C 33. (Pappusz tétele) Legyen d és d két metsző egyenes és A, B, C d, A, B, C d tetszőleges pontok. Feltételezve, hogy létznek az {M} = AB A B, {N} = AC A C és {P } = BC B C metszéspontok, mutassuk ki, hogy az M, N, P pontok kollineárisak.

9 Egyenes vektoriális egyenlete (Gauss-Newton tétele) Legyen d i, i =, 4 négy egyenes a síkban úgy, hogy bármelyik három közülük nem metszi egymást egy pontban. Ha A ik -val jelöljük a d i és d k egyenesek metszéspontjait, és M, N, P -vel az A A 34, A 4 A 3, A 3 A 4 szakaszok felezőpontjait, akkor mutassuk ki, hogy az M, N, P pontok kollineárisak. Másképp fogalmazva a feladat: Az ABCD négyszög oldalait meghosszabbítva legyen E az AB és CD, míg F a BC és AD egyenesek metszéspontja. Igazoljuk, hogy az AC, BD, EF szakaszok felezőpontjai kollineárisak. 35. Az ABCD paralelogrammában AB = 4, BC = és BD = 3. Legyen G az ABD háromszög súlypontja, I a BCD háromszögbe írt kör középpontjá és M a BC oldal C-hez közelebbi harmadolópontja. Bizonyítsuk be, hogy G, I, M kollineáris pontok! 36. Az ABCD paraleolgramma oldalain felvesszük az E [BC] és F [CD] pontokat. Az ABEF D ötszög oldalainak felezőpontjai K, L, M, N és O (K [AB], L [BE], M [EF ], N [F D] és O [DA]). Bizonyítsuk be, hogy AM, OL és KN összefutó egyenesek!

10 8 Vektoralgebra.3. Vektorok szorzatai 37. Adottak az OA = (4,, 4), OB = (, 4, 3) vektorok. Határozzuk meg az OACB paralelogramma átlóinak hosszát és közrezárt szögüket! 38. Adottak az AB(,, ), BC(,, ), CD(,, ) vektorok. Igazoljuk, hogy ABCD négyzet! 39. Határozzuk meg az a = m + n és b = m n vektorokra epített paralelogramma átlóinak hosszát, ahol az m és n vektorok hossza és a közrezárt szögük mértéke Határozzuk meg az a = m + 4 n és b = m n vektorok szögét, ahol az m és n egysǵvektorok és a közrezárt szögük mértéke Az ABCD négyzet A csúcspontját összekötjük a [BC ] oldal M felezőpontjával és a [DC ] oldal N felezőpontjával. Számítsuk ki az MAN szög mértékét (vektoriálisan!). 4. Legyen ABCDA B C D egy kocka és N a CDD C lap középpontja, M pedig az A B C D lap középpontja. Számítsuk ki: a) az AC és AD hajlásszögének mértékét; b) az AN és AM hajlásszögének mértékét. 43. Legyen ABC egy háromszög és O egy pont a térben. Mutassuk ki, hogy OA BC + OB CA + OC AB = Legyen ABC egy derékszögű háromszög és az AB átfogó hossza c. Számítsuk ki az S = AB AC + BC BA + CA CB. összeget: 45. Legyen ABC egy háromszög és M a BC oldal felezőpontja. Mutassuk ki, hogy a) 4 AM = BC + 4 AB AC ; b) 4AM = AB + AC BC. 46. Legyen ABCD egy téglalap és M egy pont a térben. Mutassuk ki, hogy: a) MA MC = MB MD; b) MA + MC = MB + MD. 47. Adott a h = ( λ) a + λ b merőlegesen a b a vektorra. Mutassuk ki, hogy a b akkor és csakis akkor, ha a b = h b a. 48. Mutassuk ki vektoriálisan, hogy egy háromszög magasságai egy pontban metszik egymást! 49. Az ABCD tetraéderben AB CD, AD BC. Mutassuk ki, hogy: a) AC BD; b) AB + CD = AC + BD = BC + AD ; c) a tetraéder magasságai egy pontban metszik egymást.

11 Vektorok szorzatai Legyen ABC egy háromszög és D, E AB, F, G BC, H, I AC úgy, hogy a megfelelő oldalakat három egyenlő részre osszák. Az ED, FG, HI szakaszokra mint oldalakra megszerkesztjük az EDR, FGS, HTI egyenlő oldalú háromszögeket. Mutassuk ki, hogy az RST háromszög egyenlő oldalú. 5. Határozzuk meg a λ R valós számot úgy, hogy a p = i + j + λ k és q = 3 i + j vektorok által közrezárt szög 45 -os legyen! 5. Határozzuk meg azt a p vektort, amely merőleges az a = 3 i + j + k és b = 8 i j 5 k vektorokra, hossza 4 és az Oy tengellyel tompaszöget zár be! 53. Egy p vektor kollineáris az a(6, 8, 5/) vektorral és tompaszöget zár be az Oz tengellyel. Határozzuk meg a p komponenseit, ha p = Adottak az a(3,, ) és b(,, ) vektorok. Számítsuk ki az alábbi vektorokat: a b, ( a + b) b, ( a + b) ( a b). 55. Határozzuk meg az AB(6, 0, ) és AC(.5,, ) vektorokra épített paralelogramma párhuzamos oldalai közti távolságokat! 56. Adottak az A(,, 0), B(3, 0, 3) és C(5,, 6) pontok. Határozzuk meg az ABC háromszög területét! 57. Adottak az a(, 3, ), b( 3,, ) és c(,, 3) vektorok. Határozzuk meg az ( a b) c és a ( b c) vektorokat. Milyen következtetést tudunk levonni a vektoriális szorzat asszociatívításával kapcsolatosan? 58. Adottak az a (, 0, 3)és a b (,, ) vektorok. Adjunk meg egy vektort, amely merőleges az a és b vektorokra és hosszúsága. 59. Legyen az ( a + b ) ( a b ) kifejezés. Számítsuk ki az értékét és értelmezzük mértanilag. 60. Mikor áll fenn az ( a b ) c = 0 egyenlőség? 6. (Gibbs-képlet) Mutassuk ki, hogy: a) a ( b c ) = ( a c ) b ( a b ) c ; b) ( a b ) c = ( a c ) b ( b c ) a. 6. Tekintsük a VABC szabályos háromoldalú gúlát, melyben AB = BC = AC = a és V A = V B = V C = b (b>a). Mutassuk ki, hogy ( V A V B) V C = b a AB.

12 0 Vektoralgebra 63. Igazoljuk az alábbi azonosságokat: a) tg( a, b ) = a b ; a b b) ( a b ) = a b ( a b ) (Lagrange-féle azonosság). 64. Legyen a, b, c három nem kollineáris vektor. Ha BC = a, CA = b, AB = c, akkor igazoljuk, hogy annak szükséges és elégséges feltétele, hogy létezzen az ABC háromszög az, hogy: a b = b c = c a. Innen vezessük le a szinusz tételt. 65. (Sündisznó tétel) Legyen az [ABCD] tetraéder. Igazoljuk, hogy azon kifele irányuló vektorok összege, amelyek merőlegesek a tetraéder lapjaira, és nagyságuk rendre a megfelelő lap területével egyenlő, a zérus vektor. 66. Adott három vektor: r = OA, r = OB, r3 = OC. Igazoljuk, hogy az R = r r + r r3 + r 3 r vektor merőleges az (ABC ) síkra. 67. Igazoljuk, hogy az A(,, ), B(0,, 5) C(,, ) és D(,, 3) pontok egy síkban vannak! 68. Határozzuk meg azon tertraéder térfogatát, amelynek csúcsai A(,, ), B(5, 5, 4), C(3,, ) és D(4,, 3)! 69. Egy ABCD tetraéder esetén A(,, ), B(3, 0, ), C(,, 3). Határozzuk meg a D csúcs koordinátáit, tudva, hogy a tetraéder térfogata 5 és a D csúcs az Oy tengelyen helyezkedik el. 70. Adottak az a(8, 4, ), b(,, ) és c(,, ) vektorok. Határozzuk meg azt az egységnyi hosszúságú d vektort, amelyik az a és b vektorokkal ugyanakkora szöget zár be, merőleges a c vektorra, valamint az { a, b, c} és { a, b, d} rendszerekről tudjuk, hogy azonos irányításúak (mindkettő jobb- vagy mindkettő balsodrású). 7. Mutassuk ki, hogy ha a b + b c + c a = 0, akkor az a, koplanárisak. b, c vektorok 7. Mutassuk ki, hogy ha ( u v, v w, w u ) = 0 akkor u, v, w koplanárisak. 73. Ellenőrizzük az alábbi összefüggéseket: a) ( a b ) ( c d ) = ( a c )( b d ) ( a d )( b c ) b) ( a b ) ( c d ) = ( a, c, d ) b ( b, c, d ) a = ( a, b, d ) c ( a, b, c ) d. 74. Az ABC háromszögben legyenek A, B, C, a magasságok talppontjai. Bevezetve a BC = a, CA = b, AB = c, AA = h a, BB = h b, CC = h c jelöléseket mutassuk ki, hogy: a) b c = h a a ; b) h a = a a ( b c ); c) a h a + b h b + c h c = Adottak az a, b, c nem koplanáris vektorok. Mutassuk ki, hogy ( a b, b c, c a ) = 0.

13 Kiegészítő feladatok.4. Kiegészítő feladatok 76. Az ABC háromszög oldalain vegyük fel az A (BC), B (CA) és C (AB) pontokat, úgy hogy ezek a pontok a szakaszt ugyanolyan arányban osszák. Legyen {A } = BB CC, {B } = CC AA és {C } = AA BB. Mutassuk ki, hogy: a) Az ABC és A B C háromszögek súlypontja egybeesik. b) Az AA, BB, CC lehetnek egy háromszög oldalai. 77. Adott az ABCDE ötszög és P [DE]. Jelöljük rendre G,G,G 3,G 4 -el az ADE, AP B, ABC, AP C háromszögek súlypontjait. Mutassuk ki, hogy G G G 3 G 4 paralelogramma akkor és csak akkor ha P a [DE] szakasz felezőpontja. 78. Adott az A, B, C, D pontok egy O középpontú körön. Ha létezik x, y R pontok amelyekre x OA + y OB = x OB + y OC = x OC + y OD = x OD + y OA, akkor mutassuk ki, hogy ABCD négyzet. 79. Azt mondjuk, hogy A halmaz rendelkezik az (S) tulajdonsággal ha ( ) u A esetén léteznek az v, w A vektorok, amelyekre v w és u = v + w. a) Mutassuk ki, hogy minden n 6 létezik n nem nulla vektor, amelyek rendelkeznek (S) tulajdonsággal. b) Mutassuk ki, hogy minden (S) tulajdonságú halmaznak van legalább 6 eleme.

14 Vektoralgebra

15 . fejezet Térbeli egyenesek és síkok egyenletei.. Egyenesek. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(3, 4, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + 3z 0 = 0 síkra; { x y + 3z + = 0 d) párhuzamos az e: 5x + 4y z 7 = 0 e) párhuzamos az Ox tengellyel. egyenessel;. Határozzuk meg az A(,, 3), B(,, 4) pontokon átmenő egyenesnek a koordinátasíkokkal való metszéspontjait. E:(0, 5 3, 0 3 ), ( 5, 0, 5), (0, 5, 0). 3. Adottak az u : x + 4y + z = 0, x y z + 4 = 0, u : x Határozzuk meg: a)annak feltételét, hogy az u és u metsző egyenesek legyenek. b)az egyenesek merőlegességének feltételét. l = y+4 m c) Az a) és b) feltételek mellett határozzuk meg a metszéspont koordinátáit. = z n d) A P (, 4, ) u pont u -re vonatkoztatott szimmetrikusának koordinátáit. egyenesek. 4. Az Oxyz derékszögű koordináta-rendszerhez viszonyítva adottak az A(,, 3), B(3, 4, ) és C(, 0, ) pontok. Igazoljuk, hogy ezek a pontok lehetnek egy kocka csúcspontjai és határozzuk meg a többi csúcspont koordinátáit. E: D(4,, 0), E (, 3, ), F (, 5, 0), G (, 3, ), H (0,, ), E (6,, ), F (5, 3, 4), G (3,, 5), H (4,, 3). 5. Igazoljuk, hogy a térben elhelyezkedő P i(x i, y i, z i ), (i =,, 3) pontok akkor és csak akkor kollineárisok, ha x3 x x x = y3 y y y = z3 z z z. 6. Igazoljuk, hogy két párhuzamos egyenes közötti d távolság kiszámítható a d = r u u összefüggés segítségével, ahol r e két egyenes egy-egy pontját összekapcsoló tetszőleges vektor, u pedig az adott egyenesekkel párhuzamos vektor. Alkalmazás: a két párhuzamos egyenes legyen u : x = y = z 3 és u : x = y = z 3. E: 7.

16 4 Térbeli egyenesek és síkok egyenletei 7. Legyenek A(,, ), B(, 3, ), C(5,, 0) az AB alapú egyenlő szárú trapéz csúcspontjai. Határozzuk meg a D, negyedik csúcspont koordinátáit. E: D (, 0, ), D (, 0 7, ) Síkok Írjuk fel annak a síknak az egyenletét különböző formákban, amely átmegy az A(, 3, ), B( 4,, 5), C(0,, 0) pontokon. E: x + 6y + 0z 6 = Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, 3) ponton és párhuzamos a v (,, 0), v ( 3,, 4) vektorokkal. E: 4x + 4y + z + = Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely az Ox, Oy, Oz koordinátatengelyeket az A, B, C pontokban metszi, ahol A(, 0, 0)B(0, 3, 0), C(0, 0, ). E: 6x y + 3z + 6 = 0. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy a P (7, 5, ) ponton és a koordinátatengelyeken ugyanakkora pozitív szakaszokat határoz meg. E: x + y + z 4 = 0. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az A(,, 3) ponton és párhuzamos a x + 4y z + 5 = 0 síkkal. E: x + 4y z + 3 = 0 3. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely a) átmegy az M (,, 3) és M (,, 4) pontokon és merőleges a x 3y + z + = 0 síkra; { x y + 3z = 0 b) átmegy a P (,, 6) ponton és tartalmazza a d: egyenest; x + z 3 = 0 { x + 3z = 0 c) átmegy az A(,,-) ponton és merőleges a d: x y + z = 0 egyenesre. E: a) 6x + y 6z + 4 = 0; b) 5x + y + 0z 39 = 0; c) 3x + y z 8 = Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy a P : x + y z = 0, P : x 3y+z+ = 0, P 3 : x+y+z 3 = 0 síkok metszéspontján és párhuzamos a P 4 : x+y+z = 0 síkkal. 5. E: x + y + z 4 = 0. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely az A(,, 3) és B(4, 5, 3) pontok által meghatározott szakasz felezőmerőleges síkja. E: x + 3y 3z 9 = 0. { x + y z = 0 6. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely tartalmazza a d: x 3y + z + = 0 és a) átmegy az origón; egyenest b) párhuzamos az Oy tengellyel. E: a)4x 5y + z = 0; b) 7x z 5 = Síkok és egyenesek 7. Igazoljuk, hogy az a paralelepipedon, amelynek nempárhuzamos oldallapjai a x+y z+6 = 0, x y + z + 8 = 0 és x + y + z + 0 = 0 síkokban vannak, derékszögű.

17 Síkok és egyenesek 5 8. Az Oxyz derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(α, 0, ), B( α, 0, ), C(0, β, ), D(0, β, ) pontok. a)írjuk fel az ABCD tetraéder lapjainak és magasságainak egyenleteit. b) Határozzuk meg annak feltételét, hogy ez a tetraéder szabályos legyen. c) Ezen utóbbi esetben határozzuk meg egy lap területét. E: b)α, β = ±, c) Adottak a P 0 (x 0, y 0, z 0 ) pont és a d i : x xi l i = y yi m i = z zi n i, (i =, ) egyenesek. Határozzuk meg az adott egyenesekre támaszkodó és adott ponton áthaladó egyenes egyenleteit. Alkalmazás: adottak a P 0 (,, ) pont és a d : x = y+ = z+ 3, illetve d : 3x y = 0, x z = 0 egyenesek. E: x = y = z Legyen π a d : x 5 = z és d : x 6 = z+ egyenesek által meghatározott sík, π pedig az origón és a P (, 0, ) pontokon áthaladó 3x y z + 4 = 0 síkra merőleges sík. 0 = y a) Határozzuk meg a π és π síkok hajlásszögét. = y b) Igazoljuk, hogy a P pont és a d, d egyenesek metszéspontjából a π síkra bocsátott merőleges által meghatározott π sík átmegy az origón. E: a) 60 ; b) π : x 5y + z = 0.. Határozzuk meg annak feltételét, hogy az u i : x xi l i párhuzamosok legyenek ugyanazzal a síkkal. = y yi m i = z zi n i, (i =,, 3) egyenesek. Igazoljuk, hogy egy tetraéder oldaléleinek felezőpontjain áthaladó és a szemközti élekre merőleges síkok egy pontban találkoznak. 3. Írjuk fel azon u egyenes egyenleteit, amely áthalad a π : 3x + y + z = 0 síknak a d : x y + z + = 0, x + y z 3 = 0 egyenessel való metszéspontját, a π síkban található és merőleges a d egyenesre. E: x 3/5 = y /5 = z+/5. 4. Adottak a P (0, 0, ), Q(,, 0) pontok és az u : x y z 3 = 0, 3x y 5 = 0 egyenes. a) Határozzuk meg a Q ponton és a P-ből u-ra bocsátott merőlegesen áthaladó π sík egyenletét. b) Határozzuk meg az u és P Q egyenesek közös merőlegesének egyenleteit, valamint a két egyenes közötti minimális távolságot. 5. Adottak a d : x + y = 0, z + = 0, d : x + z = 0, y 3 = 0 egyenesek. Az u egyenes áthalad a P (,, ) ponton és merőleges a d egyenesre, míg az u egyenes a P (, 0, 0) ponton halad át és párhuzamos d -vel. Határozzuk meg: a) Az u és u egyenesek közös merőlegesének egyenleteit. b) Az u és u egyenesek közötti távolságot. a) x =, z = 0; b) d =. 6. Adott a π : 6x 7y 4z 9 = 0 sík valamint a d : x egyenesek. = y+ = z 3 és d : x+7 9 = y+0 = z+9 8 a) Határozzuk meg a d és d egyenesek d 3 közös merőlegesének egyenleteit és a két egyenes közötti távolságot. b) Határozzuk meg az origóból a d = A A egyenesre bocsátott u merőleges egyenes egyenleteit valamint az origónak a d-től mért távolságát, ahol A i = π d i (i =, ). c) Számítsuk ki az A A A 3 háromszög területét, ha A 3 = π d 3. E: a) d 3 : x + 4y + z + = 0, x 3y + 3z + 4 = 0, d = 5 4 ; b).

18 6 Térbeli egyenesek és síkok egyenletei 7. Határozzuk meg a P 0 (x 0, y 0, z 0 ) ponton áthaladó és a d: l = y y m = z z n egyenesre merőleges egyenes egyenleteit. Alkalmazás: határozzuk meg a P 0 (,, 3) ponton áthaladó x+ d: 3 = y 4 = z egyenesre merőleges egyenest. E: x+ = y 6 = z 3 9. { 8. Adott a d : x 3 = y 8 7x y z 0 = 0 3 = z 3 4 és d : egyenes. Igazoljuk, hogy a 3x + y z = 0 két egyenes egy síkban van és írjuk fel ennek a síknak az egyenletét. x x E: 7x y z 0 = 0 9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely tartalmazza a d : x 3 = y+4 = z egyenest és párhuzamos a d : x+5 4 = y = z egyenessel. E:x y = Tekintsük az A(α,0,0), B(0,β,0), C (0,0,γ) pontokat úgy, hogy α + β + γ =. Mutassuk ki, hogy az ABC sík átmegy egy rögzített ponton. 3. Egy ortonormált koordinátarendszerben adottak az M (,, ) és M ( 3, 0, ) pontok. a) Határozzuk meg az M és M pontokon átmenő síksor egyenletét. b) Határozzuk meg a síksor azon P síkját, amely merőleges az xoy síkra. c) Határozzuk meg a síksor azon síkját, amely merőleges a P síkra. E: b) x 5y + 3 = 0 { 9x y + 3z 6 = 0 3. Írjuk fel a d : és d 5x y + z 6 = 0 : x = y+ 3 = z 5 4 egyenesek által meghatározott sík egyenletét és számítsuk ki a d és a d egyenesek közti távolságot. E: x + y + z 9 = 0, Igazoljuk, hogy az x = 3t, y = + 3t, z = és az x = + 5s, y = + 3s, z = + 0s egyenesek metszik egymást és határozzuk meg a metszéspont koordinátáit! E: (,, ). 34. Az m paraméter milyen értékére a d : x = + 3t, y = + mt, z = 3 t egyenesnek nincs közös pontja a π : x + 3y + 3z = 0 síkkal? E: m =. 35. Az a és d paraméterek milyen értékeire helyezkedik el a d : x = z 3 egyenes a π : ax + y z + d = 0 síkban. E: a =, d =. { 3x y + z + 3 = Az a és c paraméterek milyen értékeire merőleges a d : 4x 3y + 4z + = 0 egyenes a π : ax + 8y + cz + = 0 síkra! E: a = 5, c =. 3 = y+ 37. Határozzuk meg a d : x = y+ 3 = z és d : x+ 3 = y 4 = z 3 egyenesek közös u merőlegesét és távolságát. E: u : 5x + 8y 9z + 34 = 0, 3y + z + 3 = 0, d = Írjuk fel a P (,, ) ponton átmenő és az x y + z = 0, x + y + z + = 0 síkokra merőleges sík egyenletét. E: x + y + 3z = Írjuk fel azon sík egyenletét, amely átmegy a P (,, ), P (,, ) pontokon és merőleges az x + y z = 0 síkra. E: x y = Írjuk fel az M ( 3,, 5) pontból a 4x + y 3z + 3 = 0, x y + z = 0 síkokra bocsátott merőlegesek által meghatározott síknak az egyenletét. E: 5x + 7y + 9z 44 = Tanulmányozzuk az α : x + y z = 3, β : x y z =, γ : 3x + 3y 6z = 5 síkok kölcsönös helyzetét. 4. Számítsuk ki az M(3,, ) pontnak az α : x + 4y 0z 45 = 0 síktól való távolságát. E: 3.

19 Síkok és egyenesek Határozzuk meg az α : x y z + 7 = 0 és a β : x 4y 4z + 7 = 0 párhuzamos síkok közti távolságot! E:. 44. Határozzuk meg annak a síknak az egyenletét, amely párhuzamos a x y z 6 = 0 síkkal és 7 egységnyi távolságra van ettől a síktól! E: x y z + 5 = 0, x y z 7 = Határozzuk meg a P ( 5, 4, ) pontnak az d : x + 3 = y 5 = z 3 egyenesre eső P vetületét, majd a P pontnak a d egyenesre vonatkozó P szimmetrikusát! 46. Határozzuk meg a P(5,,) pontnak az x + y z = 5 síkra eső vetületét! E: P ( 5, 3, 5), P ( 5,, 3 5 ). E: A ( 0 3, 3, ) Határozzuk meg a Q(4, 5, 4) pont szimmetrikusát arra a síkra nézve, amely tartalmazza a { x + y + z 3 = 0 d : x y + z = 0 d : { x + z = 0 y = 0 egyeneseket! E: Q (, 7, ). 48. Határozzuk meg a d egyenes vetületét a π síkra, ahol d : { x + y + z + 3 = 0 x 3y z = 0 és π : 3x + y z = 0. E: x+ 49 = y 3 = z Határozzuk meg a d : x + y z = 0, x = 0 egyenesnek a π : x + y + z = 0 síkra eső merőleges vetületének egyenletét. E: x+/3 = y+/3 0 = z / Határozzuk meg a d : x+ 3 = y 3 = z egyenesnek a π : x y + z = 0 síkra eső merőleges vetületének egyenleteit. E: x+/6 = y 3/6 = z 5/ Határozzuk meg a d egyenes π sík szerinti d szimmetrikusát, ahol d : x = y + 3 = z és π : x + y + z + 3 = 0. E:π d = {A}, A( 5 9, 5 3, 9 ), d : x 5/9 = y+5/3 3 = z+/9. 5. Határozzuk meg az M 0 (3,, ) pont távolságát d : x = y+ = z 3 3 egyenestől! 53. Írjuk fel a x + y 3z = 5 és a x + 3y + z + = 0 síkok által meghatározott lapszögek szögfelező síkjainak egyenletét. E: x y 5z 6 = 0, 3x + 4y z 4 = Számítsuk ki az α : x + 3y + z + = 0 és β : 3x + y z = 6 síkok hajlásszögének mértékét. E: Számítsuk ki az xoy sík és az M M egyenes által alkotott szög mértékét, ha M (,, 3) és M (,, 4). E: sin β= 56. Az A A A 3 A 4 tetraéder csúcspontjai A (4, 4, ), A (,, 5), A 3 (0, 7, 3), A 4 (, 9, 3). Számítsuk ki annak a szögnek a mértékét, amelyet az A 4 csúcspont az A A A 3 háromszög súlypontja által meghatározott egyenes az (A A A 3 ) síkkal alkot. E: sin α= 05

20 8 Térbeli egyenesek és síkok egyenletei 57. Határozzuk meg két összefutó egyenes által meghatározott szögek szögfelező egyeneseinek egyenleteit. Alkalmazás: a két adott egyenes d : 3x y z + = 0, x y + z 6 = 0 és d : x+3 4 = y+5 7 = z 3. E: u : x 7 = y 8 = z 5, u : x 7 5 = y 8 7 = z Az Ox, Oy és Oz tengelyeken felvesszük az A, B és C pontokat úgy, hogy teljesüljön az OA + OB + 3 OC = a összefüggés. Igazoljuk, hogy az ABC sík áthalad egy rögzített ponton, és határozzuk meg ennek a pontnak a mértani helyét, amikor az a értéke változik. 59. Keressük meg annak feltételét, hogy négy sík áthaladjon egy közös ponton. 60. Határozzuk meg az a élű kocka valamely élének távolságát egy olyan testátlótól, amellyel nincsen közös pontja. E:a /. 6. Adottak a d : x + y = 0, x z + 3 = 0 és d : 4x 9y + 83 = 0, y + 4z 79 = 0 egyenesek. a) Igazoljuk, hogy az adott egyenesek rendelkeznek egy P 0 közös ponttal és merőlegesek egymásra. b) Írjuk fel a két egyenes által meghatározott sík egyenletét és igazoljuk, hogy ez nem merőleges az OP 0 egyenesre. 6. Adott a π : x + y + z + = 0 sík és a d : y z + = 0, x + z = 0 egyenes a) Igazoljuk, hogy az egyenes a síkban fekszik. b) Írjuk fel a megadott síkra, az egyenes mentén merőlegesen emelt sík egyenletét. c) Írjuk fel a π sík d egyenesre merőleges egyeneseinek egyenleteit. E: P 0 (3, 5, 6). E: b) y z + = 0, c) x = x 0, y y 0 = z + z 0. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely merőleges a z = 0 síkra és tartalmazza az A(,, ) pontból a d : x = 0, y z + = 0 egyenesre bocsátott merőleges egyenest. E: x + y + = 0. Írjuk fel a 3x y + 4z = 0 síkból a koordinátasíkok által kimetszett háromszög Oz tengelyen fekvő csúcsához tartozó magassága tartóegyenesének egyenleteit és számítsuk ki a magasság hosszát. 65. Adottak az u : x = y+ = z λ és u : x+ = y = z egyenesek. a) Határozzuk meg a λ értékét úgy, hogy a két egyenes metsse egymást. 66. E: x 6 = y = z 3 5, b) Ha π a fenti metsző egyenesek síkja, határozzuk meg az A(,, 0) pontnak a π szerinti szimmetrikusát. c) Határozzuk meg az A pontnak az u és u egyenesekre eső merőleges vetületein áthaladó egyenes egyenleteit. E: a) λ = 5 4 ; b) A ( 8 3, 9 3, 8 3 ); c) x 8 = y 63 = z 95. Írjuk fel az x+y z = 0, x y+z + = 0 és x y+z = 0, x+y z + = 0 egyeneseket metsző és az x + y + z = 0 síkkal párhuzamos egyenesek egyenleteit. E: x 0 = y = z+λ. 67. Adottak az u : x 3 6 = y+ 3 = z és u : x 3 4 = y+ 3 = z egyenesek. Határozzuk meg a) az u és u egyenesek által meghatározott szögek szögfelezőinek egyenleteit. b) az A(, 3, ) pontnak az u és u egyenesekre eső A és A merőleges vetületeit. c) a P 0 A A háromszög területét, ahol P 0 az u és u egyenesek metszéspontja.

21 Síkok és egyenesek Adottak az u : x meg = y+ a) az u és u egyenesek közötti távolságot; = z és u : x = t +, y = t, z = t + egyenesek. Határozzuk b) az u és u egyenesek által meghatározott sík egyenletét. E: a) 3 3, b) x z = A π sík Ax + By + Cz + D = 0 egyenletében szereplő minden együttható nullától különböző. Igazoljuk, hogy ez a sík áthalad hét nyolcadon a koordináta-síkok által meghatározott nyolcadok közül. 70. Határozzunk meg egy olyan pontot az Oz tengelyen, amely egyenlő távolságra fekszik a π : x + 9y 0z 9 = 0 és π : 6x y + 5z 9 = 0 síkoktól. E: A (0, 0, 8 5 ), A (0, 0, /7). 7. Határozzuk meg egy tetraéder térfogatát, ha oldallapjainak egyenletei x + y + z = 0, x y = 0, x z = 0 és z = E: 6. Írjuk fel azon egyenes egyenleteit, amely az x + 3y z = 0 síkban fekszik, az x = y = z egyenesre támaszkodik és merőleges a 4x y z 3 = 0 síkra. E: x 4 = y = z. 73. Írjuk fel azon egyenes egyenleteit, amely áthalad az A(, 0, ) pont x = y = z egyenes szerinti A szimmetrikusán és merőleges a x y z = 0 síkra. E: A ( 3, 3, 3 ). 74. Határozzuk meg a P 0 (, 0, 0) pontnak az x = y = z egyenesre eső vetületén áthaladó és a d : x y = 0, y z = 0 valamint d : x y = 0, x z = 0 egyenesekre támaszkodó egyenes egyenleteit. 75. Határozzuk meg azon egyenes egyenleteit, amely áthalad az A(,, 0) pont x y + z = 0 sík szerinti A szimmetrikusán, párhuzamos a x + y + 3z = 0 síkkal és merőleges az x = y+ = z egyenesre. E: x /3 5 = y 5/3 = z+4/ Adottak a d : x = y+3 = z+ 3 és d : x 3 l = y+ m = z 5 n egyenesek. a) Milyen feltételek mellett metszi egymást a két egyenes. b) Határozzuk meg annak feltételét, hogy a két metsző egyenes merőleges is legyen egymásra. c)határozzuk meg a metszéspont koordinátáit. E: a) 4l + m n = 0, l m n 3, b) l = n, c) (,, ). 77. Adott a P (,, 0) pont és a d: x z 3 = 0, y + z + 3 = 0 egyenes. a) Írjuk fel az origón és a P-ből d-re bocsátott merőlegesen áthaladó sík egyenletét. b) Határozzuk meg a d és OP egyenesek közös merőlegesének egyenleteit. E: a) x + y + z = 0, b) x 3 = y + 3 = z. 78. Írjuk fel azon síkok általános egyenletét, amelyeknek az x = 0, y = 0 és x + y = 0 egyenletű síkok által meghatározott hasábbal való metszete egy szabályos háromszög. E: x y + 3z + m = Igazoljuk, hogy az origón áthaladó egyenes egyenletei felírhatók az alábbi alakban: x sin θ cos ϕ = y sin θ sin ϕ = z cos θ.

22 0 Térbeli egyenesek és síkok egyenletei 80. Adottak az Ox, Oy és Oz tengelyeken elhelyezkedő A, B és C pontok. Igazoljuk, hogy ha az AB egyenes áthalad egy P rögzített ponton és a BC egyenes a rögzített P ponton, akkor az AC egyenes is áthalad egy rögzített P 3 ponton, és a P, P, P 3 pontok kollineárisok. 8. Igazoljuk, hogy egy derékszög vetülete valamely síkra akkor és csak akkor lesz derékszög, ha a szög egyik szára párhuzamos a síkkal a másik pedig nem merőleges rá. 8. Ha egy tetraéderben két szembefekvő élpár élei merőlegesek egymásra, igazoljuk, hogy: a) A harmadik élpár élei is merőlegesek egymásra. b) A tetraéder magasságai egy pontban találkoznak. c) A szembefekvő élek közös merőlegesei a magasságok metszéspontjában futnak össze. d) A szembefekvő élek felezőpontjait összekötő szakaszok kongruensek. e) Az oldallapokra azok súlypontjaiban emelt merőlegesek összefutó egyenesek. f) A szembefekvő élek négyzetösszege állandó. 83. Igazoljuk, hogy egy tetszőleges tetraéderben: a) A csúcspontokat a szembefekvő lapok súlypontjaival összekötő, valamint a szembefekvő élek felezőpontjait összekötő egyenesek összefutók. b) Az egyes lapok belső szögfelezőin keresztül az illető lapra emelt merőleges síkok rendelkeznek egy közös egyenessel. c) Valamely lap belső szögfelezőjén keresztül a lapra emelt merőleges sík és a szomszédos két lap külső szögfelezőjén keresztül az illető lapokra emelt merőleges síkok ugyancsak rendelkeznek egy közös egyenessel. d) Az élek felezőmerőleges síkjai rendelkeznek egy közös ponttal..4. Koordináta-rendszer megválasztásával megoldható feladatok 84. Legyen ABCDA B C D egy kocka, amelynek élhosszúsága AB = a. Tekintjük az M (AB), N (AD) és P (AA ) úgy, hogy AM = α, AN = β és AP = γ. Igazoljuk, hogy az ABCDA B C D kockába írt gömb akkor és csakis akkor érinti az (MNP ) síkot, ha fennáll a következő összefügges: αβγ αβ + βγ + γα α β + β γ + γ α = a. 85. Egy V ABCD szabályos gúla alapjának az élhosszúsága AB = BC = CD = DA = a és a V A = V B = V C = V D = a. A V A él M felezőpontján keresztül szerkesztünk egy a V C élre merőleges síkot, amely meghatároz egy síkmetszetet a gúlában. Határozzuk meg a síkmetszet kerületét, területét, valamint a síkmetszet által meghatározott két test térfogatának arányát. 86. Legyen ABCDA B C D egy AB = a élhosszúságú kocka, M és P a BC illetve AA élek felezőpontjai, O a kocka középpontja, O az A B C D alsó lap középpontja, S pedig az OO felezőpontja. Határozzuk meg az (M P S) sík által meghatározott síkmetszetet a kockában és ennek a területét. 87. Legyen ABCDA B C D egy a élhosszúságú kocka, M és P a BC illetve AA élek felezőpontjai,o az A B C D alsó lap középpontja. Határozzuk meg az (MP O ) sík által meghatározott síkmetszetet a kockában és ennek a területét, kerületét. 88. Legyen ABCDA B C D egy a élhosszúságú kocka. A [CD, [CB és [CC félegyeneseken felvesszük az X, Y, Z pontokat úgy, hogy CX = a + α, CY = a + β, CZ = a + γ, ahol α, β, γ R +. Igazoljuk, hogy

23 Koordináta-rendszer megválasztásával megoldható feladatok i) az (XY Z) sík akkor és csakis akkor metszi hatszögben a kockát, ha αβ, βγ, γα (0, a ); ii) ha MNP QRS az előbbi alpontban meghatározott hatszög, akkor az MQ, NR, P S átlók akkor és csakis akkor összefutóak, ha a 3 = a(αβ + βγ + γα) + αβγ.

24 Térbeli egyenesek és síkok egyenletei

25 3. fejezet Analitikus mértan síkban 3.. Derékszögű Descartes féle koordináta rendszer használata. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (, ) ponton és párhuzamos a a(3, ) vektorral; (ii) áthalad az origón és párhuzamos a b(3, 3) vektorral; (iii) áthalad az A(, 7) ponton és párhuzamos az Oy tengellyel; (iv) áthalad az M (, 4) és M (, 5) pontokon.. Egy egyenes az x = 4t, y = + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg az egyenes irányvektorát és irénytényezőjét. 3. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek (i) iránytényezője m = 5 és átmegy az A(, ) ponton; (ii) iránytényezője m = 8 és az Oy tengelyen egy hosszúságú szakaszt határoz meg; (iii) áthalad az A(, 3) ponton és az Ox tengellyel 60 -os szöget zár be. (iv) átmegy a B(,7) ponton és merőleges az n(4, 3) vektorra. 4. Adott az ABC háromszög: A(, ), B(, 3), C(4, 7). Írjuk fel az oldalak valamint az A csúcshoz tartozó oldalfelező és magasság egyenleteit! E: x =, 3x + y 5 = Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az A(, 5) ponton és a koordinátatengelyeken egyenlő hosszúságú szakaszokat határoz meg. E: x + y ± 3 = 0, x + y ± 7 = 0. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az A(, 6) ponton és az egyenes valammint a koordinátatengelyek által meghatározott háromszög területe 50. E: 3x + 4y 60 = 0, x + 3y 30 = Adottak az ax + by + c = 0 és x = x 0 + lt, y = y 0 + mt egyenesek. Adjunk meg szükséges és elégséges feltételt ahhoz, hogy az egyenesek legyenek () metszőek; () párhuzamosak. 8. Adottak egy háromszög oldalainak az M (, ), M (3, 4), M 3 (5, ) felezőpontjai. Határozzuk meg az oldalak egyenleteit! 9. Egy paralelogramma két oldalának egyenletei: x + y = 0 és x y + 5 = 0. Írjuk fel a paralelogramma másik két oldalának az egyenletét, ha tudjuk, hogy az átlók az M(3, ) pontban metszik egymást. E: x + y 6 = 0, x y 3 = 0.

26 4 Analitikus mértan síkban 0. Igazoljuk, hogy az a háromszög, amelynek csúcsai az A(3, 3), B(6, 3) és C(3, 6) pontok derékszögű és egyenlőszárú! Írjuk fel a háromszög oldalfelező merőlegeseinek az egyenleteit! E: x y = 0, x = 9, y = 9. Az origóból egy d egyenesre húzott merőleges talppontja az A(, ) pont. Írjuk fel a d egyenes egyenletét! E: x + y 5 = 0.. Határozzuk meg a B(, ) pontnak a d : x + y + = 0 egyenesre eső vetületét! ( E: B 6 5, 7 ) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a C(, 3) ponton és egyenlő távolságra van az M (, 0) és M (, ) pontoktól! E: x + y 7 = 0, 7x + y + = Határozzuk meg a D(, ) pont szimmetrikusainak a koordinátáit a d : x + y + = 0 egyenesre, majd az E(, 4) pontra vonatkozóan! E: D ( 3, 0), D (, 0). 5. Határozzuk meg a d : x + y = 0 egyenes szimmetrikusát a d : x y = 0 egyenesre majd az A(, 5) pontra vonatkozóan! E: x + y = 0, x y + 3 = Adott három, A(8, 0), B(3, 6), C(0, 3) pont. A BC egyenes az Ox tengelyt D-ben, az AB egyenes az Oy tengelyt E-ben metszi. Igazoljuk, hogy az [OB], [AC], [DE] szakaszok felezőpontjai kollineárisak! E: felezőpontok: (3/, 3), (4, 3/), ( 3/, 4/5). 7. Adott egy háromszög két csúcsa: A( 6, ) és B(, ), valamint a H(, ) ortocentrum. Határozzuk meg a harmadik C csúcs koordinátáit! E:C(, 4). 8. Határozzuk meg az ABC háromszög köré írt kör középpontjának koordinátáit, ha A(, ( ), B(3, ) 6 és C(5, 6). E: 3, 5 ) Határozzuk meg az alábbi egyenesek által bezárt szögeket ) y = x + és y = x + ; ) y = 3x 4 és x = 3 + t, y = t; 3) y = x/5 + és 4x + 3y = 0; 4) x + 3y = 0 és x y + 5 = 0; 5) x 3y + = 0 és x = t, y = 3 + t. 6 E: ) arctg 3; ) 45 ; 3) arctg(6/7); 4) arccos ; 5) arctg Határozzuk meg azt az A(3, ) ponton áthaladó egyenest, amely 45 -os szöget zár be a x + 3y = 0 egyenlettel megadott egyenessel. E: x 5y + = 0, 5x + y 6 = 0.. Határozzuk meg az x+3y = 0, x = 3, x y+3 = 0 egyenesek által meghatározott háromszög csúcsait és szögeit. E: csúcsok: (3, 3), (3, ), ( 9 5, 3 5 ).. Adott az A(, ), B(5, 4) és C(, 0) csúcsú háromszög. Határozzuk meg az A szög külső és belső szögfelezőjének az egyenletét! E: x + 5y + = 0, 5x + y 3 = Határozzuk meg az O(0, 0), A(, ) és B( 5, 7) pontok távolságát a 6x + 8y 5 = 0 egyenestől. E: 3, 7 0, Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az A(8, 9) ponton és amelynek az x y + 5 = 0 valamint az x y = 0 egyenesek közé eső szakaszának hossza 5.

27 Derékszögű Descartes féle koordináta rendszer használata 5 5. Határozzuk meg az alábbi párhuzamos egyenesek közti távolságot ) x y + 3 = 0 és x 4y + 7 = 0; ) 3x 4y + = 0 és x = + 4t, y = 3t ; 3) x = t, y = 3 + t és x = s, y = 5 4s. E: ) Határozzuk meg az x + y 0 = 0 és x y + = 0 egyenesek által meghatározott szög azon szögfelezőjét, amely áthalad az A(, 3) ponton. E: y = Egy ABC háromszög esetén A(, 5), B(, 3), C(7, 0). Határozzuk meg a magasságok hosszát! E: 5, 3, Adottak az A(, ), B(3, ), C(, 5) pontok. Határozzuk meg a B pont távolságát az A csúcshoz tartozó oldalfelezőtől! E: Igazoljuk, hogy az x 3y + = 0, x 3y + = 0, 3x + y = 0 és 3x + y + 0 = 0 egyenesek által meghatározott négyszög egy négyzet. Határozzuk meg a területét! E: Egy négyzet egyik oldalának egyenlete x + 3y 5 = 0. Határozzuk meg a négyzet többi oldalának az egyenleteit, ha tudjuk, hogy a négyzet szimmetriaközéppontja a P (, 0) pontban található. E: 3x + y + 3 = 0, 3x + y 9 = 0, x + 3y 7 = Adottak egy háromszög két oldalának egyenletei: 3x y + = 0 és x y + = 0 valamint az egyik oldalfelezőjének az egyenlete x y = 0. Határozzuk meg a harmadik oldal egyenletét! E: 5x 3y = 0 vagy x = Határozzuk meg egy háromszög oldalainak egyenletét, ha ismerjük az egyik csúcsot: B(, ) valamint a különböző csúcsokhoz tartozó magasság 3x 4y+7 = 0 és szögfelező x y 5 = 0 egyenleteit! 33. Állapítsuk meg, hogy az M(, ) pont az x = 0, x+y 4 = 0, x+y + = 0 egyenesek által meghatározott háromszög belsejében van-e. E: Igen. 34. Adottak az x + y = 0, 5x + 4y 7 = 0, x 4y + = 0 egyenesek. Határozzuk meg a magasságok egyenleteit anélkül, hogy kiszámítanánk a csúcsok koordinátáit. 35. Adott egy M(3, 3) pont és egy ABC háromszög az oldalak egyenleteivel: AB : x+y 4 = 0, BC : 3x + y = 0, AC : x 3y 4 = 0. ) Számítsuk ki az ABC háromszög területét! ) Az M pontnak az AO, OB és AB egyeneskre eső vetületét rendre P, Q, R-rel jelölve, bizonyítsuk be, hogy a P, Q, R pontok egy egyenesen vannak. 3) Írjuk fel az AB és P Q egyenesek által meghatározott sugársor egyenletét. Határozzuk meg a sugársor N(0, 5) ponton átmenő egyenesének az egyenletét. E: ) A(4, 0), B(0, ), C(, ), T = 5, ) P (3, 0), Q(0, 3), R(, ), 3) x + y 5 = Igazoljuk, hogy bármely ABC háromszögben a H magasságpont, a G súlypont és az O oldalfelező merőlegesek metszéspontja egy egyenesen vannak (Euler egyenes). 37. Egy ABCD négyszög csúcsai az A(4, 3), B(5, 4), C(, 3), D( 3, ) pontok. ) Számítsuk ki az E és F pontok koordinátáit, ha {E} = AB CD és {F } = BC AD. ) Igazoljuk, hogy az [AC], [BD] és [EF ] átlók felezőpontjai kollineárisak. (Az ABCDEF alakzatot teljes négyszögnek nevezzük.)

28 6 Analitikus mértan síkban 38. Egy ABC háromszög területe 3, két csúcsa pedig az A(3,) és B(, 3) pontok. Határozzuk meg a C csúcs koordinátáit az alábbi esetekben: ) a C csúcs az Oy tengelyen van; ) az ABC háromszög súlypontja az Ox tengelyen fekszik. 39. Egy paralelogramma területe 8, két csúcsa az A(, ) és B(5,-3) pont. A két átló az Oy tengelyen metszi egymást. Határozzuk meg a másik két csúcs koordinátáit! 40. E: C (, 37 3 ), D ( 5, 49 3 ); C (, 3 ), D ( 5, 3 ). Írjuk fel az A(, ) ponton áthaladó és a B(, 0) és C(, ) pontoktól egyenlő távolságra levő egyenesek egyenletét! E: x =. 4. Az xoy síkban adottak az A(6, 0), B(, 5) és C(0, 4) pontok. a) Számítsuk ki az ABC háromszög oldalainak hosszát! b) Igazoljuk, hogy az OABC négyszög körbeírható! c) Igazoljuk, hogy az O-ból a háromszög oldalaira bocsájtott merőlegesek talppontjai kollineárisak. E: a) 5, 3, ; b) A (, ), B ( 4 3, 36 3 ), C (3, 3). 4. Egy derékszögű xoy koordináta-rendszerben adottak az A(a, 0), B(b, 0) rögzített pontok és az M(0, λ), λ R pontok. Határozzuk meg: a) az AM egyenes egyenletét; b) a B ponton áthaladó és AM-re merőleges egyenes egyenletét; c) az előző két pontban meghatározott egyenesek metszéspontjának mértani helyét! 43. Legyen ABC egy tetszőleges háromszög és M a [BC] szakasz felezőpontja. Jelöljünk N-nel egy olyan pontot az AB egyenesről, amelyre A (BN). Az ABC háromszög H ortocentrumának a vetületei a BAC illetve a ĈAN szögek szögfelezőire legyenek P illetve Q. Igazoljuk, hogy az M, P és Q pontok kollineárisak. 44. Adottak a C és C körök, amelyek kivülről érintik egymást a T pontban. Tekintjük az M illetve az N változó pontokat a C illetve a C körökről úgy, hogy az MT és NT egyenesek legyenek merőlegesek egymásra a T pontban. Határozzuk meg az [M N] szakasz felezőpontjának mértani helyét! 3.. Affin koordináta-rendszer használata 45. (Meneláosz tétele) Legyen ABC egy tetszőleges háromszög és A, B C három kollineáris pont úgy, hogy A BC, B AC, C AB. Ekkor igazoljuk, hogy A B A C B C B A C A C =. (3.) B Fordítva, ha az A, B és C pontok úgy helyezkednek el a BC, CA, AB egyeneseken, hogy kettő közülük a háromszög oldalain és a harmadik pedig az egyik oldal meghosszabításán van, vagy mindhárom az oldalak meghosszabításán található és fennáll az () összefüggés, akkor a három pont kollineáris. 46. (Ceva tétele) Legyen ABC egy tetszőleges háromszög és AA, BB CC hátom összefutó egyenes, ahol A BC, B AC és C AB. Ekkor fennáll a következő összefüggés: Fordítva, A B A C B C B A C A C =. (3.) B

29 Affin koordináta-rendszer használata 7. ha az A BC, B AC, C AB pontok a háromszög oldalain vannak és fennáll a () összefüggés, akkor az AA, BB és CC egyenesek összefutóak;. ha az A, B és a C pontok közül az egyik pont a háromszög egyik oldalán és a másik kettő a másik két oldal meghosszabbításán található és fennáll a () összefüggés, akkor az AA, BB és CC egyenesek összefutóak vagy párhuzamosak. 47. Legyen ABCDEF egy teljes négyszög (ABCD négyszög és AB CD = {E}, AD BC = {F }). Igazoljuk, hogy az AC, BD és EF átlók felezőpontjai kollineárisak (Gauss-Newton egyenes)! 48. (Pappusz tétele) Legyen a, b két metsző egyenes és A, A, A 3 a, B, B, B 3 b. Igazoljuk, hogy a {C } = A B 3 A 3 B, {C } = A B 3 A 3 B és {C 3 } = A B A B pontok kollineárisak! 49. Legyen ABCD egy paralelogramma és legyen P (AB), Q (BC), R (CD) és S (DA) úgy, hogy P R AD, QS AB. Igazoljuk, hogy a P Q és RS egyenesek vagy párhuzmosak az AC átlóval vagy a metszéspontjuk az AC átlón található!

30 8 Analitikus mértan síkban

31 4. fejezet Kúpszeletek 4.. Kör. a) Adott a C : x + y + 4x y 0 = 0 kör és a P (3, ) pont. Állapítsuk meg, hogy a P pont a C kör belsejében van-e.. 3. b)mi a feltétele annak, hogy egy M(a, b) pont a C : (x x 0 ) +(y y 0 ) = r kör belső illetve külső pontja legyen? Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad az A, B pontokon és középpontja rajta van a d egyenesen, ha a) A(4, ), B(0, 3), d : x y 4 = 0; b) A(, ), B(4,-3), d : 3x y 9 = 0. E: a) (x ) + (y + ) = 8; b) (x 7 ) + (y 4 ) = Írjuk fel a C kör P pontjába szerkesztett érintő egyenletét, ha a) C : x + y = 5, P (, ); b) C : x + y + x 6y 5 = 0, P (3, 6). E: a) x y 5 = 0; b) 4x + 3y 30 = Adott a C kör és a d egyenes. Írjuk fel az adott egyenessel párhuzamos körérintők egyenletét, ha a) C : x + y 3 = 0, d : 4x + 6y 5 = 0; b) C : x + y + x 4y 0 = 0, d : 3x + 4y = 0. E: a) e : x + 3y + 3 = 0, e : x + 3y 3 = 0; b) e : 3x + 4y + 0 = 0, e : 3x + 4y 30 = Adott a C kör és a d egyenes. Írjuk fel az adott egyenesre merőleges körérintők egyenletét, ha a) C : x + y + 5x = 0, d : 4x 3y + 7 = 0; b) C : x + y x 8y + 47 = 0, d : x + y 4 = 0. E: a) e : 3x + 4y + 0 = 0, e : 3x + 4y 5 = 0; b) e : x y 3 = 0, e : x y 3 = Írjuk fel a P pontra illeszkedő, C kört érintő egyenesek egyenletét, ha a) C : x + y 5 = 0, P (, 3); b) C : x + y + 4x + 6y = 0, P ( 3, 4). E: a) e : x + y 5 = 0, e : x y + 5 = 0; b) e : 3x + 4y 7 = 0, e : 4x 3y + 4 = Egy kör középpontja M 0 (3, 6) és sugara r = Írjuk fel a P (, ) pontból a körhöz húzott érintők egyenleteit! E: 7x 6y 9 = 0, 9x + y 5 = 0.

32 30 Kúpszeletek 8. Írjuk fel az M 0 középpontú d egyenest érintő kör egyenletét, ha 9. a) M 0 (4, 7), d : 3x 4y + = 0; b) M 0 (6, 7), d : 5x y 4 = 0. E: a) x + y 8x 4y + 56 = 0; b) x + y x 4y + 49 = 0. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely mindkét koordinátatengelyt érinti és áthalad a P (4, 8) ponton. E: (x 0) + (y 0) = 400, (x 4) + (y 4) = Határozzuk meg annak a körnek az egyenletét, amely az Ox tengelyt a (0, 0) pontban érinti és áthalad a P (3, 6) ponton. E: x + y 5 y = 0.. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely a d : 4x + 3y 7 = 0 egyenest a 3 abszcisszájú pontban érinti és áthalad a P (, 5) ponton. E: (x 7) + (y 8) = 5.. Az r = 6 sugarú kör a d : 5x y + 30 = 0 egyenest az x = 6 abszcisszájú pontban érinti. Írjuk fel ennek a körnek az egyenletét! E: (x 6) + (y + 9) = 6, (x + 4) + (y 9) = Írjuk fel a koordináta-tengelyek szögfelezőit érintő körök általános egyenletét! E: (x + a) + y = a, x + (y + b) = b, a, b R. 4. Egy egyenlő szárú háromszög csúcspontja C( 6, 8), a beírt körének egyenlete pedig x + y = 50. Írjuk fel az egyenlő szárú háromszög oldalegyeneseinek egyenleteit! E: AB : 3x + 4y 9 = 0, BC : 7x + y + 50 = 0, AC : x 7y 50 = Írjuk fel a d, d, d 3 egyeneseket érintő körök egyenleteit, ha a) d : y = 0, d : 3x 4y + = 0, d 3 : 5x + y 00 = 0; b) d : 3x 4y = 0, d : 3x 4y 6 = 0, d 3 : y = 0. E: a) (x ) + (y 36 7 ) = ( 36 7 ), (x ) + (y + 45) = 45, (x 5) + (y 3) = 9, (x 5 7 ) + (y 60 7 ) = ( 60 7 ) ; b) (x 3 5 ) + (y 5 ) = , (x 5 ) + (y 8 5 ) = Adott három pont P, Q, R. Írjuk fel a három ponton átmenő kör egyenletét, ha a) P (0, 0), Q(, ), R(8, 0); b) P (0, 0), Q(, 3), R(, ). E: a)x + y 8x 6y = 0; b) x + y 4x 3y = Ellipszis 7. Igazoljuk, hogy az x a + y b = ellipszis átmérőjének végpontjaiba szerkesztett érintők párhuzamosak. (Átmérőnek nevezzük azt a húrt, amelyik áthalad az ellipszis középpontján.) 8. Írjuk fel az ellipszis kanonikus egyenletét, ha a) nagytengelye 8 egység, kistengelye 6 egység; b) a = 4, c = 3; c) b = 4, c = 7; d) az ellipszis áthalad a P (0, 5), P (6, 3) pontokon; e) az ellipszis fókuszai F (3, 0), F ( 3, 0) és egy pontja P (4, 5 ). E: a) x 6 + y x 9 = ; b) 6 + y x 7 = ; c) 65 + y 9x 576 = ; d) y x 50 = ; e) 5 + y 6 =.