Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan"

Átírás

1 Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05

2

3 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal Egyenes vektoriális egyenlete Vektorok szorzatai Kiegészítő feladatok Térbeli egyenesek és síkok egyenletei 3.. Egyenesek Síkok Síkok és egyenesek Koordináta-rendszer megválasztásával megoldható feladatok Analitikus mértan síkban Derékszögű Descartes féle koordináta rendszer használata Affin koordináta-rendszer használata Kúpszeletek Kör Ellipszis Hiperbola Parabola Geometriai transzformációk Síkizometrák Izometriák és skálázás síkban Izometriák és skálázás térben Homotétiák Inverziók Másodrendű felületek tanulmányozása A gömb Ellipszoid, egy-, kétpalástú hiperboloid, elliptikus, hiperbolikus paraboloid Felületek származtatása Hengerfelület Kúpfelület Konoidfelület Forgásfelület Irodalomjegyzék 47

4

5 . fejezet Vektoralgebra.. Műveletek vektorokkal. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC + DA + CD.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC. Igaz ez az összefüggés bármely négy pontra a térből? 3. Legyen O az ABCDEF szabályos hatszög középpontja. Határozzuk meg az OA, OB, OC és OD vektorokat az OE = p és OF = q vektorok függvényében! 4. Legyen ABC egy tetszőleges háromszög és M a BC oldal felezőpontja. Mutassuk ki, hogy AM = ( ) AB + AC 5. Legyen ABC egy tetszőleges háromszög és M egy pont a BC egyenesen úgy, hogy MB = k MC, ahol k R. Igazoljuk, hogy AB k AC AM =. k 6. Legyenek E és F az ABCD négyszög átlóinak felezőpontjai. Igazoljuk, hogy EF = ( AB + CD) = ( AD + CB). 7. Legyenek E és F az ABCD négyszög AB és CD oldalainak a felezőpontjai. Igazoljuk, hogy EF = ( AD + BC), majd innen vezessük a trapéz középvonalának tételét! 8. Adott egy C C C 3 C 4 C 5 C 6 szabályos hatszög. Igazoljuk, hogy C C + C C 3 + C C 4 + C C 5 + C C 6 = 3 C C 4!

6 4 Vektoralgebra 9. Egy ABC háromszögben megszerkesztjük az AD szögfelezőt és az AE magasságot. Határozzuk meg az AD és AE vektorokat az AB = c és AC = b vektorok valamint az ABC háromszög BC = a, AC = b, AB = c oldalainak függvényében. 0. Adott egy ABCD trapéz, amelynek az AB nagyalapja k-szor nagyobb (k > ) mint a CD kisalap. Legyenek M és N az alapok felezőpontjai. Bontsuk fel az AC, MN és BC vektorokat az AB = a és AD = b vektorok segítségével.. Legyen ABC egy tetszőleges háromszög és G az ABC háromszög súlypontja. Tekintve egy tetszőleges O pontot a térben mutassuk ki, hogy a) ( OG = OA + OB + OC ); 3 a) GA + GB + GC = 0.. Legyen A B C D, A B C D két paralelogramma a térben és A 3, B 3, C 3, D 3 az A A, B B, C C és D D szakaszok felezőpontjai. Mutassuk ki, hogy A 3 B 3 C 3 D 3 paralelogramma! 3. Legyen O, A, B, C, D öt pont a térben. Mutassuk ki, hogy ABCD akkor és csakis akkor paralelogramma, ha OA + OC = OB + OD. 4. Egy O középpontú körben az AB és CD egymásra merőleges húrok az M pontban metszik egymást. Igazoljuk, hogy OA + OB + OC + OD = OM. 5. Legyen A B C, A B C két nem azonos síkban fekvő háromszög és G, G a súlypontjaik. Igazoljuk, hogy A A + B B + C C = 3 G G. 6. Legyen ABC egy háromszög, H a magasságpont, O a háromszög köré írt kör özéppontja és A az A-nak átmérősen ellentett pontja. Mutassuk ki, hogy a) OA + OB + OC = OH; b) HB + HC = HA ; c) HA + HB + HC = HO; d) HA + HB + HC = 3 HG; e) a H, G, O pontok kollineárisak (Euler féle egyenes) és GO = HG. 7. Legyen A A...A n az O középpontú körbe írt szabályos n oldalú sokszög. Igazoljuk, hogy n OA i = 0. i= 8. (Euler kör) Az ABC háromszögben legyen O a háromszög köréírt kör középpontja, H a magasságok metszéspontja és A, B, C, A, B, C, F a BC, CA, AB, HA, HB, HC és OH szakaszok felezőpontjai. Mutassuk ki, hogy az A, B, C, A, B, C pontok az F középpontú körön helyezkednek el. (Vektoriális módszerrel!)

7 Egyenes vektoriális egyenlete 5 9. Legyen O az ABCD konvex négyszög átlóinak metszéspontja. Az OAB, OBC, OCD és OAD háromszögek súlypontját rendre G, H, I illetve K jelöli. Igazoljuk, hogy GHIK paralelogramma! 0. Adott az ABCD paralelogramma, valamint a P, Q, R és S pontok, amelyeket az AP = k AB, BQ = k BC, CR = kcd és DS = kda egyenlőségek határoznak meg (k R ). a) Készítsünk rajzot k = esetén! b) Igazoljuk, hogy P QRS paralelogramma ( k R )!. Az ABCD konvex négyszögben legyen G a BCD háromszög súlypontja és H az ACD háromszög magasságpontja. Bizonyítsuk be, hogy az ABGH négyszög akkor és csak akkor paralelogramma, ha G egybeesik az ACD háromszög köré írt kör középpontjával.. Az ABC háromszög síkjában adottak a D és E pontok úgy, hogy AD = AB + AC és BE = 3BC. Igazoljuk, hogy az A, D és E pontok egy egyenesen helyezkednek el! 3. Bizonyítsuk be, hogy ha A, B, C, D, E, F egy hatszög egymás utáni oldalfelezési pontjai, akkor az AB, CD és EF szakaszokkal háromszög szerkeszthető! 4. Igazoljuk, hogy egy háromszög oldalfelezőivel háromszög szerkeszthető! 5. Egy ABC háromszög szögfelezőivel akkor és csakis akkor szerkeszthető háromszög, ha az ABC háromszög egyenlő oldalú! 6. Adott két tetszőleges háromszög: ABC és A B C. Legyen AA = A B, BB = B C és CC = C A. Bizonyísuk be, hogy az ABC és A B C háromszögnek közös súlypontjuk van!.. Egyenes vektoriális egyenlete 7. Legyen O, A, B három nem kollineáris pont és C egy tetszőleges pont a térben. Bevezetve az OA = a, OB = b, OC = c jelöléseket, mutassuk ki, hogy annak szükséges és elégéges feltétele, hogy: i) C (OAB) m, n R, úgy, hogy c = m a + n b ; ii) C AB m, n R, m + n = úgy, hogy c = m a + n b (az AB egyenes vektoriális egyenlete); iii) C [AB] m, n [0, ], m + n =, úgy, hogy c = m a + n b (az [AB] szakasz vektoriális egyenlete). 8. Legyen O, A, B, C négy nem kollineáris pont és D egy pont a térben. úgy, hogy az A, B, C, D pontok nem koplanárisak. Bevezetve az OA = a, OB = b, OC = c, OD = d jelöléseket, mutassuk ki, hogy i) D (ABC) m, n, p R, m + n + p = úgy, hogy d = m a + n b + p c ;

8 6 Vektoralgebra ii) D int(abc ) m, n, p (0, ), m + n + p = úgy, hogy d = m a + n b + p c. Ebben az esetben m = T BCD, n = T ACD, p = T ABD. T ABC T ABC T ABC 9. Legyen O, A, B, C, D öt pont a térben úgy, hogy az A, B, C, D pontok nem koplanárisak. Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy egy E pont benne legyen az ABCD tetraéder belsejében az, hogy e = m a + n b + p c + qd alakú legyen, ahol OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, OE = e és m, n, p, q (0, ), m + n + p + q =. Ekkor m = V EBCD V ABCD, n = V EACD V ABCD, p = V EABD V ABCD, q = V EABC V ABCD. 30. Legyen A A A 3 A 4 egy tetraéder és O egy tetszőleges pont a térben. a) Igazoljuk, hogy a szemközti élek felezőpontjai által meghatározott egyenesek összefutóak egy G pontban! b) Igazoljuk, hogy a csúcsokat a szemközti oldallapok súlypontjaival összekötő egyenesek szintén a G pontban futnak össze! c) Milyen arányban osztja a G pont a csúcsokat a szemközti oldallapok súlypontjaival összekötő szakaszokat? d) Igazoljuk, hogy GA + GA + GA 3 + GA 4 = 0! e) Igazoljuk, hogy OA + OA + OA 3 + OA 4 = 4 OG! 3. Egy ABC háromszög AB és AC oldalain felvesszük a C és B pontokat úgy, hogy AC = λ BC, AB = µ CB. A BB és CC egyenesek metszik egymást egy M pontban. Legyen O egy tetszőleges pont a térben és bevezetjük a következő jelöléseket: r A = OA, r B = OB, r C = OC, rm = OM. Ekkor igazoljuk, hogy r M = r A λ r B µ r C. λ µ 3. Felhasználva a 3. feladat jelöléseit igazoljuk, hogy a) r A + r B + r C r G =, ahol G a háromszög súlypontja; 3 b) r I = a r A + b r B + c r C, ahol I a háromszögbe írt kör középpontja; a + b + c c) r H = tga r A + tgb r B + tgc r C, ahol H a háromszög magasságpontja; tga + tgb + tgc d) r O = sin A r A + sin B r B + sin C r C, O a háromszög köré írt kör középpontja. sin A + sin B + sin C 33. (Pappusz tétele) Legyen d és d két metsző egyenes és A, B, C d, A, B, C d tetszőleges pontok. Feltételezve, hogy létznek az {M} = AB A B, {N} = AC A C és {P } = BC B C metszéspontok, mutassuk ki, hogy az M, N, P pontok kollineárisak.

9 Egyenes vektoriális egyenlete (Gauss-Newton tétele) Legyen d i, i =, 4 négy egyenes a síkban úgy, hogy bármelyik három közülük nem metszi egymást egy pontban. Ha A ik -val jelöljük a d i és d k egyenesek metszéspontjait, és M, N, P -vel az A A 34, A 4 A 3, A 3 A 4 szakaszok felezőpontjait, akkor mutassuk ki, hogy az M, N, P pontok kollineárisak. Másképp fogalmazva a feladat: Az ABCD négyszög oldalait meghosszabbítva legyen E az AB és CD, míg F a BC és AD egyenesek metszéspontja. Igazoljuk, hogy az AC, BD, EF szakaszok felezőpontjai kollineárisak. 35. Az ABCD paralelogrammában AB = 4, BC = és BD = 3. Legyen G az ABD háromszög súlypontja, I a BCD háromszögbe írt kör középpontjá és M a BC oldal C-hez közelebbi harmadolópontja. Bizonyítsuk be, hogy G, I, M kollineáris pontok! 36. Az ABCD paraleolgramma oldalain felvesszük az E [BC] és F [CD] pontokat. Az ABEF D ötszög oldalainak felezőpontjai K, L, M, N és O (K [AB], L [BE], M [EF ], N [F D] és O [DA]). Bizonyítsuk be, hogy AM, OL és KN összefutó egyenesek!

10 8 Vektoralgebra.3. Vektorok szorzatai 37. Adottak az OA = (4,, 4), OB = (, 4, 3) vektorok. Határozzuk meg az OACB paralelogramma átlóinak hosszát és közrezárt szögüket! 38. Adottak az AB(,, ), BC(,, ), CD(,, ) vektorok. Igazoljuk, hogy ABCD négyzet! 39. Határozzuk meg az a = m + n és b = m n vektorokra epített paralelogramma átlóinak hosszát, ahol az m és n vektorok hossza és a közrezárt szögük mértéke Határozzuk meg az a = m + 4 n és b = m n vektorok szögét, ahol az m és n egysǵvektorok és a közrezárt szögük mértéke Az ABCD négyzet A csúcspontját összekötjük a [BC ] oldal M felezőpontjával és a [DC ] oldal N felezőpontjával. Számítsuk ki az MAN szög mértékét (vektoriálisan!). 4. Legyen ABCDA B C D egy kocka és N a CDD C lap középpontja, M pedig az A B C D lap középpontja. Számítsuk ki: a) az AC és AD hajlásszögének mértékét; b) az AN és AM hajlásszögének mértékét. 43. Legyen ABC egy háromszög és O egy pont a térben. Mutassuk ki, hogy OA BC + OB CA + OC AB = Legyen ABC egy derékszögű háromszög és az AB átfogó hossza c. Számítsuk ki az S = AB AC + BC BA + CA CB. összeget: 45. Legyen ABC egy háromszög és M a BC oldal felezőpontja. Mutassuk ki, hogy a) 4 AM = BC + 4 AB AC ; b) 4AM = AB + AC BC. 46. Legyen ABCD egy téglalap és M egy pont a térben. Mutassuk ki, hogy: a) MA MC = MB MD; b) MA + MC = MB + MD. 47. Adott a h = ( λ) a + λ b merőlegesen a b a vektorra. Mutassuk ki, hogy a b akkor és csakis akkor, ha a b = h b a. 48. Mutassuk ki vektoriálisan, hogy egy háromszög magasságai egy pontban metszik egymást! 49. Az ABCD tetraéderben AB CD, AD BC. Mutassuk ki, hogy: a) AC BD; b) AB + CD = AC + BD = BC + AD ; c) a tetraéder magasságai egy pontban metszik egymást.

11 Vektorok szorzatai Legyen ABC egy háromszög és D, E AB, F, G BC, H, I AC úgy, hogy a megfelelő oldalakat három egyenlő részre osszák. Az ED, FG, HI szakaszokra mint oldalakra megszerkesztjük az EDR, FGS, HTI egyenlő oldalú háromszögeket. Mutassuk ki, hogy az RST háromszög egyenlő oldalú. 5. Határozzuk meg a λ R valós számot úgy, hogy a p = i + j + λ k és q = 3 i + j vektorok által közrezárt szög 45 -os legyen! 5. Határozzuk meg azt a p vektort, amely merőleges az a = 3 i + j + k és b = 8 i j 5 k vektorokra, hossza 4 és az Oy tengellyel tompaszöget zár be! 53. Egy p vektor kollineáris az a(6, 8, 5/) vektorral és tompaszöget zár be az Oz tengellyel. Határozzuk meg a p komponenseit, ha p = Adottak az a(3,, ) és b(,, ) vektorok. Számítsuk ki az alábbi vektorokat: a b, ( a + b) b, ( a + b) ( a b). 55. Határozzuk meg az AB(6, 0, ) és AC(.5,, ) vektorokra épített paralelogramma párhuzamos oldalai közti távolságokat! 56. Adottak az A(,, 0), B(3, 0, 3) és C(5,, 6) pontok. Határozzuk meg az ABC háromszög területét! 57. Adottak az a(, 3, ), b( 3,, ) és c(,, 3) vektorok. Határozzuk meg az ( a b) c és a ( b c) vektorokat. Milyen következtetést tudunk levonni a vektoriális szorzat asszociatívításával kapcsolatosan? 58. Adottak az a (, 0, 3)és a b (,, ) vektorok. Adjunk meg egy vektort, amely merőleges az a és b vektorokra és hosszúsága. 59. Legyen az ( a + b ) ( a b ) kifejezés. Számítsuk ki az értékét és értelmezzük mértanilag. 60. Mikor áll fenn az ( a b ) c = 0 egyenlőség? 6. (Gibbs-képlet) Mutassuk ki, hogy: a) a ( b c ) = ( a c ) b ( a b ) c ; b) ( a b ) c = ( a c ) b ( b c ) a. 6. Tekintsük a VABC szabályos háromoldalú gúlát, melyben AB = BC = AC = a és V A = V B = V C = b (b>a). Mutassuk ki, hogy ( V A V B) V C = b a AB.

12 0 Vektoralgebra 63. Igazoljuk az alábbi azonosságokat: a) tg( a, b ) = a b ; a b b) ( a b ) = a b ( a b ) (Lagrange-féle azonosság). 64. Legyen a, b, c három nem kollineáris vektor. Ha BC = a, CA = b, AB = c, akkor igazoljuk, hogy annak szükséges és elégséges feltétele, hogy létezzen az ABC háromszög az, hogy: a b = b c = c a. Innen vezessük le a szinusz tételt. 65. (Sündisznó tétel) Legyen az [ABCD] tetraéder. Igazoljuk, hogy azon kifele irányuló vektorok összege, amelyek merőlegesek a tetraéder lapjaira, és nagyságuk rendre a megfelelő lap területével egyenlő, a zérus vektor. 66. Adott három vektor: r = OA, r = OB, r3 = OC. Igazoljuk, hogy az R = r r + r r3 + r 3 r vektor merőleges az (ABC ) síkra. 67. Igazoljuk, hogy az A(,, ), B(0,, 5) C(,, ) és D(,, 3) pontok egy síkban vannak! 68. Határozzuk meg azon tertraéder térfogatát, amelynek csúcsai A(,, ), B(5, 5, 4), C(3,, ) és D(4,, 3)! 69. Egy ABCD tetraéder esetén A(,, ), B(3, 0, ), C(,, 3). Határozzuk meg a D csúcs koordinátáit, tudva, hogy a tetraéder térfogata 5 és a D csúcs az Oy tengelyen helyezkedik el. 70. Adottak az a(8, 4, ), b(,, ) és c(,, ) vektorok. Határozzuk meg azt az egységnyi hosszúságú d vektort, amelyik az a és b vektorokkal ugyanakkora szöget zár be, merőleges a c vektorra, valamint az { a, b, c} és { a, b, d} rendszerekről tudjuk, hogy azonos irányításúak (mindkettő jobb- vagy mindkettő balsodrású). 7. Mutassuk ki, hogy ha a b + b c + c a = 0, akkor az a, koplanárisak. b, c vektorok 7. Mutassuk ki, hogy ha ( u v, v w, w u ) = 0 akkor u, v, w koplanárisak. 73. Ellenőrizzük az alábbi összefüggéseket: a) ( a b ) ( c d ) = ( a c )( b d ) ( a d )( b c ) b) ( a b ) ( c d ) = ( a, c, d ) b ( b, c, d ) a = ( a, b, d ) c ( a, b, c ) d. 74. Az ABC háromszögben legyenek A, B, C, a magasságok talppontjai. Bevezetve a BC = a, CA = b, AB = c, AA = h a, BB = h b, CC = h c jelöléseket mutassuk ki, hogy: a) b c = h a a ; b) h a = a a ( b c ); c) a h a + b h b + c h c = Adottak az a, b, c nem koplanáris vektorok. Mutassuk ki, hogy ( a b, b c, c a ) = 0.

13 Kiegészítő feladatok.4. Kiegészítő feladatok 76. Az ABC háromszög oldalain vegyük fel az A (BC), B (CA) és C (AB) pontokat, úgy hogy ezek a pontok a szakaszt ugyanolyan arányban osszák. Legyen {A } = BB CC, {B } = CC AA és {C } = AA BB. Mutassuk ki, hogy: a) Az ABC és A B C háromszögek súlypontja egybeesik. b) Az AA, BB, CC lehetnek egy háromszög oldalai. 77. Adott az ABCDE ötszög és P [DE]. Jelöljük rendre G,G,G 3,G 4 -el az ADE, AP B, ABC, AP C háromszögek súlypontjait. Mutassuk ki, hogy G G G 3 G 4 paralelogramma akkor és csak akkor ha P a [DE] szakasz felezőpontja. 78. Adott az A, B, C, D pontok egy O középpontú körön. Ha létezik x, y R pontok amelyekre x OA + y OB = x OB + y OC = x OC + y OD = x OD + y OA, akkor mutassuk ki, hogy ABCD négyzet. 79. Azt mondjuk, hogy A halmaz rendelkezik az (S) tulajdonsággal ha ( ) u A esetén léteznek az v, w A vektorok, amelyekre v w és u = v + w. a) Mutassuk ki, hogy minden n 6 létezik n nem nulla vektor, amelyek rendelkeznek (S) tulajdonsággal. b) Mutassuk ki, hogy minden (S) tulajdonságú halmaznak van legalább 6 eleme.

14 Vektoralgebra

15 . fejezet Térbeli egyenesek és síkok egyenletei.. Egyenesek. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(3, 4, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + 3z 0 = 0 síkra; { x y + 3z + = 0 d) párhuzamos az e: 5x + 4y z 7 = 0 e) párhuzamos az Ox tengellyel. egyenessel;. Határozzuk meg az A(,, 3), B(,, 4) pontokon átmenő egyenesnek a koordinátasíkokkal való metszéspontjait. E:(0, 5 3, 0 3 ), ( 5, 0, 5), (0, 5, 0). 3. Adottak az u : x + 4y + z = 0, x y z + 4 = 0, u : x Határozzuk meg: a)annak feltételét, hogy az u és u metsző egyenesek legyenek. b)az egyenesek merőlegességének feltételét. l = y+4 m c) Az a) és b) feltételek mellett határozzuk meg a metszéspont koordinátáit. = z n d) A P (, 4, ) u pont u -re vonatkoztatott szimmetrikusának koordinátáit. egyenesek. 4. Az Oxyz derékszögű koordináta-rendszerhez viszonyítva adottak az A(,, 3), B(3, 4, ) és C(, 0, ) pontok. Igazoljuk, hogy ezek a pontok lehetnek egy kocka csúcspontjai és határozzuk meg a többi csúcspont koordinátáit. E: D(4,, 0), E (, 3, ), F (, 5, 0), G (, 3, ), H (0,, ), E (6,, ), F (5, 3, 4), G (3,, 5), H (4,, 3). 5. Igazoljuk, hogy a térben elhelyezkedő P i(x i, y i, z i ), (i =,, 3) pontok akkor és csak akkor kollineárisok, ha x3 x x x = y3 y y y = z3 z z z. 6. Igazoljuk, hogy két párhuzamos egyenes közötti d távolság kiszámítható a d = r u u összefüggés segítségével, ahol r e két egyenes egy-egy pontját összekapcsoló tetszőleges vektor, u pedig az adott egyenesekkel párhuzamos vektor. Alkalmazás: a két párhuzamos egyenes legyen u : x = y = z 3 és u : x = y = z 3. E: 7.

16 4 Térbeli egyenesek és síkok egyenletei 7. Legyenek A(,, ), B(, 3, ), C(5,, 0) az AB alapú egyenlő szárú trapéz csúcspontjai. Határozzuk meg a D, negyedik csúcspont koordinátáit. E: D (, 0, ), D (, 0 7, ) Síkok Írjuk fel annak a síknak az egyenletét különböző formákban, amely átmegy az A(, 3, ), B( 4,, 5), C(0,, 0) pontokon. E: x + 6y + 0z 6 = Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, 3) ponton és párhuzamos a v (,, 0), v ( 3,, 4) vektorokkal. E: 4x + 4y + z + = Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely az Ox, Oy, Oz koordinátatengelyeket az A, B, C pontokban metszi, ahol A(, 0, 0)B(0, 3, 0), C(0, 0, ). E: 6x y + 3z + 6 = 0. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy a P (7, 5, ) ponton és a koordinátatengelyeken ugyanakkora pozitív szakaszokat határoz meg. E: x + y + z 4 = 0. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az A(,, 3) ponton és párhuzamos a x + 4y z + 5 = 0 síkkal. E: x + 4y z + 3 = 0 3. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely a) átmegy az M (,, 3) és M (,, 4) pontokon és merőleges a x 3y + z + = 0 síkra; { x y + 3z = 0 b) átmegy a P (,, 6) ponton és tartalmazza a d: egyenest; x + z 3 = 0 { x + 3z = 0 c) átmegy az A(,,-) ponton és merőleges a d: x y + z = 0 egyenesre. E: a) 6x + y 6z + 4 = 0; b) 5x + y + 0z 39 = 0; c) 3x + y z 8 = Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy a P : x + y z = 0, P : x 3y+z+ = 0, P 3 : x+y+z 3 = 0 síkok metszéspontján és párhuzamos a P 4 : x+y+z = 0 síkkal. 5. E: x + y + z 4 = 0. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely az A(,, 3) és B(4, 5, 3) pontok által meghatározott szakasz felezőmerőleges síkja. E: x + 3y 3z 9 = 0. { x + y z = 0 6. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely tartalmazza a d: x 3y + z + = 0 és a) átmegy az origón; egyenest b) párhuzamos az Oy tengellyel. E: a)4x 5y + z = 0; b) 7x z 5 = Síkok és egyenesek 7. Igazoljuk, hogy az a paralelepipedon, amelynek nempárhuzamos oldallapjai a x+y z+6 = 0, x y + z + 8 = 0 és x + y + z + 0 = 0 síkokban vannak, derékszögű.

17 Síkok és egyenesek 5 8. Az Oxyz derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(α, 0, ), B( α, 0, ), C(0, β, ), D(0, β, ) pontok. a)írjuk fel az ABCD tetraéder lapjainak és magasságainak egyenleteit. b) Határozzuk meg annak feltételét, hogy ez a tetraéder szabályos legyen. c) Ezen utóbbi esetben határozzuk meg egy lap területét. E: b)α, β = ±, c) Adottak a P 0 (x 0, y 0, z 0 ) pont és a d i : x xi l i = y yi m i = z zi n i, (i =, ) egyenesek. Határozzuk meg az adott egyenesekre támaszkodó és adott ponton áthaladó egyenes egyenleteit. Alkalmazás: adottak a P 0 (,, ) pont és a d : x = y+ = z+ 3, illetve d : 3x y = 0, x z = 0 egyenesek. E: x = y = z Legyen π a d : x 5 = z és d : x 6 = z+ egyenesek által meghatározott sík, π pedig az origón és a P (, 0, ) pontokon áthaladó 3x y z + 4 = 0 síkra merőleges sík. 0 = y a) Határozzuk meg a π és π síkok hajlásszögét. = y b) Igazoljuk, hogy a P pont és a d, d egyenesek metszéspontjából a π síkra bocsátott merőleges által meghatározott π sík átmegy az origón. E: a) 60 ; b) π : x 5y + z = 0.. Határozzuk meg annak feltételét, hogy az u i : x xi l i párhuzamosok legyenek ugyanazzal a síkkal. = y yi m i = z zi n i, (i =,, 3) egyenesek. Igazoljuk, hogy egy tetraéder oldaléleinek felezőpontjain áthaladó és a szemközti élekre merőleges síkok egy pontban találkoznak. 3. Írjuk fel azon u egyenes egyenleteit, amely áthalad a π : 3x + y + z = 0 síknak a d : x y + z + = 0, x + y z 3 = 0 egyenessel való metszéspontját, a π síkban található és merőleges a d egyenesre. E: x 3/5 = y /5 = z+/5. 4. Adottak a P (0, 0, ), Q(,, 0) pontok és az u : x y z 3 = 0, 3x y 5 = 0 egyenes. a) Határozzuk meg a Q ponton és a P-ből u-ra bocsátott merőlegesen áthaladó π sík egyenletét. b) Határozzuk meg az u és P Q egyenesek közös merőlegesének egyenleteit, valamint a két egyenes közötti minimális távolságot. 5. Adottak a d : x + y = 0, z + = 0, d : x + z = 0, y 3 = 0 egyenesek. Az u egyenes áthalad a P (,, ) ponton és merőleges a d egyenesre, míg az u egyenes a P (, 0, 0) ponton halad át és párhuzamos d -vel. Határozzuk meg: a) Az u és u egyenesek közös merőlegesének egyenleteit. b) Az u és u egyenesek közötti távolságot. a) x =, z = 0; b) d =. 6. Adott a π : 6x 7y 4z 9 = 0 sík valamint a d : x egyenesek. = y+ = z 3 és d : x+7 9 = y+0 = z+9 8 a) Határozzuk meg a d és d egyenesek d 3 közös merőlegesének egyenleteit és a két egyenes közötti távolságot. b) Határozzuk meg az origóból a d = A A egyenesre bocsátott u merőleges egyenes egyenleteit valamint az origónak a d-től mért távolságát, ahol A i = π d i (i =, ). c) Számítsuk ki az A A A 3 háromszög területét, ha A 3 = π d 3. E: a) d 3 : x + 4y + z + = 0, x 3y + 3z + 4 = 0, d = 5 4 ; b).

18 6 Térbeli egyenesek és síkok egyenletei 7. Határozzuk meg a P 0 (x 0, y 0, z 0 ) ponton áthaladó és a d: l = y y m = z z n egyenesre merőleges egyenes egyenleteit. Alkalmazás: határozzuk meg a P 0 (,, 3) ponton áthaladó x+ d: 3 = y 4 = z egyenesre merőleges egyenest. E: x+ = y 6 = z 3 9. { 8. Adott a d : x 3 = y 8 7x y z 0 = 0 3 = z 3 4 és d : egyenes. Igazoljuk, hogy a 3x + y z = 0 két egyenes egy síkban van és írjuk fel ennek a síknak az egyenletét. x x E: 7x y z 0 = 0 9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely tartalmazza a d : x 3 = y+4 = z egyenest és párhuzamos a d : x+5 4 = y = z egyenessel. E:x y = Tekintsük az A(α,0,0), B(0,β,0), C (0,0,γ) pontokat úgy, hogy α + β + γ =. Mutassuk ki, hogy az ABC sík átmegy egy rögzített ponton. 3. Egy ortonormált koordinátarendszerben adottak az M (,, ) és M ( 3, 0, ) pontok. a) Határozzuk meg az M és M pontokon átmenő síksor egyenletét. b) Határozzuk meg a síksor azon P síkját, amely merőleges az xoy síkra. c) Határozzuk meg a síksor azon síkját, amely merőleges a P síkra. E: b) x 5y + 3 = 0 { 9x y + 3z 6 = 0 3. Írjuk fel a d : és d 5x y + z 6 = 0 : x = y+ 3 = z 5 4 egyenesek által meghatározott sík egyenletét és számítsuk ki a d és a d egyenesek közti távolságot. E: x + y + z 9 = 0, Igazoljuk, hogy az x = 3t, y = + 3t, z = és az x = + 5s, y = + 3s, z = + 0s egyenesek metszik egymást és határozzuk meg a metszéspont koordinátáit! E: (,, ). 34. Az m paraméter milyen értékére a d : x = + 3t, y = + mt, z = 3 t egyenesnek nincs közös pontja a π : x + 3y + 3z = 0 síkkal? E: m =. 35. Az a és d paraméterek milyen értékeire helyezkedik el a d : x = z 3 egyenes a π : ax + y z + d = 0 síkban. E: a =, d =. { 3x y + z + 3 = Az a és c paraméterek milyen értékeire merőleges a d : 4x 3y + 4z + = 0 egyenes a π : ax + 8y + cz + = 0 síkra! E: a = 5, c =. 3 = y+ 37. Határozzuk meg a d : x = y+ 3 = z és d : x+ 3 = y 4 = z 3 egyenesek közös u merőlegesét és távolságát. E: u : 5x + 8y 9z + 34 = 0, 3y + z + 3 = 0, d = Írjuk fel a P (,, ) ponton átmenő és az x y + z = 0, x + y + z + = 0 síkokra merőleges sík egyenletét. E: x + y + 3z = Írjuk fel azon sík egyenletét, amely átmegy a P (,, ), P (,, ) pontokon és merőleges az x + y z = 0 síkra. E: x y = Írjuk fel az M ( 3,, 5) pontból a 4x + y 3z + 3 = 0, x y + z = 0 síkokra bocsátott merőlegesek által meghatározott síknak az egyenletét. E: 5x + 7y + 9z 44 = Tanulmányozzuk az α : x + y z = 3, β : x y z =, γ : 3x + 3y 6z = 5 síkok kölcsönös helyzetét. 4. Számítsuk ki az M(3,, ) pontnak az α : x + 4y 0z 45 = 0 síktól való távolságát. E: 3.

19 Síkok és egyenesek Határozzuk meg az α : x y z + 7 = 0 és a β : x 4y 4z + 7 = 0 párhuzamos síkok közti távolságot! E:. 44. Határozzuk meg annak a síknak az egyenletét, amely párhuzamos a x y z 6 = 0 síkkal és 7 egységnyi távolságra van ettől a síktól! E: x y z + 5 = 0, x y z 7 = Határozzuk meg a P ( 5, 4, ) pontnak az d : x + 3 = y 5 = z 3 egyenesre eső P vetületét, majd a P pontnak a d egyenesre vonatkozó P szimmetrikusát! 46. Határozzuk meg a P(5,,) pontnak az x + y z = 5 síkra eső vetületét! E: P ( 5, 3, 5), P ( 5,, 3 5 ). E: A ( 0 3, 3, ) Határozzuk meg a Q(4, 5, 4) pont szimmetrikusát arra a síkra nézve, amely tartalmazza a { x + y + z 3 = 0 d : x y + z = 0 d : { x + z = 0 y = 0 egyeneseket! E: Q (, 7, ). 48. Határozzuk meg a d egyenes vetületét a π síkra, ahol d : { x + y + z + 3 = 0 x 3y z = 0 és π : 3x + y z = 0. E: x+ 49 = y 3 = z Határozzuk meg a d : x + y z = 0, x = 0 egyenesnek a π : x + y + z = 0 síkra eső merőleges vetületének egyenletét. E: x+/3 = y+/3 0 = z / Határozzuk meg a d : x+ 3 = y 3 = z egyenesnek a π : x y + z = 0 síkra eső merőleges vetületének egyenleteit. E: x+/6 = y 3/6 = z 5/ Határozzuk meg a d egyenes π sík szerinti d szimmetrikusát, ahol d : x = y + 3 = z és π : x + y + z + 3 = 0. E:π d = {A}, A( 5 9, 5 3, 9 ), d : x 5/9 = y+5/3 3 = z+/9. 5. Határozzuk meg az M 0 (3,, ) pont távolságát d : x = y+ = z 3 3 egyenestől! 53. Írjuk fel a x + y 3z = 5 és a x + 3y + z + = 0 síkok által meghatározott lapszögek szögfelező síkjainak egyenletét. E: x y 5z 6 = 0, 3x + 4y z 4 = Számítsuk ki az α : x + 3y + z + = 0 és β : 3x + y z = 6 síkok hajlásszögének mértékét. E: Számítsuk ki az xoy sík és az M M egyenes által alkotott szög mértékét, ha M (,, 3) és M (,, 4). E: sin β= 56. Az A A A 3 A 4 tetraéder csúcspontjai A (4, 4, ), A (,, 5), A 3 (0, 7, 3), A 4 (, 9, 3). Számítsuk ki annak a szögnek a mértékét, amelyet az A 4 csúcspont az A A A 3 háromszög súlypontja által meghatározott egyenes az (A A A 3 ) síkkal alkot. E: sin α= 05

20 8 Térbeli egyenesek és síkok egyenletei 57. Határozzuk meg két összefutó egyenes által meghatározott szögek szögfelező egyeneseinek egyenleteit. Alkalmazás: a két adott egyenes d : 3x y z + = 0, x y + z 6 = 0 és d : x+3 4 = y+5 7 = z 3. E: u : x 7 = y 8 = z 5, u : x 7 5 = y 8 7 = z Az Ox, Oy és Oz tengelyeken felvesszük az A, B és C pontokat úgy, hogy teljesüljön az OA + OB + 3 OC = a összefüggés. Igazoljuk, hogy az ABC sík áthalad egy rögzített ponton, és határozzuk meg ennek a pontnak a mértani helyét, amikor az a értéke változik. 59. Keressük meg annak feltételét, hogy négy sík áthaladjon egy közös ponton. 60. Határozzuk meg az a élű kocka valamely élének távolságát egy olyan testátlótól, amellyel nincsen közös pontja. E:a /. 6. Adottak a d : x + y = 0, x z + 3 = 0 és d : 4x 9y + 83 = 0, y + 4z 79 = 0 egyenesek. a) Igazoljuk, hogy az adott egyenesek rendelkeznek egy P 0 közös ponttal és merőlegesek egymásra. b) Írjuk fel a két egyenes által meghatározott sík egyenletét és igazoljuk, hogy ez nem merőleges az OP 0 egyenesre. 6. Adott a π : x + y + z + = 0 sík és a d : y z + = 0, x + z = 0 egyenes a) Igazoljuk, hogy az egyenes a síkban fekszik. b) Írjuk fel a megadott síkra, az egyenes mentén merőlegesen emelt sík egyenletét. c) Írjuk fel a π sík d egyenesre merőleges egyeneseinek egyenleteit. E: P 0 (3, 5, 6). E: b) y z + = 0, c) x = x 0, y y 0 = z + z 0. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely merőleges a z = 0 síkra és tartalmazza az A(,, ) pontból a d : x = 0, y z + = 0 egyenesre bocsátott merőleges egyenest. E: x + y + = 0. Írjuk fel a 3x y + 4z = 0 síkból a koordinátasíkok által kimetszett háromszög Oz tengelyen fekvő csúcsához tartozó magassága tartóegyenesének egyenleteit és számítsuk ki a magasság hosszát. 65. Adottak az u : x = y+ = z λ és u : x+ = y = z egyenesek. a) Határozzuk meg a λ értékét úgy, hogy a két egyenes metsse egymást. 66. E: x 6 = y = z 3 5, b) Ha π a fenti metsző egyenesek síkja, határozzuk meg az A(,, 0) pontnak a π szerinti szimmetrikusát. c) Határozzuk meg az A pontnak az u és u egyenesekre eső merőleges vetületein áthaladó egyenes egyenleteit. E: a) λ = 5 4 ; b) A ( 8 3, 9 3, 8 3 ); c) x 8 = y 63 = z 95. Írjuk fel az x+y z = 0, x y+z + = 0 és x y+z = 0, x+y z + = 0 egyeneseket metsző és az x + y + z = 0 síkkal párhuzamos egyenesek egyenleteit. E: x 0 = y = z+λ. 67. Adottak az u : x 3 6 = y+ 3 = z és u : x 3 4 = y+ 3 = z egyenesek. Határozzuk meg a) az u és u egyenesek által meghatározott szögek szögfelezőinek egyenleteit. b) az A(, 3, ) pontnak az u és u egyenesekre eső A és A merőleges vetületeit. c) a P 0 A A háromszög területét, ahol P 0 az u és u egyenesek metszéspontja.

21 Síkok és egyenesek Adottak az u : x meg = y+ a) az u és u egyenesek közötti távolságot; = z és u : x = t +, y = t, z = t + egyenesek. Határozzuk b) az u és u egyenesek által meghatározott sík egyenletét. E: a) 3 3, b) x z = A π sík Ax + By + Cz + D = 0 egyenletében szereplő minden együttható nullától különböző. Igazoljuk, hogy ez a sík áthalad hét nyolcadon a koordináta-síkok által meghatározott nyolcadok közül. 70. Határozzunk meg egy olyan pontot az Oz tengelyen, amely egyenlő távolságra fekszik a π : x + 9y 0z 9 = 0 és π : 6x y + 5z 9 = 0 síkoktól. E: A (0, 0, 8 5 ), A (0, 0, /7). 7. Határozzuk meg egy tetraéder térfogatát, ha oldallapjainak egyenletei x + y + z = 0, x y = 0, x z = 0 és z = E: 6. Írjuk fel azon egyenes egyenleteit, amely az x + 3y z = 0 síkban fekszik, az x = y = z egyenesre támaszkodik és merőleges a 4x y z 3 = 0 síkra. E: x 4 = y = z. 73. Írjuk fel azon egyenes egyenleteit, amely áthalad az A(, 0, ) pont x = y = z egyenes szerinti A szimmetrikusán és merőleges a x y z = 0 síkra. E: A ( 3, 3, 3 ). 74. Határozzuk meg a P 0 (, 0, 0) pontnak az x = y = z egyenesre eső vetületén áthaladó és a d : x y = 0, y z = 0 valamint d : x y = 0, x z = 0 egyenesekre támaszkodó egyenes egyenleteit. 75. Határozzuk meg azon egyenes egyenleteit, amely áthalad az A(,, 0) pont x y + z = 0 sík szerinti A szimmetrikusán, párhuzamos a x + y + 3z = 0 síkkal és merőleges az x = y+ = z egyenesre. E: x /3 5 = y 5/3 = z+4/ Adottak a d : x = y+3 = z+ 3 és d : x 3 l = y+ m = z 5 n egyenesek. a) Milyen feltételek mellett metszi egymást a két egyenes. b) Határozzuk meg annak feltételét, hogy a két metsző egyenes merőleges is legyen egymásra. c)határozzuk meg a metszéspont koordinátáit. E: a) 4l + m n = 0, l m n 3, b) l = n, c) (,, ). 77. Adott a P (,, 0) pont és a d: x z 3 = 0, y + z + 3 = 0 egyenes. a) Írjuk fel az origón és a P-ből d-re bocsátott merőlegesen áthaladó sík egyenletét. b) Határozzuk meg a d és OP egyenesek közös merőlegesének egyenleteit. E: a) x + y + z = 0, b) x 3 = y + 3 = z. 78. Írjuk fel azon síkok általános egyenletét, amelyeknek az x = 0, y = 0 és x + y = 0 egyenletű síkok által meghatározott hasábbal való metszete egy szabályos háromszög. E: x y + 3z + m = Igazoljuk, hogy az origón áthaladó egyenes egyenletei felírhatók az alábbi alakban: x sin θ cos ϕ = y sin θ sin ϕ = z cos θ.

22 0 Térbeli egyenesek és síkok egyenletei 80. Adottak az Ox, Oy és Oz tengelyeken elhelyezkedő A, B és C pontok. Igazoljuk, hogy ha az AB egyenes áthalad egy P rögzített ponton és a BC egyenes a rögzített P ponton, akkor az AC egyenes is áthalad egy rögzített P 3 ponton, és a P, P, P 3 pontok kollineárisok. 8. Igazoljuk, hogy egy derékszög vetülete valamely síkra akkor és csak akkor lesz derékszög, ha a szög egyik szára párhuzamos a síkkal a másik pedig nem merőleges rá. 8. Ha egy tetraéderben két szembefekvő élpár élei merőlegesek egymásra, igazoljuk, hogy: a) A harmadik élpár élei is merőlegesek egymásra. b) A tetraéder magasságai egy pontban találkoznak. c) A szembefekvő élek közös merőlegesei a magasságok metszéspontjában futnak össze. d) A szembefekvő élek felezőpontjait összekötő szakaszok kongruensek. e) Az oldallapokra azok súlypontjaiban emelt merőlegesek összefutó egyenesek. f) A szembefekvő élek négyzetösszege állandó. 83. Igazoljuk, hogy egy tetszőleges tetraéderben: a) A csúcspontokat a szembefekvő lapok súlypontjaival összekötő, valamint a szembefekvő élek felezőpontjait összekötő egyenesek összefutók. b) Az egyes lapok belső szögfelezőin keresztül az illető lapra emelt merőleges síkok rendelkeznek egy közös egyenessel. c) Valamely lap belső szögfelezőjén keresztül a lapra emelt merőleges sík és a szomszédos két lap külső szögfelezőjén keresztül az illető lapokra emelt merőleges síkok ugyancsak rendelkeznek egy közös egyenessel. d) Az élek felezőmerőleges síkjai rendelkeznek egy közös ponttal..4. Koordináta-rendszer megválasztásával megoldható feladatok 84. Legyen ABCDA B C D egy kocka, amelynek élhosszúsága AB = a. Tekintjük az M (AB), N (AD) és P (AA ) úgy, hogy AM = α, AN = β és AP = γ. Igazoljuk, hogy az ABCDA B C D kockába írt gömb akkor és csakis akkor érinti az (MNP ) síkot, ha fennáll a következő összefügges: αβγ αβ + βγ + γα α β + β γ + γ α = a. 85. Egy V ABCD szabályos gúla alapjának az élhosszúsága AB = BC = CD = DA = a és a V A = V B = V C = V D = a. A V A él M felezőpontján keresztül szerkesztünk egy a V C élre merőleges síkot, amely meghatároz egy síkmetszetet a gúlában. Határozzuk meg a síkmetszet kerületét, területét, valamint a síkmetszet által meghatározott két test térfogatának arányát. 86. Legyen ABCDA B C D egy AB = a élhosszúságú kocka, M és P a BC illetve AA élek felezőpontjai, O a kocka középpontja, O az A B C D alsó lap középpontja, S pedig az OO felezőpontja. Határozzuk meg az (M P S) sík által meghatározott síkmetszetet a kockában és ennek a területét. 87. Legyen ABCDA B C D egy a élhosszúságú kocka, M és P a BC illetve AA élek felezőpontjai,o az A B C D alsó lap középpontja. Határozzuk meg az (MP O ) sík által meghatározott síkmetszetet a kockában és ennek a területét, kerületét. 88. Legyen ABCDA B C D egy a élhosszúságú kocka. A [CD, [CB és [CC félegyeneseken felvesszük az X, Y, Z pontokat úgy, hogy CX = a + α, CY = a + β, CZ = a + γ, ahol α, β, γ R +. Igazoljuk, hogy

23 Koordináta-rendszer megválasztásával megoldható feladatok i) az (XY Z) sík akkor és csakis akkor metszi hatszögben a kockát, ha αβ, βγ, γα (0, a ); ii) ha MNP QRS az előbbi alpontban meghatározott hatszög, akkor az MQ, NR, P S átlók akkor és csakis akkor összefutóak, ha a 3 = a(αβ + βγ + γα) + αβγ.

24 Térbeli egyenesek és síkok egyenletei

25 3. fejezet Analitikus mértan síkban 3.. Derékszögű Descartes féle koordináta rendszer használata. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (, ) ponton és párhuzamos a a(3, ) vektorral; (ii) áthalad az origón és párhuzamos a b(3, 3) vektorral; (iii) áthalad az A(, 7) ponton és párhuzamos az Oy tengellyel; (iv) áthalad az M (, 4) és M (, 5) pontokon.. Egy egyenes az x = 4t, y = + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg az egyenes irányvektorát és irénytényezőjét. 3. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek (i) iránytényezője m = 5 és átmegy az A(, ) ponton; (ii) iránytényezője m = 8 és az Oy tengelyen egy hosszúságú szakaszt határoz meg; (iii) áthalad az A(, 3) ponton és az Ox tengellyel 60 -os szöget zár be. (iv) átmegy a B(,7) ponton és merőleges az n(4, 3) vektorra. 4. Adott az ABC háromszög: A(, ), B(, 3), C(4, 7). Írjuk fel az oldalak valamint az A csúcshoz tartozó oldalfelező és magasság egyenleteit! E: x =, 3x + y 5 = Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az A(, 5) ponton és a koordinátatengelyeken egyenlő hosszúságú szakaszokat határoz meg. E: x + y ± 3 = 0, x + y ± 7 = 0. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az A(, 6) ponton és az egyenes valammint a koordinátatengelyek által meghatározott háromszög területe 50. E: 3x + 4y 60 = 0, x + 3y 30 = Adottak az ax + by + c = 0 és x = x 0 + lt, y = y 0 + mt egyenesek. Adjunk meg szükséges és elégséges feltételt ahhoz, hogy az egyenesek legyenek () metszőek; () párhuzamosak. 8. Adottak egy háromszög oldalainak az M (, ), M (3, 4), M 3 (5, ) felezőpontjai. Határozzuk meg az oldalak egyenleteit! 9. Egy paralelogramma két oldalának egyenletei: x + y = 0 és x y + 5 = 0. Írjuk fel a paralelogramma másik két oldalának az egyenletét, ha tudjuk, hogy az átlók az M(3, ) pontban metszik egymást. E: x + y 6 = 0, x y 3 = 0.

26 4 Analitikus mértan síkban 0. Igazoljuk, hogy az a háromszög, amelynek csúcsai az A(3, 3), B(6, 3) és C(3, 6) pontok derékszögű és egyenlőszárú! Írjuk fel a háromszög oldalfelező merőlegeseinek az egyenleteit! E: x y = 0, x = 9, y = 9. Az origóból egy d egyenesre húzott merőleges talppontja az A(, ) pont. Írjuk fel a d egyenes egyenletét! E: x + y 5 = 0.. Határozzuk meg a B(, ) pontnak a d : x + y + = 0 egyenesre eső vetületét! ( E: B 6 5, 7 ) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a C(, 3) ponton és egyenlő távolságra van az M (, 0) és M (, ) pontoktól! E: x + y 7 = 0, 7x + y + = Határozzuk meg a D(, ) pont szimmetrikusainak a koordinátáit a d : x + y + = 0 egyenesre, majd az E(, 4) pontra vonatkozóan! E: D ( 3, 0), D (, 0). 5. Határozzuk meg a d : x + y = 0 egyenes szimmetrikusát a d : x y = 0 egyenesre majd az A(, 5) pontra vonatkozóan! E: x + y = 0, x y + 3 = Adott három, A(8, 0), B(3, 6), C(0, 3) pont. A BC egyenes az Ox tengelyt D-ben, az AB egyenes az Oy tengelyt E-ben metszi. Igazoljuk, hogy az [OB], [AC], [DE] szakaszok felezőpontjai kollineárisak! E: felezőpontok: (3/, 3), (4, 3/), ( 3/, 4/5). 7. Adott egy háromszög két csúcsa: A( 6, ) és B(, ), valamint a H(, ) ortocentrum. Határozzuk meg a harmadik C csúcs koordinátáit! E:C(, 4). 8. Határozzuk meg az ABC háromszög köré írt kör középpontjának koordinátáit, ha A(, ( ), B(3, ) 6 és C(5, 6). E: 3, 5 ) Határozzuk meg az alábbi egyenesek által bezárt szögeket ) y = x + és y = x + ; ) y = 3x 4 és x = 3 + t, y = t; 3) y = x/5 + és 4x + 3y = 0; 4) x + 3y = 0 és x y + 5 = 0; 5) x 3y + = 0 és x = t, y = 3 + t. 6 E: ) arctg 3; ) 45 ; 3) arctg(6/7); 4) arccos ; 5) arctg Határozzuk meg azt az A(3, ) ponton áthaladó egyenest, amely 45 -os szöget zár be a x + 3y = 0 egyenlettel megadott egyenessel. E: x 5y + = 0, 5x + y 6 = 0.. Határozzuk meg az x+3y = 0, x = 3, x y+3 = 0 egyenesek által meghatározott háromszög csúcsait és szögeit. E: csúcsok: (3, 3), (3, ), ( 9 5, 3 5 ).. Adott az A(, ), B(5, 4) és C(, 0) csúcsú háromszög. Határozzuk meg az A szög külső és belső szögfelezőjének az egyenletét! E: x + 5y + = 0, 5x + y 3 = Határozzuk meg az O(0, 0), A(, ) és B( 5, 7) pontok távolságát a 6x + 8y 5 = 0 egyenestől. E: 3, 7 0, Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az A(8, 9) ponton és amelynek az x y + 5 = 0 valamint az x y = 0 egyenesek közé eső szakaszának hossza 5.

27 Derékszögű Descartes féle koordináta rendszer használata 5 5. Határozzuk meg az alábbi párhuzamos egyenesek közti távolságot ) x y + 3 = 0 és x 4y + 7 = 0; ) 3x 4y + = 0 és x = + 4t, y = 3t ; 3) x = t, y = 3 + t és x = s, y = 5 4s. E: ) Határozzuk meg az x + y 0 = 0 és x y + = 0 egyenesek által meghatározott szög azon szögfelezőjét, amely áthalad az A(, 3) ponton. E: y = Egy ABC háromszög esetén A(, 5), B(, 3), C(7, 0). Határozzuk meg a magasságok hosszát! E: 5, 3, Adottak az A(, ), B(3, ), C(, 5) pontok. Határozzuk meg a B pont távolságát az A csúcshoz tartozó oldalfelezőtől! E: Igazoljuk, hogy az x 3y + = 0, x 3y + = 0, 3x + y = 0 és 3x + y + 0 = 0 egyenesek által meghatározott négyszög egy négyzet. Határozzuk meg a területét! E: Egy négyzet egyik oldalának egyenlete x + 3y 5 = 0. Határozzuk meg a négyzet többi oldalának az egyenleteit, ha tudjuk, hogy a négyzet szimmetriaközéppontja a P (, 0) pontban található. E: 3x + y + 3 = 0, 3x + y 9 = 0, x + 3y 7 = Adottak egy háromszög két oldalának egyenletei: 3x y + = 0 és x y + = 0 valamint az egyik oldalfelezőjének az egyenlete x y = 0. Határozzuk meg a harmadik oldal egyenletét! E: 5x 3y = 0 vagy x = Határozzuk meg egy háromszög oldalainak egyenletét, ha ismerjük az egyik csúcsot: B(, ) valamint a különböző csúcsokhoz tartozó magasság 3x 4y+7 = 0 és szögfelező x y 5 = 0 egyenleteit! 33. Állapítsuk meg, hogy az M(, ) pont az x = 0, x+y 4 = 0, x+y + = 0 egyenesek által meghatározott háromszög belsejében van-e. E: Igen. 34. Adottak az x + y = 0, 5x + 4y 7 = 0, x 4y + = 0 egyenesek. Határozzuk meg a magasságok egyenleteit anélkül, hogy kiszámítanánk a csúcsok koordinátáit. 35. Adott egy M(3, 3) pont és egy ABC háromszög az oldalak egyenleteivel: AB : x+y 4 = 0, BC : 3x + y = 0, AC : x 3y 4 = 0. ) Számítsuk ki az ABC háromszög területét! ) Az M pontnak az AO, OB és AB egyeneskre eső vetületét rendre P, Q, R-rel jelölve, bizonyítsuk be, hogy a P, Q, R pontok egy egyenesen vannak. 3) Írjuk fel az AB és P Q egyenesek által meghatározott sugársor egyenletét. Határozzuk meg a sugársor N(0, 5) ponton átmenő egyenesének az egyenletét. E: ) A(4, 0), B(0, ), C(, ), T = 5, ) P (3, 0), Q(0, 3), R(, ), 3) x + y 5 = Igazoljuk, hogy bármely ABC háromszögben a H magasságpont, a G súlypont és az O oldalfelező merőlegesek metszéspontja egy egyenesen vannak (Euler egyenes). 37. Egy ABCD négyszög csúcsai az A(4, 3), B(5, 4), C(, 3), D( 3, ) pontok. ) Számítsuk ki az E és F pontok koordinátáit, ha {E} = AB CD és {F } = BC AD. ) Igazoljuk, hogy az [AC], [BD] és [EF ] átlók felezőpontjai kollineárisak. (Az ABCDEF alakzatot teljes négyszögnek nevezzük.)

28 6 Analitikus mértan síkban 38. Egy ABC háromszög területe 3, két csúcsa pedig az A(3,) és B(, 3) pontok. Határozzuk meg a C csúcs koordinátáit az alábbi esetekben: ) a C csúcs az Oy tengelyen van; ) az ABC háromszög súlypontja az Ox tengelyen fekszik. 39. Egy paralelogramma területe 8, két csúcsa az A(, ) és B(5,-3) pont. A két átló az Oy tengelyen metszi egymást. Határozzuk meg a másik két csúcs koordinátáit! 40. E: C (, 37 3 ), D ( 5, 49 3 ); C (, 3 ), D ( 5, 3 ). Írjuk fel az A(, ) ponton áthaladó és a B(, 0) és C(, ) pontoktól egyenlő távolságra levő egyenesek egyenletét! E: x =. 4. Az xoy síkban adottak az A(6, 0), B(, 5) és C(0, 4) pontok. a) Számítsuk ki az ABC háromszög oldalainak hosszát! b) Igazoljuk, hogy az OABC négyszög körbeírható! c) Igazoljuk, hogy az O-ból a háromszög oldalaira bocsájtott merőlegesek talppontjai kollineárisak. E: a) 5, 3, ; b) A (, ), B ( 4 3, 36 3 ), C (3, 3). 4. Egy derékszögű xoy koordináta-rendszerben adottak az A(a, 0), B(b, 0) rögzített pontok és az M(0, λ), λ R pontok. Határozzuk meg: a) az AM egyenes egyenletét; b) a B ponton áthaladó és AM-re merőleges egyenes egyenletét; c) az előző két pontban meghatározott egyenesek metszéspontjának mértani helyét! 43. Legyen ABC egy tetszőleges háromszög és M a [BC] szakasz felezőpontja. Jelöljünk N-nel egy olyan pontot az AB egyenesről, amelyre A (BN). Az ABC háromszög H ortocentrumának a vetületei a BAC illetve a ĈAN szögek szögfelezőire legyenek P illetve Q. Igazoljuk, hogy az M, P és Q pontok kollineárisak. 44. Adottak a C és C körök, amelyek kivülről érintik egymást a T pontban. Tekintjük az M illetve az N változó pontokat a C illetve a C körökről úgy, hogy az MT és NT egyenesek legyenek merőlegesek egymásra a T pontban. Határozzuk meg az [M N] szakasz felezőpontjának mértani helyét! 3.. Affin koordináta-rendszer használata 45. (Meneláosz tétele) Legyen ABC egy tetszőleges háromszög és A, B C három kollineáris pont úgy, hogy A BC, B AC, C AB. Ekkor igazoljuk, hogy A B A C B C B A C A C =. (3.) B Fordítva, ha az A, B és C pontok úgy helyezkednek el a BC, CA, AB egyeneseken, hogy kettő közülük a háromszög oldalain és a harmadik pedig az egyik oldal meghosszabításán van, vagy mindhárom az oldalak meghosszabításán található és fennáll az () összefüggés, akkor a három pont kollineáris. 46. (Ceva tétele) Legyen ABC egy tetszőleges háromszög és AA, BB CC hátom összefutó egyenes, ahol A BC, B AC és C AB. Ekkor fennáll a következő összefüggés: Fordítva, A B A C B C B A C A C =. (3.) B

29 Affin koordináta-rendszer használata 7. ha az A BC, B AC, C AB pontok a háromszög oldalain vannak és fennáll a () összefüggés, akkor az AA, BB és CC egyenesek összefutóak;. ha az A, B és a C pontok közül az egyik pont a háromszög egyik oldalán és a másik kettő a másik két oldal meghosszabbításán található és fennáll a () összefüggés, akkor az AA, BB és CC egyenesek összefutóak vagy párhuzamosak. 47. Legyen ABCDEF egy teljes négyszög (ABCD négyszög és AB CD = {E}, AD BC = {F }). Igazoljuk, hogy az AC, BD és EF átlók felezőpontjai kollineárisak (Gauss-Newton egyenes)! 48. (Pappusz tétele) Legyen a, b két metsző egyenes és A, A, A 3 a, B, B, B 3 b. Igazoljuk, hogy a {C } = A B 3 A 3 B, {C } = A B 3 A 3 B és {C 3 } = A B A B pontok kollineárisak! 49. Legyen ABCD egy paralelogramma és legyen P (AB), Q (BC), R (CD) és S (DA) úgy, hogy P R AD, QS AB. Igazoljuk, hogy a P Q és RS egyenesek vagy párhuzmosak az AC átlóval vagy a metszéspontjuk az AC átlón található!

30 8 Analitikus mértan síkban

31 4. fejezet Kúpszeletek 4.. Kör. a) Adott a C : x + y + 4x y 0 = 0 kör és a P (3, ) pont. Állapítsuk meg, hogy a P pont a C kör belsejében van-e.. 3. b)mi a feltétele annak, hogy egy M(a, b) pont a C : (x x 0 ) +(y y 0 ) = r kör belső illetve külső pontja legyen? Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad az A, B pontokon és középpontja rajta van a d egyenesen, ha a) A(4, ), B(0, 3), d : x y 4 = 0; b) A(, ), B(4,-3), d : 3x y 9 = 0. E: a) (x ) + (y + ) = 8; b) (x 7 ) + (y 4 ) = Írjuk fel a C kör P pontjába szerkesztett érintő egyenletét, ha a) C : x + y = 5, P (, ); b) C : x + y + x 6y 5 = 0, P (3, 6). E: a) x y 5 = 0; b) 4x + 3y 30 = Adott a C kör és a d egyenes. Írjuk fel az adott egyenessel párhuzamos körérintők egyenletét, ha a) C : x + y 3 = 0, d : 4x + 6y 5 = 0; b) C : x + y + x 4y 0 = 0, d : 3x + 4y = 0. E: a) e : x + 3y + 3 = 0, e : x + 3y 3 = 0; b) e : 3x + 4y + 0 = 0, e : 3x + 4y 30 = Adott a C kör és a d egyenes. Írjuk fel az adott egyenesre merőleges körérintők egyenletét, ha a) C : x + y + 5x = 0, d : 4x 3y + 7 = 0; b) C : x + y x 8y + 47 = 0, d : x + y 4 = 0. E: a) e : 3x + 4y + 0 = 0, e : 3x + 4y 5 = 0; b) e : x y 3 = 0, e : x y 3 = Írjuk fel a P pontra illeszkedő, C kört érintő egyenesek egyenletét, ha a) C : x + y 5 = 0, P (, 3); b) C : x + y + 4x + 6y = 0, P ( 3, 4). E: a) e : x + y 5 = 0, e : x y + 5 = 0; b) e : 3x + 4y 7 = 0, e : 4x 3y + 4 = Egy kör középpontja M 0 (3, 6) és sugara r = Írjuk fel a P (, ) pontból a körhöz húzott érintők egyenleteit! E: 7x 6y 9 = 0, 9x + y 5 = 0.

32 30 Kúpszeletek 8. Írjuk fel az M 0 középpontú d egyenest érintő kör egyenletét, ha 9. a) M 0 (4, 7), d : 3x 4y + = 0; b) M 0 (6, 7), d : 5x y 4 = 0. E: a) x + y 8x 4y + 56 = 0; b) x + y x 4y + 49 = 0. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely mindkét koordinátatengelyt érinti és áthalad a P (4, 8) ponton. E: (x 0) + (y 0) = 400, (x 4) + (y 4) = Határozzuk meg annak a körnek az egyenletét, amely az Ox tengelyt a (0, 0) pontban érinti és áthalad a P (3, 6) ponton. E: x + y 5 y = 0.. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely a d : 4x + 3y 7 = 0 egyenest a 3 abszcisszájú pontban érinti és áthalad a P (, 5) ponton. E: (x 7) + (y 8) = 5.. Az r = 6 sugarú kör a d : 5x y + 30 = 0 egyenest az x = 6 abszcisszájú pontban érinti. Írjuk fel ennek a körnek az egyenletét! E: (x 6) + (y + 9) = 6, (x + 4) + (y 9) = Írjuk fel a koordináta-tengelyek szögfelezőit érintő körök általános egyenletét! E: (x + a) + y = a, x + (y + b) = b, a, b R. 4. Egy egyenlő szárú háromszög csúcspontja C( 6, 8), a beírt körének egyenlete pedig x + y = 50. Írjuk fel az egyenlő szárú háromszög oldalegyeneseinek egyenleteit! E: AB : 3x + 4y 9 = 0, BC : 7x + y + 50 = 0, AC : x 7y 50 = Írjuk fel a d, d, d 3 egyeneseket érintő körök egyenleteit, ha a) d : y = 0, d : 3x 4y + = 0, d 3 : 5x + y 00 = 0; b) d : 3x 4y = 0, d : 3x 4y 6 = 0, d 3 : y = 0. E: a) (x ) + (y 36 7 ) = ( 36 7 ), (x ) + (y + 45) = 45, (x 5) + (y 3) = 9, (x 5 7 ) + (y 60 7 ) = ( 60 7 ) ; b) (x 3 5 ) + (y 5 ) = , (x 5 ) + (y 8 5 ) = Adott három pont P, Q, R. Írjuk fel a három ponton átmenő kör egyenletét, ha a) P (0, 0), Q(, ), R(8, 0); b) P (0, 0), Q(, 3), R(, ). E: a)x + y 8x 6y = 0; b) x + y 4x 3y = Ellipszis 7. Igazoljuk, hogy az x a + y b = ellipszis átmérőjének végpontjaiba szerkesztett érintők párhuzamosak. (Átmérőnek nevezzük azt a húrt, amelyik áthalad az ellipszis középpontján.) 8. Írjuk fel az ellipszis kanonikus egyenletét, ha a) nagytengelye 8 egység, kistengelye 6 egység; b) a = 4, c = 3; c) b = 4, c = 7; d) az ellipszis áthalad a P (0, 5), P (6, 3) pontokon; e) az ellipszis fókuszai F (3, 0), F ( 3, 0) és egy pontja P (4, 5 ). E: a) x 6 + y x 9 = ; b) 6 + y x 7 = ; c) 65 + y 9x 576 = ; d) y x 50 = ; e) 5 + y 6 =.

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC. ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger. feladat Állítsunk merőlegeseket egy húrnégyszög csúcsaiból a csúcsokon át nem menő átlókra. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjai

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben

3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 1. 1. Alapfogalmak 2. Nevezetes sík- és térbeli alakzatok, definícióik 3. Thalész-tétel 4. Gyakorlati alkalmazás Pont: alapfogalom, nem definiáljuk Egyenes:

Részletesebben

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99 JUNIOR, 990-9. sz, els forduló. Adott két pozitív valós szám. Bizonyítsuk be, hogy ha az összegük kisebb, mint a szorzatuk, akkor az összegük nagyobb 4-nél. (N. Vasziljev, 4 pont) 2. Egy szabályos háromszög

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

A pillangótétel és más mesék (az elemi geometria néhány szép tétele és feladata) Bíró Bálint, Eger

A pillangótétel és más mesék (az elemi geometria néhány szép tétele és feladata) Bíró Bálint, Eger Kistérségi tehetséggondozás A pillangótétel és más mesék (az elemi geometria néhány szép tétele és feladata) Bíró Bálint, Eger 1. Bevezetés Az alábbiakban szereplő tételeket és feladatokat két téma köré

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 2016 Fazekas, Berzsenyi Budapest Berzsenyi Dániel Gimnázium Fazekas Mihály Gimnázium Budapest 2. javított kiadás 2016. március 1115. Technikai el készítés, tördelés:

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Vetülettani és térképészeti alapismeretek

Vetülettani és térképészeti alapismeretek Vetülettani és térképészeti alapismeretek A geodéziában - mint ismeretes - a földalak első megközelítője a geoid. Geoidnak nevezzük a nehézségi erőtér potenciáljának azt a szintfelületét, amelynek potenciálértéke

Részletesebben

10. évfolyam, ötödikepochafüzet

10. évfolyam, ötödikepochafüzet 10. évfolyam, ötödikepochafüzet (Hasonlóság, trigonometria) Tulajdonos: ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Geometriai transzformációk... 3 I.1. A geometriai transzformációk ismétlése... 3 I.2. A vektorok ismétlése...

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Tartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév

Tartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Egyenes Sík Háromszög Gömb 2010/2011. tavaszi félév Descartes-koordináták Geometriai értelmezés

Részletesebben

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A =

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A = Mátrixok 25. február 23.. Feladat: Legyen A ( 3 2 B ( 3 4 Határozzuk meg A + B, A B, 2A, 3B, 2A 3B,A T és (B T T mátrixokat. A deníciók alapján ( + 3 + 3 + A + B 2 + 4 + + ( 4 2 6 2 ( ( 3 3 2 4 A B 2 4

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1 2. fejezet Halmazelmélet D 2.1 Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenl nek, ha elemeik ugyanazok. A halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele:. D 2.2 Az A halmazt a B halmaz

Részletesebben

Geometria, 11 12. évfolyam

Geometria, 11 12. évfolyam Geometria, 11 1. évfolyam Dobos Sándor, Hraskó ndrás, Kiss Géza és Surányi László 014. június 8. 4 TRTLOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék Feladatok 5 1. Geometriai szerkeszthetőség.......................... 5 1.1.

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel!

Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! SZAKDOLGOZAT Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! Simon Ju lia Matematika BSc., tana ri szakira ny Te mavezeto : Besenyei A da m adjunktus Alkalmazott Analı zis e s Sza mı ta smatematikai Tansze k Eo

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

Matematika tanári szeminárium a Fazekasban 2012-2013/4.

Matematika tanári szeminárium a Fazekasban 2012-2013/4. atematika tanári szeminárium a Fazekasban 2012-2013/4. 4. foglalkozás öal. 4474. feladatra 1 sok szép megoldást hoztak Gyenes Zoltán diákjai, a 9.c osztály tanulói. példához nagyon hasonló kérdéssel a

Részletesebben

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +

Részletesebben

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I.

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I. NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM aipari Mérnöki Kar Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet Dr Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I Sopron 9 javított kiadás TARTALOMJEGYZÉK I Bevezetés a mőszaki mechanika

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Interaktivitás a matematika órán

Interaktivitás a matematika órán Interaktivitás a matematika órán Kiindulópontunk a kocka Szakdolgozat Készítette: Szatmári Tünde Szak: Matematika BSc tanári szakirány Témavezető: Holló-Szabó Ferenc, a Matematikai Múzeum vezetője Eötvös

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

3. Geometria. I. Feladatok

3. Geometria. I. Feladatok 3. Geometria I. Feladatok 1. Egy körben adott két, egymásra merőleges átmérő. Az egyik végpontból húzott húrt a másik átmérő 2 és 4 egység hosszú szakaszokra bontja. Mekkora a kör sugara? Kalmár László

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

KockaKobak Országos Matematikaverseny 7. osztály

KockaKobak Országos Matematikaverseny 7. osztály KockaKobak Országos Matematikaverseny 7. osztály 2012. november 12. Feladatok: PÉCSI ISTVÁN, középiskolai tanár SZÉP JÁNOS, középiskolai tanár Lektorok: LADÁNYI ANDREA, középiskolai tanár TÓTH JÁNOS, középiskolai

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint)

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) (ESZÉV 2004.minta III./7) Egy négyoldalú gúla alaplapja rombusz. A gúla csúcsa a rombusz középpontja felett van, attól 82 cm távolságra. A rombusz oldalának hossza

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva.

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva. Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT Készítette: Szigeti Zsolt Felkészítő tanár: Báthori Éva 2010 október Dolgozatom témája a különböző függvények, illetve mértani

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör lemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 26. 1.1. eladat. z konvex négyszögben {} = és { } = (lásd a mellékelt ábrát). izonyítsd be, hogy a következő három kijelentés egyenértékű: 1. z négyszögbe

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI LAPOK ALAPÍTOTTA: ARANY DÁNIEL 1894-ben

KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI LAPOK ALAPÍTOTTA: ARANY DÁNIEL 1894-ben 2015.2.5 21:19 65. oldal 1. lap KöMaL, 2015. február KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI LAPOK ALAPÍTOTTA: ARANY DÁNIEL 1894-ben 65. évfolyam 2. szám Budapest, 2015. február Megjelenik évente 9 számban,

Részletesebben

1. Lineáris leképezések

1. Lineáris leképezések Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat

Részletesebben

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 10. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/4365-1/008. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

Síkban polarizált hullámok síkban polarizált lineárisan polarizált Síkban polarizált hullámok szuperpozíciója cirkulárisan polarizált

Síkban polarizált hullámok síkban polarizált lineárisan polarizált Síkban polarizált hullámok szuperpozíciója cirkulárisan polarizált Síkban polarizált hullámok Tekintsünk egy z-tengely irányában haladó fénysugarat. Ha a tér egy adott pontjában az idő függvényeként figyeljük az elektromos (ill. mágneses) térerősség vektorokat, akkor

Részletesebben

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat Bemutatjuk a NAT 01 és a hozzá kapcsolódó új kerettantervek alapján készült MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat 9 10 1 MATEMATIKA A KÖTETEKBEN FELLELHETŐ DIDAKTIKAI ESZKÖZTÁR A SOROZAT KÖTETEI A KÖVETKEZŐ KERETTANTERVEK

Részletesebben

Izsák Imre Gyula természettudományos verseny

Izsák Imre Gyula természettudományos verseny 199 Jelölje m a, m b, m c egy háromszög magasságait, ρ a háromszög beírt körének a sugarát. Igazoljuk, hogy ma + mb + mc 9ρ Mikor áll fenn az egyenlség? Osszuk fel egy tetszleges ABCD konvex négyszög AB,

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,

Részletesebben

Geometriai axiómarendszerek és modellek

Geometriai axiómarendszerek és modellek Verhóczki László Geometriai axiómarendszerek és modellek ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2011 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2012 13-as tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a javító

Részletesebben

Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat)

Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) I. Pontszerű test 1. Pontszerű test modellje. Pontszerű test egyensúlya 3. Pontszerű test mozgása a) Egyenes vonalú egyenletes

Részletesebben