Városok Viadala JUNIOR, sz, második forduló

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99"

Átírás

1 JUNIOR, sz, els forduló. Adott két pozitív valós szám. Bizonyítsuk be, hogy ha az összegük kisebb, mint a szorzatuk, akkor az összegük nagyobb 4-nél. (N. Vasziljev, 4 pont) 2. Egy szabályos háromszög csúcspontjai az ABCDEF szabályos hatszög AB, CD és EF oldalain helyezkednek el. Bizonyítsuk be, hogy a háromszögnek és a hatszögnek azonos a középpontja. (N. Sedrakjan, 4 pont) 3. Keressünk 0 különböz pozitív egész számot úgy, hogy mindegyikük osztója legyen az összegüknek. (S. Fomin, 4 pont) 4. Egy as négyzet alakú táblát egységnégyzetre osztottak fel. Egy egységnégyzetet kivágunk. Le tudjuk-e fedni a tábla többi részét egyenl szárú derékszög háromszögekkel, amelyeknek 2 hosszú az átfogójuk éspedig úgy, hogy átfogóik az egységnégyzetek oldalain helyezkednek el, a másik két oldaluk pedig az átlókon. A háromszögek nem fedhetik egymást, és nem lóghatnak túl a tábla szélén. (S. Fomin, 5 pont) 39/66

2 JUNIOR, sz, második forduló. Adott a = és b = Bizonyítsuk be, hogy a b <. 99! 00! (G. Galperin, 4 pont) 2. Az AB átmér re egy S félkört rajzolunk. Egy az S-en lév tetsz leges C pont esetében (C A, C B) az ABC háromszög AC és BC oldalaihoz a háromszögön kívül négyzeteket illesztünk. Keressük meg a négyzetek középpontjait összeköt szakasz felez pontjainak mértani helyét, miközben a C az S mentén mozog. (J. Tabov, 4 pont) 3. Egy 8 8-as tábla (64 db -es négyzet) fehérre van festve. Kiválaszthatjuk a 64 négyzet közül bármely 3-as téglalapot, és mindhárom négyzetet ellenkez szín re festjük (a feketéket fehérre, a fehéreket feketére). Be lehet az egész táblát feketére festeni ezzel a módszerrel? (I.S. Rubanov, 5 pont) 4. Egy ABCD négyszög AB, BC, CD illetve DA oldalai rendre egyenl k az A B C D négyszög A B, B C, C D és D A oldalaival. Tudjuk, hogy AB párhuzamos CD-vel és B C párhuzamos D A -vel. Bizonyítsuk be, hogy mindkét négyszög paralelogramma. (V. Proizvolov, 5 pont) 5. Az {x n } számsorozatra teljesül, hogy x n+ = x n x n minden n> értékre. Bizonyítsuk be, hogy a sorozat periodikus 9-re, azaz bármely n > -re x n = x n+9. (M. Koncsevics, 6 pont) 6. Egy kártyacsomag n különböz kártyából áll. Egy lépés során kihúzunk egy csoport egymás melletti kártyát együtt a csomag bizonyos helyér l és valahova máshova visszarakjuk anélkül, hogy a csoporton belül kevernénk, vagy megfordítanánk bármely kártyát. Szeretnénk megfordítani a teljes pakliban a kártyák sorrendjét ilyen cserékkel. a) Bizonyítsuk be, hogy n = 9 esetében ez 5 lépésben megtehet. b) Bizonyítsuk be, hogy n = 52 esetében ez i. 27 lépésben megtehet, ii.7 lépésben nem tehet meg, iii. 26 lépésben nem tehet meg. (S.M. Voronin, pont) 40/66

3 JUNIOR, tavasz, els forduló. Adott N db egész szám. Bizonyítsuk be, hogy a négyzetösszegük osztható N-nel, ha tudjuk, hogy közülük bármelyik N- szorzata és a kimaradó szám közti különbség N-nel osztható. (D. Fomin, 3 pont) 2. Három kör mindegyike kívülr l érinti a másikat, sugaraik rendre, r és r. Milyen r értékekre van olyan háromszög, amelyben e körök benne foglaltatnak. (A körök a háromszög belsejében vannak, mindegyik kör érinti a háromszög két oldalát és a háromszög minden oldala két kört érint.) (N.B. Vasziljev, 3 pont) 3. Egy sorban 30 csizma áll (5 pár). Bizonyítsuk be, hogy van tíz olyan egymást követ csizma a sorban valahol, hogy közülük 5 jobb lábas és 5 bal lábas. (D. Fomin, 3 pont) 4. Egy számítógép képerny je a 23-as számot mutatja. Minden percben a számítógép 02-vel növeli a képerny n látható számot. Misa, a számítógépguru meg tudja cserélni a képerny n megjelen szám számjegyeinek sorrendjét. El tudja-e érni azt, hogy soha ne jelenjen meg 4 jegy szám a képen? (F.L. Nazarov, 4 pont) JUNIOR, tavasz, második forduló 3 k. Bizonyítsuk, hogy a 99 darab 3 ( k=,2,,99) alakú tört szorzata nagyobb, mint 2/3. k + (D. Fomin, 3 pont) 2. Az ABCDE ötszögnek van beírt köre és az AD és CE átlók ennek O középpontjában metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy a BO szakasz és a DE oldal mer legesek egymásra. (4 pont) 3. Olyan 5-re végz d számokat keresünk, melyeknek tízes számrendszerbeli alakjában mindegyik számjegy a másodiktól kezd d en legalább akkora, mint az el z számjegy. Ezenkívül a számok négyzetére is teljesülnie kell a fenti tulajdonságnak. a) Keressünk 4 ilyen számot. b) Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok ilyen szám van. (A. Andjans, 2+3 pont) 4. Egy kört az AB húr 2 részre oszt és az egyiket elforgatjuk az A pont körül bizonyos szöggel, így a B pontot a B -be visszük. Összekötjük BB középpontjával az el nem forgatott AB ív felez pontját és az elforgatott AB ív felez pontját is. Mutassuk meg, hogy ezen szakaszok mer legesek egymásra. (F. Nazyrov, 4 pont) 5. Egy országban 8 város van. A király egy olyan úthálózatot szeretne, hogy bármely városból bármely másikba el lehessen jutni legfeljebb egy város érintésével. Semelyik városból nem indulhat k-nál több út. Mely k értékekre lehetséges ez? (D. Fomin, 6 pont) 6. Egy versenyen 6 ökölvívó vesz részt. Minden ökölvívó naponta egyszer mérk zik. A versenyz k különböz kondícióban vannak és az er sebbik mindig nyer. Bizonyítsuk be, hogy egy 0 napos verseny megrendezhet úgy, hogy az er sorrend kiderüljön. A meccsek kiosztása az azt megel z nap este történik és nem változtatható meg. (A. Andjans, 8 pont) 4/66

4 SENIOR, sz, els forduló. A pozitív egészeket -t l n 2 -ig tetsz legesen elhelyeztük egy n n-es sakktábla mez iben. Bizonyítsuk be, hogy van két olyan szomszédos mez (van közös csúcsuk vagy közös olda- luk), hogy a bennük lev számok különbsége legalább n +. (N. Sedrakyan, 4 pont) 2. A síkot párhuzamos egyenesek három végtelen halmazával azonos terület szabályos háromszögekre osztottuk. Legyen M a csúcsok halmaza, továbbá A és B egy ilyen szabályos háromszög két csúcsa. Egy lépésben elforgathatjuk a síkot az M halmaz bármely pontja körül 20 kal. Kerülhet-e A pont B-be ilyen lépések sorozata után? (N. Vasiliev, 4 pont) 3. A falon két ugyanolyan óra van: az egyik a jelenlegi moszkvai id t, a másik pedig a jelenlegi helyi id t mutatja. A két kismutató vége közti minimális távolság m, a maximális távolság M. Mennyi a távolság a két óra középpontja között? (S. Fomin, 4 pont) 4. Téglányokat készítünk a következ módon: veszünk egy egységnyi oldalú kockát, és három közös csúccsal rendelkez lapjához három újabb egységkockát ragasztunk, úgy, hogy az összeragasztott lapok pontosan fedjék egymást. Építhetünk-e ilyen téglányokból 2 3-as téglatestet? (A. Adjans, 5 pont) SENIOR, sz, második forduló. A juniorok. feladata. Itt 3 pont. 2. M az ABC szabályos háromszög körülírt körének AC ívén lév pont. P ennek az ívnek a felez pontja, N a BM húr felez pontja, K pedig a P-b l az MC-re állított mer leges talppontja. Bizonyítsuk be, hogy az ANK háromszög szabályos. (I. Nagel, 4 pont) 3. Vegyük a síkon az egységnégyzetek M véges halmazát. A négyzetek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, és metszhetik egymást. Tudjuk, hogy bármely két négyzet középpontja közti távolság legfeljebb 2 egység. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan egységnégyzet (nem feltétlenül M egyik eleme), aminek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, és M halmaz minden négyzetével van legalább egy közös pontja. (A. Adjans, 4 pont) 4. Adott 20 pont a síkon úgy, hogy semelyik három nincs egy egyenesen. Ezen pontok közül 0 piros, a többi kék. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan egyenes, aminek mindkét oldalán 5 piros és 5 kék pont van. (A. Kusnirenko, 5 pont) 5. Az ABC háromszögben AC = CB. D az AB szakasz egy pontja. Tudjuk, hogy az ACD háromszög beírt körének sugara megegyezik a DB szakaszt, valamint CD és CB szakaszok meghosszabbítását egyaránt érint kör sugarával. Bizonyítsuk be, hogy ez a sugár egyenl az ABC háromszög két egyenl hosszúságú magasságának negyedével. (I. F. Sharygin, 7 pont) 6. Egy kártyacsomag n különböz kártyából áll. Egy lépésben kiveszünk a csomagból valahonnan néhány egymás után következ kártyát, és visszatesszük máshova anélkül, hogy megcserélnénk a sorrendet, vagy akármelyik kártyát felfordítanánk. Az a feladatunk, hogy ilyen lépések sorozatával megfordítsuk a kártyák sorrendjét a csomagon belül. a) Bizonyítsuk be, hogy n = 9 esetén ez megtehet 5 lépésben. b) Bizonyítsuk be, hogy n = 52 esetén ez i. 27 lépéssel megtehet, ii. 7 lépéssel nem tehet meg, iii. 26 lépéssel nem tehet meg. (S. M. Voronin, pont) 42/66

5 SENIOR, tavasz, els forduló. Keressük meg az összes n természetes számot és x, y egészeket (x és y különböz ), amelyek kielégítik a következ egyenletet: n n x + x + x x = y + y + y y (4 pont) 2. Adott egy körön két pontot, K és L. Szerkesszünk olyan ABC háromszöget, aminek C csúcsa és az AK és BL súlyvonalainak metszéspontja egyaránt a körön vannak (K és L a BC, illetve AC oldalak felez pontjai). (4 pont) 3. Egy táblára felírtuk a következ száz számot:, /2, /3,..., /00. Ha letöröljük közülük az a és b számokat, akkor az a + b + ab számot írjuk fel helyettük. 99 ilyen lépés után egyetlen szám marad fenn a táblán. Mi ez a szám? (D. Fomin, 4 pont) 4. a) Elhelyezhetünk-e úgy 5 darab fából készült kockát a térben, hogy mindegyikük érintse az összes többi kockát valamelyik lapjának egy-egy részével? b) Oldjuk meg ugyanezt a kérdést hat kocka esetén is! (2+2 pont) SENIOR, tavasz, második forduló. Olyan 5-re végz d számokat keresünk, amiknek tízes számrendszerbeli alakjában a második jegyt l kezdve egyik számjegy sem kisebb, mint az el tte álló. Továbbá a számok négyzetének ugyanilyen tulajdonságokkal kell rendelkezniük. Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok ilyen szám van. (A. Adjans, 4 pont) 2. Egy körben rögzítjük az MN húrt. A kör minden AB átmér jéhez vegyük az AM és BN szakaszok C metszéspontját, és szerkesszük meg azt az l egyenest, ami átmegy C-n és mer leges AB-re. Bizonyítsuk be, hogy az összes ilyen l egyenes egy ponton megy át. (E. Kulanin, 5 pont) 3. Az x, x 2, x 3,..., x n számok összege 0, négyzeteik összege. Bizonyítsuk be, hogy van közöttük két olyan szám, amiknek szorzata nem nagyobb, mint -/n. (Stolov, 5 pont) 4. Kiválasztottunk 5 pontot a gömbön úgy, hogy közülük semelyik három nem esik egy f körre (a f kör a gömb metszete egy olyan síkkal, ami átmegy a gömb középpontján). Két f kör egyenérték, ha egyikük sem tartalmazza egyik pontot sem az öt közül, és egymásba mozgathatók anélkül, hogy áthaladnának valamelyik kiválasztott ponton. a) Hány olyan f kört tudunk rajzolni a gömbön, amik nem egyenérték ek, és nem tartalmazzák egyik kiválasztott pontot sem? b) Oldjuk meg ugyanezt a kérdést n kiválasztott pontra. (A. Belov, 3+3 pont) 5. Egy királyságban 6 város van. A király olyan úthálózatot akar építtetni, hogy bármelyik városból bármelyik másikba el lehessen jutni legfeljebb egy közbens város érintésével, de minden városból legfeljebb 5 út induljon ki. a) Bizonyítsuk be, hogy ez lehetséges. b) Bizonyítsuk be, hogy 5 helyett 4 út esetén nem lehetséges. (D. Fomin, 4 pont) 6. Egy tornán 32 ökölvívó vesz részt. Mindegyikük legfeljebb egyszer játszhat egy nap. Tudjuk, hogy nem egyforma er sek, és mindig az er sebb gy z. Bizonyítsuk be, hogy rendezhetünk egy 5 napos tornát, aminek az eredménye alapján elkészíthetjük az er sorrendet. A találkozók menetrendjét mindig a mérk zés el tti napon kell rögzíteni, és a nap folyamán nem lehet megváltoztatni. (A. Adjans, 8 pont) 43/66

6 JUNIOR, sz, els forduló. A k kör középpontja rajta van k 2 körön. A és B a körök metszéspontjai. k 2 kör B pontban húzott érint je k kört C pontban metszi. Bizonyítsd be, hogy AB = AC. (V. Prasovov, 3 pont) 2. A repül bástya úgy mozog, mint a sakkban a bástya, de nem léphet szomszédos mez re egy lépésben. Lehetséges-e, hogy egy 4 4-es sakktáblán a repül bástya minden mez re pontosan egyszer lép és végül 6 lépésben visszatér a kezd mez re? (A. Tolpygo, 3 pont) 3. Bizonyítsd be, hogy + = (G. Galperin, 3 pont) 4. Egy körre hat számot írunk. A = B - C, ahol A bármely a körön lév szám, B és C pedig az A-t követ számok a körön az óramutató járásával megegyez irányban. A körön lév hat szám összege. Mik a körön lév számok? ( 3 pont) /66

7 JUNIOR, sz, második forduló. 32 lovag él egy királyságban. Néhány közülük másokat szolgál. Egy szolgának csak egy gazdája lehet, és minden gazda gazdagabb, mint a szolgái. Az olyan lovagot, akinek minimum 4 szolgája van, bárónak hívjuk. Maximum hány báró lehet? (A királyság egyik fontos törvénye: A szolgám szolgája nem az én szolgám ). (A. Tolpygo, 3 pont) 2. Az ABC háromszögben AB = AC és a BAC szög 20º. Legyen D pont az AB oldalon úgy, hogy AD = BC. Mekkora a BCD szög? (I. F. Sharygin, 6 pont) 3. Lehetséges-e, hogy páronként különböz, 00-nál kisebb pozitív egészeket egy 4 4-es táblázat mez ibe írva minden sorban és minden oszlopban a számok szorzata egyenl? (N. B. Vasiliev, 8 pont) 4. Az a n sorozat képzési szabálya: a 0 = 9 és bármilyen nemnegatív k- ra: a k+ =3(a k ) 4 + 4(a k ) 3. Bizonyítsuk be, hogy a 0 (tízes számrendszerben) legalább 00 db 9-est tartalmaz! (Yao, 8 pont) 5. Egy 9 9-es négyzet 8 egységoldalú négyzetre, azaz mez re van felosztva. Néhány mez satírozott. A távolság bármely két satírozott mez középpontja között több mint 2. a) Adj példát jó satírozásra 7 satírozott mez esetén! b) Bizonyítsd be, hogy nem lehet 7-nél több satírozott mez! (S. Fomin, 5 pont) 6. Az ABCDEFGH konvex nyolcszögnek minden bels szöge egyenl, AB = CD = EF = GH, valamint BC = DE = FG = HA. (Az ilyen nyolcszöget félszabályosnak nevezzük) Az AD, BE, CF, DG, EH, FA, GB és HC átlók részekre osztják a nyolcszöget. Tekintsük azt a részt, amelyik a nyolcszög középpontját tartalmazza. Ha ez a rész is nyolcszög, akkor ez a nyolcszög is félszabályos (ez nyilvánvaló). Ekkor megint megszerkesztjük az átlókat a bels nyolcszögben, megint nézzük a középpontot tartalmazó részt és így tovább. Ha valahány lépés után a középpontot tartalmazó alakzat nem nyolcszög, akkor az eljárás leáll. Bizonyítsd be, hogy ha sosem ér véget az eljárás, akkor az eredeti nyolcszög szabályos volt! (A. Tolpygo, 8 pont) 7. n gyerek akar elosztani m darab azonos nagyságú csokoládét egyenl részekre úgy, hogy egyik csokoládé sincs eltörve egynél többször. a) Milyen n-re lehetséges ez, ha m = 9? b) Milyen n és m esetén lehetséges ez? (Y. Tschekanov, 5+7 pont) JUNIOR, tavasz, els forduló. A hónap elején egy boltnak 0 különböz eladnivaló áruja van, azonos árakkal. Minden nap, minden egyes áru ára vagy megduplázódik, vagy megtriplázódik. A következ hónap elejére minden ár különböz lesz. Bizonyítsd be, hogy a legnagyobb és a legkisebb ár aránya nagyobb, mint 27! (D. Fomin és Stanislav Smirnov, 3 pont) 2. Az ABCD trapézban a BC és AD oldalak párhuzamosak, AC = BC + AD, és az átlók közti szög 60º. Bizonyítsd be, hogy AB = CD! (Stanislav Smirnov 3 pont) 3. Frednek, az éremgy jt nek van néhány pénzérméje. Egyiknek sem nagyobb az átmér je 0 cm-nél. Fred minden pénzérméjét egy cm alapterület dobozban tartja. Egy 25 cm átmér j érmével leptük meg. Bizonyítsd be, hogy Fred bele tudja rakni az összes pénzérméjét egy cm alapterület dobozba! (Fedja Nazarov, 3 pont) 4. Egy körvonalat 7 körcikkre osztottunk. Bármely két szomszédos középponti szög összege maximum 03º. Mekkora annak az szögnek a legnagyobb értéke, amire bármelyik középponti szög nagyobb mint? Mutassuk meg, hogy ez valóban a maximális. (A. Tolpygo, 5 pont) 45/66

8 JUNIOR, tavasz, második forduló. Egy n számból álló (n > 2) halmazt zsúfoltnak hívunk, ha minden eleme kisebb, mint a halmaz elemeinek összege osztva n--gyel. Legyen {a, b, c, } egy zsúfolt számhalmaz, elemeinek összege S. Bizonyítsd be, hogy a) a halmaz minden eleme pozitív, b) mindig igaz, hogy a + b > c, c) mindig igaz, hogy a + b S / (n ). (Regina Schleifer, pont) 2. Tekintsük az ABC derékszög háromszöget, ahol A a derékszög csúcs és AC > AB. Legyen E és D rendre az AC-n és BC-n úgy, hogy AB = AE = BD. Bizonyítsd be, hogy az ADE háromszög akkor és csak akkor derékszög, ha az AB:AC:BC arány 3:4:5. (A. Parovan, 6 pont) 3. Legyenek n, m és k természetes számok, ahol m > n. Melyik szám a nagyobb: n + m + n +..., vagy m + n + m +...? Megjegyzés: Mindkét kifejezés k darab négyzetgyökjelet tartalmaz, n és m pedig váltakozik. (N. Kurlandchik, 6 pont). Legyen a P pont az ABC háromszög körülírt körén. Vegyünk fel egy olyan tetsz leges A B C háromszöget, aminek az A B, B C és C A oldalai rendre párhuzamosak a PC, PA és PB szakaszokkal, és húzzunk párhuzamosakat A -en, B -en és C -en keresztül rendre BC, CA és AB oldallal. Bizonyítsuk be, hogy ez a három egyenes egy pontban metszi egymást az A B C háromszög körülírt körén! (V. Prasolov, 0 pont) 2. Adott 50 ezüstérme súly szerint sorba rendezve és 5 aranyérme szintén súly szerinti sorrendben. Bármely két érme súlya különböz. Egy kétkarú mérleggel két érme súlyát összehasonlíthatjuk. Hogy található meg a középs súly (ami az 5. helyen van, ha a 0 érmét súly szerint sorba rendezzük) 7 méréssel? (A. Andjans, 0 pont) 3. Egy kört n körcikkre osztottunk fel. Néhány körcikken gyalogok vannak, összesen n + -en. Ez a helyzet a következ képpen változik: valamely két gyalog, akik ugyanazon a körcikken vannak, egyszerre szomszédos mez re lépnek különböz irányban. Bizonyítsd be, hogy néhány ilyen lépés után elkerülhetetlenül el áll egy olyan helyzet, amikor legalább a körcikkek felében van gyalog. (D. Fomin, 2 pont) SENIOR, sz, els forduló. Egy szögön belül két kör fekszik, A és B középponttal. Érintik egymást és a szög mindkét szárát. Bizonyítsuk be, hogy az AB átmér j kör a szög mindkét szárát érinti. (V. Prasolov, 3 pont) 2. lány és n fiú gombászni ment. Összesen n 2 + 9n - 2 darabot találtak, minden gyerek ugyanannyit. Kik vannak többen, a fiúk vagy a lányok? (A. Tolpygo, 3 pont) AD AB 3. A D pont az ABC háromszög AB oldalán fekszik, és =. Bizonyítsuk, hogy a C- DC BC nél lév szög tompaszög. (S Berlov, 3 pont) 4. Egy körre harminc számot írunk. A = B C, ahol A bármely a körön lév szám, B és C pedig az A-t követ számok a körön az óramutató járásával megegyez irányban. A körön lév harminc szám összege. Mik a körön lév számok? ( 3 pont) 46/66

9 SENIOR, sz, második forduló. Az ABCD húrnégyszögben BC = CD. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög területe egyenl ( AC) 2 sin 2 BAD. (D. Fomin, 6 pont) 2. Fel lehet-e osztani a síkot sokszögekre úgy, hogy mindegyik sokszög 360/7 fokos forgásszimmetriával rendelkezzen? A sokszögek minden oldala legyen cm-nél nagyobb! (Legyen sokszög a sík egy olyan része, melyet önmagát nem metsz zárt töröttvonal határol, és nem feltétlenül konvex.) (A. Andjans, 8 pont) 3. Elhelyezhet -e 8 darab 99-nél kisebb, egymástól különböz pozitív egész szám egy 9 9- es tábla mez iben úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban megegyezzen a számok szorzata? (N.B. Vasziljev, 8 pont) 4. A juniorok 4. feladata. Itt 6 pont. 5. Legyen M az ABC háromszög súlypontja. M körüli 20 fokos forgatással B pont P-be, M körüli 240 fokos forgatással C pont Q-ba megy át. Bizonyítsa be, hogy APQ egyenl oldalú háromszög vagy A, P és Q egybeesnek. (Bykovszky, Kabarovszk, 8 pont) 6. Egy számtani sorozat, melynek különbsége nem egyenl 0-val, természetes számokból áll. Egyik szám sem tartalmaz 9-est. a) Bizonyítsa be, hogy a tagok száma kevesebb, mint 00. b) Adjon példát ilyen sorozatra 72 taggal! c) Bizonyítsa, hogy a tagok száma nem haladja meg a 72-t, ha a sorozat a fenti tulajdonságú. (V. Bugajenko, Tarasov, pont) 7. A juniorok 7. feladata. SENIOR, tavasz, els forduló. A juniorok. feladata. 2. Egy háromszög oldalai 3, 4 és 5 egység. Mindegyik oldalt meghosszabbítjuk, míg el nem metszi a szemközti szög küls szögfelez jét. Így három új pontot kaptunk. Igazoljuk, hogy ezek egyike a másik két pont által meghatározott szakasz felez pontja. (V. Prasolov, 3 pont) 3. Legyen O egy szabályos n-szög középpontja, melynek csúcsai rendre A,..., A n. Legyen a >a 2 > >a n >0. Bizonyítsuk be, hogy az a OA + a 2OA a n OAn vektor nem egyenl a nullvektorral. (D. Fomin, A. Kiricsenko, 4 pont) 4. 0 számot helyeztünk el egy körön. Összegük 00. Bármely 3 szomszédos szám összege legalább 29. Találja meg azt a minimális A-t, aminél bármely ilyen sorozatra igaz, hogy a 0-es sorozat egyik tagja sem nagyobb A-nál. Bizonyítsuk be, hogy A értéke tényleg minimális. (A. Tolpygo, 4 pont) 47/66

10 SENIOR, tavasz, második forduló. Bizonyítsuk be, hogy az egész számok szorzata ( ) -t l (2 99 ) -ig nem négyzetszám. (V. Senderov, 6 pont) 2. Legyenek a és S egy egységsugarú körbe írt szabályos háromszög oldalhossza és területe! A körbe 5 egyenl szakaszból álló zárt töröttvonalat írtunk, A A 2...A 5 A. Ebben bármely két szomszédos pont távolsága éppen a. Tekintsük a következ 5 háromszöget: A A 2 A 3, A 2 A 3 A 4,, A 49 A 50 A 5, A 50 A 5 A, A 5 A A 2. Bizonyítsuk be, hogy területeik összege legalább 3S. (A. Berzins, 6 pont) 3. Egy n n es táblázat i. sorának j. eleme legyen. Kiválasztunk n mez t úgy, hogy i + j minden sorban és oszlopban pontosan egy kiválasztott legyen. Mutassuk meg, hogy a kiválasztott mez kön álló számok összege legalább. (S. Ivanov, 8 pont) 4. Az A A 2 A 3, B B 2 B 3, C C 2 C 3 háromszögek súlypontjai egy egyenesen vannak. A háromszögek csúcsai között nincs három egy egyenesen. Tekintsük mind a 27 háromszöget, melyeknek egy-egy csúcsát rendre az els, második és harmadik háromszögb l választottuk. (A i B j C k típusúak.) Igazoljuk, hogy ez a 27 háromszög két csoportra osztható úgy, hogy a területösszeg mindkett ben ugyanannyi legyen. (A. Andjans, 8 pont) 5. Adott 00 ezüstérme súly szerint sorba rendezve és 0 aranyérme szintén súly szerinti sorrendben. Bármely két érme súlya különböz. Egy kétkarú mérleggel két érme súlyát összehasonlíthatjuk. Hogy található meg a középs súly (ami az 0. helyen van, ha a 20 érmét súly szerint sorba rendezzük) a lehet legkevesebb méréssel? Igazoljuk, hogy ennél kevesebb mérés nem elegend. (A. Andjans, 2 pont) 6. Az n és b természetes számokhoz legyen V(n,b) azon szorzatoknak a száma, melyeknek értéke n és minden tényez jük nagyobb, mint b. Például 36 = 6 6 = 4 9 = = 3 2, tehát n V(36,2)=5. Mutassuk meg, hogy V ( n,b) < minden n és b értékre. b (N.B. Vasziljev, 2 pont) JUNIOR, sz els forduló. 0 sakkozó mindegyike már több bajnokságban is indult. Egyik bajnokságban sem vettek részt mindannyian. A 0 játékos közül bármely kett pontosan egyszer indult ugyanabban a bajnokságban. Igazoljuk, hogy van köztük olyan, aki legalább bajnokságban indult. (Minden bajnokságban mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszik.) (A. Andjans, 3 pont) 2. Egy paralelogramma minden oldalán választunk egy tetsz leges pontot. A közös csúcsú (szomszédos) oldalakon lev pontokat összekötjük. Igazoljuk, hogy a paralelogramma csúcsainál így keletkez négy háromszög köréírt köreinek középpontjai paralelogrammát alkotnak. (ED Kulanin, 3 pont) 3. Mutassuk meg, hogy minden pozitív egész M-nek létezik olyan többese, melynek jegyeinek összege páratlan. (D. Fomin, 3 pont) 4. a) Az ABC háromszögben az A-nál nagyobb szög van, mint B-nél. Mutassuk meg, hogy BC nagyobb, mint AB-nek a fele. b) Az ABCD konvex négyszögben az A-nál nagyobb szög van, mint C-nél, a D-nél nagyobb szög van, mint B-nél. Mutassuk meg, hogy BC nagyobb, mint AD fele. (F. Nazarov, 2+3 pont) 48/66

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................

Részletesebben

V. Matematikai Tehetségnap 2014. október 11. IV. osztály

V. Matematikai Tehetségnap 2014. október 11. IV. osztály V. Matematikai Tehetségnap 014. október 11. IV. osztály Munkaid : 45 perc. Minden feladatnak pontosan egy helyes válasza van. Minden helyes válasz 1 pontot ér. Megválaszolatlanul hagyott kérdésre, illetve

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Országos döntő, 1. nap - 015. május 9. ÖTÖDIK OSZTÁLY - ok 1. Egy háromjegyű szám középső számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk. A két szám összege

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A =

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A = Mátrixok 25. február 23.. Feladat: Legyen A ( 3 2 B ( 3 4 Határozzuk meg A + B, A B, 2A, 3B, 2A 3B,A T és (B T T mátrixokat. A deníciók alapján ( + 3 + 3 + A + B 2 + 4 + + ( 4 2 6 2 ( ( 3 3 2 4 A B 2 4

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik 1991. évi verseny, 1. nap 1. Számold össze, hány pozitív osztója van 16 200-nak! 2. Bontsd fel a 60-at két szám összegére úgy, hogy az egyik szám hetede egyenlő legyen a másik szám nyolcadával! 3. Van

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám,

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám, Dobos Sándor, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: 005. november 1. feladat A 70-nek 80%-a mely számnak a 70%-a? I. rész. feladat Egy szabályos

Részletesebben

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint)

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) (ESZÉV 2004.minta III./7) Egy négyoldalú gúla alaplapja rombusz. A gúla csúcsa a rombusz középpontja felett van, attól 82 cm távolságra. A rombusz oldalának hossza

Részletesebben

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30.

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. 1. Határozzuk meg, hány egybevágósága van egy négyzetnek! Melyek azonos jellegűek ezek között? Ez egy általános bevezető feladat tud

Részletesebben

Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged

Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged A kombinatorika másfajta gondolkodást és így a tanár részéről a többi témakörtől eltérő óravezetést igényel. Sok esetben tapasztalhatjuk, hogy

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés

Részletesebben

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger. feladat Állítsunk merőlegeseket egy húrnégyszög csúcsaiból a csúcsokon át nem menő átlókra. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjai

Részletesebben

Minta 1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 1. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul

közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul Matematika A 4. évfolyam MŰVELETi tulajdonságok, a műveletek közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 4. ÉVFOLYAM 21. modul Műveleti tulajdonságok, a műveletek

Részletesebben

3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben

3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 1. 1. Alapfogalmak 2. Nevezetes sík- és térbeli alakzatok, definícióik 3. Thalész-tétel 4. Gyakorlati alkalmazás Pont: alapfogalom, nem definiáljuk Egyenes:

Részletesebben

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 2016 Fazekas, Berzsenyi Budapest Berzsenyi Dániel Gimnázium Fazekas Mihály Gimnázium Budapest 2. javított kiadás 2016. március 1115. Technikai el készítés, tördelés:

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

13. Oldja meg a valós számpárok halmazán a következ egyenletrendszert!

13. Oldja meg a valós számpárok halmazán a következ egyenletrendszert! A 13. Oldja meg a valós számpárok halmazán a következ egyenletrendszert! x y 600 x 10 y 5 600 12 pont írásbeli vizsga, II. összetev 4 / 20 2008. október 21. 14. a) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f x

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6

7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6 7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6 6. Egy kocka élei 2 cm hosszúak. A kocka fehér, de rendelkezésünkre áll sok a) 1cm 3cm-es b) 1cm 4cm-es c) 1cm 5cm-es d) 1cm 6cm-es piros papírszalag, amelyeket

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat

Bolyai János Matematikai Társulat Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

1. Feladat Van egy kocka alakú szikladarabunk, aminek a térfogata 216 m 3. Hány négyzetméter lesz a szikla felszíne, Eredmény.

1. Feladat Van egy kocka alakú szikladarabunk, aminek a térfogata 216 m 3. Hány négyzetméter lesz a szikla felszíne, Eredmény. 1. Feladat Van egy kocka alakú szikladarabunk, aminek a térfogata 216 m 3. Hány négyzetméter lesz a szikla felszíne, miután kivágunk belőle egy 1 m 1 m 2 m méretű téglatestet az ábrán látható módon? 216

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

1. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 10 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF

1. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 10 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF 1. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 10 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF háromszög egyenlőoldalú, stb ). A 10 pont közül ki kell választani

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

Matematika tanári szeminárium a Fazekasban 2012-2013/4.

Matematika tanári szeminárium a Fazekasban 2012-2013/4. atematika tanári szeminárium a Fazekasban 2012-2013/4. 4. foglalkozás öal. 4474. feladatra 1 sok szép megoldást hoztak Gyenes Zoltán diákjai, a 9.c osztály tanulói. példához nagyon hasonló kérdéssel a

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4;

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Alfa tanár úr 5 tanulót vizsgáztatott matematikából. Az elért pontszámokat véletlen sorrendben írta

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ NYOLCADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ NYOLCADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ NYOLCADIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Az apa, az anya és a három lányuk együtt 118 évesek. Az anya 10 évvel idősebb, mint a három lány együtt.

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Interaktivitás a matematika órán

Interaktivitás a matematika órán Interaktivitás a matematika órán Kiindulópontunk a kocka Szakdolgozat Készítette: Szatmári Tünde Szak: Matematika BSc tanári szakirány Témavezető: Holló-Szabó Ferenc, a Matematikai Múzeum vezetője Eötvös

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

NEMZEDÉKEK TUDÁSA TANKÖNYVKIADÓ

NEMZEDÉKEK TUDÁSA TANKÖNYVKIADÓ POLGÁR JUDIT SAKKPALOTA 1 Képességfejlesztô sakktankönyv NEMZEDÉKEK TUDÁSA TANKÖNYVKIADÓ Budapest TARTALOMJEGYZÉK 1. Ismerkedés a sakk világával... 3 2. Ismerkedés a sakkbábokkal... 7 3. Ismerkedés a sakktáblával...

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Térgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

2007. évi CXXVII. törvény az általános forgalmi adóról. ELSŐ RÉSZ ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK I. Fejezet ALAPVETŐ RENDELKEZÉSEK Bevezető rendelkezés

2007. évi CXXVII. törvény az általános forgalmi adóról. ELSŐ RÉSZ ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK I. Fejezet ALAPVETŐ RENDELKEZÉSEK Bevezető rendelkezés 2007. évi CXXVII. törvény az általános forgalmi adóról Az Országgyűlés - figyelemmel az államháztartás feladatainak ellátásához szükséges állandó, nem konjunktúraérzékeny és értékálló bevétel biztosítására,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória 2005. január 12. feladatok kidolgozására két óra áll rendelkezésre. Számológép nem használható. példák tetszőleges sorrendben megoldhatók.

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 2008 április 11 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti keretbe írja!

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Anna, Béla és Csaba összesen 36 diót talált a kertben. Annának és Bélának együtt 27, Bélának és Csabának együtt 19 diója van. Mennyi diót találtak külön-külön a gyerekek? A 36 dióból 27 Annáé

Részletesebben

Országos Logikai Rejtvénybajnokság 2008. szeptember 14. Instrukciós füzet

Országos Logikai Rejtvénybajnokság 2008. szeptember 14. Instrukciós füzet 1. feladatsor: 100 perc, 1000 pont Instrukciós füzet Kertek (15+30) Az ábrában kertek oldallal szomszédos négyzetekből álló fehér területek rejtőznek, amelyeket egy összefüggő érintkező oldalak mentén

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés!

Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés! Az indukció A logikában indukciónak nevezzük azt a következtetési módot, amelyek segítségével valamely osztályon belül az egyes esetekb l az általánosra következtetünk. Például: 0,, 804, 76, 48 mind oszthatóak

Részletesebben

A 2015/2016 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló javítási-értékelési útmutató. INFORMATIKA II. (programozás) kategória

A 2015/2016 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló javítási-értékelési útmutató. INFORMATIKA II. (programozás) kategória Oktatási Hivatal A 015/016 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló javítási-értékelési útmutató INFORMATIKA II. (programozás) kategória 1. feladat: Épület (5 pont) Egy N szintes

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára Feladatok MATEMATIKÁBÓL a. évfolyam számára I.. Egy 35 fős osztályból mindenki részvett valamelyik iskolai kiránduláson. 5-en Debrecenbe utaztak, 8-an pedig Pécsre. Hányan utaztak mindkét városba?. Állapítsa

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Felkészülést segítő kérdések Gépszerkesztés alapjai tárgyból

Felkészülést segítő kérdések Gépszerkesztés alapjai tárgyból Felkészülést segítő kérdések Gépszerkesztés alapjai tárgyból - Ismertesse a kézi rajzkészítési technikát (mikor használjuk, előny-hátrány stb.)! Kézi technikák közül a gondolatrögzítés leggyorsabb, praktikus

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA MATEMATIKAI OLIMPIA

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA MATEMATIKAI OLIMPIA Slovenská komisia matematickej olympiády Fakulta PEDAS Žilinskej univerzity, Univerzitná 1, 010 26 Žilina MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA MATEMATIKAI OLIMPIA pre žiakov základných škôl a nižších ročníkov osemročných

Részletesebben

VI.7. RÁCSODÁLKOZÁS. A feladatsor jellemzői

VI.7. RÁCSODÁLKOZÁS. A feladatsor jellemzői VI.7. RÁSOÁLKOZÁS Tárgy, téma feladatsor jellemzői háromszögek, négyszögek területe rácssokszögek segítségével. Előzmények él terület fogalma. már ismert terület fogalom (főképp a háromszög és a négyszögek

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

6. évfolyam MATEMATIKA

6. évfolyam MATEMATIKA 28 6. évfolyam MATEMATIKA Országos kompetenciamérés 28 Feladatok és jellemzőik matematika 6. évfolyam Oktatási Hivatal Budapest, 29 6. ÉVFOLYAM A kompetenciamérésekről 28 májusában immár hatodik alkalommal

Részletesebben

A tervezet előterjesztője

A tervezet előterjesztője Jelen előterjesztés csak tervezet, amelynek közigazgatási egyeztetése folyamatban van. A minisztériumok közötti egyeztetés során az előterjesztés koncepcionális kérdései is jelentősen módosulhatnak, ezért

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2006. február 21. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt?

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? skombinatorika 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot írhatunk föl 2 db 1-es, 1 db 2-es és 1 db 3-as

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

1. A testek csoportosítása: gúla, kúp

1. A testek csoportosítása: gúla, kúp TÉRGOMTRI 1. testek csoportosítása: gúla, kúp Keressünk a környezetünkben gömböket, hengereket, hasábokat, gúlákat, kúpokat! Keressük meg a fenti képen az alábbi testeket! gömb egyenes körhenger egyenes

Részletesebben

1. A MÁSODIK OSZTÁLYBAN TANULTAK ISMÉTLÉSE

1. A MÁSODIK OSZTÁLYBAN TANULTAK ISMÉTLÉSE 1. A MÁSODIK OSZTÁLYBAN TANULTAK ISMÉTLÉSE 1. Írd le számokkal! Hat, tizenhat,,hatvan, hatvanhat, ötven, száz, tizenhét, húsz nyolcvankettı, nyolcvanöt. 2. Tedd ki a vagy = jelet! 38 40 2 42 50+4

Részletesebben

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1 2. fejezet Halmazelmélet D 2.1 Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenl nek, ha elemeik ugyanazok. A halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele:. D 2.2 Az A halmazt a B halmaz

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Összeállította: Kucsinka Katalin Tartalomjegyzék Előszó 4 1. Kombinatorika 5 2. Eseményalgebra 14 3. Valószínűségszámítás 21 3.1. Klasszikus valószínűség.....................

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

T Y R O S by Martin Wallace

T Y R O S by Martin Wallace 3-4 játékos számára 10 év felett T Y R O S by Martin Wallace A Tyros egy, a Földközi-tenger területén játszódó kereskedő és gyarmatosító játék. A játékosok egy-egy ókori főníciai kereskedő családot képviselnek.

Részletesebben

Szeminárium-Rekurziók

Szeminárium-Rekurziók 1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

10. évfolyam, ötödikepochafüzet

10. évfolyam, ötödikepochafüzet 10. évfolyam, ötödikepochafüzet (Hasonlóság, trigonometria) Tulajdonos: ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Geometriai transzformációk... 3 I.1. A geometriai transzformációk ismétlése... 3 I.2. A vektorok ismétlése...

Részletesebben

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő?

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő? Észforgató középiskolásoknak 1.Egy tálba egymás után felütünk tíz darab tojást. A tojások közül kettő romlott, de ez csak a feltöréskor derül ki. A záptojások az összes előttük feltört tojást használhatatlanná

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. október 15. 2013. október 15. 8:00 MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA EMELT SZINT% ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. október 15. 2013. október 15. 8:00 MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK I. rész II. rész a feladat sorszáma maximális pontszám elért pontszám maximális pontszám 1. 11 2. 12 51 3. 14 4. 14 16 16 64 16 16 8 nem választott feladat Az írásbeli vizsgarész pontszáma 115 elért pontszám

Részletesebben

Nagylók Község Helyi Építési Szabályzatának és Szabályozási Tervének megállapításáról (egységes szerkezetben)

Nagylók Község Helyi Építési Szabályzatának és Szabályozási Tervének megállapításáról (egységes szerkezetben) NAGYLÓK KÖZSÉG ÖNKORMÁNYZAT KÉPVISELŐ-TESTÜLETÉNEK 16/2006. (X. 30.) önkormányzati rendeletével, 20/2006. (XII. 20.) önkormányzati rendelettel és 18/2015.(XI.18.) önkormányzati rendelettel módosított 11/2006.

Részletesebben

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i ) 6. A láncszabály, a teljes valószínűség tétele és Bayes-tétel Egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett A 1,..., A n A események metszetének valószín sége felírható feltételes valószín ségek segítségével

Részletesebben

Mihályfa Község Önkormányzat Képviselő-testületének 19/2013. (XI.30) önkormányzati rendelete a helyi civil szervezetek pénzügyi támogatásnak rendjéről

Mihályfa Község Önkormányzat Képviselő-testületének 19/2013. (XI.30) önkormányzati rendelete a helyi civil szervezetek pénzügyi támogatásnak rendjéről Mihályfa Község Önkormányzat Képviselő-testületének 19/2013. (XI.30) önkormányzati rendelete a helyi civil szervezetek pénzügyi támogatásnak rendjéről Mihályfa Község Önkormányzat Képviselő-testülete az

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

103. számú melléklet: 104. számú Elıírás. Hatályba lépett az Egyezmény mellékleteként 1998. január 15-én

103. számú melléklet: 104. számú Elıírás. Hatályba lépett az Egyezmény mellékleteként 1998. január 15-én 1998. január 22. ENSZ - EGB 104. sz. Elıírás EGYEZMÉNY A KEREKES JÁRMŐVEKRE, VALAMINT AZ ILYEN JÁRMŐVEKRE FELSZERELHETİ ÉS/VAGY ILYENEKEN ALKALMAZHATÓ SZERELVÉNYEKRE ÉS ALKATRÉSZEKRE VONATKOZÓ EGYSÉGES

Részletesebben