Matematika tanári szeminárium a Fazekasban /4.

Átírás

1 atematika tanári szeminárium a Fazekasban /4. 4. foglalkozás öal feladatra 1 sok szép megoldást hoztak Gyenes Zoltán diákjai, a 9.c osztály tanulói. példához nagyon hasonló kérdéssel a 2011/12 tanévi 4. szemináriumon foglalkoztunk 2 Ezért a ömal példát is afelé visszük, alább a következőképpen módosítjuk: Feladat z D négyzet,, D és D oldalain vegyük fel rendre a, L, és pontokat úgy, hogy L = L = = 45 legyen. izonyítsuk be, hogy a, L,, és pontok egy körön vannak. D L I. megoldás Tekintsük az L háromszög k L körülírt körét, a kör középpontját jelölje O L. kerületi és középponti szögek tétele alapján O L = 2 L = 90, és mivel az O L háromszög egyenlő szárú, így O L = 45, tehát az O L pont rajta van az átlón, így a kör szimmetrikus az. átlóra. esse a kör tehát a négyzet D oldalát az L pont átlóra való tükörképében, az L pontban, továbbá az pontban. D L D L L k L O L k O z szakasz 45 -os látóköre k L z szakasz 45 -os látóköre k tükrözés miatt LL = 45, így az L háromszög körülírt körében az L húrhoz tartozó kerületi szög nagyságal -nél 135, azaz L = 45. zonban a feladat feltétele alapján L = 45, vagyis az és az pont egybeesik, azaz az,, L és pontok egy körön vannak. 1 lásd 2 lásd 1 Gyenes, Hraskó, Pataki

2 atematika tanári szeminárium a Fazekasban /4. Hasonlóan igazolható(lásd a bal oldali ábrát), hogy az,, és L pontok is egy körön vannak. Ezzel a bizonyítandót beláttuk, mivel a két pontnégyesnek három közös eleme (, L és ) van. II. megoldás Szabó arnabás z L,, L háromszögek k L, k, k körülírt köreit vizsgáljuk. z I. megoldásban láttuk, hogy az L háromszög körülírt körének O L középpontja a négyzet átlóján van. Hasonlóan igazolható, hog az háromszögkörülírtköréneko középpontjaisilleszkedik-re. Végülmegmutatjuk, hogy az L háromszög körülírt körének O középpontja is rajta van az átlón. Ismét a kerületi és középponti szögek tétele alapján O L = 90, így az O és a pont is rajta van az L szakasz Thálesz-körén. ivel O = O L, így a Thalesz körön az O pont az (egyik) L félkörív felezőpontja, így a kerületi szögek tétele alapján O = 45. Ez azt jelenti, hogy az O pont is rajta van a négyzet átlóján. k L D O L L k D O k D O L z L körülírt köre k L z körülírt köre k z L körülírt köre k Innen már könnyű megmutatni, hogy az O L, O, O pontok egybeesnek. ivelazo ésazo pontis rajtavan az szakaszfelezőmerőlegesén,illetve a négyzet átlóján, ezért megegyeznek. Hasonlóan, az O L és az O pont is rajta van az L szakasz felezőmerőlegesén és a négyzet átlóján, így ezek is egybeesnek. Tehát O L, O és O ugyanaz a pont, így az öt vizsgált pont egy körön van. III. megoldás Sal ristóf Tükrözzük az D háromszöget az szakasz egyenesére, az L háromszöget pedig az L szakasz egyenesére. két tükrözésnél az D és az szakasz képe meg fog egyezni, tehát tükörképük egy közös T szakasz. Valóban, L = 45 és ezért D +L = 45, így a D, L szögek tükörképei épp kitöltik az L szöget. Ráadásul D = tehát és ténleg egy közös T pontba kerül. ivel D = L = 90, így e szögek képei: T +T L = = 180, azaz T az L szakaszra esik. 2 Gyenes, Hraskó, Pataki

3 atematika tanári szeminárium a Fazekasban /4. D T L k O ivel = L (= 45 ), így az és az L szakasz párhuzamos. Vegyük még észre, hogy L = L, mert D és is párhuzamos, így L = L és az L-re való tükrözés miatt L = L. Ez a két tény azt jelenti, hogy az L négyszög szimmetrikus trapéz, azaz ez a négy pont egy körön van. Hasonló elmondható az L négyszögről is. ivel a két négyszögnek három közös csúcsa van, így a körülírt köreiknek meg kell egyezniük, és ez volt a bizonyítandó. IV. megoldás III. megoldás elején megmutattuk, hogy az D szakasz egyenesre vonatkozó tükörképe megegyezik az szakasz L egyenesére vonatkozó tükörképével és ez az L háromszög T magasságvonala. D T L E T L k O T Tükrözzük az tengelyre az egyenest is! ivel = L = 45, így L és L. z pont az D, egyenesek metszéspontja, így tükörképe e két egyenes tükörképénekmetszéspontja, 3 Gyenes, Hraskó, Pataki

4 atematika tanári szeminárium a Fazekasban /4. azaz a L háromszög E magasságpontja. Hasonlóan igazolható, hogy a pont L tengelyre vonatkozó tükörképe is az E magasságpont. Ismeretes, hogy a háromszög magasságpontjának az oldalakra vonatkozó tükörképei a körülírt körön vannak, azaz esetünkben és illeszkedik a L háromszög körülírt körére. egjegyzés ömal feladatban azt kellett igazolni, hogy L = L Ez a fenti gondolatmenetek bármelyikéből rövid úton adódik. IV. megoldásban = E és L = LE így az állítás kapcsolatos azzal az önmagában is érdekes ténnyel, hogy bármely háromszögben az oldal négyzetének és a szemköztes csúcs magasságponttól való távolsága négyzetének összege mindegyik oldal választásánál ugyanazt az értéket adja. V. megoldás L, D háromszögek oldalai párhuzamosak egymással, így ez a két háromszög hasonló. Ha = D = 1, D = ξ és L = η, akkor az D L D = aránypárból = ξη. Ezzel analóg módon, a L, D háromszögek is hasonlóak és az L = D D aránypárból D = ξη következik. zt kaptuk, hogy D = és persze ilyenkor =. Tekintsük az háromszög k körülírt körét és az D háromszög k körülírt körét. Ezek érintik egymást -ban, hiszen mindkettő középpontja az D szögfelezőjén van. z húrhoz k-ban 45 -os kerületi szög tartozik. Ez a kerületi szög megegyezik az egyenes és a k kör -beli érintőjének szögével, azaz az húr érintő szárú kerületi szögével. Ez az érintő szárú kerületi szög megegyezik az szakasz és a k kör -beli érintőjének szögével, tehát a k körben az húr kerületi szöge is 45. z húrtól az L pont ugyanolyan irányban van, mint az húrtól, így ha L = 45, akkor L illeszkedik k -ra. Hasonlóan igazolható, hogy is illeszkedik k -ra. További vizsgálatok 1. feladat Általánosítsuk a feladatot! Fontos, hogy négyzetből induljunk ki? Lehet lazítani, azon, hogy a L, L, szögek mind egyenlők legyenek egymással. 2. feladat z ábrákon úgy tűnik, hogy a, D, L, L pontok egy egyenesen vannak. Döntsük el, hogy igaz-e ez az észrevétel! 3. feladat ozgassuk az L pontot a egyenesen és szerkesszük meg hozzá a, D, D pontokat a L = L = = 45 feltételnek megfelelően. Elemezzük az ábrát! Eljátszhatunk az ábrával a Pataki János tanár úr által készített geogebra fájl segítségével: lattice.ggb Egy konkrét kérdés a példa kedvéért: tekintsük azt a paralelogramma-rácsot, amelynek origója az pont, bázisvektorai az L, vektorok! Hol mozognak 4 Gyenes, Hraskó, Pataki

5 atematika tanári szeminárium a Fazekasban /4. a rácspontok? Tekintsük pld azt az P pontot, amelyre P = L+. i a P pont mértani helye, ha L befutja a egyenest? 4. feladat Elvéthetjük az csúcsot, úgy tűnik, hogy a korábbi öt helyett négypont a párhuzamosoldalpárközti L 2, L 3 pontpár ésegy-egyszomszédjuk még mindig egy körre kerül (lásd az alábbi ábrát). Igaz-e ez az észrevétel? D L 3 L 4 L 1 L 2 egoldások, ötletek 1. feladat IV. megoldás alapján elég azt elérni, hogy (i) ha L-re tükrözzük az egyenest és -re D-t, akkor ugyanahhoz az egyeneshez jussunk; (ii) az előbbi tükrözéseknél illetve D képe egybeessen; (iii) ez a kép az L egyenesre kerüljön; (iv) az L-re illetve -re vonatkozó tükrözésnél illetve D képe merőleges legyen -re illetve L-re. Valóban, ha mindezek teljesülnek, akkor az, D szakaszok L-re illetve -re tükrözött képe az L háromszög T magasságvonala lesz és illetve ugyanezeknél a tükrözéseknél az L háromszög magasságpontjába képződik. Így,, L,, egy körön lesznek, hiszen a háromszög magasságpontjának az oldalakra vonatkozó tükörképei a háromszög körülírt körén vannak. L = L összefüggésfentiafenti,,egjegyzés -ből következik. z (i) feltétel azzal ekvivalens, hogy L = 1 2 D. Ezek után (ii) az = D feltételt jelenti. (iii) összefüggés az L + D = 180 feltételt követeli meg, tehát azt, hogy D húrnégyszög legyen. (iv) feltétel az L +L = L + = 90 relációval ekvivalens. indezek alapján kimondhatjuk: ÁllításHaD olyandeltoid, amelyben = D és = D = 90 és a deltoid,, D, D oldalain rendre úgy helyezkednek el a, L,, pontok, hogy L = = 1 2 D és L = 1 2 D, akkor a, L,,, pontok egy körön vannak és L = L em állítjuk, hogy a feladatnak nincs további általánosítása. 2. feladat IV. megoldás ábrájából leolvasható, hogy ez a feladat a következőképpen is fogalmazható: bármely háromszögben bármely magasságvonal talppontjának az őt nem tartalmazó oldalegyenesekre való tükörképei egy 5 Gyenes, Hraskó, Pataki

6 atematika tanári szeminárium a Fazekasban /4. egyenesen vannak a másik két magasságvonal talppontjával. Vagy másképp: a háromszög talpponti háromszögében az eredeti háromszög oldalai külső vagy belső szögfelezők. Ezeket az összefüggéseket itt nem igazoljuk. tanítás során akkor szoktak előkerülni ezek az összefüggések, amikor igazoljuk, hogy a(hegyesszögű) háromszögbe írt legkisebb kerületű háromszög a talpponti háromszög. 3. feladat Tekintsük az pontot koordinátarendszerünk origójának, melybenaz egyenesazx-, azd egyenesazy-tengelyés(1,0), D(0,1), (1,1). Legyen P vetülete a tengelyeken P x illetve P y. ivel = LP, így ezen vektorok x-tengelyre eső merőleges vetülete is egyenlő: P x = D = ξ. Ehhez hasonlóan P y = L = η, tehát P(1+ξ,1+η). III. (Sal ristóf-féle) megoldás szerint D = T és L = LT, tehát L = ξ + η. II. (Szabó arnabás-féle) megoldás szerint L =, azaz = ξ +η. z V. megoldás szerint = ξη. indezekből 1 = = + = ξ +η +ξη = (1+ξ)(1+η) 1, azaz P koordinátáinak szorzata 2, P egy hiperbolán mozog. y P y η D ξ ξ +η ξ T η L η ξη ξ P x P(1+ξ,1+η) x Itt nem foglalkozunk azzal, hogy P bejárja-e a teljes (fél)hiperbolát illetve, ha L-et csak a szakaszon futtatjuk, akkor hol lehet a hiperbolán P. 4. feladat Tekintsük az L 1 L 2 L 3 háromszög l körülírt körét. Ebben az L 1 L 3 húr kerületi szöge L 1 L 2 L 3 = 45, így középponti szöge: L 1 O l L 2 = 90. Forgassukel O l körül 90 -kal az L 2 L 3 szakaszt, hogy az L 3 pont L 1 -be kerüljön. Ilyenkoraz L 2 pont képe az D egyenesegy L 2 pontjába kerül, hiszen a négyzet és D párhuzamos oldalpárja közti szakasz forgattunk el 90 -kal és az D-beli végpont -re került. ásrészt az elforgatásnál az l kör önmagába képződik, tehát L 2 az l körön van. z elforgatás miatt L 2O l L 2 = 90, ez az L 2 L 2 húr középponti szöge l-ben, így kerületi szöge L 2 L 3L 2 = 45, azaz L 2 = L 4. Ezzel beláttuk, hogy az L 1, L 2, L 3, L 4 pontok egy körön vannak. 6 Gyenes, Hraskó, Pataki