1.1. Gyökök és hatványozás Hatványozás Gyökök Azonosságok Egyenlőtlenségek... 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3"

Átírás

1

2 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal Gyökök és hatványozás Hatványozás Gyökök Azonosságok Egyenlőtlenségek Függvények A függvény fogalma Injektív, szürjektív függvények Függvények összetétele Inverz függvény Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek Elsőfokú egyenletek Valós szám abszolút értéke Másodfokú függvény Komplex számok Algebrai alak Az i hatványai A z konjugáltja Komplex szám abszolút értéke Trigonometriai alak Moivre-képlet Exponenciális alak Binom egyenlet Haladványok Számtani sorozatok Mértani sorozatok Egy alkalmazás Logaritmusok Alap logaritmikus és exponenciális egyenletek Alap logaritmikus és exponenciális egyenlőtlenségek...21

3 8. Mértan Vektorok Nevezetes helyzetvektorokkal kapcsolatos tételek Analitikus mértan térben, síkban Egy pont és két nem párhuzamos irány által meghatározott sík egyenlete Három nem kollineáris pont által meghatározott sík egyenlete A sík tengelymetszetes egyenlete A sík általános egyenlete A koordináta-rendszerhez viszonyítva sajátos helyzetű síkok egyenletei Egyenesek egyenletei Két különböző pont által meghatározott egyenes egyenlete Az egyenes általános egyenlete Síkbeli egyenesek egyenletei Két különböző pont által meghatározott egyenes egyenlete Két térbeli egyenes szöge Pont távolsága egyenestől (síkban) Szögfelezők egyenletei (síkban) Pont távolsága egyenestől (térben) A kör Az ellipszis A hiperbola Parabola Skaláris szorzat további alkalmazásai A matematikai indukció módszere A Peano-féle axiómák A matematikai indukció módszere A matematikai indukció módszerének egy változata Kombinatorika Permutációk Variációk Kombinációk Newton binomiális képlete Azonos hatványösszegek Polinomok Egy polinom algebrai alakja Polinomok oszthatósága...50

4 12.3. Irreducibilis polinomok Polinomok gyökei Algebrai egyenletek Polinomok melyek együtthatói R, Q, Z-ből vannak Permutációk, mátrixok és determinánsok Permutációk Mátrixok Műveletek mátrixokkal Determinánsok Mátrix inverse A mátrix nyoma, Tr(A) További képletek Lineáris rendszerek Jelölések Összeférhetőség Trigonometria Trigonometriai képletek Trigonometria alkalmazása a mértanban Matematikai analízis Rekurziók Elsőrendű rekurziók Másodrendű rekurziók Sorozatok határértéke Általános határértékek, konvergencia kritériumok Függvényhatárértékek Műveletek függvényhatárértékekkel Alaphatárértékek Függvények folytonossága Folytonosságra vonatkozó tételek Deriválható függvények Derivált értelmezése egy pontban Deriválási szabályok Néhány függvény deriváltja Összetett függvény deriváltja Magasabbrendű deriváltak Deriválható függvények tulajdonságai Integrálok Határozatlan integrálok...80

5 17. Primitiválhatósága Racionális függvények primitívje Integrálok amelyek tartalmazzák az r = (x 2 + a 2 ) 1/ Integrálok amelyek tartalmazzák az s = (x 2 a 2 ) 1/ Integrálok amelyek tartalmazzák a t = (a 2 x 2 ) 1/ Integrálok amelyek tartalmazzák az R = (ax 2 + bx + c) 1/ Trigonometrikus integrálok, amelyek csak a sin-t tartalmazzák Trigonometrikus integrálok, amelyek csak a cos-t tartalmazzák Trigonometrikus integrálok, amelyek csak a tan-t tartalmazzák Trigonometrikus integrálok, amelyek tartalmazzák a sin-t és cos-t Logaritmikus integrálok A határozott integrál tulajdonságai Integrálok additivitása intervallumokon Fundamentális tétel (Alaptétel) Egyenlőtlenségek Más tételek Primitiválható függvények Integrálható függvények Algebrai struktúrák Csoportok Tulajdonságok és nevezetes tételek Monoidok Gyűrűk Testek Vektorterek...99

6 1 Műveletek valós számokkal 1.1 Gyökök és hatványozás Hatványozás 1. a m n = a m a n 2. a m b m = (a b) m 3. a m : a n = a m n 4. a m : b m = (a : b) m 5. a m = 1 a m 6. (a m ) n = a mn. A valós számok hatványai kiterjeszthetőek racionális, irracionális, illetve valós hatványokkál is sorok segítségével. Ezek a hatványok is rendelkeznek azokkal a tulajdonságokkal amivel a természetes kitevöjű hayványok Gyökök Az alábbi képletekben értelemszerűen az n, m 2, valamint az a, b, c számok olyan valós számok, amelyekre az adott kifejezéseknek van értelme: n 1. a = a 1 n, a > 0; n 1 2. a = n 1 a = a 1 n ; 3. ( n a) n = a; n 4. a n b = n ab; ( ) n n 1 5. a = 1 a ; n 6. a n b n c = n abc; n 7. a : n b = n a b ; m 8. a n a = nm a n+m ; m 9. a : n a = nm a n m ; 10. n a nm = a m ; m 11. a n = a n m ; mn 12. a mp = n a p ; m 13. a p n b q = nm a pn b qm ; 1

7 14. m n a = nm a; 15. a 2 = a ; 2n a = 2n+1 a; 17. a ± a+c b = 2 ± a c 2 ahol a c 2 = a 2 b egynlőségből határozzuk meg a c értékét. Tekintsük a következő példát a 17 képletre. Hozzuk egyszerűbb alakra kifejezést. Ebben az esetben nehéz dolgunk van és nem igazán tudunk vele mit kezdeni, ezért folyamodunk a fenti képlethez: c 2 = = 1, tehát 1.2 Azonosságok = + = Bármely x, y, z, t, a, b, c, d R és n N esetén: 1. a 2 b 2 = (a b)(a + b) 2. (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax by) 2 + (ay + bx) 2 3. a b b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) 4. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) 5. a 3 + b 3 + c 3 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca) 6. a b + b 3 + c 3 = (a + b + c) 3 3(a + b)(b + c)(c + a) 7. a 4 b 4 = (a b)(a + b)(a 2 + b 2 ) 8. a 4 + b 4 = (a 2 + b 2 ab 2)(a 2 + b 2 + ab 2) 9. a 5 b 5 = (a + b)(a 4 + a 3 b + a 2 b 2 + ab 3 + b 4 ) 10. a 6 + b 6 = (a 3 2ab 2 ) 2 + (b 3 2a 2 b) a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b ab n 2 + b n 1 ) 12. a 2n+1 + b 2n+1 = (a + b)(a 2 n a 2n 1 b +... ab 2n 1 + b 2n ) 13. (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac 2 n n n 14. a j x j = a 2 j j=1 x 2 j j=1 j=1 1 i<j n (a i x j a j x i ) 2 2

8 11 Kombinatorika 11.1 Permutációk Értelmezés Ehu halmazt egy rendezési relációval ellátva egy rendezett halmaznak nevezünk. és (a 1, a 2,..., a n ) jelölést használjuk. Értelmezés Egy n elemű A halmaz permutációin az összes rendezett halmazt értjük melyet az A-nak az n db, eleméből lehet képezni. Egy elemű n,(n N ) halmaz permutációinak a száma P n = n = n!; 0! = 1(definíció szerint). Tulajdonságok (faktoriálisok): n! = (n 1)! n és n! = (n+1)! n Variációk Értelmezés Egy n elemű A halmaz m-ed rendű variációján az A elemeiből képezhető összes m elemű rendezett részhalmazt értjük Jelölés Vn m. Tétel Az n elemű halmaz m-ed rendű variációinak a száma V m n = n(n 1)...(n m + 1) = n! (n m)!, n m. Tulajdonságok: A n n = P n, A n n = n! 0! vagy An n = n!; A n 1 n = A n n; A 0 n = Kombinációk Értelmezés Egy n elemű A halmaz m-ed rendü kombinációján az összes A-beli elemekből képezhető m elemű részhalmazt értjük. Jelölés: C m n. Tétel Tulajdonságok: 1. C 1 n = n; C n n = C 0 n = C 0 0 = 1; 2. C m n = C n m n ; 47

9 3. C m n = C m n 1 + C m 1 n 1 ; 4. Egy n elemű halmaz összes részhalmazainak a száma 2 n, azaz C 0 n C n n = 2 n 5. C m n = C m 1 n 1 + Cm 1 n Cm 1 m+1 + Cm 1 m + Cm 1 m 1 ; 6. = C p1 n ahol p p m < n. n! p 1! p 2!... p m! C p2 n p 1... C n (p1+p2+...+p pm m 1, 11.4 Newton binomiális képlete Érvényes az alábbi kifejtés: (x+a) n = C 0 nx n +C 1 nx n 1 a+...+c k nx n k a k C n na n, (x a) n = C 0 nx n C 1 nx n 1 a ( 1) k C k nx n k a k ( 1) n C n na n. Tétel Tulajdonságok: 1. A k + 1-ed rendű elem T k+1 = ( 1) k C k nx n k a k 2. Cn k+1 = n k k+1 Ck n; 3. Cn+1 k+1 = n k k+1 Ck n; 4. T k+2 = n k a k+1 x T k+1 vagy T k+2 = n k a k+1 x T k+1; 5. Az (x ± a) n kibontásának n + 1 tagja van; 6. A két végétől egyenlő távolságra elhelyezkedő tagok együtthatói egyenlőek. Tétel Érvényesek: 1. C 0 n + C 1 n C n n = 2 n ; C 0 n C 1 n ( 1 n )C n n = 0; 48

10 2. Cn 0 + Cn 2 + Cn = 2 n 1 ; Cn 1 + Cn 3 + Cn = 2 n 1 ; 3. C2n n = (Cn) (Cn) (Cn) n 2. A Newton-Binomiális kifejtés néhány sajátos esete: 1) (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 ; 2) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ac); 3) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ; 4) (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 ; 5) (a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3(a 2 b + a 2 c + b 2 a + b 2 c + c 2 a + c 2 b) + 6abc; 6) (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b Azonos hatványösszegek Ha S p = 1 p + 2 p n p, p N, akkor: 1. S 1 = n(n+1) 2 ; 2. S 2 = n(n+1)(2n+1) 6 ; 3. S 3 = ( n(n+1) 2 ) 2 ; 4. S 4 = n(n+1)(6n3 +9n 2 +n 1) 30 ; 5. S 5 = n2 (n+1) 2 (2n 2 +2n 1) Az S p kiszámolására szolgáló egyik képlet, az S p 1, S p 2,..., S 1 segítségével az ún. Pascal formula: (n + 1) p+1 = 1 + C 1 p+1s p C p p+1 S 1 + n. 12 Polinomok 12.1 Egy polinom algebrai alakja Az f C[x] polinom a következő alakba írható f = a 0 X n + a 1 X n a 1 X + a 0, ahol n a polinom fokszáma, a 0 szabad tag és a n a főe- 49

11 13 Permutációk, mátrixok és determinánsok 13.1 Permutációk Értelmezés Legyen A = {1, 2,..., n}, σ egy n-d rendű permutációnak nevezzük ha σ : A A egy bijektív függvény. ( σ = ) 1 2 n σ(a) σ(2) σ(n) Legyen S n az n-d rendű permutációk halmaza; S n = n!, 1 A = e, legyen az identikus permutáció ( 1 2 n e = 1 2 n ) ; Permutációk összetétele: Legyen σ, τ S n akkor ( σ τ = 1 2 n σ(τ(1)) σ(τ(2)) σ(τ(n)) ) S n. Értelmezés Legyen i, j A, i j, τ ij S n, τ ij transzpoziciónak nevezzük ha: j, ha k = i; τ ij (k) = i, ha k = j; k, különben, Tétel Észrevételek: 1.) (τ ij ) 1 = τ ij ; 2.) Az n-d rendű transzpoziciók száma Cn. 2 53

12 Értelmezés Legyen (i, j) A A,i < j, (i, j) számpárról azt mondjuk hogy egy inverziója a σ-nak ha σ(j) < σ(i). Az m(σ) az inverziók száma esetén σ : 0 m(σ) C 2 n = n(n 1). 2 Ekkor az ɛ(σ) = ( 1) m(σ) nevezzük σ előjelének. Tétel Megjegyzések: 1. A σ permutációt párosnak mondjuk ha ɛ(σ) = 1, illetve páratlannak ha ɛ(σ) = 1; 2. Minden transzpozició páratlan; 3. ɛ(σ) = σ(i) σ(j) ; i j 1 i<j n 4. ɛ(σ τ) = ɛ(σ) ɛ(τ) Mátrixok Értelmezés Legyen M = {1, 2,..., m} és N = {1, 2,..., n}. Egy A : M N C, leképezés eseteén amelyre A(i, j) = a ij (m, n) mátrixnak nevezzük, amelynek m sora és n oszlopa van: a 11 a 1n a 21 a 2n..... a m1 a mn és a komplex elemű mátrixok halmazát a következőképpen jelöljük: M m,n (C) amelyek (m, n) típusuak. Értelmezés Ha m = n akkor n-d rendű négyzetes mátrixnak nevezzük, és ezek halmazát a következőképpen jelöljük M n (C). Értelmezés Két 54 A, B M m,n (C)

13 akkor és csak akkor egyenlő ha a ij = b ij, (i, j) M N 13.3 Műveletek mátrixokkal: 1. (Összeadás:) Legyen A, B M m,n (C) akkor C = A + B M m,n (C), ahol c ij = a ij + b ij, (i, j) MxN, mátrixot az A és B mátrixok összegének nevezzük. Az összeadás tulajdonságai: A, B, C M m,n (C) esetén: (a) A + B = B + A (b) (A + B) + C = A + (B + C) (c) A + O = O + A = A(a semleges elem ahol O = O m,n a null mátrix) (d) A + ( A) = ( A) + A = O (az A elentetje A). 2. (Skalárral való szorzás:) Legyen A M m,n (C) és λ C akkor B = λa M m,n (C), ahol b ij = λa ij, (i, j) M N a B mátrixot az A mátrix a λ skalárral való szórzásának nevezzük. Tulajdonságok: A, B M m,n (C) és λ, µ C esetén: (a) 1 A = A; (b) λ A = A λ; (c) (λ + µ)a = λa + µa; (d) λ(a + B) = λa + λb; (e) λ(µa) = (λµ)a = µ(λa). 3. (Mátrix transzponáltja:) Legyen A M m,n (C) akkor A t M m,n (C) ahol a t ij = a ji, (i, j) M N. 4. (Mátrixok szorzása:) Legyen A M m,n (C) és B M n,p (C) akkor 55

14 C = A B M m,p (C), mátrixot a következő képpen kapjuk meg: c ij = (i, j) M N. n a ik b kj, k=1 A mátrixok szorzásának a következő fontos tulajdonságai vannak: (a) (AB)C = A(BC); (b) AI n = I n (a semleges elem az egységmátrix) I n = M m,n (C); (d) (A + B)C = AC + BC; (e) A(B + C) = AB + AC Determinánsok Legyen M n (C) az n-d rendű négyzetes mátrixok halmaza, amelyet a következő alakban is írhatunk: A = a 11 a 1n a 21 a 2n..... a n1 a nn Értelmezés Az A mátrix determinánsán a következő számot értjük det A = σ S n ɛ(σ)a 1σ(a) a 2σ(2)...a nσ(n) 56

15 A következőképpen jelöljük: det A = Érvényes: a 11 a 1n a 21 a 2n a n1 a nn det A = a i1 A i1 + a i2 A i a in A in, ahol A ij a ij elem algebrai komplementuma, amely A ij = ( 1) ( i + j)d ij, ahol d ij az a ij elemhez tartozó aldetermináns. Tétel Ha C = A B, akkor det C = det A det B ahol A, B, C M n (C)). Tétel Négyzetes másodrendű mátrix determinánsa: a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 21 Tétel Harmadrendű mátrix determinánsa: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 12 a 23 a 31 a 31 a 22 a 13 a 11 a 32 a 23 a 21 a 12 a

16 Tétel Ha A egy integritási tartomány, akkor A[x] is integrtási tartomány és grad(f g) = gradf + gradg, f, g A[x] Testek Legyen (K, +, ) struktúra és K K K, (x, y) x + y, K K K, (x, y) x y, K nem üres; Értelmezés (K, +, ) egy test, ha (K, +, ) gyűrű, 0 1 és x K, x 0 x x 1 K : x x 1 = x 1 x = 1. Ha x y = y x, x, y K akkor a test kommutatív. Példák: 1. (Q, +, ) racionális számok teste; 2. (R, +, ) valós számok teste; 3. (C, +, ) komplex számok teste; 4. (Q( (d), +, )), (d Z négyzetmentes); 5. (Z p, +, ) maradékosztályok test modulo p N, p > 1, p prím. Értelmezés Legyenek (A,, ) és (A,, ) testek: f : A A egy test izomorfizmus, ha f bijectív és f(x y) = f(x) f(y) f(x y) = f(x) f(y), x, y A. Tétel (Maradékos osztás tétele). K kommuatív test, g K[x], g 0 ekkor f K[x] esetén léteznek q, r K[x] egyértelműen meghatározott polinomok úgy, hogy f = q g + r, deg r < deg g. 98

17 Tulajdonságok: 1.) Ha K test karakterisztikája nem nulla, akkor bíztosan egy prímszám. 2.) Bármely, testek között ható morfizmus injektív. 3.) Wedderburn tétel:minden véges test kommutatív. 4.) Kaplanski tétel: Legyen K egy test. Ha a K, n(a) N úgy, hogy a n(a) Z(K) következik, hogy K komutatív Vektorterek Egy V halmaz (a vektorok halmaza), együtt egy (K, +, ) testel(a skalárok teste),egy + a V -n értelmezett belső művelettel(a vektorok összeadása) és egy művelettel (vektorok skalárral való szorzása) egy vektorteret képez, ha teljesülnek az alábbiak: 1.) (V, +) kommutatív csoport 2.) (K, +, ) kommutatív test 3.) A skaláral való szorzásnak az alábbi tulajdonságai kell teljesüljenek: a.) a, b K és x V esetén: (a b) x = a (b x) (asszociativitás) b.) x V esetén 1 x = x, ahol 1 a K semleges elem a szorzásra nézve. c.) a K és x, y V teljesül, hogy a (x + y) = a x + a y (I. distributivitás) d.) a, b K és x V esetén (a + b) x = a x + b x (II. distributivitás) Azt mondjuk, hogy V egy K fölötti vektortér és K V -el jelöljük. Ha(egy vektortéren bevezetünk egy "mértéket" a vektorok hosszának a mérésére (melyet "normának" nevezünk), akkor egy normált teret kapunk. A norma egy távolság fogalmat is maga után von, így minden normált tér egyben metrikus tér is 99

18 és következésképpen topológikus tér is. Tulajdonságok: 1.) Legyen K V vektortér, a K és x V. Ekkor: ax = 0 V a = 0 K és ( a)x = a( x) = ax 2.) a) Két vektortér morfizmus összetétele is vektortér morfizmus. b) Egy vektortér izomorfizmus inverze is egy vektortér izomorfizmus. 100

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke...

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke... Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 5 2.1. A függvény

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

1. Lineáris leképezések

1. Lineáris leképezések Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék III 1. Aritmetika 1 1.1. Elemi számolási szabályok............................... 1 1.1.1. Számok..................................... 1 1.1.1.1. Természetes, egész és racionális számok.............. 1

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9.Ny osztály Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Algebra és számelmélet Alapműveletek az egész és törtszámok körében Műveleti sorrend,

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

Témakörök az osztályozó vizsgához. Matematika

Témakörök az osztályozó vizsgához. Matematika Témakörök az osztályozó vizsgához Idegenforgalmi és Informatikus osztályok (9.A/9.B) 1. A halmazok, számhalmazok, ponthalmazok 2. Függvények 3. A számelmélet elemei. Hatványozás. 0 és negatív kitevőjű

Részletesebben

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem 2006 Bevezetés Ez az anyag tartalmazza az Algebra és számelmélet című tárgy 4. féléves részének kötelező elméleti

Részletesebben

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás 12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat

Részletesebben

http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/formalis.htm

http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/formalis.htm Formális nyelvek és fordítóprogramok http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/formalis.htm Könyvészet 1. Csörnyei Zoltán, Kása Zoltán, Formális nyelvek és fordítóprogramok, Kolozsvári Egyetemi Kiadó, 2007. 2.

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! 5. gyakorlat Lineáris leképezések Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! f : IR IR, f(x) 5x Mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez? x, x IR, f(x +

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat Bemutatjuk a NAT 01 és a hozzá kapcsolódó új kerettantervek alapján készült MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat 9 10 1 MATEMATIKA A KÖTETEKBEN FELLELHETŐ DIDAKTIKAI ESZKÖZTÁR A SOROZAT KÖTETEI A KÖVETKEZŐ KERETTANTERVEK

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11.E OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11.E OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert) GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz

Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz Vas Gabriella 204. február A feladatgy jtemény a TÁMOP-4.2.4.A/2-/-202-000 azonosító számú Nemzeti Kiválóság Program Hazai hallgatói, illetve

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG MÁTRIX DEFINITSÉGÉNEK FOGALMA ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG ELDÖNTÉSÉRE DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-..1.B-10//KONV-010-0001

Részletesebben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Szakdolgozat Készítette: Borostyán Dóra Matematika BSc matematikai elemző Témavezető:

Részletesebben

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A =

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A = Mátrixok 25. február 23.. Feladat: Legyen A ( 3 2 B ( 3 4 Határozzuk meg A + B, A B, 2A, 3B, 2A 3B,A T és (B T T mátrixokat. A deníciók alapján ( + 3 + 3 + A + B 2 + 4 + + ( 4 2 6 2 ( ( 3 3 2 4 A B 2 4

Részletesebben

Ismerkedés az Abel-csoportokkal

Ismerkedés az Abel-csoportokkal Ismerkedés az Abel-csoportokkal - Szakdolgozat - Készítette: Takács Mária (Matematika BSc, Tanári szakirány) Témavezető: Kiss Emil (Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet) Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Gáspár Csaba. Analízis

Gáspár Csaba. Analízis Gáspár Csaba Analízis Készült a HEFOP 3.3.-P.-004-09-00/.0 pályázat támogatásával Szerzők: Lektor: Gáspár Csaba Szili László, egyetemi docens c Gáspár Csaba, 006. Tartalomjegyzék. Bevezetés 5. Alapvető

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február Helyi tanterv Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február 1 A TANTERV SZERKEZETE Bevezető Célok és feladatok Fejlesztési célok és kompetenciák Helyes

Részletesebben

Juhász Tibor. Lineáris algebra

Juhász Tibor. Lineáris algebra Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék

Részletesebben

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. *************** JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ

Részletesebben

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

Tómács Tibor. Matematikai statisztika

Tómács Tibor. Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

A kvantummechanika általános formalizmusa

A kvantummechanika általános formalizmusa A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.

Részletesebben

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2007/2008-as tanév 2. forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2007/2008-as tanév 2. forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév. forduló haladók I. kategória Megoldások

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

Környezettani alapismeretek Tantárgy kódja

Környezettani alapismeretek Tantárgy kódja Tantárgy neve Környezettani alapismeretek AIB1004 Meghirdetés féléve 1. Kreditpont 2 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 2+0 Kollokvium - Dr. Kiss Ferenc, főisk. tanár KT A környezettudomány főbb területeinek

Részletesebben

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei a 9. szakközépiskolai osztályban fizikából 2 Minimum követelmények 2 A továbbhaladás feltételei a 10. szakközépiskolai osztályban

Részletesebben

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

Differenciaegyenletek

Differenciaegyenletek Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 1 / 24 3.1 Differenciaegyenlet fogalma, egzisztencia- és unicitástétel

Részletesebben

Hiányos másodfokú egyenletek. x 8x 0 4. A másodfokú egyenlet megoldóképlete

Hiányos másodfokú egyenletek. x 8x 0 4. A másodfokú egyenlet megoldóképlete Hiányos másodfokú egyenletek Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! 1. = 0 /:. = 8 /:. 8 0 4. 4 4 0 A másodfokú egyenlet megoldóképlete A másodfokú egyenletek általános alakja: a

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Nevezetes függvények

Nevezetes függvények Nevezetes függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére

Részletesebben