1.1. Gyökök és hatványozás Hatványozás Gyökök Azonosságok Egyenlőtlenségek... 3

Átírás

1

2 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal Gyökök és hatványozás Hatványozás Gyökök Azonosságok Egyenlőtlenségek Függvények A függvény fogalma Injektív, szürjektív függvények Függvények összetétele Inverz függvény Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek Elsőfokú egyenletek Valós szám abszolút értéke Másodfokú függvény Komplex számok Algebrai alak Az i hatványai A z konjugáltja Komplex szám abszolút értéke Trigonometriai alak Moivre-képlet Exponenciális alak Binom egyenlet Haladványok Számtani sorozatok Mértani sorozatok Egy alkalmazás Logaritmusok Alap logaritmikus és exponenciális egyenletek Alap logaritmikus és exponenciális egyenlőtlenségek...21

3 8. Mértan Vektorok Nevezetes helyzetvektorokkal kapcsolatos tételek Analitikus mértan térben, síkban Egy pont és két nem párhuzamos irány által meghatározott sík egyenlete Három nem kollineáris pont által meghatározott sík egyenlete A sík tengelymetszetes egyenlete A sík általános egyenlete A koordináta-rendszerhez viszonyítva sajátos helyzetű síkok egyenletei Egyenesek egyenletei Két különböző pont által meghatározott egyenes egyenlete Az egyenes általános egyenlete Síkbeli egyenesek egyenletei Két különböző pont által meghatározott egyenes egyenlete Két térbeli egyenes szöge Pont távolsága egyenestől (síkban) Szögfelezők egyenletei (síkban) Pont távolsága egyenestől (térben) A kör Az ellipszis A hiperbola Parabola Skaláris szorzat további alkalmazásai A matematikai indukció módszere A Peano-féle axiómák A matematikai indukció módszere A matematikai indukció módszerének egy változata Kombinatorika Permutációk Variációk Kombinációk Newton binomiális képlete Azonos hatványösszegek Polinomok Egy polinom algebrai alakja Polinomok oszthatósága...50

4 12.3. Irreducibilis polinomok Polinomok gyökei Algebrai egyenletek Polinomok melyek együtthatói R, Q, Z-ből vannak Permutációk, mátrixok és determinánsok Permutációk Mátrixok Műveletek mátrixokkal Determinánsok Mátrix inverse A mátrix nyoma, Tr(A) További képletek Lineáris rendszerek Jelölések Összeférhetőség Trigonometria Trigonometriai képletek Trigonometria alkalmazása a mértanban Matematikai analízis Rekurziók Elsőrendű rekurziók Másodrendű rekurziók Sorozatok határértéke Általános határértékek, konvergencia kritériumok Függvényhatárértékek Műveletek függvényhatárértékekkel Alaphatárértékek Függvények folytonossága Folytonosságra vonatkozó tételek Deriválható függvények Derivált értelmezése egy pontban Deriválási szabályok Néhány függvény deriváltja Összetett függvény deriváltja Magasabbrendű deriváltak Deriválható függvények tulajdonságai Integrálok Határozatlan integrálok...80

5 17. Primitiválhatósága Racionális függvények primitívje Integrálok amelyek tartalmazzák az r = (x 2 + a 2 ) 1/ Integrálok amelyek tartalmazzák az s = (x 2 a 2 ) 1/ Integrálok amelyek tartalmazzák a t = (a 2 x 2 ) 1/ Integrálok amelyek tartalmazzák az R = (ax 2 + bx + c) 1/ Trigonometrikus integrálok, amelyek csak a sin-t tartalmazzák Trigonometrikus integrálok, amelyek csak a cos-t tartalmazzák Trigonometrikus integrálok, amelyek csak a tan-t tartalmazzák Trigonometrikus integrálok, amelyek tartalmazzák a sin-t és cos-t Logaritmikus integrálok A határozott integrál tulajdonságai Integrálok additivitása intervallumokon Fundamentális tétel (Alaptétel) Egyenlőtlenségek Más tételek Primitiválható függvények Integrálható függvények Algebrai struktúrák Csoportok Tulajdonságok és nevezetes tételek Monoidok Gyűrűk Testek Vektorterek...99

6 1 Műveletek valós számokkal 1.1 Gyökök és hatványozás Hatványozás 1. a m n = a m a n 2. a m b m = (a b) m 3. a m : a n = a m n 4. a m : b m = (a : b) m 5. a m = 1 a m 6. (a m ) n = a mn. A valós számok hatványai kiterjeszthetőek racionális, irracionális, illetve valós hatványokkál is sorok segítségével. Ezek a hatványok is rendelkeznek azokkal a tulajdonságokkal amivel a természetes kitevöjű hayványok Gyökök Az alábbi képletekben értelemszerűen az n, m 2, valamint az a, b, c számok olyan valós számok, amelyekre az adott kifejezéseknek van értelme: n 1. a = a 1 n, a > 0; n 1 2. a = n 1 a = a 1 n ; 3. ( n a) n = a; n 4. a n b = n ab; ( ) n n 1 5. a = 1 a ; n 6. a n b n c = n abc; n 7. a : n b = n a b ; m 8. a n a = nm a n+m ; m 9. a : n a = nm a n m ; 10. n a nm = a m ; m 11. a n = a n m ; mn 12. a mp = n a p ; m 13. a p n b q = nm a pn b qm ; 1

7 14. m n a = nm a; 15. a 2 = a ; 2n a = 2n+1 a; 17. a ± a+c b = 2 ± a c 2 ahol a c 2 = a 2 b egynlőségből határozzuk meg a c értékét. Tekintsük a következő példát a 17 képletre. Hozzuk egyszerűbb alakra kifejezést. Ebben az esetben nehéz dolgunk van és nem igazán tudunk vele mit kezdeni, ezért folyamodunk a fenti képlethez: c 2 = = 1, tehát 1.2 Azonosságok = + = Bármely x, y, z, t, a, b, c, d R és n N esetén: 1. a 2 b 2 = (a b)(a + b) 2. (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax by) 2 + (ay + bx) 2 3. a b b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) 4. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) 5. a 3 + b 3 + c 3 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca) 6. a b + b 3 + c 3 = (a + b + c) 3 3(a + b)(b + c)(c + a) 7. a 4 b 4 = (a b)(a + b)(a 2 + b 2 ) 8. a 4 + b 4 = (a 2 + b 2 ab 2)(a 2 + b 2 + ab 2) 9. a 5 b 5 = (a + b)(a 4 + a 3 b + a 2 b 2 + ab 3 + b 4 ) 10. a 6 + b 6 = (a 3 2ab 2 ) 2 + (b 3 2a 2 b) a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b ab n 2 + b n 1 ) 12. a 2n+1 + b 2n+1 = (a + b)(a 2 n a 2n 1 b +... ab 2n 1 + b 2n ) 13. (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac 2 n n n 14. a j x j = a 2 j j=1 x 2 j j=1 j=1 1 i<j n (a i x j a j x i ) 2 2

8 11 Kombinatorika 11.1 Permutációk Értelmezés Ehu halmazt egy rendezési relációval ellátva egy rendezett halmaznak nevezünk. és (a 1, a 2,..., a n ) jelölést használjuk. Értelmezés Egy n elemű A halmaz permutációin az összes rendezett halmazt értjük melyet az A-nak az n db, eleméből lehet képezni. Egy elemű n,(n N ) halmaz permutációinak a száma P n = n = n!; 0! = 1(definíció szerint). Tulajdonságok (faktoriálisok): n! = (n 1)! n és n! = (n+1)! n Variációk Értelmezés Egy n elemű A halmaz m-ed rendű variációján az A elemeiből képezhető összes m elemű rendezett részhalmazt értjük Jelölés Vn m. Tétel Az n elemű halmaz m-ed rendű variációinak a száma V m n = n(n 1)...(n m + 1) = n! (n m)!, n m. Tulajdonságok: A n n = P n, A n n = n! 0! vagy An n = n!; A n 1 n = A n n; A 0 n = Kombinációk Értelmezés Egy n elemű A halmaz m-ed rendü kombinációján az összes A-beli elemekből képezhető m elemű részhalmazt értjük. Jelölés: C m n. Tétel Tulajdonságok: 1. C 1 n = n; C n n = C 0 n = C 0 0 = 1; 2. C m n = C n m n ; 47

9 3. C m n = C m n 1 + C m 1 n 1 ; 4. Egy n elemű halmaz összes részhalmazainak a száma 2 n, azaz C 0 n C n n = 2 n 5. C m n = C m 1 n 1 + Cm 1 n Cm 1 m+1 + Cm 1 m + Cm 1 m 1 ; 6. = C p1 n ahol p p m < n. n! p 1! p 2!... p m! C p2 n p 1... C n (p1+p2+...+p pm m 1, 11.4 Newton binomiális képlete Érvényes az alábbi kifejtés: (x+a) n = C 0 nx n +C 1 nx n 1 a+...+c k nx n k a k C n na n, (x a) n = C 0 nx n C 1 nx n 1 a ( 1) k C k nx n k a k ( 1) n C n na n. Tétel Tulajdonságok: 1. A k + 1-ed rendű elem T k+1 = ( 1) k C k nx n k a k 2. Cn k+1 = n k k+1 Ck n; 3. Cn+1 k+1 = n k k+1 Ck n; 4. T k+2 = n k a k+1 x T k+1 vagy T k+2 = n k a k+1 x T k+1; 5. Az (x ± a) n kibontásának n + 1 tagja van; 6. A két végétől egyenlő távolságra elhelyezkedő tagok együtthatói egyenlőek. Tétel Érvényesek: 1. C 0 n + C 1 n C n n = 2 n ; C 0 n C 1 n ( 1 n )C n n = 0; 48

10 2. Cn 0 + Cn 2 + Cn = 2 n 1 ; Cn 1 + Cn 3 + Cn = 2 n 1 ; 3. C2n n = (Cn) (Cn) (Cn) n 2. A Newton-Binomiális kifejtés néhány sajátos esete: 1) (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 ; 2) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ac); 3) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ; 4) (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 ; 5) (a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3(a 2 b + a 2 c + b 2 a + b 2 c + c 2 a + c 2 b) + 6abc; 6) (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b Azonos hatványösszegek Ha S p = 1 p + 2 p n p, p N, akkor: 1. S 1 = n(n+1) 2 ; 2. S 2 = n(n+1)(2n+1) 6 ; 3. S 3 = ( n(n+1) 2 ) 2 ; 4. S 4 = n(n+1)(6n3 +9n 2 +n 1) 30 ; 5. S 5 = n2 (n+1) 2 (2n 2 +2n 1) Az S p kiszámolására szolgáló egyik képlet, az S p 1, S p 2,..., S 1 segítségével az ún. Pascal formula: (n + 1) p+1 = 1 + C 1 p+1s p C p p+1 S 1 + n. 12 Polinomok 12.1 Egy polinom algebrai alakja Az f C[x] polinom a következő alakba írható f = a 0 X n + a 1 X n a 1 X + a 0, ahol n a polinom fokszáma, a 0 szabad tag és a n a főe- 49

11 13 Permutációk, mátrixok és determinánsok 13.1 Permutációk Értelmezés Legyen A = {1, 2,..., n}, σ egy n-d rendű permutációnak nevezzük ha σ : A A egy bijektív függvény. ( σ = ) 1 2 n σ(a) σ(2) σ(n) Legyen S n az n-d rendű permutációk halmaza; S n = n!, 1 A = e, legyen az identikus permutáció ( 1 2 n e = 1 2 n ) ; Permutációk összetétele: Legyen σ, τ S n akkor ( σ τ = 1 2 n σ(τ(1)) σ(τ(2)) σ(τ(n)) ) S n. Értelmezés Legyen i, j A, i j, τ ij S n, τ ij transzpoziciónak nevezzük ha: j, ha k = i; τ ij (k) = i, ha k = j; k, különben, Tétel Észrevételek: 1.) (τ ij ) 1 = τ ij ; 2.) Az n-d rendű transzpoziciók száma Cn. 2 53

12 Értelmezés Legyen (i, j) A A,i < j, (i, j) számpárról azt mondjuk hogy egy inverziója a σ-nak ha σ(j) < σ(i). Az m(σ) az inverziók száma esetén σ : 0 m(σ) C 2 n = n(n 1). 2 Ekkor az ɛ(σ) = ( 1) m(σ) nevezzük σ előjelének. Tétel Megjegyzések: 1. A σ permutációt párosnak mondjuk ha ɛ(σ) = 1, illetve páratlannak ha ɛ(σ) = 1; 2. Minden transzpozició páratlan; 3. ɛ(σ) = σ(i) σ(j) ; i j 1 i<j n 4. ɛ(σ τ) = ɛ(σ) ɛ(τ) Mátrixok Értelmezés Legyen M = {1, 2,..., m} és N = {1, 2,..., n}. Egy A : M N C, leképezés eseteén amelyre A(i, j) = a ij (m, n) mátrixnak nevezzük, amelynek m sora és n oszlopa van: a 11 a 1n a 21 a 2n..... a m1 a mn és a komplex elemű mátrixok halmazát a következőképpen jelöljük: M m,n (C) amelyek (m, n) típusuak. Értelmezés Ha m = n akkor n-d rendű négyzetes mátrixnak nevezzük, és ezek halmazát a következőképpen jelöljük M n (C). Értelmezés Két 54 A, B M m,n (C)

13 akkor és csak akkor egyenlő ha a ij = b ij, (i, j) M N 13.3 Műveletek mátrixokkal: 1. (Összeadás:) Legyen A, B M m,n (C) akkor C = A + B M m,n (C), ahol c ij = a ij + b ij, (i, j) MxN, mátrixot az A és B mátrixok összegének nevezzük. Az összeadás tulajdonságai: A, B, C M m,n (C) esetén: (a) A + B = B + A (b) (A + B) + C = A + (B + C) (c) A + O = O + A = A(a semleges elem ahol O = O m,n a null mátrix) (d) A + ( A) = ( A) + A = O (az A elentetje A). 2. (Skalárral való szorzás:) Legyen A M m,n (C) és λ C akkor B = λa M m,n (C), ahol b ij = λa ij, (i, j) M N a B mátrixot az A mátrix a λ skalárral való szórzásának nevezzük. Tulajdonságok: A, B M m,n (C) és λ, µ C esetén: (a) 1 A = A; (b) λ A = A λ; (c) (λ + µ)a = λa + µa; (d) λ(a + B) = λa + λb; (e) λ(µa) = (λµ)a = µ(λa). 3. (Mátrix transzponáltja:) Legyen A M m,n (C) akkor A t M m,n (C) ahol a t ij = a ji, (i, j) M N. 4. (Mátrixok szorzása:) Legyen A M m,n (C) és B M n,p (C) akkor 55

14 C = A B M m,p (C), mátrixot a következő képpen kapjuk meg: c ij = (i, j) M N. n a ik b kj, k=1 A mátrixok szorzásának a következő fontos tulajdonságai vannak: (a) (AB)C = A(BC); (b) AI n = I n (a semleges elem az egységmátrix) I n = M m,n (C); (d) (A + B)C = AC + BC; (e) A(B + C) = AB + AC Determinánsok Legyen M n (C) az n-d rendű négyzetes mátrixok halmaza, amelyet a következő alakban is írhatunk: A = a 11 a 1n a 21 a 2n..... a n1 a nn Értelmezés Az A mátrix determinánsán a következő számot értjük det A = σ S n ɛ(σ)a 1σ(a) a 2σ(2)...a nσ(n) 56

15 A következőképpen jelöljük: det A = Érvényes: a 11 a 1n a 21 a 2n a n1 a nn det A = a i1 A i1 + a i2 A i a in A in, ahol A ij a ij elem algebrai komplementuma, amely A ij = ( 1) ( i + j)d ij, ahol d ij az a ij elemhez tartozó aldetermináns. Tétel Ha C = A B, akkor det C = det A det B ahol A, B, C M n (C)). Tétel Négyzetes másodrendű mátrix determinánsa: a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 21 Tétel Harmadrendű mátrix determinánsa: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 12 a 23 a 31 a 31 a 22 a 13 a 11 a 32 a 23 a 21 a 12 a

16 Tétel Ha A egy integritási tartomány, akkor A[x] is integrtási tartomány és grad(f g) = gradf + gradg, f, g A[x] Testek Legyen (K, +, ) struktúra és K K K, (x, y) x + y, K K K, (x, y) x y, K nem üres; Értelmezés (K, +, ) egy test, ha (K, +, ) gyűrű, 0 1 és x K, x 0 x x 1 K : x x 1 = x 1 x = 1. Ha x y = y x, x, y K akkor a test kommutatív. Példák: 1. (Q, +, ) racionális számok teste; 2. (R, +, ) valós számok teste; 3. (C, +, ) komplex számok teste; 4. (Q( (d), +, )), (d Z négyzetmentes); 5. (Z p, +, ) maradékosztályok test modulo p N, p > 1, p prím. Értelmezés Legyenek (A,, ) és (A,, ) testek: f : A A egy test izomorfizmus, ha f bijectív és f(x y) = f(x) f(y) f(x y) = f(x) f(y), x, y A. Tétel (Maradékos osztás tétele). K kommuatív test, g K[x], g 0 ekkor f K[x] esetén léteznek q, r K[x] egyértelműen meghatározott polinomok úgy, hogy f = q g + r, deg r < deg g. 98

17 Tulajdonságok: 1.) Ha K test karakterisztikája nem nulla, akkor bíztosan egy prímszám. 2.) Bármely, testek között ható morfizmus injektív. 3.) Wedderburn tétel:minden véges test kommutatív. 4.) Kaplanski tétel: Legyen K egy test. Ha a K, n(a) N úgy, hogy a n(a) Z(K) következik, hogy K komutatív Vektorterek Egy V halmaz (a vektorok halmaza), együtt egy (K, +, ) testel(a skalárok teste),egy + a V -n értelmezett belső művelettel(a vektorok összeadása) és egy művelettel (vektorok skalárral való szorzása) egy vektorteret képez, ha teljesülnek az alábbiak: 1.) (V, +) kommutatív csoport 2.) (K, +, ) kommutatív test 3.) A skaláral való szorzásnak az alábbi tulajdonságai kell teljesüljenek: a.) a, b K és x V esetén: (a b) x = a (b x) (asszociativitás) b.) x V esetén 1 x = x, ahol 1 a K semleges elem a szorzásra nézve. c.) a K és x, y V teljesül, hogy a (x + y) = a x + a y (I. distributivitás) d.) a, b K és x V esetén (a + b) x = a x + b x (II. distributivitás) Azt mondjuk, hogy V egy K fölötti vektortér és K V -el jelöljük. Ha(egy vektortéren bevezetünk egy "mértéket" a vektorok hosszának a mérésére (melyet "normának" nevezünk), akkor egy normált teret kapunk. A norma egy távolság fogalmat is maga után von, így minden normált tér egyben metrikus tér is 99

18 és következésképpen topológikus tér is. Tulajdonságok: 1.) Legyen K V vektortér, a K és x V. Ekkor: ax = 0 V a = 0 K és ( a)x = a( x) = ax 2.) a) Két vektortér morfizmus összetétele is vektortér morfizmus. b) Egy vektortér izomorfizmus inverze is egy vektortér izomorfizmus. 100