Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek"

Átírás

1 TÁMOP-4../A/-/ Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek

2 Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok vlágába..... Vektorok..... Mátrok Determnánsok Fontosabb specáls mátrok Kombnatorka Permutácók Varácók Kombnácók Bnomáls együtthatók tulajdonsága Valószínűség-számítás Kísérlet, esemény Eseményalgebra Valószínűség fogalma Eloszlások Adattípusok omnáls skála Ordnáls skála Intervallum skála Arány skála Adatredukcó Középérték Szóródás mutatók Grafkus ábrázolás Konfdenca-ntervallum Megbízhatóság tartomány jelentősége Átlag megbízhatóság tartománya A t-eloszlás tulajdonsága: Hpotézs vzsgálat Hpotézs fogalma Szgnfkanca-sznt Statsztka próbák fajtá Hpotézs vzsgálat döntés táblázata Power-fogalma Hpotézs vzsgálat menete Power analízs Mntaszám meghatározása Paraméteres eljárások F - próba Egymntás t-teszt... 95

3 9.3. Kétmntás t-teszt emparaméteres eljárások Rangszámok tulajdonsága Előjel teszt (sgn test) Wlcoon párosított teszt Mann Whtney U teszt Kolmogorov Szmrnov teszt Wald Wolfowtz runs teszt k független mnta összehasonlítása k számú összetartozó mnta vzsgálata Rangkorrelácós eljárások.... Regresszós vzsgálatok Korrelácószámítás Lneárs regresszó Többváltozós lneárs regresszó emlneárs regresszó Kontngenca táblák vzsgálata Pearson-féle Ch-négyzet teszt (χ -teszt) es kontngenca táblák Dagnosztka vzsgálatok Epdemológa vzsgálatok Terápa hatásosságát kfejező tényezők Túlélés analízs Lfe table (Halandóság tábla) analízs Kaplan-Meer eljárás Kaplan-Meer túlélés függvények összehasonlítása. Log rank módszer Co-regresszó Logsztkus regresszó Magasabbrendű eljárások Általános lneárs modell (GLM) Modell komponensek MIXED modell Idősoranalízs Elmélet bevezető Lneárs és nem lneárs trend modell Eponencáls smítás Wnters addtív modell Telítődés modell ARMA

4 . Bevezetés a mátrok vlágába.. Vektorok Alapfogalmak: Skalármennység: konkrét számérték (terület, térfogat stb.). Vektormennység: rányított érték (erő, sebesség stb.). Szabadvektor: önmagával párhozamosan eltolható. Fvektor: f kezdőpont. Csúsztatható vektor: saját rányegyenesük mentén mozgatható. Defnícó: a tér rányított szakaszat nevezzük vektoroknak, amelyeknek adott a nagysága és ránya. Másképp fogalmazva a vektor egy rányított szakasz, vagy azzal jellemezhető mennység. Példák vektorokra: Jelölésük: a vektort megadhatjuk a kezdő és végpontja segítségével ( AB) vagy jelölhetjük ksbetűvel kétféle módon: a vagy a

5 Koordnáta rendszerben orgó kezdőpontú vektort rendezett számpár jellemz a síkban, térben pedg rendezett számhármas Defnícó: két vektor azonos (egyenlő), ha hosszuk (nagyságuk) s és rányuk s megegyezk.

6 Példa: Defnícó: vektorok egyenlősége ekvvalencarelácót jelent: - refleív: a: a a - szmmetrkus: a, b: ha a b b a - tranztív: a, b, c : ha a b és b c a c. Defnícó: a vektor hosszát a vektor abszolút értékének s nevezzük (nem negatív valós szám). A fent vektor hossza: V a + b Defnícó: az olyan vektort (0), amelynek megegyezk a kezdőpontja és a végpontja és abszolút értéke 0, nullvektornak nevezzük. Iránya tetszőleges, mnden vektorral párhuzamos és mnden vektorra merőleges. Ilyen vektorból csak egy létezk. Defnícó: ha egy vektor abszolút értéke, akor egységvektornak nevezzük. Ilyen vektorból végtelen sok létezk. Defnícó: az a vektor ellentettje: az a vektort, amelyk vele egyenlő abszolútértékű, egyező állású, de vele ellentétes rányú. Jelölése: a. 3

7 Defnícó: két vektor összegén egy harmadk vektort értünk, amelyet meghatározhatunk paralelogramma-módszer, vagy öszszefűzés (háromszögmódszer, sokszög-módszer) segítségével. Vektorműveletek A vektorösszeadás kommutatív és asszocatív: a, b esetén: a + b b + a a, b, c esetén: (a + b) + c a + (b + c). Defnícó: az a és b vektorok a b különbségén azt a c vektort értjük, melyre b + c a. 4

8 Koordnátákkal kfejezve: a (a,a) b (b,b) Összeadás a b a+b (a +b, a +b ) a+b Kvonás a b a-b a-b (a -b,a -b ) Megjegyzés: Két vektor különbségét megkapjuk úgy, hogy közös kezdőpontba toljuk őket, mert ekkor a különbségvektor a végpontjakat összekötő vektor lesz, a ksebbítendő felé rányítva. A vektorok összeadása, lletve kvonása során az eredmény esetleg a 0 s lehet. Bármely a vektor esetén a + 0 a és a 0 a. Defnícó: Egy a vektor és egy λ szám szorzata egy vektor, amelynek hossza λa λ a, párhuzamos a-val és λ > 0 esetén egyrányú, λ < 0 esetén ellentétes rányú a-val. 5

9 Vektor szorzása λ számmal (skalárral) Vektorok számmal való szorzására érvényesek a következő művelet szabályok: λ, µ skalár és a esetén: λ(µa)(λµ)a (asszocatvtás) λ és a, b vektor esetén: λ(a + b) λa + λb (dsztrbutívtás) λ, µ és a esetén: (λ + µ)a λa + µa (dsztrbutívtás) Defnícó: legyenek a, a,..., an tetszőleges vektorok a térben, c, c,..., cn pedg valós számok. Az c a +c a + +cnan kfejezést az a, a,..., an vektorok lneárs kombnácójának nevezzük. Példa: ha a, b, c vektorok, akkor 3a 4b + 6c egy lneárs kombnácójuk. Ha megadunk néhány vektort, akkor ezeknek végtelen sok lneárs kombnácója létezk, hszen az együtthatók tetszőleges valós számok lehetnek. Állítás: legyenek a, b és c a tér vektora. Ha a, b és c nncsenek egy síkban, akkor a tér mnden v vektora egyértelműen előállítható a, b és c lneárs kombnácójaként. 6

10 Defnícó: Az a, a,..., an vektorok trváls lneárs kombnácóján a 0 a + 0 a an kfejezést értjük. Megjegyzés: akkor beszélünk trváls lneárs kombnácóról, ha mnden együttható 0. Természetesen az eredmény csak a 0 vektor lehet. Defnícó: Az a, a,..., an vektorokat lneársan függetlennek nevezzük, ha csak a trváls lneárs kombnácójuk 0. Mnden más esetben a vektorokat lneársan összefüggőnek hívjuk. Állítás: két vektor lneársan összefüggő, ha párhuzamosak egymással. Állítás: A tér három vektora akkor lneársan összefüggő, ha egy síkban vannak. A tér pl. négy vektora mndenképpen lneársan összefüggő. Defnícó: A térbel vektorok egy lneársan független vektorhármasát bázsnak nevezzük. Defnícó: Ha e, e, e 3 a tér egy bázsa és v α e + α e + α 3 e 3, akkor az α, α, α 3 számokat a v vektor (e, e, e 3 bázsra vonatkozó) koordnátának nevezzük. Megjegyzés: a bázsvektorok általánosan használt jelölés rendszere (abszcssza), j (ordnata), k (kóta). Tulajdonságak: egységny hosszúságúak ( j k ), páronként ortogonálsak egymásra,, j, k sorrendben ún. jobbrendszert alkotnak. (ha k végpontja felől nézünk a másk két bázsvektor síkjára, akkor -t a j-be poztív rányú, óramutató járásával ellentétes,80 foknál ksebb szögű forgás vsz át. A tér egységvektora: 7

11 Defnícó: egy Q pont helyvektorán az OQ vektort értjük, ahol O az orgó. Az így defnált vector ún. kötöttvektor, mvel kezdőpontja rögzített. Defnícó: Egy Q pont koordnátán a helyvektorának a koordnátát értjük. Defnícó: Két vektor összegének koordnátá az eredet vektorok megfelelő koordnátának összegével egyenlő. Defnícó: Két vektor különbségének koordnátá az eredet vektorok megfelelő koordnátának különbségével egyenlő. Defnícó: Ha egy vektort egy c számmal szorzunk, akkor az így kapott vektor mnden koordnátája a eredet vektor megfelelő koordnátájának c-szerese lesz. Defnícó: Az a(a, a, a 3 ) vektor hossza a a a + + a 3 8

12 Defnícók: n koordnátával jellemzett vektorok féle megadás mód: oszlopvektor: a a a... a n sorvektor: * a [ a, a,... a ] n Adott két vektor. Számítsuk k a következőket: a+b; ab; a vektor hosszát valamnt a 3a-t, a*b! a 0 6 3a Vektorokkal való műveletek 0 b 0 4 a + b a*b [,,0, ] a ( )

13 Defnícó: két vektor skalárs szorzatán az alább szorzatot értjük: Két tetszőleges a [a, a,..., a n ] és b [b, b,..., b n ] vektor skalárs szorzata alatt a következőt értjük: ahol Σ az összegzést és na vektortér dmenzóját jelöl. Skalárs szorzat tulajdonsága. Kommutatív: a b b a. A skalárs szorzás egy cskalárs tényezővel asszocatív: c(a b)(ca)b 3. Dsztrbutív: a (b+c) a b + a c Defnícó: az a és b vektorok skalárs szorzatán az ab a b cos ϕ 0

14 számot értjük, ahol ϕ az a és b vektorok hajlásszöge. Állítás: két vektor skalárs szorzata akkor és csak akkor 0, ha a két vektor merőleges egymásra. Két vektor skalárs szorzatának kommutatvtása ϕ cosφ b b a A kommutatvtás követezk a skalárs szorzat defnícójából vagy az ábrán látott két háromszög hasonlósága alapján, mvel, ahol a a b vet cosφ b b vet a a b vektor vetülete az a vektorra, és, b a vet cosφ a úgyhogy a bb a Defnícó: Az a és b vektorok vektoráls szorzatán azt az a b-vel jelölt vektort értjük. A vektoráls szorzatra vonatkozóan teljesülnek: - hossza a b a b sn ϕ, ahol ϕ az a és b vektorok hajlásszöge, - ránya merőleges az a és b vektorokra, a, b és a b ebben a sorrendben jobbrendszert alkot. Állítás: két vektor akkor és csak akkor párhuzamos, ha a b 0 Állítás: tetszőleges a és b vektorok és λ valós számesetén gaz az alább egyenlőség:

15 λ (a b) λa b a λb Állítás: az a (a, a, a 3 ) és b (b, b, b 3 ) vektorok vektoráls szorzata determnáns alakban a b a b j a b k a b 3 3 Állítás: az a és b vektorok által kfeszített paralelogramma területe a két vektor vektoráls szorzatának abszolút értékével egyenlő T a b Állítás: az a és b vektorok által kfeszített háromszög területe T a b / Defnícó: az a, b és c vektorokból képzett (a b) c kfejezést az a, b és c vektorok vegyesszorzatának nevezzük. Megjegyzések: Az elnevezés arra utal, hogy hogy a kfejezésen belül kétfajta szorzás s szerepel. A vegyesszorzat eredménye skalár. Állítás: ha a, b és c nem esnek egy síkba, akkor vegyesszorzatuk abszolút értéke megegyezk az általuk kfeszített paralelleppedon térfogatával: V (a b) c Állítás: az a, b és c vektorok akkor és csak akkor esnek egy síkba, ha (a b) c vegyesszorzatuk 0.

16 Felcserélés tétel (a vegyesszorzat eredménye nem változk ): tetszőleges a, b és c vektorok esetén (a b) c a (b c) Állítás: az a(a, a, a3), b(b, b, b3) és c(c, c, c3) vektorok vegyesszorzata a a b b c a b c a b c Állítás: az a, b és c vektorok által kfeszített tetraéder térfogata egyenlő a vegyesszorzatuk abszolút értékének hatodrészével V abc /6 /6 Cauchy Bunyakowsk Schwarz egyenlőtlenség: ahol vagy másképpen kfejezve az egyenlőtlenséget: azaz ( a b + a b + + a b ) ( a + a a )( b + b + + b )... n n n n... Mnkowsky (háromszög egyenlőtlenség): 3

17 4.. Mátrok Általánosságban mátrnak nevezünk egy téglalap elrendezésű, m n számú, a j valós számot (általában, de lehet komple szám s) tartalmazó táblázatot. A mátrokat nagy betűvel jelöljük és szögletes zárójelben adjuk meg: a a a a a a a a a mn m m n n A n m ), ( Az adott mátr m n típusú: m sorból és n oszlopból áll, az a j a mátr -edk sorában és j-edk oszlopában lévő eleme. Ha mn, akkor a mátrot négyzetes mátrnak (vagy kvadratkus) nevezzük és a sorok száma a mátr rendjét s meghatározza. Ha egy A mátr sorat és oszlopat felcseréljük, akkor kapjuk az A* transzponált mátrt. a a a a a a a a a mn n n m m A m n * ), ( A transzponálás során a kvadratkus mátr n rendje nem változk és a transzponált mátr transzponáltja az eredet mátrt adja eredményül.

18 5... Alapműveletek a) Mátrok egyenlősége Két mátr csak akkor egyenlő egymással, ha sorak és oszlopak száma egyenlő (azonos típusúak) és az azonos helyen álló elemek megegyeznek. b) Összeadás, kvonás A két művelet csak azonos típusú mátrokra értelmezett. Az eredmény mátr (összeg vagy különbség mátr) a két mátr típusával azonos, és eleme a két mátr azonos helyén lévő elemenek az összege vagy különbsége. A két művelet tetszőleges számú mátrokra s elvégezhető. C A + B C A - B Egy mátr spurja (mátr nyoma) a főátlóban lévő elemeknek az összege. Pl. az A mátr spurja 5. Jelölésben Sp(A)3. c) Konstanssal való szorzás A mátr mnden elemét megszorozzuk az adott számmal C k A A d) Mátr szorzása mátrszal Két mátr csak akkor szorozható össze, ha az A mátr oszlopanak a száma azonos a B mátr soranak a számával. Ha ez feltétel gaz az A, B mátrokra, akkor a két mátr az adott sorrendben konformábls. Vgyázzunk, mert a szorzás általában nem kommutatív művelet, vagys az A B B A nem mndg gaz. Ezalól csak a dagonál mátrok szorzása kvétel, mert az lyen mátrokra a szorzás művelete kommutatív. A műveletnél az A mátr megfelelő sorat szorozzuk a B mátr megfelelő oszlopaval:

19 6. Az A mátr. sora * a B mátr. oszlopával, utána a. sor* az. oszloppal, majd a 3. sor*az. oszloppal stb.. Az A mátr. sora * a B mátr. oszlopával, utána a. sor* a. oszloppal, majd a 3. sor*a. oszloppal stb. 3. az eljárást a fenteknek megfelelően mnden sorra és oszloppal elvégezzük. Példa: A B ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (... Azonosságok E A A E A Egységmátrszal szorozva az eredet mátrt kapjuk. 0 A A 0 0 Zérusmátrszal való szorzás zérusmátrt eredményez...3. Többtényezős mátr szorzás A két tényezős konformabltást tetszőleges tagra s kterjeszthetjük és szorzás lyen sorrendben elvégezhető: D p l C l k B n k A n m ), ( ), ( ), ( ), ( Specáls eset a mátr hatványozása, amt a mátr n-szer smételt szorzásával kapunk meg: A A A A A n Megállapodás szernt A 0 E. Az egységmátr n-edk hatványa szntén egységmátr, a zérusmátr n-edk hatványa pedg zérusmátr. lpotensnek nevezzük az A mátrt, ha n-edk hatványára gaz, hogy a zérusmátrt adja eredményül:

20 A n 0 Idempotens az A mátr (önnmagát vsszaadó), ha teljesül rá: A n A.3. Determnánsok A két smeretlent (, y) tartalmazó un. elsőfokú (az smeretlen tényezők az elsőhatványon szerepelnek) egyenletrendszerek megoldására három lehetőségünk van: a) helyettesítő módszer alkalmazása b) egyenlő együtthatók módszerének alkalmazása c) determnánsok módszerének alkalmazása. Tekntsük az általános egyenletrendszer alakját: a +b yc a +b y c Képezzük az együtthatókból az alább másodrendű determnánsokat és adjuk meg az értéküket meghatározó formulákat s: a D ) ( ) a c b b ( a b b a D ) ( ) c a b b ( c b b c D y ) ( ) a c c ( a c c a Az egyenletrendszer megoldása a determnánsok segítségével: D D lletve y Dy D ylván D 0 esetén van csak megoldás. 7

21 8 Példa: Oldjuk meg az alább elsőfokú egyenletrendszert a determnánsok segítségével: 4+3y6 +y 4 Vegyük az egyenletrendszer másodrendű determnánsát, amt az együtthatókból képzünk (főátló szorzata mellékátló szorzata): D ) ( ) ( Mvel a D 0, ezért az egyenletrendszer megoldható D D ) ( ) ( y y D D ) ( ) ( Tehát a keresett megoldások: 3 és y-. A fent elv három vagy több smeretlenes egyenletrendszer esetén s alkalmazható, de lyenkor fgyelemmel kell lenn az aldetermnánsok előjelére..3.. Mátr determnánsa Csak kvadratkus mátrnak van determnánsa, amt a mátr elemeből képzünk. Ha a mátr determnánsa deta 0, akkor a mátr regulárs, ha deta 0, akkor a mátr szngulárs. Vzsgáljuk meg a következő mátr determnánsát: 3 0 A Fejtsük sorba a mátrt az első sora szernt. A determnánst bármelyk sora vagy oszlopa szernt kfejthetjük, csak vegyük fgyelembe az együtthatók előjelszabályát. Az előjel szabály

22 (sakktábla szabály) pl. egy harmadrendű determnánsra (de ez értelemszerűen kbővül a feladatnak megfelelően) A kfejtés azt jelent, hogy a kszemelt sor vagy oszlop együtthatóval szorozzuk a hozzátartozó aldetermnánsokat. Most fejtsük k a determnánst az első sora szernt (a kfejtés technkája: pl. a -hez tartozó aldetermnánst megkapjuk, ha letakarjuk az első sort és az első oszlopot, a megmaradt elemek lesznek az a -hez tartozó determnáns eleme): 0 det A Mvel a determnáns 0, ezért a mátr regulárs..3.. Mátr rangja Az A mátr rangja az a ρ(a) r természetes szám, ha az r-edrendű kvadratkus mnormátra között van legalább egy olyan, amely regulárs, de az összes r+-edrendű már szngulárs. Következésképp, az m n mátr rangja nem lehet nagyobb sem soranak, sem oszlopanak számánál. A rang fontos szerepet játszk pl. a lneárs egyenletrendszerek megoldásánál. Az előbb mátr rangja ρ(a) 3, mvel a determnánsa láttuk, hogy Inverz mátr agyon fontosak a lneárs egyenletrendszerek megoldásában vagy egyes többváltozós statsztka módszerek elméletében. Vezessük be az adjungált mátr fogalmát: egy négyzetes mátr adjungáltján azt a transzponált hpermátrt értjük, amelynek eleme szntén mátrok, mégpedg az a j elemehez tartozó előjeles aldetermnánsok (lásd a fent előjelszabályt) alkotják a mátr elemet. 9

23 adja A A... A n A A... A n A A. A n n nn.. ézzük meg a fent mátr adjungáltját. Vegyük sorba az egyes elemekhez tartozó előjeles aldetermnánsokat: A 0 3 A 0 A A A 4 A A 3 A A 33 A kapott adjungált mátr (transzponált mátr): 0 adja égyzetes mátr esetén, ha A 0, akkor megtudjuk határozn az nverz vagy recprok mátrt, az A - mátrt. Ekkor gazak a következő azonosságok: A A - E és A - A E Vagys akár jobbról vagy balról szorozzuk az A mátrt az nverzével, mndg az E egységmátrt kapjuk eredményül. Az nverz mátrt a következő módon határozzuk meg, ha A 0 (ellenkező esetben A-nak nem létezk nverze) feltétel esetén: 0

24 A - adja A Mvel az előbb mátr determnánsára gaz, hogy A 0, ezért létezk az nverze. Ismerjük az adja mátrt, végezzük el az osztás műveletét, hogy megkapjuk az nverz mátrt: A - adja A Önadjungált mátr: az A önadjungált, ha A*A (lásd szmmetrkus mátrok) Sajátérték, sajátvektor A két fogalom központ helyet foglal el a bostatsztkában. Számos statsztka módszer alapszk ezeken a számításokon pl. PCA (főkomponens analízs), faktoranalízs. Ezeknél a többváltozós módszereknél az alapmátr az R (korrelácós mátr). A téma tárgyalása előtt nézzünk meg néhány alapfogalmat: Skalárs mennység (skalármennység): olyan mennység, amely jellemzésére a számérték s elegendő pl. térfogat, terület, hosszúság stb. Vektoráls mennység (vektormennység): olyan mennység, amely jellemzésére a számértéken felül a mennység rányára és rányítására s szükség van. Ezt megfelelő rányú egyenes szakasszal ábrázoljuk, melyen az rányítást a nyíl jelz. Vektorok például a rendezett zámpárok, számhármasok stb., azaz a sík- lletve térbel koordnáták. Pl. erő, gravtácós térerősség stb. Vektor-tér (vagy lneárs tér): a lneárs algebra legalapvetőbb strukturáls fogalma. A vektorokkal végezhető műveletek legelembb tulajdonságat aomatkusan defnálja. A lneárs tér a m szokásos síkunk és terünk általánosítása többdmenzós terekre. Eukldesz tér: azon T számtest felett vektortereket, melyekben a vektorterek aómán felül értelmezve van egy ún. skalárs szorzat (eukldesz norma). Legyen V egy vektortér egy T test felett (pl. a valós számok halmaza, R), és legyen A egy n- edrendű kvadratkus mátr, amely a V vektortér egy lneárs leképezését adja:

25 A: V V és legyen v V egy nem nulla tetszőleges vektor (v[v, v, v 3,,v n ]). A v vektort az A leképezés sajátvektorának nevezzük, ha létezk olyan λ skalárérték (λ0 s lehetséges), hogy λ T, és teljesül a következő egyenlőség: A v λ v A λ érték az A egy v sajátvektorához tartozó sajátértéke. Legyen A egy kvadratkus mátr. A sajátérték egyenlet az előzőek alapján: A v λ v Használjuk fel az E egységmátrt, amely nem változtatja meg az egyenletet: Rendezzük át az egyenletet: A v λ E v A v - λ E v 0 ahonnan (A - λ E) v 0 Az adott A mátr karaktersztkus polnomja (det a determnánst jelöl): P(λ) det(a - λ E) A polnom fokszáma megegyezk a mátr rendjével, így legfeljebb n sajátérték lehetséges, amknek a megkeresése magasrendű mátrok esetén különösen nehéz. Az alább determnánst kfejtve (A karaktersztkus determnánsa), λ-ra pontosan n-edfokú polnomot kapunk, amelynek a gyöke lesznek a keresett sajátértékek: a λ a. a n a. a. λ.. a. A λe 0 a n a n. a nn λ A λ -hez tartozó sajátvektorokat a

26 (A - λ E) v 0 egyenlet alapján határozzuk meg. Megjegyzés: - A sajátértékek összege, λ + λ + + λ n Sp(A), am a mátr nyoma. - A sajátértékek szorzata, λ λ λ n det(a). Példa: Határozzuk meg az egyk ún. Paul mátr sajátértéket és vektorat. Megjegyzés: a Paul mátrok -es hermtkus mátrok, amelyek nyoma 0. Három féle lyen mátr van. A mátr alakja: 0 [ A ] Írjuk fel a karaktersztkus egyenletet: 0 λ A λe λ 0 0 λ A sajátértékek: λ ±. A kapott sajátértékek teljesítk a következőket: A keresett saját vektorok: λ esetén: Sp(A) +(-) 0 és det(a) (-) - 0 Felhasználva a fent egyenletet: Végezzük el a beszorzást. v v ( ) ( ) 0 -v () + v () 0 v () v () 0 3

27 4 Amből a v () v () egyenlőség adódk (a felső nde a szóbanforgó sajátértéket jelöl). A keresett vektor alakja: v ) ( Ennek normált alakja ( s + felhasználásával): v ) ( λ - esetén: Felhasználva a fent egyenletet: 0 v v ) ( ) ( Végezzük el a beszorzást. -v () + v () 0 v () v () 0 Amből a v () v () egyenlőség adódk. A keresett vektor alakja: v ) ( Ennek normált alakja ( s + felhasználásával): v ) ( A saját vektorok mátra tehát: 0 0 A A főátlóban a sajátértékek állnak.

28 .4. Fontosabb specáls mátrok a) Sormátr (sorvektor) Egyetlen sorból álló mátr: a[a, a,, a n ] b) Oszlopmátr (oszlopvektor) Egyetlen oszlopból álló mátr: a a a a... m c) Zérus-mátr Mnden eleme 0: 0 A d) Dagonál mátr Csak a főátlóban lévő elemek nem 0-ák. Megadás módja A a, a,., a mn e) Egységmátr 5

29 6 A főátlóban mnden elem, a több zérus. Megadáskor a rendszámot s feltüntetjük: E ,, A mátr egyes oszlopa (sora) adják az egységvektorokat, pl. az oszlopmátrok: e 0 0 e 0 0 e f) Szmmetrkus mátr Olyan négyzetes mátr, amelynek eleme szmmetrkusak (tükörképek) a főátlóra, vagys a j a j. Ilyen pl. a korrelácós mátr. Az lyen mátr azonos a transzponáltjával, azaz AA* S Antszmmetrkus mátr esetén nylván a j -a j. Az lyen mátr főátlójában csak 0 áll. g) Háromszögmátr A főátló alatt vagy felett csak 0 elem áll. Így megkülönböztetünk alsó és felső háromszögmátrt. Példa egy felső háromszögmátrra: H f h) Mnormátr Tetszőleges sor(oka)t és oszlop(oka)t elhagyva a mátrból kapjuk az A mátr mnormátrát. Például vegyük a fent S mátrt. Hagyjuk az első sort és a harmadk oszlopot. A kapott S mátr mnormátra a következő: S

30 ) Konjugált mátr Az A mátr elemenek (komple számok) konjugálásával kapott mátr: A [ a ] eleme valós számok, akkor j) Untér mátr a j a j. A komple A untér mátr kvadratkus mátr, melyre gazak az alábbak: A A * A * A E j. Ha az A Vagys, ha az A mátrt megszorozzuk a konjugált mátr transzponáltjával (akár balról vagy jobbról), akkor az E egységmátrt kapjuk eredményül. Továbbá A mátr transzponáltja egyben nverze s. k) Ortogonáls mátr A - A * Ha az A R (az untér mátr eleme valós számok), akkor azonosság: *, és gaz a következő A A A A * A * A E l) Hpermátr: amelynek eleme szntén mátrok.. Kombnatorka A kombnatorka (kapcsolástan) az elemek csoportosításával foglalkozó önálló tudományága a matematkának. Elsődleges feladata az elemek csoportjanak előállítása, valamnt a csoportok számának meghatározása. Az elemek egy elrendezését kompleónak nevezzük. Az elemek elrendezésének három legfontosabb fogalma a permutácó, a varácó és a kombnácó témaköréhez tartozk. 7

31 .. Permutácók Ha n db egymástól különböző elemünk van és ezeket az elemeket az összes lehetséges módon sorba rendezzük (sorba rakjuk őket), akkor azt mondjuk, hogy az elemeket permutáljuk. Az egyes elrendezések a kompleók. Ha az elrendezendő elemek mnd különbözők, akkor smétlés nélkül, ha az elemek között azonosak s vannak, akkor smétléses permutácóról beszélhetünk. Megegyezés szernt az azonos elemek felcserélését nem tekntjük különböző sorrendnek. Az smétlés nélkül permutácók száma: P n 3... n n! vagy rövden P n n! az n elem től n g terjedő egész számok szorzata. Jelölésben n! (ejtsd: n faktoráls), am az n elem faktoráls értékét jelöl. Megállapodás szernt 0!. Ismétléses permutácók száma: k p, k, k 3,..., k n n n! k!, k!, k 3!,..., k n! ahol k,k,k 3,...,k n az egymás közt megegyező elemek számát jelöl... Varácók Ha n számú különböző elemből kválasztunk k(k n) számú elemet úgy, hogy fgyelembe vesszük ezek sorrendjét s, akkor n elem k ad osztályú varácójáról beszélünk. Az összes varácó számát a kfejezés adja. V k n k! n( n ) ( n ) ( n 3)... ( n k + ) ( n k)! Ha az n elemből úgy választunk k elemet tartalmazó csoportokat, hogy a csoportban egy elem többször s szerepelhet és az elemek sorrendje s fontos, akkor az n elem k ad osztályú smétléses varácóját határozzuk meg: 8

32 V k, n n A felső ndeben az betű jelöl az smétléses varácót. k.3. Kombnácók Ha az n számú különböző elemből úgy választunk k k (k n) számút mnden lehetséges módon, hogy a kválasztás során a csoportokon belül az elemek sorrendje nem fontos, akkor n elem k ad osztályú kombnácójáról beszélünk. Az összes lehetséges kválasztás száma: C k n n n! n( n ) ( n ) ( n 3)... ( n k + ) k k!( n k)! k( k )... n Az k jelölést úgy olvassuk, hogy n alatt a k. Ha a k elem között egy elem többször s előfordulhat, akkor n elem k ad osztályú smétléses kombnácójáról beszélünk. Az összes kválasztás lehetőségek száma: C k, n n + k k Az Ecelben a COMBI függvénnyel lehet kombnácót számítan..4. Bnomáls együtthatók tulajdonsága Az olyan kfejezéseket amelyek két tagból állnak bnomáls kfejezéseknek nevezzük, pl. (a+b) vagy (a b). agyon érdekes tulajdonságot fedezett fel Pascal (63 66) franca matematkus a bnomok hatványozásával kapcsolatban. Vegyük az (a + b) bnom hatványat sorba egészen az 5. hatványg (n 0,,,3,4,5): (a + b) 0 (a + b) a + b (a + b) a + ab + b (a + b) 3 a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (a + b) 4 a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 a 5 + 5a 4 b + 0a 3 b + 0a b 3 + 5ab 4 + b 5 9

33 Ha az egyes tagok együtthatót egymás alá írjuk, akkor az ún. Pascal háromszöget kapjuk, ahol a külső szárak mentén csak es áll. A háromszög belsejében álló bármely szám a közvetlen felette lévő és attól balra álló két szám összege: n 0 n n n n n Pascal háromszög A Pascal háromszög ktöltését tovább lehet folytatn az n értékének megfelelően (az n tetszőleges, nem negatív egész szám). A Pascal háromszög révén bármely (a±b) n bnom kfejtett polnomáls alakját fel lehet írn, mvel az egyes sorok a kívánt polnom tagjanak együtthatót tartalmazza. Az egyes tagok hatványanak a meghatározása úgy történk, hogy az első tagnak az a nak a hatványa balról jobbra gyel csökkennek, n től 0 g, a b együttható hatványa balról jobbra gyel nőnek. (0 tól n g). Vegyük fgyelembe a hatványozásnál, hogy a 0 és b 0, így ezen tagokat nem s írjuk k a hatványozás során. Pl. a teljes alak az (a+b) kfejezésnél a következő lenne: (a+b) a b 0 + a b + b a 0 a + ab + b Vezessük be az tételt: n n 0, n jelöléseket és írjuk fel a ewton féle bnomáls n n n n n n ( a b) a n a n b a n b n... ab n n b n n k 0 n k a nk b k ahol az n k együtthatókat bnomáls együtthatóknak nevezzük. A bnomáls együtthatókra gaz az alább kfejezés: 30

34 n n n + k k + k A tételt a kfejtett bnomáls együtthatókkal s felírhatjuk: n ( ) ( a b) a a n n b a b !! n n n n n A tételnek egy következménye az alább kfejezés: (+) n +n (n közel van a 0 hoz). 3. Valószínűség-számítás 3.. Kísérlet, esemény Véletlen kísérlet: olyan folyamatot, jelenséget értünk, amelynek a kmenetele előre bzonyosan nem mondható meg, de az gen, hogy mlyen módon fejeződhet be. Azaz előre tudható, hogy mlyen végállapotok lehetnek. A véletlen kísérletet azonos feltételek mellett, függetlenül meg lehet fgyeln, akárhányszor végre lehet hajtan. Esemény: a véletlen kísérlettel kapcsolatos eseménynek nevezünk mnden olyan logka állítást, melynek gaz vagy hams értéke egyértelműen megállapítható a kísérlet befejezésekor. Az esemény bekövetkezk, ha az állítás gaz értéket kap a kísérlet végén, és nem következk be, ha logka érték hams. Jelölésük. A, B stb. Eseménytér: az elem események halmaza. Jelölés: Ω Defnícó: az A esemény maga után vonja a B eseményt, ha az A esemény bekövetkezéséből a B esemény bekövetkezése s következk. Jelölés: A B Aóma: A véletlen kísérlettel kapcsolatos összes események Ω rendszere (eseménytér) a) I Ω O Ω b) ha A Ω A C Ω c) Ha A, A, A 3,., A n Ω A Ω 3

35 3.. Eseményalgebra HALMAZOK ESEMÉYEK Uno: A B Összeg: A+B Metszet: A B Szorzás: AB Komplementer: A C Ellentett esemény: A C Alaphalmaz: H Bztos esemény: I Üres halmaz: Lehetetlen esemény: O Részhalmaz: A B A maga után vonja B-t: A B Egymást kzáró események: ha A és B-re gaz, hogy ABO Elem esemény: a K véletlen kísérlet egy A O eseménye, ha nncs olyan B esemény, amely A-t maga után vonná. Azaz B ( O és A) olyan, hogy B A. Az elem események jelölése ω. A+BB+A (A+B)+CA+(B+C) A+AA A+II A+OA Esemény algebra Összeadás Kvonás Szorzás Komplementer Több művelet A-BAB ABBA c A(B+CAB+AC (AB)CA(BC) ( A C ) A AOO AAA AII I C O O C I A+A C I AA C O De Morgan: (A+B) C A C B C (AB) C A C +B C 3... Teljes esemény rendszer Az A, A, A 3, A 4,..A n események teljes esemény rendszert képeznek, ha a) A +A +A 3 +A A n I b) A A j O, ha j (,, 3,,n és j,, 3,,n) 3

36 3.3. Valószínűség fogalma Valószínűség aómája Adott P: Ω [0, ] valószínűség függvény. A P kelégít az alábbakat:. P(I). Ha A, A, A 3, A Ω, és A A j O akkor gaz a σ-addtívtás(ha n, akkor véges addtvtás): P ( A ) P ( A ) ahol P(I): Bztos esemény valószínűsége P(O): Lehetetlen esemény valószínűsége 33

37 Kolmogorov-féle valószínűség mező: (I, Ω, P) Valószínűség alapfogalmak. Valószínűség: Eseményeken értelmezett számértékű függvénymérték. Jelölésben P(A)p Kolmogorov aómák: 0 P(A) P(O)0 és P(I) Ha AB O P(A+B) P(A) + P(B). Valószínűségszámítás: klasszkus valószínűség modell: k kedvez ő események száma P ( A) p n összes események száma 3. Statsztka próba (teszt): A mért adatokon értelmezett függvény. 4. Szgnfkanca értelmezése : p < 0.05 A valószínűség másk smert megadás módja a százalékos forma, amkor pl. p 0.60 helyett 60 % os esélyt mondunk egy esemény bekövetkezésére. Ha magát az A eseményt s jelöljük a valószínűségével együtt, akkor a P(A) jelölést használjuk. 34

38 Feltételes valószínűség P(AB) P(A B) P(B) Teljes valószínűség tétele Ha B, B, B 3,., B n események teljes esemény rendszert alkotnak és P(B I ) 0, akkor egy tetszőleges A esemény valószínűsége P(A)Σ P(A B ) P(B ) Bayes elmélet Ha a B, B, B 3,., B n események teljes esemény rendszert alkotnak és P(B) 0, valamnt egy tetszőleges A eseményre gaz, hogy P(A) 0, akkor a B eseményekre gaz posteror valószínűség P(A B ) P(B ) P(B A) Σ P(A B k ) P(B k ) k a pror valószínűség Markov-egyenlőtlenség Legyen ξ poztív valószínűség változó véges M(ξ) várható értékkel. Ekkor tetszőleges λ > 0 valós számra gaz az alább egyenlőtlenség: P ( ξ λ M( ξ)) λ 35

39 Csebsev-egyenlőtlenség Legyen ξtetszőleges valószínűség változó, melynek van szórása. Ekkor ε > 0 esetén gaz: P( ξ ξ ε D ( ) M( ) ) ε ξ Ha ξsmeretlen (várható érték és szórás gen), akkor felső korlátot tudunk megadn a várható érték körül szmmetrkus ntervallumokba esés valószínűségere. agy számok Bernoull-féle gyenge törvénye Legyen ξbnomáls eloszlású valószínűség változó, mely k k(k0,,,,n)értéket vesz fel, ha az A esemény az n kísérlet során k-szor k következett be. Legyen az A esemény n relatív gyakorsága, P(A) p az esemény valószínűsége. Ekkor ε> 0esetén gaz: q p P(A) P ( k n p ) ε p q ε n k P ( n p < ) ε p q ε n 36

40 . agyszámok gyenge és Erős törvénye Valószínűség változók jellemzése A valószínűség változó egy olyan függvény, amely az eseménytér elemehez valós számokat rendel: ξ: Ω R Valószínűség változó: ha az elem események mndegykéhez egyértelműen hozzárendelünk egy számot, akkor az eseménytéren egy függvényt értelmezünk, és ezzel megadunk egy valószínűség változót. Dszkrét eloszlások: értékkészletük megszámlálhatóan véges vagy. Eloszlásfüggvénye: A ξ dszkrét valószínűség változó F() eloszlás lépcsős függvénye: F() P(ξ < ) k< p k Az F() eloszlásfüggvény tulajdonsága: balról folytonos, 37

41 monoton növekedő, értéke 0 és l között. Folytonos eloszlások: értékkészletük megszámlálhatatlanul. Sűrűségfüggvénye: a ξ adateloszlását, sűrűségét jellemző folytonos függvény. Jelölése: f() Eloszlásfüggvénye: F() P(ξ < ) és értékkészlete a [0, ] között ntervallum. Grafkonja folytonos: görbe A sűrűségfv. "görbe alatt területét" egy [-, ] ntervallumban az eloszlásfv. adja meg. F ( ) f ( ) d A sűrűségfüggvény tulajdonsága, hogy értéke 0 (hszen a valószínűség nem lehet negatív értékű), a függvény görbe alatt területe l. f() Infleós pont Π 34, % 34, % 3,6 % 3,6 %, %, % 0, % 0, % µ-3σ µ-σ µ-σ µ µ+σ µ+σ µ+3σ ormáleloszlás sűrűségfüggvénye 38

42 Sűrűségfüggvénye f e σ π ( µ ) σ ( ) ormáleloszlás eloszlásfüggvénye ; ; ;

43 Eloszlásfüggvénye F ) e ( µ ) σ ( σ π d Valószínűség változók várható értéke és szórása Várható érték (M(ξ)): az a szám, amely körül megfgyelt értékenek átlaga ngadozk. Dszkrét esetben: M ( ξ ) n k p k k Folytonos esetben: M (ξ ) f ( ) d Szórás (D(ξ )): a ξ várható értékétől való átlagos eltérését jellemz. égyzete a varanca: V(ξ) D (ξ) 40

44 A szórásnégyzet: Var(ξ) D (ξ) M[(ξ M(ξ)] M(ξ ) M (ξ) Dszkrét esetben: Var(ξ) D (ξ) n k pk k n pk k k Folytonos esetben: ) D( ξ ) f( ) d( f( ) d 3.4. Eloszlások evezetes dszkrét eloszlások Bnomáls eloszlás Végezzünk el egy kísérletet n szer egymástól függetlenül. A kísérlet során egy A esemény bekövetkezésének valószínűsége legyen P(A) és az ellentett esemény valószínűsége pedg P( A) q p. A p ről feltesszük, hogy konstans a kísérlet folyamán. A ξ valószínűség változó az A esemény bekövetkezésenek a számát jelent. Ekkor annak valószínűsége, hogy a kísérlet során az A esemény k szor következk be a következő alakban adható meg: p k P(ξ k) n p k k q nk (k 0,,,..., n) A ξ valószínűség változó eloszlását bnomáls eloszlásnak nevezzük, amelynek várható értéke: és szórása: M(ξ) n p D(ξ) n p q 4

45 3.4...Hpergeometrkus eloszlás Az számú elemből jelöljünk meg M darabot. Random módon vsszatevés nélkül válasszunk k n darabot az számú elemből úgy, hogy teljesüljön a választásra az n M és n M feltétel. Jelölje ξ azoknak a megjelölt elemeknek a számát, amelyek az n kválasztott elemek között előfordulnak. Ekkor ξ értékere az alább valószínűségek adódnak. M M k n k p k P(ξ k) (k 0,,,.., k) n A ξ valószínűség változó eloszlását hpergeometrkus eloszlásnak nevezzük. Az eloszlás várható értéke és szórása: M(ξ) n p D(ξ) n M M n M egatív bnomáls eloszlás Végezzünk el több egymástól független kísérletsorozatot, amelyben egy A esemény valószínűsége P(A) konstans a kísérlet folyamán és az ellentett esemény valószínűsége a P(A) p. Legyen r egy természetes szám és ξ olyan valószínűség változó, amely ha az A esemény r szer éppen az r+k adk kísérletben következk be az k k+r értéket vesz fel. ylván az ezt megelőző kísérletekben az A esemény r szer, az A esemény k szor következk be. Ekkor annak valószínűsége, hogy az A esemény a k+r kísérletsorozatban r szer következk be. k + r p k P(ξ k ) p r r ( p) k (k 0,,,...) A ξ eloszlását r ed rendű negatív bnomáls eloszlásnak nevezzük. Az eloszlás várható értéke és szórása: 4

46 M(ξ) r p D(ξ) r( p) p Posson eloszlás A p k P(ξ k) λ k k! e λ (k 0,,,...) eloszlást a ξ valószínűség változó Posson eloszlásának nevezzük, ahol λ>0 egy tetszőleges valós szám. Posson eloszlást követnek pl. adott dő alatt lejátszódó események száma, baktérumok, sejtek száma.egy adott téfogatban, balesetek száma egy dőntervallumban, stb. A Posson eloszlás és a bnomáls eloszlás között szoros a kapcsolat. Ha a bnomáls eloszlásban n nagy és a vzsgált esemény valószínűsége a p értéke 0 hoz közel érték (az n p szorzat értéke < 5), lyenkor a λ n p választással a bnomáls eloszlás jól közelíthető a Posson eloszlással: n k p k q nk k λ k! e A Posson eloszlás várható értéke és szórása: M(ξ) λ λ D(ξ) λ 43

47 3.4.. evezetes folytonos eloszlások Egyenletes eloszlás Az egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye: 0 ha a f() ha a < b b a 0 ha > b Eloszlásfüggvénye: F() P(ξ<) 0 a b a ha a ha a < b ha > b A várható érték és szórás: M(ξ) a + b D(ξ) b a 44

48 Az egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye Az egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye Eponencáls eloszlás Az eponencáls eloszlás sűrűségfüggvénye: 0 ha 0 f() λe λ ha > 0 ahol >0 tetszőleges poztív szám. Az eponencáls eloszlásfüggvény alakja A várható érték és szórás: F() P(ξ<) 0 ha 0 λ e ha > 0 M(ξ) λ D(ξ) λ 45

49 Eponencáls eloszlás Az eponencáls eloszlás sűrűségfüggvénye: Eponencáls eloszlás A valószínűség változót paraméterű eponencáls eloszlásúnaknevezzük, ha eloszlásfüggvénye: ahol rögzített Az eponencáls eloszlásfüggvény Az eponencáls eloszlás általánosított alakja a Webull eloszlás, amelynek sűrűségfüggvénye (c > 0 és α > 0 állandók): 46

50 f() c α 0 α e c α ha ha 0 > 0 Eloszlásfüggvénye: e F() 0 c α ha 0 ha < 0 A Webull eloszlás egyk sajátságos felhasználás területe a gyógyszerknetka vzsgálatok Gamma eloszlás A ξ valószínűség változó λ paraméterű, Γ edrendű λ eloszlás sűrűségfüggvénye az alább formában adható meg: f() p p λ Γ( p) 0 e λ ahol λ>0 és p>0 állandók. Ha p egész szám, akkor: Γ(p) (p )! A várható érték és szórás: ha ha 0 < 0 M(ξ) p λ D(ξ) p λ 47

51 Béta eloszlás A ξ valószínűség változó (p, q) rendű béta eloszlású, ha sűrűségfüggvénye: f() Γ p + q) Γ( p) Γ( q) 0 ( p q ahol p > 0 és q > 0 állandók. Az eloszlás várható értéke és szórása: M(ξ) ( ) p p + q ha 0 < < egyébként D(ξ) p q p + q p + q + A szabadságfok fogalmát Sr R.A. Fsher vezette be. Egy statsztka szabadságfokát amelyet df el (degrees of freedom) jelölünk a továbbakban, úgy defnáljuk, hogy az mntaszámból levonjuk az adott statsztka kszámításhoz szükséges, az adatokból már meghatározott paraméterek k számát. df k F eloszlás Legyen az összehasonlítan kívánt két mnta normáls eloszlású, elemszámuk és, az egyes populácók varancája (szórásnégyzete) σ és σ. Az F statsztkát a következőképpen defnáljuk: ahol s és s szabadságfoka: F ( ( s s ) σ ) σ a mntákból számolt korrgált varancák (lásd később). Az eloszlás df és df 48

52 Az eloszlás sűrűségfüggvénye: f f, f f+ ( ) f K F F + ahol K a df és df szabadságfokoktól függő konstansérték. Az eloszlás görbe alatt területe. Az eloszlás alakja az df és df értékektől függ. f f f Az F eloszlás várható értéke: M ha 3 és szórása D ( + ) ( ) ( 4) (ha 5) F eloszlás f (n-) f (n-) 49

53 ormáls eloszlás Általános jelölése: (µ, σ). Az eloszlást Gauss-görbének vagy harang görbének s hívjuk. Sűrűségfüggvény f e σ π ( µ ) σ ( ) f() Infleós pont Π 34, % 34, % 3,6 % 3,6 %, %, % 0, % 0, % µ-3σ µ-σ µ-σ µ µ+σ µ+σ µ+3σ ormáls eloszlás tulajdonsága 50

54 Eloszlásfüggvény F ) e ( µ ) σ ( σ π d ormáleloszlás eloszlásfüggvénye ; ; ;

55 Standard normáls eloszlás jelölése: (0, ) ϕ() nfleós pont ~ 0,4 Π nfleós pont 34, % 34, % 3,6 % 3,6 %, %, % 0, % 0, % z Standard normáls eloszlás -µ z σ z a transzformácós képlet, amely segítségével tetszőleges normáls eloszlást standard normáls eloszlásba (egyetlen lyen alak van) transzformálhatunk. 5

56 Standard normáls eloszlás sűrűségfüggvénye φ( ) e π Standard normáls eloszlás eloszlásfüggvénye Φ ( ) e π d 53

57 Aszmmetrkus normáls eloszlások: POSITIVELY SKEWED EGATIVELY SKEWED 54

58 BI-MODAL ormáls eloszlás aszmmetra mutató Pearson-féle A mutató: A mérőszám (önmagában a számláló) előjele az aszmmetra rányát mutatja. Bal oldal, jobbra elnyúló aszmmetra esetén A > 0, jobb oldal, balra elnyúló aszmmetra esetén A < 0. Szmmetrkus eloszlás esetén A 0. A mérőszám abszolút értékének nncs határozott felső korlátja, azonban már -nél nagyobb abszolút érték a gyakorlatban rtkán fordul elő és meglehetősen erős aszmmetrára utal. A Mo σ F- mutató: E mutatószám ugyanolyan feltételek mellett ad nulla, poztív és negatív eredményt, mnt az A mutató. Az F mutató lényegesen ksebb értékkel jelz a már nagyfokúnak teknthető aszmmetrát, mnt az A. (Q F (Q 3 3 Me) (Me Q ) Me) + (Me Q ) 55

59 Kurtoss: a görbe csúcsosságát jellemz. Poztív érték esetén csúcsosabb, negatív érték esetén lapultabb a görbe. Értéke lehetőleg legyen 0 vagy 0 közel. Skewness: a szmmetra tengelytől való eltolás mértékét jellemz. Poztív érték esetén jobbra, negatív érték esetén balra eltolt az eloszlás. Értéke lehetőleg legyen 0 vagy 0 közel. Ha mndkét érték egyszerre 0 vagy 0 közel, akkor az eloszlás normáls Inverz normáls eloszlás (vagy Wald): agyon sok hasonlóságot mutat a normáls eloszláshoz. Balra eltolt eloszlások esetén használatos t-eloszlás Az ξ valószínűség változót n szabadság fokú Student-eloszlásúnak (t-eloszlásúnak vagy t n - eloszlásúnak) nevezzük, ha sűrűségfüggvénye: 56

60 Látható, hogy fent sűrűségfüggvény a 0-ra szmmetrkus: n szabadság fok esetén a Student-eloszlás a (λ, µ0) paraméterű Cauchy-eloszlás Lognormáls eloszlás Egy ξvalószínűség változó lognormáls eloszlású, ha a változó logartmusa: ϕ ln ξ normáls eloszlású. Az eloszlás sűrűségfüggvénye: f() e πσ 0 ( ln m) σ ha ha > 0 0 Sűrűségfüggvénye: 57

61 Az eloszlás várható értéke és szórásnégyzete: M(ξ) e m+ σ D m+ σ σ (ξ) e ( e ) Érdekes eloszlások 3 dmenzós normáls eloszlás sűrűségfüggvénye 58

62 z y z y

63 4. Adattípusok A statsztkában egy ξ változó mérésének a skálája olyan osztályozást jelent, amely lehetővé tesz a változón különböző matematka műveletek végrehajtását. A megjelenítés módszerét egyrészt a megfgyelt ξ változó természete (dszkrét vagy folytonos valószínűség változó), lletve a vzsgálat célja határozza meg. Ennek megfelelően a következő négy fontosabb skálatípust különböztetjük meg, megjegyezvén, hogy mnden következő skálatípus örökl a felette lévő művelet tulajdonságat lletve újabbakkal bővülnek: 4.. omnáls skála A legegyszerűbb skálatípus, ahol a mérés eredménye között csak az egyenlőséget és a nem egyenlőséget tudjuk defnáln. A statsztka vzsgálat eredményet osztályokra, kategórákra osztjuk. A nomnáls adatok nem számszerűsíthetőek, és így a legtöbb tárgyalt statsztka művelet nem használható velük kapcsolatban. A skálaértékeket pusztán kódszámoknak tekntjük, amelyek között semmlyen matematka vszonyt nem feltételezünk pl. nem (férf) és nem (nő). A nomnáls skála esetében a skálaérték előfordulásának gyakorsága (modusz) vzsgálható, vagy kontngencatábla s készíthető, azonban sem medán, sem átlag használatának nncs értelme a nomnáls skálánál. ξ -n értelmezhető műveletek:, 4.. Ordnáls skála Az ordnáls (rendezett) adatokról nem csak egyezőségüket állapíthatjuk meg, hanem valamlyen elv szernt sorba s rendezhetjük őket. Az skola osztályzatok tpkus ordnáls skálájú adatok. Megállapítható, hogy egy négyesnél jobb az ötös, de nem mondható, hogy a hármas és a négyes között ugyanakkora a tudáskülönbség, mnt a négyes és az ötös között. Továbbá nem gaz, hogy egy négyes kétszer jobb, mnt egy kettes (sem az, hogy fele annyt tud). Szntén ordnáls pl. a dohányzás mértéke (nem, mérsékelt, erős dohányos). A legtöbb ordnáls skálán mért adatot elvleg arány vagy ntervallum skálán s mérhetnénk, de ezt valamlyen okból nem tesszük (például jegyek helyett a szerzett pontok jobban tükröznék az skola teljesítményt). E skálatípus esetében a medán vzsgálható, az átlag használatának ellenben tt nncs értelme. Ordnáls adatok esetében általában a nem paraméteres statsztkákat kell alkalmaznunk. ξ -n értelmezhető műveletek:,, <, > 4.3. Intervallum skála Az ntervallum skálánál az egyes értékek között különbség azonos, de mvel nncs eleve adott 0 pontjuk, így arányaknak sncs értelme. A számértékek mnd a nagyság szernt vszonyokat 60

64 megmutatják, mnd az eltérés mértékét meghatározzák, a skálaértékek különbségét tt már értelmezn tudjuk. Legsmertebb ntervallumskála a Celsus-fok skála vagy Fahrenhet skála. Igaz, hogy a 0 C és a C között különbség azonos a 3 C és 34 C között különbséggel. Azonban nem gaz, hogy a 0 C kétszer olyan meleg, mnt az 5 C. Intervallum skálán adjuk meg a dátumokats vagy az IQ értéket s. Az ntervallumskála nullapontjának és egységpontjának a meghatározása s megállapodás kérdése. Itt már számolhatunk átlagot, mvel a nullapont eltolása nem változtatja meg az átlag relatív helyét az átlagolt számok között. ξ -n értelmezhető műveletek:,, <, >, 4.4. Arány skála Az arányskála az ntervallumskála jellemzővel rendelkezk, emellett tartalmaz egy abszolút nullapontot s. Az arányskálára gaz, hogy az értékek arányának jelentése van, például a 6 kgos cukroszacskó kétszer anny tömegű, mnt egy 3 kg-os. Ehhez az kell, hogy legyen a skálának nulla pontja, és ezen nulla pont ne önkényes legyen. Magasságméréseknél a nullapont a 0 magassághoz tartozk, ugyanígy tömegmérésnél a 0 tömeghez. A Kelvn hőmérsékletsálának 0 pontja s adott, nem úgy a Celsus skála 0 pontja, amelyek önkényesen választottak (pl. víz fagyáspontja). A legtöbb mért adatunk aránysálán mért, a legtöbb tt tárgyalt statsztka alkalmazható arányskálára. ξ -n értelmezhető műveletek:,, <, >,, / 5. Adatredukcó Azt az eljárást, amelynek során az adatokból olyan számértékeket (paramétereket), statsztka mutatókat határozunk meg, amelyek az adatok statsztka vselkedését jól jellemzk, statsztka redukcónak nevezzük. Az eljárás révén az adatok jellemzőt egyetlen számértékbe tömörítjük. 5.. Középérték M a középérték: azonos fajta számszerű adatok közös jellemzője. Követelmények: a) Számított középérték: közbenső helyet foglaljanak el az adatok között, azaz 6

65 mn középérték ma b) Helyzet középérték: tpkus értékek legyenek (az adatok között gyakran forduljon elő). c) Legyenek könnyen meghatározhatók és egyértelműen defnálva. Középérték fajták: Középértékek Számított középértékek Helyzet középértékek Artmetka Harmonkus Módusz Medán átlag: X átlag: Mo Me X h Geometra átlag: Xg Kvadratkus átlag: Xq 5... Számított középértékek 5... Artmetka átlag (Számtan átlag) Az a szám, amelyet az átlagolandó értékek helyébe téve azok összege nem változk Súlyozott számtan átlag A mért értékek között egyes értékek többször s előfordulnak változó gyakorságokkal. Ebben az esetben a számtan átlag meghatározásának módja 6

66 f ahol f az egyes értékek gyakorsága és f. f Az artmetka átlag általános formája n Megjegyzések: a) Az általánosan elfogadott szokás az átlag értékének megadására, hogy jegyenek száma egy értékkel legyen több, mnt a mért adatok jegyenek száma. b) Az átlagtól való eltérések algebra összege 0 mert a ( ) 0 -kra vonatkozó azonosságokat felhasználva rható ( ) 0 c) Hányzó értékek esetén (ha számuk nem nagy), ha ezeket az értékeket az adatok átlagával helyettesítjük, akkor a helyettesítéssel elkövetett hbák négyzetösszege a mnmáls lesz. d) Ha egy mnta két (vagy több) részmntából állítható elő, akkor a teljes mnta átlagára gaz + ahol és az első mnta, és a másodk mnta nagysága és átlaga, az egyesített mnta nagysága ( + ). e) A számtan átlag out lers (klógó vagy etrém) adatok esetén nem jellemz jól a sokaságot, érzékeny az lyen adatokra. 63

67 5... Mértan átlag A mértan átlag tulajdonsága, hogyha a megfgyelt értékeket a mértan átlaggal helyettesítjük, akkor szorzatuk az eredet értékek szorzatával egyezk g g g... g g 3... Az,, 3,..., megfgyelt poztív értékek mértan (geometra) átlaga g 3... ahol a produktum jele. A mértan átlagot gyorsabban megkaphatjuk, ha az eredet adatok logartmusának összegét elosztjuk az elemszámmal log g Innen az átlagot az antlogartmus felhasználásával nyerjük g ant log(log g ) A mértan átlag kszámításánál ügyeln kell arra, ha az értékek között az 0 érték s szerepel akkor a szorzat s és a mértan átlag s 0 lesz. Ilyen esetekben a mértan átlag meghatározásának nncs értelme. Súlyozott mértan átlag kszámítása a log g K f f f f k k formulával történk ahol K f + f + f f k A mértan átlagot akkor célszerű alkalmazn, ha az értékek szorzata 0 nál nagyobb szám és a mért értékek eponencáls eloszlásúak (eponencálsan nőnek vagy csökkennek). 64

68 65 Etrém adatokra kevésbé érzékeny. A számtan és a mértan átlag vszonyára a következő relácó az gaz g Harmonkus átlag Ha az megfgyelt értékek helyébe a harmonkus átlagot tesszük, akkor recprokak összege az eredet értékek recprokanak összegével egyezk h h h h h... n... A harmonkus átlag kszámítás formulája h A harmonkus átlag kevésbé érzékeny a szélsőséges értékekre. Az h értéket mnt átlagos túlélés dőt, átlagsebességet, átlagteljesítményt (azonos dőtartamra vonatkozóan) számítjuk. A súlyozott harmonkus átlag meghatározása h f f formula alapján történk. Az h g, és értékek között érvényes a következő összefüggés h g égyzetes átlag

69 Meghatározása q Ha az értékek helyébe az q t tesszük, és vesszük négyzetek összegét, akkor fennáll a következő egyenlőség q A súlyozott négyzetes átlag a következő módon határozható meg q k k f f A négyzetes átlag érzékeny a out lers adatokra. Alkalmazása akkor kerül előtérbe, ha a mért értékek között poztív és negatív értékek egyaránt előfordulnak, de csak az értékek abszolút nagyságát kívánjuk középértékkel jellemezn. Ilyen esetben az előjelek jelentőségétől eltekntünk. Jelentősége az adatok szórásánál lesz. Az q és az értékek között a kapcsolat q Átlagokkal kapcsolatos megjegyzések a) Poztív értékek esetén, a négyfajta átlag vszonyára mndg gaz az alább összefüggés: mn < h q q < Konstans értékek esetén nylván mndegyk átlag azonos. b) A mértan és a harmonkus átlag a nagyon alacsony, a kvadralkus átlag a nagyon magas értékekre érzékeny. c) Használatos az ún. trmmed mean, amkor klógó értékek matt pl. elhagyjuk a mnta alsó és felső 5%-át. 66 ma

70 5... Helyzet középértékek 5... Módusz A módusz (M o vagy sűrűsödés középpont) a mntában az az érték, amely a leggyakrabban fordul elő. Ha az értékek egyforma gyakorsággal fordulnak elő a mntában, akkor a móduszt nem lehet egyértelműsíten. Elsősorban ntervallum vagy arányskálán mért adatok jellemzésére szolgál, de kvaltatív adatok esetén s használható. Több csúcsú eloszlásnál szntén hasznos az adatok jellemzésére. Folytonos eloszlás esetén (pl. normáls eloszlás) a módusz a görbe mamum értékénél van. Ebben az esetben nem beszélhetünk olyan értékről, amely a leggyakrabban fordul elő az adatok között. Meghatározása az osztályközös gyakorság ntervallumok alapján becsléssel történk. Csoportosított adatok (egyenlő hosszúságú ntervallumok) esetén a módusz meghatározása a formulával történk, ahol 0 Mo : a modáls osztályköz alsó határa 0 Mf + Mf + Mf Mf : a modáls osztályköz és az azt megelőző osztályköz gyakorságának különbsége Mf : a modáls osztályköz és az azt követő osztályköz gyakorságának különbsége h : a modáls osztályköz hossza * h 5... Medán A medán (Me) a nagyság szernt növekvő (csökkenő) sorrendbe rendezett adatok között a középső érték, az az 50%-os metszés pont vagy az adatok felező pontja (. kvartlse), mvel a nálánál ksebb lletve nagyobb értékek gyakorsága azonos. A medán a kugró értékekre nem érzékeny, mvel a szélső értékek nem befolyásolják nagyságát. A medán a számtan közepet pótolja ferde (aszmmetrkus) eloszlásoknál vagy etrém értékek előfordulása esetén. Ordnáls, ntervallum vagy arányskálán mért adatok 67

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség 5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma Témakörök Statsztka Sortszerező BSc kézés (leelező tagozat) 2-2-es tané félé Oktató: Dr Csáfor Hajnalka főskola docens Vállalkozás-gazdaságtan Tsz E-mal: hcsafor@ektfhu Statsztka fogalmak Statsztka elemzések

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I.

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I. NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM aipari Mérnöki Kar Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet Dr Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I Sopron 9 javított kiadás TARTALOMJEGYZÉK I Bevezetés a mőszaki mechanika

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Környezetvédelmi analitika

Környezetvédelmi analitika Az anyag a TÁMOP-4...A/- /--89 téma keretében készült a Pannon Egyetemen. Környezetmérnök Tudástár Sorozat szerkesztő: Dr. Domokos Endre XXXIV. kötet Környezetvédelm analtka Rezgés spektroszkópa Blles

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

Konfidencia-intervallumok

Konfidencia-intervallumok Konfdenca-ntervallumok 1./ Egy 100 elemű mntából 9%-os bztonság nten kéített konfdenca ntervallum: 177,;179,18. Határozza meg a mnta átlagát és órását, feltételezve, hogy az egé sokaság normáls elolású

Részletesebben

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Ismert fogalmak Témák Vektortér Lineáris kombináció Lineáris függőség, függetlenség Generátorrendszer, bázis, dimenzió Lineáris leképezések Szabadvektorok vektortere

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Összeállította: Kucsinka Katalin Tartalomjegyzék Előszó 4 1. Kombinatorika 5 2. Eseményalgebra 14 3. Valószínűségszámítás 21 3.1. Klasszikus valószínűség.....................

Részletesebben

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

1. Lineáris leképezések

1. Lineáris leképezések Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2

Részletesebben

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek BARA ZOLTÁN A bankköz utalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapacon. A bankköz utalék létező és nem létező versenyhatása a Vsa és a Mastercard ügyek Absztrakt Az előadás 1 rövden átteknt a két bankkártyatársasággal

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Matematikai alapszöveg: Bálint Péter, BME Differenciálegyenletek Tanszék Konzultáció, kiegészítések gépészmérnöki szempontok

Részletesebben

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Z UNIVERSITAS-GYŐR Kht. Győr, 25 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR TÁVKÖZLÉSI TANSZÉK Egyetemi jegyzet Írta:

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Ismerkedés az Abel-csoportokkal

Ismerkedés az Abel-csoportokkal Ismerkedés az Abel-csoportokkal - Szakdolgozat - Készítette: Takács Mária (Matematika BSc, Tanári szakirány) Témavezető: Kiss Emil (Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet) Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Bemenet modellezése II.

Bemenet modellezése II. Bemenet modellezése II. Vidács Attila 2005. november 3. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 1 Kiszolgálási id k modellezése Feladat: Egy bemeneti modell felállítása egy egy kiszolgálós sorbanállási

Részletesebben

8. Programozási tételek felsoroló típusokra

8. Programozási tételek felsoroló típusokra 8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy

Részletesebben

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Ferenczi Dóra Sorbanállási problémák BSc Szakdolgozat Témavezet : Arató Miklós egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest,

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék 1 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék...1.Beezetés... 3.A matematka modell kálasztása...5 4.A ékony lap modell...7 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására...10 6.A felületet

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája Egy koncentrált paraméterű, ellenállással és nduktvtással jellemzett tekercs Uáll feszültségre kapcsolásakor az

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt

S T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy

Részletesebben

Szennyvíztisztítási technológiai számítások és vízminőségi értékelési módszerek

Szennyvíztisztítási technológiai számítások és vízminőségi értékelési módszerek Szennyvíztsztítás technológa számítások és vízmnőség értékelés módszerek Segédlet a Szennyvíztsztítás c. tantárgy gyakorlat foglalkozásahoz Dr. Takács János ME, Eljárástechnka Tsz. 00. BEVEZETÉS Áldjon,

Részletesebben

Ahol mindig Ön az első! www.eon.hu/ugyintezes. Segítünk online ügyféllé válni Kisokos

Ahol mindig Ön az első! www.eon.hu/ugyintezes. Segítünk online ügyféllé válni Kisokos Ahol mndg Ön az első! www.eon.hu/ugyntezes Segítünk onlne ügyféllé váln Ksokos Kedves Ügyfelünk! Szeretnénk, ha Ön s megsmerkedne Onlne ügyfélszolgálatunkkal (www.eon.hu/ugyntezes), amelyen keresztül egyszerűen,

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (c) Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Utolsó módosítás: 2015. január 17. 1 Az elektromágneses hullámok visszaverődési és törési törvényei (1) Kérdés: Mi történik

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben

Tómács Tibor. Matematikai statisztika

Tómács Tibor. Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Készítette: Dr. Ábrahám István A játékelmélet a 2. század közepén alakult ki. (Neumann J., O. Morgenstern). Gyakran

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

Tanmenetjavaslat 5. osztály

Tanmenetjavaslat 5. osztály Tanmenetjavaslat 5. osztály 1. A természetes számok A tanmenetjavaslatokban dőlt betűvel szedtük a tananyag legjellemzőbb részét (amelyet a naplóba írunk). Kisebb betűvel jelezzük a folyamatos ismétléssel

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

Merev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai

Merev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) Merev test mogása Eddg olyan dealált "testek" mogását vsgáltuk, amelyek a tömegpont modelljén alapultak E aal a előnnyel járt, hogy nem kellett foglalkon a test kterjedésével

Részletesebben

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai.

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. Halmazok Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. 1. lapfogalmak halmaz és az eleme fogalmakat alapfogalmaknak tekintjük, nem deniáljuk ket. Jelölés: x H,

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék III 1. Aritmetika 1 1.1. Elemi számolási szabályok............................... 1 1.1.1. Számok..................................... 1 1.1.1.1. Természetes, egész és racionális számok.............. 1

Részletesebben

Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei

Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei K házi-kis Ambrus, Klebniczki József Kecskeméti F iskola GAMF Kar Matematika és Fizika Tanszék, 6000 Kecskemét, Izsáki út 10. Véges transzverzális

Részletesebben

Hitelderivatívák árazása sztochasztikus volatilitás modellekkel

Hitelderivatívák árazása sztochasztikus volatilitás modellekkel Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudomány Kar Budapest Corvnus Egyetem Közgazdaságtudomány Kar Hteldervatívák árazása sztochasztkus volatltás modellekkel Bztosítás és pénzügy matematka MSc Kvanttatív

Részletesebben

A pályázat címe: Új elméleti és numerikus módszerek tartószerkezetek topológiaoptimálására

A pályázat címe: Új elméleti és numerikus módszerek tartószerkezetek topológiaoptimálására 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János A pályázat címe: Új elmélet és numerkus módszerek tartószerkezetek topolóaoptmálására determnsztkus és sztochasztkus feladatok esetén. (Részletes jelentés)

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Fizikai alapismeretek

Fizikai alapismeretek Fizikai alapismeretek jegyzet Írták: Farkas Henrik és Wittmann Marian BME Vegyészmérnöki Kar J6-947 (1990) Műegyetemi Kiadó 60947 (1993) A jegyzet BME nívódíjat kapott 1994-ben. Az internetes változatot

Részletesebben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Szakdolgozat Készítette: Borostyán Dóra Matematika BSc matematikai elemző Témavezető:

Részletesebben