8. Programozási tételek felsoroló típusokra

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "8. Programozási tételek felsoroló típusokra"

Átírás

1 8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy az őt reprezentáló elem értékeknek m az egymáshoz való vszonya, a reprezentácó mlyen jellegzetes belső szerkezettel rendelkezk. Számunkra különösen azok a típusok érdekesek, amelyek típusértéket azonos típusú elem értékek sokasága reprezentál. Ilyen például egy tömb, egy halmaz vagy egy sorozat. Ezeknek az úgynevezett gyűjteményeknek közös tulajdonsága, hogy a bennük tárolt elem értékek egymás után felsorolhatók. Egy halmazból egymás után kvehetjük, egy sorozatnak vagy egy tömbnek véggnézhetjük az elemet. Éppen ezért az lyen típusokat szokták felsorolhatónak (enumerable) vagy teráltnak (terált szerkezetűnek) nevezn. Felsoroln nemcsak terált szerkezetű adatok elemet lehet, hanem egy egész szám valód osztót, vagy két egész szám által meghatározott zárt ntervallum egész számat. Ebből s látszk, hogy nagyon sokféle felsorolható adat van. A felsorolás tehát nem csak a felsorolhatósághoz kötődk. Általánosságban azt jelent, hogy képesek vagyunk egy adatnak valamlyen értelemben vett első elemére ráálln, majd a soron következőre, meg tudjuk kérdezn, van-e egyáltalán első vagy soron következő elem, és lekérdezhetjük a felsorolás során éppen aktuáls elemnek az értékét. A felsorolást végző műveletek nem ahhoz az adathoz tartoznak, amelynek elemet felsoroljuk, legfeljebb csak támaszkodnak az adat műveletere. Furcsa s lenne, ha egy egész szám (amelyknek valód osztóra vagyunk kíváncsak) alapból rendelkezne lyen ( vedd az első valód osztót, vedd a következő valód osztót, van-e még valód osztó, m az éppen vzsgált valód osztó ) műveletekkel. De egy egész ntervallumnak s csak olyan művelete vannak, amvel az ntervallum határat tudjuk lekérdezn, az ntervallum egész számanak felsorolásához már egy specáls objektumra, egy ndexre van szükség. Ráadásul egy ntervallum felsorolása többféle lehet (egyesével vagy kettesével; növekvő, esetleg csökkenő sorrendben), ezeket mnd nem lehetne az ntervallum típusműveletevel leírn. A felsorolást végző műveleteket ezért mndg egy külön objektumhoz kötjük. Ha szükség van egy adat elem érékenek felsorolásra, akkor az adathoz hozzárendelünk egy lyen felsoroló objektumot. Egy felsoroló objektum feldolgozása azt jelent, hogy az általa felsorolt elem értékeket valamlyen tevékenységnek vetjük alá. Ilyen tevékenység lehet ezen értékek összegzése, adott tulajdonságú értékek megszámolása vagy a legnagyobb elem érték megkeresése, stb. Ezek ugyanolyan feladatok, amelyek megoldására korábban programozás tételeket vezettünk be, csakhogy azokat a tételeket ntervallumon értelmezett függvényekre fogalmaztuk meg, most vszont ennél általánosabb, felsorolóra kmondott változatukra lenne szükség. Ezt az általánosítást azonban könnyű megtenn, hszen egy ntervallumhoz nem nehéz felsorolót rendeln, így a korábban bevezetett ntervallumos tételeket egyszerűen átfogalmazhatjuk felsoroló objektumra. Először (8.1. alfejezet) a nevezetes típusszerkezeteket fogjuk megvzsgáln, de ezek között s a legnagyobb hangsúlyt az terált szerkezetű, tehát felsorolható típusok bemutatására helyezzük. A 8.2. alfejezetben a felsoroló típus műveletet fogjuk jellemezn, majd megadjuk egy felsoroló objektum általános feldolgozását végző algortmus-sémát. A 8.3. alfejezetben 107

2 8. Programozás tételek felsoroló típusokra nevezetes felsoroló típusokat mutatunk. A 8.4. alfejezetben a programozás tételenket mondjuk k felsoroló típusokra Gyűjtemények A programozás feladatok megoldásában leggyakrabban gyűjtemények elem értéket kell felsoroln és feldolgozn. Gyűjteményeknek azokat az terált szerkezetű adatokat tekntjük, amelyek típusértéket azonos típusú elem értékek sokasága reprezentál. Vzsgáljunk meg most néhány nevezetes gyűjteményt. A halmaz (szerkezetű) típus típusértéket egy-egy véges elemszámú 2 E -bel elem (E-bel elemekből képzett halmaz) reprezentálja. Egy halmaz típusú objektumnak a típusművelete a halmazok szokásos művelete lesznek. Értelmezzük: halmaz ürességének vzsgálatát (h=, ahol h egy halmaz típusú értéket jelöl), halmaz egy elemének kválasztását (e: h, ahol e egy elem értéket hordozó segédváltozó), halmazból egy elem kvonását (h:=h {e}), új elemnek a hozzáadását a halmazhoz (h:=h {e}). A típus-megvalósítás szempontjából egyáltalán nem közömbös, hogy tt a szokásos unó lletve kvonás műveletével van-e dolgunk, vagy a megkülönböztetett (dszjunkt) unó lletve megkülönböztetett kvonással. Ez utóbbak esetén feltételezzük, hogy a művelet megváltoztatja a halmazt, azaz unó esetén bővül (mert a hozzáadandó elem új, még nncs benne a halmazban), kvonás esetén fogy (mert a kvonandó elem benne van a halmazban). Ezeknek a műveleteknek az mplementálása egyszerűbb, mert nem kell ezen feltételeket külön ellenőrznük, gaz, a feltétel nem teljesülése estén abortálnak. A halmaz típust a set(e) jelöl. Látjuk, hogy egy halmaz egy elemének kválasztása (e: h) a nem-determnsztkus értékkválasztással történk, amt ugyanazon halmazra egymás után alkalmazva nem fogjuk ugyanazt az elemet megkapn. Be lehet vezetn azonban a determnsztkus elemkválasztás műveletét (e:=mem(h)), amelyet ha egy halmazra többször egymás után hajtjuk végre úgy, hogy közben a halmazt nem változtatjuk meg, akkor mndg ugyanazon elemét adja vssza a halmaznak. Az gazat megvallva, a halmaz szóba jöhető reprezentácó sokkal nkább támogatják ennek az elemkválasztásnak a megvalósítását, mnt a valóban véletlenszerű, nemdetermnsztkus értékkválasztást. A sorozat (szerkezetű) típus típusértéket egy-egy véges hosszú E * -bel elem (E-bel elemekből képzett sorozat) reprezentálja, típusművelete pedg a sorozatokon értelmezhető műveletek. Jelöljön a t egy sorozat típusú objektumot, amelyet egy sorozat reprezentál. Most a teljesség génye nélkül felsorolunk néhány típusműveletet, amelyeket a t-re szoktak bevezetn, és a t-t reprezentáló sorozaton értelmezhetőek. Ilyen egy sorozat hosszának lekérdezése ( t ), a sorozat valahányadk elemére ndexeléssel történő hvatkozás (t ahol az ndexnek 1 és a sorozat hossza közé kell esn), egy elem törlése egy sorozatból vagy egy új elem beszúrása. Magát a sorozat típust a seq(e) jelöl. Specáls sorozattípusokhoz jutunk, ha csak bzonyos típusműveleteket engedünk meg. Ilyen például a verem és a sor. A verem esetén csak a sorozat elejére szabad új elemet befűzn, a sornál pedg csak a sorozat végére. Mndkettő esetén megengedett művelet annak eldöntése, hogy a reprezentáló sorozat üres-e. Mndkettőnél k lehet olvasn a sorozat első elemét, és azt el s lehet hagyn a sorozatból. A szekvencáls outputfájl (jelölése: outfle(e)) egyetlen műveletet enged meg: a sorozat végéhez új elem vagy elemekből képzett sorozat hozzállesztését (jelölése: wrte(e) vagy wrte(<e 1,,e n >)). A szekvencáls nputfájlnak (jelölése: nfle(e)) s egyetlen művelete van: a sorozat első elemének lefűzése, más szóval az 108

3 8.1. Gyűjtemények olvasás művelete. Matematka értelemben ezt egy olyan függvénnyel írhatjuk le, amely egy sorozat típusú objektumhoz (pontosabban az őt reprezentáló sorozathoz) három értéket rendel: az olvasás státuszát, a sorozat első elemét (ha van lyen), és az első elemétől megfosztott sorozatot. Az olvasást az st,e,t:=read(t) értékadással, vagy rövdítve az st,e,t:read szmbólummal jelöljük. Itt az st az olvasás státuszát kapja. Ez egy specáls kételemű halmaznak (Státusz ={abnorm, norm}) az egyk eleme. Ha a t eredet értéke egy üres sorozat volt, akkor az st változó az abnorm értéket vesz fel, különben a norm-ot. Ha a t-bel eredet sorozat nem üres, akkor az e az eredet sorozat első elemét, a t az eggyel rövdebb sorozatot vesz fel, egyébként a t-bel sorozat továbbra s üres marad, az e pedg defnálatlan. Sorozat szerkezetűnek teknthetjük a vektor típust, vagy más néven egydmenzós tömböt. Ha eltekntünk egy pllanatra attól, hogy a vektorok tetszőlegesen ndexelhetőek, akkor a vektort egy olyan sorozatnak teknthetjük, amelynek az elemere a sorszámuk alapján lehet közvetlenül hvatkozn, de a sorozat hossza (törléssel vagy beszúrással) nem változtatható meg. Egy vektor típusához azonban a fent vázolt sorozaton kívül azt az ndextartományt s meg kell adn, amely alapján a vektor elemet ndexelhetjük. A vektor típus tehát valójában egy rögzített hosszúságú sorozatból és egy egész számból álló rekord, amelyben a sorozat tartalmazza a vektor elemet, az egész szám pedg a sorozat első elemének ndexét adja meg. A vektor típust a vec(e) jelöl. A vektor alsó és felső ndexének lekérdezése s éppen úgy típusműveletnek teknthető, mnt a vektor adott ndexű elemére való hvatkozás. Ha v egy vektor, pedg egy ndexe, akkor v[] a vektor ndexű eleme, amt lekérdezhetünk vagy megváltoztathatunk, azaz állhat értékadás jobb vagy baloldalán. Általánosan a v vektor ndextartományának elejét a v.lob, végét a v.hb kfejezések adják meg. Ha azonban a vektor m..n típusra az általános vec(e) jelölés helyett továbbra s a korábban bevezetett E jelölést alkalmazzuk, akkor az ndextartományra egyszerűen az m és n segítségével hvatkozhatunk. Vlágosan kell azonban látn, hogy tt az m és az n a vektor egyed tulajdonsága, és nem attól független adatok. A kétdmenzós tömbtípus, azaz a mátrx típus modellünkben vektorok vektoraként fogalmazható meg könnyen. Ennek megfelelően a t mátrx -edk sorának j-edk elemére a t[][j] hvatkozk (ezt rövdebben t[,j]-vel s jelölhetjük), az -edk sorra a t[], az első sor ndexére a t.lob, az utolsóéra a t.hb, az -edk sor első elemének ndexére a t[].lob, az utolsó elem ndexére a t[].hb. A mátrx típust a matrx(e) jelöl. (Ezek a műveletek általánosítható a kettőnél több dmenzós tömbtípusokra s.) Specáls, de a leggyakrabban alkalmazott mátrx az, amelynek sora egyforma hosszúak és ugyanazzal az ndextartománnyal ndexeltek. Ezt l.. n k.. m jelöl az E, ahol a sorokat az [l..n] ntervallum, egy sor elemet pedg a [k..m] n m ntervallum ndexel. Ha k=1 és l=1, akkor az E jelölést s használjuk és lyenkor n*m-es mátrxokról (sorok száma n, oszlopok száma m) beszélünk. Könyvünkben megengedettnek tekntjük mndazokat a típusokat, amelyeket megengedett típusokból az tt bemutatott típusszerkezetek segítségével készíthetünk. 109

4 8. Programozás tételek felsoroló típusokra 8.2. Felsoroló típus specfkácója Most általánosan jellemezzük az olyan objektumokat (ezeket hívjuk majd rövden felsorolónak), amelyek segítségével egy felsorolható adatnak (vektornak, halmaznak, szekvencáls nputfájlnak, valód osztót felkínáló természetes számnak) az elemet egymás után elő lehet állítan. Egy felsoroló objektum 1 (enumerator) véges sok elem érték felsorolását tesz lehetővé azáltal, hogy rendelkezk a felsorolást végző műveletekkel: rá tud álln a felsorolandó értékek közül az elsőre vagy a soron következőre, meg tudja mutatn, hogy tart-e még a felsorolás és vssza tudja adn a felsorolás során érntett aktuáls értéket. Ha egy típus ezeket a műveleteket bztosítja, azaz felsoroló defnálására képes, akkor azt felsoroló (enumerator) típusnak nevezzük. Egy t felsoroló típusú objektumra defnícó szernt négy műveletet vezetünk be. A felsorolást mndg azzal kezdjük, hogy a felsorolót a felsorolás során először érntett elem értékre feltéve, hogy van lyen állítjuk. Ezt általánosan a t:=frst(t) értékadás valósítja meg, amt a továbbakban t.frst() 2 -tel jelölünk. Mnden tovább, tehát soron következő elemre a t.next() művelet (amely a t:=next(t) rövdített jelölése) segítségével tudunk ráálln. Vegyük észre, hogy mndkettő művelet megváltoztatja a t felsoroló állapotát. A t.current() művelet a felsorolás alatt kjelölt aktuáls elem értéket adja meg. A t.end() a felsorolás során mndaddg hams értéket ad vssza, amíg van kjelölt aktuáls elem, a felsorolás végét vszont gaz vsszaadott értékkel jelz. Ez a két utóbb művelet nem változtathatja meg a felsoroló állapotát. Fontos krtérum, hogy a felsorolás vége véges lépésben (a t.next() véges sok végrehajtása után) bekövetkezzék. A felsoroló műveletek hatását általában nem defnáljuk mnden esetre. Például nem-defnált az, hogy a t.frst() végrehajtása előtt (tehát a felsorolás kezdete előtt) lletve a t.end() gazra váltása után (azaz a felsorolás befejezése után) m a hatása a t.next(), a t.current() és a t.end() műveleteknek. Általában nem defnált az sem, hogy m történjen akkor, ha a t.frst() műveletet a felsorolás közben smételten végrehajtjuk. Mnden olyan típust felsorolónak nevezünk, amely megfelel a felsoroló típusspecfkácónak, azaz mplementálja a Frst(), Next(), End() és Current() műveleteket. A felsoroló (enumerator) típust enor(e)-vel jelöljük, ahol az E a felsorolt elem értékek típusa. Ezt a jelölés alkalmazhatjuk a típus értékhalmazára s. Egy felsoroló objektum hátterében mndg elem értékeknek azon véges hosszú sorozatát látjuk, amelynek elemet sorban, egymás után be tudjuk járn, fel tudjuk soroln. Ezért specfkácós jelölésként megengedjük, hogy egy t felsoroló által felsorolható elem értékre úgy hvatkozzunk, mnt egy véges sorozat elemere: a t a felsorolás során -edkként felsorolt elem érték, ahol az 1 és a felsorolt elemek száma (jelöljük ezt t -vel) közé eső egész szám. Hangsúlyozzuk, hogy a felsorolható elemek száma defnícó szernt véges. Ezzel tulajdonképpen egy absztrakt 25 1 Amkor a felsorolható adat egy gyűjtemény (terált), akkor a felsoroló objektumot szokták bejárónak vagy terátornak s nevezn, míg maga a felsorolható gyűjtemény a bejárható, azaz terálható adat. 2 A műveletek jelölésére az objektum orentált stílust használjuk: t.frst() a t felsorolóra vonatkozó Frst() műveletet jelöl. 110

5 8.2. Felsoroló típus specfkácója megvalósítást s adtunk a felsoroló típusnak: a felsorolókat a felsorolandó elem értékek sorozata reprezentálja, a felsorolás műveletet ezen a sorozat bejárásával mplementáljuk. A felsoroló típus konkrét reprezentácójában mndg megjelenk valamlyen hvatkozás arra az adatra, amelyet felsoroln kívánunk. Ez lehet egyetlen természetes szám, ha annak az osztót kell előállítan, lehet egy vektor, szekvencáls nputfájl, halmaz, esetleg multplctásos halmaz (zsák), ha ezek elemenek felsorolása a cél, vagy akár egy gráf, amelynek a csúcsat valamlyen stratégával be kell járn, hogy az ott tárolt értékekhez hozzájussunk. A reprezentácó ezen az érték-szolgáltató adaton kívül még tartalmazhat egyéb, a felsorolást segítő komponenseket s. A felsorolás során mndg van egy aktuáls elem érték, amelyet az adott pllanatban lekérdezhetünk. Egy vektor elemenek felsorolásánál ehhez elég egy ndexváltozó, egy szekvencáls nputfájl esetében a legutoljára kolvasott elemet kell tároln lletve, azt, hogy skeres volt-e a legutolsó olvasás, az egész szám osztónak felsorolásakor például a legutoljára megadott osztót. Egy felsoroló által vsszaadott értékeket rendszernt valahogyan feldolgozzuk. Ez a feldolgozás gen változatos lehet; jelöljük ezt most általánosan az F(e)-vel, amely egy e elem értéken végzett tetszőleges tevékenységet takar. Nem szorul különösebb magyarázatra, hogy a felsorolásra épülő feldolgozást az alább algortmus-séma végz el. Megjegyezzük, hogy mvel a felsorolható elemek száma véges, ezért ez a feldolgozás véges lépésben garantáltan befejeződk. t.frst() t.end() F( t.current() ) t.next() 8.3. Nevezetes felsorolók Az alábbakban megvzsgálunk néhány fontos felsoroló típust, olyat, amelynek reprezentácója valamlyen nevezetes egy kvételével terált típusra épül. Vzsgálatanknak fontos része lesz, hogy megmutatjuk egy-egy konkrét felsoroló típusú objektum esetén azt az általános feldolgozást végző algortmus-sémát, amellyel be lehet járn a felsorolt értékeket. Természetesen mnden esetben k fogunk térn arra, hogy a vzsgált típus hogyan feleltethető meg a felsoroló típusspecfkácónak, azaz m a felsorolást bztosító Frst(), Next(), End() és Current() műveletek mplementácója. Tekntsük először az egész-ntervallumot felsoroló típust. Itt egy [m..n] ntervallum elemenek klasszkus, m-től n-g egyesével történő felsorolására gondolunk. Természetesen ennek mntájára lehet defnáln a fordított sorrendű vagy a kettesével növekedő felsorolót s. Az egész számok ntervallumát nem tekntjük terált szerkezetűnek, hszen a reprezentácójához elég az ntervallum két végpontját megadn, művelete pedg ezeket az ntervallumhatárokat kérdezk le. Ugyanakkor mndg fel lehet soroln az ntervallumba eső számokat. Az egész-ntervallumra épülő felsoroló típus attól különleges számunkra, hogy a 111

6 8. Programozás tételek felsoroló típusokra korábban bevezetett programozás tételenket s az egész számok egy ntervallumára fogalmaztuk meg, amelyeket ennek közvetítésével más felsoroló típusú objektumokra s k tudunk majd terjeszten. A felsoroló típus egy típusértékét egy [m..n] ntervallum két végpontja (m és n) és az ntervallum elemenek felsorolását segítő egész értékű ndexváltozó () reprezentálja. Az változó az [m..n] ntervallum aktuálsan kjelölt elemét tartalmazza, azaz mplementálja a Current() függvényt. A Frst() műveletet az :=m értékadás, a Next() műveletet az :=+1 értékadás váltja k. Az >n helyettesít az End() függvényt. (A Frst() művelet tt smételten s kadható, és mndg újrandítja a felsorolást, mnd a négy művelet bármkor, a felsoroláson kívül s termnál.) Könnyű végggondoln, hogy mként lehetne az ntervallumot fordított sorrendben ( :=n, :=-1, <m), vagy kettesével növekedően (:=m, :=+2, >n) felsoroln. Ezek alapján a felsoroló objektum feldolgozását végző általános algortmus-sémából előállítható az egész-ntervallum normál sorrendű feldolgozását végző algortmus, amelyet számlálós cklus formájában s megadhatunk. :=m n F() :=+1 := m.. n F() Magától értetődően lehet sorozatot felsoroló típust készíten. (Itt s a klasszkus, elejétől a végég tartó bejárásra gondolunk, megjegyezve, hogy más bejárások s vannak.) A reprezentácó lyenkor egy sorozat típusú adat (s) mellett még egy ndexváltozót () s tartalmaz. A sorozat normáls (elejétől végég történő) bejárása során az egész típusú ndexváltozót az 1.. s ntervallumon kell végg vezetn éppen úgy, ahogy ezt az előbb láttuk. Ekkor az s -t teknthetjük az Current() kfejezésnek, az :=1 a Frst() művelet lesz, az :=+1 a Next() művelet megfelelője, az > s pedg az End() kfejezéssel egyenértékű. (A Frst() művelet smételten s kadható, és mndg újrandítja a felsorolást, a Next() és End() bármkor befejeződk, de a Current()csak a felsoroláson alatt termnál.) Ezek alapján az s sorozat elemenek elejétől végég történő felsorolását végző programot az alább két alakban írhatjuk fel. :=1 s F(s ) :=+1 :=1.. s F(s ) A vektort (klasszkusan) felsoroló típus a sorozatokétól csak abban különbözk, hogy tt nem egy sorozat, hanem egy v vektor bejárása a cél. A bejáráshoz használt ndexváltozót 112

7 8.3. Nevezetes felsorolók (jelöljük ezt most s -vel) a bejárandó v vektor ndextartományán (jelöljük ezt [m..n]-nel) kell véggvezetünk, és az aktuáls értékre a v[] formában hvatkoznunk. Ennek értelmében az v[]- t teknthetjük a Current() műveletnek, az :=m tulajdonképpen a Frst() művelet lesz, az :=+1 a Next() művelet megfelelője, az >n pedg a End() kfejezéssel egyenértékű. (A Frst() művelet smételten s kadható, és mndg újrandítja a felsorolást, a Next() és End() bármkor befejeződk, de a Current()csak a felsoroláson alatt termnál.) Egy vektor elemenek feldolgozását az ntervallumhoz hasonlóan kétféleképpen írjuk fel: :=m n F(v[]) :=+1 :=m.. n F(v[]) Egy vektoroknak (akárcsak a korábban látott ntervallumnak és sorozatnak) nemcsak egyféle bejárása lehetséges. Megengedett rájuk például a vsszafelé haladó bejárás, vagy a kettesével történő bejárás s. Sőt valójában mndenféle bejárást értelmezhetünk rájuk. (Könyvünkben úgy tekntünk a vektor ndextartományára, mnt egy egész ntervallumra. A vektor típus fogalma azonban általánosítható úgy, hogy ndextartományát egy felsoroló objektum írja le. Ilyenkor a vektort felsoroló objektum művelete megegyeznek az ő ndextartományát felsoroló objektum műveletevel egyet kvéve: a Current() műveletet a v[.current()] mplementálja, ahol az ndextartomány elemet felsoroló objektumot jelöl.) Mvel a mátrx vektorok vektora, ezért nem meglepő, hogy mátrxot (sorfolytonosan) felsoroló típust s lehet készíten. Ez a mátrx esetén az egyk leggyakrabban alkalmazott felsorolás, amkor először az első sor elemet, azt követően a másodkat, és így tovább, végül az utolsó sort járjuk be. Egy a jelű n*m-es mátrx (azaz téglalap-mátrx, ahol mnden sor egyformán m hosszú) lyen sorfolytonos bejárásánál a mátrxot felfoghatjuk egy n*m elemű v vektornak, ahol mnden 1 és n*m közé eső k egész számra a v[k] = a[((k-1) dv m) +1, ((k-1) mod m) +1]. Ezek után a bejárást a vektoroknál bemutatott módon végezhetjük. Egyszerűsödk a fent képlet, ha a vektor és a mátrx ndextartományat egyaránt 0-tól kezdődően ndexeljük. Ilyenkor v[k] = a[k dv m, k mod m], ahol a k a 0..n*m-1 ntervallumot futja be. A mátrx elemenek sorfolytonos bejárása így gen egyszerű lesz, bár nem ez az általánosan smert módszer. k := 0.. n*m-1 F(a[k dv m, k mod m]) Mvel a mátrx egy kétdmenzós szerkezetű típus, ezért a bejárásához az előbb bemutatott módszerrel szemben két ndexváltozót szoktak használn. (Más szóval a mátrx 113

8 8. Programozás tételek felsoroló típusokra bejárót egy mátrx és két ndexváltozó reprezentálja.) Sorfolytonos bejárásnál az egyket a mátrx sora között bejárásra, a máskat az aktuáls sor elemenek a bejárására használjuk. A bejárás során a[,j] lesz a Current(). Először a a[1,1]-re kell lépn, így a Frst() műveletet az,j:=1,1 mplementálja. A soron következő mátrxelemre egy elágazással léphetünk rá. Ha a j bejáró még nem érte el az aktuáls sor végét, akkor azt kell eggyel megnöveln. Ellenkező esetben az bejárót növeljük meg eggyel, hogy a következő sorra lépjünk, a j bejárót pedg a sor elejére állítjuk. Összességében tehát az IF(j<m: j:=j+1; j=m:,j:=+1,1) elágazás mplementálja a Next() műveletet. Az End() kfejezést az >n helyettesít. (Ez a megoldás könnyen általánosítható nem téglalap-mátrxra s, ahol a sorok eltérő hosszúak és eltérő ndexelésűek.),j:=1,1 n F( a[,j] ) j<m j:=j+1,j:=+1,1 Ennek a megoldásnak a gyakorlatban jobban smert változata az alább kétcklusos algortmus. Itt az,j:=1,1 értékadást (Frst()) a két egymásba ágyazott cklus ncalzáló lépése végz el. A Next() műveletet megvalósító elágazás feltétele (j m) a belső cklus cklusfeltétele lesz, a belső cklus cklusmagja pedg a megfelelő programág (j:=j+1). Az elágazás másk ága a belső cklus befejeződése után (tehát j>m esetben) hajtódk végre: először a külső cklus magjának végén az :=+1, majd a cklusmag smételt futtatásának elején, a belső cklus ndexváltozójának ncalzálása (j:=1) során történk meg. Természetesen ezt a két egymásba ágyazott cklust számlálásos cklusként érdemes leírn. A továbbakban m s többnyre ezt a változatot fogjuk használn. Meg lehet mutatn, hogy ez ekvvalens az előbb változattal. :=1.. n j :=1.. m F( a[,j] ) A szekvencáls nputfájl felsoroló típusa egy szekvencáls nputfájllal (f), az abból legutoljára kolvasott elem értékkel (df), és az utolsó olvasás státuszával (sf) reprezentál egy bejárót. A szekvencáls nputfájl felsorolása csak az elejétől végég történő olvasással lehetséges, ezért az sf, df, f : read művelet mplementálja a Frst() és a Next() műveleteket, a Current() a df értékét adja vssza, az End() pedg az sf=abnorm vzsgálat értékével azonos. Mnden művelet bármkor alkalmazható. 114

9 8.3. Nevezetes felsorolók sf, df, f : read sf=norm F(df) sf, df, f : read A Frst() műveletet az először kadott sf,df,f:read művelet váltja k. Ez az aktuáls elemet a df segédváltozóba tesz, így a Current() helyett közvetlenül a df értékét lehet használn. A read művelet mndg értelmezett, de a bejárást nem lehet smételten elndítan vele. Az smételten kadott sf,df,f:read művelet ugyans már az f.next() művelettel egyenértékű. Az f.end() az olvasás skerességét mutató sf státuszváltozó vzsgálatával helyettesíthető. (Mnd a négy művelet mnden esetben, a felsoroláson kívül s termnál.) A halmazt felsoroló típus reprezentácójában egy a felsorolandó elemeket tartalmazó h halmaz szerepel. Ha a h=, akkor a halmaz bejárása nem lehetséges vagy nem folytatható ez lesz tehát az End() művelet. Ha a h, akkor könnyen kválaszthatjuk felsorolás számára a halmaznak akár az első, akár soron következő elemét. Természetesen az elemek halmazbel sorrendjéről nem beszélhetünk, csak a felsorolás sorrendjéről. Ez az elemkválasztás elvégezhető a nem-determnsztkus e: h értékkválasztással éppen úgy, mnt a halmazokra korábban bevezetett determnsztkus elemkválasztás (e:=mem(h)). M ez utóbbt fogjuk a Current() művelet megvalósítására felhasználn azért, hogy amkor a halmaz bejárása során tovább akarunk majd lépn, akkor éppen ezt, a felsorolás során előbb kválasztott elemet tudjuk majd kvenn a halmazból. Ehhez pedg pontosan ugyanúgy kell tudnunk megsmételn az elemkválasztást. A Next() művelet ugyans nem lesz más, mnt a mem(h) elemnek a h halmazból való eltávolítása, azaz a h:=h {mem(h)}. Ennek az elemkvonásnak az mplementácója egyszerűbb, mnt egy tetszőleges elem kvonásáé, mert tt mndg csak olyan elemet veszünk el a h halmazból, amely bztosan szerepel benne, ezért ezt külön nem kell vzsgáln. A Next() művelet s (akárcsak a Current()) csak a bejárás alatt azaz amíg az End() hams alkalmazható. Láthatjuk azonban, hogy sem az End(), sem a Current(), sem a Next() művelet alkalmazásához nem kell semmlyen előkészületet tenn, azaz a felsorolást elndító Frst() művelet halmazok bejárása esetén az üres (semmt sem csnáló) program lesz. Ezen megjegyzéseknek megfelelően a halmaz elemenek feldolgozását az alább algortmus végz el: h F(mem(e)) h := h {mem(e)} 115

10 8. Programozás tételek felsoroló típusokra 8.4. Programozás tételek általánosítása A programozás tételenket korábban az egész számok ntervallumára fogalmaztuk meg, ahol egy ntervallumon értelmezett függvénynek értéket kellett feldolgozn. Ennek során bejártuk, felsoroltuk az ntervallum elemet, és mndg az aktuáls egész számhoz tartozó függvényértéket vzsgáltuk meg. Az egész számok ntervallumához mnt azt láttuk elkészíthető egy klasszkus sorrendű felsoroló, amely éppen úgy képes az ntervallumot bejárn, ahogy azt az ntervallumos programozás tételekben láttuk.. Ennek alapján általánosíthatjuk a programozás tételenket bármlyen más felsoroló típusra s. A feladatokat lyenkor nem ntervallumon értelmezett függvényekre, hanem egy felsorolóra, pontosabban a felsoroló által felsorolt értékeken értelmezett függvényekre mondjuk k. A megoldó programokban az ntervallumot befutó helyett a Current(), az :=m értékadás helyett a Frst(), az :=+1 értékadás helyett a Next(), és az n feltétel helyett az End() művelet használjuk. Az általános tételekre aztán bármelyk konkrét felsorolóra megfogalmazott összegzés, számlálás, maxmum vagy adott tulajdonságú elem keresése vsszavezethető. Ezek között természetesen az ntervallumon értelmezett függvényekkel megfogalmazott feladatok s, tehát mnden eddg megszerzett feladat-megoldás tapasztalatunk megmarad. A programozás tételek ehhez hasonló általánosításaval egyszer-egyszer már korábban s találkoztunk. Már korábban s oldottunk meg olyan feladatokat, ahol nem ntervallumon értelmezett függvényre, hanem vektorra alkalmaztuk a tételenket. Ezt eddg azzal magyaráztuk, hogy a vektor felfogható egy táblázattal megadott egész ntervallumon értelmezett függvénynek. Most már egy másk magyarázatunk s van. Az ntervallum és a vektor rokon típusok: mndkettőhöz készíthető felsoroló. Egy felsorolóra megfogalmazott összegzés, számlálás, maxmum vagy adott tulajdonságú elem keresés során pedg mndegy, hogy egy ntervallumon értelmezett függvény értéket kell-e sorban megvzsgáln vagy egy vektornak az elemet, hszen ezeket az értékeket úgys a felsorolás állítja elő. Az alábbakban bemutatott általános programozás tételekben nem közvetlenül a felsorolt elemeket dolgozzuk fel (adjuk össze, számoljuk meg, stb.), hanem az elemekhez hozzárendelt értékeket. Ezeket bzonyos tételeknél (pl. összegzés, maxmum kválasztás) egy f:e H függvény (ez sokszor lehet az denttás), másoknál (pl. számlálás, keresés) egy :E L logka függvény jelöl k. amely a felsorolt értékekhez rendel a feldolgozás alapját képező értékeket. Ennek következtében a feldolgozás során általában nem a t.current() értékeket, hanem az f(t.current()) vagy (t.current()) értékeket kell vzsgáln. A maxmum kválasztásnál, a feltételes maxmum keresésnél, a kválasztásnál és a lneárs keresésnél célszerű bevezetn egy-egy új specfkácós jelölést. Mnd a négy esetben megadjuk ugyan az utófeltétel eredet formuláját s, amelyről azonban látszk, hogy a vsszavezetés szempontjából sok lényegtelen elemet tartalmaz. Ezért ndokolt a rövdített jelölések használata. 116

11 8.4. Programozás tételek általánosítása Összegzés Feladat: Adott egy enor(e) felsoroló típusú t objektum és egy f:e H függvény. A H halmazon értelmezzük az összeadás asszocatív, baloldal nullelemes műveletét. Határozzuk meg a függvénynek a t elemehez rendelt értékenek összegét, azaz a f ( t ) értékét! (Üres objektum esetén az összeg értéke defnícó szernt a nullelem: 0). Specfkácó: Algortmus: t kfejezés A = ( t:enor(e), s:n ) Ef = ( t=t ) Uf = (s = f ( t, ) ) t ' s := 0 t.frst() t.end() s := s + f(t.current()) t.next() Számlálás Feladat: Adott egy enor(e) felsoroló típusú t objektum és egy :E L feltétel. Határozzuk meg, hogy a felsoroló objektum elem értéke közül hányra teljesül a feltétel. Specfkácó: A = ( t:enor(e), c:n ) Ef = ( t=t ) t' Uf = ( c 1) ( t, ) Algortmus: c:=c+1 c:=0 t.frst() t.end() ( t.current() ) t.next() SKIP 117

12 8. Programozás tételek felsoroló típusokra Maxmum kválasztás Feladat: Adott egy enor(e) felsoroló típusú t objektum és egy f:e H függvény. A H halmazon defnáltunk egy teljes rendezés relácót. Feltesszük, hogy t nem üres. Határozzuk meg az f függvénynek a t elemehez rendelt értéke között a maxmálsat. Specfkácó: A = ( t:enor(e), max:h, elem:e ) Ef = ( t=t t >0 ) Uf = (max = f(elem) = t' = max f ( t, ) elem t ) = (max, elem = max f ( t, ) ) t' Feltételes maxmum keresés Algortmus: t.frst() max, elem:= f(t.current()), t.current() t.next() t.end() f(t.current())>max max, elem:= f(t.current()), t.current() t.next() SKIP Feladat: Adott egy enor(e) felsoroló típus t objektum és egy f:e H függvény. A H halmazon defnáltunk egy teljes rendezés relácót. Adott továbbá egy :H L feltétel. Határozzuk meg t azon elemehez rendelt f szernt értékek között a maxmálsat, amelyek kelégítk a feltételt. Specfkácó: A = ( t:enor(e), l:l, max:h, elem:e ) Ef = ( t=t ) Uf = ((l= [1.. t ]: (t ) ) (l elem t (elem) max=f(elem) Algortmus: [1.. t ]: ( (t ) f(t ) max) ) ) = (l, max, elem = max f ( t, ) ) l:= hams; t.frst() t.end() t' ' ( t ) (t.current()) (t.current()) l ( t.current()) l SKIP f(t.current())>max l, max, elem := max, elem:= f(t.current()), t.current() t.next() SKIP gaz, f(t.current()), t.current() 118

13 8.4. Programozás tételek általánosítása Kválasztás Feladat: Adott egy enor(e) felsoroló típusú t objektum és egy :E L feltétel. Keressük a t bejárása során az első olyan elem értéket, amely kelégít a :E L feltételt, ha tudjuk, hogy bztosan van lyen. Specfkácó: A = ( t:enor(e), elem:e ) Ef = ( t=t [1.. t ]: (t ) ), Uf = ( [1.. t ]: elem (elem) j [1..-1]: ( t, ) t = t [+1.. t ]) )= ' = ( elem, t select ( t )) t Algortmus: t.frst() (t.current()) t.next() elem:=t.current() Lneárs keresés Feladat: Adott egy enor(e) felsoroló típusú t objektum és egy :E L feltétel. Keressük a t bejárása során az első olyan elem értéket, amely kelégít a :E L feltételt. Specfkácó: A = ( t:enor(e), l:l, elem:e ) Ef = ( t=t ) Uf = ( (l= [1.. t ]: (t )), (l [1.. t ]: elem (elem) j [1..-1]: ( t, )) t = t [+1.. t ]) )= ' = ( l, elem, t search ( ) ) t' t t Algortmus: l := hams; t.frst() l t.end() elem := t.current() l := (elem) t.next() Rekurzív függvény helyettesítés értéke Feladat: Adott egy enor(e) felsoroló típusú t objektum és egy f:z H k-ad rendű 1 bázsú rekurzív függvény (k poztív egész szám) úgy, hogy f() = h(t, f( 1),...,f( k) ) ahol 1 és a f egy E H k H függvény, továbbá f(m 1)=e m 1,..., f(m k)= e m k, ahol e m-1,..., e m k H-bel értékek. Számítsuk k az f függvény t helyen felvett értékét! Specfkácó: A = ( t:enor(e), y:h ) Ef = ( t=t ) Uf = ( y=f( t ) ) Algortmus: y, y 1,..., y k 1 := e m 1, e m 2,..., e m k ; t.frst() y, y 1, y 2,..., y k 1 := t.end() h(t.current(), y, y 1,..., y k 1 ), y, y 1,..., y k 2 t.next() 119

14 8. Programozás tételek felsoroló típusokra A programozás tételek alkalmazásakor ha körültekntően járunk el szabad az algortmuson hatékonyságot javító módosításokat tenn. Ilyen például az, amkor ahelyett, hogy sokszor egymás után lekérdezzük a t.current() értékét, azt annak első lekérdezésénél egy segédváltozóba elmentjük. A maxmum-kválasztás lletve feltételes maxmum keresés esetén a feldolgozás eredménye között szerepel mnd a megtalált maxmáls érték, mnd az az elem, amelyhez a maxmáls érték tartozk. Konkrét esetekben azonban nncs mndg mndkettőre szükség. Indexelhető gyűjtemények (vektor, sorozat) esetén azonban az elem helyett elég megadn annak ndexét. Olyan esetekben, ahol a f függvény denttás, azaz egy elem és annak értéke megegyezk, a maxmáls elem és maxmáls érték közül elég csak az egyket nylvántartan az algortmusban. Kválasztásoknál nem kell a felsoroló által szolgáltatott értéksorozatnak végesnek lenne, hszen ez a tétel más módon garantálja a feldolgozás véges lépésben történő leállását. A lneárs keresésnél és kválasztásnál az eredmények között szerepel maga a felsoroló s. Ennek az oka az, hogy ennél a két tételnél korábban s leállhat a feldolgozás, mnt hogy a felsorolás véget érne, és ekkor maradnak még fel nem sorolt (fel nem dolgozott) elemek. Ezeket az elemeket tovább feldolgozásnak lehet alávetn, ha a felsorolót tovább használjuk. Felhívjuk azonban a fgyelmet arra, hogy egy már korábban használt felsorolóval dolgozunk tovább, akkor nem szabad a Frst() művelettel újrandítan a felsorolást. A specfkácóban egy lyen folytatólagos felsorolásra úgy fogunk utaln, hogy a feldolgozás szmbóluma alatt szereplő =1 helyére csak az -t írjuk. Nevezetes felsorolók esetén a specfkácós jelölés módosulhat úgy, hogy abban a felsorolót az őt reprezentáló elemekkel helyettesítjük. Például egy x szekvencáls nputfájlon folyó feldolgozásnál, ahol a fájl bejárását az sx, dx, x:read művelet végezzük, a felsorolót az sx, dx, x hármas reprezentálja. Amkor egy keresés vagy a kválasztás úgy áll le, hogy az sx=norm, akkor a dx mutatja az aktuáls, még fel nem dolgozott elemet, az x pedg az összes több feldolgozatlan elemet. Tehát a tovább feldolgozásra váró már megkezdett felsoroló, am a feldolgozás eredmény között szerepel, az sx, dx, x hármasa lesz. l, elem,sx,dx, x search ) lletve elem sx, dx, x select ( ) (, Egy h halmaz felsorolóját maga a h halmaz reprezentálja. A keresés vagy kválasztás esetén a feldolgozatlan elemek a halmazban maradnak: l,elem,h search ( e) lletve elem, h select ( e) e h ' Mnd a fájl, mnd a halmaz esetében a felsorolandó adat folyamatosan változk (elfogy) a bejárás során. Más a helyzet például egy vektor bejárásánál. Egy m..n ntervallumon értelmezett v vektor feldolgozása esetén maga a vektor nem változk (v=v ), csak a bejárás helyét jelző ndex. A feldolgozás eredményénél, ha szükségünk van arra, hogy hol állt le a felsorolás, elég ezt feltüntetn: v e h ' l,elem, search ( v[ ]) lletve elem, select ( v[ ]) m m 120

15 8.5. Vsszavezetés nevezetes felsorolókkal 8.5. Vsszavezetés nevezetes felsorolókkal A most bevezetett tételek segítségével egyszerűvé válk az olyan feladatok megoldása, amelyek felsorolt értékek összegzését, megszámolását, maxmum-kválasztását vagy keresését írják elő. Ha a feladat specfkácójában rámutatunk arra, hogy mlyen felsorolóra vonatkozk a feladat (hogyan kell mplementáln a Frst(), Next(), End() és Current() műveleteket) és mlyen programozás tétel alapján kell a felsorolt értékeket feldolgozn (m helyettesít az adott programozás tételben szereplő függvényt, függvényeket), akkor vsszavezetéssel megkaphatjuk a megoldást. Ráadásul ha az alkalmazott felsorolás a 8.3 alfejezetben részletesen tárgyalt nevezetes felsorolók egyke, akkor nagyon egyszerű lesz a dolgunk. Most ez utóbb esetre mutatunk néhány példát, amellyel azt kívánjuk llusztráln, hogy a fentekkel mlyen erős eszközt kaptunk a módszeres programtervezés számára. (Azon feladatok megoldásával, amelyek megoldásához egyed módon kell a felsorolót megtervezn, a következő fejezetben foglalkozunk.) Először nagyon egyszerű, a vsszavezetés technkáját bemutató feladatokat oldunk meg. Négy feladatban halmazok lletve szekvencáls nputfájl feldolgozásáról, és a számlálás, maxmum-kválasztás, keresés és kválasztás tételenek alkalmazásáról lesz szó. Utána két mátrxos feladat megoldása következk. A mátrx kétdmenzós bejárása érdekes tanulságokkal szolgál a maxmum-kválasztás és a lneárs keresés alkalmazása esetén. Végül az úgynevezett elemenként feldolgozásokra, az összegzés tételének specáls alkalmazásara mutatunk példákat. Itt az összegzés eredménye s egy gyűjtemény, az összeadás művelete e gyűjteménybe történő új elem beírása Példa. Egy halmaz egész számokat tartalmaz. Keressük meg a halmaz maxmáls elemét! A feladat specfkácójának felírása nem jelent problémát. Az utófeltételből látszk, hogy tt egy halmaz elemenek felsorolására épített maxmum-kválasztásról van szó. A = ( h:set(z), max:z ) Ef = ( h=h ) Uf = ( Ef max = max e ) e h Ebben a specfkácóban azonban nem jelenk még meg explct módon a felsoroló. Alakítsuk át úgy a specfkácót, hogy annak állapotterében a halmaz helyett, a halmaz elemet felsoroló objektum jelenjen meg. Ebben az átfogalmazásban már nem lényeges, hogy egy halmaz felsorolásáról van szó, hszen a feladatot egy általános felsorolóra fogalmazzuk meg: A = ( t:enor(z), max:z ) Ef = ( t=t ) Uf = ( Ef max = t' max t, ) Az általános maxmum-kválasztás programozás tételére való vsszavezetés most már formálsan történk: az általános specfkácó és az tt látható specfkácó néhány, jól 121

16 8. Programozás tételek felsoroló típusokra körülhatárolható ponton tér csak el. A felsoroló egész számokat állít elő, a feldolgozást végző függvény pedg az egész számokon értelmezett denttás. E = H = Z f(e) = e ( e Z) Az denttás matt a feldolgozásnak tt a konkrét esetben csak egy eredménye (max) van, hszen a megtalált maxmáls értékű elem és annak értéke egy és ugyanaz. Ennek megfelelően átalakítva alkalmazhatjuk az általános algortmust: t.frst() max:= t.current() t.next() t.end() t.current()>max max:=t.current() SKIP t.next() Ezek után foglalkozunk a felsoroló műveletekkel. A h halmaz felsorolása smert (lásd 8.3 alfejezet), így a műveletek mplementácója adott: Frst() ~ SKIP, End() ~ h=, Current() ~ mem(h), Next() ~ h:=h-{mem(h)}. Ezek alapján elkészíthető a feladatot megoldó program végső változata. Ebben egy segédváltozót vezettünk be annak érdekében, hogy ne kelljen a mem(h)-t ugyanarra a h-ra többször egymás után végrehajtan. max:= mem(h) h:=h-{max} h e:= mem(h) e>max max:= e h:=h-{e} SKIP A gyakorlatban természetesen nem kell ennyre részletesen dokumentáln a vsszavezetés lépéset. A fent gondolatmenetből elegendő csak a feladat eredet specfkácóját, a felsoroló típusának megnevezését (tt: halmaz felsoroló), a vsszavezetés analógáját (tt: maxmum-kválasztás és f(e )~ e), és végül a végleges algortmust leírn. 122

17 8.5. Vsszavezetés nevezetes felsorolókkal 8.2. Példa. Számoljuk meg egy halmazbel szavak között, hogy hány a betűvel kezdődő van! A feladat specfkácója egyszerű: A = ( h:set(k*), db:n ) Ef = ( h=h ) Uf = ( db 1) szó h ' szó1 ' a' Ez vsszavezethető a számlálás programozás tételére halmaz felsorolóval, ahol a számlálás feltétele az aktuáls elem (szó) első betűjének megfelelő vzsgálata. A mem(h) (aktuáls szó) értékének deglenes tárolására a szó segédváltozót vezetjük be. db:= 0 h szó:= mem(h) szó 1 = a db:= db+1 h:=h-{szó} SKIP 8.3. Példa. Egy szekvencáls nputfájl egész számokat tartalmaz. Keressük meg az első nem-negatív elemét! A = (f:nfle(z), l:l, e:z) Ef = ( f=f ) f ' Uf = ( l, e search ( f ' 0) ) A feladatot szekvencáls nputfájl bejárása felett általános lneárs keresésre vezetjük vssza, ahol a keresett feltétel a vzsgált fájlbel elem nem-negatív tulajdonsága. A 8.3 alfejezetből tudjuk, hogy szekvencáls nputfájlok esetén a felsorolót az sf, df, f értékhármas reprezentálja, ahol sf az f-re vonatkozó olvasás státusza, df a kolvasott elem. A felsoroló Frst() és Next() műveletet az sf, df, f : read mplementálja, a Current() kfejezést a df, a End()-et pedg az sf=norm. l:=hams; sf, df, f : read l sf=norm e:= df l:= df 0 sf, df, f : read 123

18 8. Programozás tételek felsoroló típusokra 8.4. Példa. Keressük meg egy szekvencáls nputfájlban található szöveg első szavának kezdetét, azaz lépjük át (olvassuk k) egy szöveg elején levő szóközöket, és ha van nemszóköz s benne, akkor az első lyen kolvasása után álljunk meg! Ezt a feladatot a kválasztás programozás tételére vezethetjük vssza, ugyans vagy az első nem szóköz karaktert kell megtalálnunk, vagy ha lyen nncs, akkor a fájl végét; ez az összetett feltétel bztosan teljesül. Az eredmény tehát egyrészt az sf és df, másrészt a megolvasott szekvencáls nputfájl lesz, azaz sf, df, f. A specfkácó meglehetősen körülményes a megoldó algortmushoz képest. A = (f:nfle(k), df: K, sf:státusz) Ef = ( f=f ) Uf = ( sf, df, f select ( f ' f ' ' ') ) sf, df, f : read sf=norm df= sf, df, f : read Kétdmenzós jellegénél fogva a mátrxokra értelmezett maxmum-kválasztás és lneárs keresés s érdekes tanulságokkal jár Példa. Adjuk meg egy egész elemű mátrx egyk maxmáls elemét és annak ndexet! Specfkáljuk először a feladatot! Feltesszük, hogy a mátrxnak n darab sora és m darab oszlopa van, és mndkettő értéke legalább egy (ez utóbb kell ahhoz, hogy a maxmum kválasztás értelmes legyen). A = (a:z n m, max:z, nd:n, jnd:n)) Ef = ( a=a n>0 m>0 ) Uf = ( a=a nd [1.. n] jnd [1.. m] max = a[nd,jnd] = max a[, j] ) = n, m = (a=a max, nd, jnd = max a[, j] ), j 1 n, m, j 1 A specfkácóból látható, hogy tt a mátrx elemet kell bejárn és egyk maxmáls elemét megtaláln. Úgy gondoljuk, nem szorul külön magyarázatra a specfkácóban használt, csak mátrxokra alkalmazható dupla ndexváltozós maxmum-kválasztásnak a jele. Ha ötvözzük a felsoroló típusra megfogalmazott maxmum kválasztás algortmusát azzal, hogyan lehet a Frst(), Next(), End() és Current() műveleteket mátrxok elemenek bejárásánál mplementáln (ezt a 8.3. alfejezetben többféleképpen s megoldottuk), akkor megkapjuk a feladat megoldását. Mvel a legsmertebb a két leszámlálásos cklusra írt változat, ezért m s ezt adjuk meg. Ez a változat rendelkezk egy apró hbával az a[1,1]-et kétszer s megvzsgálja: először a kezdet értékek beállításánál, majd a cklusmag első lefutása során. Ezt a hbát ebben a változatban csak úgy lehetne korrgáln, ha a cklusmagba beletennénk egy plusz elágazást, 124

19 8.5. Vsszavezetés nevezetes felsorolókkal amely =1 és j=1 esetben megtltaná az összehasonlítást, de ettől a program hatékonysága rosszabb lenne a jelenleg változatnál. nd, jnd, max:=1, 1, a[1,1] :=1.. n j :=1.. m a[,j]>max nd, jnd, max:=, j, a[,j] SKIP Megjegyezzük, hogy egy a mátrx elemere közvetlenül megfogalmazott feladatot mnt amlyen ez s át lehetne fogalmazn úgy, hogy az a mátrx sorara vonatkozzon. Például a maxmáls értéket kereshetjük a mátrx soranak maxmáls eleme között. Ekkor a feladat egymásba ágyazott ntervallumos programozás tételekre s vsszavezethető Példa. Keressünk egy egész elemű mátrxban egy páros számot és adjuk meg annak ndexet! A = (a:z n m, l:l, nd:n, jnd:n)) Ef = ( a=a ) Uf = ( a=a (l = [1.. n] j [1.. m]: 2 a[nd,jnd]) (l nd [1.. n] jnd [1.. m] 2 a[nd,jnd])) ) n, m = ( a=a ( l, nd, jnd search (2 a[, j] ) ),j 1 Itt s bevezettünk egy specáls mátrxos jelölést a lneárs keresésre. Ezzel egyrészt a kétdmenzós bejárásra utalunk, másrészt arra, hogy a keresésnek három eredménye van: egy logka érték, és annak gaz értéke esetén a megtalált elem sor- és oszlopndexe. Ehhez lleszkedve a megoldásnak s a két-cklusos változatát adjuk meg. l, :=hams, 1 l n j:=1 l j m l, nd, jnd := 2 a[,j],, j j:=j+1 :=+1 Egy felsoroló típusú adat feldolgozásának egy fontos csoportja az, amkor a kmenő adat s elem értékek gyűjteménye (például halmaz, sorozat, vektor vagy szekvencáls outputfájl). Amkor a bemenő felsoroló adat aktuáls elemét feldolgozzuk, e feldolgozás eredményeként 125

20 8. Programozás tételek felsoroló típusokra kapott új elemmel vagy elemekkel kbővítjük a kmenő adatot (halmazhoz hozzáunózunk, sorozathoz hozzáfűzünk, stb.). Mvel a kmenő adat megváltoztatása (az unó, hozzáfűzés, stb.) egy baloldal egységelemes asszocatív művelet, ezen feladatok megoldását az összegzés programozás tételére vezethetjük vssza. Ha egy lyen feladatra még az s gaz, hogy a bemenő adat egy elemének feldolgozása nem függ más tényezőtől (nem függ a bemenő adat több elemétől vagy a kmenő adattól) csak magától a feldolgozandó elemtől, azaz a bemenő adat feldolgozása annak felsorolására épül, akkor a feladatot elemenként feldolgozhatónak, a megoldását elemenként feldolgozásnak nevezzük. (Létezk az elemenként feldolgozásnak egy ennél még szgorúbb értelmezése s, amely szernt az eddg felsorolt feltételeken túl annak s teljesülne kell, hogy egy-egy elem feldolgozásának eredménye a kmenő adatot több elemétől se függjön, azaz az eredménnyel a kmenő adatot annak több elemétől függetlenül lehessen bővíten.) Az elemenként feldolgozható feladat-osztályhoz tartozk az adatfeldolgozás számos alapfeladata: a másolás, a kválogatás, a szétválogatás, stb. Oldjunk meg először két szgorúan elemenként feldolgozható feladatot, majd egy nem szgorú elemenként feldolgozásra, utána egy nem elemenként feldolgozásra s mutatunk példát. Utoljára egy olyan elemenként feldolgozásról lesz szó, ahol egy bemenet gyűjteményből három kmenet gyűjteményt kell egyszerre előállítan Példa. Másoljunk át egy karaktereket tartalmazó szekvencáls nputfájlt egy outputfájlba úgy, hogy mnden karaktert megduplázunk! A = (x:nfle(k), y:outfle(k)) Ef = ( x=x ) Uf = ( y, ) Az utófeltételben használt művelet az összefűzés (konkatenácó) jele. Ez egy asszocatív művelet, amelynek az üres sorozat az egységeleme. Ezért a feladat az összegzés programozás tételére vsszavezethető úgy, hogy a feldolgozás egy szekvencáls nputfájlra, annak nevezetes bejárására épül. A szekvencáls outputfájlhoz a wrte művelettel lehet hozzáfűzn egy újabb sorozatot, azaz egy y := y <dx, dx> értékadást az y:wrte(<dx, dx>) mplementál. y:=<> sx,dx,x:read sx = norm y:wrte(<dx, dx>) sx,dx,x:read Látjuk, hogy az elemenként feldolgozható feladatok egy bemenő adat-elemhez nem feltétlenül csak egy kmenő adat-elemet állítanak elő, ugyanakkor nagyon gyakorak azok a feladatok (lyen a következő), amelyek a bemenő adat egy eleméhez vagy egy új elemet, vagy semmt sem rendelnek. 126

21 8.5. Vsszavezetés nevezetes felsorolókkal 8.8. Példa. Válogassuk k egy egész számokat tartalmazó halmazból a páros számokat, és helyezzük el őket egy másk halmazba! A feladat egy halmaz bejárásán értelmezett összegzés, ahol a feldolgozás f:z 2 Z függvénye egy páros számhoz a számot tartalmazó egy elemű halmazt, páratlan számhoz az üres halmazt rendel. A = (x:set(z), y:set(z)) Ef = ( x=x ) Uf = ( y { e} ) U e x ' e páros A programban szereplő y:=y f(e) értékadást egy elágazás valósítja meg. y:= x e:=mem(h) e páros y:=y {e} SKIP x:=x {e} Megjegyezzük, hogy a szgorú elemenként feldolgozás következtében az y:=y {e}értékadás mplementácója tt egyszerűbb, mnt általában. Ugyans bztosak lehetünk abban, hogy az e elem még nncs az y halmazban, ezért ezt nem s kell külön vzsgáln. Az elem-unó műveletének tehát ugyanúgy az egyszerűsített változatával dolgozhatunk tt, mnt az x:=x {e} elemkvonás esetében, ahol meg azt nem kell ellenőrzn, hogy az e elem tényleg benne van-e az x halmazban Példa. Másoljuk át egy egész számokat tartalmazó vektorból egy halmazba az elemek 7-tel vett osztás maradékat! A feladat egy vektor szokásos bejárásán értelmezett összegzés, ahol a feldolgozás függvénye az adott elemnek 7-tel vett osztás maradékát állítja elő, amelyet az eredmény halmazhoz kell unózn. Ennek a lépésnek a hatása nem független az eredmény halmaz tartalmától, hszen ha az újonnan hozzáadandó maradék már szerepel a halmazban, akkor a halmaz nem fog megváltozn. Ez a feladat tehát egy nem szgorú értelemben vett elemenként feldolgozás. 127

22 8. Programozás tételek felsoroló típusokra A = (x: Z n, y:set(z)) Ef = ( x=x ) U n Uf = ( y { x mod 7} ) y:= := 1.. n y:=y {x mod 7} Látható, hogy az y:=y {x mod 7}művelet eredménye az y korább tartalmától függ: egy halmazban egy elem csak egyszer szerepelhet, ezért ha az x szám osztás maradéka már szerepel y-ban, akkor a művelet nem változtatja meg y-t. Az művelet ezért tt nem megkülönböztetett, mnt az előző megoldásnál. (Érdekes vszont, hogy ha ugyanez a feladat az eredményt egy sorozatba tenné, akkor már szgorúan elemenként feldolgozhatóvá válna, hszen sorozatoknál megengedjük, hogy abban ugyanaz az érték többször s előfordulhasson, így ugyanazt a maradékot többször s elhelyezhetjük.) Nem elemenként feldolgozható a következő feladat, ahol a feldolgozás alapjául szolgáló szekvencáls nputfájlból egy rekurzív függvény által előállított értékeket fűzünk egy outputfájlba. A rekurzív függvény értéke ugyans természeténél fogva az előző értékere támaszkodk. A megoldás előállítása vszont nem különbözk az előző feladatok megoldásatól Példa. Másoljuk át a karaktereket egy szekvencáls nputfájlból egy outputfájlba úgy, hogy ott, ahol több szóköz követte egymást, csak egyetlen szóközt tartunk meg! A = (x:nfle(k), y:outfle(k)) Ef = ( x=x ) Uf = ( y f1( ) ) = ( y f ( 1 ) ) Az utófeltételben használt f 1 függvény az x sorozat -edk karakterét változtatás nélkül adja vssza, ha az nem szóköz, vagy olyan szóköz, am közvetlenül egy nem-szóköz után áll. Ez a függvény az egyk komponense az f:[0.. x K* L rekurzív függvénynek: [ 1.. ]: (, hams) f ( ) ( ' ', gaz) (, gaz) f ( 0) (, hams) ha ha ha ( 1) A rekurzív függvényt közvetlenül a szekvencáls nputfájlból olvasott elemre s megfogalmazhatjuk: megmutatja, mlyen sorozattá kell azt az elemet átalakítan. A megoldást egy olyan összegzésre (konkatenácóra) vezetjük vssza, ahol egy szekvencáls nputfájl elemet kell felsoroln, ezen elemeket egy rekurzív függvénnyel sorozattá alakítan, majd a ' ' ' f ' ' f 2 ' 2 ( 1) 128

23 8.5. Vsszavezetés nevezetes felsorolókkal sorozatot az outputfájlba befűzn. A cklusmagban megjelenő rekurzív függvényt a korábban (6.2 alfejezet) látott technkával bontjuk k. y, l:=<>, hams sx,dx,x:read sx = norm dx dx= l dx= l y:wrte( ) y:wrte(dx) SKIP l:= dx= sx,dx,x:read A következő példa újra egy szgorúan elemenként feldolgozható feladat lesz, amelynek az a sajátossága, hogy ugyanazon a gyűjteményen több, egymástól független feldolgozást kell elvégezn. Az lyen feladat teljesen önálló részfeladatokra bontható, majd a részmegoldásokat a közös gyűjtemény bejárására egyetlen cklusba lehet összevonn Példa. Válogassunk szét egy szekvencáls nputfájlban rögzített bűnügy nylvántartásból egy sorozatba, egy outputfájlba, egy halmazba és egy vektorba a gyanúsítottakat aszernt, hogy az llető 180 cm-nél magasabb-e és barna hajú, vagy fekete hajú és 60 kg-nál könnyebb, vagy fekete hajú és nncs albje! Az állapottérnek egy szekvencáls nputfájl a bemenő adata, a kmenő adata pedg egy szekvencáls outputfájl, egy halmaz és egy vektor. Az állapottér a vektorról csak annyt mond, hogy az egy kellően hosszú véges sorozat, és majd az utófeltétel fogja a vektor első n elemét jellemezn. A specfkácóban jól elkülönül a feladat három önállóan s megoldható része. A = (x:nfle(ember), y: outfle(ember), z: set(ember), v: Ember*, n:z)) Ember=rec(név:K *,mag:n;súly:n,haj: K *,alb:l) Ef = ( x=x ) Uf = ( y. mag 180. haj ' barna' y:=<> sx,dx,x:read x U ' {. súly 60. haj ' fekete ' z } v [1.. n] ) z:= sx,dx,x:read. haj ' fekete '. alb n:=0 sx,dx,x:read sx = norm sx = norm sx = norm dx.mag>180 dx.haj= barna dx.súly<60 dx.haj= fekete dx.haj= fekete dx.alb y :wrte(dx) SKIP z:=z {dx} SKIP v[++n]:=dx SKIP sx,dx,x:read sx,dx,x:read sx,dx,x:read 129

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

Darupályák ellenőrző mérése

Darupályák ellenőrző mérése Darupályák ellenőrző mérése A darupályák építésére, szerelésére érvényes 15030-58 MSz szabvány tartalmazza azokat az előírásokat, melyeket a tervezés, építés, műszak átadás során be kell tartan. A geodéza

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája Egy koncentrált paraméterű, ellenállással és nduktvtással jellemzett tekercs Uáll feszültségre kapcsolásakor az

Részletesebben

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme HU 4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva Kezelés útmutató UltraGas kondenzácós gázkazán Az energa megőrzése környezetünk védelme Tartalomjegyzék UltraGas 15-1000 4 205 044 1. Kezelés útmutató

Részletesebben

9. Visszavezetés egyedi felsorolókkal

9. Visszavezetés egyedi felsorolókkal 9. Vsszavezetés egyed felsorolókkal Ebben a fejezetben a hét általános programozás tételt olyan feladatok megoldására alkalmazzuk, ahol nem lehet nevezetes felsorolókat sználn, azaz a Frst(), Next(), End()

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László adat Távközlés és Médanformatka Tanszék Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Eurecom Telecom Pars Elosztott rendszerek játékelmélet elemzése: tervezés és öszönzés Toka László Tézsfüzet Témavezetők:

Részletesebben

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar

Részletesebben

Véletlenszám generátorok. 5. előadás

Véletlenszám generátorok. 5. előadás Véletlenszám generátorok 5. előadás Véletlenszerű változók, valószínűség véletlen, véletlen változók valószínűség fogalma egy adott esemény bekövetkezésének esélye értékét 0 és között adjuk meg az összes

Részletesebben

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár Balogh Edna Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetem tanár Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Építőmérnök Kar 202 . Bevezetés,

Részletesebben

The original laser distance meter. The original laser distance meter

The original laser distance meter. The original laser distance meter Leca Leca DISTO DISTO TM TM D510 X310 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - -

Részletesebben

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet II. Rákócz Ferenc Kárátalja Magyar Fıskola Patak Gábor STATISZTIKA I. Jegyzet 23 Tartalomjegyzék evezetés... 3 I. Statsztka alafogalmak... 4. Statsztka kalakulása, tudománytörténet összefüggése... 4.2

Részletesebben

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek BARA ZOLTÁN A bankköz utalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapacon. A bankköz utalék létező és nem létező versenyhatása a Vsa és a Mastercard ügyek Absztrakt Az előadás 1 rövden átteknt a két bankkártyatársasággal

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

Leica DISTOTMD510. X310 The original laser distance meter. The original laser distance meter

Leica DISTOTMD510. X310 The original laser distance meter. The original laser distance meter TM Leca DISTO Leca DISTOTMD510 X10 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Tartalomjegyzék A műszer beállítása - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Bevezetés - - -

Részletesebben

OAF Gregorics Tibor: Minta dokumentáció a 4. házi feladathoz 1. Feladat. Megoldás

OAF Gregorics Tibor: Minta dokumentáció a 4. házi feladathoz 1. Feladat. Megoldás OAF Gregorcs Tbor: Mnta dokumentácó a 4. ház feladathoz 1. Feladat Adott egy szöveges fájlbel szöveg, ahol a szavakat szóközök, tabulátor-jelek, sorvége-jelek lletve a fájlvége-jel határolja. Melyk a leghosszabb

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

Szerelési útmutató FKC-1 síkkollektor tetőre történő felszerelése Junkers szolár rendszerek számára

Szerelési útmutató FKC-1 síkkollektor tetőre történő felszerelése Junkers szolár rendszerek számára Szerelés útmutató FKC- síkkollektor tetőre történő felszerelése Junkers szolár rendszerek számára 604975.00-.SD 6 70649 HU (006/04) SD Tartalomjegyzék Általános..................................................

Részletesebben

VEZÉRIGAZGATÓI UTASÍTÁS

VEZÉRIGAZGATÓI UTASÍTÁS Követeléskezelés Szabályzat Sgma Követeléskezelı Zrt. A Sgma Követeléskezelı Zrt. tevékenység köre A Sgma Követeléskezelı Zrt. 1923-ban, részvénytársaság formában került bejegyzésre, magánosítására 1988.

Részletesebben

Optikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat

Optikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat Mskolc Egyetem Gépészmérnök és Informatka Kar Automatzálás és Infokommunkácós Intézet Tanszék Optka elmozdulás érzékelő llesztése STMF4 mkrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése Szakdolgozat Tervezésvezető:

Részletesebben

Bevezetés a kémiai termodinamikába

Bevezetés a kémiai termodinamikába A Sprnger kadónál megjelenő könyv nem végleges magyar változata (Csak oktatás célú magánhasználatra!) Bevezetés a kéma termodnamkába írta: Kesze Ernő Eötvös Loránd udományegyetem Budapest, 007 Ez az oldal

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

Konfidencia-intervallumok

Konfidencia-intervallumok Konfdenca-ntervallumok 1./ Egy 100 elemű mntából 9%-os bztonság nten kéített konfdenca ntervallum: 177,;179,18. Határozza meg a mnta átlagát és órását, feltételezve, hogy az egé sokaság normáls elolású

Részletesebben

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor MISKOLCI EGYETEM Gépgyártástechnológa Tanszék Mskolc - Egyetemváros ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET Összeállította: Dr. Szabó Sándor A orgácsoló megmunkálásokhoz

Részletesebben

A800. Az eredeti használati utasítás fordítása. Kávéfőző gép: FCS4050 - Hűtőegység: FCS4053

A800. Az eredeti használati utasítás fordítása. Kávéfőző gép: FCS4050 - Hűtőegység: FCS4053 A800 Az eredet használat utasítás fordítása Kávéfőző gép: FCS050 - Hűtőegység: FCS053 A készülék használata előtt olvassa el a használat utasítást és a «Bztonság tudnvalók» című fejezetet. Tartsa a használat

Részletesebben

Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhei az EN 1991 alapján

Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhei az EN 1991 alapján BME Hdak és Szerkezetek Tanszék Magasépítés acélszerkezetek tárgy Gyakorlat útmutató Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhe az EN 1991 alapján Összeállította: Dr. Papp Ferenc tárgyelőadó Budapest, 2006.

Részletesebben

Hálózat gazdaságtan. Kiss Károly Miklós, Badics Judit, Nagy Dávid Krisztián. Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszék 2011. jegyzet

Hálózat gazdaságtan. Kiss Károly Miklós, Badics Judit, Nagy Dávid Krisztián. Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszék 2011. jegyzet Hálózat gazdaságtan jegyzet Kss Károly Mlós, adcs Judt, Nagy Dávd Krsztán Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszé 0. EVEZETÉS... 3 I. HÁLÓZTOS JVK KERESLETOLDLI JELLEMZŐI HÁLÓZTI EXTERNÁLIÁK ÉS KÖVETKEZMÉNYEIK...

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék 1 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék...1.Beezetés... 3.A matematka modell kálasztása...5 4.A ékony lap modell...7 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására...10 6.A felületet

Részletesebben

PROGRAMOZÁS 1. kötet TERVEZÉS

PROGRAMOZÁS 1. kötet TERVEZÉS Gregorics Tibor PROGRAMOZÁS 1. kötet TERVEZÉS egyetemi jegyzet 2011 1 ELŐSZÓ TARTALOM ELŐSZÓ... 4 BEVEZETÉS... 6 I. RÉSZ PROGRAMOZÁSI FOGALMAK... 9 1. ALAPFOGALMAK... 10 1.1. Az adatok típusa... 10 1.2.

Részletesebben

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma Témakörök Statsztka Sortszerező BSc kézés (leelező tagozat) 2-2-es tané félé Oktató: Dr Csáfor Hajnalka főskola docens Vállalkozás-gazdaságtan Tsz E-mal: hcsafor@ektfhu Statsztka fogalmak Statsztka elemzések

Részletesebben

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv Mátrx-vektor feldtok Összeállított dr. Slánk József egyetem djunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálnt Gusztáv 1. feldt Adottk z n elemű, b vektorok. Képezn kell c vektort, hol c = b / Σ( ), ( = 0,1,,

Részletesebben

Merev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai

Merev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) Merev test mogása Eddg olyan dealált "testek" mogását vsgáltuk, amelyek a tömegpont modelljén alapultak E aal a előnnyel járt, hogy nem kellett foglalkon a test kterjedésével

Részletesebben

Mit találtam RÓLAD a meddőséggel foglalkozó honlapokon?

Mit találtam RÓLAD a meddőséggel foglalkozó honlapokon? Mt találtam RÓLAD a meddőséggel foglalkozó honlapokon? Kgyűjtöttem, hogy a vlághálón mk kerngenek arról, mért vagy meddő. 10 honlapot olvastam át részletesen, azokat, melyeket a Google keresője felkínált

Részletesebben

IMPRESSA C5 Használati útmutató

IMPRESSA C5 Használati útmutató IMPRESSA C5 Használat útmutató Kávé Prof Kft. 1112 Budapest, Budaörs út 153. Tel.: 06-1-248-0095 kaveprof@freemal.hu A TÜV SÜD független német mnôségvzsgáló ntézet Az IMPRESSA kézkönyvének és a hozzá tartozó

Részletesebben

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika)

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika) Fzka II. (Termosztatka, termodnamka) előadás jegyzet Élelmszermérnök, Szőlész-borász mérnök és omérnök hallgatóknak Dr. Frtha Ferenc. árls 4. Tartalom evezetés.... Hőmérséklet, I. főtétel. Ideáls gázok...3

Részletesebben

Alkalmazott modul: Programozás

Alkalmazott modul: Programozás Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Alkalmazott modul: Programozás Feladatgyűjtemény Összeállította: Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto Frissítve: 2015.

Részletesebben

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem Makroökonóma 2. személyes konzultácó Szécheny István Egyetem Gazdálkodás szak e-learnng képzés Összeállította: Farkas Péter 1 A tananyag felépítése (térkép) Ön tt áll : MAKROEGENSÚL Inflácó, munkanélkülség,

Részletesebben

Schlüter -KERDI-BOARD. Közvetlenűl burkolható felületű építőlemez, többrétegű vízszigetelés

Schlüter -KERDI-BOARD. Közvetlenűl burkolható felületű építőlemez, többrétegű vízszigetelés Schlüter -KERDI-BOARD Közvetlenűl burkolható felületű építőlemez, többrétegű vízszgetelés Schlüter -KERDI-BOARD Schlüter -KERDI-BOARD A csempeburkolat készítésének unverzáls alapfelülete Pontosan, ahogy

Részletesebben

Hitelderivatívák árazása sztochasztikus volatilitás modellekkel

Hitelderivatívák árazása sztochasztikus volatilitás modellekkel Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudomány Kar Budapest Corvnus Egyetem Közgazdaságtudomány Kar Hteldervatívák árazása sztochasztkus volatltás modellekkel Bztosítás és pénzügy matematka MSc Kvanttatív

Részletesebben

Összeszerelési és kezelési útmutató. VideoTerminal 2600..

Összeszerelési és kezelési útmutató. VideoTerminal 2600.. Összeszerelés és kezelés útmutató VdeoTermnal 2600.. Tartalom Készülékleírás...3 Szerelés...4 Az üvegfedél leszerelése...5 Kezelés...5 Normál beszéd üzemmód...6 Hívás fogadása... 6 Érvényesítés funkcó...

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

Szerelési és beüzemelési útmutató

Szerelési és beüzemelési útmutató Mndg az Ön oldalán Szerelés és beüzemelés útmutató Exacontrol E7 C Exacontrol E7R C TARTALOMJEGYZÉK BEVEZETÉS 1 Szerelés útmutató... 3 1.1 A dokumentácó... 3 2 CE jel... 3 FELSZERELÉS 3 A készülék felszerelése...

Részletesebben

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos

Részletesebben

Ahol mindig Ön az első! www.eon.hu/ugyintezes. Segítünk online ügyféllé válni Kisokos

Ahol mindig Ön az első! www.eon.hu/ugyintezes. Segítünk online ügyféllé válni Kisokos Ahol mndg Ön az első! www.eon.hu/ugyntezes Segítünk onlne ügyféllé váln Ksokos Kedves Ügyfelünk! Szeretnénk, ha Ön s megsmerkedne Onlne ügyfélszolgálatunkkal (www.eon.hu/ugyntezes), amelyen keresztül egyszerűen,

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Napkollektorok üzem jellemzőnek modellezése Doktor (PhD) értekezés tézse Péter Szabó István Gödöllő 015 A doktor skola megnevezése: Műszak Tudomány Doktor Iskola tudományága:

Részletesebben

Környezetvédelmi analitika

Környezetvédelmi analitika Az anyag a TÁMOP-4...A/- /--89 téma keretében készült a Pannon Egyetemen. Környezetmérnök Tudástár Sorozat szerkesztő: Dr. Domokos Endre XXXIV. kötet Környezetvédelm analtka Rezgés spektroszkópa Blles

Részletesebben

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

HAVRAN DÁNIEL. Pénzgazdálkodási szokások hatása a működőtőkére. A Magyar Posta példája

HAVRAN DÁNIEL. Pénzgazdálkodási szokások hatása a működőtőkére. A Magyar Posta példája HAVRAN DÁNIEL Pénzgazdálkodás szokások haása a működőőkére. A Magyar Posa példája A hálózaos parágakban, ahogy a posa szolgálaásoknál s, a forgalomban lévő készpénz nagyméreű működőőké jelenhe. A Magyar

Részletesebben

Számítógép-architektúrák II.

Számítógép-architektúrák II. Várady Géza Számítógép-archtektúrák II. Pécs 2015 A tananyag a azonosító számú, A gépészet és nformatka ágazatok duáls és modulárs képzésenek kalakítása a Pécs Tudományegyetemen című projekt keretében

Részletesebben

8. Mohó algoritmusok. 8.1. Egy esemény-kiválasztási probléma. Az esemény-kiválasztási probléma optimális részproblémák szerkezete

8. Mohó algoritmusok. 8.1. Egy esemény-kiválasztási probléma. Az esemény-kiválasztási probléma optimális részproblémák szerkezete 8. Mohó algoritmusok Optimalizálási probléma megoldására szolgáló algoritmus gyakran olyan lépések sorozatából áll, ahol minden lépésben adott halmazból választhatunk. Sok optimalizálási probléma esetén

Részletesebben

járta, aprít ó é s tuskófuró a NEFA G fejlesztésében

járta, aprít ó é s tuskófuró a NEFA G fejlesztésében ható, max. 140 cm munkaszélességre és 15 25 cm-es munkamélységre készült. A gép üzem próbájára ez évben kerül sor. A műveletcentrkus egyed gépkalakítások mellett nem mondtunk le egy bázsgép rendszerű csemetekert

Részletesebben

ADATBÁZISKEZELÉS ADATBÁZIS

ADATBÁZISKEZELÉS ADATBÁZIS ADATBÁZISKEZELÉS 1 ADATBÁZIS Az adatbázis adott (meghatározott) témakörre vagy célra vonatkozó adatok gyűjteménye. - Pl. A megrendelések nyomon követése kereskedelemben. Könyvek nyilvántartása egy könyvtárban.

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Die Sensation in der Damenhygiene Hasznos információk a tamponokról www.123goodbye.com

Die Sensation in der Damenhygiene Hasznos információk a tamponokról www.123goodbye.com nokról tampo a k ácó form n s no Hasz Mért használnak tamponokat? A tampon szó francául és a szó szernt fordításban dugó. Már a szó s sokat mond. A tamponok körülbelül öt centméteres rudak, amely közel

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

ALGORITMUSOK, ALGORITMUS-LEÍRÓ ESZKÖZÖK

ALGORITMUSOK, ALGORITMUS-LEÍRÓ ESZKÖZÖK ALGORITMUSOK, ALGORITMUS-LEÍRÓ ESZKÖZÖK 1. ALGORITMUS FOGALMA ÉS JELLEMZŐI Az algortmus egyértelműen végreajtató tevékenység-, vagy utasítássorozat, amely véges sok lépés után befejeződk. 1.1 Fajtá: -

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

hatására hátra lép x egységgel a toll

hatására hátra lép x egységgel a toll Ciklusszervező utasítások minden programozási nyelvben léteznek, így például a LOGO-ban is. LOGO nyelven, (vagy legalábbis LOGO-szerű nyelven) írt programok gyakran szerepelnek az iskola számítástechnikai

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Tanulmányok Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzés módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Hajdu Tamás, az MTA Közgazdaságés Regonáls Tudomány Kutatóközpont Közgazdaságtudomány

Részletesebben

1. Számoljuk meg egy számokat tartalmazó mátrixban a nulla elemeket!

1. Számoljuk meg egy számokat tartalmazó mátrixban a nulla elemeket! ELTE IK, Programozás, Gyakorló feladatok a 3. zárthelyihez. Mátrix elemeinek felsorolása: 1. Számoljuk meg egy számokat tartalmazó mátrixban a nulla elemeket! 2. Igaz-e, hogy sorfolytonosan végigolvasva

Részletesebben

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése: Szabó László Szilárdságtan A követelménymodul megnevezése: Kőolaj- és vegyipari géprendszer üzemeltetője és vegyipari technikus feladatok A követelménymodul száma: 047-06 A tartalomelem azonosító száma

Részletesebben

Gyakorló feladatok ZH-ra

Gyakorló feladatok ZH-ra Algoritmuselmélet Schlotter Ildi 2011. április 6. ildi@cs.bme.hu Gyakorló feladatok ZH-ra Nagyságrendek 1. Egy algoritmusról tudjuk, hogy a lépésszáma O(n 2 ). Lehetséges-e, hogy (a) minden páros n-re

Részletesebben

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II.

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II. NKFP6-BKOMSZ05 Célzott mérőhálózat létrehozása a globáls klímaváltozás magyarország hatásanak nagypontosságú nyomon követésére II. Munkaszakasz 2007.01.01. - 2008.01.02. Konzorcumvezető: Országos Meteorológa

Részletesebben

Karbantartás. Az ESZR Karbantartás menüjébentudjuk elvégezni az alábbiakat:

Karbantartás. Az ESZR Karbantartás menüjébentudjuk elvégezni az alábbiakat: Karbantartás Az ESZR Karbantartás menüjébentudjuk elvégezni az alábbiakat: Jelszó módosítása: A felhasználói jelszavunkat módosíthatjuk ebben a menüpontban, a régi jelszavunk megadása után. Általánosan

Részletesebben

Egyszerű programozási tételek

Egyszerű programozási tételek Egyszerű programozási tételek Sorozatszámítás tétele Például az X tömbben kövek súlyát tároljuk. Ha ki kellene számolni az összsúlyt, akkor az S = f(s, X(i)) helyére S = S + X(i) kell írni. Az f0 tartalmazza

Részletesebben

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.)

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) 22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) A) A PERMUTÁCIÓK CIKLIKUS SZERKEZETE 1. feladat: Egy húsztagú társaság ül az asztal körül. Néhányat közülük (esetleg az összeset) párba állítunk, és a párok

Részletesebben

A programozás alapfogalmai

A programozás alapfogalmai A programozás alapfogalmai Ahhoz, hogy a programozásról beszélhessünk, definiálnunk kell, hogy mit értünk a programozás egyes fogalmain. Ha belegondolunk, nem is olyan könnyű megfogalmazni, mi is az a

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A:= { a csoport tanulói b) B:= { Magyarország városai ma c) C:=

Részletesebben

IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád

IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád BALOGH DEZSŐ BHG BEVEZETÉS A BHG Híradástechnka Vállalat kutató és fejlesztő által kdolgozott napjankban gyártásban levő tárolt programvezérlésű elektronkus

Részletesebben

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2012 13-as tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a javító

Részletesebben

3. Strukturált programok

3. Strukturált programok Ha egy S program egyszerű, akkor nem lehet túl nehéz eldönteni róla, hogy megold-e egy (A,Ef,Uf) specifikációval megadott feladatot, azaz Ef-ből (Ef által leírt állapotból indulva) Uf-ben (Uf által leírt

Részletesebben

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Pethő Attla Emlékül Kss Péternek, a rekurzív sorozatok fáradhatatlan kutatójának. 1. Bevezetés Legyenek a, b Z és {1, 1} olyanok, hogy a 2 4b 2) 0, b 2 és ha 1,

Részletesebben

Legrövidebb utat kereső algoritmusok. BFS (szélességi keresés)

Legrövidebb utat kereső algoritmusok. BFS (szélességi keresés) Legrövidebb utat kereső algoritmusok Adott gráfban szeretnénk egkeresni két pont között a legrövidebb utat (a két pont távolsága érdekel). Ezt úgy fogjuk tudni megtenni, hogy közben megkapjuk az összes

Részletesebben

p j p l = m ( p j ) 1

p j p l = m ( p j ) 1 Online algoritmusok Online problémáról beszélünk azokban az esetekben, ahol nem ismert az egész input, hanem az algoritmus az inputot részenként kapja meg, és a döntéseit a megkapott részletek alapján

Részletesebben

VALLALKQZÁSf SZERZ Ő DES ESPAN Nyugat-dunántúli Regionális Energia Stratégia és a három kistérség i energetikai koncepció kidolgozása tárgyban "

VALLALKQZÁSf SZERZ Ő DES ESPAN Nyugat-dunántúli Regionális Energia Stratégia és a három kistérség i energetikai koncepció kidolgozása tárgyban VALLALKQZÁSf SZERZ Ő DES ESPAN Nyugat-dunántúl Regonáls Energa Stratéga és a három kstérség energetka koncepcó kdolgozása tárgyban " Amely létrejött egyrészrő l a Nyugat-dunántúl Regonáls Fejlesztés Ügynökség

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 016. január 16. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egyszerűsítse a következő kifejezést: Válaszát

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

lks~71 ~~ Dr. Szemán Sándor címzetes főjegyző ,~ LU:Lll ;rejl Faragón'é Széles Andrea Jegyzői kabinet vezetője q GAZDÁLKODÁSI FŐOSZTÁLY

lks~71 ~~ Dr. Szemán Sándor címzetes főjegyző ,~ LU:Lll ;rejl Faragón'é Széles Andrea Jegyzői kabinet vezetője q GAZDÁLKODÁSI FŐOSZTÁLY Ügyratszám7092-10/2011.v1l1. Ügyntéző: Ferenczné NYíREGYHÁZA MEGYE JOGÚ VÁROS POLGÁRMESTER HVATALA GAZDÁLKODÁS FŐOSZTÁLY 4401 Nyíregyháza, Kossuth tér 1. Pf.: 83. Telefon: (42) 524-524, (42) 524-540; Fax:

Részletesebben

Darts: surranó nyilak, gondolkodtató problémák Kombinatorika 6. feladatcsomag

Darts: surranó nyilak, gondolkodtató problémák Kombinatorika 6. feladatcsomag Darts: surranó nyilak, gondolkodtató problémák Kombinatorika 6. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 15 18 év összeszámolási módszerek (permutáció, variáció, kombináció) sorozatok rekurzív megadása

Részletesebben

GYAKORLÓ FELADATOK. Színmérés, színkeverés CIE RGB és CIE XYZ rendszerben. 2013. március 10., Budapest

GYAKORLÓ FELADATOK. Színmérés, színkeverés CIE RGB és CIE XYZ rendszerben. 2013. március 10., Budapest GYAKORLÓ FELADATOK Színmérés, színkeverés CIE RGB és CIE XYZ rendszerben 2013. márcus 10., Budapest Színmérés, színkeverés alapelvek Kndulás (Grassmann törvény): Két, tetszőlegest spektráls eloszlású lá

Részletesebben

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Horváth Árpád 2008. december 16. A segédletek egy része a matek honlapon található: http://www.roik.bmf.hu/matek Kötelező irodalom: Bagyinszki

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

Leggyakrabban használt adatbányászási technikák. Vezetői információs rendszerek

Leggyakrabban használt adatbányászási technikák. Vezetői információs rendszerek Leggyakrabban használt adatbányászási technikák ADATBÁNYÁSZÁS II. 1. A társításelemzés társítási szabályok (asszociációs szabályok) feltárását jelenti. Azt vizsgájuk, hogy az adatbázis elemei között létezik-e

Részletesebben

Mágneses jelenségek. 1. A mágneses tér fogalma, jellemzői

Mágneses jelenségek. 1. A mágneses tér fogalma, jellemzői . mágneses tér fogama, jeemző Mágneses jeenségek mágneses tér jeenségenek vzsgáatakor a mozgó vamos tötések okozta jeenségekke fogakozunk mozgó vamos tötések (áram) a körüöttük évő teret küöneges áapotba

Részletesebben

CRT Monitor gammakarakteriszikájának

CRT Monitor gammakarakteriszikájának Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Mechatronka, Optka és Gépészet Informatka Tanszék CRT Montor gammakarakterszkájának felvétele 9. mérés Mérés célja: Számítógéppel vezérelt CRT montor gamma karaktersztkájának

Részletesebben

Karbantartás. Az ESZR Karbantartás menüjébentudjuk elvégezni az alábbiakat:

Karbantartás. Az ESZR Karbantartás menüjébentudjuk elvégezni az alábbiakat: Karbantartás Az ESZR Karbantartás menüjébentudjuk elvégezni az alábbiakat: Jelszó módosítása: A felhasználói jelszavunkat módosíthatjuk ebben a menüpontban, a régi jelszavunk megadása után. Általánosan

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal. PhD értekezés

Miskolci Egyetem. Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal. PhD értekezés Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal PhD értekezés Készítette: Lengyelné Szilágyi Szilvia Hatvany

Részletesebben

Vektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet).

Vektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet). Vektortér A vektortér (lineáris tér, lineáris vektortér) két, már tanult algebrai struktúrát kapcsol össze. Def.: Legyen V nemüres halmaz, amelyben egy összeadásnak nevezett művelet van definiálva, és

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Dr. Pétery Kristóf: Excel 2007 feladatok és megoldások 2.

Dr. Pétery Kristóf: Excel 2007 feladatok és megoldások 2. 2 Minden jog fenntartva, beleértve bárminemű sokszorosítás, másolás és közlés jogát is. Kiadja a Mercator Stúdió Felelős kiadó a Mercator Stúdió vezetője Lektor: Gál Veronika Szerkesztő: Pétery István

Részletesebben