Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer"

Átírás

1 Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

2 Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár Technológiai önköltség Normaóraigény Alapanyag-szükséglet 3 2 Normaóra kapacitás: 1440/év Beszerezhető alapanyag: 240/év Fel nem osztott költségek: 3200/év B-ből eladható: maximum 50/év Feladat: Határozzuk meg az évi maximális nyereséget biztosító termelési tervet! Modell: A-ból x-et termelünk, B-ből y-t. A B x, y x+800y -400x-300y 15x + 20y x + 2y y 50

3 Tehát a megoldandó a következő matematikai feladat: 15x + 20y x + 2y 240 feltételek y 50. x, y x + 800y 400x 300y 3200 = 600x + 500y 3200 max célfüggvény Ezzel ekvivalens feladat: ugyanezen feltételek mellett a 600x + 500y célfüggvény maximumát keressük. Megoldás: később.

4 Definíció. Az olyan feltételes szélsőérték-feladatokat, amelyben a feltételek lineáris egyenletek és egyenlőtlenségek, és egy lineáris függvény szélsőértékét keressük, lineáris programozási feladatnak nevezzük Általánosítások: Ha a feltételek lineárisak, de a célfüggvény nem, akkor nemlineáris programozási feladatról beszélünk. Pl. hiberbolikus programozási feladat célfüggvénye alakú. a x+b c x+d Azon pontok halmazát, amelyek koordinátái kielégítik a feltételrendszert, lehetséges megoldásoknak nevezzük. Azon lehetséges megoldásokat, ahol a célfüggvény értéke maximális/minimális, optimális megoldásoknak nevezzük.

5 Kétváltozós LP-feladat grafikus megoldása Lineáris egyenlőtlenség megoldása 3x + 2y 6 Először ábrázoljuk a megfelelő egyenlet megoldásait, pl. tengelymetszet segítségével: 3 2 Utána el kell dönteni, hogy melyik félsík lesz az egyenlőtlenség megoldása. Ez legegyszerűbben behelyettesítéssel történhet. Pl. origó: teljesül Az a félsík a megoldás, amiben az origó van.

6 Egyenlőtlenség-rendszer megoldása: Tekintem az egyes félsíkok metszetét. Ez lehet: Üres halmaz Egyetlen pont Szakasz Félegyenes Egyenes Konvex sokszög Nem korlátos konvex sokszög

7 1. feladat. Oldjuk meg az előzőleg felírt feladatot 15x + 20y x + 2y y x, y x + 500y max x + 500y = c max 6x + 5y = c/100 max 50 3 Itt van az optimum! 80 Ha pontos az ábra (vagy számolás): x = 64, y = 24

8 2a. Oldjuk meg az alábbi LP- feladatot: 3x + 2y 6 1 -x + y 4 2 5x + 8y 40 3 x 2y 4 4. x, y 0. 2x + y max x + y = c max y = -2x + c és c max A 2 meredekségű egyenesek közül keressük azt, amelynek van közös pontja a tartománnyal, és c értéke maximális Itt van az optimum! Optimum koordinátái: 3 és 4 egyenletből: x = 10/9, y = 56/9

9 2b. Oldjuk meg az előző LP- feladatot 10x + 16y max célfüggvénnyel! 3x + 2y x + y 4 2 5x + 8y 40 3 x 2y x, y 0. 10x + 16y max 10x + 16y = c max y = -5/8 x + c és c max 4 A 5/8 meredekségű egyenesek közül keressük azt, amelynek van közös pontja a tartománnyal, és c értéke maximális Itt van az optimum! Optimum egy szakasz! Végtelen sok megoldás!

10 2c. Oldjuk meg az előző LP- feladatot 10x + 16y min célfüggvénnyel! 3x + 2y x + y 4 2 5x + 8y 40 3 x 2y x, y 0. 10x + 16y min 10x + 16y = c min y = -5/8 x + c és c min 4 A 5/8 meredekségű egyenesek Itt van az optimum! közül keressük azt, amelynek van közös pontja a tartománnyal, és c értéke Optimum koordinátái: x = 2, y = 0 minimális

11 2c. Oldjuk meg az előző LP- feladatot 10x 5y min célfüggvénnyel! 3x + 2y x + y 4 2 5x + 8y 40 3 x 2y x, y 0. 10x 5y min 10x 5y = c min y = 2x c és c min y = 5/8 x + ( c) és - c max A 2 meredekségű egyenesek Itt van az optimum! közül keressük azt, amelynek van közös pontja a tartománnyal, és -c értéke Optimum koordinátái: x =0, y = 4 maximális 4

12 3a. Oldjuk meg az alábbi LP-feladatot! x + 2y 4 1 -x + y 4 2 x 3y 3 3. x, y 0. x + y min Végtelen tartomány! x + y = c min y = -x + c és c min 1 A -1 meredekségű egyenesek közül keressük azt, amelynek van közös pontja a Itt van az optimum! tartománnyal, és c értéke minimális Optimum koordinátái: x =0, y = 2 2 3

13 3b. Oldjuk meg az előző LP-feladatot az x + y max célfüggvénnyel! 2 x + 2y 4 1 -x + y 4 2 x 3y 3 3. x, y 0. 1 x + y max Végtelen tartomány! x + y = c max y = -x + c és c max A -1 meredekségű egyenesek közül keressük azt, amelynek van közös pontja a tartománnyal, és c értéke maximális A célfüggvény felülről nem korlátos a lehetséges megoldások halmazán. 3

14 4. Oldjuk meg az alábbi LP-feladatot! x + 2y 6 -x + y x 3y 3 3. x, y 0. x + y min 1 3 Üres tartomány! A feladatnak nincs lehetséges megoldása sem.

15 Láttuk, hogy egy lineáris programozási feladat esetén a következő lehetetőségek fordulhatnak elő: a lehetséges megoldások halmaza üres; van lehetséges megoldás, de a célfüggvény nem korlátos a lehetséges megoldások halmazán; van lehetséges megoldás, és a célfüggvény korlátos is a kívánt irányból; ekkor kétféle eset lehetséges egyetlen optimum van; több (végtelen sok) optimum van.

16 1 Operációkutatás #, NYME KTK III. évf. nappali Lineáris programozás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach ősz Lineáris programozás (2. rész) 1. rész: ld. PowerPoint prezentáció Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex algoritmus Feladattípusok A) Normál feladat ahol megköveteljük, hogy b 1,..., b m 0 teljesüljön. Mátrixos alak: Itt is megköveteljük, hogy b 0 teljesüljön. a 11 x a 1n x n b 1. a m1 x a mn x n b m x 1,..., x n 0 f(x) = c 1 x c n x n max Ax b x 0 f(x) = c x max A vektorok közti és jelek komponensenkénti összehasonlítást jelentenek. Tehát e f azt jelenti, hogy minden i-re e i f i. A a transzponálást jelöli, azaz c egy sorvektor. B) Módosított normál feladat (Lehet egyenlet is benne.) Itt is megköveteljük, hogy b 1 0 és b 2 0 teljesüljön. A 1 x = b 1 A 2 x b 2 x 0 f(x) = c x max

17 C) Általánosított normál feladat (Lehet = és is benne.) 2 Itt is megköveteljük, hogy b i 0 (i = 1, 2, 3) teljesüljön. D) Standard feladat (Jobb oldalra nincs kikötés) A 1 x = b 1 A 2 x b 2 A 3 x b 3 x 0 f(x) = c x max Ax b x 0 f(x) = c x max Állítás. Az A), B), és C) feladatok mindegyike ekvivalens egy standard feladattal. Bizonyítás. A) egy speciális standard feladat. B) A 1 x = b 1 A 2 x b 2 A 1 x b 1 A 1 x b 1 A 2 x b 2 A 1 x b 1 A 1 x b 1 A 2 x b 2 C) A 1 x = b 1 A 2 x b 2 A 3 x b 3 A 1 x b 1 A 1 x b 1 A 2 x b 2 A 3 x b 3 Állítás. Minden LP-feladat ekvivalens egy általánosított normál feladattal. Bizonyítás. 1) Ha az LP-feladatban szerepel egy x előjelkötetlen változó, akkor annak minden előfordulási helyére írjunk (y z)-t, ahol y és z két új, nemnegatív változó. 2) Ha valamelyik feltétel jobb oldalán negatív szám áll, szorozzuk be 1-gyel. 3) Ha minimumfeladattal van dolgunk: f(x) min, akkor ez ekvivalens a f(x) max feladattal. Általánosított normál feladat visszavezetése módosított normál feladatra: a jelek helyett = írható, ha a bal oldalból levonok egy új, pozitív változót. Pl.: 2x 5 2x u = 5. A módosított normál feladat az úgynevezett kétfázisú szimplex módszerrel oldható meg, később lesz. Definíció. Az Ax b, x 0 egyenletrendszer x lehetséges megoldásához tartozó eltérésvektor az az u vektor, amelyre Ax + u = b. Az eltérésvektor i-edik komponensét tehát úgy kapjuk, hogy megnézzük: a bal oldal értéke mennyivel kisebb a jobb oldalon álló b i -nél. Nyilvánvalóan u 0. Módosított normál feladatra ill. általános feladatra ld. könyvben! Definíció. Az Ax b x 0 f(x) = c x max

18 normál feladat kanonikus alakja az 3 Ax + u = b x 0, u 0 f(x) = c x max feladat. Mátrixosan a 11 x a 1n x n + u 1 = b 1. a m1 x a mn x n + u m = b m x 1,..., x n 0 f(x) = c 1 x c n x n max ahol megköveteljük, hogy b 1,..., b m 0 teljesüljön. Ha bevezetjük a B = A E és az y = x u jelölést, akkor az egyenletrendszer By = b alakú lesz. Ha felírjuk a By = b egyenletrendszer kibővített mátrixát, s az oszlopvektorokat rendre x 1,..., x n, u 1,..., u m jelöli, akkor az oszlopvektorok éppen az u 1,..., u m bázisban vannak felírva. Elemi bázistranszformációval át lehet térni más bázisra. Definíció. Egy kanonikus alakú feladat bázismegoldásán azt értjük, hogy a bázisban nem szereplő oszlopokhoz tartozó változók (szabad változók) értéke nulla, a bázisban szereplő oszlopokhoz tartozó változók (bázisváltozók, kötött változók) értéke pedig a jobb oldalon álló szám. Lehetséges bázismegoldáson olyan bázismegoldást értünk, amelynek nincs negatív komponense. Ha egy lehetséges bázismegoldásból elhagyjuk az u i -ket, akkor az eredeti normál feladat lehetséges megoldását kapjuk. Normál feladat esetén a kiindulási u 1,..., u m bázisnak megfelelő bázismegoldás: x 1 =... = x n = 0, u 1 = b 1,..., u m = b m. Ez lehetséges bázismegoldás, mert b i 0. a 11 x a 1n x n + u 1 = b 1. a m1 x a mn x n + u m = b m x 1,..., x n 0 Tétel. A kanonikus alakú LP feladatnak, s így a normál feladatnak is csak véges sok bázismegoldása van. Bizonyítás. Az (A E) mátrix rangja = sorok száma = m, hiszen az egységmátrix rangja m. Az oszlopok száma: m + n. A bázismegoldások száma ( ) m+n m. Tétel. Egy standard feladat lehetséges megoldásai a lehetséges megoldások halmazának extremális pontjai. Fordítva, a lehetséges megoldások halmazának extremális pontjai a standard feladat bázismegoldásai. Definíció. Degenerált bázismegoldásban kevesebb nullától különböző elem van, mint az együtthatómátrix rangja. Tehát a bázismegoldást adó táblázatban a bal oldalon nulla is szerepel. Egyenletrendszer bázistáblázata Most az egyenletrendszer egy megoldása azonnal leolvasható, minket viszont az érdekel, hogy hogyan lehet áttérni egy másik (bázis)megoldásra. Nem akarunk mindig feleslegesen leírni egy egységmátrixot, ennek viszont az lesz az ára, hogy a táblázat fejléceibe mindig fel kell írni, hogy a sorok és oszlopok milyen vektorokhoz/változókhoz tartoznak. 2x + 2y + 3z 2 4x y + 5z 7 2x + 2y + 3z + u 1 = 2 4x y + 5z + u 2 = 7

19 x y z b u u Áttérés az x, u 2 bázisváltozókra: u 1 y z b 1 3 x u A bázistáblás írásmódnál az elemi bázistranszformáció egy lépése a mátrixelemek szintjén a következő: 1. kiválasztom a generálóelemet, g-t 2. A generálóelem feletti és melletti két változónevet felcserélem 3. generálóelem reciprokát veszem 4. generálóelem oszopát osztom g-vel és szorzom 1-gyel. 5. generálóelem sorát osztom a generálóelemmel 6. további elemek: téglalap szabály: g a b t t = t ab g. Lehetséges bázistranszformáció Ha azt akarjuk, hogy az elemi bázistranszformáció során lehetséges bázismegoldást adó új bázisra térjünk át, azaz a jobb oldalakon ne álljon negatív szám, akkor a generálóelemet nem lehet tetszőlegesen választani. Mivel a generálóelem sorát végigosztjuk a generálóelemmel, ennek a sornak a jobb oldala akkor marad nemnegatív, ha a generálóelem nemnegatív. Nulla sem lehet generálóelem, tehát α) a generálóelem csak pozitív szám lehet. Ha a generálóelem a ij, akkor a k-adik sor jobb oldala (k i esetén) Itt b 1, b k, a ij 0, kérdés, hogy mikor lesz b k 0? b k = b k b ia kj a ij. Két eset van: ha a kj 0, akkor b k b k 0 automatikusan teljesül. Ha viszont a kj > 0, akkor teljesülnie kell. Tehát b k = b k b ia kj a ij > 0 b k a kj > b i a ij β) az adott j-edik oszlop pozitív elemeivel osztjuk a megfelelő jobb oldalakat, s a generálóelemet abból a sorból választjuk, ahol ez a hányados a legkisebb. Definíció. Az α és β tulajdonságokkal rendelkező elemi bázistranszformációt lehetséges bázistranszformációnak nevezzük. Tétel. Egy lehetséges bázismegoldást adó bázistáblából el lehet jutni tetszőleges más lehetséges bázismegoldást adó bázistáblához a lehetséges elemi bázistranszformáció véges sokszori alkalmazásával. (standard feladatra is igaz!)

20 A célfüggvény értékét jelöljük z-vel! Ekkor z = c x, azaz 5 c x z = c x + ( z) = 0. Ez egy újabb egyenlet. Ha z-t tekintjük változónak, akkor az egyenletrendszer kibővített mátrixa: Itt a bázis az u i és z változókhoz tartozó oszlopok: x 1... x n u 1... u m z b a a 1n b 1. a m1... a mn b m c 1... c n x 1... x j... x n b u 1 a a 1j... a 1n b 1. u i a i1... a ij... a in b i. u m a m1... a mj... a mn b m z c 1... c j... c n 0 A jobb alsó sarokban álló elem adja a bázismegolásban z értéket. Ezt minimalizálni kell. Lehetséges elemi bázistranszformáció esetén a jobb alsó sarokban lévő elemből le kell vonni: b i c j a ij Kell: z csökkenjen, azaz c j > 0 legyen. γ) A generálóelemet pozitív célfüggvényegyüttható (c j ) felett kell választani ahhoz, hogy az új bázismegoldásnál a célfüggvény értéke nagyobb legyen. Hogyan érhet véget az algoritmus? Tétel. Ha egy standard feladat megoldása során az egyik bázistáblában van egy olyan oszlop (j-edik), ahol minden a ij 0, azaz a j 0, de c j > 0, akkor a célfüggvény felülről nem korlátos a lehetséges megoldások halmazán. Bizonyítás. Legyen x az aktuális bázismegoldás, s adjunk λ > 0-t a j-edik komponenséhez: Ez is lehetséges megoldás, ugyanis A célfüggvény értéke x λ = x + λe j. Ax λ = A(x + λe j ) = Ax + Aλe j = Ax + λa j Ax b. f(x λ ) = c x λ = c (x + λe j ) = c x + c λe j = c x + λc j = f(x) + λc j. Ha λ, akkor f(x λ ). Ha nincs pozitív célfüggvényegyüttható, akkor γ) szerint a célfüggvényérték nem növelhető lehetséges elemi bázistranszformációval. Belátható, hogy máshogyan sem: Tétel. Ha egy bázistáblában nincs pozitív célfüggvényegyüttható, akkor az aktuális bázismegoldás optimális. Bizonyítás. Később. Szimplex algoritmus (végesség is!): TÁBLÁN!!!

21 1 Operációkutatás #, NYME KTK III. évf. nappali Lineáris programozás (3. rész) Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach ősz Konvex halmazok. Jelölje E n az n-dimenziós Euklideszi teret. Tehát E n elemei az n komponensű valós szám-n-esek, és egy vektor normája az alábbiak szerint definiált: x = x x2 n Két pont távolságát helyvektoraik különbségének normájával fejezhetjük ki: d(a, B) = a b. Definíció. Az a pont ε sugarú környezete az a a < ε képlettel definiált. Definíció. Az a és b pontok által meghatározott egyenes egyenlete: x = λa + (1 λ)b (λ R). Ugyanígy néz ki az a és b pontok által meghatározott szakasz egyenlete is, csak ki kell kötni, hogy 0 λ 1. Definíció. Az a 0 ponthoz tartozó sugár egyenlete: x = λa, λ > 0. Definíció. Egy K E n halmaz konvex, ha bármely két pontja által meghatározott szakasz is része K-nak.(Ennek megfelelően az üres halmaz, az egyetlen pontból álló halmazok, egy szakasz, egy félegyenes, egy egyenes is konvexek.) Definíció. Az a pont a H halmaz belső pontja, ha a H, továbbá létezik a-nak olyan környezete, amely teljes egészében H-ban fekszik. Definíció. Az a pont a H halmaz határpontja, ha a-nak bármely környezete tartalmaz H-beli és H-n kívüli pontot is. Definíció. A H halmaz zárt, ha minden határpontja H-hoz tartozik. Definíció. Az a pont a H halmaz extremális pontja, ha a H, továbbá nincs olyan a-n átmenő szakasz, amely teljes egészében H-ban fekszik. Definíció. A H halmaz korlátos, ha van egy olyan k vektor, hogy tetszőleges a H esetén a i < k i. Definíció. Konvex poliéderen olyan K E n konvex, zárt halmazt értünk, amely egyrészt korlátos, másrészt csak véges sok extremális pontja van. Definíció. n-dimenziós szimplexen olyan n-dimenziós konvex poliédert értünk, amelynek n + 1 extremális pontja van. Tétel. Az Ax b, x 0 standard feladat lehetséges megoldásainak halmaza konvex.

22 Bizonyítás. Az üres és egyelemű megoldáshalmaz definíció szerint konvex. Tegyük fel, hogy x 1 és x 2 is megoldások: 2 Ax 1 b, x 1 0 és Ax 2 b, x 2 0. Lássuk be, hogy az általuk meghatározott szakasz x = λx 1 + (1 λ)x 2, λ [0, 1] is megoldás. λ, 1 λ > 0 miatt x 0. Másrészt Ax = A [λx 1 + (1 λ)x 2 ] = λ Ax 1 + (1 λ) Ax 2 λb + (1 λ)b = b. Dualitás Definíció. Az és az Ax b x 0 f(x) = c x max A y c y 0 g(y) = b y min (standard) feladatok egymás duáljai. A kiinduló feladatot szokás primál feladatnak nevezni, míg az abból származtatottat duál feladatnak. A primál maximumfeladat eltérésvektorának szokásos jelölése u, a duál minimufeladaté w: Ax + u = b, A y w = c. Dualitás (folyt.) Részletesen kiírva: standard feladat duálja az feladat. a 11 x a 1n x n b 1. a m1 x a mn x n b m x 1,..., x n 0 f(x) = c 1 x c n x n max a 11 y a m1 y m c 1. a 1n y a mn y m c n y 1,..., y n 0 g(y) = b 1 y b m y m min Primál-duál feladatpár lehetséges megoldásai Tétel. Ha a fenti primál-duál feladatpárnak x és y lehetséges megoldásai, akkor f(x) g(y). Bizonyítás. Azaz f(x) y Ax g(y). Ax b y Ax y b = b y = g(y) A y c y A c y Ax c x = f(x)

23 Következmény. 1. Ha a primál feladatnak van lehetséges megoldása és a célfüggvény nem korlátos felülről, akkor a duálnak 3 nincs lehetséges megoldása. 2. Ha a duál feladat célfüggvénye nem korlátos alulról, akkor a primálnak nincs lehetséges megoldása 3. Ha f(x 0 ) = g(y 0 ), akkor x 0 a primál, y 0 a duál feladat optimális megoldása. Módosított normál feladat duálja Belátható, hogy a módosított normál feladat duáljának felírásához nem kell áttérnünk a standard alakra, hanem a következőképpen járhatunk el: Ha valamelyik feltétel egyenlőség, akkor a duál feladatmegfelelő változójára nincs előjelkorlát. Ha valamelyik változóra nincs előjelkorlát, akkor a duál feladat megfelelő feltétele egyenlőség. LP alaptétele Ld. Csernyák 1.9. tétel, illetve táblán. Duál feladat otimuma Az előzőek szerint a primál és duál feladat optimális célfüggvényértéke megegyezik. Ennél több is igaz: a primál feladatot megoldva az optimális megoldást adó bázistáblából leolvasható a duál feladat optimális bázismegoldása: A célfüggvényegyütthatók ellentettjei adják a duál megoldásvektor és eltérésvektor nemnulla komponenseit. A duál feladat változói a primál feladat egyenleteinek felelnek meg, vagyis a primál eltérésváltozóknak (u i ). A bázisban nem szereplő eltérésváltozók oszlopából olvashatók tehát le a duál megoldásvektor (y) nemnulla komponensei. A duál feladat egyenletei a primál feladat változóinak felelnek meg, vagyis a primál változóknak (x j ). A bázisban nem szereplő x j változók oszlopából olvashatók tehát le a duál eltérésvektor (w) nemnulla komponensei. Degeneráció Volt: Definíció. Degenerált bázismegoldásban kevesebb nullától különböző elem van, mint az együtthatómátrix rangja. Tehát a bázismegoldást adó táblázatban a jobb oldalon nulla is szerepel. Új: Definíció. Egy normál feladat akkor nemdegenerált, ha az egyik lehetséges bázismegoldás sem degenerált. Ez nem dönthető el mindig ránézésre! A degeneráltság hátránya: γ) szabály esetén ha a generálóelem sorában a jobb oldalon nulla áll, akkor a célfüggvényérték nem változik az átalakítás során. Nincs biztosítva az algortimus végessége, mert így felléphet ciklikusság is az algoritmusban! Van arra is módszer, hogy kivédjük a ciklikusságot, de ezt nem tanuljuk.

24 1 Operációkutatás #, NYME KTK III. évf. nappali Lineáris programozás (4. rész) Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach ősz Alternatív optimum Definíció. Alternatív optimumról beszélünk, ha egy feladatnak több optimális megoldás is van. Tétel. Az LP feladat alternatív optimumainak konvex lineáris kombinációja is alternatív optimum. Bizonyítás. A könyvbeli bizonyítás hiányos! 1. Lehetséges megoldások konvex lineáris kombinációja is lehetséges megoldás (1.1. Tétel) utána pedig 2. Ha néhány helyen ugyanakkora a függvényérték (mindenütt optimális), akkor a konvex lineáris kombinációjukban is (könyvbeli bizonyítás): Legyenek x és x is optim lis megold sok, azaz z = z = z o. Legyen x = λx + (1 λ)x egy konvex lineáris kombinácijuk. c x = c λx + (1 λ)x = λc x + (1 λ)c x = λz o + (1 λ)z o = z o. Alternatív optimális bázismegoldások Az optimális bázistáblában nincs negatív célfüggvényegyüttható. De lehet esetleg nulla célfüggvényegyüttható. Ez azt jelenti, hogy a duál feladat megfelelő optimális bázismegoldása degenerált. Ha nulla felett választunk generálóelemet (mert van felette pozitív elem), akkor a primál feladat egy másik optimális bázismegoldásába juthatunk el: x j x i g b 0 z Látható, hogy z-ből le kell vonni 0 b g -t, azaz a célfüggvényérték nem változik. Degenerált optimális bázismegoldás Ha a primál feladat optimális bázismegoldása degenerált, akkor megpróbálhatunk abban a sorban generálóelemet választani, ahol a jobb oldalon nulla áll. A generálóelem nem lehet nulla de α) és β) most figyelmen kívül hagyható, hiszen a jobb oldalakon most nem jöhet be negatív szám. Viszont arra kell ügyelni, hogy a célfüggvényegyütthatók között ne jelenjen meg pozitív szám a bázisátmenet után. Ekkor a duál feladat alternatív optimumát kapjuk. x j x i g 0 c z

25 Alternatív optimum és degeneráció 2 Tétel. Egy LP feladatnak csak akkor lehet alternatív optimuma, ha a duál feladat optimális megoldása degenerált. Bizonyítás. Nem kell. Ebben benne foglaltatik az is, hogy a duál feladatnak is csak akkor lehet alternatív optimuma, mert a duál duálja a primál. Miért nem "akkor és csak akkor" tételünk van? Mert lehet egyszerre alternatív optimum és degeneráció: x j x i g 0 0 z Alternatív optimum és degeneráció egyszerre x j x i g 0 0 z Ekkor g-t választva ugyan eljutunk egy másik bázisegoldáshoz abban az értelemben, hogy más lesz a bázis, de a változók értéke ugyanaz marad a primál feladat degeneráltsága miatt. Eredetileg ugyanis x i = 0, mert bázisváltozó ugyan, de a jobb oldalon nulla áll, x j pedig azért nulla, mert nem bázisváltozó. A bázistranszformáció után ez éppen fordítva lesz. Még egy lehetőség Ha az optimális bázismegoldásban van nulla célfüggvényegyüttható, felette nincs pozitív elem, de van nulla, akkor nincs ugyan más optimális bázismegoldás, mégis végtelen sok megoldás van: egy félegyenesen. Kétfázisú szimplex módszer A normál feladatnak mindig van lehetséges megoldása, az a bázismegoldás, amikor az eltérésváltozók a bázisváltozók, az erdeti feladat változói mind nullák; ez a kiindulási bázistáblához tartozik. A normál feladatnak (lehetnek egyenlőségek is) már nem mindig van lehetséges megoldása. Ezért a szimplex módszert kiegészítjük egy olyan első fázissal, ahol találunk egy lehetséges megoldást, s innen szokásos szimplex módszerrel folytatjuk. Tekintsük a A 1 x = b 1 A 2 x b 2 x 0 f(x) = c x max

26 módosított normál feladatot (b 1, b 2 0), és írjuk fel hozzá az 3 A 1 x b 1 A 2 x b 2 x 0 ˆf(x) = 1 A 1 x max normál feladatot. Itt 1 az a megfelelő méretű vektor, aminek minden komponense 1. Ha ezzel balról szorzok egy mátrixot, akkor az eredmény a mátrix sorainak összege. Tétel. A fenti módosított normál feladatnak pontosan akkor van lehetséges megoldása, ha a belőle felírt normál feladat optimális megoldása: ˆf = 1 b 1. Bizonyítás. Az egyenletekből egyenlőtlenségeket csináltunk a feltételrendszerben, bal oldalaikat pedig összeadtuk, ez lett a másodlagos célfüggvény. Ez az összeg mindig kisebb vagy egyenlő, mint a jobb oldalak összege, 1 b 1. Ha sikerül elérni az egyenlőséget, akkor mindegyik feltételben egyenlőség teljesül, vagyis az eredeti feladat lehetséges megoldását kapjuk. Feladatmegoldás. Azoknál a soroknál, ahol egyenlőség áll, az eltérésváltozókat kalappal látjuk el. A másodlagos célfüggvény sora a kalapos sorok összege lesz, a hozzá tartozó konstans most nem nulla, hanem az is a kalapos sorok jobb oldalainak összege. Ezt az elsődleges célfüggvény alatti plusz egy sorba írjuk. Az algoritmus első fázisában a másodlagos célfüggvényre nézve optimalizálunk. Ha sikerül elérni, hogy a jobb alsó konstans nulla legyen, akkor a másodlagos célfüggvény optimuma ˆf = 1 b 1, s így az eredeti feladat egy lehetséges megoldásánál tartunk. Az esetek többségében érdemes a kalapos változókat kihozni a bázisból az első lépésben, hiszen azon eltéréseknek nullának kell lenniük egy lehetséges megoldásban. A második fázisban elhagyható a másodlagos célfüggvény sora, most az elsődelges célfüggvényre nézve optimalizálok. A fentre került kalapos változók oszlopában azonban nem szabad generálóelemet választani, azon oszlopokban nem is kell nézni a célfüggvényegyütthatók előjelét, amikor el kell dönteni, hogy a jelenlegi bázismegoldás optimális-e. Lehet hogy végül pozitív elem marad ott, ami a duál feladatra nézve azt jelenti, hogy annak a bázisváltozónak az értéke negatív. Ez nem gond, hiszen az egyenleteknek a duál feladatban előjelkötetlen változók felelnek meg. Szokás a kalapos sorokat elhagyni a második fázisban, ha nem vagyunk kiváncsiak a duál feladat optimális megoldására. Figyelem! Itt is lehetnek alternatív optimális bázismegoldások! Általánosított normál feladat, illetve tetszőleges LP feladat visszavezetése korábban már szerepelt.

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Operációkutatás I. 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát

Részletesebben

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás A lineáris programozás A geometriai megoldás Készítette: Dr. Ábrahám István A döntési, gazdasági problémák optimalizálásának jelentős részét lineáris programozással oldjuk meg. A módszer lényege: Az adott

Részletesebben

Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS

Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS OPERÁCIÓKUTATÁS No.2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Budapest 2005 Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Javított kiadás OPERÁCIÓKUTATÁS No.2 Megjelenik az FKFP 0231 Program támogatásával a Budapesti Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot:

Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot: Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot: z = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 4x 1 + x 2 + 2x 3 11 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0 = maximum, feltéve, hogy

Részletesebben

Bevezetés a lineáris programozásba

Bevezetés a lineáris programozásba Bevezetés a lineáris programozásba 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Szimplex módszer p. 1/1 Az LP feladatok általános modellje A korlátozó feltételeket írjuk fel

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Operációkutatás. 2. konzultáció: Lineáris programozás (2. rész) Feladattípusok

Operációkutatás. 2. konzultáció: Lineáris programozás (2. rész) Feladattípusok Operációkutatás NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 00/003 tanév, II évf félév Előadó: Dr Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs u 9 GT fszt 3 (99) 58 640

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos

Részletesebben

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség 5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Párosítások 2012. november 19. Előadó: Hajnal Péter 1. Alapfogalmak Emlékeztető. Legyen G egy gráf, E(G) a G élhalmaza, V (G) gráfunk csúcshalmaza.

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI

A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI Irodalom: Temesi J., A döntéselmélet alapjai, Aula, 2002, Budapest Lawrence, J.A., Pasternack, B.A., Applied management science, John Wiley & Sons Inc. 2002 Stevenson, W. J., Operation

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Disztribúciós feladatok. Készítette: Dr. Ábrahám István

Disztribúciós feladatok. Készítette: Dr. Ábrahám István Disztribúciós feladatok Készítette: Dr. Ábrahám István Bevezető Az elosztási, szétosztási feladatok (szállítás, allokáció, stb.) leggazdaságosabb megoldása fontos kérdés. Célunk lehet legkisebb összköltségre

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort.

Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort. VEKTOROK VEKTOROK FOGALMA Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon, hogy az egyik pont a kezdőpont, a másik pont a végpont, akkor irányított szakaszt kapunk. Egy irányított szakasz

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

Tartalom. Matematikai alapok. Termékgyártási példafeladat. Keverési példafeladat Szállítási példafeladat Hátizsák feladat, egészértékű feladat

Tartalom. Matematikai alapok. Termékgyártási példafeladat. Keverési példafeladat Szállítási példafeladat Hátizsák feladat, egészértékű feladat 6. előadás Termelési és optimalizálási feladatok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Matematikai alapok Matematikai modell Fontosabb feladattípusok Érzékenységvizsgálat Termékgyártási

Részletesebben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Szakdolgozat Készítette: Borostyán Dóra Matematika BSc matematikai elemző Témavezető:

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Lineáris algebra bevezető

Lineáris algebra bevezető Lineáris algebra bevezető 1 Egyismeretlenes egyenletek bemelegítés Az ilyen egyenletek rendezés után ax = b alakba írhatók Ha a 0, akkor a(z egyértelmű megoldás x = b/a Ha a = 0, akkor b 0 esetben nincs

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP-412-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Ismerkedés az Abel-csoportokkal

Ismerkedés az Abel-csoportokkal Ismerkedés az Abel-csoportokkal - Szakdolgozat - Készítette: Takács Mária (Matematika BSc, Tanári szakirány) Témavezető: Kiss Emil (Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet) Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Klasszikus alkalmazások

Klasszikus alkalmazások Klasszikus alkalmazások Termelésoptimalizálás Hozzárendelési probléma: folytonos eset Arbitrázsárazás p. Termelésoptimalizálás A gazdasági élet és a logisztika területén gyakran találkozunk lineáris optimalizálási

Részletesebben

Online jegyzet az Egészérték Programozás I. és II. tárgyhoz

Online jegyzet az Egészérték Programozás I. és II. tárgyhoz Online jegyzet az Egészérték Programozás I. és II. tárgyhoz Király Tamás, Kis Tamás és Szeg László October 25, 2013 Egészérték programozás I. vizsgatematika 2013. tavasz 1. Az egészérték lineáris programozási

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2007/2008-as tanév 2. forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2007/2008-as tanév 2. forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév. forduló haladók I. kategória Megoldások

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

Tartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév

Tartalom. Descartes-koordináták. Geometriai értelmezés. Pont. Egyenes. Klár Gergely tremere@elte.hu. 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Egyenes Sík Háromszög Gömb 2010/2011. tavaszi félév Descartes-koordináták Geometriai értelmezés

Részletesebben

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Készítette: Dr. Ábrahám István A játékelmélet a 2. század közepén alakult ki. (Neumann J., O. Morgenstern). Gyakran

Részletesebben

Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees

Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees Matematikai Lapo / Borító 2013. december 13. 19:28:39 13-1-borito 2014/5/20 11:55 page 0 #1 MATEMATIKAI LAPOK A Bolyai János

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602)

Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602) Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602) harmadik (2008. szeptember 15-i) előadásának jegyzete Készítette: Papp Tamás PATLACT.SZE KPM V. HEURISZTIKUS FÜGGVÉNYEK ELŐÁLLÍTÁSA Nagyon fontos

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG MÁTRIX DEFINITSÉGÉNEK FOGALMA ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG ELDÖNTÉSÉRE DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-..1.B-10//KONV-010-0001

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! 5. gyakorlat Lineáris leképezések Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! f : IR IR, f(x) 5x Mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez? x, x IR, f(x +

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. Számfogalmak kialakítása:

Részletesebben

Nemlineáris optimalizálás

Nemlineáris optimalizálás Nemlineáris optimalizálás Rapcsák Tamás 2005. Előszó A Nemlineáris optimalizálás című anyag a gazdaságmatematikai elemző közgazdász hallgatók számára készült és egyrészt a matematikai alapozó kurzusokra

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Juhász Tibor. Lineáris algebra

Juhász Tibor. Lineáris algebra Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 2. forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 2. forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 010/011-es tanév. forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Egy sportversenyen

Részletesebben

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (c) Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Utolsó módosítás: 2015. január 17. 1 Az elektromágneses hullámok visszaverődési és törési törvényei (1) Kérdés: Mi történik

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Differenciálegyenletek a hétköznapokban

Differenciálegyenletek a hétköznapokban Differenciálegyenletek a hétköznapokban BSc Szakdolgozat Írta: Gondos Réka Matematika BSc, alkalmazott matematikus szakirány Témavezető: Besenyei Ádám adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Beadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját!

Beadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Beadható feladatok 2006. december 4. 1. Feladatok 2006. szeptember 13-án kitűzött feladat: 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Adott I 1,..., I n [0, 1] intervallumokból szeretnénk

Részletesebben

Bevezetés 3. Vizsga tételsor 5. 1 Komplex számok 6. 2 Lineáris algebra 10. 2.2Vektorterek 11

Bevezetés 3. Vizsga tételsor 5. 1 Komplex számok 6. 2 Lineáris algebra 10. 2.2Vektorterek 11 Bevezetés a számításelméletbe 1. A BME I. éves mérnök-informatikus hallgatói számára segédlet a 2007. őszi előadáshoz Összeállította: Fleiner Tamás Utolsó frissítés: 2010. január 13. Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Oktatási segédlet. Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra. Dr. Jármai Károly.

Oktatási segédlet. Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra. Dr. Jármai Károly. Oktatási segédlet Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra a Létesítmények acélszerkezetei tárgy hallgatóinak Dr. Jármai Károly Miskolci Egyetem 013 1 Acél- és alumínium-szerkezetek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel!

Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! SZAKDOLGOZAT Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! Simon Ju lia Matematika BSc., tana ri szakira ny Te mavezeto : Besenyei A da m adjunktus Alkalmazott Analı zis e s Sza mı ta smatematikai Tansze k Eo

Részletesebben

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2012 13-as tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a javító

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

1. Vizsgálat az időtartományban. 1.1. Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját!

1. Vizsgálat az időtartományban. 1.1. Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját! . Vizsgálat az időtartományban.. Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját! x x x xy x [ k ] x b( c eg x x gf u [ k ] x ( bd beh x x fh [ k ] bx( c

Részletesebben

8. előadás EGYÉNI KERESLET

8. előadás EGYÉNI KERESLET 8. előadás EGYÉNI KERESLET Kertesi Gábor Varian 6. fejezete, enyhe változtatásokkal 8. Bevezető megjegyzések Az elmúlt héten az optimális egyéni döntést elemeztük grafikus és algebrai eszközökkel: a preferenciatérkép

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

1. Lineáris leképezések

1. Lineáris leképezések Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá

Részletesebben

A kvantummechanika általános formalizmusa

A kvantummechanika általános formalizmusa A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában

Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában Nagy V. Gábor SZTE Bolyai Intézet Eötvös Loránd Kollégium, Matematika Műhely Szeged, 2013. október 25. ELK 13 A Gyárfás Lehel-sejtés 1/21 Definíció. A G 1,...,

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 9. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 6. Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (9. gyakorlat Bázistranszformáció és alkalmazásai (folytatás Tartalom Bázistranszformáció

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor. Miskolci Egyetem, 2002.

Készítette: Fegyverneki Sándor. Miskolci Egyetem, 2002. INFORMÁCIÓELMÉLET Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2002. i TARTALOMJEGYZÉK. Bevezetés 2. Az információmennyiség 6 3. Az I-divergencia 3 3. Információ és bizonytalanság

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben