1. Vizsgálat az időtartományban Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját!

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. Vizsgálat az időtartományban. 1.1. Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját!"

Átírás

1 . Vizsgálat az időtartományban.. Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját! x x x xy x [ k ] x b( c eg x x gf u [ k ] x ( bd beh x x fh [ k ] bx( c be eg x fg x fx u x ( abeg ( bd beh bca x fh x x afg u a be f x x y T C x A [ abeg bca afg] x [ a ] u D B u format compact a-.7;b.5;c.6;d.6;e-.7;f.5;g.5;h.7; clc A[b*(ce*g g*f; b*(de*h f*h; b*e f].5 A Határozza meg a sajátértékeket! Döntse el, hogy stabilis-e a hálózat! Ha nem stabilis, változtasson meg erősítést (esetleg többet úgy, hogy a hálózat stabilis legyen, majd oldja meg újra az..feladatot! A hálózaton végzett módosítással nem csökkentheti a hálózat rendjét, nem teheti triviálissá a hálózatot, és nem vehet fel további komponenst! Minden további feladatot az így stabilissá tett hálózaton végezzen el! A karakterisztikus egyenlet: λ.5.5 ( λe A.55 λ.5 det.5 λ.5 λ λ.,5 j.88 λ.,5 j.88 Mivel a sajátértékek abszolútértéke kisebb egynél, a rendszer aszimptotikusan stabil, ezért erősítések megváltoztatása felesleges. A mátrixok:.5.5 A.55.5 T B C [ ] U

2 format compact a-.7;b.5;c.6;d.6;e-.7;f.5;g.5;h.7; clc A[b*(ce*g g*f; b*(de*h f*h; b*e f],eig(a B[; ; ], CT[a*b*e*gb*c*a a*f*g], Da

3 .. Az állapotváltozós leírás ismeretében számítsa ki és ábrázolja az impulzusválaszt a k,,,...ütemre! Adja meg az impulzusválaszt analitikus alakban is! Az impulzusválasz: h [ k] y[ k], ha u[ k] δ[ k] és x [ ] x[ k ] x,5 x x,5 u x[ k ] x,55 x x,5 u x[ k ] x (,5 x,5 u y x (,875 x x (,75 u (,7 k x[k] x[k] x[k] s[k] y[k],,, -,7,,, -,875,5,55 -,5 -,7 -,7875 -,565 -,875 -,465 Az impulzusválasz zárt alakját a h T k [ k] C A B formula segítségével nyerjük. Ennek felírásához szükség van az A állapotmátrix hatványaira. Ezeket az A Lagrange-mátrixainak segítségével kapjuk. Az i-ik Lagrange-mátrixot esetünkben A Li λ A λ E i n i p λi λ p adja, ahol n az A mátrix dimenziója, I n az n dimenziójú egységmátrix, valamint i és n- közötti, tehát esetünkben i, vagy. A kapott Lagrange-mátrixok: L i i i i.744.7i Az A mátrix hatványait ezek után a Lagrange-mátrixaival írjuk fel: i L i i L i i T k k T k T k [ ] C ( L λ L B C λ L B C L B h k amelyben a mátrixok szorzását elvégezve kapjuk, hogy h λ λ k [ ] (,65-,6i k k λ (,65 λ,6i Ebbe behelyettesítjük a sajátértékeket, és áttérünk exponenciális alakra: h j59.7 j6, k j59.7 j6, k [ k],75 e (,87 e,75 e (,87 e Innen az Euler-formula vagy a kétszeres valós rész módszer segítségével nyerjük az impulzusválasz időfüggvényének végső alakját: *

4 k [ ],4,87 cos( 6, ( k 59,7 h k Ez azonban csak k> esetén érvényes. A k és k esetre a fenti táblázat eredményeit kell használni, melyeket a behelyettesítés módszerével számoltunk. A kapott eredmény: ( k [ ],7δ [ k],875δ [ k ] ε[ k ],4,87 cos( 6, ( k 77, h k k h[k] -,7 -,875,4,7, -, -, -,9 -, - 8,4956E- 6,9E- 5. Impulzus válasz h[k] k Az x tengely beosztása -el kezdődik, az első természetesen a nulladik elem, csak az értékek ábrázolása során a Matlab autómatikusan eggyel kezdi az indexelést. a-.7;b.5;c.6;d.6;e-.7;f.5;g.5;h.7; clc A[b*(ce*g g*f; b*(de*h f*h; b*e f] B[; ; ], CT[a*b*e*gb*c*a a*f*g], Da % mátrixok megadása lambdaeig(a % sajátértékek számítása produkt;p; % paraméterek kezdőértékeinek megadása nsize(a;nn(; % n számítása, ahol A egy nxn-es mátrix Lagrangezeros(n,n,n; for i:n % Lagrange mátrixok képklet szerinti kiszámítása produkt; % a szorzat kezdőértékét egyre állítjuk for p:n if p~i 4

5 produktprodukt*(a-lambda(i*eye(n/(lambda(i-lambda(p; end end if lambda(i~ Lagrange(:,:,iA./lambda(i*produkt; else Lagrange(:,:,i; % Nulla sajátérték esetén nem értelmezett! end end Lagrange % ez már csak a kiíratás % Impulzusválasz számítása diszkrét esetben for i:n ht(ict*lagrange(:,:,i*b; end ht % Diszkrét impulzusválasz ábrázolása hk(-.7;hk(-.875; for i:n for k:: hk(kabs(ht(i*abs(lambda(i^(k-*cos(angle(lambda(i*(k-angle(ht(i; end end stem(hk title('impulzus válasz'; xlabel('k';ylabel('h[k]'; 5

6 .4. A hálózat gerjesztése : s[k] ε[k](f Gp k. Határozza meg a választ az impulzusválasz ismeretében a k,,...5 értékekre! F G p.9 s[k] ε[k](f Gp k k vagyis u[ k] ε [ k] (. 9 k u[k] 5 4, h[k] -,7 -,875,96,689,7 -, -, y[k] -,5 -,7975 -,4 -,899 -,795 -,76 i bármely [ k] u[ i] [ k i] u δ, tehát: [ k] h[ k i] u[ i] h[ p] u[ k p] i y, ha és i Belépő gerjesztés és kauzális rendszer esetén y 5 5 ( (.9 i [ 5],7δ [ i],875δ [ i ] ε[ i ],4,87 cos( 6, ( i 77, i y[]h[] u[]-,7*5-,5 y[]h[] u[] h[] u[]-,6-,475-,7975 y[]-,7*4,6-4,8*,875-5*,96-,4 y[]-,7*4,458-,875*4,6,96*4,8,698*5-,899 y[4] -,7*4,-,875*4,458-,96*4,6,698*4,8,7*5-,795 y[5]-,7*4,8-,875*4,-,96*4,458-,698*4,6,7*4,8-,*5-,76 %A hálózat gerjesztése u[k]epszilon[k](fg*p^k gerjesztésre % k... 5, F, G, p.9 F,G,p.9; uk(5 for i:6 uk(ifg*p^(i-; % az indexelés miatt ki kell vonni egyet end hk[h( h( h( h(4 h(5 h(6]; yconv(uk,hk 6

7 Vizsgálat a frekvenciatartományban.. Határozza meg a hálózat átviteli karakterisztikáját a hálózatra felírt frekvenciatartománybeli egyenletek alapján! Adja meg és ábrázolja az amplitúdó karakterisztikát a (-π,π tartományon! A frekvenciatartománybeli egyenletek: Xˆ e Xˆ e Xˆ e Y Xˆ Xˆ Xˆ A válasz: Y.5 Xˆ.55 Xˆ.5 U.5 Xˆ ( ˆ.5 X.5 (.875 Xˆ Xˆ (.75 U (.7 ( 8e e.8e.8 Amiből: 4e 5e e Y ( ( 8e e.8e.8 e U Xˆ Xˆ Xˆ U.5.5 e j 4e -.8U -.e U j 4e 5e e 4U 4e 5e.7.55e.e.95e.65e.5e H U Átalakítva az H ϑ e j 4e 5e e cosϑ jsinϑ összefüggés alapján: ϑ cos ( ( ϑ -.cos( ϑ.95cos( ϑ e j.65cos ( ϑ.5cos( ϑ j(.65sin( ϑ.5sin( ϑ j(.55sin( ϑ -.sin( ϑ.95sin( ϑ ( ϑ.5cos( ϑ j(.65sin( ϑ.5sin( ϑ.65cos Amplitúdó karakterisztika: K ( ϑ H( e ϑ ϑ U - Ue 4e 5e K ( ϑ (-.7.55cos( ϑ -.cos( ϑ.95cos( ϑ ( ϑ.5cos( ϑ (.65sin ϑ.5sin ϑ (.55sin( ϑ -.sin( ϑ.95sin( ϑ ( ϑ.5cos( ϑ (.65sin ϑ.5sin ϑ (.65cos ( ( (.65cos ( ( 7

8 .9 Amplitúdó karakterisztika.8 abs(h *pi -/*pi -pi -/*pi /*pi pi /*pi *pi teta 4 Fázis karakterisztika fázisszög *pi -/*pi -pi -/*pi /*pi pi /*pi *pi teta telinspace(-*pi,*pi; %tetha eteexp(j*te; %e-ad j tetha H((-8*ete.^*ete.^-.8*ete-.8./(4*ete.^-5*ete.^-ete; atabs(h; anangle(h; subplot(; plot(te,at; title('amplitúdó karakterisztika'; xlabel('teta';ylabel('abs(h'; grid; subplot(; plot(te,an; title('fázis karakterisztika'; xlabel('tetha';ylabel('fázisszög'; grid; 8

9 .. Az s[k] Scos(ϑ o k ρ gerjesztőjel esetére határozza meg a válasz gerjesztett összetevőjének időfüggvényét! Ábrázolja az s[k] és az y g [k] jeleket a k,,,... értékekre! Vizsgálja meg, hogy periodikusak-e a jelek, és ha igen, adja meg a periódust! Mi a feltétele annak, hogy az y g [k] jelnek legyen fizikai tartalma? S ϑ ρ A gerjesztést továbbra is u-val jelölve: u[k]4,5cos(π/5*k,π 4,5 π/5,π Ebből látható, hogy a jel periodikus, K periódussal. A koszinusz argumentumából következik, hogy ez a legkisebb olyan érték, amelyre s[k] s[kk] teljesül, ugyanis ekkor lesz π/5*k egész számú többszöröse π-nek. A hálózatot a θ π/5 körfrekvencián, szinuszos állandósult állapotban vizsgáljuk. Ekkor a hálózat válasza Y H* U, ahol H a hálózat átvitele a vizsgált körfrekvencián. Ezt az átvitelt az átviteli karakterisztikába való behelyettesítéssel nyerjük. Az átviteli karakterisztika értéke a ϑ π / 5 körfrekvencián: ( ( 8e e.8e.8 e H 4e 5e j o j68. H( e ϑ.78 e o A hálózat gerjesztett (állandósult állapotbeli válaszát a θ körfrekvencián a y k] u[ k] H( e adja. Így a gerjesztett válasz: y g e π [ k] 4,5,78 cos k,k g [ egyenlet A válasz kiszámításához felhasználtuk az átviteli karakterisztika egy adott körfrekvenciához tartozó értékét. Ez csak akkor ad fizikailag értelmes eredményt, ha tudjuk, hogy a hálózat gerjesztés-válasz stabilis. Ellenkező esetben ugyanis előfordulhat, hogy az átviteli karakterisztikába való behelyettesítéssel kapott eredmény nem valósulhat meg, vagy csak valamilyen fizikailag nem megvalósítható, labilis határhelyzetben jöhet létre. A gerjesztés és az állandósult állapotbeli válasz értékei és ábrázolása: k u[k] 4,499 4,,986,4649,79,9975,55,847 -,754 -,66 -,494 y[k] -,48 -,69 -,54 -,898 -,569 -,58 -,446 -,84 -,55,5579,69 9

10 6 Gerjesztés 4 u[k] teta Válasz y[k] teta tepi/5; eteexp(j*te; %e-ad j theta H((-8*ete.^*ete.^-.8*ete-.8./(4*ete.^-5*ete.^-ete; tx::; u4.5*cos(tx*pi/5./pi;% A szöget radiánba átváltom yabs(h*4.5*cos(tx*pi/5./piangle(h; subplot(; stem(u; title('gerjesztés'; xlabel('teta';ylabel('u[k]'; grid; subplot(; stem(y; title('válasz'; xlabel('teta';ylabel('y[k]'; grid;

11 .. Egy 6 periódusú s[k] gerjesztőjel egy periódusának értékei a mellékelt táblázatban adottak. Határozza meg ezen gerjesztőjel Fourier sorának valós és komplex alakját, és ellenőrizze, hogy a Fourier sorral számított értékek valóban az adott s[k] értékeket szolgáltatják! A megadott gerjesztés egy periódusa (k 5-ig: k 4 5 u[k] A Fourier-sor komplex alakja: f k K jiϑk π π F i e ϑ K [ ] k Az együtthatókat a következő képletek adják: K K k ji k F f [ k] F i f [ k] e K ϑ K k < i K A valós együtthatók a következő összefüggések alapján határozhatók meg a komplexekből: F A B A B K F F Fi Re{ F i } Fi Im{ F i } < i A B * * F K / FK / F K / U 4 U U 5 U Esetünkben K 6. A képletek felhasználásával kiszámítjuk a táblázatban szereplő s[k] értékekhez tartozó Si komplex Fourier-együtthatókat. A matab is ezt a számítási módot használja a fast fourier transform fft( függvényében: X(k sum x(n*exp(-j**pi*(k-*(n-/n, < k < N u A komplex Fourier sor együtthatói: i i -.5 (Az i és i K/ sorszámú Fourier-együtthatók szükségszerűen valósnak. π Avalós Fourier sor együtthatói B U i A U i U. [ ] [ ] A teljes Fourier sor: π π π [ k ]. - 4cos k.547sin k.cos k.94sin k.5cos ( k π Az azonos körfrekvenciájú tagok összevonása után (a szögek radiánban értendők: π π u[ k] cos k cos k.47.5cos( k π u[- - 8 ]; %A megadott gerjesztés fsfft(u/6 fa*real(fs

12 fb-*imag(fs amp*abs(fs angangle(fs sor[fs( amp( amp( abs(real(fs(4; ang( ang( ang(4] *cos(k*pi/ *cos(k**pi/.47.5*cos(k*pi.46%ellenőrzésj

13 .4. Határozza meg a fenti periodikus gerjesztéshez tartozó válasz gerjesztett összetevőjének valós alakú Fourier sorát, adja meg és ábrázolja egy periódusának értékeit! u π [ k] cos k cos k.47.5cos( k π A hálózat linearitása miatt az ezen gerjesztésre adott választ úgy határozhatjuk meg, hogy a különböző frekvenciákra külön-külön meghatározzuk az átvitelt. Ezek segítségével a gerjesztésben szereplő körfrekvenciákon megkapjuk a válaszbeli komponenseket, amelyek szuperponálása a hálózat válaszát adja. A gerjesztett válasz kifejtése: y g -j [ k]. 66H( e 5cos. jπ ( k π H( e y g π j [ k] H( e ϑ U π π π j π j. k. H e 46cos cos k 47. H e A megoldást a táblázatban foglaljuk össze (a szögek továbbra is radiánban értendők: θ H φ H U φ U Y φ Y,886 -,667 8,97 π/,66 66,5 4,6 6,9,546 9,95 *π/,87 77,6,6667 6,5 7,6 π,788,5 8,78 8 A gerjesztett válasz teljes alakja: y g [ k],97,546cos( 9,95,5cos( 7,6,78 cos( 8

14 Gerjesztés - y[k] tetha 4

15 clc,format compact; te[ pi/ *pi/ pi]; eteexp(-j*te; H((-8*ete.^*ete.^-.8*ete-.8./(4*ete.^-5*ete.^-ete; atabs(h ftangle(h %Ábrázolás tx[ 4 5]; Yat(*sor(,*cos(ft(at(*sor(,*cos(tx*pi/sor(,ft(at(*sor(,*c os(*tx*pi/sor(,ft(at(4*sor(,4*cos(tx*pisor(,4ft(4 stem(y; title('gerjesztés'; xlabel('tetha';ylabel('y[k]'; grid; 5

16 .5. Az..-ban kiszámított impulzusválasz Fourier transzformálásával határozza meg az impulzusválasz komplex spektrumát, és hozza azt polinom/polinom alakra! Vesse az eredményt össze.. eredményével! A h[h] Fourier-transzformáltja: F [ ] e. 66e { h k } H( e.7e.875e,7875e Közös nevezőre hozva, és az azonos kitevőjő e-ados tagokat összevonva: e. 77e.7.55e.e.95e.65e.5e Az átviteli karakterisztika ismeretében írja fel a hálózat rendszeregyenletét! Az eltolási tételt: F x[ k ] { } e X ( e -t alkalmazzuk tagonként Y Inverz Fourier-transzformáció után: F Y.7.55e.e ( e H U.65e.5e.95e (.65e.5e U(.7.55e.e.95e j { Y(.65e.5e U(.7.55e.e.95e ϑ } Rendszeregyenlet az átviteli karakterisztika ismeretében: y [ k].65y[ k ].5y[ k ].7u [ k].55u [ k ].u[ k ].95u [ k ] 6

17 . Vizsgálat a komplex frekvenciatartományban.. Határozza meg a hálózat átviteli függvényét a z-tartománybeli egyenletek felírása vagy az állapotváltozós leírás alapján! Vesse össze az eredményt az átviteli karakterisztika kifejezésével! A hálózatra felírt z-tartománybeli egyenletek a z e jθ helyettesítés mellett megegyeznek a hálózatra a.. pontban felírt frekvenciatartománybeli egyenletekkel. Ezért az átviteli függvény is megegyezik az átviteli karakterisztikával, ha abba e jθ helyett z-t írunk. Ez a helyettesítés a hálózat kauzalitása (impulzusválaszának belépő tulajdonsága miatt indokolt. Így az átviteli függvény: H ( ( 8z z.8z.8 z 4z 5z z 7

18 .. Határozza meg az átviteli függvény zérusait és pólusait! Ábrázolja a pólus - zérus elrendezést! Vizsgálja meg ennek alapján a hálózat gerjesztés- válasz stabilitását! Az átviteli függvény számlálójának zérushelyei a zérusok: >> roots([ ] z i z i z -.4 Ezek abszolútértéke -nél kisebb, avagy a rendszer G-V stabilis mert minden pólus az egységkörön belülre esik, összhangban az.. pontban kapott eredménnyel. Az átviteli függyvény nevezőjének gyökei a pólusok: >> roots([4-5 - ] p p.667 p -.77 A pólus-zérus elrendezést a következő ábra szemlélteti: sz[ ],n[4-5 - ],pzmap(sz,n 8

19 .. Határozza meg az átviteli függvény alapján a hálózat impulzusválaszát analitikus alakban, és vesse össze az eredményt az..-ban kapottal! Ellenőrizze az eredményt k,,...5-re polinom-osztáson alapuló inverz transzformációval! Végezzünk el egy polinom osztást: H H H 8z z.8z.8 4z 5z z.5z.5z 4z 5z.8z z ( z.7 z.775z.75z 4z 5z z ( z z z A z B z.77 ( z z z C z.667 H z z.5 z z z z.667 ( z z z Ezt követően elvégezhető az inverz z transzformáció Z - {H[z]}: H k ( k [ k] Z { H( z }.7δ [ k].875δ [ k ] ε[ k ].5 ( (.667 k h[k] , ,5 -,,46 -,968 Az.-ban kapott eredmények: ( k [ ],7δ [ k],875δ [ k ] ε[ k ],78,87 cos( 6, ( k 77, h k k h[k] -,7 -,875,4,7, -, -, -,9 -, - 8,4956E- 6,9E- 5 Ezekkel összevetve megállapíthatjuk, hogy a válasz a. és. ütemben teljesen megegyezik a fentebb számolttal, míg a további ütemekben apró eltérést ad a kerekítési hibákból adódóan. Ellenőrzés polinom osztással: H.775z.75z 4z 5z z ( z z z.55z.775z z.975z z 4z 5z z z.86z z.975z.8685z z 4z 5z z 9

20 z. 975z. 8685z.4856z z 4z 5z z

21 .4. Határozza meg a választ analitikus alakban, ha a gerjesztő jel: s[k[ ε[k] (F Gp k! F G p.9 u[k] ε[k](f Gp k k vagyis u[ k] ε [ k] (. 9 U ( z Z{ u[ k] } z z z z.9 A szorzást elvégezve: Y Y z ( ( 8z z ( z z ( z z Y 8z z.8z.8 4z 5z z z z z z.9 ( z H( z U( z z.8z z.8 z 8z z z z.8z z.8 ( z.66 ( z.77 ( z z ( z.66 ( z.77 ( z z 6z 4z.4z 56z 4z.6z 7.6z 4 4 4z 65z 4z z 4z 6z.5z.9z Parciális törtekre bontás: Y ( z -,798 z -,4,448 z -,477 -,5 z -,476 Inverz transzformálás után a válasz: Y,4 z - -,9 z -,94,658 z -,4574 k k k ( z ε[ k]( -,798,4,448,477 -,5,476 9,8444δ [ k] k k k ε[ k]( -,9,94,658,4574 9,89,48-9,89 z -,48 8,4444 z -

22 .5. Adjon meg egy olyan kanonikus hálózatot, amelynek a vizsgálttal megegyező az átviteli függvénye, és adja meg a hálózat rendszeregyenletét! A hálózat Y.7.55e.e.95e H( e U.65e.5e átviteli függvényét megvalósító egy lehetséges kanonikus kapcsolást a következő ábra mutatja: A hálózat rendszeregyenlete y [ k].65y[ k ].5y[ k ].7u [ k].55u [ k ].u[ k ].95u [ k ] ami természetesen megegyezik a.6. pontban kapott eredménnyel. -.7 u[k] y[k] D D -. D -.95

23 .6. A rendszeregyenlet alapján a fokozatos behelyettesítés módszerével ellenőrizze a.4.feladat megoldását a k,,,...8 ütemre! A hálózatra korábba felírt egyenlet: y k.65y k.5y k.7u k.55u k.u k.95u k [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] k u[k] 5 4,8 4,6 4,458 4, 4,8 4,69,9566,869,7748,6974 y[k] -,5 -,7975 -,4 -,899 -,795 -,76 -,64 -,79 -,656 -,68 -,5987 Ugyanezt az eredményt kapjuk a.4. pontban kapott formulából, a rendszeregyenletbe és az állapotegyenletekbe való fokozatos behelyettesítésből, és az.4. pontban, ahol csak a > k> 5 tartományt tekintettük, nagyjából ugyanezt kaptuk diszkrét konvolúcióval is.

24 A javító megjegyzései: 4

Jelek és Rendszerek 2. Kidolgozott Témakörök

Jelek és Rendszerek 2. Kidolgozott Témakörök Gábor Norbert és Kondor Máté András 2012 január Előszó, figyelmeztetés, jogi nyilatkozat, stb. 1. Ez nem hivatalos jegyzet! Nem oktatók írták! Hibák előfordulahatnak! 2. Ez nem a hivatalos tananyag, vagy

Részletesebben

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Z UNIVERSITAS-GYŐR Kht. Győr, 25 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR TÁVKÖZLÉSI TANSZÉK Egyetemi jegyzet Írta:

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

LTI Rendszerek Dinamikus Analízise és Szabályozásának Alapjai

LTI Rendszerek Dinamikus Analízise és Szabályozásának Alapjai Diszkrét és hibrid diagnosztikai és irányítórendszerek LTI Rendszerek Dinamikus Analízise és Szabályozásának Alapjai Hangos Katalin Közlekedésautomatika Tanszék Rendszer- és Irányításelméleti Kutató Laboratórium

Részletesebben

XII. MAGYAR MECHANIKAI KONFERENCIA MaMeK, 2015 Miskolc, 2015. augusztus 25-27. SZÁN SZABÁLYOZÁSÁNAK HATÁSA AZ ESZTERGÁLÁS REGENERATÍV REZGÉSEIRE

XII. MAGYAR MECHANIKAI KONFERENCIA MaMeK, 2015 Miskolc, 2015. augusztus 25-27. SZÁN SZABÁLYOZÁSÁNAK HATÁSA AZ ESZTERGÁLÁS REGENERATÍV REZGÉSEIRE XII. MAGYAR MECANIKAI KONFERENCIA MaMeK, 205 Miskolc, 205. augusztus 25-27. SZÁN SZABÁLYOZÁSÁNAK ATÁSA AZ ESZTERGÁLÁS REGENERATÍV REZGÉSEIRE Lehotzky Dávid, Insperger Tamás 2 és Stépán Gábor 3,2,3 Budapesti

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

DIFFERENCIAEGYENLETEK

DIFFERENCIAEGYENLETEK DIFFERENCIAEGYENLETEK A gazdaság változómennyiségeit (jövedelem, fogyasztás, beruházás,...) általában bizonyos időszakonként (naponta, hetente, havonta, évente) figyeljük meg. Ha ezeket a megfigyeléseket

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! 5. gyakorlat Lineáris leképezések Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! f : IR IR, f(x) 5x Mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez? x, x IR, f(x +

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

ELŐFESZÍTETT VASBETON TARTÓ TERVEZÉSE AZ EUROCODE SZERINT

ELŐFESZÍTETT VASBETON TARTÓ TERVEZÉSE AZ EUROCODE SZERINT BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőmérnöki Kar Hidak és Szerkezetek Tanszéke ELŐFESZÍTETT VASBETON TARTÓ TERVEZÉSE AZ EUROCODE SZERINT Segédlet v1.14 Összeállította: Koris Kálmán Budapest,

Részletesebben

Differenciálegyenletek a hétköznapokban

Differenciálegyenletek a hétköznapokban Differenciálegyenletek a hétköznapokban BSc Szakdolgozat Írta: Gondos Réka Matematika BSc, alkalmazott matematikus szakirány Témavezető: Besenyei Ádám adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Huroktörvény általánosítása változó áramra

Huroktörvény általánosítása változó áramra Huroktörvény általánosítása változó áramra A tekercsben indukálódott elektromotoros erő: A tekercs L önindukciós együtthatója egyben a kör önindukciós együtthatója. A kondenzátoron eső feszültség (g 2

Részletesebben

Feszített vasbeton gerendatartó tervezése költségoptimumra

Feszített vasbeton gerendatartó tervezése költségoptimumra newton Dr. Szalai Kálmán "Vasbetonelmélet" c. tárgya keretében elhangzott előadások alapján k 1000 km k m meter m Ft 1 1 1000 Feszített vasbeton gerendatartó tervezése költségoptimumra deg A következőkben

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Irányítástechnika. II. rész. Dr. Turóczi Antal turoczi.antal@nik.uni-obuda.hu

Irányítástechnika. II. rész. Dr. Turóczi Antal turoczi.antal@nik.uni-obuda.hu Irányítástechnika II. rész Dr. Turóczi Antal turoczi.antal@nik.uni-obuda.hu Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok Lineáris tagok modellje Differenciálegyenlettel

Részletesebben

Fourier-analízis alkalmazása a digitális holográfiában

Fourier-analízis alkalmazása a digitális holográfiában Fourier-analízis alkalmazása a digitális holográfiában Diplomamunka Tóth Erzsébet Rita alkalmazott matematikus, matematika tanár szakos hallgató Témavezetők: Dr. Orzó László Róbert, tudományos főmunkatárs

Részletesebben

A műszaki rezgéstan alapjai

A műszaki rezgéstan alapjai A műszaki rezgéstan alapjai Dr. Csernák Gábor - Dr. Stépán Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanikai Tanszék 2012 Előszó Ez a jegyzet elsősorban gépészmérnök hallgatóknak

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

Az aperturaantennák és méréstechnikájuk

Az aperturaantennák és méréstechnikájuk Az aperturaantennák és méréstechnikájuk (tanulmány) Szerzők: Nagy Lajos Lénárt Ferenc Bajusz Sándor Pető Tamás Az aperturaantennák és méréstechnikájuk A vezetékmentes hírközlés, távközlés és távmérés egyik

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

, &!!! )! ),!% ), &! )..! ). 7!# &!!,!! 6 ) &! & 6! ) &!! #! 7! ( % ) ) 0!! ) & 6 # &! #! 7.!#! 9 : %!!0!

, &!!! )! ),!% ), &! )..! ). 7!# &!!,!! 6 ) &! & 6! ) &!! #! 7! ( % ) ) 0!! ) & 6 # &! #! 7.!#! 9 : %!!0! !!#!! % & (! )!!! ) +, &!!! )! ),!% ), &! )..! ). /% 0) / # ) ( ), 1!# 2 3 4 5 (!! ( 6 # 7!# &!!,!! 6 ) &! & 6! ) &!! #! 7! 8!!,!% #(( 1 6! 6 # &! #! # %& % ( % ) ) 0!! ) & 6 # &! #! 7.!#! 9 : %!!0!!!,

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

Az ablakos problémához

Az ablakos problémához 1 Az ablakos problémához A Hajdu Endre által felvetett, egy ablak akadályoztatott kinyitásával kapcsolatos probléma a következő. Helyezzünk el egy d oldalhosszúságú, álló, négyzet alapú egyenes hasábot

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

2. ábra Soros RL- és soros RC-kör fázorábrája

2. ábra Soros RL- és soros RC-kör fázorábrája SOOS C-KÖ Ellenállás, kondenzátor és tekercs soros kapcsolása Az átmeneti jelenségek vizsgálatakor soros - és soros C-körben egyértelművé vált, hogy a tekercsen késik az áram a feszültséghez képest, a

Részletesebben

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika 2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar. 2015. január 5.

Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar. 2015. január 5. Név, felvételi azonosító, Neptun-kód: VI pont(45) : Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Közös alapképzéses záróvizsga mesterképzés felvételi vizsga Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

Tómács Tibor. Matematikai statisztika

Tómács Tibor. Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly

Részletesebben

REZGÉSDIAGNOSZTIKA ALAPJAI

REZGÉSDIAGNOSZTIKA ALAPJAI TÁMOP-4.1.1.F-14/1/KONV-2015-0006 SZTE Mérnöki Kar Műszaki Intézet, Duális és moduláris képzésfejlesztés alprogram (1a) A rezgésdiagnosztika gyakorlati alkalmazása REZGÉSDIAGNOSZTIKA ALAPJAI Forgács Endre

Részletesebben

A DÖNTÉS SORÁN FENNAKADT FÁK MOZGATÁSA

A DÖNTÉS SORÁN FENNAKADT FÁK MOZGATÁSA A DÖNTÉS SORÁN FENNAKADT FÁK MOZGATÁSA A FENNAKADÁS KÉT TÍPUSA Galgóczi Gyula Hajdu Endre Az alábbiakban a kézi eszközökkel végzett fakitermelés egyik balesetveszélyes mozzanatáról lesz szó. Arról a folyamatról,

Részletesebben

Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees

Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees Matematikai Lapo / Borító 2013. december 13. 19:28:39 13-1-borito 2014/5/20 11:55 page 0 #1 MATEMATIKAI LAPOK A Bolyai János

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Á Á É é é ö é Á Á É Ö Á Á Á é é Á Á é é é é ó ü ó ö ö í é é é é ö í é ó é é ö é é é ü í é é ó ú ú ú ö é ó é í é é é í é é é é ó ö é í ó ö é ü é é ö é ó ó ú ú ó é ö ú ú ú ú ú é ó í é í é í ó í ó í ó é ö

Részletesebben

= szinkronozó nyomatékkal egyenlő.

= szinkronozó nyomatékkal egyenlő. A 4.45. ábra jelöléseit használva, tételezzük fel, hogy gépünk túllendült és éppen a B pontban üzemel. Mivel a motor által szolgáltatott M 2 nyomaték nagyobb mint az M 1 terhelőnyomaték, a gép forgórészére

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Oktatási segédlet. Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra. Dr. Jármai Károly.

Oktatási segédlet. Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra. Dr. Jármai Károly. Oktatási segédlet Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra a Létesítmények acélszerkezetei tárgy hallgatóinak Dr. Jármai Károly Miskolci Egyetem 013 1 Acél- és alumínium-szerkezetek

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET FZKA BSc,. évfolya /. félév, Optika tárgy TERFERECA - ÓRA JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 8. AJÁLOTT SZAKRODALOM: ALAPFOGALMAK Klei-Furtak, Optics Richter, Bevezetés a oder optikába Bor-Wolf, Priciples of

Részletesebben

Elektrotechnika jegyzet

Elektrotechnika jegyzet SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ATOMATIZÁLÁSI TANSZÉK Elektrotechnika jegyzet Elektrotechnika jegyzet Készítette: dr. Hodossy László fiskolai docens eladásai alapján Tomozi György Gyr, 4. - - Tartalomjegyzék

Részletesebben

Rendszeresen használt jelek és rövidítések

Rendszeresen használt jelek és rövidítések Rendszeresen használt jelek és rövidítések a «, együttható a rendszeregyenletben ÍJ, együttható az átviteli karakterisztika és az átviteli függvény nevezőjében A A rendszermátrix (az állapotegyenletben

Részletesebben

Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom

Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom Távvezetékek és síkhullám Reichardt András 2015. április 23. ra (evt/hvt/bme) Emt2015 6. alkalom 2015.04.23 1 / 60 1 Távvezeték

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

(2) A R. 3. (2) bekezdése helyébe a következő rendelkezés lép: (2) A képviselő-testület az önkormányzat összes kiadását 1.1369.

(2) A R. 3. (2) bekezdése helyébe a következő rendelkezés lép: (2) A képviselő-testület az önkormányzat összes kiadását 1.1369. Enying Város Önkormányzata Képviselő-testületének 20/2010. (X. 05.) önkormányzati rendelete az Enying Város Önkormányzatának 2100. évi költségvetéséről szóló 7/2010. (II. 26.) önkormányzati rendelete módosításáról

Részletesebben

Részecskék hullámtermészete

Részecskék hullámtermészete Részecskék ullámtermészete Bevezetés A sugárzás és az anyag egyaránt mutat részecskejellegű és ullámjellegű tulajdonságokat. Atommodellek A Tomson modell J.J. Tomson 1898 A negatív töltésű elektronok pozitív

Részletesebben

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 1 1 Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk Jelfeldolgozás 1 Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 2 Bevezetés 5 Kérdések, feladatok 6 Fourier sorok, Fourier transzformáció 7 Jelek

Részletesebben

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat 1. Egy borfajta alkoholtartalmának meghatározására méréseket végzünk. Az egyes mérések eredményei egymástól független valószínûségi változók, melyek normális eloszlásúak,

Részletesebben

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar 2.3.2.2.1.2 Keresztirányú stabilitás nagy dőlésszögeknél A keresztirányú stabilitás számszerűsítésénél, amint korábban láttuk, korlátozott a metacentrikus magasságra való támaszkodás lehetősége. Csak olyankor

Részletesebben

Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz

Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz Vas Gabriella 204. február A feladatgy jtemény a TÁMOP-4.2.4.A/2-/-202-000 azonosító számú Nemzeti Kiválóság Program Hazai hallgatói, illetve

Részletesebben

V. Gyakorlat: Vasbeton gerendák nyírásvizsgálata Készítették: Friedman Noémi és Dr. Huszár Zsolt

V. Gyakorlat: Vasbeton gerendák nyírásvizsgálata Készítették: Friedman Noémi és Dr. Huszár Zsolt . Gyakorlat: asbeton gerenák nyírásvizsgálata Készítették: Frieman Noémi és Dr. Huszár Zsolt -- A nyírási teherbírás vizsgálata A nyírási teherbírás megfelelő, ha a következő követelmények minegyike egyiejűleg

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

Bemenet modellezése II.

Bemenet modellezése II. Bemenet modellezése II. Vidács Attila 2005. november 3. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 1 Kiszolgálási id k modellezése Feladat: Egy bemeneti modell felállítása egy egy kiszolgálós sorbanállási

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. Számfogalmak kialakítása:

Részletesebben

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék

Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék Széchenyi István Egyetem Szerkezetek dinamikája Alkalmazott Mechanika Tanszék Elméleti kérdések egyetemi mesterképzésben (MSc) résztvev járm mérnöki szakos hallgatók számára 1. Merev test impulzusának

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné

Részletesebben

1. Lineáris leképezések

1. Lineáris leképezések Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák

Részletesebben

9. Áramlástechnikai gépek üzemtana

9. Áramlástechnikai gépek üzemtana 9. Áramlástechnikai gépek üzemtana Az üzemtan az alábbi fejezetekre tagozódik: 1. Munkapont, munkapont stabilitása 2. Szivattyú indítása soros 3. Stacionárius üzem kapcsolás párhuzamos 4. Szivattyú üzem

Részletesebben

TMDK-DOLGOZAT. Stacionárius és rádiófrekvenciás elektromágneses terek vizsgálata a momentumok módszerének segítségével

TMDK-DOLGOZAT. Stacionárius és rádiófrekvenciás elektromágneses terek vizsgálata a momentumok módszerének segítségével TMDK-DOLGOZAT Stacionárius és rádiófrekvenciás elektromágneses terek vizsgálata a momentumok módszerének segítségével Írta: M.Sc. szakos villamosmérnök hallgató Konzulens: Friedl Gergely doktorandusz hallgató,

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. *************** JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ

Részletesebben

Bevezetés az elméleti zikába

Bevezetés az elméleti zikába Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Kontinuumok mechanikája Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011 TARTALOMJEGYZÉK 01 Kontinuumok mechanikája 6 011 A deformálható

Részletesebben

Prizmás impulzuskompresszorok hômérsékleti stabilitásának modellezése

Prizmás impulzuskompresszorok hômérsékleti stabilitásának modellezése Prizmás impulzuskompresszorok hômérsékleti stabilitásának modellezése Tudományos diákköri dolgozat Írta: DOMBI PÉTER Témavezetô: DR. OSVAY KÁROLY JATE Optikai és Kvantumelektronikai Tanszék Szeged 1998.

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Építőkari Matematika A3 1. Ha E(X = 1 és D 2 (X = 5, határozzuk meg (a E[(2 + X 2 ], (b D 2 (4 + 3X értékét. 2. Legyenek X 1, X 2,... független azonos eloszlású

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

A legrövidebb úton úgy tudunk menni az A-ból B-be, hogy csak rézsútosan jobbra és lefele megyünk. (3 pont)

A legrövidebb úton úgy tudunk menni az A-ból B-be, hogy csak rézsútosan jobbra és lefele megyünk. (3 pont) NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 015 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY 9-. OSZTÁLY 015. MÁRCIUS 30. FELADATOK CSAK SZAKKÖZÉPISKOLÁSOKNAK Sz 1. Futár Berci csomagokat szállít Erdőfalván. Most az A pontból kell eljutnia

Részletesebben

Juhász Tibor. Lineáris algebra

Juhász Tibor. Lineáris algebra Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék

Részletesebben

Fourier-transzformáció

Fourier-transzformáció EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Simon Péter Fourier-transzformáció Ez a tanulmány az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával készült (a támogatás száma:

Részletesebben

Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat)

Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) I. Pontszerű test 1. Pontszerű test modellje. Pontszerű test egyensúlya 3. Pontszerű test mozgása a) Egyenes vonalú egyenletes

Részletesebben

Tanulmányozza az 5. pontnál ismertetett MATLAB-modell felépítést és működését a leírás alapján.

Tanulmányozza az 5. pontnál ismertetett MATLAB-modell felépítést és működését a leírás alapján. Tevékenység: Rajzolja le a koordinaátarendszerek közti transzformációk blokkvázlatait, az önvezérelt szinkronmotor sebességszabályozási körének néhány megjelölt részletét, a rezolver felépítését és kimenőjeleit,

Részletesebben

Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből)

Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Fénytan 1 Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Feladatok F. 1. Vízszintes asztallapra fektetünk egy negyedhenger alakú üvegtömböt, amelynek függőlegesen álló síklapját

Részletesebben

(1. és 2. kérdéshez van vet-en egy 20 oldalas pdf a Transzformátorokról, ide azt írtam le, amit én kiválasztanék belőle a zh-kérdéshez.

(1. és 2. kérdéshez van vet-en egy 20 oldalas pdf a Transzformátorokról, ide azt írtam le, amit én kiválasztanék belőle a zh-kérdéshez. 1. A transzformátor működési elve, felépítése, helyettesítő kapcsolása (működési elv, indukált feszültség, áttétel, felépítés, vasmag, tekercsek, helyettesítő kapcsolás és származtatása) (1. és 2. kérdéshez

Részletesebben

EEG készülékek alacsonyfrekvenciás átvitelének vizsgálatára alkalmas mérőkészülék előállítása. Szepes Gábor műszaki informatikai szak 2012

EEG készülékek alacsonyfrekvenciás átvitelének vizsgálatára alkalmas mérőkészülék előállítása. Szepes Gábor műszaki informatikai szak 2012 Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs Technológiai Kar EEG készülékek alacsonyfrekvenciás átvitelének vizsgálatára alkalmas mérőkészülék előállítása Szepes Gábor műszaki informatikai szak 2012 Témavezetők:

Részletesebben

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és

Részletesebben