1. Vizsgálat az időtartományban Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját!

Átírás

1 . Vizsgálat az időtartományban.. Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját! x x x xy x [ k ] x b( c eg x x gf u [ k ] x ( bd beh x x fh [ k ] bx( c be eg x fg x fx u x ( abeg ( bd beh bca x fh x x afg u a be f x x y T C x A [ abeg bca afg] x [ a ] u D B u format compact a-.7;b.5;c.6;d.6;e-.7;f.5;g.5;h.7; clc A[b*(ce*g g*f; b*(de*h f*h; b*e f].5 A Határozza meg a sajátértékeket! Döntse el, hogy stabilis-e a hálózat! Ha nem stabilis, változtasson meg erősítést (esetleg többet úgy, hogy a hálózat stabilis legyen, majd oldja meg újra az..feladatot! A hálózaton végzett módosítással nem csökkentheti a hálózat rendjét, nem teheti triviálissá a hálózatot, és nem vehet fel további komponenst! Minden további feladatot az így stabilissá tett hálózaton végezzen el! A karakterisztikus egyenlet: λ.5.5 ( λe A.55 λ.5 det.5 λ.5 λ λ.,5 j.88 λ.,5 j.88 Mivel a sajátértékek abszolútértéke kisebb egynél, a rendszer aszimptotikusan stabil, ezért erősítések megváltoztatása felesleges. A mátrixok:.5.5 A.55.5 T B C [ ] U

2 format compact a-.7;b.5;c.6;d.6;e-.7;f.5;g.5;h.7; clc A[b*(ce*g g*f; b*(de*h f*h; b*e f],eig(a B[; ; ], CT[a*b*e*gb*c*a a*f*g], Da

3 .. Az állapotváltozós leírás ismeretében számítsa ki és ábrázolja az impulzusválaszt a k,,,...ütemre! Adja meg az impulzusválaszt analitikus alakban is! Az impulzusválasz: h [ k] y[ k], ha u[ k] δ[ k] és x [ ] x[ k ] x,5 x x,5 u x[ k ] x,55 x x,5 u x[ k ] x (,5 x,5 u y x (,875 x x (,75 u (,7 k x[k] x[k] x[k] s[k] y[k],,, -,7,,, -,875,5,55 -,5 -,7 -,7875 -,565 -,875 -,465 Az impulzusválasz zárt alakját a h T k [ k] C A B formula segítségével nyerjük. Ennek felírásához szükség van az A állapotmátrix hatványaira. Ezeket az A Lagrange-mátrixainak segítségével kapjuk. Az i-ik Lagrange-mátrixot esetünkben A Li λ A λ E i n i p λi λ p adja, ahol n az A mátrix dimenziója, I n az n dimenziójú egységmátrix, valamint i és n- közötti, tehát esetünkben i, vagy. A kapott Lagrange-mátrixok: L i i i i.744.7i Az A mátrix hatványait ezek után a Lagrange-mátrixaival írjuk fel: i L i i L i i T k k T k T k [ ] C ( L λ L B C λ L B C L B h k amelyben a mátrixok szorzását elvégezve kapjuk, hogy h λ λ k [ ] (,65-,6i k k λ (,65 λ,6i Ebbe behelyettesítjük a sajátértékeket, és áttérünk exponenciális alakra: h j59.7 j6, k j59.7 j6, k [ k],75 e (,87 e,75 e (,87 e Innen az Euler-formula vagy a kétszeres valós rész módszer segítségével nyerjük az impulzusválasz időfüggvényének végső alakját: *

4 k [ ],4,87 cos( 6, ( k 59,7 h k Ez azonban csak k> esetén érvényes. A k és k esetre a fenti táblázat eredményeit kell használni, melyeket a behelyettesítés módszerével számoltunk. A kapott eredmény: ( k [ ],7δ [ k],875δ [ k ] ε[ k ],4,87 cos( 6, ( k 77, h k k h[k] -,7 -,875,4,7, -, -, -,9 -, - 8,4956E- 6,9E- 5. Impulzus válasz h[k] k Az x tengely beosztása -el kezdődik, az első természetesen a nulladik elem, csak az értékek ábrázolása során a Matlab autómatikusan eggyel kezdi az indexelést. a-.7;b.5;c.6;d.6;e-.7;f.5;g.5;h.7; clc A[b*(ce*g g*f; b*(de*h f*h; b*e f] B[; ; ], CT[a*b*e*gb*c*a a*f*g], Da % mátrixok megadása lambdaeig(a % sajátértékek számítása produkt;p; % paraméterek kezdőértékeinek megadása nsize(a;nn(; % n számítása, ahol A egy nxn-es mátrix Lagrangezeros(n,n,n; for i:n % Lagrange mátrixok képklet szerinti kiszámítása produkt; % a szorzat kezdőértékét egyre állítjuk for p:n if p~i 4

5 produktprodukt*(a-lambda(i*eye(n/(lambda(i-lambda(p; end end if lambda(i~ Lagrange(:,:,iA./lambda(i*produkt; else Lagrange(:,:,i; % Nulla sajátérték esetén nem értelmezett! end end Lagrange % ez már csak a kiíratás % Impulzusválasz számítása diszkrét esetben for i:n ht(ict*lagrange(:,:,i*b; end ht % Diszkrét impulzusválasz ábrázolása hk(-.7;hk(-.875; for i:n for k:: hk(kabs(ht(i*abs(lambda(i^(k-*cos(angle(lambda(i*(k-angle(ht(i; end end stem(hk title('impulzus válasz'; xlabel('k';ylabel('h[k]'; 5

6 .4. A hálózat gerjesztése : s[k] ε[k](f Gp k. Határozza meg a választ az impulzusválasz ismeretében a k,,...5 értékekre! F G p.9 s[k] ε[k](f Gp k k vagyis u[ k] ε [ k] (. 9 k u[k] 5 4, h[k] -,7 -,875,96,689,7 -, -, y[k] -,5 -,7975 -,4 -,899 -,795 -,76 i bármely [ k] u[ i] [ k i] u δ, tehát: [ k] h[ k i] u[ i] h[ p] u[ k p] i y, ha és i Belépő gerjesztés és kauzális rendszer esetén y 5 5 ( (.9 i [ 5],7δ [ i],875δ [ i ] ε[ i ],4,87 cos( 6, ( i 77, i y[]h[] u[]-,7*5-,5 y[]h[] u[] h[] u[]-,6-,475-,7975 y[]-,7*4,6-4,8*,875-5*,96-,4 y[]-,7*4,458-,875*4,6,96*4,8,698*5-,899 y[4] -,7*4,-,875*4,458-,96*4,6,698*4,8,7*5-,795 y[5]-,7*4,8-,875*4,-,96*4,458-,698*4,6,7*4,8-,*5-,76 %A hálózat gerjesztése u[k]epszilon[k](fg*p^k gerjesztésre % k... 5, F, G, p.9 F,G,p.9; uk(5 for i:6 uk(ifg*p^(i-; % az indexelés miatt ki kell vonni egyet end hk[h( h( h( h(4 h(5 h(6]; yconv(uk,hk 6

7 Vizsgálat a frekvenciatartományban.. Határozza meg a hálózat átviteli karakterisztikáját a hálózatra felírt frekvenciatartománybeli egyenletek alapján! Adja meg és ábrázolja az amplitúdó karakterisztikát a (-π,π tartományon! A frekvenciatartománybeli egyenletek: Xˆ e Xˆ e Xˆ e Y Xˆ Xˆ Xˆ A válasz: Y.5 Xˆ.55 Xˆ.5 U.5 Xˆ ( ˆ.5 X.5 (.875 Xˆ Xˆ (.75 U (.7 ( 8e e.8e.8 Amiből: 4e 5e e Y ( ( 8e e.8e.8 e U Xˆ Xˆ Xˆ U.5.5 e j 4e -.8U -.e U j 4e 5e e 4U 4e 5e.7.55e.e.95e.65e.5e H U Átalakítva az H ϑ e j 4e 5e e cosϑ jsinϑ összefüggés alapján: ϑ cos ( ( ϑ -.cos( ϑ.95cos( ϑ e j.65cos ( ϑ.5cos( ϑ j(.65sin( ϑ.5sin( ϑ j(.55sin( ϑ -.sin( ϑ.95sin( ϑ ( ϑ.5cos( ϑ j(.65sin( ϑ.5sin( ϑ.65cos Amplitúdó karakterisztika: K ( ϑ H( e ϑ ϑ U - Ue 4e 5e K ( ϑ (-.7.55cos( ϑ -.cos( ϑ.95cos( ϑ ( ϑ.5cos( ϑ (.65sin ϑ.5sin ϑ (.55sin( ϑ -.sin( ϑ.95sin( ϑ ( ϑ.5cos( ϑ (.65sin ϑ.5sin ϑ (.65cos ( ( (.65cos ( ( 7

8 .9 Amplitúdó karakterisztika.8 abs(h *pi -/*pi -pi -/*pi /*pi pi /*pi *pi teta 4 Fázis karakterisztika fázisszög *pi -/*pi -pi -/*pi /*pi pi /*pi *pi teta telinspace(-*pi,*pi; %tetha eteexp(j*te; %e-ad j tetha H((-8*ete.^*ete.^-.8*ete-.8./(4*ete.^-5*ete.^-ete; atabs(h; anangle(h; subplot(; plot(te,at; title('amplitúdó karakterisztika'; xlabel('teta';ylabel('abs(h'; grid; subplot(; plot(te,an; title('fázis karakterisztika'; xlabel('tetha';ylabel('fázisszög'; grid; 8

9 .. Az s[k] Scos(ϑ o k ρ gerjesztőjel esetére határozza meg a válasz gerjesztett összetevőjének időfüggvényét! Ábrázolja az s[k] és az y g [k] jeleket a k,,,... értékekre! Vizsgálja meg, hogy periodikusak-e a jelek, és ha igen, adja meg a periódust! Mi a feltétele annak, hogy az y g [k] jelnek legyen fizikai tartalma? S ϑ ρ A gerjesztést továbbra is u-val jelölve: u[k]4,5cos(π/5*k,π 4,5 π/5,π Ebből látható, hogy a jel periodikus, K periódussal. A koszinusz argumentumából következik, hogy ez a legkisebb olyan érték, amelyre s[k] s[kk] teljesül, ugyanis ekkor lesz π/5*k egész számú többszöröse π-nek. A hálózatot a θ π/5 körfrekvencián, szinuszos állandósult állapotban vizsgáljuk. Ekkor a hálózat válasza Y H* U, ahol H a hálózat átvitele a vizsgált körfrekvencián. Ezt az átvitelt az átviteli karakterisztikába való behelyettesítéssel nyerjük. Az átviteli karakterisztika értéke a ϑ π / 5 körfrekvencián: ( ( 8e e.8e.8 e H 4e 5e j o j68. H( e ϑ.78 e o A hálózat gerjesztett (állandósult állapotbeli válaszát a θ körfrekvencián a y k] u[ k] H( e adja. Így a gerjesztett válasz: y g e π [ k] 4,5,78 cos k,k g [ egyenlet A válasz kiszámításához felhasználtuk az átviteli karakterisztika egy adott körfrekvenciához tartozó értékét. Ez csak akkor ad fizikailag értelmes eredményt, ha tudjuk, hogy a hálózat gerjesztés-válasz stabilis. Ellenkező esetben ugyanis előfordulhat, hogy az átviteli karakterisztikába való behelyettesítéssel kapott eredmény nem valósulhat meg, vagy csak valamilyen fizikailag nem megvalósítható, labilis határhelyzetben jöhet létre. A gerjesztés és az állandósult állapotbeli válasz értékei és ábrázolása: k u[k] 4,499 4,,986,4649,79,9975,55,847 -,754 -,66 -,494 y[k] -,48 -,69 -,54 -,898 -,569 -,58 -,446 -,84 -,55,5579,69 9

10 6 Gerjesztés 4 u[k] teta Válasz y[k] teta tepi/5; eteexp(j*te; %e-ad j theta H((-8*ete.^*ete.^-.8*ete-.8./(4*ete.^-5*ete.^-ete; tx::; u4.5*cos(tx*pi/5./pi;% A szöget radiánba átváltom yabs(h*4.5*cos(tx*pi/5./piangle(h; subplot(; stem(u; title('gerjesztés'; xlabel('teta';ylabel('u[k]'; grid; subplot(; stem(y; title('válasz'; xlabel('teta';ylabel('y[k]'; grid;

11 .. Egy 6 periódusú s[k] gerjesztőjel egy periódusának értékei a mellékelt táblázatban adottak. Határozza meg ezen gerjesztőjel Fourier sorának valós és komplex alakját, és ellenőrizze, hogy a Fourier sorral számított értékek valóban az adott s[k] értékeket szolgáltatják! A megadott gerjesztés egy periódusa (k 5-ig: k 4 5 u[k] A Fourier-sor komplex alakja: f k K jiϑk π π F i e ϑ K [ ] k Az együtthatókat a következő képletek adják: K K k ji k F f [ k] F i f [ k] e K ϑ K k < i K A valós együtthatók a következő összefüggések alapján határozhatók meg a komplexekből: F A B A B K F F Fi Re{ F i } Fi Im{ F i } < i A B * * F K / FK / F K / U 4 U U 5 U Esetünkben K 6. A képletek felhasználásával kiszámítjuk a táblázatban szereplő s[k] értékekhez tartozó Si komplex Fourier-együtthatókat. A matab is ezt a számítási módot használja a fast fourier transform fft( függvényében: X(k sum x(n*exp(-j**pi*(k-*(n-/n, < k < N u A komplex Fourier sor együtthatói: i i -.5 (Az i és i K/ sorszámú Fourier-együtthatók szükségszerűen valósnak. π Avalós Fourier sor együtthatói B U i A U i U. [ ] [ ] A teljes Fourier sor: π π π [ k ]. - 4cos k.547sin k.cos k.94sin k.5cos ( k π Az azonos körfrekvenciájú tagok összevonása után (a szögek radiánban értendők: π π u[ k] cos k cos k.47.5cos( k π u[- - 8 ]; %A megadott gerjesztés fsfft(u/6 fa*real(fs

12 fb-*imag(fs amp*abs(fs angangle(fs sor[fs( amp( amp( abs(real(fs(4; ang( ang( ang(4] *cos(k*pi/ *cos(k**pi/.47.5*cos(k*pi.46%ellenőrzésj

13 .4. Határozza meg a fenti periodikus gerjesztéshez tartozó válasz gerjesztett összetevőjének valós alakú Fourier sorát, adja meg és ábrázolja egy periódusának értékeit! u π [ k] cos k cos k.47.5cos( k π A hálózat linearitása miatt az ezen gerjesztésre adott választ úgy határozhatjuk meg, hogy a különböző frekvenciákra külön-külön meghatározzuk az átvitelt. Ezek segítségével a gerjesztésben szereplő körfrekvenciákon megkapjuk a válaszbeli komponenseket, amelyek szuperponálása a hálózat válaszát adja. A gerjesztett válasz kifejtése: y g -j [ k]. 66H( e 5cos. jπ ( k π H( e y g π j [ k] H( e ϑ U π π π j π j. k. H e 46cos cos k 47. H e A megoldást a táblázatban foglaljuk össze (a szögek továbbra is radiánban értendők: θ H φ H U φ U Y φ Y,886 -,667 8,97 π/,66 66,5 4,6 6,9,546 9,95 *π/,87 77,6,6667 6,5 7,6 π,788,5 8,78 8 A gerjesztett válasz teljes alakja: y g [ k],97,546cos( 9,95,5cos( 7,6,78 cos( 8

14 Gerjesztés - y[k] tetha 4

15 clc,format compact; te[ pi/ *pi/ pi]; eteexp(-j*te; H((-8*ete.^*ete.^-.8*ete-.8./(4*ete.^-5*ete.^-ete; atabs(h ftangle(h %Ábrázolás tx[ 4 5]; Yat(*sor(,*cos(ft(at(*sor(,*cos(tx*pi/sor(,ft(at(*sor(,*c os(*tx*pi/sor(,ft(at(4*sor(,4*cos(tx*pisor(,4ft(4 stem(y; title('gerjesztés'; xlabel('tetha';ylabel('y[k]'; grid; 5

16 .5. Az..-ban kiszámított impulzusválasz Fourier transzformálásával határozza meg az impulzusválasz komplex spektrumát, és hozza azt polinom/polinom alakra! Vesse az eredményt össze.. eredményével! A h[h] Fourier-transzformáltja: F [ ] e. 66e { h k } H( e.7e.875e,7875e Közös nevezőre hozva, és az azonos kitevőjő e-ados tagokat összevonva: e. 77e.7.55e.e.95e.65e.5e Az átviteli karakterisztika ismeretében írja fel a hálózat rendszeregyenletét! Az eltolási tételt: F x[ k ] { } e X ( e -t alkalmazzuk tagonként Y Inverz Fourier-transzformáció után: F Y.7.55e.e ( e H U.65e.5e.95e (.65e.5e U(.7.55e.e.95e j { Y(.65e.5e U(.7.55e.e.95e ϑ } Rendszeregyenlet az átviteli karakterisztika ismeretében: y [ k].65y[ k ].5y[ k ].7u [ k].55u [ k ].u[ k ].95u [ k ] 6

17 . Vizsgálat a komplex frekvenciatartományban.. Határozza meg a hálózat átviteli függvényét a z-tartománybeli egyenletek felírása vagy az állapotváltozós leírás alapján! Vesse össze az eredményt az átviteli karakterisztika kifejezésével! A hálózatra felírt z-tartománybeli egyenletek a z e jθ helyettesítés mellett megegyeznek a hálózatra a.. pontban felírt frekvenciatartománybeli egyenletekkel. Ezért az átviteli függvény is megegyezik az átviteli karakterisztikával, ha abba e jθ helyett z-t írunk. Ez a helyettesítés a hálózat kauzalitása (impulzusválaszának belépő tulajdonsága miatt indokolt. Így az átviteli függvény: H ( ( 8z z.8z.8 z 4z 5z z 7

18 .. Határozza meg az átviteli függvény zérusait és pólusait! Ábrázolja a pólus - zérus elrendezést! Vizsgálja meg ennek alapján a hálózat gerjesztés- válasz stabilitását! Az átviteli függvény számlálójának zérushelyei a zérusok: >> roots([ ] z i z i z -.4 Ezek abszolútértéke -nél kisebb, avagy a rendszer G-V stabilis mert minden pólus az egységkörön belülre esik, összhangban az.. pontban kapott eredménnyel. Az átviteli függyvény nevezőjének gyökei a pólusok: >> roots([4-5 - ] p p.667 p -.77 A pólus-zérus elrendezést a következő ábra szemlélteti: sz[ ],n[4-5 - ],pzmap(sz,n 8

19 .. Határozza meg az átviteli függvény alapján a hálózat impulzusválaszát analitikus alakban, és vesse össze az eredményt az..-ban kapottal! Ellenőrizze az eredményt k,,...5-re polinom-osztáson alapuló inverz transzformációval! Végezzünk el egy polinom osztást: H H H 8z z.8z.8 4z 5z z.5z.5z 4z 5z.8z z ( z.7 z.775z.75z 4z 5z z ( z z z A z B z.77 ( z z z C z.667 H z z.5 z z z z.667 ( z z z Ezt követően elvégezhető az inverz z transzformáció Z - {H[z]}: H k ( k [ k] Z { H( z }.7δ [ k].875δ [ k ] ε[ k ].5 ( (.667 k h[k] , ,5 -,,46 -,968 Az.-ban kapott eredmények: ( k [ ],7δ [ k],875δ [ k ] ε[ k ],78,87 cos( 6, ( k 77, h k k h[k] -,7 -,875,4,7, -, -, -,9 -, - 8,4956E- 6,9E- 5 Ezekkel összevetve megállapíthatjuk, hogy a válasz a. és. ütemben teljesen megegyezik a fentebb számolttal, míg a további ütemekben apró eltérést ad a kerekítési hibákból adódóan. Ellenőrzés polinom osztással: H.775z.75z 4z 5z z ( z z z.55z.775z z.975z z 4z 5z z z.86z z.975z.8685z z 4z 5z z 9

20 z. 975z. 8685z.4856z z 4z 5z z

21 .4. Határozza meg a választ analitikus alakban, ha a gerjesztő jel: s[k[ ε[k] (F Gp k! F G p.9 u[k] ε[k](f Gp k k vagyis u[ k] ε [ k] (. 9 U ( z Z{ u[ k] } z z z z.9 A szorzást elvégezve: Y Y z ( ( 8z z ( z z ( z z Y 8z z.8z.8 4z 5z z z z z z.9 ( z H( z U( z z.8z z.8 z 8z z z z.8z z.8 ( z.66 ( z.77 ( z z ( z.66 ( z.77 ( z z 6z 4z.4z 56z 4z.6z 7.6z 4 4 4z 65z 4z z 4z 6z.5z.9z Parciális törtekre bontás: Y ( z -,798 z -,4,448 z -,477 -,5 z -,476 Inverz transzformálás után a válasz: Y,4 z - -,9 z -,94,658 z -,4574 k k k ( z ε[ k]( -,798,4,448,477 -,5,476 9,8444δ [ k] k k k ε[ k]( -,9,94,658,4574 9,89,48-9,89 z -,48 8,4444 z -

22 .5. Adjon meg egy olyan kanonikus hálózatot, amelynek a vizsgálttal megegyező az átviteli függvénye, és adja meg a hálózat rendszeregyenletét! A hálózat Y.7.55e.e.95e H( e U.65e.5e átviteli függvényét megvalósító egy lehetséges kanonikus kapcsolást a következő ábra mutatja: A hálózat rendszeregyenlete y [ k].65y[ k ].5y[ k ].7u [ k].55u [ k ].u[ k ].95u [ k ] ami természetesen megegyezik a.6. pontban kapott eredménnyel. -.7 u[k] y[k] D D -. D -.95

23 .6. A rendszeregyenlet alapján a fokozatos behelyettesítés módszerével ellenőrizze a.4.feladat megoldását a k,,,...8 ütemre! A hálózatra korábba felírt egyenlet: y k.65y k.5y k.7u k.55u k.u k.95u k [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] k u[k] 5 4,8 4,6 4,458 4, 4,8 4,69,9566,869,7748,6974 y[k] -,5 -,7975 -,4 -,899 -,795 -,76 -,64 -,79 -,656 -,68 -,5987 Ugyanezt az eredményt kapjuk a.4. pontban kapott formulából, a rendszeregyenletbe és az állapotegyenletekbe való fokozatos behelyettesítésből, és az.4. pontban, ahol csak a > k> 5 tartományt tekintettük, nagyjából ugyanezt kaptuk diszkrét konvolúcióval is.

24 A javító megjegyzései: 4