LTI Rendszerek Dinamikus Analízise és Szabályozásának Alapjai

Átírás

1 Diszkrét és hibrid diagnosztikai és irányítórendszerek LTI Rendszerek Dinamikus Analízise és Szabályozásának Alapjai Hangos Katalin Közlekedésautomatika Tanszék Rendszer- és Irányításelméleti Kutató Laboratórium MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézete DesHyb-01 p. 1/38

2 Rendszerek és rendszermodellek DesHyb-01 p. 2/38

3 Rendszerek (S) rendszer: jeleken végez műveletet y = S[u] bemenetek (u) és kimenetek (y) SYSTEM u(t) inputs S states x(t) y(t) outputs Rendszer jelfolyam-ábrája DesHyb-01 p. 3/38

4 Alapvető rendszertulajdonságok 1 linearitás S[c 1 u 1 + c 2 u 2 ] = c 1 y 1 + c 2 y 2 c 1,c 2 R, u 1,u 2 U, y 1,y 2 Y és S[u 1 ] = y 1, S[u 2 ] = y 2 Linearitás ellenőrzése: definíció szerint DesHyb-01 p. 4/38

5 Alapvető rendszertulajdonságok 2 idő-invariancia ahol T τ az időeltolás-operátor T τ S = S T τ Idő invariancia ellenőrzése: konstans paraméterek a modellben u(t) y(t) S u(t) u(t+ t) y(t) y(t+ t) t t DesHyb-01 p. 5/38

6 Alapvető rendszertulajdonságok 3 folytonos és diszkrét idejű rendszerek folytonos idő: (T R) diszkrét idő: T = {,t 0,t 1,t 2, } egy bemenetű egy kimenetű (SISO) több bemenetű több kimenetű (MIMO) rendszerek kauzális rendszerek DesHyb-01 p. 6/38

7 CT-LTI rendszermodellek SISO rendszerek Bemenet-kimenet (I/O) modelljei időtartomány operátortartomány frekvenciatartomány Állapottér-modellek DesHyb-01 p. 7/38

8 CT-LTI I/O rendszermodellek 1 Időtartomány Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletek d n y a n dt n +a d n 1 y n 1 dt n a dy 1 dt +a du 0y = b 0 u+b 1 dt +...+b d m u m dt m adott kezdeti feltételekkel y(0) = y 0, dy dt (0) = y 10,..., dn 1 y dt n 1 (0) = y n0 DesHyb-01 p. 8/38

9 CT-LTI I/O rendszermodellek 2 Operátortartomány SISO rendszerek I/O modellje Átviteli függvény Y (s) = H(s)U(s) nulla kezdeti feltételekkel Y (s) a kimeneti jel Laplace-transzformáltja U(s) a bemeneti jel Laplace-transzformáltja H(s) = b(s) a(s) a rendszer átviteli függvénye ahol a(s) és b(s) polinomok valamint deg b(s) = m deg a(s) = n Strictly proper átviteli függvény: m < n Proper: m = n, imporper: m > n DesHyb-01 p. 9/38

10 CT-LTI I/O rendszermodellek 3 Időtartomány Impulzusválasz függvény Y (s) = H(s)U(s) L 1 y(t) = (h u)(t), azaz y(t) = h(t τ)u(τ)dτ = h(τ)u(t τ)dτ Dirac-δ Laplace-transzformáltja L(δ)(s) = 0 δ(t)e st dt = e s 0 = 1 tehát h a rendszer Dirac-δ bemenetre adott válasza DesHyb-01 p. 10/38

11 CT-LTI állapottér modellek Általános alak ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) (állapotegyenlet) (kimeneti egyenlet) adott x(t 0 ) = x(0) kezdeti feltétellel és x(t) R n, y(t) R p, u(t) R r rendszerparaméterek A R n n, B R n r, C R p n, D R p r DesHyb-01 p. 11/38

12 Állapot-transzformációk ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) + Du(t), ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) összekapcsoló transzformáció: T R n n, det T 0, x = Tx x = T 1 x dim X = dim X = n T 1 ẋ = AT 1 x + Bu ẋ = TAT 1 x + TBu, y = CT 1 x + Du A = TAT 1, B = TB, C = CT 1, D = D DesHyb-01 p. 12/38

13 DT-LTI állapottér modellek x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k) (state equation) (output equation) adott x(0) kezdeti feltétellel és x(k) R n, y(k) R p, u(k) R r véges dimenziós vektorok és Φ R n n, Γ R n r, C R p n, D R p r mátrixok DesHyb-01 p. 13/38

14 DT-LTI állapotegyenletek megoldása x(1) = Φx(0) + Γu(0) x(2) = Φx(1) + Γu(1) = Φ 2 x(0) + ΦΓu(0) + Γu(1) x(3) = Φx(2) + Γu(2) = Φ 3 x(0) + Φ 2 Γu(0) + ΦΓu(1) + Γu(2).... x(k) = Φx(k 1) + Γu(k 1) = Φ k x(0) + k 1 j=0 Φk j 1 Γu(j) DesHyb-01 p. 14/38

15 DT-LTI I/O rendszermodellek 1 Impulzusválasz-függvény: I/O modell SISO rendszerekhez U = [u(0) u(1)...u(n 1)] T, Y = [y(0) y(1)...y(n 1)] T Általános lineáris modell Y = HU + Y p ahol H n n-es mátrix, és Y p tartalmazza a kezdeti feltételeket. Kauzális rendszerek esetén H alsóháromszög k y(k) = h(k,j)u(j) + y p (k) j=0 ahol h(k, j) az impulzusválasz-függvény DesHyb-01 p. 15/38

16 DT-LTI I/O rendszermodellek 2 LTI modellek impulzusválasz-függvénye: h(k, j) = h(k j) Az állapotegyenlet megoldásából D = 0-ra: x(k) = Φx(k 1) + Γu(k 1) = Φ k x(0) + k 1 j=0 Φk j 1 Γu(j) y(k) = Cx(k) = CΦ k x(0) + k 1 j=0 CΦk j 1 Γu(j) h(k) = { 0 k < 1 CΦ k 1 Γ k 1 A súlyfüggvény diszkrét idejű megfelelője. Diszkrét idejű Markov paraméterek: CΦ k 1 Γ DesHyb-01 p. 16/38

17 DT-LTI I/O rendszermodellek 3 Diszkrét differenciaegyenlet modellek: SISO rendszerekhez Előrefelé vett differenciákkal y(k+n a )+a 1 y(k+n a 1)+...+a na y(k) = b 0 u(k+n b )+...+b nb u(k) ahol n a n b (proper). Tömörebb forma A(q)y(k) = B(q)u(k), A(q) = q n a +a 1 q n a a na, B(q) = b 0 q n b+b 1 q n b b nb Hátrafelé vett differenciákkal y(k)+a 1 y(k 1)+...+a na y(k n a ) = b 0 u(k d)+...+b nb u(k d n b ) ahol d = n a n b > 0 az időkésleltetés. Tömörebb forma A (q 1 )y(k) = B (q 1 )u(k d), A (q 1 ) = q n a A(q 1 ) DesHyb-01 p. 17/38

18 Rendszer-analízis: megfigyelhetőség, irányíthatóság, stabilitás DesHyb-01 p. 18/38

19 LTI rendszerek megfigyelhetősége 1 Problémafelvetés Adott: állapottér modell (A, B, C) (vagy (Φ, Γ, C)) paraméterekkel u és y jelek véges időintervallumon mért értékei Kiszámítandó: az állapotváltozó vektor (x) értékei a véges időintervallumon Elegendő kiszámítani: x(t 0 ) = x 0 DesHyb-01 p. 19/38

20 LTI rendszerek megfigyelhetősége 2 Szükséges és elégséges feltétel. Egy állapottér modell (A,B,C) (vagy (Φ, Γ,C)) mátrixokkal megfigyelhető pontosan akkor, ha az O n megfigyelhetőségi mátrix teljes rangú. C CA. O n =.. CA n 1 DesHyb-01 p. 20/38

21 LTI rendszerek irányíthatósága 1 Problémafelvetés Adott: egy állapottér modell (A,B,C) (vagy (Φ, Γ,C)) mátrixokkal x(t 1 ) kezdeti és x(t 2 ) x(t 1 ) végállapot Kiszámítandó: egy megfelelő u bemenő jel, amely a rendszer állapotát x(t 1 )-ből x(t 2 )-be juttatja véges idő alatt. DesHyb-01 p. 21/38

22 LTI rendszerek irányíthatósága 2 Szükséges és elégséges feltétel. Az (A,B,C) (vagy (Φ, Γ,C)) mátrixokkal adott állapottér modell ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) irányítható pontosan akkor, ha a C n irányíthatósági mátrix teljes rangú [ ] C n = B AB A 2 B.. A n 1 B DesHyb-01 p. 22/38

23 BIBO stabilitás 1 Korlátos bemenet korlátos kimenet (BIBO) stabilitás (CT-SISO eset): u(t) M 1 <, t [0, [ y(t) M 2 <, t [0, [ Tétel: Egy SISO CT-LTI rendszer BIBO stabil pontosan akkor, ha 0 h(t) dt M < ahol M R + és h a rendszer súlyfüggvénye DesHyb-01 p. 23/38

24 CT-LTI rendszerek stabilitása 1 Lineáris csonkolt rendszermodell (u 0): Egyensúlyi pont: x = 0 Megoldás: ẋ = A x, x R n, A R n n, x(0) = x 0 x(t) = e At x 0 Az A mátrixú CT-LTI rendszert aszimptotikusan stabilnak nevezzük, ha lim t x(t) = 0 DesHyb-01 p. 24/38

25 CT-LTI rendszerek stabilitása 2 Tétel: Egy CT-LTI rendszer pontosan akkor aszimptotikusan stabil, ha az A mátrix valamennyi sajátértékének valós része negatív (stabilitás mátrix). Stabilitási esetek: A minden sajátértékének valós része negatív (A stabilitás mátrix): aszimptotikus stabilitás A-nak nulla és negatív valós részű sajátértékei vannak a nulla valós részű sajátértékekhez lineárisan független sajátvektorok tartoznak: (nem aszimptotikus) stabilitás a nulla valós részű sajátértékekhez lineárisan összefüggő sajátvektorok tartoznak: (polinomiális) instabilitás A-nak van pozitív valós részű sajátértéke: (exponenciális) instabilitás DesHyb-01 p. 25/38

26 Diszkrét idejű rendszerek stabilitása 1 BIBO stabilitás: MIMO eset Egy diszkrét idejű rendszer BIBO stabil, ha ahol. megfelelő jelnorma. u M 1 < y M 2 < (1) Aszimptotikus stabilitás: csonkolt állapotegyenlet megoldása x(k + 1) = Φx(k), x(0) = x 0 x(k) = Φ k x(0) A Φ k mátrix sajátértékei: λ i (Φ k ) = λ i (Φ) k, így x(k) 0 λ i (Φ) < 1 Tétel: Egy DT-LTI rendszer aszimptotikusan stabil pontosan akkor, ha λ i (Φ)-k az egységkörön belül vannak. DesHyb-01 p. 26/38

27 Ljapunov stabilitási tétele Ljapunov-függvény: V : X R V > 0, ha x x, V (x ) = 0 V legalább egyszer folytonosan differenciálható V nem növekvő, azaz d dt V 0 Ljapunov stabilitási tétele: Ha az ẋ = f(x), f(x ) = 0 rendszerhez létezik Ljapunov-függvény, akkor x stabil egyensúlyi állapot. Ha d dt V < 0, akkor x aszimptotikusan stabil egyensúlyi állapot. Ha a Ljapunov függvény tulajdonságai csak x egy U környezetében teljesülnek, akkor x lokálisan (aszimptotikusan) stabil egyensúlyi állapot. DesHyb-01 p. 27/38

28 Ljapunov tétel CT-LTI rendszerekre Ljapunov kritérium CT-LTI rendszerekre Egy lineáris rendszer állapotmátrixa (A) stabilitási mátrix pontosan akkor, ha bármely megadott Q pozitív definit szimmetrikus mátrixhoz létezik egy P pozitív definit szimmetrikus mátrix, hogy A T P + PA = Q LTI BIBO és aszimptotikus stabilitás Tétel: LTI rendszereknél az aszimptotikus stabilitásból következik a BIBO stabilitás. DesHyb-01 p. 28/38

29 Irányítás és visszacsatolás DesHyb-01 p. 29/38

30 Irányítás: az általános probléma Adott rendszermodell irányítási cél Kiszámítandó bemeneti jelsorozat, amellyel teljesül az irányítási cél Néhány irányítási cél: stabilizálás zavarelhárítás optimális irányítás DesHyb-01 p. 30/38

31 Irányítás jelfolyamábra u(t) S x(t) y(t) Controller S Rendszer és szabályozó DesHyb-01 p. 31/38

32 Pólusáthelyezéses szabályozás: problémafelvetés Adott egy SISO CT-LTI rendszer (A, B, C) mátrixokkal (a pólusok A-tól (a(s)-től) függnek) előírt (kívánt) pólusok, melyeket az α(s) polinom határoz meg úgy, hogy deg a(s) = deg α(s) = n Kiszámítandó egy teljes állapotvisszacsatolás úgy, hogy a zárt rendszer pólusai éppen α(s) gyökei. Részprobléma: olyan visszacsatolás, amely stabilizálja a(z eredetileg instabil) rendszert. DesHyb-01 p. 32/38

33 Zárt CT-LTI rendszerek 1 A SISO CT-LTI rendszer mátrixai: (A,B,C) ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) y(t), u(t) R, x(t) R n A R n n, B R n 1, C R 1 n Statikus lineáris teljes állapotvisszacsatolás: v = u [ + kx (u = v kx) ] k = k 1 k 2... k n k R 1 n (sorvektor) DesHyb-01 p. 33/38

34 Zárt CT-LTI rendszerek 2 Zárt rendszer ẋ(t) = (A Bk)x(t) + Bv(t) y(t) = Cx(t) Karakterisztikus polinomok a c (s) = det (si A + Bk) := α(s), a(s) = det (si A) DesHyb-01 p. 34/38

35 Pólusáthelyezéses szabályozó α a = k [ B AB A 2 B... A n 1 B ] 1 a 1 a 2... a n a 1... a n a n α a = kct T l Ha a CT-LTI rendszer irányítható akkor k = (α a)t T l C 1 DesHyb-01 p. 35/38

36 Diagnosztika DesHyb-01 p. 36/38

37 Predikció Alapú Diagnosztika Adott: A meghibásodási módok N F száma (0=normal) Rendszermodellek minden meghibásodási módra y (Fi) (k + 1) = M (Fi) (D[1, k]; p (Fi) ), k = 1,2,... Mérési rekord: D[0,k] = { (u(τ),y(τ) τ = 0,,k} Veszteségfüggvény J (Fi), i = 0,,N F J (Fi) (y y (Fi), u) = k τ=1 [ r (i)t (τ)qr (i) (τ) ], r (i) (τ) = y(τ) y (Fi) (τ), τ = 1,2, Kiszámítandó: A rendszer meghibásodási módja, amely az az i index, amely minimalizálja a veszteségfüggvényt az adott modellegyeletek, mint korlátozások mellett. DesHyb-01 p. 37/38

38 Identifikáció Alapú Diagnosztika Adott: A meghibásodási módok N F száma (0=normal) Rendszermodellek minden meghibásodási módra y (Fi) (k + 1) = M (Fi) (D[1, k]; p (Fi) ), k = 1,2,... Mérési rekord: D[0,k] = { (u(τ),y(τ) τ = 0,,k} Veszteségfüggvény J (Fi), i = 0,,N F, amely a paraméterektől függ J (Fi) (p (estfi) p (Fi) ) = ρ (i)t Qρ (i), ρ (i) = p (estfi) p (Fi) Kiszámítandó: A rendszer meghibásodási módja, amely az az i index, amely minimalizálja a veszteségfüggvényt az adott modellegyeletek, mint korlátozások mellett. DesHyb-01 p. 38/38