Rejtett részcsoportok és kvantum-számítógépek

Átírás

1 Ivanyos Gábor MTA SZTAKI MTA, 2007 május 23.

2 Kvantum bitek Kvantum kapuk Kvantum-ármakörök Tartalom 1 Kvantum bitek és kvantum-áramkörök Kvantum bitek Kvantum kapuk Kvantum-ármakörök 2 Háttér Deníció, példák 3 Orákulum hívása szuperpozícióra Fourier-transzformáció 4 Nemkommutatív Fourier-transzformáció A standard módszer a szimmetrikus csoportban Pozitív eredmények - rekordok

3 Kvantum bitek Kvantum kapuk Kvantum-ármakörök Kvantum bit Állapot: a B = C 2 komplex euklideszi tér egy egységvektora: az a 0 + b 1 szuperpozíció (lineáris kombináció), ahol a 2 + b 2 = 1 Kitüntetett bázis: 0, 1 Mérés után: 0: a 2 valószín séggel, 1: b 2 valószín séggel.

4 Kvantum bitek Kvantum kapuk Kvantum-ármakörök n kvantum bites rendszer Állapot: a B n = C 2n egységvektora: komplex euklideszi tér egy a s S a s s szuperpozíció, ahol S = {0, 1} n és s S a s 2 = 1. Kitüntetett bázis: s, ahol s S: , , Mérés után: az s bitsorozat: a s 2 valószín séggel.

5 Kvantum bitek Kvantum kapuk Kvantum-ármakörök Kvantum kapuk Példák: d bites kvantum kapu: egy 2 d dimenziós unitér transzformáció Hadamard-kapu: H : ( ), Kontrollált fáziseltolás: 0x 0x, 10 10, ( 0 1 ). 11 ω 11, ahol ω = 1.

6 Kvantum-áramkör: számolás Kvantum bitek Kvantum kapuk Kvantum-ármakörök n kvantum bites rendszeren egy- és kétbites kvantum kapuk sorozata megadva az is, hogy mely kvantum bit(ek)en hatnak ("drótozás", sorrend is számít) formálisan: a megfelel transzformáció identitás M velet: a kapuknak megfelel transzformációk szorzata Id igény (lépésszám): a sorozat hossza Megjegyzés: konstans d > 2-re legfeljebb d bites kapukból álló áramkörök: az 1-2 bitessel polinomiálisan ekvivalens modell.

7 Kvantum-áramkör: mérés/m ködés Kvantum bitek Kvantum kapuk Kvantum-ármakörök a kapuk szorzata az input bitsorozatnak megfelel báziselemre végül mérés randomizált algoritmushoz hasonló jelleg a megfelel nyelvosztály: BPQ Megjegyzés: Véges ún. univerzális kapukészlettel a kapuk közelítése segítségével szintén polinomiálisan ekvivalens modell hapható.

8 Háttér Deníció, példák Tartalom 1 Kvantum bitek és kvantum-áramkörök Kvantum bitek Kvantum kapuk Kvantum-ármakörök 2 Háttér Deníció, példák 3 Orákulum hívása szuperpozícióra Fourier-transzformáció 4 Nemkommutatív Fourier-transzformáció A standard módszer a szimmetrikus csoportban Pozitív eredmények - rekordok

9 Háttér Kvantum bitek és kvantum-áramkörök Háttér Deníció, példák Shor 1994: faktorizáció és diszkrét logaritmus polinomid ben kvantum-számítógéppel megsokszorozódtak a kvantum-számítógépek építésére fordított er források a rejtett részcsoport problémája: fenti feladatok érdemi részfeladatainak a grázomorzmus-problémát is tartalmazó közös általánosítása Jelenleg minden kvantumos exponeciális gyorsulás lényegében ide tartozik

10 Háttér Deníció, példák Deníció G (véges) csoport Az f : G {bitsorozatok} függvény a H G részcsoportot rejti, ha f (x) = f (y) xh = yh f orákulummal (vagy hatékony algoritmussal) adott. Kvantum orákulum: x 0 x f (x) Feladat: keressük meg H-t (pl. H egy generátorrendszerét) lehet leg poly log G id ben!

11 Háttér Deníció, példák Példák Csoportelem rendje G = Z, a A, f (k) = a k. H = mz, ahol m = a rendje. Diszkrét logaritmus G = Z Z, a, b A f (k, l) = a k b l. H = {(k, l) a k = b l }.

12 Háttér Deníció, példák Grázimorzmus permutált gráf: Γ gráf az {1,..., n} csúcsokon, σ S n, a permutált Γ σ gráf élei: [i, j], ahol [σ(i), σ(j)] éle Γ-nak. Automorzmuscsoport, mint rejtett részcsoprt G = S n f (σ) = Γ σ. a rejtett részcsoport = Aut(Γ) Gráfok izomorája Gráfok automorizmuscsoportja Γ 1, Γ 2 összefügg. Γ 1 = Γ2 Aut(Γ 1 Γ 2 ) = 2 Aut(Γ 1 ) Aut(Γ 2 ).

13 Orákulum hívása szuperpozícióra Fourier-transzformáció Tartalom 1 Kvantum bitek és kvantum-áramkörök Kvantum bitek Kvantum kapuk Kvantum-ármakörök 2 Háttér Deníció, példák 3 Orákulum hívása szuperpozícióra Fourier-transzformáció 4 Nemkommutatív Fourier-transzformáció A standard módszer a szimmetrikus csoportban Pozitív eredmények - rekordok

14 Orákulum szuperpozícióra 1. Orákulum hívása szuperpozícióra Fourier-transzformáció 1 G 1 G 0..0 (uniform szuperpozíció elkészítése) 1 x 0..0 (orákulum hívása) G x G 1 x f (x) = G s x G x G f (x) = s x s = 1 G ax f (a) a T x H T : baloldali mellékosztályok reprezentánsrendszere

15 Orákulum szuperpozícióra 2. Orákulum hívása szuperpozícióra Fourier-transzformáció 1 G : H a T 1 G ax f (a) = a T x H ( ) 1 ax f (a) H x H rögzített a T -re az els regiszter tartalma mellékosztályátlag: ah := 1 ax H x H a második regiszter tartalma állandó, azt nem bántjuk tovább mintha "el rehoznánk" a második regiszter mérését

16 Fourier-transzformáció Orákulum hívása szuperpozícióra Fourier-transzformáció Kommutatív G csoport Fourier-transzformációja g 1 χ(g) χ G χ Ĝ lineáris kiterjsztése CG -re. Hatékony közelít kvantum implmentációk vannak. x H 1 ax H χ Ĝ x H 1 1 χ(ax) χ = H G 1 G χ Ĝ ( ) χ(a) χ(x) χ H x H

17 Fourier transzformáció 2. Orákulum hívása szuperpozícióra Fourier-transzformáció χ együtthatója χ(a) G : H 1 H χ(x) = x H { χ(a) G:H ha χ H = 1, 0 egyébként. Biz.: 1 H és χ H ortogonalitása: 1 H χ valószín sége: x H χ(x) = { 1 ha χh = 1, 0 egyébként { 1 G:H 0 egyébként. ha χ H,

18 H kiszámítása Orákulum hívása szuperpozícióra Fourier-transzformáció H = {χ Ĝ χ H = 1} a Ĝ egy részcsoprtja. Várhatóan O(log G ) ismétléssel H egy Γ generátorrendszere gy lik össze. Ekkor H = {x G χ(x) = 1 for every χ Γ}. ( lineáris egyenletrendszer)

19 Nemkommutatív Fourier-transzformáció A standard módszer a szimmetrikus csoportban Pozitív eredmények - rekordok Tartalom 1 Kvantum bitek és kvantum-áramkörök Kvantum bitek Kvantum kapuk Kvantum-ármakörök 2 Háttér Deníció, példák 3 Orákulum hívása szuperpozícióra Fourier-transzformáció 4 Nemkommutatív Fourier-transzformáció A standard módszer a szimmetrikus csoportban Pozitív eredmények - rekordok

20 Nemkommutatív Fourier-transzformáció Nemkommutatív Fourier-transzformáció A standard módszer a szimmetrikus csoportban Pozitív eredmények - rekordok g ρ b G d ρ i,j=1 d dρ ρ G i,j=1 ρ(g) ij ρ, i, j Ĝ : G komplex irreducibilis unitér mátrixreprezentációi minden ekvivalencia-osztályból egy d ρ : ρ foka a transzformáció unitér, függ ρ választásától elég sok csoportra ismert hatékony kvantum-implementáció

21 Gyenge standard Fourier-módszer Nemkommutatív Fourier-transzformáció A standard módszer a szimmetrikus csoportban Pozitív eredmények - rekordok a kommutatív esetet követi csak ρ-t használja a mérés után ρ valószín sége: h H χ ρ(h). H G esetén d ρ G 0 valószín ség, ha H ker ρ, "eléggé egyenletes" a H ker ρ tulajdonságúakra H-t polinom sok próba után valszeg egyért. meghat. Er s standard módszer: i, j-t is méri csak egy ismert esetben jobb bizonyítottan nem jó gráf-izomorzmusra!

22 Nemkommutatív Fourier-transzformáció A standard módszer a szimmetrikus csoportban Pozitív eredmények - rekordok A szimmetrikus csoport gyenge módszerrel polinom id ben érzékelhet részcsoportjai Ezek a konstans minimális fokú permutációcsortok H minimális foka: H \ {1}-be tartozó permutációk által mozgatott elemek min. száma. Polinom sok konstans elemet mozgató permutáció van ilyen H az 1-t l megkülönböztethet klasszikus módszerrel is polinom id ben. Kempe és Shalev sejtette és bizonyította spec. esetekre Pyber László bizonyította általánosan f eredménye: egy, a permutációcsoportok rendje és minimális fokszáma közötti aszimptikus összefüggés igazolása

23 Pozitív eredmények rekordok Nemkommutatív Fourier-transzformáció A standard módszer a szimmetrikus csoportban Pozitív eredmények - rekordok a lekérdezési bonyolultság polinomiális Ettinger, Hoyer, Knill 2004 a negatív eredmények jellege Ez vagy az a konkrét megközelítés nem m ködik... D n diéder csoportra log n-ben exponenciális Kuperberg 2005 Fontos indukciós eszköz lenne feloldható csoportokra korlátos exponens, korlátos hosszú feloldható csoportokra polinomiális módszer Friedl,, Magniez, Sántha, Sen 2003 Z n p Z 2 -n (konstans p) alapuló rekurzió

24 Rekordok 2. Nemkommutatív Fourier-transzformáció A standard módszer a szimmetrikus csoportban Pozitív eredmények - rekordok Polinomiális idej módszerek vannak még p 3 rend csoportokra Bacon, Childs, van Dam 2005 Az ún. Pretty Good Measurement hatékony implementációja Extraspeciális p-csoportokra, Sántha, Sanselme 2007 Nem az el z módszer kiterjesztése! Ötlet: reprezentációk hangolása automorzmusokkal. 2 osztályú csoportokra általánosítható???

25 Nemkommutatív Fourier-transzformáció A standard módszer a szimmetrikus csoportban Pozitív eredmények - rekordok Reprezentációk hangolása G = p exponens, p 2m+1 rend extraspeciális csoport z = Z(G) generátora, ω = p 1 j = 1,..., p 1: φ j p m dim. irrep.: φ j (z) = ω j I. φ 0 = 1-dimenziós reprezentációk φ i φ j = φi+j egy direkt hatványa α 0,... α p 1 End(G), amelyekre α k φ j = φ k 2 j Adott j 1, j 2, j 3 -ra keresend k 1, k 2, k 3, amelyekre k 2 1 j 1 + k 2 2 j 2 + k 2 3 j 3 = 0, így α k1 φ j1 α k2 φ j2 α k3 φ j3 = a φ0 egy hatványa φ 0 -ból G/G Fourier trafójával H modulo G.