Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó"

Átírás

1 A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1

2 Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó Nagyordó, Omega, Theta Legyenek f, g : N R + függvények, ahol N a természetes számok, R + pedig a nemnegatív valós számok halmaza. Azt mondjuk, hogy f legfeljebb olyan gyorsan nő mint g (jelölése: f (n) = O(g(n)); ejtsd: f (n) = nagyordó g(n)) ha létezik olyan c > 0 szám és N N, hogy f (n) c g(n) minden n N számra. Az f (n) = Ω(g(n)) jelöli azt, hogy g(n) = O(f (n)) teljesül, és f (n) = Θ(g(n)) jelöli azt, hogy f (n) = O(g(n)) és f (n) = Ω(g(n)) is teljesül. Kiordó Legyenek f, g : N R + függvények. f (n) = o(g(n)) (ejtsd: f (n) = kisordó g(n)), ha f (n)/g(n) 0. Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 2 / 1

3 Észrevételek: f (n)/g(n) 0 minden c > 0 esetén létezik N N, hogy minden n N esetén f (n) c g(n) f (n) = o(g(n)) f (n) = O(g(n)). f (n) = o(g(n)) f (n) Ω(g(n)). Ha f (n) = O(g(n)) és g(n) = O(h(n)) akkor f (n) = O(h(n)). Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 3 / 1

4 Polinomok és exponenciális függvények 7. Feladat: Lássuk be a következő álĺıtásokat! 1. x > 1-re x 2 x. Teljes indukcióval könnyen bizonyítható, hogy n n. Létezik n N : n x n + 1. x n n 2 x. 2. Ha c > 1, akkor n 1, n > n 1 : c n 2. ε := c 1 > 0. c n = (1 + ε) n = ( ) n 0 1 n ε 0 + ( n 1) 1 n 1 ε = 1 + nε + δ, ahol δ Ha c > 1 és k N akkor n k = O(c n ). Legyen n 1 az előző küszöb. n > n 1 k esetén n k = n1 kkk ( n n 1 k )k n1 kkk 2 n n 1 k k n1 kkk c n n n 1 1 = n1 kkk c n. 4. Legyen p(n) egy pozitív főegyütthatójú k-adfokú polinom. Ekkor p(n) = O(n k ). p(n) = a k n k + + a 1 n + a 0. a k > 0. p(n) (a k + 1)n k, ha n N, valamely N N-re. Ugyanis (a k + 1)n k p(n) = n k 1 (1 a k 1 n a 0 1 ) +. n k Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 4 / 1

5 5. Minden p(n) polinomra és c > 1 konstansra p(n) = O(c n ). p(n) = O(n k ), ahol k p(n) foka. n k = O(c n ), tehát p(n) = O(c n ). 6. Minden p(n) polinomra és c > 1 konstansra p(n) Ω(c n ). Indirekt, tfh. létezik d 1 > 0 és N 1 N, hogy n N 1 -re c n d 1 p(n). Legyen c 1 olyan, hogy 1 < c 1 < c. Ekkor létezik d 2 > 0 és N 2 N, hogy n N 2 -re p(n) d 2 c n 1. Tehát n max N 1, N 2 -re c n d 1 p(n) d 1 d 2 c n 1. Azaz ( c c 1 ) n d 1 d 2, ami ellentmondás. Tehát azt kaptuk, hogy: Minden polinomiális függvény lassabban nő, mint bármely exponenciális függvény. Általánosabban: Legyen f : N R + egy + -hez tartó függvény, p egy pozitív főegyütthatójú polinom és c > 1, ekkor p(f (n)) lassabban nő, mint c f (n). Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 5 / 1

6 Feladat 7. Feladat: Melyek igazak az alábbi álĺıtások közül? 1 5n 7 = O(n 7 ), Igen. 2 n log 100 n = o(n 2 ), Igen. 3 n 2 = O(n log 100 n), Nem. 4 1 = o(100), Nem. 5 1 = o(n), Igen. 6 4 n = O(2 n ), Nem. 7 2 n = o(4 n ), Igen. 8 4 n = 2 Θ(n), Igen. 9 (n + 1) 3 = n 3 + n 2 + O(n). Nem. Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 6 / 1

7 Feladat 7. Feladat: Melyik igaz? f (n) = O(g(n)), f (n) = Ω(g(n)), f (n) = Θ(g(n)) minden függvénypárra döntsük el. (A logaritmus 2-es alapú.) n!, log n!, n 3, 100 n, log n, n log n, n log n. Megoldás: Teljes indukcióval n 6-ra könnyen látható, hogy (felhasználva, hogy (1 + 1/n) n e): ( n 3 )n < n! < ( n 2 )n. log n! = Θ(n log n), n log n = O(n 3 ), n log n Ω(n 3 ), n 3 = O(2 100 log n ), n 3 Ω(2 100 log n ), log n = O(n log n ), log n Ω(n log n ), n log n = O(100 n ), n log n Ω(100 n ), 100 n = O(n!), 100 n Ω(n!). Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 7 / 1

8 Feladat 7. Feladat: Mit mondhatunk arról az f függvényről, melyre f (1) = 1, f (2) = 10, és f (3) = 100? 1 f (n) = O(10 n ), 2 f (n) = 10 O(n), 3 Egyik fenti álĺıtás sem igaz minden esetben. Megoldás: A harmadik a helyes, nem mondhatunk semmit egy függvény viselkedéséről nagy n-ekre a kezdőértékek alapján. 7. Feladat: Létezik-e olyan p(n) polinom, melyre az alábbi függvények O(p(n)) nagyságrendűek? 1 n!, 2 3 ( n 100), ( n n/100). Megoldás: 1. Nem, n! ( n 3 )n. 2. Igen, ( ) n 100 n !. 3. Nem, ( ) n n/100 = n n/100. n/100 n 1 n/ n/100+1 Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 8 / 1

9 Számosság Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 9 / 1

10 Számosság Egy A halmazhoz hozzárendeljük az ő ( A -al jelölt) számosságát. A számosság fogalmával az a célunk, hogy mondhassuk egy halmazról, hogy több, kevesebb vagy ugyananny eleme van mint egy másik halmaznek. Ez különösen akkor probléma, ha a halmazoknak végtelen sok elemük van. Számosság A és B halmazoknak megegyezik a számossága, ha létezik bijekció köztük. Jelölése: A = B. A számossága legalább annyi, mint B számossága, ha van B-ből injekció A-ba. Jelölése: A B. A számossága határozottan nagyobb, mint B számossága, ha van B-ből injekció A-ba, de bijeció nincs. Jelölése: A > B. Cantor-Bernstein tétel Ha A-ból B-be van injekció és B-ből A-ba is van, akkor A és B között bijekció is van. Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 10 / 1

11 Számosság Feladatok 7. Feladat: Melyik nagyobb? N vagy Z? Megoldás: Megegyezik a számosságuk Feladat: Melyik nagyobb? N vagy N N? Megoldás: Megegyezik a számosságuk. 6 Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 11 / 1

12 7. Feladat: Melyik nagyobb? N vagy Q? Megoldás: Megegyezik a számosságuk. N Q, ezért N Q. Q + := { p q p N+, q N +, a tört nem egyszerűsíthető}. Q := { p q p N+, q N +, a tört nem egyszerűsíthető}. Q + = Q. p q Q+ (p, q) N N injektív, tehát Q + N N = N. Legyen Q + = {a 1, a 2, a 3..., }, Q = {b 1, b 2, b 3..., }, ekkor Q = {0, a 1, b 1, a 2, b 2, a 3, b 3,...} Megszámlálhatóan végtelen számosság N számosságát megszámlálhatóan végtelennek nevezzük. Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 12 / 1

13 Számosság Feladatok 7. Feladat: Melyik több? 1 R 2 [0, 1] 3 az egységsugarú körvonal pontjainak száma 4 [0, 1] [0, 1]. Megoldás: tg(π(x 1 2 )) (0,1) : (0, 1) R bijekció (0, 1) és R között. (sin ϕ, cos ϕ) ϕ 2π. bijekció az egységsugarú körvonal pontjai és [0, 1) között. Legyen (a n ) n N + { egy olyan sorozat, melyre a 1 = 0 és lim a i (0, 1), pl. a i = a i+1 ha x = a i (i N + ). f (x) = 2 i x ha x {a i i N + egy bijekció [0, 1) és } (0, 1) között. Hasonlóan megadható egy bijekció [0, 1] és [0, 1) között. Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 13 / 1

14 Számosság Feladatok 7. Feladat: Mennyi van belőle? 1 véges hosszú bináris szavak 2 megszámlálhatóan végtelen hosszúságú bináris szavak 3 véges, bináris szavakból álló nyelvek Megoldás: A véges hosszú bináris szavakat felsoroló algoritmus adható: ε,0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,110,111,0000,... Tehát számossága megszámlálhatóan végtelen. Természetes bijekció van 2 és 3 között: Soroljuk fel a bináris szavakat. Egy nyelvhez rendeljük azt a megszámlálhatóan végtelen hosszúságú bináris szót, melynek 1 az i. bitje, ha benne van az i. szó, 0 ha nem. 2 és 3 számosszága nagyobb, mint megszámlálható. (És megegyezik R -el.) Continuum számosság R számosságát continuumnak nevezzük. Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 14 / 1

15 Cantor-féle átlós módszer Jelölje H a megszámlálhatóan végtelen hosszúságú bináris szavak halmazát. Álĺıtás: H > N H N : H 0 := {(1, 0, 0, 0,...), (0, 1, 0, 0,...), (0, 0, 1, 0,...),...} H, és H 0 = N. Indirekt tegyük fel, hogy H = N. Ez azt jelenti, hogy bijekcióba lehet álĺıtani H elemeit N elemeivel, azaz H = {u i i N} = {u 1, u 2,...} a H elemeinek egy felsorolása (a természetes számokkal való megindexelése). Legyen u i = (u i,1, u i,2,..., u i,j,...), ahol minden i, j N-re u i,j {0, 1}. Tekintsük az u = {u 1,1, u 2,2,..., u i,i,...) megszámlálhatóan végtelen hosszúságú bináris szót, ahol b 0, ha b = 1 és 1, ha b = 0. Mivel, minden megszámlálhatóan végtelen hosszúságú bináris szó fel van sorolva, ezért létezik olyan k N, melyre u = u k. Ekkor u k.bitje u k,k (így jelöltük u k k. bitjét), másrészt u k,k (így definiáltuk u-t). De ez nem lehetséges, tehát az a feltevésünk, hogy H = N hamis. Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 15 / 1

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

A Borda-szavazás Nash-implementálható értelmezési tartományai

A Borda-szavazás Nash-implementálható értelmezési tartományai A Borda-szavazás Nash-implementálható értelmezési tartományai Tasnádi Attila 2007. június 8. Alapfogalmak Jelölések: X az alternatívák véges nem üres halmaza (q = X ). Alapfogalmak Jelölések: X az alternatívák

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április Hány osztója van egy adott számnak? Hány osztója van egy adott számnak? Dr. Tóth László http://www.ttk.pte.hu/matek/ltoth előadásanyag, Pécsi Tudományegyetem, TTK 2008. április. Bevezetés Lehetséges válaszok:

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Analízis. 11 12. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László. 2015. július 5.

Analízis. 11 12. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László. 2015. július 5. Analízis 11 12. évfolyam Szerkesztette: Surányi László 2015. július 5. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó András, Kalló

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI 19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI Ebben a fejezetben aszimptotikus (nagyságrendi) alsó korlátot adunk az összehasonlításokat használó rendező eljárások lépésszámára. Pontosabban,

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar

FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 7. Vázlat 1 Szeparábilitás Definíciók A szeparábilitás ekvivalens

Részletesebben

i=1 i+3n = n(2n+1). j=1 2 j < 4 2 i+2 16 k, azaz az algoritmus valóban konstans versenyképes.

i=1 i+3n = n(2n+1). j=1 2 j < 4 2 i+2 16 k, azaz az algoritmus valóban konstans versenyképes. 1. Feladat Adott egy parkoló, ahol egy professzor a kocsiját tartja. A parkolóhelyeket egy n és n közötti szám azonosítja, az azonosító szerint helyezkednek el balról jobbra. A professzor kijön az egyetemr

Részletesebben

Hálózati folyamok. Tétel: A maximális folyam értéke megegyezik a minimális vágás értékével.

Hálózati folyamok. Tétel: A maximális folyam értéke megegyezik a minimális vágás értékével. Hálózati folyamok Definíció: Legyen G = (V,E) egy irányított gráf, adott egy c: E R + {0} ún. kapacitásfüggvény, amely minden (u,v) ε E élhez hozzárendel egy nem negatív c(u,v) kapacitást. A gráfnak van

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Első rész 1. Bevezetés Tekintsük az ak + b számtani sorozatot, ahol a > 0. Ha a és b nem relatív prímek, akkor (a,b) > 1 osztója

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Titkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...

Titkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak... Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...) Története Az ókortól kezdve rengeteg feltört titkosírás létezik. Monoalfabetikus

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)

Részletesebben

Példa a report dokumentumosztály használatára

Példa a report dokumentumosztály használatára Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............

Részletesebben

Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok

Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok In English Integer Programming - IP Zero/One (boolean) programming 2007.03.12 Dr. Bajalinov Erik, NyF MII 1 Diszkrét és egészértékű változókat tartalmazó feladatok

Részletesebben

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok Halmazok Jelölések: A halmazok jele általában nyomtatott nagybetű: A, B, C Az x eleme az A halmaznak: Az x nem eleme az A halmaznak: Az A halmaz az a, b, c elemekből áll: A halmazban egy elemet csak egyszer

Részletesebben

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók 5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 A kiterjesztési elv 2 Nyelvi változók A kiterjesztési elv 237 A KITERJESZTÉSI ELV A

Részletesebben

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz 1. Feladat 1. Milyen egységeket rendelhetünk az egyedi információhoz? Mekkora az átváltás közöttük? Ha 10-es alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Ramsey tétele(i) gráfokra

Ramsey tétele(i) gráfokra Ramsey tétele(i) gráfokra A témakör a szociológusok alábbi észrevételének általánosítása: legalább hat tagú társaságban vagy van háromfős klikk, vagy van háromfős antiklikk. Itt klikk olyan emberek halmazát

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: A Formális nyelvek vizsga teljesítése a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: 1. Öt kis kérdés megválaszolása egyenként 6 pontért, melyet minimum 12

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Bevezetés... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán... 11 C) Többváltozós függvényegyenletek megoldása

Tartalomjegyzék. Bevezetés... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán... 11 C) Többváltozós függvényegyenletek megoldása 5 Tartalomjegyzék Bevezetés.......................................................... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán........... 11 B) Egyváltozós függvényegyenletek megoldása....................

Részletesebben

Érettségi feladatok: Halmazok, logika

Érettségi feladatok: Halmazok, logika Érettségi feladatok: Halmazok, logika 2005. május 10 18. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először Ádám

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Amortizációs költségelemzés

Amortizációs költségelemzés Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA RENDEZETT HALMAZOKKAL KAPCSOLATOS PÉLDÁK. Rendezett halmaz. (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3.

DISZKRÉT MATEMATIKA RENDEZETT HALMAZOKKAL KAPCSOLATOS PÉLDÁK. Rendezett halmaz. (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3. Rendezett halmaz R A x A rendezési reláció A-n, ha R Másképpen: (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3. Tranzitív arb for (a, b) R. 1. a A ara 2. a,b A (arb bra a = b 3. a,b,c A (arb brc arc

Részletesebben

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika. elektronikus

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához

Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához A. Grama, A. Gupta, G. Karypis és V. Kumar: Introduction to Parallel Computing, Addison Wesley, 2003. könyv anyaga alapján A kereső eljárások

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke...

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke... Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 5 2.1. A függvény

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

Érettségi feladatok: Halmazok, logika

Érettségi feladatok: Halmazok, logika Érettségi feladatok: Halmazok, logika 2005. május 10 18. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először Ádám

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

-ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha. -ra nézve (szigorú) abszolút minimumhelye, ha minden

-ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha. -ra nézve (szigorú) abszolút minimumhelye, ha minden Analízis-lexikon abszolút maximumhelye Legyen hogy tetszőleges függvény, és része értelmezési tartományának Azt mondjuk, az -nek -ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha minden esetén

Részletesebben

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott

Részletesebben

Számláló rendezés. Példa

Számláló rendezés. Példa Alsó korlát rendezési algoritmusokra Minden olyan rendezési algoritmusnak a futását, amely elempárok egymással való összehasonlítása alapján működik leírja egy bináris döntési fa. Az algoritmus által a

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. MODUL SZÁMELMÉLET Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. Számelmélet Közös osztók, közös többszörösök Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:... 1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro Kriptográfia és Információbiztonság 4. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015 Miről volt szó az elmúlt előadáson? blokk-titkosító

Részletesebben

NP-teljesség röviden

NP-teljesség röviden NP-teljesség röviden Bucsay Balázs earthquake[at]rycon[dot]hu http://rycon.hu 1 Turing gépek 1/3 Mi a turing gép? 1. Definíció. [Turing gép] Egy Turing-gép formálisan egy M = (K, Σ, δ, s) rendezett négyessel

Részletesebben

dolás, felbontható kód Prefix kód Blokk kódk Kódfa

dolás, felbontható kód Prefix kód Blokk kódk Kódfa Kódelméletlet dolás dolás o Kódolás o Betőnk nkénti nti kódolk dolás, felbontható kód Prefix kód Blokk kódk Kódfa o A kódok k hosszának alsó korlátja McMillan-egyenlıtlens tlenség Kraft-tételetele o Optimális

Részletesebben

Gonda János POLINOMOK. Példák és megoldások

Gonda János POLINOMOK. Példák és megoldások Gonda János POLINOMOK Példák és megoldások ELTE Budapest 007-11-30 IK Digitális Könyvtár 4. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Bui Minh Phong Láng Csabáné Szerkesztette: Láng Csabáné c

Részletesebben

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M)

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M) Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Adja meg az x+ y = 3 és az y = egyenletű egyenesek metszéspontjának

Részletesebben

A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió

A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió Bevezetés Pímszámok A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió prímszám. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. április 8. Néhány definíció. 1 A klasszikus számelméleti. p N prím, ha a p a = ±1,

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

1/50. Teljes indukció 1. Back Close 1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N

Részletesebben

2013.11.25. H=0 H=1. Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban,

2013.11.25. H=0 H=1. Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban, Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban, akkor a i (gyakorisága) = k i a i relatív gyakorisága: A jel információtartalma:

Részletesebben

2014. Április 8. Algoritmusok komplexitása

2014. Április 8. Algoritmusok komplexitása 2014. Április 8. Algoritmusok komplexitása 1 Függvények növekedése Nagyságrend Nagy Ordó jelölés Aszimptotikus komplexitási mérték, a számítógépes programok jóságát (gyorsaságát, takarékosságát) jellemzi

Részletesebben

Hibadetektáló és javító kódolások

Hibadetektáló és javító kódolások Hibadetektáló és javító kódolások Számítógépes adatbiztonság Hibadetektálás és javítás Zajos csatornák ARQ adatblokk meghibásodási valószínségének csökkentése blokk bvítése redundáns információval Hálózati

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................

Részletesebben

Programozási Módszertan definíciók, stb.

Programozási Módszertan definíciók, stb. Programozási Módszertan definíciók, stb. 1. Bevezetés Egy adat típusát az adat által felvehető lehetséges értékek halmaza (típusérték halmaz, TÉH), és az ezen értelmezett műveletek (típusműveletek) együttesen

Részletesebben

Iványi Antal PÁRHUZAMOS ALGORITMUSOK

Iványi Antal PÁRHUZAMOS ALGORITMUSOK Iványi Antal PÁRHUZAMOS ALGORITMUSOK ELTE Informatikai Kar Budapest, 2010 Ez az elektronikus tankönyv az ELTE Informatikai Kara támogatásával, a 2010 évi kari jegyzetpályázat keretében készült. A könyv

Részletesebben

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam Batthyány Kázmér Gimnázium, 2004. 1 TARTALOM 11.osztály (222 óra)... 3 1. Gondolkodási műveletek (35 óra)... 3 2. Számelmélet, algebra (64 óra)... 3 3. Függvények,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben