2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció"

Átírás

1 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév

2 Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák

3 Definíció 1. Definíció Az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A, y B esetén, ha (x, y) f és (x, z) f, akkor y = z. Ekkor a függvényt a következőképp jelöljük: f : A B.

4 Definíció 1. Definíció Az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A, y B esetén, ha (x, y) f és (x, z) f, akkor y = z. Ekkor a függvényt a következőképp jelöljük: f : A B. Lazábban fogalmazva az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A esetén egyértelműen létezik olyan y B, hogy (x, y) f.

5 Definíció 1. Definíció Az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A, y B esetén, ha (x, y) f és (x, z) f, akkor y = z. Ekkor a függvényt a következőképp jelöljük: f : A B. Lazábban fogalmazva az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A esetén egyértelműen létezik olyan y B, hogy (x, y) f. Függvények esetén azt, hogy (x, y) f úgy szokás jelölni, hogy f(x) = y.

6 Definíció 1. Definíció Az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A, y B esetén, ha (x, y) f és (x, z) f, akkor y = z. Ekkor a függvényt a következőképp jelöljük: f : A B. Lazábban fogalmazva az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A esetén egyértelműen létezik olyan y B, hogy (x, y) f. Függvények esetén azt, hogy (x, y) f úgy szokás jelölni, hogy f(x) = y. FONTOS! Amíg kérdéses, hogy az adott reláció függvény-e avagy sem, szigorúan a (x, y) f vagy az x f y jelölés használandó

7 Példafeladat 1. Példa Függvény-e az alábbi reláció? Miért? f N N, x f y x < y

8 Példafeladat 1. Példa Függvény-e az alábbi reláció? Miért? Nem függvény. f N N, x f y x < y

9 Példafeladat 1. Példa Függvény-e az alábbi reláció? Miért? f N N, x f y x < y Nem függvény. Mert bármely rögzített x N esetén végtelen sok y N van, amelyre x < y és ezáltal x f y

10 Példafeladat 1. Példa Függvény-e az alábbi reláció? Miért? f N N, x f y x < y Nem függvény. Mert bármely rögzített x N esetén végtelen sok y N van, amelyre x < y és ezáltal x f y Már az is elég a cáfolathoz, ha egyetlen rögzített x N elemmel több y N áll relációban: Nem függvény, mert 3 f 4 és 3 f 5 is teljesül.

11 Önálló feladat 1. Feladat Függvény-e az alábbi reláció? Miért? f N N, x f y x = y

12 Önálló feladat 1. Feladat Függvény-e az alábbi reláció? Miért? f N N, x f y x = y Igen, az. Mert a reláció megadása alapján ha x, y N és (x, y) f illetve (x, z) f, akkor y = x = z. Ezzel f teljesíti a függvény definíciójában megadott feltételeket.

13 Házi feladatok Feladatok Függvény-e az alábbi reláció? Miért? A = {1, 2, 4}, B = {3, 6, 12}, f A B, x f y xy = 12 f N N, x f y x y Legyen P a prímszámok halmaza és f P P, x f y x y

14 Definíció 2. Definíció Legyen X A és f : A B, ekkor f(x) = {b B van olyan a X, hogy f(a) = b}

15 Példafeladat 2. Példa Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x Y) f(x) f(y)

16 Példafeladat 2. Példa Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x Y) f(x) f(y) Tegyük fel, hogy b f(x Y). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b (f(x) f(y)).

17 Példafeladat 2. Példa Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x Y) f(x) f(y) Tegyük fel, hogy b f(x Y). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b (f(x) f(y)). Mivel b f(x Y), van legalább egy a (X Y), amelyre f(a) = b.

18 Példafeladat 2. Példa Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x Y) f(x) f(y) Tegyük fel, hogy b f(x Y). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b (f(x) f(y)). Mivel b f(x Y), van legalább egy a (X Y), amelyre f(a) = b. Nyílván a X és a Y és ezért f(a) = b f(x) illetve f(a) = b f(y).

19 Példafeladat 2. Példa Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x Y) f(x) f(y) Tegyük fel, hogy b f(x Y). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b (f(x) f(y)). Mivel b f(x Y), van legalább egy a (X Y), amelyre f(a) = b. Nyílván a X és a Y és ezért f(a) = b f(x) illetve f(a) = b f(y). Tehát b (f(x) f(y)) és éppen ezt akartuk bebizonyítani.

20 Önálló feladat 2. Feladat Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x)\f(y) f(x\y)

21 Önálló feladat 2. Feladat Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x)\f(y) f(x\y) Tegyük fel, hogy b (f(x)\f(y)). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b f(x\y).

22 Önálló feladat 2. Feladat Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x)\f(y) f(x\y) Tegyük fel, hogy b (f(x)\f(y)). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b f(x\y). Mivel b (f(x)\f(y)), b f(x), de b f(y).

23 Önálló feladat 2. Feladat Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x)\f(y) f(x\y) Tegyük fel, hogy b (f(x)\f(y)). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b f(x\y). Mivel b (f(x)\f(y)), b f(x), de b f(y). Ezért van legalább egy a X, amelyre f(a) = b, de nincs olyan c Y, amelyre f(c) = b (tehát a Y ).

24 Önálló feladat 2. Feladat Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x)\f(y) f(x\y) Tegyük fel, hogy b (f(x)\f(y)). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b f(x\y). Mivel b (f(x)\f(y)), b f(x), de b f(y). Ezért van legalább egy a X, amelyre f(a) = b, de nincs olyan c Y, amelyre f(c) = b (tehát a Y ). Ezek alapján nyílván a (X\Y). Tehát b f(x\y) és éppen ezt akartuk bebizonyítani.

25 Házi feladatok Feladatok Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(a B) f(a) f(b) f(a) f(b) f(a B) f(a B) = f(a) f(b)

26 Házi feladatok Feladatok Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy Tipp f(a B) f(a) f(b) f(a) f(b) f(a B) f(a B) = f(a) f(b) Az első két feladatból következik a harmadik. (A halmazok egyenlőségét a kölcsönös tartalmazással is definiálhatjuk)

27 A teljes indukció elve 1. Tétel Ha M N olyan, hogy 1 M továbbá m+1 M minden m M esetén, akkor M = N.

28 Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n = n(n+1) 2

29 Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül.

30 Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor n(n+1) 2 = 1, tehát 1 M.

31 Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor n(n+1) 2 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor m = m(m+1) 2.

32 Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor n(n+1) 2 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor m = m(m+1) 2. Nyílván m+(m+1) = m(m+1) 2 +(m+1) = 2(m+1)+m(m+1) 2.

33 Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor n(n+1) 2 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor m = m(m+1) 2. Nyílván m+(m+1) = m(m+1) 2 +(m+1) = 2(m+1)+m(m+1) 2. Ha kiemelünk (m+1)-et, akkor azt kapjuk, hogy m+(m+1) = (m+2)(m+1) 2, tehát m+1 M következik.

34 Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor n(n+1) 2 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor m = m(m+1) 2. Nyílván m+(m+1) = m(m+1) 2 +(m+1) = 2(m+1)+m(m+1) 2. Ha kiemelünk (m+1)-et, akkor azt kapjuk, hogy m+(m+1) = (m+2)(m+1) 2, tehát m+1 M következik. Az 1. tétel alapján M = N és ezzel az állítást bebizonyítottuk.

35 Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n 1 = 2 n 1

36 Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n 1 = 2 n 1 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül.

37 Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n 1 = 2 n 1 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor 2 n 1 = 1, tehát 1 M.

38 Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n 1 = 2 n 1 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor 2 n 1 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor m 1 = 2 m 1.

39 Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n 1 = 2 n 1 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor 2 n 1 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor m 1 = 2 m 1. Nyílván n m = 2 m 1+2 m = 2 m+1 1, tehát m+1 M következik.

40 Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n 1 = 2 n 1 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor 2 n 1 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor m 1 = 2 m 1. Nyílván n m = 2 m 1+2 m = 2 m+1 1, tehát m+1 M következik. Az 1. tétel alapján M = N és ezzel az állítást bebizonyítottuk.

41 Házi feladatok Feladatok Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: (2n 1) = n n(n+1) = n n 3 = n+1 ) 2 ( n(n+1) 2

42 A klasszikus nulladrendű nyelv 3. Definíció Klasszikus nulladrendű nyelv en az rendezett hármast értjük, ahol L (0) = LC, Con, Form

43 A klasszikus nulladrendű nyelv 3. Definíció Klasszikus nulladrendű nyelv en az rendezett hármast értjük, ahol L (0) = LC, Con, Form LC = {,,,,,(,)} a nyelv logikai konstansainak a halmaza

44 A klasszikus nulladrendű nyelv 3. Definíció Klasszikus nulladrendű nyelv en az rendezett hármast értjük, ahol L (0) = LC, Con, Form LC = {,,,,,(,)} a nyelv logikai konstansainak a halmaza Con a nyelv nemlogikai konstansainak a legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmaza

45 A klasszikus nulladrendű nyelv 3. Definíció Klasszikus nulladrendű nyelv en az rendezett hármast értjük, ahol L (0) = LC, Con, Form LC = {,,,,,(,)} a nyelv logikai konstansainak a halmaza Con a nyelv nemlogikai konstansainak a legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmaza LC Con =

46 A klasszikus nulladrendű nyelv 3. Definíció Klasszikus nulladrendű nyelv en az rendezett hármast értjük, ahol L (0) = LC, Con, Form LC = {,,,,,(,)} a nyelv logikai konstansainak a halmaza Con a nyelv nemlogikai konstansainak a legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmaza LC Con = Form a nyelv formuláinak a halmaza.

47 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg:

48 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák)

49 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form

50 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form Ha A, B Form, akkor

51 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form Ha A, B Form, akkor (A B) Form

52 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form Ha A, B Form, akkor (A B) Form (A B) Form

53 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form Ha A, B Form, akkor (A B) Form (A B) Form (A B) Form

54 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form Ha A, B Form, akkor (A B) Form (A B) Form (A B) Form (A B) Form

55 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát!

56 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con

57 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form

58 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form Ha A, B Form, akkor

59 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b)

60 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b)

61 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b)

62 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b)

63 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát!

64 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con

65 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form

66 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form Ha A, B Form, akkor

67 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b)+1

68 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1

69 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1

70 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1

71 Házi feladatok Feladatok Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nyitó zárójelek számát! Tipp Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő záró zárójelek számát! Bizonyítsa be, hogy a nulladrendű nyelv minden egyes formulájában a nyitó és a záró zárójelek száma megegyezik Az első két feladatból következik a harmadik.

1. Logikailag ekvivalens

1. Logikailag ekvivalens Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 4. gyakorlat 1. Logikailag ekvivalens 1. Az alábbi formulák közül melyek logikailag ekvivalensek a ( p p) formulával? A. ((q p) q) B. (q q) C. ( p q) D.

Részletesebben

Függvényegyenletek 1. feladat megoldása

Függvényegyenletek 1. feladat megoldása Függvényegyenletek 1. feladat megoldása Először is vegyük észre, hogy f(x) = x megoldás, hiszen x y = (x y)(x + y). (Triviális megoldás.) Másodszor vegyük észre, hogy f(x) = cx is megoldás, hiszen c(x

Részletesebben

AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI

AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2017/2018. I. félév 4. gyakorlat Interpretáció A ϱ függvényt az L (0) = LC, Con, Form nulladrendű nyelv egy

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1

Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1 Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája Logika és számításelmélet, 3. gyakorlat 2009/10 II. félév Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1 Az elsőrendű logika Elemek egy

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók 5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 A kiterjesztési elv 2 Nyelvi változók A kiterjesztési elv 237 A KITERJESZTÉSI ELV A

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Logika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László

Logika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László Logika kiskáté Mihálydeák Tamás és Aszalós László 2012 1. Definíciók 1. Adja meg a klasszikus nulladrendű nyel definícióját! Klasszikus nulladrendű nyelen az L (0) = LC, Con, F orm rendezett hármast értjük,

Részletesebben

4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre

4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre 4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 1/8 4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre

Részletesebben

Az informatika logikai alapjai

Az informatika logikai alapjai Az informatika logikai alapjai Várterész Magda DE, Informatikai Kar PTI BSc és informatikatanár hallgatók számára 2017. Példák Az alábbi világokban állításokat akarunk megfogalmazni: A táblára színes karikákat

Részletesebben

Logika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László

Logika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László Logika kiskáté Mihálydeák Tamás és Aszalós László 2012 1. Definíciók 1. Adja meg a klasszikus nulladrendű nyel definícióját! Klasszikus nulladrendű nyelen az L (0) = LC, Con, F orm rendezett hármast értjük,

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. középszint

Diszkrét matematika 1. középszint Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. 1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,

Részletesebben

SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI

SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI INBGM0101-17 Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2017/2018. I. félév 2. gyakorlat Az alábbi összefüggések közül melyek érvényesek minden A, B halmaz

Részletesebben

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes 1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,

Részletesebben

Dr. Vincze Szilvia;

Dr. Vincze Szilvia; 2014. szeptember 17. és 19. Dr. Vincze Szilvia; vincze@agr.unideb.hu https://portal.agr.unideb.hu/oktatok/drvinczeszilvia/oktatas/oktatott_targyak/index/index.html 2010/2011-es tanév I. féléves tematika

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

1. Definíciók. 2. Formulák. Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 3. gyakorlat

1. Definíciók. 2. Formulák. Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 3. gyakorlat Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 3. gyakorlat 1. Definíciók A feladatokban bevezetünk két újabb logikai konstanst: a és jellel jelölteket. Ez a két konstans önmagában is formulának tekintendő.

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Halmazelméleti alapfogalmak

Halmazelméleti alapfogalmak Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

DiMat II Végtelen halmazok

DiMat II Végtelen halmazok DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy

Részletesebben

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

Kétváltozós függvények differenciálszámítása Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt

Részletesebben

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia 2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai

Részletesebben

Matematika alapjai; Feladatok

Matematika alapjai; Feladatok Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Kombinatorika

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy 1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,

Részletesebben

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :

Részletesebben

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Negyedik el oad as 1/26

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Negyedik el oad as 1/26 1/26 Logika és számításelmélet I. rész Logika Negyedik előadás Tartalom 2/26 Az elsőrendű logika szemantikája Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai Elsőrendű logikai nyelv interpretációja

Részletesebben

A félév során előkerülő témakörök

A félév során előkerülő témakörök A félév során előkerülő témakörök rekurzív algoritmusok rendező algoritmusok alapvető adattípusok, adatszerkezetek, és kapcsolódó algoritmusok dinamikus programozás mohó algoritmusok gráf algoritmusok

Részletesebben

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Hatodik el oad as 1/33

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Hatodik el oad as 1/33 1/33 Logika és számításelmélet I. rész Logika Hatodik előadás Tartalom 2/33 Elsőrendű rezolúciós kalkulus - előkészítő fogalmak Prenex formula, Skolem normálforma 3/33 Eldönthető formulaosztályok keresése

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 2. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Matematikai logika Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Nagyságrendek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT február 1.

Nagyságrendek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT február 1. Nagyságrendek Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz (a Rónyai Ivanyos Szabó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 018. február 1. Az O, Ω, Θ jelölések Az algoritmusok

Részletesebben

Matematikai logika és halmazelmélet

Matematikai logika és halmazelmélet Matematikai logika és halmazelmélet Wettl Ferenc előadása alapján 2015-09-07 Wettl Ferenc előadása alapján Matematikai logika és halmazelmélet 2015-09-07 1 / 21 Tartalom 1 Matematikai kijelentések szerkezete

Részletesebben

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész

Részletesebben

Fraktálok. Klasszikus fraktálpéldák I. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék

Fraktálok. Klasszikus fraktálpéldák I. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék Fraktálok Klasszikus fraktálpéldák I Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 86 Bevezetés. 2 of 86 TARTALOMJEGYZÉK Bevezetés. Az önhasonlóságról intuitív módon Klasszikus

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1 Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival

Részletesebben

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Harmadik el oad as 1/33

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Harmadik el oad as 1/33 1/33 Logika és számításelmélet I. rész Logika Harmadik előadás Tartalom 2/33 Elsőrendű logika bevezetés Az elsőrendű logika szintaxisa 3/33 Nulladrendű állítás Az ítéletlogikában nem foglalkoztunk az álĺıtások

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Diszkrét matematika 1. estis képzés Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia;

2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia; 2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia; vincze@fin.unideb.hu https://portal.agr.unideb.hu/oktatok/drvinczeszilvia Első pillantásra hihetetlennek tűnik, hogy egy olyan tiszta és érzelmektől mentes tudomány,

Részletesebben

Leképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok.

Leképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok. Leképezések Leképezések tulajdonságai. Számosságok. 1. Leképezések tulajdonságai A továbbiakban legyen A és B két tetszőleges halmaz. Idézzünk fel néhány definíciót. 1. Definíció (Emlékeztető). Relációknak

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 9. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Halmazok Diszkrét

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)

A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták) A 205/206. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták Javítási-értékelési útmutató. feladat Az {,2,...,n} halmaz

Részletesebben

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

1/50. Teljes indukció 1. Back Close 1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 4. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

A matematika nyelvér l bevezetés

A matematika nyelvér l bevezetés A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 4. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

Bevezetés az informatikába

Bevezetés az informatikába Bevezetés az informatikába 6. előadás Dr. Istenes Zoltán Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Programozáselmélet és Szoftvertechnológiai Tanszék Matematikus BSc - I. félév / 2008 / Budapest Dr.

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA. Példák fraktálokra I. Czirbusz Sándor február 1. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar

FRAKTÁLGEOMETRIA. Példák fraktálokra I. Czirbusz Sándor február 1. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar Példák fraktálokra I Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. február 1. Vázlat 1 Mi a fraktál? 2 A konstrukció Egyszerű tulajdonságok Triadikus ábrázolás Transzlációk

Részletesebben

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika 1/36

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika 1/36 1/36 Logika és számításelmélet I. rész Logika 2/36 Elérhetőségek Tejfel Máté Déli épület, 2.606 matej@inf.elte.hu http://matej.web.elte.hu Tankönyv 3/36 Tartalom 4/36 Bevezető fogalmak Ítéletlogika Ítéletlogika

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Logika és számításelmélet. 10. előadás

Logika és számításelmélet. 10. előadás Logika és számításelmélet 10. előadás Rice tétel Rekurzíve felsorolható nyelvek tulajdonságai Tetszőleges P RE halmazt a rekurzívan felsorolható nyelvek egy tulajdonságának nevezzük. P triviális, ha P

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 21. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL A. RÉSZ

FELVÉTELI VIZSGA, július 21. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL A. RÉSZ BABE -BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 9. július. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL FONTOS MEGJEGYZÉS: ) Az A. részben megjelen feleletválasztós feladatok esetén

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Adatbázisok elmélete 12. előadás

Adatbázisok elmélete 12. előadás Adatbázisok elmélete 12. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu http://www.cs.bme.hu/ kiskat 2005 ADATBÁZISOK ELMÉLETE

Részletesebben