2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció"

Átírás

1 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév

2 Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák

3 Definíció 1. Definíció Az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A, y B esetén, ha (x, y) f és (x, z) f, akkor y = z. Ekkor a függvényt a következőképp jelöljük: f : A B.

4 Definíció 1. Definíció Az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A, y B esetén, ha (x, y) f és (x, z) f, akkor y = z. Ekkor a függvényt a következőképp jelöljük: f : A B. Lazábban fogalmazva az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A esetén egyértelműen létezik olyan y B, hogy (x, y) f.

5 Definíció 1. Definíció Az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A, y B esetén, ha (x, y) f és (x, z) f, akkor y = z. Ekkor a függvényt a következőképp jelöljük: f : A B. Lazábban fogalmazva az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A esetén egyértelműen létezik olyan y B, hogy (x, y) f. Függvények esetén azt, hogy (x, y) f úgy szokás jelölni, hogy f(x) = y.

6 Definíció 1. Definíció Az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A, y B esetén, ha (x, y) f és (x, z) f, akkor y = z. Ekkor a függvényt a következőképp jelöljük: f : A B. Lazábban fogalmazva az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A esetén egyértelműen létezik olyan y B, hogy (x, y) f. Függvények esetén azt, hogy (x, y) f úgy szokás jelölni, hogy f(x) = y. FONTOS! Amíg kérdéses, hogy az adott reláció függvény-e avagy sem, szigorúan a (x, y) f vagy az x f y jelölés használandó

7 Példafeladat 1. Példa Függvény-e az alábbi reláció? Miért? f N N, x f y x < y

8 Példafeladat 1. Példa Függvény-e az alábbi reláció? Miért? Nem függvény. f N N, x f y x < y

9 Példafeladat 1. Példa Függvény-e az alábbi reláció? Miért? f N N, x f y x < y Nem függvény. Mert bármely rögzített x N esetén végtelen sok y N van, amelyre x < y és ezáltal x f y

10 Példafeladat 1. Példa Függvény-e az alábbi reláció? Miért? f N N, x f y x < y Nem függvény. Mert bármely rögzített x N esetén végtelen sok y N van, amelyre x < y és ezáltal x f y Már az is elég a cáfolathoz, ha egyetlen rögzített x N elemmel több y N áll relációban: Nem függvény, mert 3 f 4 és 3 f 5 is teljesül.

11 Önálló feladat 1. Feladat Függvény-e az alábbi reláció? Miért? f N N, x f y x = y

12 Önálló feladat 1. Feladat Függvény-e az alábbi reláció? Miért? f N N, x f y x = y Igen, az. Mert a reláció megadása alapján ha x, y N és (x, y) f illetve (x, z) f, akkor y = x = z. Ezzel f teljesíti a függvény definíciójában megadott feltételeket.

13 Házi feladatok Feladatok Függvény-e az alábbi reláció? Miért? A = {1, 2, 4}, B = {3, 6, 12}, f A B, x f y xy = 12 f N N, x f y x y Legyen P a prímszámok halmaza és f P P, x f y x y

14 Definíció 2. Definíció Legyen X A és f : A B, ekkor f(x) = {b B van olyan a X, hogy f(a) = b}

15 Példafeladat 2. Példa Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x Y) f(x) f(y)

16 Példafeladat 2. Példa Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x Y) f(x) f(y) Tegyük fel, hogy b f(x Y). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b (f(x) f(y)).

17 Példafeladat 2. Példa Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x Y) f(x) f(y) Tegyük fel, hogy b f(x Y). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b (f(x) f(y)). Mivel b f(x Y), van legalább egy a (X Y), amelyre f(a) = b.

18 Példafeladat 2. Példa Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x Y) f(x) f(y) Tegyük fel, hogy b f(x Y). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b (f(x) f(y)). Mivel b f(x Y), van legalább egy a (X Y), amelyre f(a) = b. Nyílván a X és a Y és ezért f(a) = b f(x) illetve f(a) = b f(y).

19 Példafeladat 2. Példa Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x Y) f(x) f(y) Tegyük fel, hogy b f(x Y). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b (f(x) f(y)). Mivel b f(x Y), van legalább egy a (X Y), amelyre f(a) = b. Nyílván a X és a Y és ezért f(a) = b f(x) illetve f(a) = b f(y). Tehát b (f(x) f(y)) és éppen ezt akartuk bebizonyítani.

20 Önálló feladat 2. Feladat Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x)\f(y) f(x\y)

21 Önálló feladat 2. Feladat Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x)\f(y) f(x\y) Tegyük fel, hogy b (f(x)\f(y)). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b f(x\y).

22 Önálló feladat 2. Feladat Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x)\f(y) f(x\y) Tegyük fel, hogy b (f(x)\f(y)). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b f(x\y). Mivel b (f(x)\f(y)), b f(x), de b f(y).

23 Önálló feladat 2. Feladat Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x)\f(y) f(x\y) Tegyük fel, hogy b (f(x)\f(y)). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b f(x\y). Mivel b (f(x)\f(y)), b f(x), de b f(y). Ezért van legalább egy a X, amelyre f(a) = b, de nincs olyan c Y, amelyre f(c) = b (tehát a Y ).

24 Önálló feladat 2. Feladat Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x)\f(y) f(x\y) Tegyük fel, hogy b (f(x)\f(y)). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b f(x\y). Mivel b (f(x)\f(y)), b f(x), de b f(y). Ezért van legalább egy a X, amelyre f(a) = b, de nincs olyan c Y, amelyre f(c) = b (tehát a Y ). Ezek alapján nyílván a (X\Y). Tehát b f(x\y) és éppen ezt akartuk bebizonyítani.

25 Házi feladatok Feladatok Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(a B) f(a) f(b) f(a) f(b) f(a B) f(a B) = f(a) f(b)

26 Házi feladatok Feladatok Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy Tipp f(a B) f(a) f(b) f(a) f(b) f(a B) f(a B) = f(a) f(b) Az első két feladatból következik a harmadik. (A halmazok egyenlőségét a kölcsönös tartalmazással is definiálhatjuk)

27 A teljes indukció elve 1. Tétel Ha M N olyan, hogy 1 M továbbá m+1 M minden m M esetén, akkor M = N.

28 Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n = n(n+1) 2

29 Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül.

30 Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor n(n+1) 2 = 1, tehát 1 M.

31 Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor n(n+1) 2 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor m = m(m+1) 2.

32 Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor n(n+1) 2 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor m = m(m+1) 2. Nyílván m+(m+1) = m(m+1) 2 +(m+1) = 2(m+1)+m(m+1) 2.

33 Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor n(n+1) 2 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor m = m(m+1) 2. Nyílván m+(m+1) = m(m+1) 2 +(m+1) = 2(m+1)+m(m+1) 2. Ha kiemelünk (m+1)-et, akkor azt kapjuk, hogy m+(m+1) = (m+2)(m+1) 2, tehát m+1 M következik.

34 Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor n(n+1) 2 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor m = m(m+1) 2. Nyílván m+(m+1) = m(m+1) 2 +(m+1) = 2(m+1)+m(m+1) 2. Ha kiemelünk (m+1)-et, akkor azt kapjuk, hogy m+(m+1) = (m+2)(m+1) 2, tehát m+1 M következik. Az 1. tétel alapján M = N és ezzel az állítást bebizonyítottuk.

35 Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n 1 = 2 n 1

36 Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n 1 = 2 n 1 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül.

37 Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n 1 = 2 n 1 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor 2 n 1 = 1, tehát 1 M.

38 Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n 1 = 2 n 1 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor 2 n 1 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor m 1 = 2 m 1.

39 Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n 1 = 2 n 1 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor 2 n 1 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor m 1 = 2 m 1. Nyílván n m = 2 m 1+2 m = 2 m+1 1, tehát m+1 M következik.

40 Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n 1 = 2 n 1 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor 2 n 1 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor m 1 = 2 m 1. Nyílván n m = 2 m 1+2 m = 2 m+1 1, tehát m+1 M következik. Az 1. tétel alapján M = N és ezzel az állítást bebizonyítottuk.

41 Házi feladatok Feladatok Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: (2n 1) = n n(n+1) = n n 3 = n+1 ) 2 ( n(n+1) 2

42 A klasszikus nulladrendű nyelv 3. Definíció Klasszikus nulladrendű nyelv en az rendezett hármast értjük, ahol L (0) = LC, Con, Form

43 A klasszikus nulladrendű nyelv 3. Definíció Klasszikus nulladrendű nyelv en az rendezett hármast értjük, ahol L (0) = LC, Con, Form LC = {,,,,,(,)} a nyelv logikai konstansainak a halmaza

44 A klasszikus nulladrendű nyelv 3. Definíció Klasszikus nulladrendű nyelv en az rendezett hármast értjük, ahol L (0) = LC, Con, Form LC = {,,,,,(,)} a nyelv logikai konstansainak a halmaza Con a nyelv nemlogikai konstansainak a legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmaza

45 A klasszikus nulladrendű nyelv 3. Definíció Klasszikus nulladrendű nyelv en az rendezett hármast értjük, ahol L (0) = LC, Con, Form LC = {,,,,,(,)} a nyelv logikai konstansainak a halmaza Con a nyelv nemlogikai konstansainak a legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmaza LC Con =

46 A klasszikus nulladrendű nyelv 3. Definíció Klasszikus nulladrendű nyelv en az rendezett hármast értjük, ahol L (0) = LC, Con, Form LC = {,,,,,(,)} a nyelv logikai konstansainak a halmaza Con a nyelv nemlogikai konstansainak a legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmaza LC Con = Form a nyelv formuláinak a halmaza.

47 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg:

48 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák)

49 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form

50 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form Ha A, B Form, akkor

51 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form Ha A, B Form, akkor (A B) Form

52 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form Ha A, B Form, akkor (A B) Form (A B) Form

53 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form Ha A, B Form, akkor (A B) Form (A B) Form (A B) Form

54 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form Ha A, B Form, akkor (A B) Form (A B) Form (A B) Form (A B) Form

55 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát!

56 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con

57 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form

58 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form Ha A, B Form, akkor

59 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b)

60 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b)

61 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b)

62 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b)

63 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát!

64 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con

65 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form

66 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form Ha A, B Form, akkor

67 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b)+1

68 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1

69 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1

70 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1

71 Házi feladatok Feladatok Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nyitó zárójelek számát! Tipp Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő záró zárójelek számát! Bizonyítsa be, hogy a nulladrendű nyelv minden egyes formulájában a nyitó és a záró zárójelek száma megegyezik Az első két feladatból következik a harmadik.

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre

4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre 4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 1/8 4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók 5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 A kiterjesztési elv 2 Nyelvi változók A kiterjesztési elv 237 A KITERJESZTÉSI ELV A

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 2. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Matematikai logika Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

A matematika nyelvér l bevezetés

A matematika nyelvér l bevezetés A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA. Példák fraktálokra I. Czirbusz Sándor február 1. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar

FRAKTÁLGEOMETRIA. Példák fraktálokra I. Czirbusz Sándor február 1. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar Példák fraktálokra I Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. február 1. Vázlat 1 Mi a fraktál? 2 A konstrukció Egyszerű tulajdonságok Triadikus ábrázolás Transzlációk

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

A logikai következmény

A logikai következmény Logika 3 A logikai következmény A logika egyik feladata: helyes következtetési sémák kialakítása. Példa következtetésekre : Minden veréb madár. Minden madár gerinces. Minden veréb gerinces 1.Feltétel 2.Feltétel

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Felmentések. Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat és vizsga alól.

Felmentések. Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat és vizsga alól. Felmentések Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat és vizsga alól. Az eredménye, ezek után a számításelélet részből elért eredmény

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Dr. Jelasity Márk. Mesterséges Intelligencia I. Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin

Dr. Jelasity Márk. Mesterséges Intelligencia I. Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin Elsőrendű logika -Ítéletkalkulus : Az elsőrendű logika egy speciális esete, itt csak nullad

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

1/50. Teljes indukció 1. Back Close 1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

Kaposi Ambrus. University of Nottingham Functional Programming Lab. Hackerspace Budapest 2015. január 6.

Kaposi Ambrus. University of Nottingham Functional Programming Lab. Hackerspace Budapest 2015. január 6. Bizonyítás és programozás Kaposi Ambrus University of Nottingham Functional Programming Lab Hackerspace Budapest 2015. január 6. Bizonyítás, érvelés Példa: sáros a csizmám ha vizes a föld, esett az eső

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Kétváltozós függvény szélsőértéke

Kétváltozós függvény szélsőértéke Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Kiterjesztések sek szemantikája

Kiterjesztések sek szemantikája Kiterjesztések sek szemantikája Példa D Integer = {..., -1,0,1,... }; D Boolean = { true, false } D T1... T n T = D T 1... D Tn D T Az összes függvf ggvény halmaza, amelyek a D T1,..., D Tn halmazokból

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Bevezetés... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán... 11 C) Többváltozós függvényegyenletek megoldása

Tartalomjegyzék. Bevezetés... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán... 11 C) Többváltozós függvényegyenletek megoldása 5 Tartalomjegyzék Bevezetés.......................................................... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán........... 11 B) Egyváltozós függvényegyenletek megoldása....................

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 1. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2008 tavasz Követelmények A tárgy (ea+gyak) teljesítésének követlményeit

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Ésik Zoltán (SZTE Informatikai Tanszékcsoport) Logika a számtastudományban Logika és informatikai alkalmazásai Varterész Magdolna, Uni-Deb

Ésik Zoltán (SZTE Informatikai Tanszékcsoport) Logika a számtastudományban Logika és informatikai alkalmazásai Varterész Magdolna, Uni-Deb Logika, 5. Az előadásfóliák ÉsikZoltén (SZTE InformatikaiTanszékcsoport) Logikaa szamtastudomanyban Logikaes informatikaialkalmazasai Előadásai alapján készültek Ésik Zoltán (SZTE Informatikai Tanszékcsoport)

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Hozzárendelés, lineáris függvény

Hozzárendelés, lineáris függvény Hozzárendelés, lineáris függvény Feladat 1 A ménesben a lovak száma és a lábaik száma közötti összefüggést vizsgáljuk. Hány lába van 0; 1; 2; 3; 5; 7... lónak? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold derékszögű

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 1 Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések A matematikában alapfogalmaknak tekintjük azokat a fogalmakat, amelyeket nem határozunk meg, nem definiálunk más fogalmak segítségével

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Logika nyelvészeknek, 12. óra A típuselmélet alapjai. Lehetőség van a kvantorfogalom mellett a funktorfogalom általánosítására is.

Logika nyelvészeknek, 12. óra A típuselmélet alapjai. Lehetőség van a kvantorfogalom mellett a funktorfogalom általánosítására is. Logika nyelvészeknek, 12. óra A típuselmélet alapjai Lehetőség van a kvantorfogalom mellett a funktorfogalom általánosítására is. Az L 1 elsőrendű nyelvben csak bizonyos típusú funktoraink voltak: ami

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.

Részletesebben

... S n. A párhuzamos programszerkezet két vagy több folyamatot tartalmaz, melyek egymással közös változó segítségével kommunikálnak.

... S n. A párhuzamos programszerkezet két vagy több folyamatot tartalmaz, melyek egymással közös változó segítségével kommunikálnak. Párhuzamos programok Legyen S parbegin S 1... S n parend; program. A párhuzamos programszerkezet két vagy több folyamatot tartalmaz, melyek egymással közös változó segítségével kommunikálnak. Folyamat

Részletesebben

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok Halmazok Jelölések: A halmazok jele általában nyomtatott nagybetű: A, B, C Az x eleme az A halmaznak: Az x nem eleme az A halmaznak: Az A halmaz az a, b, c elemekből áll: A halmazban egy elemet csak egyszer

Részletesebben

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük.

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. Hozzárendelések A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. A B Egyértelmű a hozzárendelés, ha az A halmaz mindegyik

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Permutáció n = 3 esetében: Eredmény: permutációk száma: P n = n! romámul: permutări, angolul: permutation

Permutáció n = 3 esetében: Eredmény: permutációk száma: P n = n! romámul: permutări, angolul: permutation Visszalépéses módszer (Backtracking) folytatás Permutáció n = 3 esetében: 1 2 3 2 3 1 3 1 2 Eredmény: 3 2 3 1 2 1 123 132 213 231 312 321 permutációk száma: P n = n! romámul: permutări, angolul: permutation

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben