Fraktálok. Klasszikus fraktálpéldák I. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék
|
|
|
- Judit Tóth
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Fraktálok Klasszikus fraktálpéldák I Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 86
2 Bevezetés. 2 of 86 TARTALOMJEGYZÉK Bevezetés. Az önhasonlóságról intuitív módon Klasszikus fraktálpéldák. Kiegészítés MI A FRAKTÁL? A fraktál olyan halmaz, melynek a Haussdorff-Besicovitch dimenziója szigorúan nagyobb, mint a topológiai dimenziója
3 Bevezetés. 3 of 86 TARTALOMJEGYZÉK Bevezetés. Az önhasonlóságról intuitív módon Klasszikus fraktálpéldák. Kiegészítés MI A FRAKTÁL? A fraktál olyan halmaz, melynek a Haussdorff-Besicovitch dimenziója szigorúan nagyobb, mint a topológiai dimenziója Mandelbrot
4 AZ ÖNHASONLÓSÁG ÉS DIMENZIÓ INTUITÍV MEGKÖZELÍTÉSE szakasz, négyzet, kockafelbontása Az önhasonlóságról intuitív módon 4 of 86
5 AZ ÖNHASONLÓSÁG ÉS DIMENZIÓ INTUITÍV MEGKÖZELÍTÉSE szakasz, négyzet, kockafelbontása Nr d = 1, innen d = log N log 1 3 Az önhasonlóságról intuitív módon 5 of 86
6 Cantor - halmaz. A CANTOR HALMAZ KONSTRUKCIÓJA Legyen C 0 = [0, 1] Klasszikus fraktálpéldák. 6 of 86
7 Cantor - halmaz. A CANTOR HALMAZ KONSTRUKCIÓJA Legyen C 0 = [0, 1] Hagyjuk el az ( 1 3, 2 3 ) intervallumot! Klasszikus fraktálpéldák. 7 of 86
8 Cantor - halmaz. A CANTOR HALMAZ KONSTRUKCIÓJA Legyen C 0 = [0, 1] Hagyjuk el az ( 1 3, 2 3 ) intervallumot! C 1 = [0, 1 3 ] [ 2 3, 1] Klasszikus fraktálpéldák. 8 of 86
9 Cantor - halmaz. A CANTOR HALMAZ KONSTRUKCIÓJA Legyen C 0 = [0, 1] Hagyjuk el az ( 1 3, 2 3 ) intervallumot! C 1 = [0, 1 3 ] [ 2 3, 1]... minden lépésben hagyjuk el a megmaradt intervallumok középső harmadát! Klasszikus fraktálpéldák. 9 of 86
10 Cantor - halmaz. A CANTOR HALMAZ KONSTRUKCIÓJA Legyen C 0 = [0, 1] Hagyjuk el az ( 1 3, 2 3 ) intervallumot! C 1 = [0, 1 3 ] [ 2 3, 1]... minden lépésben hagyjuk el a megmaradt intervallumok középső harmadát! C = k=1 C k a Cantor-halmaz Klasszikus fraktálpéldák. 10 of 86
11 Cantor - halmaz. A CANTOR HALMAZ KONSTRUKCIÓJA Legyen C 0 = [0, 1] Hagyjuk el az ( 1 3, 2 3 ) intervallumot! C 1 = [0, 1 3 ] [ 2 3, 1]... minden lépésben hagyjuk el a megmaradt intervallumok középső harmadát! C = k=1 C k a Cantor-halmaz Megjegyzés: az elhagyott intervallumot az angol irodalom néha trema néven illeti. Klasszikus fraktálpéldák. 11 of 86
12 Cantor - halmaz. A CANTOR HALMAZ KONSTRUKCIÓJA Legyen C 0 = [0, 1] Hagyjuk el az ( 1 3, 2 3 ) intervallumot! C 1 = [0, 1 3 ] [ 2 3, 1]... minden lépésben hagyjuk el a megmaradt intervallumok középső harmadát! C = k=1 C k a Cantor-halmaz Megjegyzés: az elhagyott intervallumot az angol irodalom néha trema néven illeti. Klasszikus fraktálpéldák. 12 of 86
13 Cantor - halmaz. A CANTOR HALMAZ KONSTRUKCIÓJA Legyen C 0 = [0, 1] Hagyjuk el az ( 1 3, 2 3 ) intervallumot! C 1 = [0, 1 3 ] [ 2 3, 1]... minden lépésben hagyjuk el a megmaradt intervallumok középső harmadát! C = k=1 C k a Cantor-halmaz Megjegyzés: az elhagyott intervallumot az angol irodalom néha trema néven illeti. Klasszikus fraktálpéldák. 13 of 86
14 Cantor - halmaz. A CANTOR HALMAZ KONSTRUKCIÓJA Legyen C 0 = [0, 1] Hagyjuk el az ( 1 3, 2 3 ) intervallumot! C 1 = [0, 1 3 ] [ 2 3, 1]... minden lépésben hagyjuk el a megmaradt intervallumok középső harmadát! C = k=1 C k a Cantor-halmaz Megjegyzés: az elhagyott intervallumot az angol irodalom néha trema néven illeti. Klasszikus fraktálpéldák. 14 of 86
15 Cantor - halmaz. A CANTOR HALMAZ KONSTRUKCIÓJA Legyen C 0 = [0, 1] Hagyjuk el az ( 1 3, 2 3 ) intervallumot! C 1 = [0, 1 3 ] [ 2 3, 1]... minden lépésben hagyjuk el a megmaradt intervallumok középső harmadát! C = k=1 C k a Cantor-halmaz Megjegyzés: az elhagyott intervallumot az angol irodalom néha trema néven illeti. Klasszikus fraktálpéldák. 15 of 86
16 Cantor - halmaz. A CANTOR HALMAZ KONSTRUKCIÓJA Legyen C 0 = [0, 1] Hagyjuk el az ( 1 3, 2 3 ) intervallumot! C 1 = [0, 1 3 ] [ 2 3, 1]... minden lépésben hagyjuk el a megmaradt intervallumok középső harmadát! C = k=1 C k a Cantor-halmaz Megjegyzés: az elhagyott intervallumot az angol irodalom néha trema néven illeti. Klasszikus fraktálpéldák. 16 of 86
17 Cantor - halmaz. A CANTOR HALMAZ KONSTRUKCIÓJA Legyen C 0 = [0, 1] Hagyjuk el az ( 1 3, 2 3 ) intervallumot! C 1 = [0, 1 3 ] [ 2 3, 1]... minden lépésben hagyjuk el a megmaradt intervallumok középső harmadát! C = k=1 C k a Cantor-halmaz Megjegyzés: az elhagyott intervallumot az angol irodalom néha trema néven illeti. Klasszikus fraktálpéldák. 17 of 86
18 Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: Klasszikus fraktálpéldák. 18 of 86
19 Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: 2 k Klasszikus fraktálpéldák. 19 of 86
20 Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: 2 k 2 Egy ilyen intervallum hossza: Klasszikus fraktálpéldák. 20 of 86
21 Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: 2 k 2 Egy ilyen intervallum hossza: 1 3 k Klasszikus fraktálpéldák. 21 of 86
22 Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: 2 k 2 Egy ilyen intervallum hossza: 1 3 k 3 A k-adik konstrukció: Klasszikus fraktálpéldák. 22 of 86
23 Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: 2 k 2 Egy ilyen intervallum hossza: 1 3 k 3 A k-adik konstrukció: l(c k ) = ( 2 3 )k Klasszikus fraktálpéldák. 23 of 86
24 Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: 2 k 2 Egy ilyen intervallum hossza: 1 3 k 3 A k-adik konstrukció: l(c k ) = ( 2 3 )k 4 A Cantor-halmaz hossza: Klasszikus fraktálpéldák. 24 of 86
25 Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: 2 k 2 Egy ilyen intervallum hossza: 1 3 k 3 A k-adik konstrukció: l(c k ) = ( 2 3 )k 4 A Cantor-halmaz hossza: l(c) = 0 Klasszikus fraktálpéldák. 25 of 86
26 Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: 2 k 2 Egy ilyen intervallum hossza: 1 3 k 3 A k-adik konstrukció: l(c k ) = ( 2 3 )k 4 A Cantor-halmaz hossza: l(c) = 0 5 Ha a, b [0, 1] és valamely k -ra [a, b] a C k -t alkotó részintervallum, akkor minden n >= k esetén a, b C n Klasszikus fraktálpéldák. 26 of 86
27 Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: 2 k 2 Egy ilyen intervallum hossza: 1 3 k 3 A k-adik konstrukció: l(c k ) = ( 2 3 )k 4 A Cantor-halmaz hossza: l(c) = 0 5 Ha a, b [0, 1] és valamely k -ra [a, b] a C k -t alkotó részintervallum, akkor minden n >= k esetén a, b C n 6 Nem minden elem intervallum-végpont: Klasszikus fraktálpéldák. 27 of 86
28 Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: 2 k 2 Egy ilyen intervallum hossza: 1 3 k 3 A k-adik konstrukció: l(c k ) = ( 2 3 )k 4 A Cantor-halmaz hossza: l(c) = 0 5 Ha a, b [0, 1] és valamely k -ra [a, b] a C k -t alkotó részintervallum, akkor minden n >= k esetén a, b C n 6 Nem minden elem intervallum-végpont: 1 4 Klasszikus fraktálpéldák. 28 of 86
29 Triadikus ábrázolás általában TRIADIKUS ÁBRÁZOLÁS ÁLTALÁBAN Bármely x N ábrázolható 3-as számrendszerben x = M a i 3 i i=0 formában. Klasszikus fraktálpéldák. 29 of 86
30 Triadikus ábrázolás általában TRIADIKUS ÁBRÁZOLÁS ÁLTALÁBAN Bármely x N ábrázolható 3-as számrendszerben x = M a i 3 i i=0 formában. A [0, 1] között számok felírhatók x = a i 3 i i=1 alakban. Klasszikus fraktálpéldák. 30 of 86
31 Triadikus ábrázolás általában A Cantor halmaz triadikus ábrázolása Tétel Az x [0, 1] szám pontosan akkor van benne C -ben ha van olyan triadikus felírása, melyben nem szerepel 1 -es Klasszikus fraktálpéldák. 31 of 86
32 Triadikus ábrázolás általában A Cantor halmaz triadikus ábrázolása Tétel Az x [0, 1] szám pontosan akkor van benne C -ben ha van olyan triadikus felírása, melyben nem szerepel 1 -es Klasszikus fraktálpéldák. 32 of 86
33 Triadikus ábrázolás általában A Cantor halmaz triadikus ábrázolása Tétel Az x [0, 1] szám pontosan akkor van benne C -ben ha van olyan triadikus felírása, melyben nem szerepel 1 -es Következmény A Cantor halmaz nem megszámlálható. Klasszikus fraktálpéldák. 33 of 86
34 Triadikus ábrázolás általában BIZONYÍTÁS Bizonyítás Klasszikus fraktálpéldák. 34 of 86
35 Triadikus ábrázolás általában BIZONYÍTÁS Bizonyítás A hármas számrendszerbeli felírásban azok a számok, melyekben a harmadosvessző utáni első pozción 1 van 1 3 = ( ) 3 és 2 3 = ( ) közé esnek. Hagyjuk el ezeket! A végpontok maradnak, mivel van 1-et nem tartalmazó előállításuk. Vagyis pont a ( 1 3, 2 3 ) nyílt intervallumot töröljük. Így C 1 pontosan azokat a számokat tartalmazza, melyek előállíthatók úgy, hogy az első pozíción nincs 1-es. A második pozíción pontosan akkor van 1-es, ha a ( 1 9, 2 9 ) vagy ( 7 9, 8 9 ) intervallumba esnek. Elhagyva, kapjuk C 2-t. S.í.t. Klasszikus fraktálpéldák. 35 of 86
36 Triadikus ábrázolás általában TRANSZLÁCIÓK I Ha L R, s L, akkor az L + s = x + s : x L halmazt al L halmaz s-el való eltoltjának nevezzük. Klasszikus fraktálpéldák. 36 of 86
37 Triadikus ábrázolás általában TRANSZLÁCIÓK I Ha L R, s L, akkor az L + s = x + s : x L halmazt al L halmaz s-el való eltoltjának nevezzük. Definiáljuk a következő sorozatokat : L 0 = 0, legyen továbbá s 0 = 2 3, és L k = L k 1 (L k 1 + s k 1 ), s k = s k 1 3 Klasszikus fraktálpéldák. 37 of 86
38 Triadikus ábrázolás általában TRANSZLÁCIÓK I Ha L R, s L, akkor az L + s = x + s : x L halmazt al L halmaz s-el való eltoltjának nevezzük. Definiáljuk a következő sorozatokat : L 0 = 0, legyen továbbá s 0 = 2 3, és L k = L k 1 (L k 1 + s k 1 ), s k = s k 1 3 L 0 L 1 L Klasszikus fraktálpéldák. 38 of 86
39 Triadikus ábrázolás általában TRANSZLÁCIÓK I Ha L R, s L, akkor az L + s = x + s : x L halmazt al L halmaz s-el való eltoltjának nevezzük. Definiáljuk a következő sorozatokat : L 0 = 0, legyen továbbá s 0 = 2 3, és L k = L k 1 (L k 1 + s k 1 ), s k = s k 1 3 L 0 L 1 L Legyen L = k=0 L k Klasszikus fraktálpéldák. 39 of 86
40 Triadikus ábrázolás általában TRANSZLÁCIÓK I Ha L R, s L, akkor az L + s = x + s : x L halmazt al L halmaz s-el való eltoltjának nevezzük. Definiáljuk a következő sorozatokat : L 0 = 0, legyen továbbá s 0 = 2 3, és L k = L k 1 (L k 1 + s k 1 ), s k = s k 1 3 L 0 L 1 L Legyen L = k=0 L k Tulajdonságok: L k elemszáma: 2 k L k pontjai a C k -beli intervallumok bal-végpontjai: C k -ból kihagyott intervallumok job-végpontjai (plusz a 0) L k elemeinek triadikus felbontásában nincs 1-es Klasszikus fraktálpéldák. 40 of 86
41 Triadikus ábrázolás általában TRANSZLÁCIÓK II Igaz-e, hogy L = C? Klasszikus fraktálpéldák. 41 of 86
42 Triadikus ábrázolás általában TRANSZLÁCIÓK II Igaz-e, hogy L = C? Nem, 1 4 / L Klasszikus fraktálpéldák. 42 of 86
43 Triadikus ábrázolás általában TRANSZLÁCIÓK II Igaz-e, hogy L = C? Nem, 1 4 / L Tétel Ha x eleme a Cantor halmaznak, akkor létezik L-ben olyan sorozat, amelyik x-hez konvergál. Klasszikus fraktálpéldák. 43 of 86
44 Triadikus ábrázolás általában TRANSZLÁCIÓK III Bizonyítás Ha x C, akkor x = i=1 a i 3 i, ahol a i csak 0, 2 lehet. k >= 1 esetén legyen x k = k i=1 a i 3 i. Ekkor x k L k. Továbbá: x x k = i=k+1 a i 3 i <= i=k i = 2 3 (k+1) 2 3 = 3 k Klasszikus fraktálpéldák. 44 of 86
45 Triadikus ábrázolás általában ITERÁLT FÜGVÉNYRENDSZEREK I Definíció Legyenek r > 0 valamint a valós számok. Az f : R R, x r x + (1 r) a utasítással definiált függvényt r arányú, a középpontú dilatációnak vagy nyújtásnak nevezzük Klasszikus fraktálpéldák. 45 of 86
46 Triadikus ábrázolás általában ITERÁLT FÜGVÉNYRENDSZEREK I Definíció Legyenek r > 0 valamint a valós számok. Az f : R R, x r x + (1 r) a utasítással definiált függvényt r arányú, a középpontú dilatációnak vagy nyújtásnak nevezzük Tekintsük a következő két dilatációt : f 1 (x) = x 3, f 2(x) = x+2 3. Nézzük a két függvény [0, 1]-re való megszorítását! Klasszikus fraktálpéldák. 46 of 86
47 Triadikus ábrázolás általában ITERÁLT FÜGVÉNYRENDSZEREK I Definíció Legyenek r > 0 valamint a valós számok. Az f : R R, x r x + (1 r) a utasítással definiált függvényt r arányú, a középpontú dilatációnak vagy nyújtásnak nevezzük Tekintsük a következő két dilatációt : f 1 (x) = x 3, f 2(x) = x+2 3. Nézzük a két függvény [0, 1]-re való megszorítását! Tétel A Cantor halmazra teljesül a következő összefüggés : C = f 1 (C) f 2 (C) (1) Klasszikus fraktálpéldák. 47 of 86
48 Triadikus ábrázolás általában ITERÁLT FÜGVÉNYRENDSZEREK II Bizonyítás. Indukcióval könnyen látható, hogy C k+1 = f 1 (C k ) f 2 (C k ). A kétoldali tartalmazást kell belátnunk: C f 1 (C) f 2 (C): Ha x C, akkor x C 1, pl.x [2/3, 1], ekkor x C k+1 = f 1 (C) f 2 (C). Mivel f ( C k ) f 1 ([0, 1]) = [0, 1/3] így x f 2 (C), így 3x 2 C k. Ez minden k-ra igaz, ezért x f 2 (C). Ha x [0, 13], akkor hasonlóan azt kapjuk, hogy x f 1 (C). Klasszikus fraktálpéldák. 48 of 86
49 Triadikus ábrázolás általában f 1 (C) f 2 (C) C: Legyen xcupf 2 (C), ekkor 3x 2 C. Ezért minden k-ra vagy 3x 2 C k vagy x f 2 (C k ) C k+1. De ekkor x k N C k+1 C. Klasszikus fraktálpéldák. 49 of 86
50 Triadikus ábrázolás általában f 1 (C) f 2 (C) C: Legyen xcupf 2 (C), ekkor 3x 2 C. Ezért minden k-ra vagy 3x 2 C k vagy x f 2 (C k ) C k+1. De ekkor x k N C k+1 C. Definíció Az (f 1, f 2 ) függvénypárt iterált függvényrendszernek nevezzük, a C halmaz ezen függvényrendszernek az invariáns halmaza, avagy attraktorja. Klasszikus fraktálpéldák. 50 of 86
51 Triadikus ábrázolás általában ANALITIKUS TULAJDONSÁGOK 1 A Cantor-halmaz nem tartalmaz intervallumot. 1 Vagyis minden pontja tetszőleges környezetében van tőle különböző pontja a halmaznak. 2 Ha a R minden környezete belemetsz C-be, akkor a C. 3 vagyis korlátos és zárt. Klasszikus fraktálpéldák. 51 of 86
52 Triadikus ábrázolás általában ANALITIKUS TULAJDONSÁGOK 1 A Cantor-halmaz nem tartalmaz intervallumot. 2 Nincs izolált pontja. 1 1 Vagyis minden pontja tetszőleges környezetében van tőle különböző pontja a halmaznak. 2 Ha a R minden környezete belemetsz C-be, akkor a C. 3 vagyis korlátos és zárt. Klasszikus fraktálpéldák. 52 of 86
53 Triadikus ábrázolás általában ANALITIKUS TULAJDONSÁGOK 1 A Cantor-halmaz nem tartalmaz intervallumot. 2 Nincs izolált pontja. 1 3 A Cantor halmaz zárt. 2 1 Vagyis minden pontja tetszőleges környezetében van tőle különböző pontja a halmaznak. 2 Ha a R minden környezete belemetsz C-be, akkor a C. 3 vagyis korlátos és zárt. Klasszikus fraktálpéldák. 53 of 86
54 Triadikus ábrázolás általában ANALITIKUS TULAJDONSÁGOK 1 A Cantor-halmaz nem tartalmaz intervallumot. 2 Nincs izolált pontja. 1 3 A Cantor halmaz zárt. 2 4 A Cantor halmaz kompakt. 3 1 Vagyis minden pontja tetszőleges környezetében van tőle különböző pontja a halmaznak. 2 Ha a R minden környezete belemetsz C-be, akkor a C. 3 vagyis korlátos és zárt. Klasszikus fraktálpéldák. 54 of 86
55 Triadikus ábrázolás általában ANALITIKUS TULAJDONSÁGOK 1 A Cantor-halmaz nem tartalmaz intervallumot. 2 Nincs izolált pontja. 1 3 A Cantor halmaz zárt. 2 4 A Cantor halmaz kompakt. 3 5 A Cantor halmaz perfekt. 1 Vagyis minden pontja tetszőleges környezetében van tőle különböző pontja a halmaznak. 2 Ha a R minden környezete belemetsz C-be, akkor a C. 3 vagyis korlátos és zárt. Klasszikus fraktálpéldák. 55 of 86
56 Triadikus ábrázolás általában ANALITIKUS TULAJDONSÁGOK 1 A Cantor-halmaz nem tartalmaz intervallumot. 2 Nincs izolált pontja. 1 3 A Cantor halmaz zárt. 2 4 A Cantor halmaz kompakt. 3 5 A Cantor halmaz perfekt. 6 Teljesen széteső. 1 Vagyis minden pontja tetszőleges környezetében van tőle különböző pontja a halmaznak. 2 Ha a R minden környezete belemetsz C-be, akkor a C. 3 vagyis korlátos és zárt. Klasszikus fraktálpéldák. 56 of 86
57 A Cantor függvény DEFINÍCIÓ Legyen x [0, 1] és írjuk fel harmados törtként: x = i=1 a i,x3 i. Jelölje N x azt a legkisebb i-t, amire a i,x = 1 ebben a felírásban, illetve N x =, ha nincs ilyen index. Definíció Cantor függvénynek nevezzük azt a G : [0, 1] R függvényt, melyre G(x) = 1 Nx Nx i=1 a i,x 2 i. Szokás még Cantor Lebesgue függvénynek, vagy az ördög lépcsőjének nevezni. A definíciót kiterjeszthetjük minden valósra, úgy hogy x < 0 estén 0, x > 1 esetén 1 a függvény értéke. Klasszikus fraktálpéldák. 57 of 86
58 A Cantor függvény TULAJDONSÁGOK 1 A definíció nem függ a harmados felbontás nem-egyértelműségtől. Klasszikus fraktálpéldák. 58 of 86
59 A Cantor függvény TULAJDONSÁGOK 1 A definíció nem függ a harmados felbontás nem-egyértelműségtől. 2 A Cantor-halmazon az első tag kiesik. Klasszikus fraktálpéldák. 59 of 86
60 A Cantor függvény TULAJDONSÁGOK 1 A definíció nem függ a harmados felbontás nem-egyértelműségtől. 2 A Cantor-halmazon az első tag kiesik. 3 G folytonos, növekvő. Klasszikus fraktálpéldák. 60 of 86
61 A Cantor függvény TULAJDONSÁGOK 1 A definíció nem függ a harmados felbontás nem-egyértelműségtől. 2 A Cantor-halmazon az első tag kiesik. 3 G folytonos, növekvő. 4 A [0, 1] \ C halmaz mindegyik intervallumán konstans. Klasszikus fraktálpéldák. 61 of 86
62 A Cantor függvény TULAJDONSÁGOK 1 A definíció nem függ a harmados felbontás nem-egyértelműségtől. 2 A Cantor-halmazon az első tag kiesik. 3 G folytonos, növekvő. 4 A [0, 1] \ C halmaz mindegyik intervallumán konstans. 5 G deriváltja majdnem mindenütt zérus. Klasszikus fraktálpéldák. 62 of 86
63 A Cantor függvény TULAJDONSÁGOK 1 A definíció nem függ a harmados felbontás nem-egyértelműségtől. 2 A Cantor-halmazon az első tag kiesik. 3 G folytonos, növekvő. 4 A [0, 1] \ C halmaz mindegyik intervallumán konstans. 5 G deriváltja majdnem mindenütt zérus. 6 A Cantor-halmazt a [0, 1]-re képezi. Klasszikus fraktálpéldák. 63 of 86
64 A Cantor függvény TULAJDONSÁGOK 1 A definíció nem függ a harmados felbontás nem-egyértelműségtől. 2 A Cantor-halmazon az első tag kiesik. 3 G folytonos, növekvő. 4 A [0, 1] \ C halmaz mindegyik intervallumán konstans. 5 G deriváltja majdnem mindenütt zérus. 6 A Cantor-halmazt a [0, 1]-re képezi. 7 Ha F : [0, 1] R növekvő függvény, F( x 3 ) = F(x) 2 továbbá F(1 x) = 1 F(x), akkor F a Cantor függvény. Klasszikus fraktálpéldák. 64 of 86
65 Sierpinski-háromszög A KONSTRUKCIÓ 1 Legyen az S 0 halmaz egy egyenlőoldalú háromszög, a háromszög belsejét is ideértve. Az oldalakat egységnek tekintjük Klasszikus fraktálpéldák. 65 of 86
66 Sierpinski-háromszög A KONSTRUKCIÓ 1 Legyen az S 0 halmaz egy egyenlőoldalú háromszög, a háromszög belsejét is ideértve. Az oldalakat egységnek tekintjük 2 Felezzük meg minden oldalát, kössük össze az oldalfelezőket, hagyjuk el a középső háromszöget. Így kapjuk az S 1 halmazt. Klasszikus fraktálpéldák. 66 of 86
67 Sierpinski-háromszög A KONSTRUKCIÓ 1 Legyen az S 0 halmaz egy egyenlőoldalú háromszög, a háromszög belsejét is ideértve. Az oldalakat egységnek tekintjük 2 Felezzük meg minden oldalát, kössük össze az oldalfelezőket, hagyjuk el a középső háromszöget. Így kapjuk az S 1 halmazt. 3 S k+1 -et úgy kapjuk S k -ből, hogy minden megmaradt háromszögön végrehajtjuk az előző eljárást. Klasszikus fraktálpéldák. 67 of 86
68 Sierpinski-háromszög A KONSTRUKCIÓ 1 Legyen az S 0 halmaz egy egyenlőoldalú háromszög, a háromszög belsejét is ideértve. Az oldalakat egységnek tekintjük 2 Felezzük meg minden oldalát, kössük össze az oldalfelezőket, hagyjuk el a középső háromszöget. Így kapjuk az S 1 halmazt. 3 S k+1 -et úgy kapjuk S k -ből, hogy minden megmaradt háromszögön végrehajtjuk az előző eljárást. 4 Nyilván S 0 S 1 S 1... Klasszikus fraktálpéldák. 68 of 86
69 Sierpinski-háromszög A KONSTRUKCIÓ 1 Legyen az S 0 halmaz egy egyenlőoldalú háromszög, a háromszög belsejét is ideértve. Az oldalakat egységnek tekintjük 2 Felezzük meg minden oldalát, kössük össze az oldalfelezőket, hagyjuk el a középső háromszöget. Így kapjuk az S 1 halmazt. 3 S k+1 -et úgy kapjuk S k -ből, hogy minden megmaradt háromszögön végrehajtjuk az előző eljárást. 4 Nyilván S 0 S 1 S S = i=0 S i Klasszikus fraktálpéldák. 69 of 86
70 Sierpinski-háromszög EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 S k pontosan 3 k darab egybevágó háromszöget tartalmaz, oldalhosszaik 2 k Klasszikus fraktálpéldák. 70 of 86
71 Sierpinski-háromszög EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 S k pontosan 3 k darab egybevágó háromszöget tartalmaz, oldalhosszaik 2 k 2 S területe 0 Klasszikus fraktálpéldák. 71 of 86
72 Sierpinski-háromszög EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 S k pontosan 3 k darab egybevágó háromszöget tartalmaz, oldalhosszaik 2 k 2 S területe 0 3 S kerülete Klasszikus fraktálpéldák. 72 of 86
73 Sierpinski-háromszög ITERÁLT FÜGVÉNYRENDSZERREL A Cantor-halmazhoz hasonlóan előállítható fügvényiterációk segítségével. Itt három dilatációra van szükségük, ezek nem mások, mint az S 0 csúcsaiból indított 1 2 arányú zsugorítások. Ha f 1, f 2, f 3 jelöli a három függvényt, akkor egyrészt S k+1 = f 1 (S k ) f 2 (S k ) f 3 (S k ), valamint S = f 1 (S) f 2 (S) f 3 (S) Klasszikus fraktálpéldák. 73 of 86
74 Sierpinski-háromszög KOORDINÁTÁS MEGADÁS Klasszikus fraktálpéldák. 74 of 86
75 Sierpinski-háromszög MEGADÁS TRANSZLÁCIÓKKAL Jelöljünk ki egy kezdőpontot és két irányt, melyek egymással ot zárnak be!. Legyen L 0 ezt a egyetlen pontot tartalmazó halmaz, s 0 = 1 2. A k-adik lépésben pedig L k 1-hez mindkét irányú s k 1 távolságú eltoltjait hozzávesszük, legyen s k = 1 2 s k 1! Legyen L = k L k. Az S halmaz minden pontja határértéke egy L-beli sorozatnak. Klasszikus fraktálpéldák. 75 of 86
76 A Sierpinski - szőnyeg és a Menger - szivacs A SIERPINSKI - SZŐNYEG ÉS A MENGER - SZIVACS Sierpinski - szőnyeg Egy egységnégyzetet felbontunk 3x3-as kis négyztetekre, majd kihagyjuk a középsőt. Ezután az eljárást folytatjuk a megmaradt négyzetekkel. Területe: 0, kerülete : Klasszikus fraktálpéldák. 76 of 86
77 A Sierpinski - szőnyeg és a Menger - szivacs A SIERPINSKI - SZŐNYEG ÉS A MENGER - SZIVACS Sierpinski - szőnyeg Egy egységnégyzetet felbontunk 3x3-as kis négyztetekre, majd kihagyjuk a középsőt. Ezután az eljárást folytatjuk a megmaradt négyzetekkel. Területe: 0, kerülete : Menger - szivacs A Sierpinski-szőnyeg térbeli megfelelője; Egy egységkockát bontunk az élek harmadolásával 27 kiskockára, majd kihagyjuk azokat, amelyeken a kocka középpontján áthaladó, lapokra merőleges egyenesek átmennek. 7 ilyen kiskocka esik ki. Majd az eljárást folytatjuk. Térfogat : 0, felszín : Klasszikus fraktálpéldák. 77 of 86
78 A Koch - görbe KOCH GÖRBE: A SÁRKÁNY KONSTRUKCIÓ Kiinduló halmazunk egy P 0 egységszakasz. Osszuk három egyenlő részre, a középső szakaszt vegyük el, és két példányát ragasszuk a maradék két szakasz egymáshoz közelebbi végpontjaira úgy, hogy pótlások szabad végpontjait összeragasztjuk. Ezután minden lépésben a keletkezett polygon minden szakaszára ismételjük meg az eljárást. Klasszikus fraktálpéldák. 78 of 86
79 A Koch - görbe A TREMA KONSTRUKCIÓ Induljunk ki olyan egyenlőszárú háromszögből, mely csúcsánál os szög van. Osszuk három részre az alapot, kössük össze az osztópontokat a csúcsponttal, hagyjuk el a középső egybevágó háromszöget! Ezután minden iterációs lépésben az alakzatunkban szereplő eredetihez hasonló egyenlőszárú háromszöggel végezzük el ugyananezt. Klasszikus fraktálpéldák. 79 of 86
80 KIEGÉSZÍTÉS Összefoglalóan Kiegészítés 80 of 86
81 KIEGÉSZÍTÉS Összefoglalóan Önhasonlóak Kiegészítés 81 of 86
82 KIEGÉSZÍTÉS Összefoglalóan Önhasonlóak Finomszerkezetűek Kiegészítés 82 of 86
83 KIEGÉSZÍTÉS Összefoglalóan Önhasonlóak Finomszerkezetűek Az euklideszi geometria eszközeivel nehezen kezelhetők Kiegészítés 83 of 86
84 KIEGÉSZÍTÉS Összefoglalóan Önhasonlóak Finomszerkezetűek Az euklideszi geometria eszközeivel nehezen kezelhetők Egyszerű szabályokkal előállíthatók - többnyire valamilyen rekurzióval Kiegészítés 84 of 86
85 KIEGÉSZÍTÉS Összefoglalóan Önhasonlóak Finomszerkezetűek Az euklideszi geometria eszközeivel nehezen kezelhetők Egyszerű szabályokkal előállíthatók - többnyire valamilyen rekurzióval Nem egész dimenzió Kiegészítés 85 of 86
86 KIEGÉSZÍTÉS Összefoglalóan Önhasonlóak Finomszerkezetűek Az euklideszi geometria eszközeivel nehezen kezelhetők Egyszerű szabályokkal előállíthatók - többnyire valamilyen rekurzióval Nem egész dimenzió A természetben gyakran előfordulnak Kiegészítés 86 of 86
FRAKTÁLGEOMETRIA. Példák fraktálokra I. Czirbusz Sándor február 1. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar
Példák fraktálokra I Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. február 1. Vázlat 1 Mi a fraktál? 2 A konstrukció Egyszerű tulajdonságok Triadikus ábrázolás Transzlációk
FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található.
FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok Czirbusz Sándor 010. április 16. I. rész Feladatok A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. 1. Példák fraktálokra 1.1. A Cantor - halmaz 1.1.1. Feladat. Igazoljuk,
Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
A Peano-görbe. Besenyei Ádám ELTE
A Peano-görbe Besenyei Ádám ELTE A folytonos görbe kifejezés hallatán hajlamosak vagyunk először egy, a szó szoros értelmében egybefüggően megrajzolható vonalra gondolni. A görbe fogalma azonban a vártnál
Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.
Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint
Fraktálok. Löwy Dániel Hints Miklós
alkalmazott erjedéses folyamat sajátságait. Továbbá nemcsak az alkoholnak az emberi szervezetre gyakorolt hatását tudjuk megfigyelni (például a szomszéd dülöngélését és kurjongatását), hanem az alkoholnak
Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Folytonos görbék Hausdorff-metrika Mégegyszer a sztringtérről FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, Hausdorff-mérték. Czirbusz Sándor
Metrikus terek, Hausdorff-mérték Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 22. Vázlat 1 Folytonos görbék Affin függvények Definíciók A Koch-görbe A Cantor-halmaz
Négyzetfraktálok. Fábián János
Négyzetfraktálok Fábián János Matematika BSc, tanári szakirány Szakdolgozat Témavezet : Buczolich Zoltán Egyetemi tanár Analízis Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest, 2016.
10. előadás. Konvex halmazok
10. előadás Konvex halmazok Konvex halmazok Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Állítás: Konvex halmazok metszete konvex. Konvex halmazok uniója
Fraktálok. Bevezetés. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék Tavasz
Fraktálok Bevezetés Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014-2015 Tavasz TARTALOMJEGYZÉK 1 of 51 Előzetes a bevezetőhöz 2 of 51 Előzetes ELŐZETES Mivel foglalkozunk, mivel nem Előzetes a bevezetőhöz
3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat
3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt
A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha
Feladatok Házi feladat. Keszeg Attila
2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon
2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció
2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?
![és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?](/thumbs/71/64945307.jpg "és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?")
3. 3. Probléma (T): Található-e minden L véges hálóhoz egy G véges csoport és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?
Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
Metrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Diszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Analízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
1.1. Alapfeladatok. hogy F 1 = 1, F 2 = 1 és általában F n+2 = F n+1 + F n (mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb van, mint a baloldali).
1.1. Alapfeladatok 1.1.1. Megoldás. Jelöljük F n -el az n-ed rendű nagyapák számát. Az ábra alapján látható, hogy F 1 = 1, F = 1 és általában F n+ = F n+1 + F n mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc
Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
dimenziója Szirmay-Kalos László N= 1/r D D= (logn) / (log 1/r) D= (log4) / (log 3) = 1.26 N = 4, r = 1/3 Vonalzó ( l ) db r =1/3 N = 4 r 2 N 2 N m r m
Fraktálok Hausdorff dimenzió Fraktálok N = N = 4 N = 8 Szirmay-Kalos László r = r = r = N= /r D D= (logn) / (log /r) Koch görbe D= (log4) / (log 3) =.6 N = 4, r = /3 Nem önhasonló objektumok dimenziója
Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
GEOMETRIA 1, alapszint
GEOMETRIA 1, alapszint Kiss György 4-723 Fogadóóra: péntek 8. 15-10. 00 email: kissgy@cs.elte.hu Előadás: 11. 15-13. 45, közben egyszer 15 perc szünet GEOMETRIA 1, alapszint Ajánlott irodalom: Hajós Gy.:
Vértesy Gáspár Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány. Az Okamoto-függvények
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Vértesy Gáspár Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány Az Okamoto-függvények Szakdolgozat Témavezető: Keleti Tamás, tanszékvezető egyetemi
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
Koordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet
Geometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
Sorozatok határértéke VÉGTELEN SOROK
Sorozatok határértéke VÉGTELEN SOROK Végtelen valós számsor: Definíció: Az a n sorozat tagjaiból képzett a 1 + a 2 + + a n + végtelen összeget végtelen valós számsornak, röviden sornak nevezzük. Sor részletösszegei:
Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6
Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval
Analízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Programozási nyelvek 4. előadás
Programozási nyelvek 4. előadás Fa rajzolása rekurzívan Logo fa variációk A fa egy törzsből áll, amelynek tetején két ág nő ki, s mindkettő tulajdonképpen egy-egy alacsonyabb, rövidebb törzsű fa. Az ábrában
Gráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma
Készítette: Laczik Sándor János Gráfelmélet I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma Definíció: a G=(V,E) párt egyszerű gráfnak nevezzük, (V elemeit a gráf csúcsainak/pontjainak,e elemeit
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni
1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni a) 5 db 8 cm hosszú, b) 8 db 5 cm hosszú cérnával? Megoldás:
FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar
Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 7. Vázlat 1 Szeparábilitás Definíciók A szeparábilitás ekvivalens
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Georg Cantor (1883) vezette be Henry John Stephen Smith fedezte fel 1875-ben. van struktúrája elemi kis skálákon is önhasonló
láttuk, hogy a Lorenz egyenletek megoldásai egy nagyon bonyolult halmazt alkottak a fázistérben végtelenül komplex felület fraktál: komplex geometriai alakzatok, melyeknek elemi kis skálán is van finomszerkezete
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
Julia halmazok, Mandelbrot halmaz
2011. október 21. Tartalom 1 Julia halmazokról általánosan 2 Mandelbrot halmaz 3 Kvadratikus függvények Julia halmazai Pár deníció Legyen f egy legalább másodfokú komplex polinom. Ha f (ω) = ω, akkor ω
Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész
Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések
FELVÉTELI VIZSGA, július 17.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 2017. július 17. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL I. TÉTEL (30 pont) 1) (10 pont) Igazoljuk, hogy tetszőleges m R esetén
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint
A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül
Matematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje
A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
Analízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
Függvények határértéke és folytonossága
Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f
Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
11. előadás. Konvex poliéderek
11. előadás Konvex poliéderek Konvex poliéder 1. definíció: Konvex poliédernek nevezzük a térben véges sok, nem egysíkú pont konvex burkát. 2. definíció: Konvex poliédernek nevezzük azokat a térbeli korlátos
54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,
52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes
1. A Hilbert féle axiómarendszer
{Euklideszi geometria} 1. A Hilbert féle axiómarendszer Az axiómarendszer alapfogalmai: pont, egyenes, sík, illeszkedés (pont egyenesre, pont síkra, egyenes síkra), közte van reláció, egybevágóság (szögeké,
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
2016/2017. Matematika 9.Kny
2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal
XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
A TERMÉSZETES SZÁMOK
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2018/2019.
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.
10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
További adalékok a merőleges axonometriához
1 További adalékok a merőleges axonometriához Egy szép összefoglaló munkát [ 1 ] találtunk az interneten, melynek előző dolgoza - tunkhoz csatlakozó részeit itt dolgozzuk fel. Előző dolgozatunk címe: Kiegészítés