FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található.

Átírás

1 FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok Czirbusz Sándor 010. április 16. I. rész Feladatok A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. 1. Példák fraktálokra 1.1. A Cantor - halmaz Feladat. Igazoljuk, hogy az 1 4 nem végpontja egyetlen C k t alkotó intervallumnak sem! () Feladat. Igazoljuk, hogy az 1 4 C () Feladat. Igazoljuk, hogy C nem tartalmaz izolált pontot, azaz a C és ε > 0 esetén (a ε, a + ε) tartalmaz a tól különböző C-beli pontot! Feladat. Igazoljuk, hogy C zárt, vagyis ha az a R pontra teljesül, hogy ε > > 0 esetén az (a ε, a + ε) metszi C t, akkor a C! Feladat. Legyen r R pozitív. Hány, a konstrukció során elhagyott intervallum hossza haladja meg r t? () Feladat. Írjuk fel ternárisan a 7 9, 1 4,, 1 számokat! (1) Feladat. Bizonyítsuk be, hogy a f 1 (x) = x, f (x) = x+ függvényekre valóban igaz, hogy C = f 1 (C) f (C)! Feladat. Keresünk olyan A C halmazokat, melyek attraktorjai az előző f 1, f függvényeknek! (10) Feladat. Bizonyítsuk be, hogy C C = [0, 1] A feladatok jelentős része Edgar könyvéből való 1

2 1.. A Sierpinski-háromszög Feladat. Bizonyítsuk be, hogy a Sierpinski háromszög területe 0, kerülete () 1... Feladat. Bizonyítsuk be, hogy a dilatációk egyenest egyenesbe visznek és szögtartók! 1... Feladat. Legyen S 0 a konstrukció kiinduló háromszöge, f 1, f, f pedig az S 0 csúcsaiból indított 1 arányú zsugorítások.igazoljuk, hogy S k+1 = f 1 (S k ) f (S k ) f (S k ), valamint S = f 1 (S) f (S) f (S) Feladat. Vegyünk fel egy ferdeszögű koordinátarendszert: az origó szabályos háromszög egyik csúcsa, a tengelyek az erre illeszkedő oldalak egyenesei, u, w. Bizonyítsuk be, hogy egy (u, w) [0,1] [0,1] pont pontosan akkor eleme a Sierpinski háromszögnek, ha u és w kettes számrendszerbeli előállításában ugyanazon a helyen egyszerre nem szerepel 1-es! Feladat. Jelöljünk ki egy kezdőpontot és két irányt, melyek egymással 60 0 ot zárnak be!. Legyen L 0 ezt a egyetlen pontot tartalmazó halmaz, s 0 = 1. A k adik lépésben pedig L k 1 hez mindkét irányú s k 1 távolságú eltoltjait hozzávesszük, legyen s k = 1 s k 1! Legyen L = k L k. Az S halmaz minden pontja határértéke egy L beli sorozatnak Feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha k >= 1, akkor az S k halmazt alkotó háromszögek oldalaiból képezhető olyan önmagát nem átmetsző zárt töröttvonal, amely mindegyik háromszögnek pontosan egy oldalát tartalmazza! (10) Feladat. Írjunk programot, mely kirajzolja a Sierpinski háromszöget! 1.. A Sierpinski-szőnyeg és a Menger-szivacs Feladat. Számítsuk ki a Sierpinski szőnyeg területét! Hova konvergál az iterációs lépésekben létrejövő négyzetek kerülete? () 1... Feladat. Számítsuk ki a Menger szivacs térfogatát! Hova konvergál az iterációs lépésekben létrejövő kockák felszíne? () 1... Feladat. Igazoljuk, hogy a Sierpinski szőnyeg konstrukciójának k adik lépésében keletkező négyzetek oldalainak felhasználásával készíthető olyan zárt töröttvonal, amelynek minden kis négyzettel van közös pontja! () Feladat. Írjunk programot, mely kirajzolja a Sierpinski szőnyeget! Feladat. Írjunk programot, mely kirajzolja a Menger szivacsot!

3 1.4. A Koch-görbe Feladat. Készítsünk programot, amely lerajzolja a Koch-görbét! Feladat. Bizonyítsuk be, hogy a Koch görbe korlátos részhalmaza a síknak? Feladat. Számítsuk ki a hópihe területét és kerületét! 1.5. Egyéb fraktálgörbék Feladat. A Heighway sárkány Induljunk ki egy P 0, egységnyi hosszúságú szakaszból! P 1 et úgy kapjuk, hogy a szakaszunkat helyettesítjük két darab, egymáshoz derékszögben csatlakozó szakasszal, ezek nem közös végpontjai P 0 végpontjaival azonosak.( A derékszög legyen az eredeti szakasztól balra!). P t úgy kapjuk P 1 ből, hogy minden szakaszt helyettesítünk derékszögű töröttvonallal, az irányokat pedig váltogatjuk, ballal kezdve. A fenti iteráció határgörbéje a Heighway sárkány. Készítsünk programot a sárkány lerajzolására! Feladat. A Heighway sárkány approximációja során P n mindig a sík ugyanazon korlátos tartományában marad. (10) Feladat. A P n et alkotó poligon sohasem metszi önmagát. (10) Feladat. A Heighway sárkány iterációjában használjunk 10 0 os szöget! (fudgeflake) Feladat. Sierpinski sárkány Az iterációs lépésben most a szakaszunkat három egyenlő hosszú, egymással 60 0 ot bezáró, ugyanazokhoz a végpontokhoz csatlakozó töröttonallal helyettesítjük, az irányt itt is váltogatjuk Számrendszerek Feladat. Bizonyítsuk be, hogy a alapú számrendszerben a 0, 1 számjegyekkel minden egész szám egyértelműen felírható! Feladat. Legyen b = 1+i a számrendszerünk alapszáma, 0, 1 a a számjegyek. Jellemezzük ebben a rendszerben az egészeket! Feladat. Keressünk a fenti számrendszerben olyan komplex számot, melynek van háromféle előállítása Feladat. Legyen b = és a számjegyek 0, 1, ω, ω, ahol ω = (harmadik egységgyök). Jellemezzük ebben a rendszerben az egészeket!. Metrikus topológia A feladatokban S, T metrikus tér, a metrikát többnyire ρ val jelöljük. 1 + i

4 .1. Metrikus terek.1.1. Feladat. Igazoljuk, hogy σ(x, y) = min{1, ρ(x, y)} szintén metrika S en! (p).1.. Feladat. Igazoljuk, hogy ρ (x, y) = ρ(x, y) szintén metrika S en! (5p) 1 + ρ(x, y).1.. Feladat. Legyen S = R {, }. Definiáljuk az f : S S függvényt a következőképpen: x ha x R 1 + x f(x) = 1 ha x = 1 ha x = Bizonyítsuk be, hogy a ρ(x, y) = f(x) f(y) függvény metrika S en! (5p).1.4. Feladat. Legyen S az összes valós sorozat. Igazoljuk, hogy: metrika S en. (5p) ρ(x, y) = i=1 1 i x i y i 1 + x i y i.1.5. Feladat. Keressünk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy a Cauchy egyenlőtlenségben egyenlőség álljon! (p).1.6. Feladat. Keressünk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy a Minkowski egyenlőtlenségben egyenlőség álljon! (p).1.7. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy egy ultrametrikus térben minden háromszög egyenlőszárú! (p).1.8. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy egy ultrametrikus tér tetszőleg B r (x) gömbjének átmérője legfeljebb r! (p).1.9. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy egy ultrametrikus térben y B r (x), B r (y) = = B r (x)! (p) Feladat. Bizonyítsuk be, hogy egy ultrametrikus térben minden nyílt gömb zárt és minden zárt gömb nyílt! (p) Feladat. Legyen f az R dilatációja, a középponttal, r sugárral. Igazoljuk, hogy minden x, y R esetén (p): f( x) f( y) = r x y.1.1. Feladat. Specifikáljuk az izometriákat R ben (10p)! 4

5 .. Konvergencia, folytonosság..1. Feladat. Legyen B bázis a T topológiájában. Bizonyítsuk be, hogy egy h : S T függvény pontosan akkor folytonos, ha h 1 (V ) nyílt S ben! (p)... Feladat. Bizonyítsuk be, hogy folytonos függvények kompozíciója folytonos! (p)... Feladat. Igazoljuk, hogy az A S halmazra a következő állítások ekvivalensek (5p): 1. A zárt. Ha x S esetén van olyan x n sorozat A ban, hogy x n x, akkor x A..4. Feladat. Igazoljuk, hogy az A S halmazra a következő állítások ekvivalensek (5p): 1. A nyílt. Minden x A és minden olyan S beli x n sorozatra, melyre x n x, létezik olyan N, hogy n N esetén x n A..5. Feladat. Igazoljuk, hogy a diszkrét metrikus tér tlejes! (p)..6. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy egy ultrametrikus térben egy x n sorozat pontosan akkor Cauchy sorozat, ha ρ(x n, x n+1 ) 0! (5p)..7. Feladat. Igazoljuk, hogy az E = {0,1} ábécé fölöti E ω végtelen sztringtér teljes a ρ 1 metrikával! (10p)..8. Feladat. Keressünk példát arra, hogy a telesség metrikus tulajdonság, de nem topologikus! (10p)..9. Feladat. Legyen f egy Lipschitz függvény. Igaz-e, hogy folytonos? (p)..10. Feladat. Keressünk példát R ben olyan F n zárt halmazokból álló sorozatra, hogy n F n nem zárt! (p)..11. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha minden n re F n [n, n + 1], akkor n F n zárt! (p).. Szeparábilitás..1. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy { (x 1, x,...,x d ) R d x j Q, j = 1,...,d} megszámlálható és sűrű R d ben.... Feladat. Legyen E = { 1, }. Tekintsük E ω t a ρ 1 metrikával. Bizonyítsuk be, hogy a { [α] α E } halmaz megszámlálható bázis. Speicálisan, bárely nyílt gömb valamely [α] val azonos. (5p) 5

6 .4. Kompaktság.4.1. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy metrikus térban a kompaktság, sorozatkompaktság, megszámlálható kompaktság ekvivalens! (10p).4.. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy metrikus tér kompakt részhalmaza zárt! (p).4.. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy kompakt tér zárt részhalmaza kompakt! (p).4.4. Feladat. Kompakt halmazok véges uniója kompakt (p).4.5. Feladat. Kompakt halmazon folytonos képe kompakt! (p).4.6. Feladat. Kompakt halmazonon folytonos függvény korlátos! (p).4.7. Feladat. Ha A zárt, K S kompakt és A K =, akkor ρ(a, K) > 0! (5p).4.8. Feladat. Kompakt metrikus téren folytonos függvény egyenletesen folytonos! (p).4.9. Feladat. Legyen C(S, T) = { fs T f folytonos }, az unifor metrika pedig ρ u (f, g) = sup{ ρ(f(x), g(x)) x S }. Bizonyítsuk be, ha S kompakt, ρu valóban metrik C(S, T) n! (5p) Feladat. Ha az előző feladatban T teljes, akkor (C(S, T), ρ u ) teljes! (5p) Feladat. Ha E = { 1, }, akkor (E ω, ρ 1) kompakt. (5p).4.1. Feladat. Milyen feltételek mellett lesz C(S, T) ultrametrikus?(10p).4.1. Feladat. Bionyítsuk be, hogy tetszőleges 0 < r < 1 esetén (E ω, ρ r ) kompakt és szeparábilis! (10p) Feladat. Bionyítsuk be, hogy az (E ω, ρ r ) terek homeomorfak! (10p).5. Hausdorff-metrika.5.1. Feladat. Ha A n egy sorozat H(S) ben és A H(S) hez konvergál, akkor A = = {x : van olyan x n sorozat, hogy x n A n és x n x} (5p).5.. Feladat. Legyen A 1 A A... fogyó kompakt halmasorozat. Ekkor A n a Hausdorff-metrikában az A = n N A n halmazhoz konvergál..5.. Feladat. Ha f n, f S T, S kompakt és f n f egyenletesen, akkor f n f(s) a Hausdorff metrika szerint H(S) ben. 6

7 .6. Metrika sztringtereken.6.1. Feladat. Legyen 0 < r < 1 valós szám, definiáljuk a ρ r et ugyanúgy, mint ρ 1 et: ha σ = ασ és τ = ατ, akkor ρ r (σ, τ) = k r, k = α. Bizonyítsuk be, hogy valóban metrikát kapunk!.6.. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az előző feladatban definiált metrikában [α] átmérője r α (p).6.. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az előző metrikus tér kompakt, teljes és szeparábilis. (10p).6.4. Feladat. Ha h : E ω R a Cantor halmazt címző függvény, azaz h(0σ) = = h(σ) h(σ)+, h(1σ) =. akkor h lipeomorfizmus ρ 1 -ra, azaz. Topologikus dimenzió.1. Zéró-dimenziós terek 1 ρ 1(σ, τ) h(σ) h(τ) ρ 1 (σ, τ).1.1. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy egy S metrikus tér pontosan akkor kompakt, ha minden nyílt lefedésének van véges finomítása. (p).1.. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy egy véges S halmaz zéró dimenziós. (p).1.. Feladat. Legyen S zéró dimenzós metrikus tér. Ekkor van olyan bázisa S nek, mely nyílt zárt halmazokból áll. (5p).1.4. Feladat. Ha S kompakt, nemüres metrikus tér és van olyan bázisa, mely csupa nyílt zárt halmazból áll, akkor S zéró dimenzió. (5p).1.5. Feladat. Egy szeparábilis metrikus tér pontosan akkor zéró dimenziós, ha van csupa nyílt zárt halmazból álló bázisa. (5p) 7