Vértesy Gáspár Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány. Az Okamoto-függvények

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Vértesy Gáspár Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány. Az Okamoto-függvények"

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Vértesy Gáspár Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány Az Okamoto-függvények Szakdolgozat Témavezető: Keleti Tamás, tanszékvezető egyetemi tanár Analízis Tanszék Budapest, 2015.

2

3 Köszönetnyilvánítás Köszönöm témavezetőmnek, Dr. Keleti Tamásnak a szakdolgozat megírása során nyújtott számos tanácsot és észrevételt, melyekkel munkámat segítette. 3

4 Tartalomjegyzék Bevezetés 5 1. Gyakori jelölések 6 2. Fraktálelméleti alapok Dimenziófogalmak Önaffin halmazok A Bourbaki-függvény Lokális tulajdonságok és a nem-deriválhatóság A grafikon tulajdonságai Szinthalmazok Az Okamoto-függvények Folytonossági tulajdonságok A deriválhatóság, vagy ennek hiánya A grafikon tulajdonságai Lokális tulajdonságok Hivatkozások 35 4

5 Bevezetés Arra, hogy létezik olyan h: R R folytonos függvény, amely sehol sem differenciálható, sokáig nem jöttek rá a matematikusok, sőt szinte általánosan elfogadott volt, hogy nincs ilyen leképezés. Ez jelentős részben arra vezethető vissza, hogy bár már a XVII. században eredményesen alkalmazták a differenciálszámítást az fizikában, az analízis precíz megalapozása csak a XIX. században ment végbe. Így válik érthetővé, hogy Ampére 1806-ban miért vélte bizonyítani azt, hogy ilyen h függvény nem létezhet. Ő a folytonos függvények halmazát sokkal szűkebben értelmezte, mint ami a folytonosság ma elfogadott, precíz definíciójából következik (bár egyébként sem volt hibátlan a gondolatmenete. Elsőként Bolzano írt le egy ilyen függvényt 1830 körül, de mivel ekkoriban az osztrák cenzúra nem engedte publikálni a cseh matematikus műveit, eredménye csak évtizedekkel később vált széles körben ismertté. Emiatt a matematika fejlődésére gyakorolt hatás szempontjából Weierstrass körülbelül 30 évvel később nyilvánosságra hozott példája a legjelentősebb. Jelen dolgozatban a folytonos függvények egy olyan osztályát vizsgáljuk meg, melyek egy kivételével értelmezési tartományuknak egy sűrű részhalmazán nem differenciálhatóak. Egy rövid fraktálelméleti bevezetés után egy konkrét leképezés tulajdonságaival foglalkozunk, majd az egész függvénycsaládot elemezzük. A már ismert tények mellett bemutatunk néhány saját eredményt is (3.10. tétel, 3.3. fejezet, 4.4. tétel, 4.4. fejezet. 5

6 1. Gyakori jelölések Mivel ahogyan azt majd látni fogjuk az Okamoto-függvények tárgyalása hármas számrendszerben a legkönnyebb, ezért ehhez be kell vezetnünk néhány jelölést. Legyen a továbbiakban a [0, 1] tetszőleges ha nem teszünk más kikötést. Jelölje a 0, a 1 a 2... az a szám hármas számrendszerbeli alakját. Emellett: 0, ha a i = 0 b i := 1, ha a i = 2 2, ha a i = 1 α i := a 0, a 1... a i (azaz α i az a szám melyet úgy kapunk, hogy levágjuk a-ból az i-edik triadikus jegy után következő számjegyeket, ha i Z +, és α 0 := a 0, A i := {a k : 0 < k i 1 és a k = 1}, tehát A i az 1-es számjegyek száma a első i 1 triadikus jegye között. Nevezzük a N := {n : n Z, n 0} halmazt a természetes számok halmazának. Ezen kívül: T := { p 3 k : p, k N, p 3 k 1} = {a : k Z + melyre a = α k }, vagyis T azon [0, 1]-beli számok halmaza, melyeknek hármas számrendszerbeli alakjukban véges sok nem nulla jegy van (a továbbiakban véges triadikusok, tetszőleges n N-re T n := {a : a = α n, a n 0}, azaz T -be azok a [0,1]-beli számok tartoznak, melyeknek az n-edik triadikus jegyük nem 0, de utána az összes többi az. 6

7 2. Fraktálelméleti alapok Mivel a az Okamoto-függvények grafikonja tulajdonképpen egy fraktál, ezért bizonyos tulajdonságok vizsgálatához szükségünk lesz alapvető fraktálgeometriai fogalmakra. Az ebben a fejezetben tárgyalt definíciókat és állításokat [3]-ból vettem (ezért utóbbiakat most nem is bizonyítom Dimenziófogalmak Mindenki számára nyilvánvaló szemléletesen is, hogy egy szakasz dimenziója 1, egy négyzeté 2, és egy kockáé 3, és ha valaki egyetemi szinten tanul matematikát, az sem esik nehezére, hogy tetszőleges n N-re elképzeljen ha nem is vizuálisan, de legalább halmazként egy n-dimenziós kockát. Azonban vannak olyan alakzatok, melyekről nem mond eleget az, ha a dimenziót egész számként adjuk meg. Felmerülhet az olvasóban, hogy akkor hogyan terjesszük ki ezt a fogalmat az összes nem-negatív valós számra. A kérdésre nincs egzakt válasz, mert ezt a kiterjesztést többféleképpen is megtehetjük. Az, hogy milyen dimenziófogalmat használunk, általában a vizsgálni kívánt tulajdonságtól függ. Nekünk most két fogalomra lesz ehhez szükségünk: a Hausdorff- és a boxdimenzióra. Kezdjük az utóbbival Definíció: Legyen δ > 0 valós szám, n Z +, z 1,..., z n Z. Ekkor a [z 1 δ, (z 1 + 1δ]... [z n δ, (z n + 1δ] halmazt (R n -beli δ-háló kockának nevezzük. A továbbiakban tetszőleges F R n és δ > 0 esetén jelölje N δ (F az F -be belemetsző δ-háló kockák számát Definíció: Legyen F R n korlátos. Ekkor azt mondjuk, hogy F alsó box-dimenziója dim B F = lim inf δ 0 log N δ (F log δ, felső box-dimenziója dim B F = lim sup δ 0 box-dimenziója dim B F = lim δ 0 log N δ (F log δ log N δ (F log δ, (ha létezik ez a határérték. 7

8 A gyakorlatban nem mindig egyszerű a definíció szerint számolni. Ebben nyújt segítséget a következő állítás Állítás: Ha (δ n n=1 egy olyan pozitív, 0-hoz tartó sorozat, melyhez létezik c R, hogy 0 < c < 1, és δ k+1 > cδ k minden k Z + -ra, akkor: dim B F = lim inf n log N δn (F log δ n, dim B F = lim sup n log N δn (F log δ n, dim B F = lim n log N δn (F log δ n (ha dim B F létezik. Az alábbiakban vizsgáljuk meg a box-dimenzió néhány fontos tulajdonságát Állítás: Legyenek E, F, G 1, G 2... R n korlátosak. Ekkor: (i minden k-dimenziós részsokaság box-dimenziója k (ahol k n természetes szám, (ii dim B végesen stabil: dim B (E F = max{dim B E, dim B F } (ez a tulajdonság dim B -ra nem igaz, (iii dim B (E F max{dim B E, dim B F }, (iv dim B és dim B monoton: ha E F, akkor dim B (E dim B (F, és dim B (E dim B (F, (v dim B és dim B affin invariáns: ha f : R n R n affin transzformáció, akkor dim B (E = dim B f(e, és dim B (E = dim B f(e. (vi dim B F = dim B F és dim B F = dim B F (ahol F az F halmaz lezártját jelöli. Azonban a box-dimenzió nem megszámlálhatóan stabil, azaz léteznek olyan G 1, G 2,... R n halmazok, hogy dim B ( i=0 G i sup { dim B G i : i N }, vagy dim B ( i=0 G i sup { dim B G i : i N }. Vegyük erre az alábbi példát: Egy pont box-dimenziója 0, viszont a [0, 1] intervallumé 1, és mivel minden δ-haló kocka 8

9 tartalmaz racionális számot, ezért a dim B Q [0, 1] = dim B [0, 1] = 1. Ennél talán még meglepőbb, hogy megmutatható: dim B H = 1 2, ahol H = { 1 n : n N} {0}, pedig H megszámlálható és zárt. Térjünk át a Hausdorff-dimenzióra. Mivel ennek definiálásához további fogalmakra lesz szükségünk, vezessünk be néhány jelölést (legyen F R n tetszőleges: Bármely U R n esetén jelölje diam U az U halmaz átmérőjét. Legyen {U i } i=1 egy R n -beli halmazsorozat. Ha F i=1 U i, és minden i Z + -ra diam U i δ (ahol δ > 0, akkor{u i }-t F egy δ-fedésének nevezzük. Ha δ > 0, és s 0, akkor { } H s δ(f := inf (diam U i s : {U i } egy δ-fedése F -nek. i= Definíció: Tetszőleges F R n esetén az H s (F = lim δ 0 H s δ(f számot az F halmaz s-dimenziós Hausdorff-mérték ének nevezzük. Fontos megjegyezni, hogy a fenti definíció értelmes, mert a benne szereplő határérték mindig létezik, hiszen 0 < δ 1 < δ 2 esetén H s δ 1 (F H s δ 2 (F, ugyanis ha {U i } egy δ 1 -fedése F -nek, akkor δ 2 -fedése is. Emellett a következő tulajdonsága van: 2.6. Állítás: Tetszőleges F R n esetén létezik d 0, hogy H s (F =, ha 0 s < d, és H s (F = 0, ha d < s. Így már definiálhatjuk magát a Hausdorff-dimenziót Definíció: Tetszőleges F R n halmazra a dim H = sup {s : s 0 és H s (F = } számot F Hausdorff-dimenziójának nevezzük. A 2.6. állításból következően a fenti definíció értelmes (azaz dim H (F minden R n -beli F halmazra létezik. A Hausdorff-dimenzió abból a szempontból is jobb, mint a box-dimenzió, hogy több olyan tulajdonságot teljesít, melyeket elvárnánk egy dimenziófogalomtól: 9

10 2.8. Állítás: A Hausdorff-dimenzióra igazak az alábbiak: (i minden k-dimenziós részsokaság box-dimenziója k, (ii monoton, (iii megszámlálhatóan stabil, (iv affin invariáns. Másrészt viszont a Hausdorff-dimenziót sokszor eléggé nehéz kiszámolni, ellentétben a box-dimenzióval. Ebben lehet segítségünkre az alábbi állítás, mely a két fogalom kapcsolatáról szól Állítás: Ha F R n korlátos, akkor dim H (F dim B (F Önaffin halmazok A dolgozatban vizsgált függvények grafikonjainak egy fontos tulajdonsága az önaffinitás. Ennek az alfejezetnek a célja ezen fogalom bevezetése Definíció: Egy T : R n R n, T (x = S(x + b alakú függvényt affin transzformációnak nevezünk, ahol b R n, és S : R n R n lineáris leképezés Definíció: Legyen D R n zárt. Egy S : D D függvényt kontrakciónak nevezünk, ha létezik olyan 0 < c < 1 szám, melyre S(x S(y c x y tetszőleges x, y D esetén Definíció: Ha m N, m > 1, és S 1,..., S m : D D kontrakció, ahol D R n zárt, és D, akkor az {S 1,..., S m } halmazt iterált függvényrendszernek (vagy röviden IFR-nek nevezzük. Ha A egy nem üres, kompakt részhalmaza D- nek, és A = m i=1 S i(a, akkor A-t az IFR attraktorának nevezzük Állítás: Egy IFR-nek pontosan egy attraktora van Definíció: Ha egy {S 1,..., S m } IFR minden eleme affin transzformáció, és A a rendszer attraktora, akkor azt mondjuk, hogy A önaffin halmaz. 10

11 Egy egyszerű példa önaffin halmazra az úgynevezett Cantor-halmaz: Legyen S 1, S 2 : [0, 1] R olyan, hogy S 1 (x = 1 3 x, S 2 (x = 1 3 x Az {S 1, S 2 } IFR attraktorát nevezzük Cantor-halmaznak. Megmutatható, hogy ennek box- és Hausdorff-dimenziója egyaránt log 2 log 3. 11

12 3. A Bourbaki-függvény Bár Perkins [8] már 1927-ben konstruált egy olyan sehol sem differenciálható folytonos függvényt, amely az Okamoto-függvények közé tartozik, de a [2]-ben megadott Bourbaki-függvény természetesebben adódik, és ahogyan később látni fogjuk egy határt képez a függvénycsaládban. Érdemes megjegyezni, hogy sokan Katsuura-függvényként említik a szakirodalomban, mivel Hidefumi Katsuura [4] 1991-ben [2]-re való hivatkozás nélkül szintén leírta /3 2/3 1/3 1/ /3 2/ /3 2/ /3 2/3 1/3 1/ /3 2/ /3 2/ ábra. f grafikonja az első 4 iterációs lépés után A függvényt definiáljuk először T -n, azaz a [0, 1]-beli véges triadikusok halmazán (ld.: 1. ábra: f : T R 12

13 f(0 = 0 és f(1 = 1, a többi pontban rekurzívan definiáljuk (k = 1, 2,...: ( p f ( q f ( ( q f q k 1 3 k 1 ha p 1 mod 3 f = k k f ( q f ( ( q f q (1 k 1 3 k 1 ha p 2 mod 3 k 1 3 ahol p, q N, (p, 3 k = 1 és Az 1. fejezetbeli jelölésekkel: q < p < q+1 < 1 (ld.: 3. ábra. 3 k 1 3 k 3 k 1 f(α k = f(α k 1 + b k ( f(αk (k 1 f(α k 1. Belátjuk f-ről, hogy folytonos az értelmezési tartományára szorítkozva. Ehhez szükségünk lesz a következő állításra Állítás: Ha a ( p, p+1 3 l 3 T (ahol p, l N, l > 0 és p+1 1, akkor l 3 l min { f ( ( p 3, f p+1 } { ( l 3 f(a max f p ( l 3, f p+1 } l 3, azaz l min { f(α l, f(α l + 3 l } f(a max { f(α l, f(α l + 3 l }. Bizonyítás: A definícióból l-re vonatkozó indukcióval adódik Állítás: Ha a [0, 1], akkor tetszőleges a-hoz tartó T -beli (x n n=1 sorozatra lim f(x n létezik és véges (ekkor nyilván lim f(x n minden ilyen sorozatra x n a x n a ugyanaz. Bizonyítás: Legyen l N tetszőleges, és p N olyan, hogy p [0, 1. Ekkor l-re 3 l vonatkozó teljes indukcióval, könnyen belátható, hogy ( 0 < p ( ( p + 1 l 2 f f. (2 3 l 3 l 3 Eszerint T minden pontjában létezik a limesz. Mivel bármely a [0, 1] \ T -hez létezik tetszőlegesen nagy k N, hogy megfelelő p-re p 3 k < a < p+1 3 k 1, ezért a 3.1. állítást és (2-t használva a Cauchy-kritérium szerint létezik a limesz. Legyen g : [0, 1] R függvény, melyre g(x = lim yn x f(y n (ahol (y n i=1 x-hez tartó T -beli sorozat. Az így definiált g függvényt nevezzük Bourbaki-függvénynek (ld.: 2. ábra. 13

14 1 2/3 1/ /3 2/ ábra. A Bourbaki-függvény grafikonja 3.3. Állítás: A g Bourbaki-függvény egyenletesen folytonos a [0, 1] intervallumon. Bizonyítás: A 3.1. állításból és (2-ből következik Következmény: A g Bourbaki-függvény folytonos Lokális tulajdonságok és a nem-deriválhatóság Először kimondunk egy állítást, amely soralakban adja meg g függvényértékeit, és a későbbiekben több bizonyításnál is hasznos segédeszköz lesz (b i és A i jelentését lásd az 1. fejezetben Állítás: A g Bourbaki-függvényre tetszőleges a [0, 1] esetén igaz, hogy g(a = b i ( 1 A i 2 i 1 A i /3 i. i=0 14

15 Bizonyítás: Nézzük először azt az esetet, mikor a T. Ekkor k N, melyre a = α k (a k 0, ha k > 0. A k = 0 esetben a fenti állítás triviális. Tegyük fel, hogy minden k < n-re (n > 1 igaz az állítás. Legyen a T n, és j := max{i : 0 i n 1, a i 2}, azaz α n 1 + 1/3 n 1 = 0, a 1... (a j + 1 vagy α n 1 + 1/3 n 1 = 1. Ekkor és (2 a j b j ( 1 A j 2 j 1 A j = ( 1 A j+1 2 j A j+1, n 1 i=j+1 2 i j 1 3 i = 1 3 j 2n j 1 3 n 1. Így az indukciós feltevés szerint (1-be behelyettesítve g(α n 1 + 1/3 n 1 g(α n 1 g(a = g(α n 1 + b n = 3 n 1 = b i ( 1 A i 2 i 1 A i /3 i + i=0 + b n ( (2 a j b j ( 1 A j 2 j 1 A j 3 j n 1 = i=0 n 1 = i=0 b i ( 1 A i 2 i 1 A i 3 i + b n 1 3 j n 1 i=j+1 ( 1 3 2n j 1 j 3 n 1 b i ( 1 A i 2 i 1 A i 3 i + b n 2 n Aj+1 1 ( 1 Aj+1 3 n = 3 ( 1 A j+1 2 i 1 A j+1 /3 = 3 i ( 1 A j+1 2 j A j+1 = n i=0 b i ( 1 A i 2 i 1 A i 3 i. (3 A folytonosság miatt ha a / T, akkor g(a = lim n g(α n = b i ( 1 A i 2 i 1 A i /3 i. i= Következmény: Legyen n N tetszőleges. Ekkor ha a T, akkor a T n g(a T n. 15

16 A függvény lokális tulajdonságainak vizsgálatához szükségünk lesz az alábbi két állításra: 3.7. Állítás: Ha a ( p 3 l, p+1 3 l (ahol p, l N, l > 0 és p+1 { ( p min g, g 3 l ( } p + 1 g(a max 3 l 1, akkor 3 l ( p + 1 { ( p g, g 3 l 3 l }. Bizonyítás: Az a T eset következik a 3.1. állításból, és innen a folytonosság miatt a / T esetén is igaz Állítás: Az előző állítás szigorú egyenlőtlenségekkel is igaz. Bizonyítás: Ha a T, akkor l-re vonatkozó indukcióval triviális az állítás. Legyen q a / T. Ekkor létezik olyan q N, melyre 3, q + 1 ( p l+1 3 l+1 3, p + 1 q, és l 3 l 3 l+1 a q + 1. Az előző állítást alkalmazva 3l+1 ( p + 1 { min g(a max ( p 3 l, g g { ( q g, g 3 l+1 } { ( q ( } q + 1 < min g, g 3 l 3 l+1 3 ( } { l+1 q + 1 ( p ( } p + 1 < max g, g. 3 l 3 l+1 A 3.6. és a 3.8. állításokból valamint (1-ből könnyen levezethető: 3.9. Következmény: Legyen a = α k (k N. Ekkor: (i ha a = 0, a szigorú globális minimumhelye g-nek. (ii ha a = 1, a szigorú globális maximumhelye g-nek. (iii ha A k+1 0 mod 2, a szigorú lokális minimumhelye g-nek. (iv ha A k+1 1 mod 2, a szigorú lokális maximumhelye g-nek Tétel: Tetszőleges a (0, 1-re igaz, hogy: (i g a-ban nem nő lokálisan, és nem csökken lokálisan, 3 l 16

17 (ii ha a / T, akkor g-nek a-ban nincs szélsőértékhelye Bizonyítás: Ha a T, akkor a 3.9. következményből adódik (i. Legyen a / T, ε > 0 rögzített, l N olyan, hogy 1 3 l 1 < ε, és k := inf{n : n > l, a n = 1} (az üres halmaz infimumát végtelennek definiáljuk. Feltehető, hogy g(α l < g(a (a g(α l > g(a esetben analóg módon bizonyítható az állítás. Ekkor elég megmutatni, hogy léteznek olyan x 1, x 2 [a ε, a + ε] számok, melyekre g(x 1 < g(a < g(x 2, és x 1, x 2 > a vagy x 1, x 2 < a. Ha k <, akkor g(α l < g(a, és g(α k > g(a, amiből adódik a tétel. Amennyiben k =, m N, m > l, melyre a m = 2, a m+1 = 0 (mert a / T. Ekkor g(0, a 1... a m 1 1 > g(a, vagy g(0, a 1... a m 2 < g(a a 3.5. állítás szerint. Mivel g(α m < a < g(0, a 1... a m 1, ebből már következik a tétel. A következő tétel bizonyításában alapvetően azt a gondolatmenetet követem, melyet Katsuura alkalmazott [4]-ban Tétel: Tetszőleges a (0, 1-re igaz, hogy nem létezik lim g(x g(a x a x a g-nek egyetlen (0, 1-beli pontban sem létezik véges vagy végtelen deriváltja., azaz Bizonyítás: Vegyük először azt az esetet, amikor a / T. A k, l és m számokat definiáljuk úgy, mint a tétel bizonyításában. Feltehető, hogy g(α l < g(a (a g(α l > g(a esetben analóg módon bizonyítható az állítás. Tetszőleges p, r N ( p+1 3 r 1 számokra g ( ( p 3 g p+1 r 3 r 3 r 1 (ez r-re történő teljes indukcióból adódik, ezért { g(a g(α l max, g(a g ( } αl l a α l a α l l akkor Eszerint felhasználva a 3.5. állítást ha a-nak végtelen sok triadikus jegye 1, lim inf j N { g(a g(x tehát sup a x { min g(a g(α j, g(a g ( } αj j a α j a α j 1 1, 3 j } { g(a g(x : a x < ε inf a x 17 } : a x < ε 2.

18 Ha a-nak csak véges sok triadikus jegye 1, akkor l választható olyannak, hogy k =. Ekkor g(a g(α m m 1 a α m 1 1 > g(0, a a m 1 g(α m 1 + α 3 m 1 m α m 1 1 = g(0, a 1... a m 1 g(α m m 1 = 3 m = 3 (g(α m m d g(α m 1 d 3 m 1 = 3 m 1 = 3 m 2 2 m 1 A l+1 = m 1 3 2m A l+1, ahol d = g(α m 1 + g ( α m m 1 = 2 m 1 A l+1 3 m 1 (ld.: (3. Tehát g a-beli jobb felső deriváltja végtelen. Ha g(a > g(α m m = g(α m g(a g(α m m+1 a α m 1 8 g ( α m m < 0, hiszen 3 m+1 = g(α m d > g(α m ( d = g α m m+1 d, akkor Különben g(a g(α m 1 + 1, tehát g(a g(α m m a α m Így nem létezik 3 m 1 g(x g(a lim. x a x a Legyen a T. Létezik h N, melyre a = α h. Tegyük fel, hogy a lokális 3 m 1 minimumhely. Legyen l N, l > h. Ekkor a 3.5. állításból adódóan tetszőleges b [(g(a + 3 l+1, g(a + 3 l ]-re ( g g(b g(a b a ( a l+1 g(a /3 l 2l+1 1 A h /3 l = 2l Ah 3 l+1 3. Eszerint g a-beli jobb oldali deriváltja. Hasonlóan adódik, hogy a bal oldali derivált. Nyilván ha lokális maximumhely, akkor g a-beli jobb oldali deriváltja, bal oldali deriváltja A grafikon tulajdonságai Állítás: g grafikonja szimmetrikus az ( 1 2, 1 2 pontra, azaz minden a [0, 1]-re. g(a = 1 g(1 a (4 18

19 Bizonyítás: Ha a = 0 vagy a = 1, akkor (4 nyilván igaz, így f definíciójából teljes indukcióval tetszőleges T -belire teljesül, tehát a g folytonossága miatt minden a [0, 1]-re is. Amint említettük korábban, a Bourbaki-függvény grafikonja egy önaffin halmaz. Ennek első ismert leírását Katsuura [4] adta meg (ő eleve a grafikon önaffin előállításával definiálta a függvényt. Tekintsük az alábbi IFR-t: Legyen w i : [0, 1] [0, 1] [0, 1] [0, 1] (i = 1, 2, 3, ahol tetszőleges x, y [0, 1]-re: ( 1 w 1 (x, y = 3 x, 2 3 y, w 2 (x, y = w 2 (x, y = ( 1 3 x + 2 3, 1 3 y + 1, 3 ( 1 3 x + 2 3, 2 3 y A 3.5. állításból adódik a következő állítás Állítás: A Bourbaki-függvény grafikonja a W = {w 1, w 2, w 3 } IFR attraktora Szinthalmazok Definíció: Tetszőleges y R esetén S y = {x : x [0, 1], g(x = y} halmazt a g függvény szinthalmazának nevezzük. A Bourbaki-függvény szinthalmazainak leírásához szükségünk lesz egy általánosabb érvényű lemmára Lemma: Legyen h C(R. Ha x 0 R pont h-nak nem szélsőértékhelye, de x 0 -ban h nem lokálisan növő, és nem lokálisan csökkenő, akkor x 0 torlódási pontja S h(x0 -nak. Bizonyítás: Legyen ε > 0 tetszőleges. Elég megmutatnunk, hogy léteznek olyan x 1, x 2, x 3 valós számok, hogy max { x 1 x, x 2 x, x 3 x } < ε, és az (x 0, h(x 0 19

20 ponton átmenő, a koordinátatengelyekkel párhuzamos egyenesek által meghatározott négy nyílt negyedsík egyikébe sem esik egynél több pont az {(x 1, h(x 1, (x 2, h(x 2, (x 3, h(x 3 } halmazból (hiszen ekkor a Bolzano-tétel szerint létezik t 1, t 2 {x 1, x 2, x 3 }, hogy h(t 1 < h(t < h(t 2, és vagy t 1, t 2 (x 0 ε, x 0, vagy t 1, t 2 (x 0, x 0 + ε, tehát van olyan x (x 0 ε, x 0 + ε, melyre h(x = h(x 0. Emiatt feltehetjük, hogy az egyik ilyen negyedsíkra (jelöljük N-nel igaz, hogy N ((x 0 ε, x 0 + ε h ((x 0 ε, x 0 + ε = (ha nincs ilyen negyedsík, akkor készen vagyunk, azaz például x (x 0 ε, x 0 h(x > h(x 0 (a többi esetre analóg módon bizonyítható. Legyen x 1 (x 0 ε, x 0. Mivel x 0 nem maximumhely, ezért létezik x 2 (x 0, x 0 + ε, hogy h(x 2 < h(x 0. Emellett x 0 -ban h nem csökken lokálisan, így van olyan x 3 (x 0, x 0 + ε, melyre h(x 3 > h(x 0. Az x 1, x 2, x 3 számok megfelelnek a kívánt feltételeknek, tehát a bizonyítás kész Definíció: Egy P R n (n N halmazt perfektnek nevezünk, ha zárt, és minden pontja torlódási pont Tétel: Legyen y [0, 1] tetszőleges. Ekkor: (i ha y = 0, vagy y = 1, akkor S y = 1, (ii ha S y T = (azaz ha az y-hoz tartozó szinthalmaz nem tartalmaz véges triadikust, akkor S y perfekt és nem üres, (iii ha S y T (0, 1 (azaz ha az y-hoz tartozó szinthalmaz tartalmaz véges triadikust, akkor S y \ T perfekt és nem üres, valamint S y T <. Bizonyítás: (i nyilvánvaló g definíciójából. Legyen y (0, 1 és a S y. Ha a / T, akkor a tételből és a lemmából adódik, hogy a torlódási pontja S y -nak, amiből következik (ii, mert egy folytonos függvény szinthalmazai zártak. 20

21 Amennyiben a T S y, akkor l N, melyre a = α l, és a l 0. Legyen c = a , ha a l 1 l = 1, és c = a 1 2 3, ha a l 1 l = 2 (tehát c = a 0, a 1... a l vagy c = a 0, a 1... a l Ekkor a 3.5. miatt mert és g(a = l l 1 b i ( 1 A i 2 i 1 A i 3 i = b i ( 1 A i 2 i 1 A i 3 i + i=0 + (b l 1( 1 A l 2 l 1 A l 3 l + i=l+1 i=0 i=l+1 4( 1 A l+i l 1 2 l 1 A l 3 i = g(c, 4( 1 A l+i l 1 2 l 1 A l 3 i = ( 1 A l 2 l 1 A l 3 l, = 1 l 1 3. i Eszerint c S y \ T, tehát az első bekezdés alapján S y \ T perfekt. Emellett a 3.6. állításból adódóan S y T < (mert T l <. Ezekből pedig már következik (iii. A következőkben leírunk egy módszert, melynek segítségével a 0 és az 1 értékek kivételével univerzális alsó és felső becslést adhatunk Bourbaki-függvény szinthalmazainak box-dimenziójára. Ehhez szükségünk lesz a követező állításokra Állítás: Legyen n N. Ha y, z (0, 1 olyanok, hogy y < z, és i=l f 1 ([y, z] n i=0 T i =, akkor ugyanazok a 3 n -háló kockák metszenek bele S y -ba, mint S z -be. [ p Bizonyítás: Legyen p N, melyre p < 3 n, és 3, p + 1 ] S n 3 n y. Ekkor a 3.8. állítás miatt { ( p ( } { p + 1 ( p ( } p + 1 min g, g < y, z < max g, g. 3 n 3 n 3 n Eszerint tetszőleges I [0, 1] 3 n -haló kockára igaz, hogy ha belemetsz S y -ba, akkor S z -be is. Mivel a másik irány analóg módon igazolható, ezért az bizonyítás kész. 3 n 21

22 ( Állítás: Tetszőleges y (0, 1-hez létezik y 3, 1 ], hogy dim B (S y = 2 dim B (S y, és dim B (S y = dim B (S y. Ha y / g(t, akkor y is választható úgy, hogy y / g(t. Bizonyítás: Legyen y (0, 1 tetszőleges. A állítás szerint S y = 1 S 1 y = {1 x : x S 1 y }, tehát S y egybevágó S 1 y -nal, így a 2.4. állítás (v-es pontja alapján feltehető, hogy y 1 ( 1 2. Ha y 3, 1 ], akkor az állítás triviális. A ( fejezetben leírt affin tulajdonság miatt mivel w 1 S1/2 {0} ( 2 3, 0 = S 1/3, ezért ( ( ( ugyancsak 2.4.-ból következően dim B S1/2 = dimb S1/3, és dimb S1/2 = ( 1 dim B S1/3. Legyen y < 3. Ekkor S ( y = w 1 S3/2 y {0}, azaz létezik z Z +, [ 1 melyre S y = w1 z (S y {0}, ahol (3/2 z y = y 3, 1. Ha y / g(t, akkor 2 y / g(t, mert w 1 T {0}-beli pontot T {0}-belibe visz. Innen már szintén 2.4. miatt következik az állítás Állítás: Legyen y g(t (0, 1. Ekkor létezik olyan y / g(t, hogy dim B (S y dim B (S y, és dim B (S y = dim B (S y. Bizonyítás: a 3.6. állítás szerint létezik n Z +, melyre S y T T n. Legyen I = [c, d] egy S y -ba belemetsző 3 n+1 -háló kocka. Ha I S y T =, akkor a y min {g(c, g(d} grafikon önaffin felépítése miatt z := / T, és S z hasonló d c az S y I halmazhoz, így dim B (S y I = dim B (S z, és dim B (S y I = dim B (S z. Amennyiben I S y T, akkor g definíciója szerint a 3.6. állításból adódóan w = 1 3 vagy w = 2 y min {g(c, g(d}, ahol w :=. Ekkor S w és S y I hasonlóak, 3 d ( c ezért dim B (S y I = dim B (S w = dim B S1/2, és dimb (S y I = dim B (S w = ( dim B S1/2, ugyanis Sw \ {1 w} = 1/3 S 1/3. Ez alapján léteznek olyan y 1,..., y m (0, 1 \ g(t számok (m Z +, hogy S y előáll az S y1,..., S ym, K halmazok affin transzformáltjainak uniójaként (ahol K T véges. Tehát a box-dimenzió tulajdonságai miatt (ld.: 2.4. állítás, dim B (S y max{dim B (S y1,... dim B (S ym }, 22

23 és dim B (S y = max{dim B (S y1,... dim B (S ym }. Ezzel a bizonyítást befejeztük. Az egyszerűbb leírás érdekében bevezetünk egy új csak ebben a dolgozatban használt, tehát nem konvencionális fogalmat Definíció: Ha n, k N, és 3k n, akkor nevezzük a intervallumot középső 3 n -háló kockának. [ 3k + 1, 3k + 2 ] 3 n 3 n Tétel: Legyenek k, n N olyanok, hogy k 1 < 1 3 n 2 < k 3, és n i {1,..., k} i 1 < y 3 n i < i 3, valamint y n k 1. Ekkor tetszőleges 2 y (0, 1-re: (i dim B (S y log m n, ahol n m n = min { S yi -be belemetsző középső 3 n 1 -haló kockák }, i {1,...,k} (ii dim B (S y log M n, ahol n M n = max i {1,...,k} { S yi -be belemetsző 3 n -haló kockák }. Bizonyítás: Először bizonyítsuk be a következő segédállítást: ( Állítás: Tetszőleges l N és y 3, 2 \ g(t számokra legfeljebb Mn l 3 darab 3 ln -haló kocka és legalább m l n darab középső 3 ln 1 -haló kocka metsz bele S y -ba. Bizonyítás: A grafikon szimmetriája miatt elég y belátni az állítást. Alkalmazzunk l szerinti teljes indukciót. Az állítás l = 0 esetén triviális. ( 1 3, 1 ] \ g(t számokra 2 Legyen l = 1. Mivel a 3.6. következményből adódóan g(t j T j (ahol j N, és j n, ezért létezik i {1,..., k}, hogy g 1 (min{y, y i }, max{y, y i } T j =. 23

24 Emiatt a állítás szerint S y -ba legfeljebb M n darab 3 n -haló kocka és legalább m n darab középső 3 n -háló kocka metsz bele. Legyen most l > 1, és tegyük fel, hogy l 1-re már tudjuk az állítást. Vegyünk egy tetszőleges olyan I = [c, d] 3 (l 1n -háló kockát, melyre I S y. Legyen y = y min {g(c, g(d}. d c A grafikon önaffin tulajdonsága miatt, az S y I halmazba belemetsző 3 ln -háló kockák száma megegyezik az S y -be belemetsző 3 n -háló kockák számával, és mivel S y T =, ezért S y I T =, tehát S y T =, mert S y I = 3 (l 1n S y + c. Eszerint az l = 1 esetet alkalmazva y -re azt kapjuk, ( hogy az S y I-beli 3 ln -háló 1 kockák száma legfeljebb M n (ugyanis ha y / 3, 2, akkor az S y -be belemetsző 3 3 n -háló kockák száma szintén az önaffinitás következtében nem nagyobb, mint M n. Tegyük fel, hogy J S y, ahol J = [c + 3 (l 1n 1, d 3 (l 1n 1 ], azaz J az I intervallum középső harmada. Ekkor 1 3 < y < 2. Az l = 1 eset szerint 3 kihasználva a grafikon szimmetriáját S y -be legalább m n darab középső 3 n 1 - háló kocka metsz bele, ezért S y J-be legalább legalább m n darab középső 3 ln 1 - háló kocka metsz bele. Így az indukciós feltevés miatt az állítás igaz l-re is. A tétel ( bizonyításának a befejezése: A fenti segédállítás szerint 1 tetszőleges y 3, 1 ] \ g(t számra: 2 és lim sup l lim inf l log N 3 ln(s y log 3 ln log N 3 ln(s y log 3 ln log M n, n log m n. n Ebből következően a 2.3. állítás szerint dim B (S y log m n, és dim B (S y log M n. n n Emiatt a és a állításokból adódóan ez minden y (0, 1 számra is igaz. A fenti tételben lényegében megadtunk egy algoritmust is. Ezt felhasználva számítógéppel kiszámolható, hogy a tételbe n helyére 12-t írva a következőt 24

25 kapjuk (az algoritmus meglehetősen lassú, ezért nagyobb számra már nem futtattuk le: Állítás: Tetszőleges y (0, 1 esetén a g Bourbaki-függvény S y szinthalmazára igaz, hogy: (i dim B S y > 0, 4033, (ii dim B S y < 0, A szerző sejtése az, hogy (M n m n 0, ha n, és minden y (0, 1- re dim B S y = log 5 3 log 3 = log 5 log 3 1 0, 46497, tehát S y box-dimenziója 1-gyel kisebb, mint a grafikoné (ahogyan azt a 4.3. fejezetben látni fogjuk, a grafikon boxdimenziója log 5/ log 3. 25

26 4. Az Okamoto-függvények Hisashi Okamoto [7]-ben adott meg egy függvényosztályt, mely a Bourbaki-függvénynek is egy általánosítása. Legyen s (0, 1 tetszőleges. Definiáljuk (1-hez hasonlóan a következő függvényt (T, T k, α k 1, b k és a k jelentését lásd az 1. fejezetben: f s : T R f s (0 = 0 és f s (1 = 1, a többi pontban rekurzívan definiáljuk (k = 1, 2,...: ( f s (a = f s (α k 1 + s bk 1 (1 s a k 1 (f s α k f 3 k 1 s (α k 1, (5 ahol a T k. 1 5/6 2/3 1/2 1/3 1/ /3 2/ ábra. A Perkins-függvény grafikonja 26

27 Az 1. fejezetben látottakhoz hasonlóan megmutatható, hogy f s folytonos T - re szorítkozva, és a g s : [0, 1] R függvény, melyre g s (x = lim f(y yn x n, folytonos a [0, 1] intervallumon. Az így definiált függvényeket nevezzük Okamotofüggvényeknek. Látható, hogy g 2/3 éppen a Bourbaki-függvény. A g 5/6 esetet nevezzük Perkins-függvénynek (3. ábra, g 1/2 -et pedig Cantor-függvénynek (4. ábra. 1 3/4 1/2 1/ /3 2/ ábra. A Cantor-függvény grafikonja 4.1. Folytonossági tulajdonságok A következő állítás 3.8. és 3.1. általánosítása. Mivel ezekkel analóg módon igazolható, ezért most bizonyítás nélkül közöljük Állítás: Legyen a T n, a < 1. Ekkor tetszőleges x [a, a + 3 n ]-re min{g s (a, g s (a + 3 n } g s (x max{g s (a, g s (a + 3 n }. Ha x (a, a + 3 n, és s 1, akkor fenti egyenlőtlenségek szigorúak. 2 27

28 A 3.5. állítást is általánosíthatjuk az összes Okamoto-függvényre: 4.2. Állítás: A g s Okamoto-függvényre igaz, hogy tetszőleges a [0, 1] számra 0 ha a i = 0 g s (a = c i s i 1 A i (1 2s A i, ahol c i = s ha a i = 1. i=0 1 s ha a i = 2 Bizonyítás: Nézzük először azt az esetet, mikor a T. Ekkor létezik k N, melyre a T k. A k = 0 esetben a fenti állítás triviális. Tegyük fel, hogy minden k < n-re (n > 0 igaz az állítás. Legyen a T n, és j := max{i : 0 i n 1, a i 2}, azaz α n 1 + 1/3 n 1 = 0, a 1... (a j + 1 vagy α n 1 + 1/3 n 1 = 1. Ekkor ( s a j 1 (1 s a j c j (1 2s A j s j 1 A j = (1 2s A j+1 s j A j+1, és n 1 i=j+1 (1 s(1 2s A j+1 s i 1 A j+1 = (1 s(1 2s A j+1 s j A j+1 = (1 s(1 2s A j+1 s j A j+1 1 sn j 1 1 s Így az indukciós feltevés szerint (5-be behelyettesítve n j 2 i=0 s i = = (1 2s A j+1 s j A j+1 (1 s n j 1. g s (a = g s (α n 1 + s bn 1 (1 s an 1 ( g s (α n 1 + 1/3 n 1 g s (α n 1 = n 1 = c i s i 1 A i (1 2s A i + s bn 1 (1 s an 1 i=0 ( (s a j 1 (1 s a j c j (1 2s A j s j 1 A j n 1 i=j+1 (1 s(1 2s A j+1 s i 1 A j+1 n 1 = c i s i 1 A i (1 2s A i + s bn 1 (1 s an 1 i=0 ( 1 (1 s n j 1 (1 2s A j+1 s j A j+1 = n = c i s i 1 A i (1 2s A i. i=0 = (6 28

29 A folytonosság miatt ha a / T, akkor g s (a = lim n g s (α n = c i (1 2s A i s i 1 A i. i= Definíció: Legyen b, c, α R, α > 0, b < c, h: [b, c] R. Azt mondjuk, hogy h α-hölder-folytonos az [b, c] intervallumban, ha létezik C > 0, hogy minden x, y [b, c]-re h(x h(y C x y α Tétel: A g s Okamoto-függvény akkor és csak akkor α-hölder-folytonos, ha α min{ log 3 s, log 3 1 2s }. ( n 1 Bizonyítás: A 4.2. állítás szerint g s (3 n g s (0 = s n és g s ( n g s 3 i = (1 2s n, tehát i=1 ha α > log 3 s, és lim n ( n 1 g s g s (3 n g s (0 s n lim = lim n (3 n 0 α n (3 α =, n ( n 3 i n g s 3 i i=1 (1 2s n 3 i n n α = lim =, n (3 3 α n i i=1 ( n 1 i=1 i=1 i=1 3 i n ha α > log 3 (1 2s. Azaz α > min{ log 3 s, log 3 1 2s } esetén g s nem α-hölder-folytonos. Ezzel az egyik irányt beláttuk. A másik irány bizonyításához szükségünk lesz két lemmára: 4.5. Lemma: Legyen a [0, 1 és n N. Ekkor g s (α n g s (α n + 3 n (max{s, 1 2s } n. Bizonyítás: Könnyen belátható n-re történő teljes indukcióval g s definíciójából. 29

30 4.6. Lemma: Legyen a [0, 1] és n N. Ekkor tetszőleges [a, a + 3 n ] [0, 1]-beli y-ra g s (y g s (a 2 (max{s, 1 2s } n Bizonyítás: Mivel y α n n, ezért a 4.1. állítás és az előző lemma szerint g s (y g s (a g s (y g s (α n + 3 n + g s (α n + 3 n g s (a max { g s (α n n g s (α n + 3 n, g s (α n + 3 n g s (α n } + + g s (α n + 3 n g s (α n 2 (max{s, 1 2s } n. A 4.4. tétel bizonyításának befejezése: Vegyünk tetszőleges x, y [0, 1] pontokat. Ekkor n N, hogy 3 n 1 x y < 3 n. A 4.6. lemma szerint g s (y g s (x 2 (max{s, 1 2s } n = 2 3 n min{ log 3 s, log 3 1 2s } = = 2 3 min{ log 3 s, log 3 1 2s } 3 ( n 1 min{ log 3 s, log 3 1 2s } 2 3 min{ log 3 s, log 3 1 2s } x y min{ log 3 s, log 3 1 2s }. Tehát g s α-hölder-folytonos, ha α min{ log 3 s, log 3 1 2s } A deriválhatóság, vagy ennek hiánya Okamoto [7] alapvetően a függvényosztály deriválhatóságát vizsgálta, és a következő eredményre jutott Tétel: Ha 1 > s 2 3, akkor g s-nek sehol sem létezik véges vagy végtelen deriváltja. Bizonyítás: A tétel bizonyítása alkalmazható itt is értelemszerű módosításokkal. Ezen kívül Okamoto szintén [7]-ben a következő tételt is belátta Tétel: Jelölje p 0 az 54p 3 27p 2 = 1 egyenlet egyetlen ( 1 2, 2 3 -beli gyökét. Ha 2 3 > s > 0, és s 1 3, akkor (i a g s Okamoto-függvény végtelen sok pontban deriválható, de végtelen sok pontban nem deriválható, 30

31 (ii s < p 0 esetén g s csak egy nullmértékű halmazon deriválható, (iii s p 0 esetén majdnem mindenütt deriválható. A fenti tétel s = p 0 esetének bizonyítása Kenta Kobayashi eredménye ([5]. Érdemes megjegyezni, hogy a tétel (i pontja viszonylag könnyen látható: Legyen a T tetszőleges. Ekkor igazolható, hogy g s akkor és csak akkor deriválható a-ban, ha 1 s. Emellett megmutatható, hogy minden n N esetén igaz, hogy 3 g s akkor és csak akkor deriválható α n ben, ha 2 n 3 > s 1 (feltéve, hogy 3 a < A grafikon tulajdonságai Ebben a részben általánosítjuk a 3.2. fejezetbeli állításokat, valamint a grafikon Hausdorff- és box-dimenzióját vizsgáljuk meg. Jelölje Γ s a g s Okamoto-függvény grafikonját Állítás: A g s Okamoto-függvény grafikonja szimmetrikus az ( 1 2, 1 2 pontra, azaz minden a [0, 1]-re. g(a = 1 g(1 a (7 Bizonyítás: Ha a = 0 vagy a = 1, akkor (7 nyilván igaz, így f s definíciójából teljes indukcióval tetszőleges T -belire teljesül, tehát a g s folytonossága miatt minden a [0, 1]-re is. Az alábbiakban megadjuk az Okamoto-függvények önaffin előállítását. Tekintsük az alábbi IFR-t: Legyen w s,i : [0, 1] [0, 1] [0, 1] [0, 1] (i = 1, 2, 3, ahol tetszőleges x, y [0, 1]-re: ( 1 w s,1 (x, y = x, sy, 3 w s,2 (x, y = ( 13 x + 23, (2s 1y + (1 s, w s,3 (x, y = ( 1 3 x + 2, sy + (1 s. 3 31

32 A 4.2. állításból adódik a következő állítás Állítás: Γ s a W = {w s,1, w s,2, w s,3 } IFR attraktora. Az alábbi, a grafikon box-dimenziójáról szóló tételek James McCollum cikkéből származnak ([6] Tétel: Ha s ( 0, 1 2], akkor dimb Γ s = Tétel: Ha s ( 1 2, 1, akkor dim B Γ s = log 3 (12s 3. McCollum a cikkben bizonyítani véli hogy a dim H Γ s = dim B Γ s minden s (0, 1 esetén, azonban kétségek merültek fel a bizonyítás helyességét illetően (ld.: [1, 3. oldal] Lokális tulajdonságok A 4.1. és a 4.2. állításokból valamint (5-ből könnyen belátható a 3.9. következmény általánosítása: Állítás: Legyen a = α k (k N. Ha s > 1, akkor: 2 (i ha a = 0, a szigorú globális minimumhelye g s -nek. (ii ha a = 1, a szigorú globális maximumhelye g s -nek. (iii ha A k+1 0 mod 2, a szigorú lokális minimumhelye g s -nek. (iv ha A k+1 1 mod 2, a szigorú lokális maximumhelye g s -nek. Ahogyan a következő tételekből látni fogjuk a lokális monotonitás szempontjából az aranymetszés arányszáma adja az egyik kritikus esetet Tétel: Legyen 1 > s >. Ekkor tetszőleges a (0, 1-re igaz, hogy g s 2 a-ban nem nő lokálisan, és nem csökken lokálisan. Bizonyítás: A tétel bizonyítása alkalmazható azzal a változtatással, hogy g helyére g s -t írunk. 32

33 Tétel: Legyen s 0 < s, ahol s 0 az s 3 s 2 + 2s 1 = 0 egyenlet 2 egyetlen valós gyöke. Legyen a (0, 1. Ekkor g s a-ban: (i lokálisan nő n N a = α n n, és A n páros, (ii lokálisan csökken n N a = α n n, és A n páratlan. Bizonyítás: A jobbról balra irány igazolásához mind az (i, mind a (ii pont esetében az önaffinitás miatt elég belátni, hogy 1 4 -ben g s lokálisan növekszik. Hármas számrendszerben 1 4 = 0, és 3 4 alapján g ( ( 3 = g i+1 = i=1 i=0 = 0, , tehát a 4.2. állítás (1 ss 2i = 1 s 1 s 2 = s. 5 1 Mivel s, ezért 0 s 2 + s 1, azaz 2 szerint (kihasználva, hogy s > 1 2 [ x 0, 2 ] ( ( 1 3 g s (x g s g s s s = g s ( 1. A 4.1. állítás 3. (8 A grafikon szimmetriájának következtében [ ] ( 1 1 x 3, 1 g s (x g s. (9 4 Ekkor (8-ből és az önaffinitásból adódóan [ x 0, 2 ] ( 1 g s (x g s. ( Eszerint és x x [ 0, 1 ] 4 [ ] 1 4, 1 g s (x g s ( 1 4 g s (x g s ( 1 4, 33

34 ( 1 (9, (10 és az önaffinitás miatt, mert 4 z 2 3 2i /3 2z = 1 i=1 4, azaz az 1 [ 4 1 az i, 1 ] i=z i+1 alakú 3 2z -háló kocka negyedénél van i=z+1 tetszőleges z N-re. Ezzel ezt az irányt beláttuk. Amennyiben a T, akkor a állításból triviálisan adódik a másik irány. Legyen most a / T olyan, hogy a α n , és I := {i N : a n i = 1}. Ha I =, akkor létezik (t j j=1 N szigorúan monoton növő sorozat, melyre ( atj = I, tehát g j=1 s (α ti < g s (a, ha i páros, és g s (α ti > g s (a, ha i páratlan. Eszerint g s a-ban nem nő lokálisan és nem csökken lokálisan. a k Legyen I <, és ε > 0. Ekkor létezik k N, hogy k 2 > max I, és a k 1 = a k+1 (mert a feltétel szerint a nem lehet 0, a 1... a j alakú, ahol j Z +, és 3 k+1 < ε. Feltehető, hogy a k = 0, valamint g s (a > g s (α k 2 (a többi esetben analóg módon bizonyítható az állítás. Ekkor a = 0, a 1... a k 2 200a k+2 a k+3, tehát g s ( αk k+1 = g s (α k 2 + s(g ( α k k+2 g s (α k 2 > mert s 0 < s. Ezek szerint > g s (α k ( 1 s + (1 ss 2 ( g s ( αk k+2 g s (α k 2 = = g s ( αk k 1, g s (a > g ( α k k 1, vagy g s (a < g s ( αk k 1, tehát g s a-ban nem nő lokálisan, és nem csökken lokálisan, hiszen ε tetszőleges volt. 34

35 Hivatkozások [1] P. Allaart: The infinite derivatives of Okamoto s self-affine functions: an application of β-expansions, arxiv: v1 (11 Feb 2015 [2] N. Bourbaki: Functions of a real variable, Translated from the 1976 French original by Philip Spain, Springer, Berlin, [3] K. J. Falconer: Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications, 2nd Edition, Wiley, [4] H. Katsuura: Continuous nowhere-differentiable functions an application of contraction mappings, Amer. Math. Monthly 98 (5, ( [5] K. Kobayashi: On the critical case of Okamoto s continuous non-differentiable functions, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 85 (2009, no. 8, [6] J. McCollum: Further notes on a family of continuous, non differentiable functions, New York J. Math. 17 (2011, [7] H. Okamoto: A remark on continuous, nowhere differentiable functions, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 81 (2005, no. 3, [8] F. W. Perkins: An Elementary Example of a Continuous Non-Differentiable Function, Amer. Math. Monthly 34, no. 9, (

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Fraktálok. Klasszikus fraktálpéldák I. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék

Fraktálok. Klasszikus fraktálpéldák I. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék Fraktálok Klasszikus fraktálpéldák I Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 86 Bevezetés. 2 of 86 TARTALOMJEGYZÉK Bevezetés. Az önhasonlóságról intuitív módon Klasszikus

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14. Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

A derivált alkalmazásai

A derivált alkalmazásai A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

A Peano-görbe. Besenyei Ádám ELTE

A Peano-görbe. Besenyei Ádám ELTE A Peano-görbe Besenyei Ádám ELTE A folytonos görbe kifejezés hallatán hajlamosak vagyunk először egy, a szó szoros értelmében egybefüggően megrajzolható vonalra gondolni. A görbe fogalma azonban a vártnál

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák

Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány

Részletesebben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz

Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz (Utolsó frissítés: 011. január 8., 0:30) Az előadásokon alapvetően a Laczkovich T. Sós könyvet követjük, de több témát nem úgy adtam elő, mint ahogy a könyvben

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

Integr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12.

Integr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12. Integrálszámítás. 1. rész. 2018. április 12. Területszámítás f : [a, b] IR + korlátos függvény. Mennyi a függvény grafikonja és az x tengely közti terület? Riemann integrál, ismétlés F: Az összes lehetséges

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található.

FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok Czirbusz Sándor 010. április 16. I. rész Feladatok A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. 1. Példák fraktálokra 1.1. A Cantor - halmaz 1.1.1. Feladat. Igazoljuk,

Részletesebben

A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán

A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán Besenyei Ádám A következőkben a matematikának több ágában is fontos szerepet betöltő eszközével, a Baire kategória-tétellel és annak néhány alkalmazásával ismertetjük

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1 Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

Matematika alapjai; Feladatok

Matematika alapjai; Feladatok Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést

Részletesebben

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, 3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5

Részletesebben

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig

Részletesebben

2014. november Dr. Vincze Szilvia

2014. november Dr. Vincze Szilvia 24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait! Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,

Részletesebben

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia 24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

Formális nyelvek - 9.

Formális nyelvek - 9. Formális nyelvek - 9. Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu 1 Véges

Részletesebben

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt 27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik

Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék

Részletesebben

Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész

Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA. Példák fraktálokra I. Czirbusz Sándor február 1. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar

FRAKTÁLGEOMETRIA. Példák fraktálokra I. Czirbusz Sándor február 1. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar Példák fraktálokra I Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. február 1. Vázlat 1 Mi a fraktál? 2 A konstrukció Egyszerű tulajdonságok Triadikus ábrázolás Transzlációk

Részletesebben

A gyakorlatok anyaga

A gyakorlatok anyaga A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23. Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus

Részletesebben

DiMat II Végtelen halmazok

DiMat II Végtelen halmazok DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy

Részletesebben

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc

Részletesebben

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

1/50. Teljes indukció 1. Back Close 1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N

Részletesebben