Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon."

Átírás

1 Matematika I. NÉV: Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 8pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x x 2 függvényt Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 sin 2 3t dt, (ii) 3e s/2 ds, (iii) 2 3 x 2 4 dx. A {b n } sorozat monoton nő. (ii) A g(x) függvény differenciálható a 1 pontban. (iii) A korlátos E számhalmaz supremuma. (iv) A környezetes definíció alapján lim s(t) = 5. t 3 (v) Riemann féle integrálközelítő összeg (részletesen).

2 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 5 1. a) Határozzuk meg a n 2 sor összegét. n 2 n=3 b) Konvergens-e ( 1) n 2n 3 n 2 n + 5. n=2 2. Oldjuk meg: y 2y + 5y = e 2x. 2pt 3. Határozzuk meg (x + 3y) dx + 2yx dy értéket, ahol γ az O( 1, 2) középpontú, r = 2 sugarú negatív γ irányítasú körvonal A( 1, ) és B(1, 2) pontjait összekötő körív. 4. Határozzuk meg az f(x, y) = x 3 3xy + y 3 függvény szélsőértékeit a ( 1, 1), (2, 1), ( 1, 2), és (2, 2) 2pt 2pt pontok által kijelölt zárt négyszögön. 3pt

3 Matematika I. NÉV: A tanult módon vizsgáljuk az a 1 = 2, a n = 5a n 1 4 (n > 1) rekurzív sorozatot. 1pt n Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. 1pt n 3 + 2n 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x 8 x 2 függvényt Határozzuk meg a következő integrálokat: 3pt 2 xcos(1 + 2x) dx, (ii) ue 1 u2 du, (iii) t t dt. A (c n ) sorozat korlátos. (ii) A g(t) függvény monoton nő [a, b] n. (iii) Az f(x) nek az x = 3 pont kritikus pontja. (iv) A környezetes definíció alapján lim L(p) =. p 2 (v) Integrálfüggvény.

4 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 1. A tanult módon vizsgáljuk a (2x 5) n 2 3 n sort. 2pt n + 2 n=1 2. Oldjuk meg: (x 2 x)y 1 = y 2, y(1) =. 2pt 3. Definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f(x, y) = xy + 3y függvény f x (1, 1), f y (, 3) parciális deriváltjait. x 2y 4. Határozzuk meg 2x + 1 háromszög. H 2pt dxy értékét, ahol H a (2, ), (, 1) és (, ) pontok által kijelölt zárt 3pt

5 Matematika I. NÉV: A tanult módon vizsgáljuk az a 1 = 3, a n = 3a n a n (n > 1) rekurzív sorozatot. 1pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 7 2 x függvénynek az a = 1 pont körüli harmadrendű Taylor féle polinomját, majd ennek segítségével becsüljük meg 7 2 értékét. 1pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x2 1 x függvényt Határozzuk meg a következő integrálokat: 3pt (λ + x)e λx dx (λ ), (ii) 2 y 2 + 6y + 9 dy, (iii) t t2 + 2 dt. Az {x n } sorozat felülről korlátos. (ii) Az {a n } sorozat Cauchy-sorozat. (iii) A h(x) függvény konvex az [1, 4] intervallumon. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x 2 (v) Darboux féle felső integrál.

6 Matematika I. NÉV:... B csoport 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = 3 2x függvényt. 3n 2 + n 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim n 3 2n 2 = pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xlnx 2 függvényt Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 costsin 3 t dt, (ii) y y dy, (iii) 1 3 z 2 + 2z + 2 dz. Az {a n } sorozat monoton nő. (ii) A B számhalmaznak a 2 infimuma. (iii) Az f(x) függvénynek helyi minimuma van c ben. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) = 2. x (v) Cauchy féle maradéktag.

7 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 1. Ábrázoljuk az F(x) := n=1 n + 3 n2 n (x 1/2) n 3 + n= 3 (n + 1)4 n (x + 1/2)2n 1 függvény értelmezési tartományát (= a két konvergenciatartomány metszete). 2. Oldjuk meg: xy y = 3x 2y, y(1) = 2. 2pt 3. Definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f(x, y) = yx + 2y függvény f x(2, 1), f xx(, 1) 3pt parciális deriváltjait. 2pt 4. Határozzuk meg az f(x, y) = x 2 2x y 2 + 4y függvény szélsőértékeit a (, ), (2, 6) és (2, ) pontok által kijelölt zárt háromszögön. 2pt

8 Matematika I. NÉV: Határozzuk meg az f(x) = x 2 (x 5) 3 szélsőértékeit a [ 1, 3] halmazon. 7pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 1pt n lim 8n 3 n 5, n ( ) 2n 3 2n 1 (ii) lim. n 2n A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x 2 lnx függvényt Határozzuk meg a következő integrálokat: 33pt sin 2t t dt, (ii) 1 dz z 2 + 3z + 2, (iii) 2t 1 t t dt. Az {a n } sorozat alulról korlátos. (ii) Az E számhalmaznak a 1 supremuma. (iii) Az f(x) függvénynek konkáv a [1, 5] on. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) Darboux féle alsó integrálközelítő összeg (részletesen).

9 Matematika I. NÉV:... B csoport 1. Határozzuk meg az f(x) = x 2 + 2x függvénynek az x = 3 pontba húzott érintőegyenesének az egyenletét. 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 1pt 2 n + n 5 lim n n 3 5 n, 1 x 3 (ii) lim x 1 x A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = 1 függvényt. 1 1 x2 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 x + 1 x 2 4x + 4 dx, (ii) xe x2 /2 dx, (iii) t lnt dt. A {c n } sorozat konvergál az A számhoz. (ii) Az f(x) függvénynek helyi maximuma van 1 ben. (iii) A g(x) függvény differenciálható a c pontban. (iv) A környezetes definíció alapján lim s 1 + g(s) = 3. (v) Az f(x) függvény egyenletesen folytonos a [ 1, 3] on.

10 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 2 2n n 1. a) Határozzuk meg a 3 3n+1 sor összegét. n=2 b) Konvergens-e ( 1) n n + 1 2n5 + 3n. 2pt n=3 2. Oldjuk meg: y + 2y + 2y = e x sin x 2x. 3pt 3. Definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f(x, y) = 2x + 3y függvény iránymenti deriváltját a P(1, 2) pontban, az U(4, 3) irányban. 2pt 4. Határozzuk meg az f(x, y) = xye (x2 +y 2 )/2 függvény szélsőértékeit. 2pt

11 Matematika I. NÉV:... n Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. 7pt n 3 + 2n2 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt lim n 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = n n 3 1 cosx, (ii) lim x x 2. x e x (1 x) függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: u 3 + 2u u 2 1 du, (ii) 2 v 1 3 dv, (iii) 1 3 v 2 z dz. Az {y n } sorozat határértéke 1. (ii) Az R(x) szigorúan monoton csökkenő a [, 3] on. (iii) Az f(x) függvénynek inflexiós pontja van az x = 1 helyen. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(t) =. t 2 + (v) Az integrálható f(x) függvény integrálközepe a [c, d] on.

12 Matematika I. NÉV:... B csoport 1. Határozzuk meg a b n = 2n 3 sorozat infimumat, supremumat. 3n 11 7pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt lim n n , (ii) lim n n ( ) n+1 3n n 3 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = 2x + 3 x 2 függvényt Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 (3p + 1)sin p dp, (ii) 1 2t 2 (t 3 + 1) 5 dt, (iii) 2y + 1 y y dy. lim n c n =. (ii) A 1 alsó korlátja g(x) nek. (iii) Az E halmaz megszámlálhatóan végtelen. (iv) A környezetes definíció alapján lim h(z) =. z (v) Darboux-féle alsó integrál (részletesen).

13 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 1. Ha ( 1) n n 6n 2 1 konvergens, akkor becsüljük meg az értékét 1 2 pontossággal. n=1 2. Oldjuk meg: xy + y lnx = y lny. 3pt x 2 y 3. Határozzuk meg dx+yx dy értéket, ahol γ az A(1, 1) és B( 1, 3) pontokat összekötő szakasz x + 2y γ (A B). 2pt x2 /9 4. A megfelelő sorfejtés első 4 tagjának segítségével becsüljük meg x 3 dx értékét. 2pt 2 2pt

14 Matematika I. NÉV: Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f(x) = x 2 3x függvény deriváltját az x = 2 helyen. 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 1pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = ( lim n3 1 ( ) n 1 n + 3 n 2 + 2n), (ii) lim. n n 2n 1 x 2 függvényt. 1 (x 1) 2 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 ds s 2 2s + 2, (ii) 1 1 t 2 3t dt, (iii) e xy dy. A c szám korlátja az {x n } sorozatnak. (ii) s(t) konvex [ 1, 2] on. (iii) A korlátos H számhalmaz infimuma. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) Darboux féle felső integrálközelítő összeg (részletesen).

15 Matematika I. NÉV:... B csoport 2n Definíció alapján és formálisan is igazoljuk, hogy lim n n = 2. 6pt 2. Határozzuk meg az f(x) = arcsinx függvénynek az a = pont körüli harmadrendű Taylor féle polinomját, továbbá becsüljük meg arcsin1/2 értékét. 9pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = (x 5) 3 x 2 függvényt Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 v 2 (1 + 2v 3 dv, (ii) ) 11 1 du u 3 + u 2, (iii) 2 1 y ln(2 + 3y) dy. Az {a n } sorozat szigorúan monoton csökkenő. (ii) A h(x) függvény lineárisan approximálható a 2 pontban. (iii) A {c n } sorozat részsorozata a {b n } sorozatnak. (iv) A környezetes definíció alapján lim g(t) = 3. t 2 (v) A Lagrange féle maradéktag (részletesen).

16 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 1. A tanult módon vizsgáljuk a n=1 2 n n 1 n 2 (3x + 1) n 2 sort. 2pt 2. Oldjuk meg: y + y = e x + 4x. 2pt x 2 y 2xy 2 3. Határozzuk meg lim (x,y) A x 2 + y 2 határértéket, ahol a) A = (, ), b) A = (, 1), c) A = (2, ), d) A = (, ). 2pt xy 4. Határozzuk meg dxy értékét, ahol H a (, ), (4, 2) és (, 4) pontok által kijelölt zárt 2y + 1 háromszög. H 3pt

17 Matematika I. NÉV: Monotonitás és korlátosság szempontjából vizsgáljuk az a n = n n infimum és a supremum értékét. sorozatot, majd adjuk meg az 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 3x függvény szélsőértékeit a [ 1, 2] halmazon. 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x x 2 4 függvényt Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 1pt 2 1 2t 2 + 3t + 1 dt, (ii) e 1 u ln 2 u du, (iii) v 2 + 3v 2 v dv. A 2 szám felső korlátja az (y n ) sorozatnak. (ii) A 2 szám torlódási pontja a (c n ) sorozatnak. (iii) g folytonos a [ 2, 3) on. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) A [c, d] egy beosztása, a beosztás finomsága.

18 Matematika I. NÉV:... B csoport 1. A tanult módon vizsgáljuk az a 1 = 4, a n = 2a n (n > 1) rekurzív sorozatot. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt n lim 3 n n, n ( ) n+1 2n 3 (ii) lim. n 3n A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = 3 xlnx függvényt Határozzuk meg a következő integrálokat: 34pt t cos2πt dt, (ii) 3 2 s 2 (s 2 ds, (iii) 4s + 3) 3 1 2y 2 + y y 3 + 2y 2 dy. lim n x n = 1. (ii) A h(y) függvény folytonos a 2 pontban. (iii) f(x) lineárisan approximálható x ban. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) = 1. x (v) Az E számhalmaz felsőhatár tulajdonságú.

19 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 1. Oldjuk meg ( ln(x + 1) + (x y + 1)e y) y + ln(x + 1) + x + y x + 1 e y =. 2. Oldjuk meg 2y + (y ) 3 y =, y(1) = 1, y (1) = 4. 22pt 3. A megfelelő sorfejtés első 5 tagjának segítségével becsüljük meg x 2 1 x 2 /4 dx értékét. 23pt x + y 4. Határozzuk meg x + 1 dxy értékét, ahol H az y =, és az y = 4x x2 görbék által határolt zárt síkrész. H 22pt 23pt

20 Kalkulus I. NÉV: Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f(x) = x 2 4x függvény deriváltját az x = 1 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 1pt ( lim n2 3 ( ) 2n 1 n + 3 n 2 λn), (ii) lim. n n 2n 1 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xln 2 x függvényt. 17pt Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konvexitás, inflexió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3pt xcos(2x 1) dx, (ii) 3 2 s 1 s 2 2s + a ds, (iii) 1 1 t 2 2t dt. A 3 korlátja az {x n } sorozatnak. (ii) F(z) konvex [α, β] n. (iii) A korlátos E számhalmaz infimuma. (iv) A környezetes definíció alapján lim g(y) =. y (v) Darboux féle felső integrálközelítő összeg (részletesen).

21 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 1. Határozzuk meg a xy da integrált, ahol H az A(1, 1), B(, ) és C(1, 2) pontok által megha- y + 3 tározott háromszög. H 2pt 2. Oldjuk meg: y 2y + 5y = e 2x, y() = 1, y () = 2. 2pt 2 3. Határozzuk meg dx + 2xy dy értéket, ahol γ x2 γ a) az O(, ) középpontú, r = 2 sugarú, negatív irányítasú körvonal P( 2, 2), Q( 2, 2) pontjait összekötő körív. b) az A( 1, 1), B(, 2) és C(1, 1) pontokat összekötő tört szakasz (A B C). 3pt 4. Határozzuk meg az f(x, y) = x 3 3xy + y 3 függvény szélsőértékeit a (, ), (, 3), és (3, ) pontok által kijelölt zárt háromszögön. 2pt

22 Kalkulus I. NÉV: A tanult módon vizsgáljuk az a 1 = 3, a n = 3a n 1 2 (n > 1) rekurzív sorozatot. 1pt 2. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xe x függvényt. 17pt Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konvexitás, inflexió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 3. Határozzuk meg a következő integrálokat: 38pt sin 4 (ax 1)cos(ax 1) dx, (ii) 3 2 (s 1)ln(2s + 1) ds, (iii) 2 1 t 3 1 t 2 + 2t dt. Az (y n ) sorozat korlátos. (ii) Az f(t) függvény monoton nő [ 2, 3] on. (iii) A T(z) függvényneknek a z = 2 pont kritikus pontja. (iv) A környezetes definíció alapján lim y 1 g(y) =. (v) Integrálfüggvény (részletesen).

23 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 1. Határozzuk meg a da integrált, ahol H az A(1, 1), B(3, ) és C(3, 2) pontok által meghatározott háromszög. H 2xy y + 3 2pt 2. Oldjuk meg: xy + y 2 + y =, y(2) = 3.. 2pt 2 3. Határozzuk meg dx + 2xy dy értéket, ahol γ x2 γ a) az O(, ) középpontú, r = 2 sugarú, negatív irányítasú körvonal P(1, 3), Q( 2, 2) pontjait összekötő körív (P Q). b) az A(1, 1), B(2, 3) és C(2, 1) pontokat összekötő tört szakasz (A B C). 3pt 4. Határozzuk meg az f(x, y) = x 3 + 3xy + y 3 függvény szélsőértékeit a (, ), (, 3), és ( 3, ) pontok által kijelölt zárt háromszögön. 2pt

24 Kalkulus I. NÉV: Monotonitás és korlátosság szempontjából vizsgáljuk az a n = 2n 3 8 3n infimumát és supremumát is. 2. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = sorozatot. Adjuk meg a sorozat 1pt 3x függvényt. 17pt (2 x) 2 Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konvexitás, inflexió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 3. Határozzuk meg a következő integrálokat: 38pt 1/3 ln(3t + 1) dt, (ii) π/4 sin 2 s ds, (iii) 2 x 3 x 2 + 3x + 2 dx. A {b n } sorozat monoton növő. (ii) A g(x) függvény differenciálható a 1 pontban. (iii) Az f(x) függvény egyenletesen folytonos a [c, d] intervallumon. (iv) A környezetes definíció alapján lim s(t) = 5. t 3 (v) Riemann féle integrálközelítő összeg (részletesen).

25 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 1. Ábrázoljuk az F(x) := n=1 n + 3 n 2 (x 1) n+1 + n= n 3 2 n (x 1)n függvény értelmezési tartományát. 3pt 2. Oldjuk meg: y 2y = 3e 2x 5x + 1, y() = 2, y () = 1. 2pt 3. Oldjuk meg: xy y = x 4 2x 3 sin x. 2pt x 3 2xy Határozzuk meg lim (x,y) A x 2 y xy 2 határértéket, ahol a) A = (, ), b) A = (, 3), c) A = (1, ), d) A = (, ). 2pt

26 Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg az f(x) = ln (2 x) függvénynek az a = 1 pont körüli harmadrendű Taylor féle polinomját, Lagrange-féle maradéktagját, majd becsüljük meg ln 3/2 értékét. 1pt 2. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = 2x + 3 x 2 függvényt. 17pt Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konvexitás, inflexió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 3. Határozzuk meg a következő integrálokat: 38pt 2 x x + 2 dx, (ii) 3 1 u + 2 u 3 3u 2 du, (iii) 5t 2 7 2t 3 dt. Az {a n } sorozat konvergál 2 höz. (ii) A h(t) függvénynek helyi maximuma van 3 ban. (iii) Az f(t) függvény folytonos a 4 pontban. (iv) A környezetes definíció alapján lim x 3 f(x) =. (v) Az integrálható g(x) függvény integrálközepe a [c, d] on.

27 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 4 1. a) Határozzuk meg a n 2 sor összegét. + n 2 n=3 b) Konvergens-e ( 1) n+1 3 2n n 2 n + 5. n=1 2. Oldjuk meg: (x + 1)y y x xex =, y(1) = e. 2pt 3. Definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f(x, y) = 2x 2 y y függvény f x( 2, 3), f y (1/2, 5) parciális deriváltjait. 2pt 4. Határozzuk meg 3yx dx + (2x y) dy értéket, ahol γ az O(2, 1) középpontú, r = 2 sugarú pozitív γ irányítású körvonal A(2, 3) és B(, 1) pontjait összekötő körív. 2 2

28 Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 1pt lim n n 8n 3 5 n, (ii) lim n 3 2n2 + e 3 n. 2. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xe 1/x2 függvényt. 17pt Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konvexitás, inflexió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 3. Határozzuk meg a következő integrálokat: 38pt 2 1 z + 2 z 2 6z + 9 dz, (ii) xe 5x dx, (iii) e 2 e lny lny y dy. A {c n } sorozat szigorúan monoton csökken. (ii) Az f(x) függvény lineárisan approximálható az 1 pontban. (iii) A {b n } sorozat torlódási pontja. (iv) A környezetes definíció alapján lim x 2 f(x) = 5. (v) A Lagrange féle maradéktag.

29 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 3 2n n 5 1. a) Határozzuk meg a 3 3n+2 sor összegét. n=2 3 n n + 1 b) A tanult módon vizsgáljuk a 2n 2 5 (x + 3)n 2 sort. 2. Oldjuk meg: ln(y 2 + 1) + n= 2y(x 1) y y =. 3. Definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f(x, y) = yx y függvény iránymenti deriváltját 2 2pt a P(2, 5) pontban, az U(2, 3) irányban. 2pt 4. Határozzuk meg az f(x, y) = x 2 xy + y 2 2x függvény szélsőértékeit a (, ), (2, 4), és (3, ) pontok által kijelölt zárt háromszögön. 2

30 Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg az f(x) = 3 2x 2 függvénynek az x = 1 koordinátájú pontjához húzott érintő egyenesének egyenletét. 2. Határozzuk meg f(x) = x 3 4x 2 + 4x nek a [ 3, 1] zárt intervallumon fölvett szélsőértékeit. 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = 3x2 függvényt. 17pt (1 x) 2 Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konvexitás, inflexió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 3. Határozzuk meg a következő integrálokat: 38pt xe 1 x2 dx, (ii) e 1 lnz z dz, (iii) 2 1 t 2 + 4t + 5 dt. A 5 fölső korlátja az {a n } sorozatnak. (ii) A h(t) függvénynek helyi maximuma van 3 ban. (iii) Az E halmaznak a 4 infimuma. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) = 2. x (v) Riemann féle integrálközelítő összeg (részletesen).

31 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 1. Legyen f(x, y) = x 4 + y 4 2x 2 + 4xy 2y 2. Határozzuk meg f szélsőértékeit. 2pt 2. Oldjuk meg: x 2 y + 2xy = lnx, y(1) =, y (1) = 2. 2pt 1 3. A megfelelő sorfejtés első 5 tagjának segítségével becsüljük meg x 2 1 x2 dx értékét. 2pt 9 x + 2y 4. Határozzuk meg dxdy értékét, ahol H a ( 2, ), ( 1, 2) és (, ) pontok által meghatáro- x + 3 zott zárt háromszög. H 3pt

32 Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 1pt n 2 + 3n 2π n 9 1 lim n 3, (ii) lim 1 5n n 2 n A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x + e 1/x függvényt. 17pt Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konvexitás, inflexió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 3. Határozzuk meg a következő integrálokat: 38pt 1 3 t 3 t 2 + 3t dt, (ii) π/4 (3x 1)sin2x dx, (iii) 2 5v 2 (2 8v 3 ) 15 dv. Az {b n } sorozat felülről korlátos. (ii) Az f(x) függvénynek inflexiós pontja van az x = 2 helyen. (iii) A h(x) függvény folytonos a ( 3, 4] on. (iv) A környezetes definíció alapján lim x 1 f(x) =. (v) Az [c, d] egy beosztása, a beosztás finomsága.

33 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK 1. Definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f(x, y) = x 2 y függvény f x(1, 3), f y( 5, 2) parciális deriváltjait. 2pt 2. Oldjuk meg: (x + 1)y y x xex =, y(1) = e. 2pt sin 3x 3. A megfelelő sorfejtés első 5 tagjának segítségével becsüljük meg 1 x 4 dx értékét Határozzuk meg (x + 3y) dx 2y dy értéket, ahol γ a ( 3, 2) és (1, 3) pontokat összekötő 2x y szakasz (A B). γ 2 2

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, 3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt 27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

a) az O(0, 0) középpontú, r = 2 sugarú, negatív irányítasú körvonal P( 2, 2), Q( 2, 2) pontjait

a) az O(0, 0) középpontú, r = 2 sugarú, negatív irányítasú körvonal P( 2, 2), Q( 2, 2) pontjait 06.05.7. Kalulus II. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK. Határozzu meg a xy da integrált, ahol H az A(, ), B(0, 0) és C(, ) ponto által megha- y + 3 tározott háromszög. H 0pt. Oldju meg: y y + 5y = e

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat . Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

Kurzusinformáció. Analízis II, PMB1106

Kurzusinformáció. Analízis II, PMB1106 Kurzusinformáció Analízis II, PMB1106 2013 Tantárgy neve: Analízis II Tantárgy kódja: PMB1106 Kreditpont: 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.): 2+2 Előfeltétel: PMB1105 Félévi követelmény: kollokvium Előadás

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet   nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26 Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

Matematika elméleti összefoglaló

Matematika elméleti összefoglaló 1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

KONVEXITÁS, ELASZTICITÁS

KONVEXITÁS, ELASZTICITÁS Bodó Beáta 1 KONVEXITÁS, ELASZTICITÁS 1. B Az f(x) függvény értelmezési tartománya. Hol konkáv az f(x) függvény, ha második deriváltja f (x) = (x + 6) 5 (4x 12) 8 (x + 2)? f (x) zérushelyei: 6; 2; 3 D

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést

Részletesebben

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja! Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények 6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai

Részletesebben

Feladatgyûjtemény. Analízis III. Sáfár Zoltán

Feladatgyûjtemény. Analízis III. Sáfár Zoltán Feladatgyûjtemény Analízis III. Sáfár Zoltán NyME-SEK 20 Tartalomjegyzék. Számsorozatok számsorok 2. Differenciálszámítás 5 2.. L Hospital-szabály............................... 7 3. Függvénysorok Taylor-polinom

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

A gyakorlatok anyaga

A gyakorlatok anyaga A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. példatár. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus II. példatár Gselmann Eszter Debrecen, 203 Tartalomjegyzék. Határozatlan integrál Elméleti áttekintés............................. Alapintegrálok...............................

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA

Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Alapvető fogalmak: Függvény fogalma Függvény helyettesítési értéke (függvényérték) Függvény grafikonja A

Részletesebben

2. hét (Ea: ): Az egyváltozós valós függvény definíciója, képe. Nevezetes tulajdonságok: monotonitás, korlátosság, határérték, folytonosság.

2. hét (Ea: ): Az egyváltozós valós függvény definíciója, képe. Nevezetes tulajdonságok: monotonitás, korlátosság, határérték, folytonosság. Ütemterv az Analízis I. c. tárgyhoz (GEMAN510B, 510-B) Járműmérnöki, logisztikai mérnöki, műszaki menedzser, villamosmérnöki, ipari termék- és formatervező mérnöki alapképzési szak 2019/20. tanév I. félév

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész

Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések

Részletesebben

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész

Részletesebben

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait! Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.

Részletesebben

Az előadások és gyakorlatok időpontja, tematikája

Az előadások és gyakorlatok időpontja, tematikája Tájékoztató a Differenciál- integrálszámítás tárgy 28/29. tanév I. félévi kurzusairól számonkéréről Az előadások gyakorlatok időpontja, tematikája Az előadás kódja(i): TTMBE23, TMOE27, TTMBE83; heti óraszáma:

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete) Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)

Részletesebben

1. Monotonitas, konvexitas

1. Monotonitas, konvexitas 1. Monotonitas, konvexitas 1 Adjuk meg az alabbi fuggvenyek monotonitasi intervallumait! a) f (x) = x 2 (x 3) B I b) f (x) = x x 5 I c) f (x) = (x 2) p x I d) f (x) = e 6x 3 3x 2 I 2 A monotonitas vizsgalat

Részletesebben

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x

Részletesebben

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös

Részletesebben

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n. 1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

1. Fuggveny ertekek. a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I. x = arcsin(x) ha 1 x 0 x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + a) f (x) = 4 x 2 x+log

1. Fuggveny ertekek. a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I. x = arcsin(x) ha 1 x 0 x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + a) f (x) = 4 x 2 x+log 1. Fuggveny ertekek 1 Szamtsuk ki az alabbi fuggvenyek erteket a megadott helyeken! a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I b) f (x) = sin x 1 x = π 2, π 4, 3 3 2π, 10π I arcsin(x) ha 1 x 0 1 c) f

Részletesebben

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1 Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,

Részletesebben

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban! . Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x

Részletesebben

Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői

Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői A függvények ábrázolásához használhatjuk a nevezetes szögek, illetve a határszögek értékeit. f (x) = sin x Az ábráról leolvashatjuk a függvény

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

A lineáris programozás alapjai

A lineáris programozás alapjai A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges

Részletesebben

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25) I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =

Részletesebben

Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák

Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány

Részletesebben

Differenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék

Differenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Differenciál - és integrálszámítás (Óraszám: 3+3) (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Debrecen, 2005 A tárgy neve: Differenciál- és

Részletesebben

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév) . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

Matematika M1 1. zárthelyi megoldások, 2017 tavasz

Matematika M1 1. zárthelyi megoldások, 2017 tavasz Matematka M. zárthely megoldások, 7 tavasz A csoport Pontozás: + 7 + 7 + 7) + 3 + 6 5 pont.. Lehet-e az ux, y) e 3x cos3y) kétváltozós valós függvény egy regulárs komplex függvény valós része? Ha gen,

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

4. Laplace transzformáció és alkalmazása

4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:

Részletesebben