(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
|
|
- Csenge Kelemen
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya, b) minden komlex szám a konvergenciatartományában van, c) egy elem a konvergenciatartománya, d) i a közéontja és i + benne van a konvergenciatartományában, de i nem? MO.: a) nincs, z = z 0 helyettesítéssel: c n (z 0 z 0 ) n = 0 = 0. b) n= n= n= n n (z ) n esetén R =. c) n n (z ) n esetén R = 0. d) Nincs, mert a konvergenciakörében minden ontban konvergens egy sor és mivel n= i (i + ) = R, ezért i (i ) = < R miatt i a körben van. Komlex elemi függvények e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ (ϕ R), sin z = eiz e iz, cos z = eiz + e iz, sh z = ez e z, ch z = ez + e z i. Milyen z C-re lesz sin z tiszta kézetes? MO.: sin z = sin(x + iy) = i ex e iy i e x e iy = i ex (cos y + i sin y) + i e x (cos y i sin y) = i ( ex cos y + e x cos y ) + ex sin y + e x sin y. 0 = Re(sin z) = sin y ( ex + e x) y = k, k Z.. Mik a z sh z komlex függvény zérushelyei? e z e z MO.: = 0, w = e z, w = w, w =, w = ±, e z = = e 0, z = ik, k Z, e z = = e i, z = i + ik, k Z, azaz z = ik, k Z. Dierenciálhatóság f diható z 0 C-ben, ha f(z) f(z 0 ) lim = f (z 0 ) C z z 0 z z 0 Dihatóság jellemzése komonensfüggvényekkel: { x u(x 0, y 0 ) = y v(x 0, y 0 ) f = u + iv di.-ható x 0 + iy 0 -ban y u(x 0, y 0 ) = x v(x 0, y 0 ) u, v valósan di.-ható (x 0, y 0 )-ban u harmonikus, ha xxu + yyu = 0, v harmonikus társa u-nak, ha f = u + iv reguláris.. Milyen n ozitív egész értékre deriválható az f(z) = z z n komlex függvény a z 0 = 0-ban? z z n 0 MO.: n > -re: = z zn = z z 0 z z zn 0 mert z/z =, ha z nem nulla, azaz korlátos és z n 0, ha z 0. n = -re z = x + iy = x iy nem deriválható sehol a CauchyRiemann-egyenletek miatt, amik: =, 0 = 0.
2 . Milyen c valós számra harmonikus az u(x, y) = x y c +, amikor harmonikus, mi a harmonikus társa? MO.: xxu + yyu = (c + )c y c = 0. Minden y-ra teljesülnie kell, ezért csak a c = 0 jöhet szóba, és valóban: c = ±-re u(x, y) = x y harmonikus. Ennek harmonikus társa v = xy. 3. Adja meg az összes f = u + iv reguláris függvényt, melyre u = u(x) csak x-t l függ, v = v(y) csak y-tól függ! MO.: A CR-egyenletek: u(x) x = v y(y) u(x) y = 0 = v(y) x Az els b l: u(x) = xv y(y)+c(y) (azaz a jobb oldal is legfeljebb csak az x-t l függ), de ez csak akkor teljesül minden x, y-ra, ha c(y) = c konstans és v y(y) = b konstans, azaz u(x) = xb + c, innen v = by + d. f = bz + w, d valós, w = c + id. 4. Adja meg az összes f = u + iv reguláris függvényt, melynek valós része u = ax + by alakú! Mi ilyenkor a kézetes része? MO.: Érdemes megnézni, hogy mikor lesz harmonikus: xxu(x, y) + yyu(x, y) = a + b = 0 azaz ha a = b, vagyis u = ax ay. Ekkor a kézetes része a CR-egyenletekb l: Innen v = axy + c, f(z) = az + ci. x v = y u = ay v = axy + C (y) y v = x u = ax v = axy + C (x) 5. Írja fel az f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) = e xy sh (x y) + iarctg(y + sin x) függvényre a CauchyRiemannegyenleteket! MO.: u x = y e xy sh (x y) + e xy ch (x y)xy = (y + sin x) + = v y u y = xye xy sh (x y) + e xy ch (x y)x cos x = (y + sin x) + = v x Komlex integrál kiszámítási formulája f : C C folytonos, : [t, t ] C; t z(t) folytonos, véges sok hely kivételével folytonosan dierenciálható: f = t t=t f(z(t)) ż(t)dt. Legyen f = u + iv tetsz leges reguláris függvény és : z(t) = i( + t), 0 t. Írja fel az f integrált algebrai alakban (nem kell és nem is lehet kiszámítani)! MO.: z(t) komonensfüggvényei: x(t) = 0, y(t) = + t, mert z(t) = x(t) + iy(t) = 0 + i( + t), deriváltja: ż(t) = i. f = (u(0, + t) + iv(0, + t)) idt = i u(0, + t) + iv(0, + t)dt = i u(0, + t)dt v(0, + t)dt
3 . Legyen f(z) = z és : z(t) = x(t) + iy(t), 0 t tetsz leges egyszer görbe. Írja fel az f integrált algebrai alakban (nem kell és nem is lehet kiszámítani)! u(x, y) = x, v(x, y) = y, mert f(x + iy) = x + iy. f = (x(t) + iy(t)) (ẋ(t) + iẏ(t))dt = x(t)ẋ(t) y(t)ẏ(t) + i(x(t)ẏ(t) + ẋ(t)y(t))dt = 3. Számítsa ki az f(z) = (z) = x(t)ẋ(t) y(t)ẏ(t) + i x(t)ẏ(t) + ẋ(t)y(t)dt integrálját az origó közéontú egység sugarú, ozitívan irányított kör mentén! z(t) = e it, 0 t, ż(t) = ie it, e it = e it K f = (e it ) ie it dt = (e it ) ie it dt = i ie 3it dt = i 3 [e3it ] 0 = 0 Cauchy-tétel, Cauchy-formulák Cauchy-tétel. Ha a T korlátos és zárt tartomány olyan, hogy a ereme az egyszer, zárt (a tartományhoz komatibilisen irányított ) Γ görbe és az f függvény reguláris a T -n, akkor f = 0 Γ Az n-edik deriváltra vonatkozó Cauchy-formulák. Ha a T korlátos és zárt egyszeresen összefügg tartomány olyan, hogy a ereme az egyszer, zárt (a tartományhoz komatibilisen irányított ) Γ görbe, z 0 a T -belsejében olyan ont, amit egyszer hurkol körbe a Γ és az f függvény reguláris a T -n, akkor f(z) i dz = (z z 0 ) n+ n! f (n) (z 0 ) ahol f (n) az f függvény n-edik deriváltját jelöli. Γ. A c egész araméter mely értékeire lesz az alábbi integrál nulla? z c dz z = z = MO.: c > 0-ra z -nak a körön belül egyetlen szingularitása van, ezért a Cauchy-formula szerint n + = c-vel: c { z c dz = i 0, c > (c )! (c ) (0) =, c = Ha c <, akkor z c reguláris és ezért a Cauchy-tétel miatt az integrál nulla. Tehát c esetén nulla az integrál.. A 0 < R < ill. < R esetén milyen R-re lesz az alábbi integrál nulla? z dz z+ =R MO.: < R-ra z -nak a körön belül egyetlen szingularitása van, ezért a Cauchy-formula szerint n + = -gyel: i dz = z 0! (0) (0) = i. z+ =R
4 Ha 0 < R <, akkor z reguláris a z + = R egyenlet körön belül és ezért a Cauchy-tétel miatt az integrál nulla. Tehát 0 < R < esetén nulla az integrál. 3. A komlex síkon A, B, C három olyan ont, melyekre a reguláris f : C C függvény olyan, hogy f = i +, AB f = 4i és az ABC háromszögvonal ilyen sorrendben ozitívan irányított görbét alkot. Mennyi f értéke? AC MO.: f reguláris, az ABC háromszög kerülete edig zárt, ezért a Cauchy-tétel miatt ezt rendezve: f = f f = f f = 4i i = i 3. BC Diegyenletek CA AB AC AB Diegyenlet Lalace-transzformációval L(y )() = Y y(0) y (0), L(y )() = Y y(0), L(t n e at n! )() = ( a), L(sin(bt))() = n+ +b AB f + BC BC f + CA f = 0, b +b, L(cos(bt))() =. Oldja meg az y 5y 6y = e t egyenletet az y (0) = 0, y(0) = 0 kezdeti feltétel mellett! MO.: L(y ) = Y y(0) y (0), L(y ) = Y y(0). Y 5Y 6Y = Y = ( )( + )( 6) A/( ) + B/( + ) + C/( 6) alakban keressük a megoldást (van három szimla gyöktényez ). Közös nevez re hozva: A(+)( 6) +B( )( 6) +C( )(+). Innen A(+)( 6) +B( )( 6) +C( )(+) =. A nevez gyökeit: =, = +, = 6 behelyettesítve ebbe: I. B = /4, II. A = /0, III. C = /35, így y(t) = 0 et + 4 e t + 35 e6t.. Oldja meg az y + 6y + 9y = 4e t egyenletet az y(0) =, y (0) = 0 kezdeti feltétel mellett! MO.: Y + 6Y 6 + 9Y = 4 + y( ) = y = + 6 ( + 3) + 4 ( + )( + 3) y = ( + )( + 3) A/(+)+B/(+3)+C/(+3) alakban keressük a megoldást (van egy szimla és egy dula gyöktényez ). Közös nevez re hozva: A(+3) +B(+3)(+)+C(+)/(+)(+3). Innen A(+3) +B(+3)(+)+C(+) = ( + 4) gyökmódszerrel: =, = 3, = (ez utóbbi tetsz leges). És I. A = 4, II. C =, III. 4A + B + C = 9, azaz 6 + B = 9, B = 3. És így 4/( + ) 3/( + 3) /( + 3) a arc tört. Eszerint y(t) = 4e t 3e 3t te 3t. 3. Oldja meg az y + 9y = cos( 8 t) egyenletet az y(0) = 0, y (0) = kezdeti feltétel mellett! MO.: Y + 9Y = +8 Y ( + 9) = + +8 Y = +9 + ( +9)( +8). Az utolsó törtet kell arciális
5 törtekre bontani, ezt érdemes a tanult ügyes módszerrel (de lehet az x = ): ( ( + 9)( + 8) = + 8 ) + 9 Innen felírva a Lalace-táblázatban szerel függvények alakjában: Y () = (x+9)(x+8) -nek az A,B-s felbontásával is, ahol + 9 y(t) = 3 sin(3t) + cos( 8 t) cos(3t) 4. Oldja meg az y + y = sin t egyenletet az y(0) = kezdeti feltétel mellett! MO.: Y + Y = + Y ( + ) = + + Y = + + kell bontani, a másodikat l. gyökmódszerrel: (+)( +). A törteket arciális törtekre ( + )( + ) = A + + B + C + = A( + ) + (B + C)( + ) ( + )( + ) gyökök:, i, i. = : = A( + ); A = 5 = i : = (i + )(ib + C) = i : = ( i + )( ib + C) Az utolsó kett t összeszorozva: 5(B + C ) =, ez jól jön majd. Az egyikb l a C-t kiküszöbölve: C = i+ ib, = ( i+)( ib + i+ ), i+ i i+ = ib, 5 = ib, azaz B = 5. C = 5 5 = 5 és azért ozitív, mert ez tesz eleget az egyenleteknek. Innen felírva a Lalace-táblázatban szerel függvények alakjában: Y () = y(t) = e t + 5 e t + 5 sin t 5 cos t = 5 e t + 5 sin t 5 cos t 5. Oldja meg az y + 4y = t egyenletet az y(0) =, y (0) = kezdeti feltétel mellett! MO.: Y + 4Y = Y ( + 4) = + + Y = kell arciális törtekre bontani: ( + 4) = ( 4 ) + 4 Innen felírva a Lalace-táblázatban szerel függvények alakjában: Y () = = ( +4). Az utlsó törtet y(t) = cos t + 4 sin t + t Egzakt és lineáris diegyenlet. A a és b valós araméterek mely értékére lesz az 3xy + 5y + 6x + (ax y + bx + 7y)y = 0 egyenlet egzakt? MO.: y (3xy + 5y + 6x) = 6xy + 5, x (ax y + bx + 7y) = axy + b, tehát a = 3 és b = 5.. Milyen alakban kell keresni az y + 4y + 4y = 4e x egyenletet egy inhomogén artikuláris megoldását? MO.: Ez egy állandó együtthatós lineáris dierenciálegyenlet, ezért a karakterisztikus olinom gyökei szerint a táblázatból keressük ki a homogén megoldását és hogy az inhomogén artikulárist milyen alakban kell keresnünk.
6 A homogén egyenlet karakterisztikus egyenlete: λ + 4λ + 4 = 0, ennek két egybees valós gyöke: λ =, így a homogém általános megoldás: C e x + C xe x, de az inhomogén tag 4e x (azaz bels és küls rezonancia is van), ezért a artikuláris megoldást Ax e x alakban keressük. 3. Írja fel az x y y = egyenlet megoldását y H +y P alakban, ahol y H a homogén egyenlet általános megoldása, y P edig az inhomogén egyenlet egy arikuláris megoldása! MO.: Ez egy függvényegyütthatós lineáris, szearálással: (y ) dy = x dx ln y = C x y H = ce x +, azaz y H = ce x, yp = + (a zh-ra tanult módon). Valszám Kolmogorov-axiómák és következményeik Ω halmaz az eseménytér és ennek A Ω részhalmazai az események (egy olyan részhalmazcsalád, melyben az Ω-ra, mint alahalmazra vonatkozó A komlementer is benne van, ha A benne van és i =,,... -re az A i -k úniója (összege) is benne van, ha az A i -k is benne vannak).. 0 P (A),. P ( ) = 0, P (Ω) = 3. P (A + B) = P (A) + P (B), ha A és B kizárják egymást, azaz A B = (egymást kizáró események összeadási szabálya) 4. def.: A, B függetlenek, ha P (AB) = P (A)P (B) (független események szorzási szabálya) 5. logikai szita: P (A + B) = P (A) + P (B) P (AB) 6. P (A) = P (A) (komlementer esemény kivonási szabálya) Folytonos valószín ségi változó Az X folytonos valószín ségi változó (kumulatív) eloszlásfüggvénye az F X : R R, ha F X (x) = P (X < x). Ennek tulajdonságai: lim F = 0, X lim F =, X + F X monoton n és alulról félig folytonos, tehát ha x 0 -ban ugrása van, akkor F X (x 0 ) = lim F, x0+ X P (a < X < b) = P (X < b) P (X < a) = F X (b) F X (a). Ha X folytonos valószín ségi változó és ennek F X eloszlásfüggvénye majdnem mindenhol deriválható, akkor f X x az X s r ségfüggvénye, ha F X (x) = f X (azaz f X olyan, aminek F X a -ben elt n integrálfüggvénye). Ennek tulajdonságai: f X =, f X 0, b f X a = P (a < X < b), F (x) = f (x) majdnem mindenhol. X X Ha X folytonos valószín ségi változó és ennek f X s r ségfüggvénye, akkor X várható értéke: M X = xf X (x)dx. Legyen az alábbi F X az X valószín ségi változó folytonos eloszlásfüggvénye: 0 x < F X (x) = A + B (x + ) x 0., 0 x
7 a) Adja meg A, B értékét! b) Mi X s r ségfüggvénye és várható értéke? c) Mi a P ( < X < ) valószín ség értéke? MO.: a) F X a [, 0]-n balról 0, jobbról, ezért ezeket behelyettesítve: A + B( + ) = 0, azaz A = 0, és B(0 + ) =, azaz B =. b) f X (x) = F X (x), ahol ez értelmes, azaz l.: 0 x < f X (x) = (x + ) x 0. 0, 0 x M X = xf X (x)dx = c) P ( < X < ) = F X () F X ( ) vagy P ( < X < ) = 0 =. 0 x(x + )dx = [ x3 3 + x ] 0 = 3.. Legyen az alábbi f X az X valószín ségi változó s r ségfüggvénye: 0 x < A f X (x) = 4(x + A) 3 A x 0. 0, 0 x a) Adja meg A értékét! b) Mi X eloszlásfüggvénye és várható értéke? c) Mi a P ( < X < 3 ) valószín ség értéke? MO.: a) = f X = 0 A 0 f X. Innen P ( < X < ) = F X () F X ( ) = 4(x + A) 3 dx = [ (x + A) 4] 0 A = A4 azaz A = (hiszen A a A x 0 feltétel miatt ozitív). b) f X (x) = F X (x), ahol ez értelmes, ezért az f X függvény -ben elt n integrálfüggénye F X : 0 x < F X (x) = (x + ) 4 x 0., 0 x M X = xf X (x)dx = 0 4x(x + ) 3 dx = 0 4x 4 + x 3 + x + 4xdx = 5. c) P ( < X < 3 ) = F X( 3 ) F X( ) vagy P ( < X < 3 ) = 3 f X. Innen P ( < X < ) = F X () F X ( ) = ( 3 + )4 ( 3 + )4 = ( 3) 4 ( ) 4. Vagy P ( 3 < X < 3 ) = f X = 3 4(x + ) 3 dx = ( ) Legyen az alábbi F X az X valószín ségi változó folytonos eloszlásfüggvénye: 0 x < F X (x) = A + B sin x x., x ( ) 4
8 a) Adja meg A és B értékét! b) Mi X s r ségfüggvénye és várható értéke? c) Mi a P ( 4 < X < 4 ) valószín ség értéke? d) Mi az Y = X + valószín ségi változónak az eloszlásfüggvénye? MO.: a) A folytonosságból következik, hogy 0 = A + B sin = A + B( ), = A + B sin A = B =. b) f X (x) = F X (x), ahol ez értelmes, l.: 0 x < f X (x) = cos x x. 0, x = A + B, innen M X = xf X (x)dx = [ x cos xdx = x sin x + ] cos x c) P ( 4 < X < 4 ) = F X( 4 ) F X( 4 ) = 3. d) F Y (y) = P (Y < y) = P (X + < y) = P (X < y ) = F X( y ): 0 y < 0 y < 0 F Y (y) = + sin( y ) y =, y + sin( y ) 0 y, y = 0
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
Részletesebben6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenMatematika M1 Gyakorlat
Matematika M Gyakorlat BME - Gépésmérnök MSc Gyakorló Feladatsor. Zh. Határoa meg a α paraméter értékét úgy hogy a vx y = αx y xy 4y 3 3 kétváltoós függvény egy reguláris komplex függvény képetes rése
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
Részletesebben(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e
Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
RészletesebbenM szaki matematika 2
Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet M szaki matematika Gyakorlati jegyzet Készítette: Bogya Norbert, Dudás János, Fülöp Vanda Utoljára módosítva: 09. április 8. Európai Szociális Alap i Szegedi Tudományegyetem,
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
RészletesebbenParciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenMatematika M1 1. zárthelyi megoldások, 2017 tavasz
Matematka M. zárthely megoldások, 7 tavasz A csoport Pontozás: + 7 + 7 + 7) + 3 + 6 5 pont.. Lehet-e az ux, y) e 3x cos3y) kétváltozós valós függvény egy regulárs komplex függvény valós része? Ha gen,
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenSegédanyag az A3 tárgy gyakorlatához
Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Sáfár Orsolya Szeparábilis dierenciálegyenletek A megoldásról általában: A szeparábilis dierenciálegyenlet álatlános alakja: y (x) = f(x)g(y). Ebben az esetben g(y)-al
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Részletesebben1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.
Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7
RészletesebbenFeladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
Részletesebbena) az O(0, 0) középpontú, r = 2 sugarú, negatív irányítasú körvonal P( 2, 2), Q( 2, 2) pontjait
06.05.7. Kalulus II. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK. Határozzu meg a xy da integrált, ahol H az A(, ), B(0, 0) és C(, ) ponto által megha- y + 3 tározott háromszög. H 0pt. Oldju meg: y y + 5y = e
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +
Részletesebben6. Differenciálegyenletek
312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon
RészletesebbenVégeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
RészletesebbenDefiníció Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény.
8. Differenciálegyenletek 8.1. Alapfogalmak Korábbi tanulmányaink során sokszor találkoztunk egyenletekkel. A feladatunk általában az volt, hogy határozzuk meg az egyenlet megoldását (megoldásait). Az
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenHALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenGyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz
Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F
RészletesebbenIpari matematika 2. gyakorlófeladatok
Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,
Részletesebben7. feladatsor: Laplace-transzformáció (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyésmérnöki, Biomérnöki, Környeetmérnöki sakok, 017/18 ős 7. feladatsor: Laplace-transformáció (megoldás) 1. A definíció alapján sámoljuk ki a követkeő függvények Laplace-transformáltját.
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
RészletesebbenKónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (2) Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Informatika ANAÍZIS (2) Komplex függvénytan Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műszaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján összeállította: Fritz Józsefné
RészletesebbenFolytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja
Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenMatematika A3 1. ZH+megoldás
Matematika A3 1. ZH+megoldás 2008. október 17. 1. Feladat Egy 10 literes kezdetben tiszta vizet tartalmazó tartályba 2 l/min sebesséeggel 0.3 kg/l sótartalmú víz Áramlik be, amely elkeveredik a benne lévő
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenMátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22
Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
RészletesebbenDifferenciálegyenletek Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (2) Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műszaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján összeállította: Fritz
RészletesebbenFeladatok Oktatási segédanyag
VIK, Műsaki Informatika ANAÍZIS () Komplex függvénytan Feladatok Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műsaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján össeállította: Frit
Részletesebben7. Oldjuk meg az alábbi kezdetiérték-problémát: y x y = 6x, y(0) =
. feladatsor: szeparábilis és els rend lineáris dierenciálegyenletek x. Mutassuk meg, hogy y = e x e t2 dt + 3e x megoldása az alábbi dierenciálegyenletnek: y y = e x+x2. 2. Adjuk meg az y = e 3x + 2x
RészletesebbenMátrix-exponens, Laplace transzformáció
2016. április 4. 2016. április 11. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ÉS A MÁTRIX-EXPONENS KAPCSOLATA Feladat - ismétlés Tegyük fel, hogy A(t) = (a ik (t)), i, k = 1,..., n és b(t) folytonos mátrix-függvények
RészletesebbenDifferenciálegyenletek gyakorlat december 5.
Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenMatematika szigorlat javítókulcs, Informatika I máj. 30.
Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 006. máj. 0.. Legyen f : [0, [ R, f (x)= x x +. a) Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából! f (x)= x (x + ). x=0 0
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebben4. A komplex függvénytan elemei
92 yőri István, Hartung Ferenc: MA4f és MA66a előadásjegyzet, 2006/2007 4. A komplex függvénytan elemei 4.. Komplex függvények határértéke, folytonossága, differenciálhatósága, Cauchy Riemann-egyenletek
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
RészletesebbenA gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:
. Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,
Részletesebben