Differenciálegyenletek gyakorlat december 5.
|
|
- Emília Fülöpné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5
2 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos x + C x n dx = xn+ + C (n ) n + e x dx = e x + C cos x dx = sin x + C dx = ln x + C x a x dx = ax ln a + C Integrálási alapesetek F (ax + b) f(ax + b) dx = F (x) = f(x) dx a f (x)f n (x) dx = f n+ (x) + C (n ) n + f (x) dx = ln f(x) + C f(x) f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx (parciális integrálás) Szétválasztható változójú differenciálegyenletek Elméleti bevezetés Szétválasztható változójú differenciálegyenletek általános alakja: } u (t) = f(t)g(u) A megoldási eljárás: Az u (t) = du dt u(t 0 ) = u 0 formális kifejezést beírva, majd az u-tól és t-től függő tagokat különválasztva: du dt = f(t)g(u) du = f(t) dt g(u) g(u) du = f(t) dt Elvégezve az integrálást, a két oldalon fellépő integrálok primitív függvényeit G-vel és F -fel jelölve: G(u(t)) = F (t) + C A G(u(t)) függvényből kifejezzük u(t)-t, amennyiben az lehetséges, és megkapjuk az általános megoldást: u(t) = G (F (t) + C)
3 A kezdeti érték alapján C értéke meghatározható: u(t 0 ) = G (F (t 0 ) + C) G(u 0 ) F (t 0 ) = C Tehát a megoldás: u(t) = G (F (t) F (t 0 ) + G(u 0 )) a) Feladatok Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat u(t) megoldását! } u (t) = u t u() = Az általános megoldás: u (t) = u t du u = t dt du u = t dt ln u = t + c u = e t e c u = ±e c e t u(t) = C e t A kezdeti értékre vonatkozó feltétel alapján C értéke meghatározható: A kezdeti feltételt kielégítő megoldás: = u() = C e C = e u(t) = e t b) Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat x(t) megoldását! } tx (t) = (x + ) x() = Az általános megoldás: x (x + ) (t) = t dx (x + ) = dt t dx (x + ) = dt t = ln t + C (x + )
4 ln t + C + x = ln t + C A kezdeti értékre vonatkozó feltétel alapján C értéke meghatározható: A kezdeti feltételt kielégítő megoldás: = x() = C + C C = x(t) = ln t + ln t + c) Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat u(t) megoldását! } u u (t) = t(u + ) u() = 0 Az általános megoldás: u (t) = t(u + ) u u u du = t dt + u u + du = t dt ln (u + ) = t + C u + = e t +C u(t) = ± e t +C A kezdeti értékre vonatkozó feltétel alapján C értéke meghatározható: 0 = u() = ± e 4+C C = 4 A kezdetiérték-feladatnak megoldása is van: u(t) = ± e t 4 d) Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat y(x) megoldását! } y (x) + x y x = 0 y(0) = 0 Az általános megoldás: y (x) = x x y dy y = x dx dy y = x dx ln y = 3 x3 + c 3
5 y = e 3 x3 c y = ± e c e 3 x3 y(x) = + Ce 3 x3 A kezdeti értékre vonatkozó feltétel alapján C értéke meghatározható: 0 = y(x) = + C C = A kezdeti feltételt kielégítő megoldás: y(x) = e 3 x3 e) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet általános u(t) megoldását! Az általános megoldás: u (t) = u cos t u (t) = u cos t du u = cos t dt du u = cos t dt u = sin t + C u(t) = C + sin t f) Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat y(t) megoldását! } tyy (t) = y() = Az általános megoldás: y (t) = ty y dy = dt t y dy = dt t y = ln t + C y = ln t + C A kezdeti értékre vonatkozó feltétel alapján C értéke meghatározható: = y() = C C = A kezdeti feltételt kielégítő megoldás: y(t) = 4 + ln t 4
6 g) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet általános x(t) megoldását! Az általános megoldás: xx (t) + t = x (t) = t x x dx = ( t) dt x dx = ( t) dt x = ( t) + c x(t) = ± t + t + C h) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet általános u(t) megoldását! Az általános megoldás: uu (t) = u (t) = u u du = dt u du = dt u = t + c u(t) = ± t + C i) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet általános y(t) megoldását! Az általános megoldás: ( + t)e 3y y (t) = y (t) = ( + t)e 3y e 3y dy = dt + t e 3y dt dy = + t 3 e3y = ln + t + c 3y = ln 3 ln + t + 3c y(t) = ln 3 ln t + + C 3 j) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet általános u(t) megoldását! Az általános megoldás: u (t) = t u 3 u (t) = t u 3 5
7 du u 3 = t dt du u 3 = t dt u = 3 t3 + c u(t) = ± 4 3 t3 + C k) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet általános x(t) megoldását! Az általános megoldás: t x (t) + 3x (t) = t x x t (t) = (t + 3)x t x dx = (t + 3) dt t x dx = (t + 3) dt x = ln (t + 3) + c x(t) = ± C + ln(t + 3) l) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet általános y(x) megoldását! Az általános megoldás: y (x) + yx 3 = yx y (x) = yx yx 3 dy y = x ( x) dx dy y = x ( x) dx ln y = 3 x3 4 x4 + c y = e 3 x3 4 x4 +c y = ±e c e 3 x3 4 x4 y(x) = C e 3 x3 4 x4 Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek Elméleti bevezetés Elsőrendű differenciálegyenletek általános alakja: } u (t) = a(t)u + b(t) u(t 0 ) = u 0 A megoldás az állandók variálásának módszerével történik 6
8 Először felírjuk a differenciálegyenlethez tartozó homogén feladatot, ami szétválasztható változójú egyenletet ad ahol A(t) = a(t) dt u (t) = a(t)u du u = a(t) dt ln u = A(t) + c u = Ce A(t), Ezután keressük az eredeti feladat megoldását u(t) = C(t)e A(t) alakban, és helyettesítsük ezt be az egyenletbe: C (t)e A(t) + C(t)e A(t) A (t) = a(t)c(t)e A(t) + b(t) C (t)e A(t) = b(t) C(t) = e A(t) b(t) dt + k Azaz az általános megoldás u(t) = e A(t) ( ) e A(t) b(t) dt + k A fenti alakból k értéke a kezdeti érték alapján a t = t 0 helyettesítéssel adódik, a végeredmény: ( t ) u(t) = e A(t) A(t0) e A(t0) A(τ) b(τ) dτ + u 0 t 0 a) Példák Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat u(t) megoldását! } u (t) = sin t 3u u(0) = 0 A homogén feladat általános megoldása: u (t) = 3u du = 3 dt u du u = 3 dt ln u = 3t + c u = e 3t+c u = ±e c e 3t u(t) = Ce 3t Az inhomogén feladat általános megoldása az állandó variálásával: Keressük a megoldást u(t) = C(t)e 3t alakban! C (t)e 3t 3C(t)e 3t = sin t 3C(t)e 3t C (t)e 3t = sin t C (t) = e 3t sin t 7
9 C(t) = C(t) = e 3t sin t dt = 3 e3t sin t e 3t cos t dt 3 = 3 e3t sin t 9 e3t cos t e 3t sin t dt 9 e 3t sin t dt = 3 0 e3t sin t 0 e3t cos t + k u(t) = C(t)e 3t = 3 0 sin t 0 cos t + ke 3t A kezdeti értékre vonatkozó feltétel alapján k értéke meghatározható: A kezdeti feltételt kielégítő megoldás: 0 = u(0) = 0 + k k = 0 u(t) = 0 (e 3t + 3 sin(t) cos(t)) b) Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat y(x) megoldását! } y + y (x) = x y(0) = A homogén feladat általános megoldása: y (x) = y dy y = dx dy y = dx ln y = x + c y = e c e x y = ±e c e x y(x) = Ce x Az inhomogén feladat általános megoldása az állandó variálásával: Keressük a megoldást y(x) = C(x)e x alakban! C(x)e x + C (x)e x C(x)e x = x C (x)e x = x C (x) = xe x C(x) = xe x dx = xe x e x dx = xe x e x + k y(x) = C(x)e x = x + ke x A kezdeti értékre vonatkozó feltétel alapján k értéke meghatározható: = u(0) = + k k = 3 A kezdeti feltételt kielégítő megoldás: y(x) = x + 3e x 8
10 c) Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat y(t) megoldását! A homogén feladat általános megoldása: y t + 5 (t) = t y t + 5t + 6 y(0) = y t + 5 (t) = y t + 5t + 6 dy y = t + 5 t + 5t + 6 dt dy y = t + 5 t + 5t + 6 dt t + 5 (t + ) + (t + 3) ln y = t + 5t + 6 dt = dt (t + )(t + 3) ( = (t + ) + ) dt (t + 3) ln y = ln t + ln t c y = e c (t + )(t + 3) y = ±e c (t + )(t + 3) C y(t) = (t + )(t + 3) Az inhomogén feladat általános megoldása az állandó variálásával: Keressük a megoldást y(t) = C(t) (t+)(t+3) alakban! C (t) + ) + (t + 3) C(t)(t (t + )(t + 3) (t + ) (t + 3) = t C(t) t + 5 (t + 5t + 6) C (t) (t + )(t + 3) = t C (t) = t(t + )(t + 3) C(t) = t(t + )(t + 3) dt = 4 t t3 + 3t + k C(t) y(t) = (t + )(t + 3) = 4 t t3 + 3t + k (t + )(t + 3) A kezdeti értékre vonatkozó feltétel alapján k értéke meghatározható: A kezdeti feltételt kielégítő megoldás: = y(0) = k 6 k = 6 y(t) = 4 t t3 + 3t + 6 t + 5t + 6 9
11 d) Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat y(t) megoldását! A homogén feladat általános megoldása: y t + 5 (t) = sin(t) y t + 5t + 6 y(0) = y t + 5 (t) = y t + 5t + 6 dy y = t + 5 t + 5t + 6 dt dy y = t + 5 t + 5t + 6 dt t + 5 (t + ) + (t + 3) ln y = t + 5t + 6 dt = dt (t + )(t + 3) ( = (t + ) + ) dt (t + 3) ln y = ln t + ln t c y = e c (t + )(t + 3) y = ±e c (t + )(t + 3) C y(t) = (t + )(t + 3) Az inhomogén feladat általános megoldása az állandó variálásával: Keressük a megoldást y(t) = C(t) (t+)(t+3) alakban! C (t) + ) + (t 3) C(t)(t (t + )(t + 3) (t + ) (t + 3) = sin t C(t) t + 5 (t + 5t + 6) C (t) (t + )(t + 3) = sin t C (t) = (t + )(t + 3) sin t C(t) = (t + )(t + 3) sin t dt = (t + )(t + 3) cos t + (t + 5) cos t dt = (t + )(t + 3) cos t + (t + 5) sin t sin t dt C(t) = (t + 5t + 4) cos t + (t + 5) sin t + k C(t) y(t) = (t + )(t + 3) = (t + 5t + 4) cos t + (t + 5) sin t + k (t + )(t + 3) A kezdeti értékre vonatkozó feltétel alapján k értéke meghatározható: A kezdeti feltételt kielégítő megoldás: = y(0) = k 4 6 k = 0 y(t) = (t + 5t + 4) cos t + (t + 5) sin t + 0 t + 5t + 6 0
12 e) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet általános u(t) megoldását! A homogén feladat általános megoldása: tu (t) + u = t sin t u (t) = t u du u = dt t du u = dt t ln u = ln t + c u = e c t u = ±e c t u(t) = C t Az inhomogén feladat általános megoldása az állandó variálásával: Keressük a megoldást u(t) = C(t) t alakban! t C (t) t C(t) t t + C(t) = t sin t t C (t) = t sin t C(t) = t sin t dt = t cos t + cos t dt = t cos t + sin t + k u(t) = C(t) t u(t) = sin(t) cos(t) + k t f) Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat y(t) megoldását! } ty (t) + 5y = 3t y() = A homogén feladat általános megoldása: y (t) = 5 t y dy y dy y dt = 5 t = 5 dt t ln y = 5 ln t + c y = e c t 5 y = ±e c t 5 y(t) = C t 5
13 Az inhomogén feladat általános megoldása az állandó variálásával: Keressük a megoldást y(t) = C(t) t alakban! 5 t C (t) t 5 5t C(t) t C(t) = 3t t 5 C (t) = 3t t 4 C (t) = 3t 5 C(t) = 3t 5 dt = t6 + k y(t) = C(t) t 5 = t6 + k t 5 A kezdeti értékre vonatkozó feltétel alapján k értéke meghatározható: A kezdeti feltételt kielégítő megoldás: = y() = + k k = 3 y(t) = t6 + 3 t 5 g) Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat x(t) megoldását! } tx (t) = x + t x() = A homogén feladat általános megoldása: x (t) = t x dx x = dt t dx dt x = t ln x = ln t + c x = e c t x = ±e c t x(t) = C t Az inhomogén feladat általános megoldása az állandó variálásával: Keressük a megoldást x(t) = C(t) t alakban! tc (t)t + tc(t)t = C(t)t + t C (t) = t C(t) = ln t + k x(t) = C(t) t = t ln t + kt A kezdeti értékre vonatkozó feltétel alapján k értéke meghatározható: = x() = k
14 k = A kezdeti feltételt kielégítő megoldás: x(t) = t ( + ln t) h) Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat u(t) megoldását! } (t )u (t) + tu = A homogén feladat általános megoldása: u() = 4 u (t) = t t u du u = t t dt du u = t t dt ln u = ln t + c u = e c t u = ±e c u(t) = t C t Az inhomogén feladat általános megoldása az állandó variálásával: Keressük a megoldást u(t) = C(t) t alakban! (t ) ( C ) (t) C(t) t t (t ) = t C(t) t C (t) = C(t) = dt = t + k u(t) = C(t) t = t + k t A kezdeti értékre vonatkozó feltétel alapján k értéke meghatározható: 4 = u() = k + 3 k = 0 A kezdeti feltételt kielégítő megoldás: u(t) = t + 0 t i) Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat y(t) megoldását! y (t) t y = t + y() = 3
15 A homogén feladat általános megoldása: y (t) = t y dy y = dt t ln y = ln t + c y = e c t y = ±e c t y(t) = C t Az inhomogén feladat általános megoldása az állandó variálásával: Keressük a megoldást y(t) = C(t) t alakban! C (t) t + C(t) t = t C(t) t = t + C (t) = t + t t + t + C(t) = t dt = t dt = t + t + k y(t) = C(t) t = t + t 3 + kt A kezdeti értékre vonatkozó feltétel alapján k értéke meghatározható: A kezdeti feltételt kielégítő megoldás: = y() = k k = y(t) = t 3 + t t j) Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat y(t) megoldását! y (t) + y sin t = sin t ( ) π y = 3 A homogén feladat általános megoldása: y (t) = y sin t dy = sin t dt y dy y = sin t dt ln y = cos t + c y = e c e cos t y = ±e c e cos t y(t) = Ce cos t Az inhomogén feladat általános megoldása az állandó variálásával: Keressük a megoldást y(t) = C(t)e cos t alakban! C (t)e cos t sin t C(t)e cos t = sin t C(t)e cos t + sin t 4
16 C(t) = C (t)e cos t = sin t C (t) = e cos t sin t e cos t sin t dt = e cos t + k y(t) = C(t)e cos t = + ke cos t A kezdeti értékre vonatkozó feltétel alapján k értéke meghatározható: ( π ) 3 = y = + k k = A kezdeti feltételt kielégítő megoldás: y(t) = e cos t + k) Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat y(x) megoldását! y (x) + y + x = ex y() = e A homogén feladat általános megoldása: y (x) = + x y dy y = dx + x dy y = dx + x ln y = ln + x + c y = e c + x y = ±e c + x y(x) = C + x Az inhomogén feladat általános megoldása az állandó variálásával: Keressük a megoldást y(x) = C(x) +x alakban! C (x) + x C(x) ( + x) + C(x) ( + x) = ex C (x) = (x + )e x C(x) = (x + )e x dx = (x + )e x e x dx = (x + )e x e x + k = xe x + k y(x) = C(x) + x = xex + k x + A kezdeti értékre vonatkozó feltétel alapján k értéke meghatározható: e = y() = e + k k = e 5
17 A kezdeti feltételt kielégítő megoldás: y(x) = xex + e x + l) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet általános u(t) megoldását! A homogén feladat általános megoldása: u (t) + 6u = e t u (t) = 6u du = 6 dt u du u = 6 dt ln u = 6t + c u = e c e 6t u = ±e c e 6t u(t) = Ce 6t Az inhomogén feladat általános megoldása az állandó variálásával: Keressük a megoldást u(t) = C(t)e 6t alakban! C (t)e 6t 6C(t)e 6t = 6C(t)e 6t + e t C (t) = e 4t + k C(t) = e 4t dt = 4 e4t u(t) = C(t)e 6t u(t) = 4 e t + ke 6t Másodrendű állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenletek Elméleti bevezetés A másodrendű állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenletek általános alakja: u (t) + pu (t) + qu = 0 u(t 0 ) = u 0 u (t 0 ) = w 0 Keressük a megoldást u(t) = e λt alakban λ e λt + pλe λt + qe λt = 0 λ + pλ + q = 0, azaz elegendő megoldani a fenti másodfokú egyenletet (az a másodfokú polinom differenciálegyenlet karakterisztikus polinomja) Az egyenlet megoldása során 3 eset lehetséges: Két különböző valós gyököt találunk: λ λ R Ekkor az általános megoldás: u(t) = C e λt + C e λt 6
18 Egyetlen (kétszeres) valós gyök van: λ = λ = λ R Ekkor az általános megoldás: u(t) = C e λt + C te λt Két különböző komplex gyök van, melyek egymás konjugáltjai: λ = a + bi, λ = a bi Ekkor az általános megoldás: u(t) = e at (C cos(bt) + C sin(bt)) A kezdeti értékeket behelyettesítjük, a kapott egyenletből C és C értékét kiszámoljuk a) Példák Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat u(t) megoldását! u (t) + u (t) 6u = 0 u(0) = 3 u (0) = 4 A karakterisztikus polinom gyökei: λ + λ 6 = 0 λ = ± λ, = 3, Különböző valós gyököket kaptunk, az általános megoldás: u(t) = C e λt + C e λt = C e 3t + C e t A kezdeti feltételek alapján C és C értéke meghatározható: A kezdeti feltételeket kielégítő megoldás: 3 = u(0) = C + C 4 = u (0) = 3C + C C = C = u(t) = e t + e 3t b) Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat y(t) megoldását! y (t) 6y (t) + 9y = 0 y(0) = y (0) = A karakterisztikus polinom gyökei: λ 6λ + 9 = 0 λ = 3 ± 9 9 λ, = 3, 3 Kétszeres valós gyököt kaptunk, az általános megoldás: y(t) = C e λt + C te λt = C e 3t + C te 3t 7
19 A kezdeti feltételek alapján C és C értéke meghatározható: A kezdeti feltételeket kielégítő megoldás: = y(0) = C = y (0) = 3C + C C = C = y(t) = e 3t te 3t c) Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat u(t) megoldását! u (t) u (t) + 5u = 0 u(0) = u (0) = 4 A karakterisztikus polinom gyökei: λ λ + 5 = 0 Komplex konjugált gyököket kaptunk, az általános megoldás: λ = ± 5 λ, = i, + i u(t) = e at (C cos bt + C sin bt) = e t (C cos t + C sin t) A kezdeti feltételek alapján C és C értéke meghatározható: A kezdeti feltételeket kielégítő megoldás: = u(0) = C 4 = u (0) = C + C C = C = 3 u(t) = e t ( cos(t) 3 sin(t)) d) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet általános y(x) megoldását! A karakterisztikus polinom gyökei: y (x) 4y (x) + 3y = 0 λ 4λ + 3 = 0 λ = ± 4 3 λ, = 3i, + 3i Komplex konjugált gyököket kaptunk, az általános megoldás: y(x) = e ax (C cos bx + C sin bx) y(x) = e x (C cos(3x) + C sin(3x)) 8
20 e) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet általános x(t) megoldását! A karakterisztikus polinom gyökei: x (t) = 0 λ = 0 λ, = 0, 0 Kétszeres valós gyököt kaptunk, az általános megoldás: x(t) = C e λt + C te λt x(t) = C + C t f) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet általános u(t) megoldását! A karakterisztikus polinom gyökei: 9u (t) = u λ + 9 = 0 λ = ± i 3 λ, = i 3, i 3 Komplex konjugált gyököket kaptunk, az általános megoldás: u(t) = e at (C cos bt + C sin bt) ( ) ( ) t t u(t) = C cos + C sin 3 3 g) Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat u(t) megoldását! u (t) + u (t) + 3u = 0 u(0) = u (0) = A karakterisztikus polinom gyökei: λ + λ + 3 = 0 λ = λ, = 5 i, + 5 i Komplex konjugált gyököket kaptunk, az általános megoldás: u(t) = e at (C cos bt + C sin bt) = e t (C cos 5 t + C sin 5 ) t A kezdeti feltételek alapján C és C értéke meghatározható: = u(0) = C 9
21 = u (0) = C + 5 C C = C = 0 A kezdeti feltételeket kielégítő megoldás: u(t) = e t cos ( 5 t ) h) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet általános y(t) megoldását! A karakterisztikus polinom gyökei: y (t) = 5y (t) λ + 5λ = 0 λ, = 5, 0 Különböző valós gyököket kaptunk, az általános megoldás: y(t) = C e λt + C e λt y(t) = C e 5t + C Másodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris differenciálegyenletek Elméleti bevezetés A másodrendű állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenletek általános alakja: u (t) + pu (t) + qu = r(t) u(t 0 ) = u 0 u (t 0 ) = w 0 Az általános megoldás u(t) = u h (t) + u p (t) alakban áll elő, ahol u h (t) a homogén feladat megoldása (ld előző fejezet), u p (t) pedig egy partikuláris megoldás, ami kielégíti az inhomogén egyenletet Ennek meghatározására most általános képletet nem adunk, csak bizonyos speciális esetre mutatjuk meg, milyen alakban érdemes u p (t)-t keresni A jobb oldalon exponenciális függvény szerepel: r(t) = Ce at Ekkor keressük a partikuláris megoldást u p (t) = Ae at exponenciális alakban alkalmas A konstanssal A jobb oldalon trigonometrikus függvény szerepel: r(t) = C cos(at) + D sin(at) Ekkor keressük a partikuláris megoldást u p (t) = A cos(at) + B sin(at) trigonometrikus alakban alkalmas A, B konstansokkal A jobb oldalon polinom szerepel: r(t) = C n t n + C n t n + + C t + C 0 Ekkor keressük a partikuláris megoldást u p (t) = A n t n + A n t n + + A t + A 0 polinom alakban alkalmas A n, A n, A, A 0 konstansokkal Amennyiben a fenti alakban nem találunk partikuláris megoldást, annak az lehet az oka, hogy az r(t) megoldása a homogén egyenletnek, ez a rezonancia jelensége, ekkor a megoldást a fenti alakok t-szereseként kell keresni, pl u p (t) = Ate at alakban az exponenciális alakban Ha ez sem segítene, mert még ez is megoldása a homogén egyenletnek, akkor t -tel érdemes beszorozni és pl u p (t) = At e at alakban keresni 0
22 Az általános megoldást az u(t) = u h (t) + u p (t) képlet adja meg, amiben u h (t) tartalmaz két szabad paramétert: C és C tetszőleges lehet A kezdeti értékeket behelyettesítve megkapjuk az u h (t)-ben szereplő C, C konstansok értékét a) Példák Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat y(t) megoldását! y (t) + y (t) y = 5e 3t y(0) = 3 y (0) = A homogén egyenlet karakterisztikus polinomjának gyökei: λ + λ = 0 λ = ± 4 + λ, =, Különböző valós gyököket kaptunk, a homogén egyenlet általános megoldása: y h (t) = C e λt + C e λt = C e t + C e t Keressük az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását y p (t) = Ae 3t alakban: 9Ae 3t + 3Ae 3t Ae 3t = 5e 3t A = y p (t) = e3t Az inhomogén egyenlet általános megoldása: y(t) = C e t + C e t + e3t A kezdeti feltételek alapján C és C értéke meghatározható: 3 = y(0) = C + C + = y (0) = C + C + 3 C = 5 3 C = 5 6 A kezdeti feltételeket kielégítő megoldás: y(t) = 5 6 et e t + e3t b) Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat y(x) megoldását! y (x) + y = 3 sin(x) y(0) = y (0) =
23 A homogén egyenlet karakterisztikus polinomjának gyökei: λ + = 0 λ, = i, i Komplex konjugált gyököket kaptunk, a homogén egyenlet általános megoldása: y h (x) = e ax (C cos bx + C sin bx) = C cos x + C sin x Keressük az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását y p (x) = A cos x + B sin x alakban: Az inhomogén egyenlet általános megoldása: 3A cos x 3B sin x = 3 sin x A = 0 B = y p (x) = sin x A kezdeti feltételek alapján C és C értéke meghatározható: A kezdeti feltételeket kielégítő megoldás: y(t) = C cos x + C sin x sin x = y(0) = C = y (0) = C C = C = y(x) = sin x + cos x sin(x) c) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet általános u(t) megoldását! u (t) + u (t) u = e t A homogén egyenlet karakterisztikus polinomjának gyökei: λ + λ = 0 λ = ± 4 + λ, =, Különböző valós gyököket kaptunk, a homogén egyenlet általános megoldása: u h (t) = C e λt + C e λt = C e t + C e t Keressük az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását u p (t) = Ae t alakban: Ae t Ae t Ae t = e t A = u p (t) = e t Az inhomogén egyenlet általános megoldása: u(t) = C e t + C e t e t
24 d) Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat y(t) megoldását! y (t) + y (t) + y = t y(0) = 7 y (0) = 3 A homogén egyenlet karakterisztikus polinomjának gyökei: λ + λ + = 0 λ = ± λ, =, Kétszeres valós gyököt kaptunk, a homogén egyenlet általános megoldása: y h (t) = C e λt + C te λt = C e t + C te t Keressük az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását y p (t) = At + Bt + C alakban: A + 4At + B + At + Bt + C = t Az inhomogén egyenlet általános megoldása: A = B = 4 C = 6 y p (t) = t 4t + 6 A kezdeti feltételek alapján C és C értéke meghatározható: A kezdeti feltételeket kielégítő megoldás: y(t) = C e t + C te t + t 4t = y(0) = C = y (0) = C + C 4 C = C = y(t) = te t + e t + t 4t + 6 e) Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat y(x) megoldását! y (x) y (x) + 5y = 9e x y(0) = y (0) = A homogén egyenlet karakterisztikus polinomjának gyökei: λ λ + 5 = 0 λ = ± 4 5 λ, = 3 i, + 3 i 3
25 Komplex konjugált gyököket kaptunk, a homogén egyenlet általános megoldása: ( ( ) ( )) y h (x) = e ax (C cos bx + C sin bx) = e x 3 3 C cos x + C sin x Keressük az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását y p (x) = Ae x Ae x x x x Ae + 5Ae = 9e A = y p (x) = e x alakban: Az inhomogén egyenlet általános megoldása: y(x) = e x A kezdeti feltételek alapján C és C értéke meghatározható: = y(0) = C + = y (0) = C + 3 C + C = C = ( ( ) ( )) 3 3 C cos x + C sin x + e x A kezdeti feltételeket kielégítő megoldás: y(x) = e x sin ( 3x ) ( ) e x 3x cos + e x f) Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-feladat x(t) megoldását! x (t) x (t) 3x = e 3t x(0) = 0 x (0) = A homogén egyenlet karakterisztikus polinomjának gyökei: λ λ 3 = 0 λ = ± + 3 λ, =, 3 Különböző valós gyököket kaptunk, a homogén egyenlet általános megoldása: x h (t) = C e λt + C e λt = C e t + C e 3t Keressük az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását x p (t) = Ae 3t alakban: 9Ae 3t + 6Ae 3t 3Ae 3t = e 3t A = x p (t) = e 3t Az inhomogén egyenlet általános megoldása: x(t) = C e t + C e 3t + e 3t 4
26 A kezdeti feltételek alapján C és C értéke meghatározható: A kezdeti feltételeket kielégítő megoldás: 0 = y(0) = C + C + = y (0) = C + 3C 3 C = C = 0 x(t) = e 3t e t Homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Elméleti bevezetés A homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszerek általános alakja: } u (t) = Au(t), u(0) = u 0 ahol A R n n az egyenletrendszer mátrixa, u 0 R n adott vektor, u(t) : R n R n az ismeretlen (vektor értékű) függvény A továbbiakban az egyszerűség kedvéért nem jelöljük külön aláhúzással/kiemeléssel a vektorokat és mátrixokat Az egyenletrendszer megoldása: u(t) = e At u 0, ahol az e At exponenciális mátrixot többféleképpen is ki lehet számolni Hatványsor alapján a definíciója: e At (At) n = n! n=0 = I + At + (At)! + + (At)n n! + Az A mátrix sajátérték-sajátvektor rendszere alapján: Ha az A sajátértékei λ i, a hozzájuk tartozó sajátvektor s i, azaz As i = λ i s i akkor A = RDR, ahol λ λ 0 R = [s, s,, s n ], D =, 0 0 λ n azaz az R oszlopaiba egymás után beírtuk az s i (oszlop)vektorokat Ekkor e λt 0 0 e At = Re Dt R 0 e λt 0 = R R 0 0 e λnt 5
27 Megjegyzés: a sajátértékeket a det(a λi) = 0 egyenlet megoldásai szolgáltatják, mi itt most csak azzal az esettel foglalkozunk, amikor csupa különböző valós sajátértékei vannak a mátrixnak További hasznos képlet a -es mátrix inverze: ( ) a b = c d ad bc ( d b c a ) a) Feladatok Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer u (t), u (t) megoldását! u (t) = u + u u (t) = 6u + 3u u (0) = u (0) = A differenciálegyenlet-rendszert mátrixos alakba írva: ( ) ( ) ( ) u u = 6 3 u u Az A mátrix sajátértékei: ( λ)(3 λ) 6 = 0 λ 5λ = 0 Az e At exponenciális mátrix: e At = 5 e5t e5t e5t e5t + 5 A megoldás: u (t) = 5 e5t u (t) = 3 5 e5t 8 5 b) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer u (t), u (t) megoldását! u (t) = u u (t) = 0 u (0) = u (0) = A differenciálegyenlet-rendszert mátrixos alakba írva: ( ) ( ) ( ) u 0 u = 0 0 u u 6
28 Az e At exponenciális mátrix: e At = ( ) t 0 A megoldás: u (t) = 4t + u (t) = c) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer általános y (t), y (t) megoldását! y (t) = y } + y y (t) = 4y + y A differenciálegyenlet-rendszert mátrixos alakba írva: ( ) ( ) ( ) y y = 4 y Az e At exponenciális mátrix: A megoldás: y e At 5 e3t e t 5 e3t 5 e t = 4 5 e3t 4 5 e t 4 5 e3t + 5 e t y (t) = C ( 5 e3t e t ) + C ( 5 e3t 5 e t ) y (t) = C ( 4 5 e3t 4 5 e t ) + C ( 4 5 e3t + 5 e t ) Inhomogén lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Elméleti bevezetés A megoldás minden lépése lényegében ugyanaz, mint a skalár inhomogén lineáris differenciálegyenletek esetében, azaz az állandók variálásának módszerével történik Az ott kapott formula szerint az } u (t) = Au(t) + b(t) u(0) = u 0 7
29 alakban megadott differenciálegyenlet-rendszer megoldása: ( ) u(t) = e At e At b(t) dt + k A fenti alakból k értéke a kezdeti érték alapján a t = t 0 helyettesítéssel adódik, a végeredmény: ( t ) u(t) = e A(t t0) e A(t0 τ) b(τ) dτ + u 0 t 0 Megjegyzés: A skalár (egydimenziós) esettől ez annyiban különbözik, hogy itt a ±At mátrix exponenciális függvényét kell kiszámolni (ld homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszerek), illetve a vektor értékű függvény integrálját komponensenként kell meghatározni a) Feladatok Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer u (t), u (t) megoldását! u (t) = u u (t) = 4u + u + u (0) = u (0) = A differenciálegyenlet-rendszert mátrixos alakba írva: ( ) ( ) ( u 0 u = 4 u u ) + ( ) Az e At exponenciális mátrix: e At 3 = e t + 3 e4t 3 e t + 3 e4t 3 e t + 3 e4t 3 e t + 3 e4t A megoldás: u (t) = e t u (t) = e t b) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer y (t), y (t) megoldását! y (t) = y + y + e 4t y (t) = 3y + y (0) = y (0) = A differenciálegyenlet-rendszert mátrixos alakba írva: ( ) ( ) ( ) ( ) y y e 4t = y y 8
30 Az e At exponenciális mátrix: ( ) e At e t e = t + e 3t 0 e 3t A megoldás: y (t) = 3 e4t e3t 7 3 et + 3 y (t) = 7 3 e3t 3 c) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer y (t), y (t) megoldását! y (t) = y + y + t y (t) = y + y + e t y (0) = y (0) = 3 A differenciálegyenlet-rendszert mátrixos alakba írva: ( ) ( ) ( ) ( ) y y t = + y e t y Az e At exponenciális mátrix: e At = 3 e3t e3t 3 3 e3t 3 3 e3t + 3 A megoldás: y (t) = 3 t 9 t et 6 54 e3t y (t) = 3 t 9 t e3t 9
31 d) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer u (t), u (t) megoldását! u (t) = u u (t) = t u (0) = u (0) = A differenciálegyenlet-rendszert mátrixos alakba írva: ( ) ( ) ( ) ( u 0 u 0 = u t) Az e At exponenciális mátrix: A megoldás: u e At = ( ) t 0 u (t) = 3 t3 + 4t + u (t) = t + e) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer u (t), u (t) megoldását! u (t) = u u + e t u (t) = 6u 3u u (0) = 3 u (0) = 3 A differenciálegyenlet-rendszert mátrixos alakba írva: ( ) ( ) ( ) ( ) u u e t = u 0 u Az e At exponenciális mátrix: e At = ( e t + 3 ) e t 6e t + 6 3e t A megoldás: u (t) = e t e t + 3 u (t) = 3e t 6e t
32 f) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer y (t), y (t) megoldását! y (t) = y + y y (t) = 3y + 4y + y (0) = y (0) = A differenciálegyenlet-rendszert mátrixos alakba írva: ( ) ( ) ( ) ( y y 0 = y ) y Az e At exponenciális mátrix: 3 e At 4 et + 4 e5t 4 et + 4 e5t = 3 4 et e5t 4 et e5t A megoldás: y (t) = 4 5 e5t + 5 y (t) = 5 e5t 5 g) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer y (t), y (t) megoldását! y (t) = y + y y (t) = 3y + 4y + t y (0) = y (0) = A differenciálegyenlet-rendszert mátrixos alakba írva: ( ) ( ) ( ) ( y y 0 = y t) y Az e At exponenciális mátrix: 3 e At 4 = et + 4 e5t 4 et + 4 e5t 3 4 et e5t 4 et e5t A megoldás: y (t) = 9 5 e5t + 5 t y (t) = 57 5 e5t 5 t 7 5 3
33 h) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer u (t), u (t) megoldását! u (t) = u + u (t) = u + 3u + e t u (0) = u (0) = A differenciálegyenlet-rendszert mátrixos alakba írva: ( ) ( ) ( ) ( ) u 0 u = + 3 u e t Az e At exponenciális mátrix: A megoldás: u e At = ( ) e t e t e t e t e t + e t e t + e t u (t) = te t + 6e t e t 3 u (t) = te t 7e t + 4e t + Laplace-transzformáció és alkalmazásai differenciálegyenletek megoldására Elméleti bevezetés Definíció: egy f(t) függvény Laplace-transzformáltja az alábbi improprius integrállal számolt F (s) függvény: L(f(t)) = F (s) = Legfontosabb tulajdonságai a Laplace-transzformáltnak: 0 f(t)e st dt L(c f (t) + c f (t)) = c F (s) + c F (s) L (f (t)) = sf (s) f(0 + ) L (f (t)) = s F (s) sf(0 + ) f (0 + ) L(tf(t)) = F (s) L(f(a t)) = ( s ) a F a L(e at f(t)) = F (s + a) L(f(t t 0 )H(t t 0 )) = e t0s F (s) Nevezetes függvények Laplace-transzformáltjai: L(δ(t 0 + )) = 3
34 L(H(t)) = s L(t n ) = n! s n+ L(e at ) = s + a L(e at t n n! ) = (s + a) n+ b L(sin(bt)) = s + b s L(cos(bt)) = s + b bs L(t sin(bt)) = (s + b ) L(t cos(bt)) = s b (s + b ), ahol t 0 > 0, δ(t) jelöli a Dirac-delta függvényt, míg H(t) a Heaviside-függvényt Egy állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet megoldási módszere Laplace-transzformált segítségével: u + pu + qu = r(t) u(0) = u 0 u (0) = w 0 A differenciálegyenlet mindkét oldalának vesszük a Laplace-transzformáltját: Az egyenletből kifejezzük U(s)-t: s U(s) su 0 w 0 + p(su(s) u 0 ) + qu(s) = R(s) U(s) = R(s) + su 0 + w 0 + pu 0 s + ps + q A Laplace-transzformáció szabályainak segítségével meghatározzuk azt az egyértelmű u(t) függvényt, aminek éppen U(s) a transzformáltja Megjegyzés: Amennyiben R(s) egy racionális törtfüggvény (két polinom hányadosa), akkor U(s) is racionális törtfüggvény lesz, ebben az esetben a parciális törtekre bontás segítségével határozhatjuk meg u(t)-t Parciális törtekre bontás: adott egy P (s) Q(s) függvény, melyet parciális törtekre szeretnénk bontani, feltételezzük, hogy Q fokszáma nagyobb, mint P -é (ellenkező esetben elvégzünk egy maradékos osztást a polinomokkal) Megkeressük Q(s) valós gyökeit, majd első- és (komplex gyökökkel rendelkező) másodfokú polinomok szorzatává alakítjuk Csoportosítjuk az azonos tényezőket a nevezőben, és felírjuk a törtet alakban P (s) Q(s) = P (s) C (s s ) (s t ) n (s + a s + b ) (s + c s + d ) m 33
35 Ezután megkeressüket azokat az A i, B ij, C i, D i, E ij, F ij együtthatókat, melyekkel: Feladatok P (s) Q(s) = A s s + + B s t + B (s t ) + B n (s t ) n + + C s + D s + a s + b E s + F s + c s + d + E s + F (s + c s + d ) + + E m s + F m (s + c s + d ) m + a) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer u(t) megoldását Laplacetranszformációval! } u (t) = u + e t u(0) = U(s) = s + (s + )(s ) Parciális törtekre bontás után U(s) = 7 3 s 3 s + A megoldás tehát: u(t) = 7 3 et 3 e t b) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer u(t) megoldását Laplacetranszformációval! u (t) + 3u (t) + u(t) = e t u(0) = 0 u (0) = 0 U(s) = (s + )(s + 3s + ) Parciális törtekre bontás után U(s) = s + s + + (s + ) A megoldás tehát: u(t) = e t e t + te t c) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer u(t) megoldását Laplacetranszformációval! u (t) + 4u (t) + 5u(t) = e t u(0) = u (0) = 34
36 Parciális törtekre bontás után A megoldás tehát: s + 6 U(s) = (s + 4s + 5) + (s )(s + 4s + 5) U(s) = 6s (s + 4s + 5) + 7(s ) u(t) = 7 et e t sin(t) e t cos(t) d) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer u(t) megoldását Laplacetranszformációval! } u (t) = 4u(t) + cos(t 5)H(t 5) Parciális törtekre bontás után A megoldás tehát: u(0) = 3 U(s) = 3 s 4 + s e 5s (s + )(s 4) U(s) = 3 ( ) 4s + s 4 + e 5s 7(s + ) + 4 7(s 4) ( u(t) = 3e 4t cos(t 5) + ) 4 sin(t 5) e4t 0 H(t 5) e) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer u(t) megoldását Laplacetranszformációval! ( ) t 0 u (t) = 3u(t) + cos H(t 0) 4 u(0) = Parciális törtekre bontás után A megoldás tehát: u(t) = e 3t + U(s) = s 3 + 3s e 0s (6s + )(s 3) U(s) = s 3 + e 0s ( ( e3t cos 96 45(s 3) + 3 ) 45 48s 6s + ( t 0 4 ) sin ( t 0 4 )) H(t 0) Differenciálegyenletek kvalitatív tulajdonságai és közelítő megoldási módszerek Elméleti bevezetés Adott az } u (t) = f(t, u) u(t 0 ) = u 0 35
37 kezdetiérték-probléma Mégha az egyenlet megoldását esetleg nem tudjuk meghatározni, az ismeretlen u(t) függvény lokális viselkedését meghatározhatjuk a differenciálegyenlet alapján Monotonitás: Az u (t 0 ) előjelét kell csak meghatározni, ha pozitív, akkor a függvény lokálisan szigorúan monoton nő, ha negatív, akkor lokálisan szigorúan monoton csökken Egyszerű behelyettesítéssel adódik az értéke: u (t 0 ) = f(t 0, u 0 ) Konvexitás: Az u (t 0 ) előjele dönti el, ha pozitív, akkor lokálisan konvex; ha negatív, akkor lokálisan konkáv Értékét a láncszabály segítségével kapjuk meg (parciális deriváltakkal dolgozva): u (t 0 ) = d dt f(t, u(t)) f(t, u) = f(t, u) t=t0 t + u (t) t=t0 u = f t (t 0, u 0 ) + f u (t 0, u 0 )f(t 0, u 0 ) t=t0 Simulókör sugara: A kezdeti érték körül az u(t) függvényt legjobban közelítő kör (simulókör) R sugara az alábbi képletből kapható: Numerikus közelítések: görbület = R = u (t 0 ) ( + u (t 0 ) ) 3 Ha a differenciálegyenlet megoldását analitikusan nem tudjuk felírni, közelítéseket akkor is kaphatunk Ha a fenti módszerrel kiszámoltuk az u (t 0 ) és u (t 0 ) értékét, akkor a másodrendű Taylor-sorfejtés alapján egy közeli t pontban a közelítés: u(t ) u = u 0 + (t t 0 )u (t 0 ) + (t t 0 ) u (t 0 )! Általában, ha adottak a t 0 < t < < t N időpontok, akkor az u(t n )-t közelítő u n értékeket többféle módszerrel is közelíthetjük: Feladatok Explicit Euler-módszer: Implicit Euler-módszer: Implicit trapézszabály: Explicit trapézszabály: u n+ = u n + (t n+ t n )f(t n, u n ) u n+ = u n + (t n+ t n )f(t n+, u n+ ) u n+ = u n + (t n+ t n ) f(t n, u n ) + f(t n+, u n+ ) u n+ = u n + (t n+ t n ) f(t n, u n ) + f(t n+, u EE ) u EE = u n + (t n+ t n )f(t n, u n ) a) Állapítsuk meg az alábbi differenciálegyenlet u(t) megoldásának lokális viselkedését (monotonitás, konvexitás, simulókör sugara) a kezdeti érték körül, majd írjuk fel az érintő egyenes és a simulókör egyenletét! Adjunk numerikus közelítést u(0) értékére Explicit Euler-módszer (EE), Implicit Euler-módszer (IE), Implicit trapézszabály (ITR), Explicit trapézszabály (ETR) és másodrendű Taylor-sorfejtés (ET) alapján! Számoljuk ki a pontos értéket is! } u (t) = u + t u(0) = 36
38 Monotonitás: u (0) =, a függvény lokálisan szig mon csökken Konvexitás: u (0) = 5, a függvény lokálisan konvex Simulókör sugara R = 5, R = 5 (+4) 3 Érintő egyenes egyenlete: u(t) = (t 0) Simulókör egyenlete: (t ) + (u ) = 5 EE: 08 IE: ITR: 087 ETR: 085 ET: 085 Pontos megoldás: u(t) = 5e t +t 4, u(0) 0834 b) Állapítsuk meg az alábbi differenciálegyenlet u(t) megoldásának lokális viselkedését (monotonitás, konvexitás, simulókör sugara) a kezdeti érték körül, majd írjuk fel az érintő egyenes és a simulókör egyenletét! Adjunk numerikus közelítést u() értékére Explicit Euler-módszer (EE), Implicit Euler-módszer (IE), Implicit trapézszabály (ITR), Explicit trapézszabály (ETR) és másodrendű Taylor-sorfejtés (ET) alapján! Számoljuk ki a pontos értéket is! } u (t) = t + ut u() = Monotonitás: u () = 6, a függvény lokálisan szig mon nő Konvexitás: u () = 7, a függvény lokálisan konvex Simulókör sugara: R = 7, R 8336 (+36) 3 Érintő egyenes egyenlete: u(t) = + 6(t ) ) ( + u 64 7 Simulókör egyenlete: ( t EE: 6 IE: 086 ITR: 778 ETR: 74 ET: 735 ) = Pontos megoldás: u(t) = 3et 4, u() 76 c) Állapítsuk meg az alábbi differenciálegyenlet u(t) megoldásának lokális viselkedését (monotonitás, konvexitás, simulókör sugara) a kezdeti érték körül, majd írjuk fel az érintő egyenes és a simulókör egyenletét! Adjunk numerikus közelítést u() értékére Explicit Euler-módszer (EE), Implicit Euler-módszer (IE), Implicit trapézszabály (ITR), Explicit trapézszabály (ETR) és másodrendű Taylor-sorfejtés (ET) alapján! Számoljuk ki a pontos értéket is! } tu (t) = u u() = Monotonitás: u () =, a függvény lokálisan szig mon nő Konvexitás: u () = 0, a függvény lokálisan konkáv 37
39 Simulókör sugara: R = 0, R 8 (+4) 3 Érintő egyenes egyenlete: u(t) = + (t ) Simulókör egyenlete: (t ) + ( u + 3 ) = 5 4 EE: 08 IE: 0864, (6364 rosszabb) ITR: 0837, (837 rosszabb) ETR: 0848 ET: 085 Pontos megoldás: u(t) = + ln t, u() 0840 d) Állapítsuk meg az alábbi differenciálegyenlet u(t) megoldásának lokális viselkedését (monotonitás, konvexitás, simulókör sugara) a kezdeti érték körül, majd írjuk fel az érintő egyenes és a simulókör egyenletét! Adjunk numerikus közelítést u(0) értékére Explicit Euler-módszer (EE), Implicit Euler-módszer (IE), Implicit trapézszabály (ITR), Explicit trapézszabály (ETR) és másodrendű Taylor-sorfejtés (ET) alapján, továbbá két egyenlő időlépésű EE-lépéssel! Számoljuk ki a pontos értéket is! } u (t) = u ( + t) u(0) = Monotonitás: u (0) =, a függvény lokálisan szig mon nő Konvexitás: u (0) = 3, a függvény lokálisan konvex Simulókör sugara: R = 3, R 0943 (+) 3 Érintő egyenes egyenlete: u(t) = + (t 0) Simulókör egyenlete: ( t + 3) ( ) + u 5 3 = 8 9 EE: IE: 6667, (5 rosszabb) ITR: 304, (709 rosszabb) ETR: 73 ET: 6 EE : 33 Pontos megoldás: u(t) = t t, u(0) 8 e) Állapítsuk meg az alábbi differenciálegyenlet u(t) megoldásának lokális viselkedését (monotonitás, konvexitás, simulókör sugara) a kezdeti érték körül, majd írjuk fel az érintő egyenes és a simulókör egyenletét! Adjunk numerikus közelítést u() értékére Explicit Euler-módszer (EE), Implicit Euler-módszer (IE), Implicit trapézszabály (ITR), Explicit trapézszabály (ETR) és másodrendű Taylor-sorfejtés (ET) alapján! Számoljuk ki a pontos értéket is! } tu (t) = u + t u() = Monotonitás: u () = 3, a függvény lokálisan szig mon nő Konvexitás: u () = 5, a függvény lokálisan konvex 38
40 Simulókör sugara R = 5, R 635 (+9) 3 Érintő egyenes egyenlete: u(t) = + 3(t ) Simulókör egyenlete: (t + 5) + (u 3) = 40 EE: 3 IE: 3567 ITR: 355 ETR: 33 ET: 35 pontos megoldás: u(t) = t ( + ln t), u() 353 Differenciálegyenlet-rendszerek kvalitatív tulajdonságai és közelítő megoldási módszerek Elméleti bevezetés Adott az } u (t) = f(t, u) u(t 0 ) = u 0 kezdetiérték-probléma, ahol u(t) egy vektor értékű függvény Monotonitás, konvexitás: Az u(t) komponenseinek az első és második deriváltjai kell meghatározni, az első derivált egyszerű behelyettesítéssel adódik, a második deriváltakat láncszabállyal számolhatjuk ki: u (t 0 ) = t f(t, u(t)) t=t0 = f(t, u) u u (t) + t=t0 f(t, u) t = f u (t 0, u 0 )f(t 0, u 0 ) + f t (t 0, u 0 ), t=t0 ahol f u jelöli a függvény Jacobi-mátrixát, azaz f f u u f f f u = u u f n u f n u f u n f u n f n u n, f t = Numerikus közelítések: A korábban bevezetett EE, IE, ETR, ITR, ET módszerek képletei változatlanok, csak arra kell figyelnünk, hogy u egy vektor-értékű függvény f t f t f n t a) Állapítsuk meg az alábbi differenciálegyenlet u(t) megoldása komponenseinek lokális viselkedését (monotonitás, konvexitás) a kezdeti érték körül, majd adjunk numerikus közelítést u(0) értékére Explicit Euler-módszer (EE), Explicit trapézszabály (ETR) és másodrendű Taylorsorfejtés (ET) alapján! u (t) = u u + tu u (t) = u u + t u u (0) = u (0) = 39
41 Monotonitás: u (0) = nő Konvexitás: u (0) = ( ) 06 EE: 4 ( ) ETR: 3536 ( ) 076 ET: 36 ( ), az u (t) függvény lokálisan szig mon csökken, az u (t) lok szig mon ( 8 ), az u (t) függvény lokálisan konvex, az u (t) lok konkáv b) Állapítsuk meg az alábbi differenciálegyenlet u(t) megoldása komponenseinek lokális viselkedését (monotonitás, konvexitás) a kezdeti érték körül, majd adjunk numerikus közelítést u() értékére Explicit Euler-módszer (EE), Explicit trapézszabály (ETR) és másodrendű Taylorsorfejtés (ET) alapján! u (t) = u cos(u ) u u (t) = u u () = 0 u () = Monotonitás: u (0) = csökken Konvexitás: u (0) = ( ) 0 EE: 08 ( ) ETR: 0785 ( ) 009 ET: 0795 ( ), az u (t) függvény lokálisan szig mon nő, az u (t) lok szig mon ( ), az u 3 (t) függvény lokálisan konkáv, és az u (t) is lok konkáv c) Állapítsuk meg az alábbi differenciálegyenlet u(t) megoldása komponenseinek lokális viselkedését (monotonitás, konvexitás) a kezdeti érték körül, majd adjunk numerikus közelítést u() értékére Explicit Euler-módszer (EE), Explicit trapézszabály (ETR) és másodrendű Taylorsorfejtés (ET) alapján! u (t) = teuu + t u (t) = tu u u () = 0 u () = 0 ( ) Monotonitás: u (0) =, az u 0 (t) függvény lokálisan szig mon nő, az u (t)-nek lok minimuma van ( ) 3 Konvexitás: u (0) =, az u (t) függvény lokálisan konvex, és az u (t) is lok konvex 40
42 ( ) 0 EE: 0 ( ) 055 ETR: 00 ( ) 05 ET: 00 d) Adjunk numerikus közelítést u(3) értékére Implicit Euler-módszer (IE) alapján! u (t) = t u u u (t) = t u u u () = 4 u () = 9 IE: ( ) e) Adjunk numerikus közelítést u(05) értékére Implicit Euler-módszer (IE) alapján! IE: u (t) = 8u 4u + 4t u (t) = 4u + 4u + u (0) = u (0) = 3 ( ) 0 4 Egyensúlyi pontok, lineáris stabilitásvizsgálat Elméleti bevezetés Adott az u (t) = f(u) időfüggetlen (autonóm) differenciálegyenlet-rendszer, ahol u(t) egy vektor értékű függvény Az u pontot a rendszer egyensúlyi (stacionárius) pontjának nevezzük, ha f(u ) = 0 Ekkor u(t) = u a differenciálegyenlet-rendszer egy megoldása Az f(u) függvényt első rendig sorba fejtve u körül ahol f(u) = f(u ) + f(u) u u=u (u u ) + O ( u u ) = f u (u ) (u u ) + O ( u u ), f u = f u = f f u f f u f n u f u n f u n u u f n u f n u n a Jacobi-mátrix Az u pont kis környezetében a differenciálegyenlet az (u u ) = f u (u ) (u u ) + O ( u u ) 4
43 alakban írható, ezért itt a differenciálegyenlet megoldásainak viselkedését az f u (u ) mátrix határozza meg Jelölje f u (u ) mátrix sajátértékeit λ,, λ N Az u egyensúlyi pont stabilitásáról az alábbi tétel mondható ki Ha minden sajátérték valós része negatív, azaz Rλ i < 0, akkor az u stacionárius pont stabil, vagyis az u pont kis környezetéből kiindulva az u(t) megoldás u értékhez konvergál Ha van olyan sajátérték, amire Rλ i > 0, akkor az u stacionárius pont instabil, vagyis az u ponthoz tetszőlegesen közel találunk olyan u 0 kezdeti értéket, amelyre u(t) nem tart u -hoz Ilyen kezdeti értékeket ad pl az u 0 := ɛ s i választás, ahol s i jelöli azt a sajátvektort, ami egy pozitív valós részű λ i -hez tartozik, ɛ pedig egy elegendően kicsi pozitív szám a) b) Feladatok Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer stacionárius pontjait és állapítsuk meg a típusukat u (t) = 6u } 6u 30 u (t) = 6u + 3u 5 ( ( ) 0 A rendszer stacionárius pontjai: u = és u = 3) 5 ( ) 6 6 A Jacobi-mátrix: u = 6 6u ( A Jacobi-mátrix sajátértékei az u = pontban λ 3), λ = 6 ± 6 5, ezért ezen egyensúlyi pont instabil A Jacobi-mátrix sajátértékei az u = ( ) 5 pontban λ 0, λ = 8 ± 6 5, ezért ezen egyensúlyi pont is instabil Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer stacionárius pontjait és állapítsuk meg a típusukat u (t) = 6u } u u (t) = u u u ( ( ) ( ) 0 A rendszer stacionárius pontjai: u =, u = és u = 0) 4 4 ( ) 6 u A Jacobi-mátrix: u = u (u + ) ( ) 0 A Jacobi-mátrix sajátértékei az u = pontban λ 0 = 6, λ =, ezért ezen egyensúlyi pont stabil ( ) A Jacobi-mátrix sajátértékei az u = pontban λ, λ = 8 ± 8, ezért ezen egyensúlyi pont instabil A Jacobi-mátrix sajátértékei az u = ( 4 4 ) pontban λ, λ = 8±8, ezért ezen egyensúlyi pont is instabil c) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer stacionárius pontjait és állapítsuk meg a típusukat u (t) = u u } 0 u (t) = u + u 4
44 ( 4 A rendszer stacionárius pontjai: u = és u = 6) ( ) u A Jacobi-mátrix: u = ( 4 A Jacobi-mátrix sajátértékei az u = 6) A Jacobi-mátrix sajátértékei az u = ( ) 3 ( ) 3 pontban λ, λ = 9 ± 53, ezért ezen egyensúlyi pont instabil pontban λ, λ = 5 ± 53, ezért ezen egyensúlyi pont is instabil d) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer stacionárius pontjait és állapítsuk meg a típusukat u (t) = u + u } u (t) = u u ( ) ( ) 0 A rendszer stacionárius pontjai: u = és u = 0 ( ) u A Jacobi-mátrix: u = ( ) 0 A Jacobi-mátrix sajátértékei az u = pontban λ 0, λ = ± i, ezért ezen egyensúlyi pont stabil ( ) A Jacobi-mátrix sajátértékei az u = pontban λ, λ = ±, ezért ezen egyensúlyi pont instabil e) Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer stacionárius pontjait és állapítsuk meg a típusukat u (t) = u } + u 3 u (t) = 4u + 3u ( A rendszer stacionárius pontja: u = ) ( ) A Jacobi-mátrix: u = 4 3 ( A Jacobi-mátrix sajátértékei az u = pontban λ ), λ = ± i, ezért az egyensúlyi pont instabil Lineáris differenciálegyenlet-rendszerek és numerikus közelítéseik végtelenbeli viselkedése Elméleti bevezetés Tekintsük a } u (t) = Au u(t 0 ) = u 0 lineáris differenciálegyenlet-rendszert! Az u(t) megoldás végtelenbeli viselkedéséről az alábbi tétel mondható ki Legyenek az A mátrix sajátértékei: λ,, λ N Ha minden sajátérték valós része negatív, azaz Rλ i < 0, akkor az u(t) megoldás tetszőleges kezdeti érték esetén 0-hoz konvergál 43
45 Ha van olyan sajátérték, amire Rλ i > 0, akkor van olyan u 0 kezdeti érték, amelyre u(t) nem lesz korlátos a t 0 tartományon Ilyen kezdeti értéket ad pl az u 0 := s i választás, ahol s i jelöli azt a sajátvektort, ami egy pozitív valós részű λ i -hez tartozik Ha minden sajátérték valós része negatív v 0, azaz Rλ i 0 és a 0 valós részű sajátértékek egyszeres sajátértékek, akkor tetzsőleges kezdeti érték esetén az u(t) megoldás korlátos lesz a t 0 tartományon Ha azonban van olyan 0 valós részű sajátérték, ami többszörös sajátérték, és nem található megfelelő számú lineárisan független sajátvektor, akkor van olyan u 0 választás, amire az u(t) megoldás nem marad korlátos t 0 esetén Az EE, IE, ITR, ETR módszerek mind felírhatóak az u n+ = r(τa)u n alakban, ahol u 0, u,, u n, jelöli a közelítő értékek sorozatát adott τ > 0 időlépéssel Az egyes módszerek esetén: EE: r(τa) = I + τa IE: r(τa) = (I τa) ITR: r(τa) = (I τa ) (I + τa ) ETR: r(τa) = I + τa + (τa) A numerikus módszerek által meghatározott u 0, u,, u n, közelítő sorozat végtelenbeli viselkedéséről a következő tétel mondható ki: Ha minden λ i sajátértékre r(τλ i ) <, akkor az u n közelítő sorozat tetszőleges kezdeti érték esetén 0-hoz konvergál Ha van olyan sajátérték, amire r(τλ i ) >, akkor van olyan u 0 kezdeti érték, amelyre az u n sorozat nem lesz korlátos Ilyen kezdeti értéket ad pl az u 0 := s i választás, ahol s i jelöli azt a sajátvektort, ami egy ilyen λ i -hez tartozik Ha minden λ i sajátértékre r(τλ i ), és nincs olyan többszörös sajátérték, amire r(τλ i ) =, akkor az u n közelítő sorozat tetszőleges kezdeti érték esetén korlátos marad a) Feladatok Hogyan viselkedik az alábbi differenciálegyenlet-rendszer u(t) megoldása különböző kezdeti értékek esetén a végtelenben? u (t) = 4u } + u u (t) = 3u A sajátértékek λ, = ± 3i, azaz minden u 0 esetén 0-hoz konvergál a megoldás b) Hogyan viselkedik az alábbi differenciálegyenlet-rendszer u(t) megoldása különböző kezdeti értékek esetén a végtelenben? u (t) = u } + u u (t) = 4u + u A sajátértékek λ( = ) 3 és λ =, azaz van olyan u 0, amire nem lesz korlátos a megoldás Ilyen választást ad az u 0 = s = választás 4 44
46 c) Hogyan viselkedik az alábbi differenciálegyenlet-rendszer u(t) megoldása különböző kezdeti értékek esetén a végtelenben? u (t) = 0 } d) u (t) = 3u A sajátértékek λ = 0 és λ = 3, azaz minden u 0 esetén korlátos lesz a megoldás Hogyan viselkedik az alábbi differenciálegyenlet-rendszer u(t) megoldása különböző kezdeti értékek esetén a végtelenben? u (t) = u } u (t) = 0 A sajátértékek λ = λ = 0 és nincs két lineárisan független sajátvektor, azaz van olyan u 0 kezdeti érték, amire nem lesz korlátos lesz a megoldás e) Hogyan viselkedik az alábbi differenciálegyenlet-rendszer u(t) megoldása különböző kezdeti értékek esetén a végtelenben? Megőrzi-e valamelyik módszer az EE, IE, ITR, ETR közül ezt a tulajdonságot τ = 3 időlépéssel? u (t) = u } u (t) = u A sajátértékek λ = 0, λ =, azaz minden u 0 kezdeti értékre korlátos marad a megoldás EE: r(τλ ) = = és r(τλ ) = + 3 ( ) = >, azaz van olyan u 0, amire nem lesz korlátos a megoldást közelítő sorozat IE: r(τλ ) = 3 0 = és r(τλ ) = 3 ( ) = 05 <, azaz minden kezdeti érték esetén korlátos marad a közelítő sorozat ( ) ITR: r(τλ ) = = és r(τλ 3 0 ) = + 3 ( ) = 0 < azaz minden kezdeti érték esetén korlátos marad a közelítő sorozat ETR: r(τλ ) = (3 0) = és r(τλ ) = + 3 ( ) + (3 ( )) = 5 >, azaz azaz van olyan u 0, amire nem lesz korlátos a megoldást közelítő sorozat f) Hogyan viselkedik az alábbi differenciálegyenlet-rendszer u(t) megoldása különböző kezdeti értékek esetén a végtelenben? Megőrzi-e valamelyik módszer az EE, IE, ITR, ETR közül ezt a tulajdonságot τ = 00 időlépéssel? u (t) = u } u (t) = 000u 00u A sajátértékek λ =, λ = 000, azaz minden u 0 esetén 0-hoz konvergál a megoldás EE: r(τλ ) = + 00 ( ) = 099 < és r(τλ ) = + 00 ( 000) = 9 >, azaz van olyan u 0, amire nem lesz korlátos a megoldást közelítő sorozat IE: r(τλ ) = 00 ( ) = 00 0 < és r(τλ ) = 00 ( 000) = <, azaz minden kezdeti érték esetén 0-hoz konvergál a megoldás 00 ( ) ITR: r(τλ ) = + 00 ( ) = 99 0 < és r(τλ 00 ( 000) ) = + 00 ( 000) = 3 <, azaz minden kezdeti érték esetén 0-hoz konvergál a megoldás ETR: r(τλ ) = + 00 ( ) + (00 ( )) = < és r(τλ ) = + 00 ( 000) + (00 ( 000)) = 4 >, azaz azaz van olyan u 0, amire nem lesz korlátos a megoldást közelítő sorozat 45
47 Peremérték-feladatok numerikus közelítő megoldása a véges differenciák módszerével Elméleti bevezetés Tekintsük az au xx (x) + bu x (x) + cu(x) = g(x) (0 < x < L) u(0) = p 0 u(l) = p L peremérték-feladatot! Osszuk fel a [0, L] intervallumot n egyenlő hosszúságú részre az x i = il n (0 i n) rácspontok felvételével Két szomszédos rácspont távolsága a h = L n rácsállandó Jelölje az ismeretlen függvény közelítő értékét az x i rácspontban u i, azaz u(x i ) u i (0 i n) A peremfeltételeket expliciten előírjuk, azaz u 0 = p 0 és u n = p L Az első deriváltak közelítésére az alábbi sémák valamelyikét használjuk: előrenéző: u x (x i ) ui+ ui h hátranéző: u x (x i ) ui ui h centrális: u x (x i ) ui+ ui h, a második deriváltak közelítésére a centrális: u xx (x i ) ui+ ui+ui h sémát alkalmazzuk Az u, u,, u n ismeretlenek meghatározása céljából minden belső x i pontban ( i n ) felírjuk az egyenletet a közelítő deriváltakkal Az u i közelítő függvényértékeket a lineáris egyenletrendszer megoldása szolgáltatja a) Feladatok Adjunk közelítő megoldást a 4u xx 8u x + 3u = x + 4 (0 < x < 6) u(0) = u(6) = 5 peremérték-feladatra két belső pont alapján! Az első deriváltakat közelítsük előrenéző, a második deriváltakat centrális sémával, a kapott eredményt ábrázoljuk grafikonon! Írjuk fel a megoldást közelítő egyenletrendszer mátrixos alakját 5 belső pont esetén is! A szakasz hossza L = 6, a szakaszt n = 3 részre osztjuk, a rácsállandó h = A peremfeltételek alapján u 0 = 0 és u 3 = 5 Az egyenlet az x pontban: ( ) ( ) u0 u + u u u u = + 4 9u 5u = 7, valamint az x pontban: ( ) u u + u ( u3 u ) + 3u = u + 9u = 33 Az egyenletrendszer megoldása: u = 3, u = 4 46
3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
Részletesebben6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
RészletesebbenMátrix-exponens, Laplace transzformáció
2016. április 4. 2016. április 11. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ÉS A MÁTRIX-EXPONENS KAPCSOLATA Feladat - ismétlés Tegyük fel, hogy A(t) = (a ik (t)), i, k = 1,..., n és b(t) folytonos mátrix-függvények
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenIpari matematika 2. gyakorlófeladatok
Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
RészletesebbenFolytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja
Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenSegédanyag az A3 tárgy gyakorlatához
Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Sáfár Orsolya Szeparábilis dierenciálegyenletek A megoldásról általában: A szeparábilis dierenciálegyenlet álatlános alakja: y (x) = f(x)g(y). Ebben az esetben g(y)-al
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenDefiníció Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény.
8. Differenciálegyenletek 8.1. Alapfogalmak Korábbi tanulmányaink során sokszor találkoztunk egyenletekkel. A feladatunk általában az volt, hogy határozzuk meg az egyenlet megoldását (megoldásait). Az
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 10 X PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Elsőrendű kvázilineáris parciális DIFFERENCIÁLEGYENLETEk Elméleti alapok Elsőrendű kvázilineáris parciális differenciálegyenlet általános
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenJPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.
RészletesebbenBaran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek
Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. 1.-2. Gyakorlat 1 / 42 Numerikus differenciálás
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Differencia- és differenciálegy.-rsz. H607 2017-04-05
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenMODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebben6. Differenciálegyenletek
312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon
RészletesebbenPolinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
Részletesebben7. gyakorlat megoldásai
7. gyakorlat megoldásai Komple számok, sajátértékek, sajátvektorok F1. Legyen z 1 = + i és z = 1 i. Számoljuk ki az alábbiakat: z 1 z 1 + z, z 1 z, z 1 z,, z 1, z 1. z M1. A szorzásnál használjuk, hogy
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
Részletesebbencos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval. Vajda István március 21.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 21. A módszer alkalmazásának feltételei: Állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek megoldására használhatjuk. A módszer alkalmazásának feltételei:
RészletesebbenMatematika A3 1. ZH+megoldás
Matematika A3 1. ZH+megoldás 2008. október 17. 1. Feladat Egy 10 literes kezdetben tiszta vizet tartalmazó tartályba 2 l/min sebesséeggel 0.3 kg/l sótartalmú víz Áramlik be, amely elkeveredik a benne lévő
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
Részletesebben(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e
Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
RészletesebbenDifferenciálegyenletek Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (2) Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műszaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján összeállította: Fritz
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenElhangzott tananyag óránkénti bontásban
TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek (Előadás BMETE93AM03; Gyakorlat BME TE93AM04) Elhangzott tananyag óránkénti bontásban 2016. február 15. 1. előadás. Közönséges differenciálegyenlet fogalma.
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenElhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban. Mindkét csoport. Rövidítve.
TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek 1 (BMETE93AM15) Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban Mindkét csoport Rövidítve 1 gyakorlat 017 szeptember 7 T01 csoport Elsőrendű közönséges
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,
RészletesebbenFüggvények csoportosítása, függvénytranszformációk
Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények
RészletesebbenDifferenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11
RészletesebbenMatematika mérnököknek 2. Ismétlés Numerikus dierenciálás Diegyenletek Fourier Matlab Projekt Desc Linkek
Matematika mérnököknek 2 Ismétlés Numerikus dierenciálás Diegyenletek Fourier Matlab Projekt Desc Linkek 1 Ismétlés Di-számítás Határozatlan integrál Matematika mérnököknek 2 2 Di-számítás Desc Summa Fa
RészletesebbenRENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT
RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT ÜTEMTERV VÁLTOZÁS Gyakorlat Hét Dátum Témakör Házi feladat Egyéb 1 1. hét 02.09 Ismétlés, bevezetés Differenciálegyenletek mérnöki 2 2. hét 02.16 szemmel 1. Hf kiadás 3 3.
RészletesebbenMegoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!
MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:
RészletesebbenInverz Laplace-transzformáció. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Definíció: Ha az f (t) függvény laplace-transzformáltja F (s), akkor f (t)-t az F (s) függvény inverz Laplace-transzformáltjának nevezzük. Definíció: Ha
RészletesebbenMatematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév
Matematika gyógyszerészhallgatók számára A kollokvium főtételei 2015-2016 tanév A1. Függvénytani alapfogalmak. Kölcsönösen egyértelmű függvények és inverzei. Alkalmazások. Alapfogalmak: függvény, kölcsönösen
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenFigyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek Példák differenciálegyenletekre Newton második törvénye Egy tömegpont gyorsulása egyenesen arányos a rá ható erővel és fordítottan arányos
Részletesebben1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.
Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7
RészletesebbenTartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)
Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) 2015 1 Állapotgyenletek megoldása Tekintsük az ẋ(t) = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
Részletesebben