n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

Átírás

1 Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n n 2 n n n 3 9 n ) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a ) pn) = e a a p n tetszőleges sorozat, amire p n = ±) n pn) + 3 ) 2n+3 ) 2n n, n + n konjugálttal beszorzós:, a két tagból az egyik gyökös n n n + ), 4 n n n 2 + ), 3n + 3n n + n 4. egyéb: n a =, n polinom =, n faktoriális =, polinom << exponenciális << faktoriális) n+2 n 3 2n + =, 2n n + )! =, n0 + n n+2 = 0, en n + )! = 0, 2 n n 2 + n + =, stb. Függvény határérték. L Hospital szabály a) ± ± x 2e x e x +, ln2 + 3e x ) x 3 + 2x b) 0 0 sin x cos x, e x2 + x 2 x 4 c) 0 = 0 vagy = 0 x ln x, e x ) ex ) ctg x = =... tg x d) 0 0, 0, fx) gx) = e gx) lnfx)) a kitevő eszét külön kiszámítjuk) x x, + + x ) x, + cos x) x e) közös nevezőre hozás után L Hospital sin x ) e x

2 2. konjugálttal beszorzós ugyanúgy, mint sorozatoknál) x x 2 + x), x 2 + x 2 x x2 + x x 2 + sin fx) 3. trigonometrikus = fx) 0 fx) sin 3x sin 6x, tg 4x tg 2x, cos x sin 2 x cos x), x cos x x 4 Az utolsó előtti simán kijön L H-val is, de az utolsó L H-val már nagyon ronda. Ha cos x) vagy cos x ) szerepel a eszben, akkor próbáljunk szorozni a "konjugálttal", vagyis pl. az utolsónál +cos x +cos x-szel, aztán felhasználjuk, hogy cos 2 x = sin 2 x) Numerikus sorok. konkrét összeg kiszámítása a) geometriai sor: k=0 q k = q k=0 5 4 k =?, 3 k+ =? 22k 3 k= b) teleszkopikus összeg: k= c másodfokú = c elsőfokú elsőfokú = k= k= ) A elsőfokú + B elsőfokú k= k k + ) =?, k= 2k )2k + ) =?, 9k 2 + 5k + 4 =? k=0 2. konvergens-e a) divergencia kritérium: a n nem konvergens, ha a n 0 2 ) 3n n + b) hányadoskritérium: a n konvergens-e? ha an+ a n = elv: ha az a n -ben szerepel faktoriális, akkor próbálkozzunk ezzel) <, akkor konvergens >, akkor divergens =, akkor másik módszer kell c) gyökkritérium: a n konvergens-e? ha n <, akkor konvergens a n = >, akkor divergens =, akkor másik módszer kell n= n! n n, k= 5 k k! 2

3 ) n n, 2n + n= n= ) n 2 n n 2 n d) összehasonlító kritérium: a n konvergens-e? Vagy alulról becsüljük az összeget egy divergens sorral, vagy felülről egy konvergens sorral. Sokszor működik: megbecsüljük, hogy az a n n α. Ha α, akkor divergenciát akarunk bizonyítani, amihez c n a α n belátása elég. Ha α >, akkor konvergenciát akarunk bizonyítani, amihez azt kell belátnunk, hogy a n c n. A "c" α az sokszor lehet, vagy ha szükséges, akkor -nél nagyobb egész szám. ) n= n + n, e) Leibniz-sorok: egy a n sor Leibniz-sor, ha: n= n + n 2 +, n= sin 2 n n 2 +. az a n váltakozó előjelű 2. a n monoton fogyó 3. a n = 0 A Leibniz-sorok mindig konvergensek. Konvergensek-e a következő sorok? ) n n, n= n= ) n+ n2 2 n, n=2 ) n ln n Deriválás, parciális deriváltak, gradiens, Hesse-mátrix a) függvény érintője/érintősíkja adott pontban b) függvényérték közelítése Taylor-polinom segítségével c) szélsőérték számítás d) feltételes szélsőérték e) teljes függvényvizsgálat Függvénysorok a) Hatványsor konvergencia-sugara b) Függvények hatványsorba fejtése egy adott x 0 körül Néhány megjegyzendő sor: x n n! = ex, ) n x2n+ 2n + )! = sin x, ) n x2n = cos x, 2n)! x 2n+ 2n + )! = sh x x 2n 2n)! = ch x x n = x x, )) b) Az ismert sorok alapján könnyű 3

4 Fejtsd sorba az x 0 = 0 körül! cos 2x, + x 2, x 2 x 3, e3x, sin x cos x, cos 2 x Fejtsd sorba az x 0 = 2 körül: 2 3+x b2) A deriváltat tudjuk sorba fejteni. Fejtsd sorba az x 0 = 0 körül! ln + x), ln + x 2 ), arctg x b3) Az integrálját tudjuk sorba fejteni Fejtsd sorba az x 0 = 0 körül! + x) 2 ez a binomiális sor segítségével is megy) c) Fourier-sorok c) páros függvények c2) páratlan függvények Mátrixok a) mátrix determinánsa b) mátrix inverze c) lineáris egyenletrendszerek: Gauss-algoritmus d) sajátérték, sajátvektor Integrál a) rápillantós f A) f = ln f B) f f α = f α+ α ) α + C) fgx)) g x) = F gx)) F = f) D) fa x + b) = F ax + b) a F = f) b) trigonometrikus és hiperbolikus fv-ek cos 2 x dx, sin 2 3x dx, ch 3 x dx, sin 5 x dx, cos 3 x sin 2 x dx, c) parciális integrál c) polinom exponenciális vagy trigonometrikus vagy hiperbolikus): a polinom a vessző nélküli x 2 + 2) e 2x dx, x ) cos3x) dx, x 2x 2 ) sh 5x) dx 4

5 c2) polinom logaritmikus vagy arcus vagy area) Ilyenkor a polinom a vesszős! x ln x dx, 2x + ) arctg x dx c3) logaritmus, arcus vagy area): ez ugyanolyan mint a c2) csak be kell erőltetni az szorzót, az lesz a vesszős ln x dx, arctg x dx c4) trigonometrikus vagy hiperbolikus) exponenciális): két parciális integrál után visszakapjuk az eredeti I integrált, egyenlet lesz az I-re. Mindegy melyik a vesszős, csak a második parciális integrálásnál maradjon az ugyanolyan típusú a vesszős.) sin2x) e x dx, ch 3x) 2 5x dx c5) sok egyéb esetben is ez kell, pl.: 2x 3 e x2 dx = x 2 g 2x e x2) dx, f x 3 sinx 2 ) dx d) racionális törtfüggvények - parciális törtekre bontás x 3 x 2 3x x 2 2x 3 dx x x 3 5x 2 + 8x 4 dx x x 3 + 3x 2 + 4x + 2 dx e) helyettesítéses integrál A) gyök alatt másodfokú polinom: cél: y 2, y 2 +, vagy y 2 alakra hozni A) y 2, ilyenkor y = ch t helyettesítés kell ahhoz, hogy a gyök alatt teljes négyzet legyen ch 2 t = sh 2 t) 2x2 4 dx 2x2 + 4x A2) y 2 +, ilyenkor y = sh t helyettesítés kell ahhoz, hogy a gyök alatt teljes négyzet legyen sh 2 t + = ch 2 t) 9x2 + 3 dx 3x2 3x + A3) y 2, ilyenkor y = sin t vagy y = cos t is jó). sin 2 t = cos 2 t, cos 2 t = sin 2 t) 3 4x2 dx x2 + 6x 7 B) e 2x e x + dx, e 3x + 4 e 6x dx, + e3x ch x dx C) x + 4 x dx, + 3 x + dx 5

6 D) trigonometrikus függvények racionális törtfüggvényei: t = tg x 2t t2 2t, ekkor sin x =, cos x =, tg x = 2 + t2 + t2 t 2, dx = 2 + t 2 dt + cos x dx, sin x cos x dx, cos x dx f) határozott integrál g) integrál alkalmazásai Kettős integrál a) síkbeli polárkoordináták Hármas integrál a) térbeli polárkoordináták b) hengerkoordináták Vonlaintegrál a) definíció alapján b) skalárpotenciál segítségével Felületi integrál a) definíció alapján b) Stokes-tétellel vektorpotenciál keresése) c) Gauss-tétellel Diffegyenletek a) Lineáris differenciálegyenletek b) Lineáris differenciálegyenlet-rendszerek c) Bernoulli-féle differenciálegyenlet d) Egzakt differenciálegyenlet e) Egzakttá tehető differenciálegyenlet f) Szétválasztható változójú differenciálegyenlet g) Szukcesszív approximáció 6