Függvények hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, konvergenciatartomány

Átírás

1 Függvénye hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, onvergenciatartomány Taylor-sor, ) Állítsu elő az alábbi függvénye x helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel) éa állapítsu meg a hatványsor onvergenciatartományát!) a) A cos 5x függvény hatványsora: A hatványsor alaja általános alaja: f x) f ) + f )! x + f )! x + f ) x +.! A cos 5x függvény deriváltjai, és értéei az x helyen: x f x) cos 5x f x) 5sin 5x f x) 5 cos 5x 5 f x) 5 sin5x f IV x) 5 4 cos 5x 5 4 f V x) 5 5 sin 5x f VI x) 5 6 cos 5x 5 6 Ezeel a behelyettesítéseel a Taylor-sor: Konvergenciasugár: A sorozat általános tagja: f x) 5! x ! x4 56 6! x6... a n a ) 5 )!. Györitériummal: n 5 an )! 5 )!. Enne a sorozatna a határértée nem látszi azonnal, ezért megpróbálozu a hányadosritériummal is: a +) a 5 +) +))! 5 )! 5, ha. + ) + ) )

2 Eze szerint a sorozat minden x-re onvergens. Mási módszer: A cos u sorána ismeretében u 5x helyettesítés vissza ell, hogy adja a hatványsort: cos u A helyettesítést elvégezve: ) u )! u! + u4 4! u6 6! +. cos 5x 5! x ! x4 56 6! x6 +. Vagyis a sor minden x-re onvergens. ) Az f x) sin x cos x függvény hatványsora: Első módszer: Elő lehet állítani a Taylor-sort özvetlenül a deriválta meghatározásával, és behelyettesítéssel. Másodi módszer: Tudván, hogy sinxcos x sin x: sin u ) u + + )! u u u! + u5 5! u7 7! + u9 9!. Behelyettesítés után: Harmadi módszer: sinx x! x + 4 5! x5 6 7! x ! x9. A cos t sorából tagonénti integrálással is meghatározható a Taylor-sor, hiszen f x) A cos t sora: x cos t dt sin x. cos t! t + 4 4! t4 6 6! t6 +. Tagonénti integrálással: Konvergenciasugár: Hányadosritériummal: x sinx x! + 4 x 5 4! 5 6 x 7 6! 7 +. a + a +)! )!, ha,

3 tehát a sor minden x-re onvergens. ) f x) cos x sorbafejtése: A lehetséges módszere özül legegyszerűbbne tűni, ha cos u sorába u x helyettesítéssel állítju elő a ívánt hatványsort. cos u cos x Konvergenciasugár: ) u )! u! + u4 4! u6 6! + ) x )! x! + x 4! x 6! + x4 8! a + a +)! )!, ha. + ) + ) Minden x-re onvergens, de x ell legyen! 4) f x) cos x ) sorbafejtése az x helyen: 4 Táblázattal: x x f x) cos x ) f IV x) cos x ) 4 4 f x) sin x ) f V x) sin x ) 4 4 f x) cos x ) f VI x) cos x ) 4 4 f x) sin x ) f VII x) sin x ) 4 4 Tehát a hatványsor: cos x ) 4 + Konvergenciasugár: n x! a n+ a n x! ) n [ x n n)! + n+)! n)! x! + ]. xn+ n + )! x 4 4! +, ha n, n + tehát minden x-re onvergens a sor. < x < + ) x 5 5!

4 5) f x) sin x hatványora az x helyen: Első lehetőség: Táblázattal: x f x) sin x f x) sin xcos x sinx f x) cos x f x) 4sin x f IV x) 8cos x 8 f V x) 6sin x f VI x) cos x f VII x) 64sin x f x)! x 8 4! x4 + 6! x6 + Konvergenciasugár: a n+ a n n+ n+)! n+ n)! n ) n n+ n + )! xn+. 4, ha n, n + ) n + ) tehát minden x-re onvergens a sor. < x < + ) Mási lehetőség: A sin x sorfejtésével; cos u sora ismeretében, u x helyettesítéssel: cos x { cos x} { Harmadi lehetőség: } ) )! x +! x 8 4! x ) + + )! x+. f x) sin x ismeretében felírju sin u sorát, majd u t helyettesítéssel sin t sorát, majd tagonént integrálun: sinu ) u + + )! sint ) + + )! t+. 4

5 x sin x sin t dt alapján sin x ) + x + + )! + ) + + )! x+. 6) f x) e x hatványsora az x helyen: Első lehetőség: Táblázattal: x f x) e x f x) xe x f x) e x + x) e x f x) 4xe x + 8xe x x) e x f IV x) e x 4x e x 4x e x x) 4 e x Innen a hatványsor: e x! x + 4! x x! + x4! +... Ez a módszer igen so munát igányel, nem elég hatéony. Mási lehetőség: e x sora alapján. e x hatványsora: e x x, < x < + ).! e x hatványsora: e x ) x!. e x hatványsora: e x ) x x!! + x4!. Konvergenciasugár nyilván < x < +. 7) f x) e x hatványsora az x helyen: Minthogy e x e x, ezért e u sorában u x helyettesítéssel apju a ívánt sorfejtést. A onvergenciatartomány itt is nyilvánvaló < x < + ): e x 8) f x) sh x sorfejtése az x helyen: Az shu sorfejtése alapján dolgozun: x!. 5

6 u f u) shu f u) ch u f u) sh u f u) ch u f IV u) sh u Innen: shu! u +! u + 5! u u + + )!. Nyilvánvaló, hogy a onvergencia-tartomány < u < +. Innen: sh x x) + + )!, ugyancsa < u < + onvergencia-tartománnyal. 9) f x) ch x sorfejtése az x helyen: A ch x ch x + alapján és a ch x sorfejtését felhasználva: u f u) ch u f u) sh u f u) ch u f u) sh u f IV u) ch u ch u +! u + 4! u4 + 6! u u )!. Nyilvánvaló, hogy a onvergencia-tartomány < u < +. ch x x )! + x )! ch x ch x + + Konvergencia-tartománya < x < +. + )! x 6

7 ) f x) + x) hatványsora az x helyen. x f x) + x) f x) + x) f x) 6 + x) 6 f x) 6 6 f IV x) Innen a + x) +! x + 6! x + 6! x + x + x + x polinom adódi, ami a öbreemelés eredménye. ) f x) + x) hatványsora az x helyen: Binomiális sorfejtéssel: + x) ) ) x x + 6x x ) ) )... + ).! Konvergenciassugár meghatározása: a n+ a n n! n + n + n +, }{{}}{{} )))...n+)n) n+)! )))...n+) tehár R. A onvergencia-tartomány: < x <. ) f x) + x) hatványsora x helyen: Binomiális sorfejtéssel: + x) ) x +... ) x + x 9 x x

8 Két példa a binomiális együtthatóra: ) ) ) ) ) )! A onvergenciatartomány meghatározása: a n+ a n ) ) n n+ ) ) n+) n!n+) ) ) n+) n! )! 9 ) ) 5! Innen R, a onvergencia-tartomány: < x <. ) f x) ln + x) sorbafejtése az x helyen: Táblázattal: Innen az ln + x) Taylor-sora: ugyanis 4) f x) + x 9! n 4 n + n + n + n +. x f x) ln + x) f x) + x f x) + x) f x) + x) f IV 6 x) + x) 6 6 ln + x) ) x!, ln + x)! x! x +! x 6 4! x x x + x x ) x! +... sorfejtése az x helyen: 8

9 Minthogy +x {ln + x)}, ezért az előbbi sort tagonént differenciálva apju a ívánt sorfejtést: + x ) ) x ) x ) x.! Konvergenciasugár: R, tartomány: < x <. 5) f x) sorfejtése az x helyen. x A sorfejtéshez szüséges deriválta: f x) x x ) f x) x ) + x x ) x x ) 4 x + 8x x ) + 6x x ) f x) x x ) + + 6x ) x ) x x ) 6 x x + x + 6x x ) 4 f IV x) 4x + 4x x ) 4 ) 4 + 7x x ) 4 ) + 4 x ) x 4x + 4x x ) 8 4 4x + 7x 7x 4 + 9x + 9x 4 + x) 5 x4 + 4x + 4 x ) 5 Eze értéei az x helyen rendre: f x ) ; f x ) ; f x ) ; f x ) ; f IV x ) 4. Innen a érdéses Taylorsor: + x ) +! x + 4 4! x x + x x. A onvergencia-tartomány: < x <. x 6) f x) + x sorfejtése az x helyen ) Mivel [ ln + x )] x + x, ezért ln + x ) sorána tagonénti differenciálásával nyerjü a ívánt sorfejtést. Vagyis a. feladat alapján: ln + x ) ) x 9 < x < ).

10 Tehát: x + x ) x +. A onvergencia-tartomány: < x <. 7) f x) sorfejtése az x helyen. x) Első lehetőség: x) binomiális sorfejtésével: ) x) x ) + + x + 4x +... Másodi lehetőség: A 4. feladat alapján. x x sorfejtésből, alapján, tagonénti differenciálással: x) x + )x. Konvergencia-tartomány: < x <. 8) f x) ln x) sorfejtáse az x helyen. x ln x) x dx + ) x. ) x x) alapján és sorából 7. feladat). A övetező ifejezést tagonént x integrálju: x x. Ebből apju: ln x) Konvergencia-tartomány: < x <. x + + x. 9) f x) ln x ) sorfejtése az x helyen. Első lehetőség: x x < x < ) sorból. ln x ) x x x dx

11 felhasználásával x)-szal szorozva és tagonént integrálva) Innen: ln x ) x x x +. A onvergencia-tartomány: < x <. x+ + x +) +. Másodi lehetőség: ln x ) ln x) + x) ln x) + ln + x) alapján, a ln x) és ln + x) sorána összegeént.. és 8. feladat.) ln + x) ) x ln x) Ezen soro összege: x x x + x x4 4 + x x x x x4 4 x ln x ) x x4 4 x x +) +. ) f x) ln + x ) sorfejtése az x helyen ln + x) ) x, < x < ) sor alapján. feladat): ln + x ) ) x, ugyancsa < x < onvergencia-tartománnyal. + x ) f x) ln sorfejtése az x helyen: x + x ln x ln + x) x) alapján: ln + x) ln x) ) x ) x x + x x x x x x x )

12 Innen: ln + x x ) x + x + x x + + Konvergencia-tartomány: < x <. ) f x) arc tg x sorfejtése az x helyen: Az arusz tangens deriváltját fejtjü sorba, majd tagonént integrálun: Innen: arc tg x) + x ) x, < x < ) arc tgx x A onvergencia-tartomány: < x <. + x dx ) x + + Írju fel az alábbi függvénye Taylor-sorfejtését az x helyen. ) f x) e x sorfejtése az x helyen: Táblázattal: x f x) e x f x) e x f x) e x f x) e x f IV x) e x e e e e e Innen a érdéses sor: e x e + e! x ) + e! x ) e! x ex ) ) +...! A onvergencia-tartomány: < x < + 4) f x) lnx sorfejtése az x helyen: Táblázattal:

13 x f x) lnx f x) x f x) x f x) x x 4 x f IV x) 6x x 6 6 x 4 6 Innen az lnx sora: lnx +! x ) + x ) ) + ) 4 x ) +!! + ) 5 6x ) ) + + )!x ) 4!! ) + x ) Konvergenciasugár: a n+ a n n+ n n n + Tehát R, a onvergencia-tartomány eze szerint < x, ugyanis x -nál az lnx deriváltjai nincsene értelmezve. 5) f x) x x sorfejtése az x helyen: Táblázattal: Innen a övetező polinom adódi: f x) 4 + x f x) x x 4 f x) 6x f x) x 6 f x) f IV x) x ) + x + x ) ) 6) f x) x + x + sorfejtése az x helyen:

14 Első lehetőség: A Taylor-formula alalmazásával, deriválással, táblázattal. A deriválást az x + x + átalaítással végezzü. x + Másodi lehetőség: A övetező mértani sor felhasználásával: x + x + x + + x + ) [ ] x + ) + x + ) x + ) ) + x + ) A onvergencia-sugár: R A onvergencia-tartomány: a n+ a n x + ) n+ x + ) n x + < Innen < x + <, azaz < x <. 7) f x) x + x + sorfejtése az x helyen: x + x + x + x + x + + x + ) + x+ A másodi tag egy q x + hányadosú mértani sor összege. Emiatt: [ x + x + x + x + ) + 4 ) + x + ) A onvergencia-sugár: R x + ) ) A onvergencia-tartomány: [ R; + R], azaz < x <. ] x + ) ) f x) + x sorfejtése az x helyen: A -gal jelölt helyen a q x + hányadosú mértani sor összegépletét 4

15 használtu fel. f x) + x + x ) + x [ x ) ) x x ] ) n x ) n n+ n Konvergencia-tartomány: x < x < < x < 5 9) Felírandó az y tgx függvény 6-odfoú Taylor polinomja az x helyen: Az f x) függvény Taylor-polinomja: T n x) f x )+ f x )! x x )+ f x )! x x ) fn) x ) n! a övetező éplet szerint özelíti meg az f x) függvényt: Az egyes deriválta: H f x) T n x) x x n+ n + )! max f n+) x) x,x ) x x ) n dy dx cos x sin x + cos x cos + tg x + y x d y dx d + x ) yy dx d x dy d dx yy ) y ) + yy y 4) d ) dx y + yy y y + y y + yy ) y 5) d dx y y + y y + yy ) y + y y + y y + yy 4)) y 6) d 6y + 8y y + yy 4)) y y + 8y y + 8y y 4) + y y 4) + yy 5) dx 5

16 Az egyes deriválta értéei az x helyen: Innen a Taylor-polinom: y ) y ) y ) y ) y IV) ) y V) ) 6 y VI) ) T 5 x) T 6 x) x! + x x5 + 6! 5! x + x + 5 x5 ) Írju fel az y cos x függvény Maclaurin sorát! cos z z! + z4 4! )n z n n)! +... Ezzel a érdéses sor némi átalaítás után: y cos + cos x x + cos x + x + 4 x ) n n x n )! 4! n)! Ez a sor is onvergens a < x < számözben, mert a maradétag -hoz tart, ha n. Ugyanis tetszőleges x esetén x)n, ha n. n! Váltaozó előjelű sor esetében a hiba isebb, mint a legelső figyelembe nem vett tag.) Hasonló módon adódi, hogy sin x x! 8x4 4! sor is a < x < számözben onvergens. ) Felírandó az y x ) n n x n +... n)! függvény Taylor-sora x helyen). 6

17 A binomiális sorfejtés értelmében: x ) ) + x + + ) x ) + ) x ) n x ) + n ) n + ) x ) n +... n! + x + 4 x ) x ) ) ) n ) x n n) A sor a < x < intervallumon mindenütt onvergens. x ) ) Számítsu i az y ch 4x hatodfoú özelítő Taylor-polinomját a hely özelében! A szüséges deriválta és azo értéei az x helyen: Innen a Taylor-polinom: x f x) ch 4x f x) 4sh 4x f x) 4 ch 4x 4 f x) 4 sh 4x f IV) x) 4 4 ch 4x 4 4 f V) x) 4 5 sh 4x f VI) x) 4 6 ch 4x 4 6 T 6 x) + 4! x ! x ! x6 Ugyanehhez az eredményhez jutun, ha az y ch u sorában u helyett 4x-et írun: T 6 u) + u! + u4 4! + u6 6!, ahonnan egyszerű behelyettesítés után apju a ívánt sort. ) Meghatározandó az y e x függvény n-edfoú Taylor-féle polinomja a hely özelében. Az y e u Taylor-polinomja u -ra ismert: e u + u! + u! un n! +...

18 Itt u helyébe x ) -et helyettesítve: ) ) x x ) x n T n x) ,!! n! tehát a érdéses sor: T n x) ) x ).! 4) Határozzu meg az y lnx n-edfoú polinomját az pont örnyezetében! x f x) lnx f x) x f x) x. f n) x) ) Eze alapján a Taylor-polinom: n+ n). x n ) n+ n ) T n x)! x )! x ) +!! x ) ) n+ n )! n x ) n ) + x ) n! Néhány fontosabb függvény végtelen Taylor-sora és azo onvergencia-intervallumai: e x sinx cos x sh x x, < x < + )! ) x +, < x < + ) + )! ) x, < x < + ) )! x +, < x < + ) + )! 8

19 x ch x, < x < + ) )! ln + x) ) x, < x < ) ar th x ln + x x x +, < x < ) + 5) Meghatározandó T 4 x), ha f x) Mivel + x. + x), ezért a itevő n. A binomiális együttható + x iszámítása: ) n n ) n ) n ) ) n! n ) n 4 nn ) ) nn ) n ) 5 ) ) nn ) n ) n ) Tehát a Taylor-sor: ) ) ) 5 6 ) 4 T 4 x) x + 8 x 5 6 x x4. 6) Meghatározandó az e értée ét tizedes pontossággal. Az f x) e x sora az x helyen, és x -et helyettesítve: e +! +! n! +... A ét tizedesjegyű pontosság matematiai feltétele: e +! +! n!) H <,5. 9

20 A hibaéplet szerint: H < x x n+ n + )! max x fn+) x),,x) tehát minthogy x és x, f n+ x) < a,)-ban, ezért H < n+ n + )! n + )! <,5 5, tehát 6 < n + )!, 5 ahonnan n 5, hiszen n + )! 6! 7. T 5 x)-szel számolva: T 5 x) + x! + x! + x! + x4 4! + x5 5! ,5 +,667 +,47 +,8,767 7) Meora szaaszon helyettesíthető az y ch x görbe másodfoú parabolával, ha előírju, hogy a hiba isebb legyen, mint 5? A hibatag: ) ch x + x x4! 4! max x4 ch x <,x) 4! ex < x4 x <,5. 4! A helyettesítés azon az x < x < x szaaszon tehető meg, ahol x ielégíti az x 4 x 4!,5, azaz a x 4 x, egyenletet. Ezt csa özelítő módszerrel lehet megoldani, mely alapján x,5 és,6 özé esi. Fourier-soro Lényegében elegendő, ha csa a szerint periodius függvénye Fourier-sorával foglalozun. A Fourier-sorfejtés az adott szerint periodius függvény az alábbi függvénysort jelenti: f x) a + a cos x + b sinx),

21 ahol az egyes együttható: a a b f x) dx f x) cos xdx f x) sinxdx. Könnyen belátható, hogy páros függvénye esetében b, valamint páratlan függvénye esetében a. ) Legyen f x) x, ha < x < és f x + ) f x),, ±, ±,...). Ábrázolju f x)-et és írju fel a Fourier-sorát! y x 4 5 Az együttható: a a xdx [ xcos xdx [ x sinx ] }{{} x ] [ ] sin x x [ cos x ]. sin x dx

22 A b együttható: b xsin xdx cos + [ ] cos x x }{{} { ] [ sin x cos } {{ } cos ) } cos. + cos x dx A Fourier-sor tehát: [ sin x f x) sin x + sinx x n ) n+ sinnx n ) n+ sin nx n ] +... {, ha < x ) Legyen f x) és f x) f x + ),, ha < x, ±, ±,...). Ábrázolju az f x) függvényt, és határozzu meg a Fourier-sorát! y 4 5 x

23 Az együttható: a a f x) dx f x) cos xdx dx [x] cos xdx b f x) sinxdx sinxdx { [cos + ], ha páros, ha páratlan. A Fourier-sor: f x) sinx + + n + sinx sin n + ) x. n sin n + ) x n + [ sin x ] [ ] cos x ) +... {, ha < x ) Legyen f x) és f x) f x + ), x, ha < x, ±, ±,...). Ábrázolju az f x) függvényt, és határozzu meg a Fourier-sorát! y 4 5 x

24 Az a együttható: a a f x) dx f x) cos xdx xdx [ x ] xcos xdx 4 {, ha páros, ha páratlan. A b együttható: b f x)sin xdx xsin xdx {, ha páros, ha páratlan. A Fourier-sor: f x) 4 cos x+sin x sinx 9 cos x+ sin x 4 sin4x+... {, ha < x 4) Legyen f x) és f x) f x + ), x, ha < x, ±, ±,...). Ábrázolju az f x) függvényt, és határozzu meg a Fourier-sorát! y x 4 5 A részletes számításo nélül özöljü az eredményeet. Az a együttható: a a n cos n n { n, ha n páros, ha n páratlan 4

25 A b együttható: b n n cos n) { n n, ha n páros, ha n páratlan A Fourier-sor: f x) 4 cos x + sin x sin x 9 cos x + sinx... { x, ha x < 5) Legyen f x) és f x) f x + ), x, ha x <, ±, ±,...). Ábrázolju az f x) függvényt, és határozzu meg a Fourier-sorát! y x 4 5 Az együttható: a { a n 4 n, ha n páratlan, ha n páros b n { 4 n, ha n páratlan, ha n páros. A Fourier-sor: f x) 4 4 cos x + sin x 9 cos x + 4 sin x ) Legyen f x) x, ha x ],] és f x) f x + ),, ±, ±,...). Írju fel a Fourier-sorát! 5

26 A függvény páros, tehát b n. a { 4 n, ha n páratlan a n, ha n páros. A Fourier-sor: f x) + 4 ) n cos nx. n {, ha < x 7) Legyen f x) és f x) f x + ), x, ha < x, ±, ±,...). Írju fel a Fourier-sorát! A Fourier-sor: f x) cos x + n a a n ) n { n n, ha n páros b n n 4 n, ha n páratlan. 8) Legyen f x) sin x. Írju fel a Fourier-sorát! 4 ) sin x + 4 cos x sin x +... y x 6

27 A sinx páros függvény, tehát b. Az a együttható: a a sin x dx sinx cos xdx { cos + ) A -gal jelölt egyenlőség részletesen: sin x cos }{{ x } sin x [ sin x sinx ] dx sinx sinxdx [cos x] sinxcos xdx, ha páratlan 4 ) sinx cos x cos x +, ha páros sin x cos x dx }{{ } cos x [ ] sin xcos xdx. Az első és utolsó ifejezés egy egyenletet alot, amiből átrendezéssel meghatározható a -gal jelölt egyenlőségben a határozott integrál: ) Vagyis a Fourier-sor: sinxcos xdx [ sin x sinx ] cos x cos + ) + cos x. sin x 4 cos x 4. { sinx, ha x < 9) Legyen f x) és f x) f x + ),, ha x <, ±, ±,...). Írju fel a Fourier-sorát! Az a együttható: a f x) dx sin xdx [cos x]. Az a együttható meghatározásához felhasználju az előző feladat -os átalaítását: a sinx cos xdx cos + ) { 7 sin xcos xdx, ha páratlan ), ha páros..

28 A b együtthatóat hasonlóan fogju meghatározni, azzal a ülönbséggel, hogy a határozott integrálra felírt egyenletnél az átrendezésnél iötéssel ell, hogy éljün: b f x)sin xdx A sin xsin x primitív függvénye: sin x sin }{{ x } dx sinx cos x [ ] ) cos x + ) cos x sinx + cos x sinx + sinxsin xdx. cos x cos x dx }{{ } sin x [ ] sinxsin xdx. Innen átrendezéssel ): ) cos x sin xsin xdx sin x + cos x sinx. Ebből a határozott integrállal a b együttható ): b sinxsin xdx [ cos xsin x sin xcos x) ]. Ha, aor a b egyszerűbb, és ráadásul nem, vagyis ez egy lényeges iötés volt: b sin xdx Tehát a Fourier-sor: cos x dx f x) + sin x + [ ] x sin x 4. cos x 4. ) Legyen f x) sin x. Határozzu meg a Fourier-sorát! A függvény páros, tehát b. Az a az előző feladat alapján: Az a együttható: a sin xdx a sin xcos xdx 8 sin xdx.

29 sin xcos xdx cos x cos xdx cos xdx cos xcos xdx [ ] sinx }{{} cos xcos xdx. Az eredményben szereplő határozott integrált hasonlóan határozzu meg, mint az előző ét feladatban: cos x cos }{{ x } dx sin x [ ] sin x sinx }{{} dx cos x [ ] [ cos x sinx ] } {{ } [ sinx + sin x sinx dx ] cos x }{{} + 4 cos xcos xdx. Az első és utolsó ifejezést egyenlővé téve és átrendezve a iötéssel élve az alábbi egyenletet apju: 4 ) Innen az övetezi, hogy esetén Ha azonban, aor az együttható: a cos xdx. cos xcos xdx. cos xcos xdx, vagyis a. + cos 4x dx [ ] x sin 4x + 8 Összefoglalva: a, a, a, a,..., a. A Fourier-sor: f x) sin x cos x, vagyis a sor egy véges trigonometrius polinom. ) Legyen f x) sin xcos x. Határozzu meg a Fourier-sorát! Az f x) függvény páros, ezért b. Az a együttható: a sin xcos xdx 9 sin cos xdx 4,

30 ugyanis sin xcos xdx [ ] sin x 4 4 cos x Az a együttható: a cos xdx [ sinx + cos 4x) dx x 4 4 sin xcos xcos xdx cos x. Először egy átalaítást végzün el az intergrandusban: sin cos x xcos x cos x 4 Ezzel az eredeti ifejezés: a cos x cos x cos x cos 4x. 4 I dx cos xcos xdx }{{}, ha, ha dx ] sin 4x 6 cos x sin } xcos {{ xcos x } dx I cos xdx } {{ } sin x [ ] cos x +cos 4x dx cos 4xcos xdx. }{{}, ha 4, ha 4 Tehát a 4, a, a, a, a 4 4, a 5, a 6,..., a. Vagyis a Fourier-sor a véges trigonometrius polinom. sin xcos x 4 + cos x cos 4x 4 ) Legyen f x) sin 4x. Határozzu meg a Fourier-sorát! A függvény páros, tehát b. Az a együttható: a sin 4 xdx [ sin x ] ) cos x dx dx 4 cos x + cos x ) dx 4 [x sin x] [x sin x] + [ x 8 ] + [ ] sin4x cos 4x dx

31 A többi a iszámításához az alábbi átalaítást használju fel: ) cos x +cos 4x sin 4 cos x + x 4 8 cos x + cos 4x. 8 Ezzel az a együttható: a sin 4 xcos xdx 8 [x] cos xcos xdx+ cos 4xcos xdx, 8 }{{}}{{}, ha, ha, ha 4 8, ha 4 ahonnan a 8, a, a, a, a 4 8, a 5, a 6,..., a. A Fourier-sor a véges trigonometrius polinom. sin 4 x 8 cos x + cos 4x 8 ) Legyen f x) e x, ha < x és f x + ) f x),, ± ±,...). Állítsu elő a Fourier-sorát! ugyanis a a e x dx [ex ] e x cos xdx e e x x sin x cos xdx e x sin x x cos x e + e e ) +, e x sinxdx e x cos xdx. Innen az eredeti integrál meghatározható átrendezéssel, azaz a övetező egyenlet megoldását ell visszaírnun az a -ra felírt ifejezésbe: + ) { } sinx e x cos xdx e x cos x +, ahonnan övetezi, hogy e x cos xdx e + [ e x + + { sinx + ) }] cos x e + ) a.

32 A b együttható: b e x sinxdx. Az integrál primitív függvényét ismét egy egyenlet felírásával apju meg: e x x cos x sin xdx e + e x cos xdx x cos x e + e x sinx e x sin xdx, ahonnan az egyenlet: + e x x cos x x sin x sinxdx e + e, vagyis az együttható: b A Fourier-sor pedig: [ e ] x sin x cos x) + + e x e e [ ] + cos x sin x + +. Nem, hanem l szerint periodius függvénye Fourier-sorba fejtése: 4) Legyen f x) x, ha < x, és f x + ) f x), Z. Állítsu elő a Fourier-sorát! A periódus: l. Eze szerint az együttható: a l a l b l l l l f x) dx f x)cos x l f x)sin x l [ x xdx dx dx ], xcos xdx, ). xsin xdx,

33 ahol felhasználtu az alábbi integráloat: [ xcos xdx x sinx ] }{{} [ cos x ) ] [ ] cos x xsinxdx x [ ] + sin x ) }{{} sin x ) cos x. dx dx Innen a Fourier-sor: f x) sinx. 5) Legyen f x) x, ha < x és f x + ) f x), Z. Állítsu elő a Fourier-sorát! A függvény páros, tehát b, a periódus l, azaz l. Az együttható: a x dx [ x x dx ] [ a x cos xdx x sinx sin x x dx }{{} [ ] cos x [ ] cos x ) 4 sin x 4 x ) + 4 dx ) + 4 ) }{{} ] ) 4. A Fourier-sor ezzel: f x) + 4 ) cos x.