Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány"

Átírás

1 Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február

2 Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények A definíciók egyszerű következményei Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek Alapintegrálok Alapintegrálokra vezető típusok Integrálás ügyesen Parciális integrálás Integrálás helyettesítéssel Racionális függvények integrálása Racionális függvények integrálására vezető helyettesítések A határozott integrál A határozott integrál kiszámítása A határozott integrál alkalmazásai Improprius integrálok II. Megoldások. A határozatlan integrál (primitív függvények A definíciók egyszerű következményei Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek Alapintegrálok Alapintegrálokra vezető típusok Integrálás ügyesen Parciális integrálás Integrálás helyettesítéssel Racionális függvények integrálása Racionális függvények integrálására vezető helyettesítések

3 Tartalomjegyzék. A határozott integrál A határozott integrál kiszámítása A határozott integrál alkalmazásai

4 4 Tartalomjegyzék

5 I. rész Feladatok 5

6

7 . A határozatlan integrál (primitív függvények 7 Jelölések, elnevezések. A határozatlan integrál (primitív függvények Ebben a jegyzetben végig az R számhalmaz valamely I nyílt intervallumán értelmezett, valós értékű függvényeket fogunk csak tekinteni. A f : I R függvénynek F : I R egy primitív függvénye, ha F deriválható az I intervallumon és F ( f( ( I. Nyilvánvaló, hogy ha F a f függvénynek egy primitív függvénye, akkor minden c valós esetén az F ( + c ( I is primitív függvénye f-nek. Mivel intervallumon értelmezett függvényekről van szó, ezért az állítás megfordítása is igaz: f primitív függvényei csak konstansban különböznek egymástól. (Ez az állítás nem igaz, ha f értelmezési tartománya nem intervallum. Az f : I R függvény összes primitív függvényeinek a halmazát f határozatlan integráljának nevezzük és az f vagy az f( d szimbólumok valamelyikével jelöljük. A fentiek alapján tehát f f( d {F + c F egy primitív függvénye f-nek, c R}. A továbbiakban a következő egyszerűsített jelölést fogjuk használni: f( d F ( + c ( I, c R. Ha f-nek F egy primitív függvénye, akkor bármely rögzített I esetén az F ( F ( ( I függvény f-nek egy, az pontban eltűnő primitív függvénye. Nyilvánvaló, hogy f-nek legfeljebb egy, az pontban eltűnő primitív függvénye létezik. Ezt így jelöljük: f vagy f( d.

8 8.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek.. A definíciók egyszerű következményei F. Határozza meg az alábbi függvények összes primitív függvényét: (a f( : ( (, + ; (b f( : ( (, ; (c f( : ( (, π ; (d f( : sin + ( R. F. Határozza meg az f : I R függvény I pontban eltűnő primitív függvényét, ha (a f( : cos ( R, : π 4 ; (b f( : ( R +, : 8. F. Keresse meg azt a f függvényt, amelyre (a f ( ( R+, f(4 ; (b f ( ( >, f( ; + (c f ( ( R, f(, f ( ; (d f ( ( R +, f(, f ( ; (e f ( e + 5 sin ( R, f(, f ( ; (f f ( sin, ( R, f(, f (, f (... Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek... Alapintegrálok F4. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: (6 (a 8 + d, I : R; (c d, I : R + ; ( (b + d, I : R + ; (d ( + d, I : R + ;

9 . A határozatlan integrál (primitív függvények 9 ( 5 (e + d, I : (, ; f f (f cos 5 + cos d, I : ( π, π.... Alapintegrálokra vezető típusok alakú integrálok F5. Mutassa meg, hogy ha f : I R pozitív és differenciálható az I intervallumon, akkor f ( f( d ln f( + c ( I. F6. Az előző feladat segítségével számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: (a d, I : R; + (b d, I : R; (c tg d, I : ( π, π ; (d d (e, I : (, ; ln (f f α f alakú integrálok e d, I : R; e + 5 d, I : (, +. ln F7. Tegyük fel, hogy az f : I R függvény pozitív és differenciálható az I intervallumon és α valós szám. Mutassa meg, hogy f α (f ( d f α+ ( α + + c ( I. F8. Az előző feladat eredményének felhasználásával számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: (a ( +4 d, I : R; (b d, I : R + ;

10 .. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek (c e ( e d, I : R; (d sin cos d, I : R; ln 5 arsh (e d, I : R+ ; (f + d, I : R+ ; (g ( d, I : (, 5 ; 5 (h 4 cos (tg d, I : (, π. f(a + b d alakú integrálok F9. Legyen I R egy intervallum és F : I R a f : I R függvénynek egy primitív függvénye. Mutassa meg, hogy ekkor bármely a R \ {}, b R esetén F (a + b f(a + b d + c ( I. a F. Az előző feladat eredményének felhasználásával számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat: (a ( d ( > ; (b ( d < ; ( (c d ( R; (d + d > ; (e ( d < ; (f ( d >. F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat: d d (a ( R; (b d (c ( R; + + (d d ( 5 < < ( R;

11 . A határozatlan integrál (primitív függvények f ( g( g ( d alakú integrálok F. Az első helyettesítési szabály: Tegyük fel a következőket: (i a g : I R függvény deriválható az I intervallumon, (ii J R egy intervallum és R g J, (iii az f : J R függvénynek létezik primitív függvénye. Ekkor az f g g függvénynek is létezik primitív függvénye és f ( g( g ( d F ( g( + c ( J, ahol F a f egy primitív függvénye. (Ez az állítás speciális esetként tartalmazza az F5., F7. és F9. feladatokat! F. Az előző feladat segítségével számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: sh (a sin d, I : R; (b d, I : R + ; (c (6 + sin( + d, I : R; (d ( + ln d, I : R+ ; (e cos + tg d, I : ( π, π ; e tg (f cos d, I : ( π, π.... Integrálás ügyesen F4. Az integrandus alkalmas átalakítása után számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat a megadott I intervallumokon: + (a d, I : R; (b d, I : (, + ; + (c d, I : R; (d d, I : R; 4

12 .. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek (e tg d, I : ( π, π ; (f tg d, I : ( π, π ; (g sin d, I : R; (h cos d, I : R; (i (k (m sin cos 7 d, I : R; (j d, I : (, π; (l sin sin cos d, I : R; (n..4. Parciális integrálás cos cos d, I : R; cos d, I : ( π, π ; sin cos 4 d, I : R. F5. Parciális integrálás: Tegyük fel, hogy az f és a g függvények deriválhatók az I intervallumon és f g-nek van primitív függvénye. Ekkor az fg függvénynek is van primitív függvénye és f(g ( d f(g( f (g( d ( I. Ezt a módszert a következő esetek mindegyikében lehet alkalmazni:. típus: Ha P ( tetszőleges algebrai polinom, akkor e α sin α P ( cos α d; sh α ch α legyen f( : P (.. típus: sin β e α cos β d; sh β ch β itt f( bármelyik tényező lehet.

13 . A határozatlan integrál (primitív függvények. típus: ln α arc sin α arc cos α arc tg α arc ctg α d; itt f( valamelyik függvény és g (. ar sh α ar ch α ar th α ar cth α Parciális integrálást a fentiektől különböző esetekben is lehet alkalmazni (lásd például az (i és az (l feladatokat. F6. A parciális integrálás szabályát alkalmazva számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat: (a e d, I : R; (b sin d, I : R; (c e sin d, I : R; (d e ch d, I : R; (e (f cos( + e + d, I : R; ln d, I : R + ; (g arc tg d, I : R; (h ln d, I : R + ; (i 5 e d, I : R; (j ln d, I : R + ; (k arc sin d, I : (, ; (l cos(ln d, I : R +.

14 4.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek..5. Integrálás helyettesítéssel F7. A második helyettesítési szabály: Tegyük fel a következőket: (i I és J nyílt intervallumok, (ii g : I J egy bijekció (g-nek tehát van inverze és g D(I, (iii f : J R és az (f g g függvénynek létezik primitív függvénye az I intervallumon. Ekkor az f függvénynek is létezik primitív függvénye a J intervallumon és f( d f ( g(t g (t dt tg ( ( J. (Ilyenkor azt mondjuk, hogy az g(t helyettesítést alkalmazzuk. F8. Állítsa elő helyettesítéses integrálással a következő határozatlan integrálokat: (a d ( (, ; (b + d ( R; (c d ( > ; (d + d ( R...6. Racionális függvények integrálása Racionális függvénynek nevezzük két polinom hányadosát, azaz az R( : P ( Q( alakú függvényeket, ahol P és Q algebrai polinomok. A négy alaptípus integrálása Először azt jegyezzék meg, hogy az alábbi négy típusú racionális függvény primitív függvényét hogyan lehet meghatározni.. alaptípus: ( α n d ( (α, +,

15 . A határozatlan integrál (primitív függvények 5 ahol α R és n N adott számok. Ez egy alapintegrál: ln( α + c, ha n ( α d n ( α n+ + c, ha n,,.... n +. alaptípus: a + b a + b + c d ( I, ahol I egy olyan intervallum, amelyen a + b + c >, azaz a számlálóban a nevező deriváltja szerepel; az integrandus tehát f f Ennek már tudjuk a primitív függvényét: a + b a + b + c d ln(a + b + c + C ( I. alakú.. alaptípus: A + B a + b + c d, ahol A, B R, b 4ac < és R. (A nevezőben levő másodfokú polinomnak nincs valós gyöke, ezért az integrandus az egész R-en értelmezve van. A számláló tehát egy tetszőleges elsőfokú polinom, a nevező pedig olyan másodfokú polinom, aminek nincs valós gyöke. Ezt már nehezebb meghatározni. A mindig alkalmazható eljárást a (d feladatban mutatjuk be. 4. alaptípus: A + B (a + b + c n d, ahol A, B R, n,,..., b 4ac < és R. (A nevezőben levő másodfokú polinomnak nincs valós gyöke, ezért az integrandus az egész R-en értelmezve van. Ekkor léteznek olyan A, B, D, E valós számok, amelyekre A + B (a + b + c n d A + B (a + b + c n + D (a + b + c n d + E.

16 6.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek Az integrandus nevezőjében levő kitevőt tehát -gyel csökkentettük. A jobb oldal középső tagjára is egy hasonló formula érvényes. Ezt az eljárást folytatva egy olyan összeget kapunk, amelyiknek az egyik tagja C a + b + c d, az összes többi tag pedig racionális függvény. F9. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat a megadott intervallumokon: (a d, > ; (b d, < ; + + (c d, I : R; (d d, I : R; (e d, I : R; (f d, I : R; (g d, I : R. + 7 F. Igazolja, hogy tetszőleges n,,... esetén d ( + n+ n ( + + n n n Határozza meg az f( : Parciális törtekre bontás módszere ( + n d. ( R függvény primitív függvényét. ( + Tetszőleges R( P ( racionális függvény primitív függvényének meghatározását az a fontos észrevétel teszi lehetővé, hogy minden ilyen tört egyszerű alakú Q( törtek (az ún. parciális törtek összegére bontható. Ennek az eljárásnak az egyes lépései a következők:. lépés: A P ( törtet egy polinomnak és egy olyan racionális törtnek az összegeként Q( írjuk fel, amelyben a számláló fokszáma már kisebb, mint a nevező fokszáma: P ( Q( T ( + P ( Q(,

17 . A határozatlan integrál (primitív függvények 7 ahol T ( és P ( polinomok, de P ( fokszáma kisebb, mint Q( fokszáma. Ezt sok esetben egyszerű átalakításokkal, az általános esetben pedig polinomosztással végezhetjük el. Például: ; (az ( + 5( alapján lépés: Itt már feltesszük, hogy a P ( törtben a P ( fokszáma kisebb, mint Q( Q( fokszáma. A nevezőben levő Q( polinomot (ameddig csak tudjuk valós együtthatós polinomok szorzatára bontjuk. Például: Q( ( ( 4; Q( ( ( + + ; Q( ( + ; Q( ( ( + ( 5; Q( 4 ( ( + ( +. Figyeljük meg, hogy a felbontásban elsőfokú tényezők, illetve olyan másodfokú tényezők szerepelnek, amelyeknek nincsenek valós gyökei. Általában is bizonyítható, hogy minden Q( valós együtthatós polinomot fel lehet írni valós együtthatós első- és másodfokú tényezők szorzataként, ahol a másodfokú tényezőknek már nincsenek valós gyökeik. (Adott Q( polinom esetén egy ilyen felbontás meghatározása nem mindig egyszerű feladat!!!. lépés: a parciális törtekre bontás. A nevezőtől függően keressük az egyszerű alakú törteket mégpedig határozatlan együtthatókkal.

18 8.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek Például: ( ( 4 A + A 4 ; + ( ( + + A + B + C + + ; 4 8 ( ( + A + A ( + B + C + B + C + ( +. Itt vegyék észre, hogy az elsőfokú tényezők esetén a számlálóban egy állandót, a másodfokú tényezők esetén pedig a számlálóban egy elsőfokú polinomot kell venni. Általában: Ha a nevezőben szereplő Q( polinomban az ( r elsőfokú tényező az m-edik hatványon szerepel, akkor ehhez a tényezőhöz A r + A ( r + + A m ( r m alakú törtek tartoznak. Ha a nevezőben szereplő Q( polinomban a ( + p + q másodfokú tényező (ez tehát már egy olyan polinom, aminek nincs valós gyöke, mert a p 4q diszkriminánsa negatív az n-edik hatványon szerepel, akkor ehhez a tényezőhöz B + C + p + q + B + C ( + p + q + + B n + C n ( + p + q n alakú törtek tartoznak. Az R( P ( racionális tört az ilyen parciális törtek összege. Q( Az A i, B i, C i együtthatók meghatározására egy természetes módszer kínálkozik: a jobb oldalon hozzunk közös nevezőre, majd a számlálót hatványai szerint rendezzük. Az így adódó tört számlálója egyenlő a bal oldalon levő tört számlálójával. Tudjuk már azt, hogy két polinom akkor és csak akkor egyenlő, ha a megfelelő együtthatói megegyeznek. A két oldal számlálójában az együtthatók egyenlőségéből a határozatlan együtthatókra egy egyenletrenszert kapunk. Ennek megoldásai a keresett A i, B i, C i együtthatók.

19 . A határozatlan integrál (primitív függvények 9 F. Parciális törtekre bontással számítsa ki a következő határozatlan integrálokat a megadott intervallumokon: (a d, I : (, 4; ( ( 4 (b d, I : (, ; (c d, I : (, + ; R (, n (d d, ( > ; 6 + (e (f ( + 4 d, I : R+ ; (g 4 + (h d, > ; (i ( 4 4 (j 5 + d, I : R+ ; (k d, R; (l ( + (m d, R. ( d, ( > ; d, ( > ; d, > ; ( + 4 d, R; Racionális függvények integrálására vezető helyettesítések a+b c+d d alakú integrálok, ahol R(u, v kétváltozós polinomok hányadosa. Ezekben a gyökös kifejezést egy új változóval helyettesítve racionális törtfüggvény integrálására jutunk. Pontosabban: legyen t : n a + b c + d. A g(t helyettesítő függvényt úgy kapjuk meg, hogy ebből az -et kifejezzük, majd a második helyettesítési szabályt alkalmazzuk.

20 .. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek F. Alkalmas helyettesítéssel vezesse vissza az alábbi integrálokat racionális függvények integráljára: (a + d ( > ; (b + d ( > ; (c d ( > ; (d d ( < ; (e 5 + d ( > ; 5 (f d ( > ; (g d ( >. + R (sin, cos d alakú integrálok, ahol R(u, v kétváltozós polinomok hányadosa. Ebben az esetben a t tg helyettesítést, azaz az arc tg t : g(t helyettesítő függvényt alkalmazzuk, és felhasználjuk az alábbi azonosságokat: sin sin cos sin + cos cos cos sin sin + cos tg + tg tg + tg t + t, t + t. Mivel g (t (t R, + t ezért a g függvény szigorúan monoton növekedő, van tehát inverze és az a t g ( tg ( ( π, π függvény. F. Alkalmas helyettesítéssel számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat úgy, hogy visszavezeti racionális függvények integráljára: (a d ( < < π; sin (b cos d ( π < < π;

21 . A határozatlan integrál (primitív függvények (c + sin + cos d ( π < < π; cos (d d ( π < < π; + cos + sin (e d ( < < π; cos (f + tg d ( < < π; (g d ( R; 5 + cos (h d ( R; ( sin ( sin cos (i d ( < < π. + cos S (e d alakú integrálok, ahol S(u egyváltozós polinomok hányadosa. Ebben az esetben a t e helyettesítést, azaz az ln t : g(t helyettesítő függvényt alkalmazzuk. Mivel g (t >, ha t >, tehát g szigorúan növekedő, ezért van inverze és az a t t e g ( ( > függvény. F4. Alkalmas helyettesítéssel számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat úgy, hogy visszavezeti racionális függvények integráljára: 4 (a d ( > ln ; e 4 (b e d ( R; e + e + 4 (c d ( R. e + 4e +

22 . A határozott integrál. A határozott integrál.. A határozott integrál kiszámítása F5. A Newton Leibniz-tétel felhasználásával számítsa ki az alábbi határozott integrálokat: (a (c (e (g 5 4 π 5 Síkidom terülte d ; d + ; e sin d; d + + ; e (b sin(ln d; (d d ; (f (h e ln ln d; e d... A határozott integrál alkalmazásai Ha a korlátos f : [a, b] R függvény Riemann-integrálható az [a, b] intervallumon és f( ( [a, b], akkor az f grafikonja alatti síkidom területét így értelmezzük: A : {(, y R a b, y f(} t(a : Ha f az [a, b] intervallumon, akkor a b a f( d. B : {(, y R a b, f( y } síkidom területe: t(b : b a f( d.

23 .. A határozott integrál alkalmazásai F6. Határozza meg az R sugarú kör területét. F7. Határozza meg az R és a függvények grafikonjai által közrezárt síkidom területét. F8. Számolja ki az y egyenletű egyenes és a az y + 6 egyenletű parabola által közrezárt síkidom területét. F9. Határozza meg az y 4 és az y 4 görbék által meghatározott síkidom területét. F. Határozza meg az y 4 és az y görbék által meghatározott síkidom területét. F. Számítsa ki az alábbi síkbeli halmazok területét: (a {(, y R 4, y 4 }; (b {(, y R e, Síkbeli görbe ívhossza y ln }. Legyen Γ az f : [a, b] R folytonosan differenciálható függvény grafikonja. Ekkor a Γ görbe rektifikálható, és ívhossza: b l(γ + [ f (t ] dt. F. Számítsa ki az R sugarú kör kerületét. F. Határozza meg az alábbi függvények grafikonjának a hosszát: (a f( ( ; (b f( / ( 4; ( / (c f( ( 5; (d f( ln ( cos ( π. Forgástest térfogata a Legyen f : [a, b] R folytonos függvény és tegyük fel, hogy f az [a, b] intervallumon. Az f grafikonjának az -tengely körüli forgatásával adódó H : {(, y, z R a b, y + z f(}

24 4. A határozott integrál forgástest térfogata: V (H : π b a f ( d. F4. Számítsa ki az R sugarú gömb térfogatát. F5. Határozza meg az f : [a, b] R függvény grafikonjának az -tengely körüli megforgatásával adódó forgástest térfogatát: (a f( : ( [, ]; 4 Forgástest felszíne (b f( : sin ( [, π]; (c f( : sin ( [, π]; (d f( : e ( [, ]. Legyen f : [a, b] R egy folytonosan differenciálható függvény és tegyük fel, hogy f az [a, b] intervallumon. Az f grafikonjának az -tengely körüli forgatásával adódó H : {(, y, z R a b, y + z f(} forgásfelület felszíne: F (H : π b a f( + [ f ( ] d. F6. Számítsa ki az R sugarú gömb felszínét. F7. Határozza meg az f : [a, b] R függvény grafikonjának az -tengely körüli megforgatásával adódó forgástest felszínét: (a f( : ( [, 4]; (b f( : ( [, ]; (c f( : ( [, ]; (d f( : sin ( [, π].

25 .. Improprius integrálok 5.. Improprius integrálok D. Tegyük fel, hogy az f függvény Riemann-integrálható a tetszőleges (a, b R intervallum (a lehet és b lehet + is minden kompakt [α, β] (a, b részintervallumán, és legyen c (a, b egy tetszőleges, de rögzített pont. Az f függvényt impropriusan integrálhatónak nevezzük az (a, b intervallumon (vagy azt mondjuk, hogy f improprius integrálja konvergens (a, b-n, ha léteznek és végesek az alábbi határértékek: lim t a+ c t f( d és lim s b s és f improprius integrálján ezek összegét értjük: b a f( d : lim t a+ c t f( d + lim s b c f( d, s c f( d. T. Ha f impropriusan integrálható az (a, b intervallumon, akkor az improprius integráljának az értéke független a definíciójában szereplő c (a, b pont megválasztásától. T. Tegyük fel, hogy a korlátos f függvény Riemann-integrálható a kompakt [a, b] R intervallumon. Ekkor f impropriusan is integrálható (a, b-n és ezen az intervallumon az improprius integrálja megegyezik az f függvény [a, b]-n vett Riemann-integráljával. F8. Vizsgálja meg az alábbi improprius integrálok konvergenciáját. Ha konvergens, akkor határozza meg az értékét: (a (c (e + + d (α R, (b α d (α R, (d α + d, (f d (α R, α + d, d. F9. Döntse el, hogy az alábbi improprius integrálok közül melyek a konvergensek. A konvergensek esetén számolja ki az integrál értékét.

26 6. A határozott integrál (a (c (e (g + e d, ln, d, ln d, F4. Mutassa meg, hogy + ( ( + d. ( + + (b (d (f e d, ln d, d 4 5. ln p d (p R, b F4. Mutassa meg, hogy a lim d határérték létezik és véges, de a b + b d improprius integrál divergens. (Emlékeztetőül: a + f(d improprius integrált akkor mondjuk konvergensnek, ha a f(d és + f(d improprius integrálok mindegyike konvergens, és ebben az esetben + f(d : f(d + + f(d. T. Az összehasonlító kritérium: Legyen (a, b R (ahol lehet a és lehet b +, és tegyük fel, hogy f is és g is Riemann-integrálható (a, b-nek minden kompakt részintervallumán, továbbá f( g( ( (a, b. Ha az b g( d improprius integrál konvergens, akkor az b f( d improprius integrál is konvergens (majoránskritérium. a a Ha az b f( d improprius integrál divergens, akkor az b g( d improprius integrál is divergens ( a a minoránskritérium.

27 .. Improprius integrálok 7 F4. Döntse el, hogy az alábbi improprius integrálok konvergensek-e: (a (c (e + e d , (b cos + d, D. Akkor mondjuk, hogy az f( d improprius integrál abszolút konvergens, ha az b a d, (d b a (f + + d , + d, 5 + d. f( d improprius integrál konvergens. T4. Ha az is. b a f( d improprius integrál abszolút konvergens, akkor konvergens F4. Mutassa meg, hogy az alábbi improprius integrálok konvergensek: (a cos d, F44. Bizonyítsa be, hogy (a + sin (b d konvergens, (b + + sin d. sin d divergens. T5. Tegyük fel, hogy az f : [, + R + függvény folytonos, monoton csökkenő. Mutassa meg, hogy a n f(n számsor konvergens vagy divergens aszerint, hogy az + f( d improprius integrál konvergens vagy divergens. A tétel érvényben marad abban az esetben is, amikor f a fenti tulajdonságokkal a [k, + intervallumon (k N rendelkezik. Ebben az esetben + f(n, illetve f( d helyébe + f(n, illetve f( d értendő. nk n k

28 8. A határozott integrál F45. Az előző tétel felhasználásával vizsgálja meg konvergencia szempontjából az alábbi számsorokat: (a n (α R; (b α n ln n. n n F46. A valószínűségszámításban a λ > paraméterű eponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye így van definiálva: f λ ( : λe λ ( [, +. Néhány λ > paraméter esetén szemléltesse az f λ függvényt, és mutassa meg, hogy az f grafikonja alatti terület a [, + intervallumon minden λ > esetén -gyel egyenlő, azaz + f λ (d minden λ > számra. F47. Számítsa ki a következő integrálokat: (a (b + + λe λ d; ( /λ λe λ d (λ > paraméter. F48. Milyen a, b R esetén lesz + f(d, ha (a f( : e a ( R; { e a b, ha [, + (b f( :, ha (,. F49. Mutassa meg, hogy + e a minden a (, + paraméterre.

29 .. Improprius integrálok 9 F5. A statisztikában és a valószínűségszámításban fontos szerepet játszó Gaussféle haranggörbét így definiálják: f( : e ( R. (Ez a függvény az ún. standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye. Szemléltesse a függvény grafikonját. Mutassa meg, hogy a + / e d improprius integrál konvergens. Jegyezze meg, hogy A + Φ( : π e d π. e t dt ( R függvényt valószínűségintegrálnak, illetve Gauss-hibaintegrálnak nevezik. F5. Legyen µ tetszőleges valós és σ pozitív valós paraméter, és tekintse az f( : σ ( µ π e σ függvényt. Mutassa meg, hogy + (a f(d (használja fel, hogy (b (c + + f(d µ; f(d σ + µ. + ( R, e d π; F5. (a Bizonyítsa be, hogy minden > valós számra az + t e t dt improprius integrál konvergens. A Γ( : + függvényt gammafüggvénynek nevezzük. t e t dt ( R + (b Igazolja, hogy (i Γ( + Γ( ( R +, (ii ha n,,,..., akkor Γ(n + n!.

30 . A határozott integrál

31 II. rész Megoldások

32

33 . A határozatlan integrál (primitív függvények. A határozatlan integrál (primitív függvények.. A definíciók egyszerű következményei M. (a d ln( + c ( (, + ; (b d ln( + c ( (, ; (c sin d ctg + c ( (, π; (d d arctg + c ( R. + M. (a cos d sin + c és sin π + c c 4 cos d sin ( R; 4 π (b d + c és 8 + c c 6; d 6 ( >. 8 M. (a f ( d f( + c és f(4 4 + c + c c, azaz f( ( > ; (b f ( + d f( ln ( + + c és f( + ln ( + + c + c c, azaz f( ln ( + + ( >. ;

34 4.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek (c f ( d f ( + c és f ( + c c és f ( + ( + d f( + + c és f( c c és f( + ( R. 6 (d f ( d f ( + c és f ( + c c és f ( + ( + d f( ln + + c és f( ln + + c c és f( ln + ( >. (e f ( e + 5 sin (e + 5 sin d f ( e 5 cos + c és f ( e 5 cos + c c 4 és f ( e 5 cos + 4 (e 5 cos + 4 d f( e 5 sin c és f( e 5 sin c c és f( e 5 sin + 4 ( R. (f f ( sin sin d f ( cos + c és f ( cos + c c és f ( cos + ( cos d f ( sin + c és f ( sin + c c és f ( sin + ( sin + d f( + cos + + c és f( + cos + + c c és f( + cos + ( R.

35 . A határozatlan integrál (primitív függvények 5.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek... Alapintegrálok M4. (a (6 8 + d c ( R; ( (b + d c ( > ; 4 (c d 7 8 d c ( > ; 8 ( + (d d + + d (e c ( > ; 5 ( 5 + d d arc sin + c ( <. d f f... Alapintegrálokra vezető típusok alakú integrálok M5. Az f függvény egy primitív függvénye ln f, mert ( ln f f. Mivel f f f f intervallumon értelmezett, ezért minden primitív függvénye ln f-től egy konstansban különbözik. M6. (a + d + d ln ( + + c ( R; (b d d ln( c ( R; sin sin (c tg d cos d cos d ln(cos + c ( < π; e (d e + 5 d e e + 5 d ln(e c ( R;

36 6.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek (e ha (,, akkor ln <, ezért d ln d ln( ln + c ( (, ; ln d (f ln d ln ln( + c ( >. ln f α f alakú integrálok M7. M5-höz hasonlóan. M8. (a ( + 4 d 6 ( (b ( c ( R; d 8 (6 + 4 d 8 (c (d (e (f ( c ( > ; 8 e ( e d, ( e ( e d ( e 4 4 sin cos d sin4 + c ( R; 4 ln 5 d ln5 d ln6 + c ( > ; 6 ar sh + d, 4 ar sh ar sh d + + c ar sh + c ( > ; (g ( d (4 + 7 ( d c < 5/; (h cos (tg d cos (tg d + c ( R; tg +c ( (, π.

37 . A határozatlan integrál (primitív függvények 7 f(a + b d alakú integrálok M9. M5-höz hasonlóan. M. (a ( d (b d ( (+ ( + + c ( ( d ( 4 4 ( + c ( c ( < ; (c + d + d (d (e (f arctg d + c ( R; d arth + c ( > /; d ( + c ( > ; ( d + ( d d ( arc sin + c ( < /; d ( ar ch ( d + c ( > /.

38 8.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek M. (a d d 5 ( 5 + d 5 5 arctg ( ( + c ( R; 5 5 d (b ( d 4 (c (d [ ( + 4 ] + d [ ( + 8 ] + d [ 5 ( ] [ ( 5 ] + ( + 5 d d ( d d arctg ( + + c ( R; ( d d arsh ( 8 (+ +c ( R; ( + 5 d d arc sin ( 5 ( + c ( 5 < < + 5. f ( g( g ( d alakú integrálok M. M5-höz hasonlóan. M. (a sin d sin cos d + c ( R; sh (b d sh d ch + c ( > ; (c (6 + sin( + d cos( + + c ( R;

39 . A határozatlan integrál (primitív függvények 9 (d ( + ln d d arc tg(ln + c ( > ; + (ln (e d ar sh(tg + c ( < π/; cos + tg (f M4. (a e tg cos d cos etg d e tg + c ( < π/.... Integrálás ügyesen + d + d + ( + d arctg( + c ( R; ( (b d d + 7 d d + 7 d + 7 ln( + c ( > ; (c 4 + d ( ( arc tg + c ( R; 4 (d + d [( + ] + d ( + + d + d ( + 4 d + d ( ( c ( R; sin sin (e tg d cos d cos d ln cos + c ( < π; sin (f tg cos d cos d ( d cos cos d tg + c ( < π/;

40 4.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek cos cos (g sin d d d d sin + c ( R; 4 (h cos d cos cos d cos ( sin d cos d cos sin d sin sin + c ( R; sin(α + β + sin(α β (i a sin α cos β azonosság alapján sin + sin( 4 sin cos 7 d d sin sin(4 d sin d sin 4 d cos cos 4 + c ( R; 4 cos(α + β + cos(α β (j most a cos α cos β azonosságot alkalmazzuk: cos cos d [cos( + + cos( ] d sin 5 + sin + c ( R; (k sin d sin cos d cos tg sin cos d ln(tg + c ( (, π; cos d (l a cos sin ( + π ( R azonosság, valamint az előző feladat felhasználásával; (m a következő átalakítást lehet használni: sin cos sin cos cos sin ( sin cos cos sin cos sin 4 ;

41 . A határozatlan integrál (primitív függvények 4 (n tekintsük az alábbi azonosságokat: 4 sin ( sin cos 4 4 ( sin cos cos + cos 8 sin ( + 8 cos( sin (...4. Parciális integrálás M5. M5-höz hasonlóan. M6. (a e d (f( f (, g ( e g( e e e (b d e 4 e + c ( R; sin d ( f( f (, g ( sin g( cos + cos d ( f( f (, g ( cos g( cos + [ sin cos (c e sin d ( f( e f ( e, ] sin d + 9 sin + cos + c ( R; 9 e cos + e cos d ( f( e f ( e, cos sin g ( sin g( cos g ( cos g( sin

42 4.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek e cos + e sin e sin d; rendezés után kapjuk, hogy e sin d e cos + e sin + c ( R; (d e ch d parciális integrálással is meghatározható, de egyszerűbb a következő: e ch d e e + e ( e 5 d + e d e5 e + c ( R; (e cos( + e + d ( f( e +, f ( e + ; g sin( + ( cos( +, g( e+ sin( + e + sin( + d ( f( e +, f ( e + ; g cos( + ( sin( +, g( + sin( + e [ e + cos( + e + cos( + d ] + sin( + e + 4 e+ cos( + 9 e + cos( + d, 4 rendezés után azt kapjuk, hogy cos(+e + d e+ sin( + + e + cos( + +c ( R; (f ln d ln d ( g (, g( ; f( ln, f ( ln d ln + c ( > ;

43 . A határozatlan integrál (primitív függvények 4 (g arc tg d arc tg d ( g (, g(, f( arc tg, f ( + ( arc tg + ( d arctg 6 arc tg 6 ln( c ( R; d (h ln d ( g (, g( ; f( ln, f ( ln d ln + c ( > ; 9 (i 5 e d e d (f(, f ( g ( e, g( e ( e e d e ( + c ( R; (j ln d ( g (, g( ; f( ln, f ( ln ln ln d ln ln d ( g (, g( ; f( ln, f ( ln ( ln d ln ln + + c ( > ; 4

44 44.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek (k arc sin d arc sin d ( g (, g( ; f( arc sin, f ( arc sin d arc sin + ( ( d (l arc sin + + c ( < ; cos(ln d cos(ln d ( g ( cos(ln, g( sin(ln ; f(, f ( sin(ln sin(ln d sin(ln + sin(ln d ( g ( sin(ln, g( cos(ln ; f(, f ( sin(ln + cos(ln cos(ln d cos(ln d ( sin(ln + cos(ln + c ( >...5. Integrálás helyettesítéssel M7. M5-höz hasonlóan. M8. Az alábbi összefüggést használjuk: f( d f(g(tg (t dt tg ( Itt f egy I intervallumon adott (pl. folytonos függvény, g : J I pedig egy szigorúan monoton (növekedő vagy csökkenő differenciálható függvény a J intervallumon. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az g(t helyettesítést alkalmazzuk. (Figyeljünk majd a g helyettesítő függvény szigorú monotonitásának az ellenőrzésére! (a Most az sin t : g(t helyettesítést alkalmazzuk. Mivel < <, ezért g-t a ( π, π intervallumon tekintjük. Itt g szigorúan monoton

45 . A határozatlan integrál (primitív függvények 45 növekedő, ezért a fenti képlet alkalmazható: d sin t cos t dt tarc sin ( ( t sin t + + c 4 tarc sin + cos(t cos t dt arc sin dt cos t tarc sin sin(arc sin cos(arc sin + c arc sin (b Itt az + + c ( <. sh t : g(t (t R; g, g (t ch t (t R helyetesítést alkalmazzuk: ch + d + sh t ch t dt t ch t dt tar sh tar sh (ch t sh t, ch (t sh t + ch t ( ch t + dt sh t + t tar sh + c 4 tar sh ( ch t sh t + t + c tar sh ch (ar sh ar sh + + c + + ar sh + c. (c Az d ( > integrál kiszámításához alkalmazza az ch t : g(t (t > helyettesítést.

46 46.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek M9. (a (b (c (d (e..6. Racionális függvények integrálása d ln( + c, ha (, + ; d ln( + c, ha (, ; d d ln( c d ln( ( d ( + + d ln( ( + ] + d [ ln( arctg( + + c + + d ( + + d 4 4 [ arc tg ( + ] + c ( R; ( R; + 5 (f + 5 d d [ d ( + 9 d] [ln ( [ 9 ( ] + d] ln ( arctg [ 9 9 ( ] + c ( R; ( R; [ ] d 4 ( d] [ln ( + 5 +

47 . A határozatlan integrál (primitív függvények (g + 7 d + 7 d [ + 7 d + + ( + 6 d] [ln( ( ] + d] ln( arc tg [ 6 ( ] + c ( R. M. A feladatban megadott rekurzív formula az egyenlőség mindkét oldalának deriválásával igazolható. Az f primitív függvényének kiszámításához először azt jegyezzük meg, hogy az ( R függvény határozatlan integrálja arc tg ( R. A rekurzív + formulát n -re alkalmazva kapjuk az ( R primitív függvényét. (+ Ennek ismeretében ismét a rekurzív formulát felhasználva n -re adódik az ( R primitív függvénye. (+ M. (a Az integrandust parciális törtek összegére bontjuk: ( ( 4 A + B 4 (A + B (4A + B ( ( 4 [ A( 4 + B( ( ( 4 alapján A + B, (4A + B adódik, amiből A, B következik. Ezért (b d ( ( 4 d d + 4 d ln( + ln(4 + c, ha < < 4. ( A ( ( + d + B ( + + d + ( d + ln( + ln( + + c + ln + c, ha (,. d + d

48 48.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek (c Az ln függvény értelmezési tartományára kell figyelni! A számolások az előző feladathoz hasonlók; a változások: d ( d + + d ( d + + d ln( + ln( + + c ln + + c, ha (, +. (d 6 + d ( ( + ( d ( d A + + B d 5 ln( + + ln( + c ha (, +. (e d ( ( + d A ( d ( A ( + d ln( c ha (, +. + (f Az integrandus így bontható fel: ( + 4 A + B + C + 4 A( (B + C ( + 4 (A + B + C + 4A ( + 4

49 . A határozatlan integrál (primitív függvények 49 alapján A + B, C, 4A, azaz A 4, B 4. Ezért ( + 4 d 4 d d 4 ln 8 ln( c, ha >. (g Az + d + ( ( + ( + d ( ln( d + d A + + B + C d + a. alaptípusnak megfelelő törtfüggvény. A primitív függvénye: + d + d + d ln( + 4 ( + 4 d + [ ] d ( ln( + arctg + c ln( + arctg + c ha (, +. Ezért + d ln( + arctg + c ha (, +.

50 5.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek..7. Racionális függvények integrálására vezető helyettesítések M. (a Legyen t. A helyettesítő függvény t : g(t (t >. Mivel g (t t >, ha t >, ezért g szigorúan monoton növekedő, következésképpen a második helyettesítési szabály alkalmazható: + d + t + t t dt dt t + t t ( dt + t t (t ln( + t + c t ln( + + c, ha >. (b t, > ; t : g(t (t > és g (t t (t > miatt g szigorúan monoton növekedő. Így t + d t (t t + t t dt (t + + dt t t + t [ (t + ] dt t + t [ t ] t + ln(t + + c t ln( + + c, ( > (c Tudjuk, hogy a t

51 . A határozatlan integrál (primitív függvények 5 helyettesítés racionális törtfüggvény integrálására vezet. Ha >, akkor nyilván < t <, ami azt jelenti, hogy az t : g(t (t (, helyettesítő függvényt alkalmazzuk. Mivel g (t 6t ( t > ( t (,, ezért g szigorúan monoton növekedő, így a határozatlan integrálokra vonatkozó második helyettesítési szabályunk valóban alkalmazható: t d 6t t ( t dt t. Mivel t 6t t ( t dt t + 4 t ( t dt + ( + dt t + ln t + t 4 ( t( dt + t + t + c, t ezért d + + ln + c ( >. M. (a sin d t +t + t dt ttg t dt ttg (ln t + c ttg ln tg + c, ha < < π. (b...

52 5.. Primitív függvények meghatározására vonatkozó módszerek (c + sin + cos d dt + t + t +t +t ttg + t + t + t dt ttg + t dt ttg (ln(t + + c ttg ln ( tg + + c, ha ( π, π. (d... (e + sin cos d + Most az t(+t t +t +t t t ttg + + t dt ttg t( + t dt ttg törtet parciális törtekre bontjuk: t( + t A t + Bt + C + t alapján C, A, B, tehát t( + t t t + t. Ezért ( ( t + ( t t ttg + t ( t + ln t ln( + t + c ctg + ln (tg t + + t t ( + t dt ttg ( (A + Bt + Ct + A t( + t ttg ( ln + tg + ( (, π.

53 . A határozatlan integrál (primitív függvények 5 M4. (a 4 e 4 d 4 t 4 t dt te (A 4 t + B t + 4 C dt t + te t(t (t + dt te ( t t + 8 dt t + te ( ln t + ln(t + ln(t + + c te + ln( e 4 + c, ha > ln. (b e e + d e + e + 4 ln(e + + c ( R (c e + 4 e + 4e + d t + 4 t + 4t + t dt te (t + 4 t(t + (t + dt te 4 t + t t + dt te 4 ln( e + 6 ln( e + + c ( R

54 54. A határozott integrál M5. (a. A határozott integrál.. A határozott integrál kiszámítása d ha < < 5, ezért 5 d arc sin + c, 9 ( d [ arcsin ] arcsin arcsin π. sin(ln (b d cos(ln + c, ha >, ezért e sin(ln d cos. (c Mivel + d ezért 4 (d Mivel d ezért ( ( ( d d ln + c, ha >, [ + d ln ] 4 ln ln ln 4. d arctg ( + + c, ha R, ( + + [ ] d arctg ( + arctg arctg π.

55 .. A határozott integrál kiszámítása 55 (e Parciális integrálással e sin d adódik, ezért π [ sin cos ] π e sin d e eπ +. sin cos e + c ( R sin π cos π e π (f Parciális integrálással ln d ln + c ( > adódik, ezért e ln d sin cos e [ ] e ln ( e ln e e ( ln. (g Először az integrandus primitív függvényeit határozzuk meg. Alkalmazzuk a t +, 5, t 4 helyettesítést, azaz tekintsük az t : g(t ( t 4 helyettesítő függvényt. A g függvény szigorúan monoton növekedő az [, 4] intervallumon, deriválható és g (t t (t [, 4], ezért a határozatlan integrálokra vonatkozó második helyettesítési szabályt alkalmazhatjuk: d + + (t + t t dt. t + Mivel (t + t t dt t t + t dt t (t (t + dt [ A t + B ] dt t + 5 t dt t + dt 5 ln(t + 4 ln(t + + C, 5

56 56. A határozott integrál ha t [, 4], ezért d + + d 5 ln( ln( C. A Newton Leibniz-tétel alapján tehát 5 d + + d [ln ( ln ( + + ] 5 5 ln. 5 (h Először az integrandus primitív függvényeit határozzuk meg. Most a t e, ln, t helyettesítéssel próbálkozunk, azaz vesszük az ln( + t : g(t ( t helyettesítő függvényt. A g függvény deriválható és g (t t (t [, ], g +t tehát szigorúan monoton növekedő. A határozatlan integrálokra vonatkozó második helyettesítési szabály tehát alkalmazható: e t ( d t + t dt dt t e + t t e ( t arctg t t e arctg e + C. e A Newton Leibniz-tétel alapján tehát ln e d [ e arctg ] ln e π. M6.... M A határozott integrál alkalmazásai

57 .. A határozott integrál kiszámítása 57 M8.... M9.... M.... M.... M.... M. (b Az ívhossz kiszámolásához szükségünk van a deriváltra: Ezért l 4 + [ f ( ] d 4 8 7(. (d Mivel f ( cos l π π f (. ( sin tg, ezért + [ f ( ] π d [ 8 + ( ] 9 d tg d cos + sin π d cos cos d. ( (, π függvény primitív függvényét a már ismert t tg -es Az cos helyettesítéssel számítjuk ki: cos d Ezért l π t +t + t dt ttg t dt ttg ( t + + t dt ttg [ cos d ln + tg tg ( t( + t dt ttg ] π ln ( ln + t t + c ttg +..

58 58. A határozott integrál M4.... M5. (c A sin 4 ( R függvény primitív függvénye: sin 4 d sin ( cos d sin d cos d sin d 4 sin cos 4 d 4 4 sin sin c, 8 4 ezért a keresett térfogat: sin cos d π π f ( d [ sin sin 4 ] π 8 π.

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben

Feladatok matematikából 3. rész

Feladatok matematikából 3. rész Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

Matematikai analízis II.

Matematikai analízis II. Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév) . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Matematika példatár 4.

Matematika példatár 4. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 4 MAT4 modul Integrálszámítás szabályai és módszerei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

KALKULUS II. PÉLDATÁR

KALKULUS II. PÉLDATÁR Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŽ Fazekas István Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR Programozó és programtervez

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 05. április.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az alábbi határozatlan integrált! + sin ch Megoldás: Az integrálandó függvényen belül összeadás illetve kivonás m velete szerepel,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA)

Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA) Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY ANTIDERIVÁLT FOGALMA). Definíció A differenciálszámítás egyik legfontosabb feladata az hogy

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja) Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd

Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 2015 november 30. Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 1 / 12 Az el adás vázlata Területszámítás

Részletesebben

1. Sorozatok 2014.03.12.

1. Sorozatok 2014.03.12. 1. Sorozatok Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza ( jelölése N ), a képhalmaz a valós számok halmaza, sorozatnak nevezzük. Az a függvény n N helyen vett

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény. Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42 Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Eger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet

Eger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tartalomjegyzék Előszó................................. 5. Függvénytani alapismeretek..................... 7. Valós számsorozatok......................... 9 3. Valós számsorok............................

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése

Részletesebben

lim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? 4 4.7. 4.4.? 4.8.?

lim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? 4 4.7. 4.4.? 4.8.? FÜGGVÉNYEK HTÁÉTÉKE Mosóczi ndrás..?..?..?..?..?..?..?.8.? FOLYTONOSSÁG DEFINÍCIÓ. z üggvény olytonos az a helyen értelmezve van az a helyen létezik és véges a tárértéke az a helyen és a a DEFINÍCIÓ. z

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben