KALKULUS II. PÉLDATÁR
|
|
- Ervin Németh
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár
2
3 Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR
4 mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŽ Fazekas István
5 Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR Programozó és programtervez matematikus hallgatóknak mobidiák könyvtár Debreceni Egyetem Informatikai Intézet
6 Lektor Dr. Fazekas István Dr. Losonczi László Copyright c Lajkó Károly, 4 Copyright c elektronikus közlés mobidiák könyvtár, 4 mobidiák könyvtár Debreceni Egyetem Informatikai Intézet 4 Debrecen, Pf. A m egyéni tanulmányozás céljára szabadon letölthet. Minden egyéb felhasználás csak a szerz el zetes írásbeli engedélyével történhet. A m A mobidiák önszervez mobil portál (IKTA, OMFB-7/) és a GNU Iterátor, a legújabb generációs portál szoftver (ITEM, 5/) projektek keretében készült.
7 Tartalomjegyzék I. Integrálszámítás Primitív függvény, határozatlan integrál Riemann-integrál... 5 Gyakorló feladatok II. Vektorterek, Euklideszi terek, metrikus terek Alapfogalmak Az R n euklideszi tér R n és metrikus tér topológiája További lineáris algebrai el ismeretek Gyakorló feladatok III. Sorozatok R k -ban Gyakorló feladatok... 5 IV. Többváltozós és vektorérték függvények folytonossága, határértéke... 7 Gyakorló feladatok... 5 V. A Riemann-integrál általánosítása és alkalmazása Korlátos változású függvények Riemann-Stieltjes integrál.... Görbék, görbementi integrál... 5 Gyakorló feladatok... VI. Többváltozós függvények dierenciálszámítása... Gyakorló feladatok
8
9 I. fejezet Integrálszámítás. Primitív függvény, határozatlan integrál Alapintegrálok.. feladat. Bizonyítsa be a Kalkulus II. jegyzet I. fejezete. paragrafusában az úgynevezett alapintegráloknak nevezett alábbi képleteket (formulákat): a) b) c) d) e) f) g) h) i) d { ln() + C ( > ) ln( ) + C ( < ) µ d µ+ µ + + C ( R +, µ ) a d a + C ( R, a >, a ) ln a sin() d cos() + C ( R) cos() d sin() + C ( R) d arcsin() + C ( (, )) d arctg() + C ( R) + sh() d ch() + C ( R) ch() d sh() + C ( R) 9
10 I. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS j) + d arsh() + C ln( + + ) + C ( R) k) d arch() + C ln( + ) + C ( (, )) l) sin () d ctg() + C k ( (kπ, (k + )π), k Z) m) cos () d tg() + C k ( (kπ π, kπ + π ), k Z) ( n) ) a n n n+ d a n n + + C ( ( ϱ, ϱ)) n n Megoldás. A bizonyítások minden esetben a határozatlan integrál (primitív függvény) denícióján (a F : a, b R dierenciálható függvényt a f : a, b R függvény határozatlan integráljának nevezzük, ha F f teljesül) és az elemi függvények (Kalkulus I. VIII. fejezetében vizsgált) differenciálási szabályainak ismeretén alapulnak. Belátjuk, hogy az a)... n) képletek jobb oldalán szerepl F függvények deriváltjai a baloldali integrálokban szerepl f függvények. a) (ln() + C ), ha >, míg (ln( ) + C ) ( ), ha <, így az F () F () { ln() + C ( > ) ln( ) + C ( < ) függvényre ( ), ami (az integrál deníciója miatt) adja az állítást. b) A F () µ + µ + + C ( R +, µ ) függvényre létezik így igaz az állítás. c) A F () a ln a + C F () µ + (µ + )µ µ R + ra, ( R, a >, a ) függvényre R esetén, ami adja az állítást. d) F () cos() + C ( R)-re F () ( )( sin()) sin() ( R), tehát igaz az állítás. F () ln a a ln a a
11 . PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL e),..., i) az el bbiekhez hasonlóan bizonyítható. j) (arsh() + C) ( R) és + (ln( + ( ) + )) ( R), + ami adja az állítást. k) j)-hez hasonlóan bizonyítjuk. l) és m) is azonnal jön a ctg és tg függvények dierenciálási szabályainak ismeretében. n) A hatványsorok dierenciálására vonatkozó tétel miatt az F () n függvény dierenciálható és F () n s ez adja az állítást. n+ a n + C ( ] ϱ, ϱ [) n + a n n + (n + )n a n n ( ] ϱ, ϱ [), n Alapintegrálokra visszavezethet feladatok.. feladat. Számítsa ki a következ határozatlan integrálokat: ( ) d ; d ; ( ) d ; tg () d ; + d ; + a d ; Megoldás. Használjuk az alapintegrálokat és a Kalkulus II. jegyzet I/. fejezet. tételét (illetve annak általánosítását több függvényre), miután az integrál jele mögötti f függvényekre egyszer azonosságokat használunk.
12 I. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS. ( ) ( R) miatt ( ) d ( ) d 7 d 7 d d 6 d + C C ( R) ; 7 ( ) ( ) + ( ) miatt ( ) ( d ) + d d d + d + C ln() + + C ( > ) ln( ) + + C ( < ). + ( + ) + ( + d ) + d + ( R) miatt d arctg() + C ( R) ; (( ) ) miatt d 7 8 ( ) ( > ) 7 8 d C + d + C C C ( > ).
13 . PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5. tg () sin () cos () cos () cos ( ] () kπ π tg () d cos (), kπ + π [, k Z ) felhasználásával ( ) cos () d cos () d + C tg() + C k ( ] kπ π, kπ + π [, k Z ) a + a + a ( > ) miatt + a ( ) d + a d d + a d + C + a + C + a + C ( > ). Egy egyszer helyettesítés.. feladat. Határozza meg az alábbi integrálokat: cos ( 5) d ; + d ; + 9 d ; d ; d ; (e + e ) d ; Megoldás. Egyszer számolás adja, hogy ha f() d F () + C, akkor f(a+b) d F (a+b)+c. Azaz, ha ismerjük f() határozatlan a integrálját, akkor egyszer en kapjuk az f(a+b) függvény határozatlan integrálját. Az f() cos () ( ] kπ π, kπ + π [ ), k Z függvényre F () tg() (lásd alapintegrálok), így az f( 5) cos ( 5) ( 5 ] kπ π, kπ + π [, k Z)
14 4 I. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS függvény határozatlan integráljára kapjuk, hogy cos ( 5) d tg( 5) + C k ( 5 ] kπ π, kπ + π [, k Z). Tudjuk, hogy + d arsh() + C ( R). Ha -et el állíthatjuk, mint valamilyen (lineáris) transzformáltja, úgy módszerünk alkalmazható De így miatt ( + 9 d + 9 ( ), + ) + d ( ) arsh + C ( R) ( ) d + ( ) arsh + C ( R). ( ( ) ) arsh + C Az ( R) függvényt az f() ( R) függvényb l az ( R) változó transzformációval kapjuk. Másrészt d így d C C ( R), d ( ) C ( ) C ( R).
15 Az. PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL egyenl ség és az Az + + d ( ) ( R) d arctg() + C alapintegrál miatt 6 arctg ( ) d + arctg ( ) + C ( ) + C ( R). ) ( egyenl ség és az a módszer) adja, hogy d arch() + C ) d ( ( ) arch + C arch ( ) ( > ) ( > ) alapintegrál (és + C ( > ).
16 6 I. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS A c) alapintegrál a e választással adja, hogy ezért és e d e + C ( R), e d e + C e + C ( R) ezek szerint (e + e ) d e d e + C ( R), e d + e d + C e e + C ( R). Néhány speciális integrandus.4. feladat. Határozzuk meg az alábbi határozatlan integrálokat: + d ; d ; sin 5 cos d ; tg() d ; sin d ; sin cos d ; d ; e + e d ; Megoldás. Egyszer en belátható, hogy ha f : a, b R dierenciálható, akkor és f α ()f () d f α+ () α + f () f() + C (α ) d ln(f()) + C (f() > ). Továbbá (lásd helyettesítéses integrálás tétele), f : a, b R, g : c, d a, b olyanok, hogy g c, d R és f, akkor létezik (f g)g és c R, hogy (( f(g())g () d ) ) f g () + C Az egyes integrálok ezen tételek valamelyikével számolhatók. f(t)dt tg() + C
17 Az. PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL 7 + d + d ( + ) d ( R) egyenl ség mutatja, hogy f() + -re f (), így α mellett alkalmazható az els formula, ezért Mivel + d ( + ) 4 4 tg sin sin cos cos így f() cos >, ha ezért a második formula szerint: tg d + d ( + ) d + C 4 ( + ) 4 + C ( R). ( ] π + kπ, π + kπ[ ), ] π + kπ, π + kπ [ és f () sin, sin cos d ln(cos()) + C k ( ] π + kπ, π + kπ[ ). Az d d ( ) ( ) d ( ], [ ) egyenl ség mutatja, hogy f() ( ], [ ) esetén létezik f (), így alkalmazható az els formula, ezért: d ( ) ( ) ( ) d + C ( ], [ ). + C
18 8 I. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Hasonlóan, mint korábban: 4 4 d 4 4 ln( ) + C ( ) d ( ) <. ( ) Legyen >, akkor, továbbá sin d cos +C, így a harmadik formula szerint sin d Részletezés nélkül: sin d sin t dt t + C cos + C ( > ). e ( + e + e d ) e d ln( + e ) + C ( R) ; sin 5 () cos() d sin 5 ()(sin()) d sin6 () + C ( R) ; 6 sin cos d cos () sin() d cos () ( sin()) d cos ()(cos()) d cos () + C k cos() + C k ( ] π + kπ, π + kπ, k Z). Helyettesítéses integrálás.5. feladat. Számítsa ki az alábbi integrálokat: d ; + d ; ( + ) d ; d ; ( ) d ; e e + d ;
19 . PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9 Megoldás. Itt most igazi helyettesítésekkel élünk majd, azaz a Kalkulus II. jegyzetben kimondott helyettesítéses integrálás tételét követ megjegyzésben megfogalmazott tételt használjuk: Ha f : a, b R, g : c, d a, b olyanok, hogy g és f, továbbá g, akkor (f g) g és ( ) (( ) ) f() d (f g)g g () + C f(g(t))g (t) dt tg () + C ( c, d ). Ha (f g)g és g ]c, d[-ben, akkor f és ismét érvényes ( ). Hogy milyen helyettesítést válasszunk, arra nincs általános módszer, de vannak jellegzetes típusok (ahogy err l már az elméletben is szóltunk). ( Az d az R d speciális esete, így az elméleti anyagban tett utalás szerint olyan g(t) (t R) helyettesítést alkalmazzunk, melyre g () t ( R), azaz ( t t t (t R) miatt) g(t) t (t R). Ekkor f() ( R), g(t) t -re g : R R és g (t) t (t R), továbbá létezik, n a + b c + d f(g(t))g (t)dt ( t ) t( t ) dt [ t + 6t 6 t 9 ] dt ezért létezik d t t7 7 t ) + C (t R) ; ( t ) t ( t ) dt t + C 4 ( ) ( ) 7 ( ) + C ( R). Hasonló gondolatmenettel az ( + ) d kiszámításánál a g () t ( > ), azaz t g(t) (t > ) helyettesítésnél: f() ( + ) ( > ), g(t) t (t > )-ra g és
20 I. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS g (t) t (t > ), továbbá létezik f(g(t))g (t) dt ( + t t dt )t ezért létezik ( + ) d ( ) d ( ) dt arctg t + C (t > ), + t ( + t )t t dt t + C arctg + C ( > ). d ( < ) miatt (az elmélet egyik példáján felbuzdulva) alkalmazzuk az g(t) sin t, t ] π, [ π helyettesítést. Ekkor g szigorúan monoton növeked, így g : ], [ R, g () arcsin(), g (t) cos t ( t ] π, [ π ), továbbá f() Így létezik ( ) d ( ) f(g(t))g (t) dt cos cos t dt t ] tg t + C, t ( ], [ ) mellett ( ) d tg(arcsin ) + C + C ( < ). π, π cos t dt [. cos t cos t dt tarcsin + C sin(arcsin ) sin (arcsin ) + C Az + d kiszámításánál (de általában, ha R(, + ) d típusú integrál szerepel) eredményt hoz az g(t) sh(t) (t R) helyettesítés. Ekkor a sh függvény szigorú monotonitása miatt g () arsh() ( R) és g (t) ch(t) (t R). Felhasználva a ch (t) sh (t) és ch (t) + ch(t) (t R) azonosságokat a hiperbolikusz függvényekre, kapjuk, hogy
21 . PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL f() + ( R) esetén létezik f(g(t))g (t) dt + sh (t) ch(t) dt + ch(t) ch (t) dt dt dt + ch(t) dt + C t + sh(t) + C (t R). 4 Ezért létezik + d + sh (t) ch(t) dt tarsh() + C arsh() + sh( arsh()) + C 4 arsh() + sh(arsh()) ch(arsh()) + C arsh() C ( R). Az d kiszámításánál, felhasználva, hogy ( d ) d (ha pl. ) és tudva a hiperbolikusz függvények ch (t) sh (t) azonosságát, melyb l sh (t) ch (t) következik, az ch(t) g(t) (t ) helyettesítésben bízunk. Ekkor (mivel a ch függvény szigorúan monoton növeked [, + [-en) g () arch ( ) ( ), g (t) sh(t) (t ) és g (t) (t > ), továbbá f() ( ) mellett létezik f(g(t))g (t) dt ch (t) sh(t) dt sh (t) dt ch(t) dt 4 sh(t) t + C (t ).
22 I. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Ezért (a helyettesítéses integrálás tételének ( ) formulája szerint) létezik ( d ) d ch (t) sh(t) dt tarch + C ( ( arch ( 4 sh sh ( arch ( arch ( )) )) ch ) + C ( ) arch ( ( arch ( arsh Megjegyzés. Hasonlóan kapjuk, hogy d ( arsh ( arsh )) ) + C ) + C ) + C ( ). ) + C ( ). Az e e + d ( R) meghatározásánál (de általában, ha R(e ) d típusú integrál van) eredményre vezet az e g () t ( R), azaz ln(t) g(t) (t > ) helyettesítés. Ekkor g (t) t f() ( R) mellett létezik e e + f(g(t))g (t) dt így létezik e e + d t t + t (t > ) és dt arctg(t) + C (t > ), t t + t dt te + C arctg(e ) + C ( R).
23 . PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL Parciális integrálás.6. feladat. Határozza meg az alábbi integrálokat: ln d ; cos() d ; arcsin d ; ( + ) ln d ; ( + ) ch() d ; arctg d ; ( )e d ; sin d ; e cos d ; e d ; arctg d ; sin 4 () d ; Megoldás. A parciális integrálás tétele szerint: Ha az f, g : a, b R függvények dierenciálhatók a, b -n és f g, akkor fg is és C R, hogy f()g () d f()g() (P) f ()g() d + C ( a, b ). A feladatban szerepl integrálok többsége a Kalkulus II. jegyzetben az el bb idézett tételt követ megjegyzésben szerepl típusok valamelyike. ln d ln d ( > ) igaz. Válasszuk az f() ln és g() ( > ) függvényeket, akkor f (), g (), továbbá létezik így f ()g() d d d ( > ), ln d f()g () d f()g() f ()g() d + C ln d + C ln + C ( > ). Az ( + ) ln d kiszámításánál tekintsük az f() ln, g () +, azaz g() + ( > ) függvényeket, akkor f () és f ()g() d 9 + ( ) ( ) + d + d ( > ).
24 4 I. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Ezért (tételünk szerint) létezik C R, hogy ( + ) ln d f()g () d f()g() f ()g() d + C ( ) ( ) + ln C ( > ). Megjegyzés. P n () ln d típusú integrál kiszámításánál mindig az f() ln, g () P n () választással használjuk (P)-t. Az ( )e d kiszámításánál az f(), g () e és így g() e, f () ( R) választással alkalmazható (P) és akkor C R, hogy ( )e d ( )e e d + C ( )e e + C ( )e + C ( R). e d esetében, el bb az f(), g () e, f (), g() e ( R) mellett (P)-t használva kapjuk, hogy C R, hogy ( e d ) e + e e e d + C, d + C ha létezik e d. Ennek meghatározására alkalmazzuk újra (P)-t, f(), g () e, f (), g() e ( R) mellett, akkor C R, hogy e d ( ) e e + ( ) e d + C e d + C e 4 e + C ( R).
25 Így. PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 e d e e 4 e + C + C ( ) e + C. 4 Megjegyzés. P n ()e a d típusú integrál kiszámításánál f() P n (), g () e a ( R) mellett használjuk (P)-t (esetleg többször is, de akkor más az el bbiekb l kapott f-fel). cos() d kiszámításánál legyen f(), g () cos(), f (), g() sin() ( R), akkor (P)-b l cos() d sin() sin() d + C sin() + cos() + C ( R). ( + ) ch() d esetében kétszer alkalmazzuk a parciális integrálás tételét és (tömör írásmódban) kapjuk, hogy ( + ) ch() d ( + ) sh() ( + ) sh() d + C [ ] ( + ) sh() ( + ) ch() ch() d + C + C ( + ) sh() ( + ) ch() + sh() + C + C ( + + ) sh() ( + ) ch() + C ( R). Megjegyzés. Az P n () sin(a + b) d, P n () cos(a + b) d, Pn () sh(a + b) d, P n () ch(a + b) d típusú integrálok kiszámításánál az f() P n () (és g () a másik tényez ) mellett alkalmazzuk (P )-t (esetleg többször). Így ( ) sin d cos ( ) cos d + C cos + cos d + C
26 6 I. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS cos + [ sin ] sin d + C + C cos + sin + 4 cos + C + C ( + ) cos + sin + C ( R). 4 arctg() d arctg() d arctg() arctg() + d + C arctg() ln( + ) + C ( R). + d + C arcsin() d arcsin() d arcsin() d+c arcsin() + ( ) ( ) d + C arcsin() + ( ) + C arcsin() + + C ( R). arctg() d arctg() + d + C arctg() + + d + C [ arctg() + d arctg() + C + d ( R). ] + C Megjegyzés. Az P n () arcsin() d, P n () arccos() d, Pn () arctg() d, Pn () arcctg() d típusú integráloknál a g () P n () és f() a másik tényez jelölés mellett alkalmazzuk (P )-t.
27 . PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL 7 A parciális integrálás tételét (a (P ) formulával) felhasználva, f() e, g() cos ( R) választással e sin sin cos d e e d + C e sin e sin d + C e sin [ ] cos cos e e d + C + C e sin + 9 e cos 4 e cos d + C 9 C ( R) következik, ami rendezés után adja, hogy [ e cos d sin + ] cos e + C ( R). Megjegyzés. A fenti módszer alkalmazható általában az e a sin b d, e a cos b d típusú integrálok esetén is. sin n () d sin() sin n () d cos() sin n () cos()(n ) sin n () cos() d + C cos() sin n () + (n ) cos sin n () d + C cos() sin n () + (n ) ( sin ()) sin n () d + C cos() sin n () + (n ) sin n () d (n ) sin n () d + C ( R), és ebb l rendezéssel kapjuk, hogy sin n () d n cos() sinn () + n n Ez az I n sin n () d jelöléssel az sin n () d + C I n n cos() sinn () + n n I n + C ( R) ( R).
28 8 I. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS úgynevezett rekurzív formulát adja I n -re. Ha például n, úgy sin () d cos() sin() + + C. Ha n, úgy sin () d cos() sin () + sin() d + C cos() sin () cos() + C ( R). Általában n lépésben (n ) megkapjuk I n -t. Megjegyzés. Hasonló eljárással megadható I n cos n () d rekurzív formulája is. Trigonometrikus és hiperbólikusz függvényekre vonatkozó azonosságok felhasználása.7. feladat. Számítsa ki az alábbi integrálokat: + cos() d ; sh() d ; sin () d ; Megoldás. A cos adja, hogy Ezért cos() d ; sin sin 5 d ; sin 4 () d ; + cos + cos cos + cos d sin() d ; cos cos d ; ctg () d. egyenl ségb l cos + cos, ha π + kπ, k Z. ha ] π + kπ, π + kπ[, k Z. d cos tg + C tg + C k cos cos() d ; következik, ami d
29 A sin. PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9 cos cos sin Így Mivel egyenl ség adja, hogy sin cos, azaz, ha kπ, k Z. cos d sin d ctg + C k ( ]kπ, k + π[, k Z). sin sin cos sin + cos sin cos így sin d ln sin cos cos + sin, sin cos ( cos d + ) + ln cos sin ( sin d + C ) ( + C ln tg ) + C k, ha például ]kπ, (k + )π[, k Z. Belátható, hogy ( ( sin d ln tg )) + D k ( ](k )π, kπ[, k Z). Az cos ( sin + π ) cos d ln ( sin ( tg ( π + kπ, k Z ) egyenl ség miatt ) d ln tg + π + π ( + π )) + C k, 4 + C k
30 I. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS ha + π 4 ha + π 4 Az ]kπ, (k + )π[, k Z, míg ( ( ( cos d ln tg + π ))) + D k, 4 ](k + )π, (k + )π[, k Z. sh sh ch ch sh sh ch azonosság miatt illetve sh d ch sh sh ch ch sh ( ln sh ) ( ln th d ( ln ( ) sh ch d + C ) + C ch ( )) + C ( > ), ( ( sh d ln th )) + C ( < ) következik. Az ismert sin α sin β [cos(α β) cos(α + β)] trigonometrikus azonosság miatt így sin sin 5 [cos cos 8] ( R), sin sin 5 d (cos cos 8) d cos cos 8 d + C sin sin 8 + C ( R). 4 6
31 . PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL Tudjuk, hogy cos α cos β [cos(α + β) + cos(α β)] α, β-ra, így A A cos cos [ ( cos + ) [ cos cos 6 ez pedig adja, hogy cos cos d cos 5 6 d + sin sin ( + cos )] ] ( R), cos 6 d + C + C 5 sin sin + C ( R). 6 sin sin sin ( cos ) sin sin cos sin trigonometrikus azonosság miatt sin d sin d + cos + cos cos ( sin ) d + C + C ( R). sin 4 sin ( cos ) sin 4 sin cos azonosság miatt sin 4 d 8 cos cos cos 4 ( R) 8 d cos d 8 8 sin sin 4 + C 8 4 cos 4 d + C 8 4 sin sin 4 + C ( R). Megjegyzés. Az utóbbi két feladat az sin 4 d speciális eseteként is számítható (amit a parciális integrálásnál vizsgáltunk).
32 I. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Racionális (tört)függvények integrálása Legyenek P n, Q m : R R n-, illetve m-edfokú polinomok, a, b R olyan intervallum, melyben Q m nem zérus. Az R: a, b R, R() P n() Q m () függvényt racionális (tört)függvénynek nevezzük. Bizonyítható, hogy ha n m, akkor léteznek P n m és P l (n m illetve l(< m)-edfokú) polinomok, hogy R() P n() Q m () P n m() + P l() Q m () a, b -re. Legyen továbbá a Q m polinom (R feletti úgynevezett irreducibilis tényez kre való) felbontása Q m () A( a ) α ( a r ) αr ( + p + q ) β ( + p s + q s ) βs, ahol A Q m f együtthatója, i,..., r, j,..., s esetén a i, p j, q j R, α i, β j N és p j 4q j < (azaz + p j + q j nem bontható fel valós els fokú polinomok szorzatára). Ekkor léteznek A ik, B jl, C jl R, hogy P l () Q m () A + + A α a ( a ) α + + A r + + A rα r a r ( a r ) α + r + B + C + + B β + C β + p + q ( + p + q ) β B s + C s + + B sβ s + C sβs + p s + q s ( + p s + q s ) βs a, b esetén. Így egy racionális törtfüggvény P n () d határozatlan integráljának meghatározása visszavezethet egy n m-edfokú polinom, illetve az Q m () A ( a) i d és B + C ( d típusú integrálok meghatározására. + p + q) j A feladatban mindig megadjuk a racionális (tört)függvény fenti el állítását (meghatározva P n m -et és a törtekben szerepl együtthatókat is).
33 . PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL.8. feladat. Határozza meg adott A, B, C R, a R, p, q R (p 4q < ), i, j N esetén az integrálokat. Megoldás. a) Nyilvánvaló, hogy i esetén b) i > esetén A ( a) i d és { A a d A ln( a) + C B + C ( + p + q) j d, ha > a A ln( ( a)) + C, ha < a. ( a) i+ A A ( a) i d i + ( a) i+ A i + (Lásd Egy egyszer helyettesítés cím fejezet.) B + C ( + p + q) j B + C [ ( + p ) p ] j + q 4 + C, ha > a + C, ha < a. [ ( + p B + C ) ] j + b b j B + C + p b + ( R) j miatt (ahol q p 4 4q p 4 > miatt vezetjük be, hogy b q p 4 ), + p az bt p g(t) (t R) illetve g () t ( R) b helyettesítéssel kapjuk (a helyettesítéses integrálás tétele szerint), C,
34 4 I. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS hogy ( B + C B bt p ) + C ( + p + q) j d b j (t + ) j Ha j, úgy ebb l B + C + p + q d B b (j ) + C B p b j b dt t + p b t (t + ) j dt + t p + b (t + ) j dt t + p b B b (j ) ln + p b + C B p b j következik R esetén. Ha j >, úgy B + C ( + p + q) j d B arctg + p b (t + ) j+ b (j ) j + + C B p b j + C + C C + t p + b (t + ) j dt t + p b következik. Ugyanakkor a parciális integrálás tételét felhasználva + C
35 . PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 (t (t + ) j dt + ) t (t + ) j dt t t (t + ) j dt [t (t + ) j+ j + j j Ezért, ha j >, akkor B + C ( + p + q) j d (t dt + ) j (t dt + ) j ] dt + C 4 (t + ) j+ j + (t + ) j dt + (j ) p B C B b (j ) ( j) + b j (j ) t t (t + ) j + C 4. (t + ) j t+ p + C B p + j b j j Ha (t + ) (t + ) j dt t+ p + C 5. dt-re az el bbi módszert alkalmazzuk, illetve azt tovább j folytatjuk, úgy integrálunk véges (j) lépésben meghatározható. Megjegyzés. Természetesen (a megjegyezhet ség nehézségei miatt) nem ezen bonyolult formulákat használjuk, hanem minden konkrét feladatban ugyanezt az eljárást követjük majd..9. feladat. Határozza meg az alábbi integrálokat: + d ; + ( )( + 5) d ; d ; + ( + + ) d. Megoldás. + d + d 5 ( + ) d ; ( + )( + )( + ) d ; ( + )( + ) d ; (az.8. feladat a) esetének megfelel en). + d ; { ln( + ) + C,ha > ln( ( + )) + C,ha < d ; + d ;
36 6 I. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 5 ( + ) d 5 ( + ) d 5( + ) 5( + ) C 5 + ( ) + + miatt + d + ( )( + 5) miatt + ( )( + 5) d + C,ha > + C,ha <,ha > + + C,ha <. ( )( + ) + + ( ) d + + d ln( + ) + C,ha > + ln( ( + )) + C,ha <. ( ) + ( + 5) ( )( + 5) ( ) d ( ) (, 5) ln( ( + 5)) + ln( ( )) + C,ha < 5, ln( + 5) + ln( ( )) + C,ha ] 5, [, ln( + 5) + ln( ) + C,ha >. Megmutatjuk, hogy A, B, C R, hogy ( + )( + )( + ) A + + B + + C + A jobb oldalon közös nevez re hozva, és rendezve ( + )( + )( + ) (,, ). (A + B + C) + (5A + 4B + C) + 6A + B + C ( + )( + )( + )
37 . PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL 7 következik, ha,,, ami csak akkor teljesülhet, ha (A + B + C) + (5A + 4B + C) + 6A + B + C ami csak úgy lehetséges, ha ( R), A + B + C, 5A + 4B + C, 6A + B + C. Ez egy lineáris egyenletrendszer A, B, C-re, melynek egyértelm megoldására (nem nehéz számolással) következik, így A 6, B, C ( + )( + )( + ) (,, ), ami adja, hogy ( + )( + )( + ) d 6 ln( ( + )) ln( ( + )) + ln( ( + )) + C,ha <, 6 ln( ( + )) ln( ( + )) + ln( + ) + C,ha ], [, 6 ln( ( + )) ln( + ) + ln( + ) + C,ha ], [, 6 ln( + ) ln( + ) + ln( + ) + C 4,ha > ( 5 + 6) + (5 6 + ) ( 5 + 6) ( )( ) Megmutatjuk, hogy A, B, C R, hogy ( )( ) A + B + C (,, ) (,, ). A jobb oldalt hasonlóan alakítva, mint az el z feladatban ( )( ) (A + B + C) + ( A B 5C) + 6C ( )( ) következik, ha,,, ami csak akkor igaz, ha A + B + C 5, A B 5C 6, 6C,
38 8 I. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS ami teljesül, ha A 6, B 5 6, C 6. Az el bbiek miatt, így (,, ), ami adja, hogy d ln( ( )) 6 ln( ( )) + 6 ln( ) + C,ha <, ln( ( )) 6 ln( ( )) + 6 ln() + C,ha ], [, ln( ( )) 6 ln( ) + 6 ln() + C,ha ], [, ln( ) 6 ln( ) + 6 ln() + C 4,ha >. Az d az.8. feladat b) részének megfelel integrál B, C, p, q és j mellett, hiszen p 4q 4 <. Az ( + ) ( R)
39 . PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9 azonosság és a g () + t ( R) illetve t d 4 4 g(t) (t R) helyettesítés adja, hogy d t + t + dt + C t (+ ) t t + dt + t (+ ) ] ln [ ( ( + )) + + t + dt + C t (+ ) ( ( arctg + )) + C ( R). Az ( + )( d integrál meghatározásához el bb megmutatjuk, + ) hogy A, B, C R, hogy ( + )( + ) A + + B + C + ( ). A jobboldalt közös nevez re hozva, rendezés után kapjuk, hogy ( + )( + ) (A + B) + (B + C) + A + C ( + )( + ) ami csak úgy lehetséges, ha A + B, B + C, A + C, azaz ha A, B, C, így ( + )( + ) ( ). ( ), Ezért integrálunkban az.8. feladatban szerepl mindkét típus el fordul, továbbá a b) típusnál már teljes négyzet a nevez. Ezeket gyelembe
40 4 I. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS véve: ( + )( + ) d Az + d 4 + d + ln( + ) 4 ln( + ) + arctg() + C,ha >, ln( ( + )) 4 ln( + ) + arctg() + C,ha <. + ( ) ( ) ( ) + d ( )( + ) ( ) ( + ) ( R) egyenl ség miatt + ( ) ( + ) és megmutatjuk, hogy A, B, C R, hogy ( ) ( + ) A + B ( ) + C + (, ) (, ), azaz ( ) ( + ) (A + C) + (A + B C) A + B + C ( ) ( + ) (, ), ami csak úgy lehetséges, ha A + C, A + B C, A + B + C, azaz, ha A 5, B 5, C, 5 ezért ( ) 5 + Ebb l következik, hogy + d 5 d ln( ( )) + ( ) 5 5 ln( ( )) + ( ) 5 5 ln( ) + ( ) 5 ( ) d 5 (, ). + d + C 5 ln( ( + )) + C,ha <, 5 ln( + ) + C,ha ], [, 5 ln( + ) + C,ha >.
41 . PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL 4 Az + ( d az.8. feladat b) részében szerepl integrál speciális esete: B, C, p, q p 4q < és + + ) j >. Így az ott használt módszerrel dolgozhatunk + ( + + ) d + [( + ) + ] d (t ) + (t + ) dt t+ + C t (t + ) dt t+ (t + ) dt t+ + C (t + ) (t + ) t dt t+ (t + ) dt t+ + C + + t + dt t+ + t t (t + ) dt + C + + arctg( + ) + + ) t(t t+ (t + ) dt t+ + C arctg( + ) + C 5 ( R).
42 4 I. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Racionális törtfüggvényre vezet helyettesítések.. feladat. Alkalmas helyettesítéssel vezesse vissza az alábbi integrálokat racionális törtfüggvények integráljára: + d ; ( + + ) d ; sin cos + 5 d ; tg + tg d ; 6 7 d ; d ; ( + ) + + d ; e d. d ; + sin + cos d ; ( + cos ) sin d ; + + d ; + d ; (7 ) d ; e d ; e Megoldás. Az els három feladat annak annak speciális esete, amikor egy ( R, n ) a + b c + d,..., n k a + b d c + d (ahol R(u,..., u k+ ) az u,..., u k+ meghatározni. Ekkor mindig eredményre vezet a racionális függvénye) integrált kell t n a + b c + d g (), g(t) dtn b a ct n helyettesítés (alkalmas intervallumon), ahol n az n,..., n k természetes számok legkisebb közös többszöröse.
43 . PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL 4 A t g (), t g(t) (t ) helyettesítésnél g (t) t, így (a helyettesítéses integrálás tétele szerint): A + d + t t dt t + C (t + ) dt t + C + t dt t t + dt t + C ln( + ) + C ( ). t g () ( ), t g(t) (t > ) helyettesítéssel, g (t) t d t t t dt t dt 4 t 4 ( 4 ( + ln + t ( t ) (t > ) mellett t ( t ) dt t + C + C (t )(t + ) + C t ) 4 t + dt + C t ) t ( ln ) + + C ( > ).
44 44 I. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS A t 6 g () ( ), t 6 g(t) (t ) helyettesítéssel, g (t) 6t 5 (t ) mellett t 6 ( + t + t ) 6t5 dt t 6 + C ( + + ) d 6 t(t + t + ) dt t 6 + C 6 t(t + )(t t + ) dt t 6 + C t(t + ) A t + ( ( t 4 B t + + ) ) + dt t 6 + C 6 ( t 4 Ct + D ) + 6 dt t 6 + C, ahol A, B, C, D a korábban használt módszerrel meghatározhatók, az integrálok pedig az.8 feladatbeliek speciális esetei. A következ három (de az azokat követ is) az R(sin, cos ) d speciális esete, ahol R(u, v) az u és v változók racionális függvénye. Ekkor (ahogy az elméletben már jeleztük) a tg t g () ( ] π, π[ ) illetve arctg(t) g(t) (t R) helyettesítés mindig eredményt hoz (racionális törtfüggvény integráljához jutunk), ugyanis ekkor sin() sin cos sin + cos tg tg + t t + (t R), cos cos() sin tg sin + cos + tg és g (t) + t (t R) miatt R(sin, cos ) d R ( t + t, t + t ) t + t (t R) + t dt ttg + C
45 . PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL 45 adódik és a jobb oldalon az integrandus racionális törtfüggvény. Ezért: + sin + cos d + t + t + t + t t + dt ttg + C ln (tg ) + ( ln sin cos + 5 d 4t + t t + t + 5 t + t + ( t + ( 5 + ) ( ) 5 t t dt ttg + C + C,ha tg + > (tg )) + + C,ha tg + < + t dt ttg + C dt ttg + C ) dt ttg + C + tg arctg C dt ttg + C
46 46 I. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS ( + cos ) sin d ( + ) t t + t dt ttg + C + t + t t + (t + )t dt ttg + C ( A t + Bt + C ) t dt + ttg ami már egyszer en meghatározható. tg ( + tg d π ] 4, π, π [ ) számítható az el bbi módszerrel, de a g () tg t, arctg t g(t) helyettesítéssel is. Ekkor g (t), így t + tg t + tg d + t ( t + dt ttg + C ) dt ttg + C, A t + + Bt + C t + ami már egyszer en folytatható. A következ hat integrál kiszámításánál két módszer is kínálkozik. A) Ezek olyan integrálok, melyek az R(, a + b + c) d integrál speciális esetei, így: (i) ha a >, akkor a a + b + c a + t vagy a + b + c a t ; (ii) ha c >, akkor a a + b + c t + c vagy a + b + c t c ; (iii) ha R, hogy a + b + c, akkor a a + b + c t( ) helyettesítés után racionális törtfüggvényt kell integrálni (természetesen minden esetben megadható az g(t) helyettesít függvény, melynek t g () inverzének alakja azonnal látszik).
47 B) Az. PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL 47 a + b + c a [ ( + b ) + a ] 4ac b 4a teljes négyzetté alakítás jelzi a másik lehetséges utat, melynél 4ac b d 4ac b, vagy d jelöléssel, + b a helyére helyettesítünk sin t-t, vagy sh t-t, vagy ch t-t. 4a 4a d Az + + d integrálnál a t, t + + g (), t t g(t) helyettesítés g (t) t t + mellett adja, hogy ( t) + + d t ( t t t + t ) ( ) t t + ( t) dt t ++ + C, ami már egy racionális tört integrálja. Ez persze még elég sok munkával jár. Másrészt az + + ( + )
48 48 I. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS azonosság, illetve az + helyettesítés adja, hogy sh t, sh t g(t) (t ) + + d ( ) sh t + + ( ) 4 sh t ch t dt + tarsh ch t sh t dt 4 + tarsh 8 ch t ch t 8 tarsh + 8 ch arsh + 6 arsh ch t dt tarsh + + C ch t dt tarsh + + C + C dt + + C tarsh sh + arsh + C. Az 6 7 d számításánál a t t 6 7 g (), t + 7 t + 6
49 . PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL 49 helyettesítés, g (t) t + t 4 (t + 6) mellett adja, hogy 6 7 d ( ) t t + 7 t + t 4 t + 6 (t + 6) dt t C (t + 6t 7) (t + 6) dt t C, ami viszonylag egyszer en kezelhet. Másrészt az 6 7 ( ) [ ( ) ] 4 azonosság, ch t, illetve 4 ch t + g(t) helyettesítés, g (t) 4 sh t miatt adja, hogy 6 7 d ( ) 4 d 4 4 ch t sh t dt tarsh + C 4 6 sh t dt tarsh + C ch t 6 8 arsh 4 4 dt tarsh + C ( 4 4 sh arsh 4 ) + C ( R). A második módszer most is gyorsabban ad eredményt. A t t ( + ) g (),
50 5 I. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS illetve t t + g(t) (t R) helyettesítés, g (t) t + 4t + (t + ) adja, hogy + d t + t + t(t )(t + ) dt t ( +) + C ( t + t ) t + dt t ( +) + C [ ln t + ln(t ) arctg t] t ( +) + C. A másik módon: ( + ) és az + sin t g (t) cos t adja, hogy + d ( ( ) ) + ( + ) ( t arcsin + ), sin t g(t), + ( + ) d cos t + cos t dt tarcsin + + C ami például a tg t helyettesítéssel vihet tovább. Most a két módszer nagyjából egyformán gyors. A t, azaz t 4 helyettesítéssel (t + ) d t + t + 4 t(t + ) dt t C ( 4 t ) t + (t + ) dt t C ln( ) ln( ) C.
51 . PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 Próbálja ki a másik módszert is. A 7 t( 5), azaz 5t + t + helyettesítéssel 5t (7 ) d + 9 t ] ch[arsh( + )] sh[arsh( + )] + C C. + [ 9 t + 4 9t dt t t 5 + C. + C ( + ) + + d ( + ) ( + ) + d sh t sh t + ch t dt tarsh(+) + C sh t dt tarsh(+) + C cth[arsh( + )] + C + sh (arsh( + )) + Az e t, ln t g(t) (t > ) helyettesítés, g (t) t adja, hogy e d e t t t dt te + C ( t dt te A t + B ) t + + C A ln(e ) + B ln(e + ) + C, ha >, ahol A és B egyszer en meghatározható. Az e t, ln t g(t) (t > ) helyettesítéssel, g (t) t -vel e d t t dt te + C (t > ) miatt dt te következik. A t u, t u + g(u) (u R) helyettesítés és g (u) u adja,
Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenSzili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány
Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
Részletesebben1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása
Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenTartalomjegyzék. 1. Előszó 1
Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............
Részletesebben= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.
. Határozatlan integrál megoldások.. 5. 7 5 5. t + t 5t. 8 = 7 8 = 8 5 8 5 6. e + 5 ln + tg + 7. = 8. + 5 = 5 ln + 5 9. = + 5 + 5 5 + 5 + 5 = /5 = 5 6 6/5 + 5 5 = + ln = 5 + 5 = + ln + 0.. a +a arctg a.
RészletesebbenObudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},
RészletesebbenHatározatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
Részletesebbenn 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenÉrtelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
Részletesebben8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
RészletesebbenFeladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenAnalízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra
Részletesebben2. hét (Ea: ): Az egyváltozós valós függvény definíciója, képe. Nevezetes tulajdonságok: monotonitás, korlátosság, határérték, folytonosság.
Ütemterv az Analízis I. c. tárgyhoz (GEMAN510B, 510-B) Járműmérnöki, logisztikai mérnöki, műszaki menedzser, villamosmérnöki, ipari termék- és formatervező mérnöki alapképzési szak 2019/20. tanév I. félév
RészletesebbenDifferenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék
Differenciál - és integrálszámítás (Óraszám: 3+3) (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Debrecen, 2005 A tárgy neve: Differenciál- és
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenANALÍZIS SZIGORLATI TEMATIKA
ANALÍZIS SZIGORLATI TEMATIKA matematikatanár szakosok részére (2006/2007) Az els négy félév anyaga 1. Halmazokkal és függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 2. A valós számok 3. Valós számsorozat határértéke
RészletesebbenMatematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenL'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.
L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
RészletesebbenGyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz
Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F
RészletesebbenHatványsorok, elemi függvények
Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
Részletesebbencos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
RészletesebbenHALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenFeladatok matematikából 3. rész
Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!
RészletesebbenVizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42
Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál 05. április.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az alábbi határozatlan integrált! + sin ch Megoldás: Az integrálandó függvényen belül összeadás illetve kivonás m velete szerepel,
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
Részletesebben5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK
Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 63 5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Egy f függvény folytonossága valamely u D(f) helyen els közelítésben azt jelenti, hogy az f(u) helyettesítési érték tetsz
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenFüggvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
RészletesebbenFüggvények határértéke, folytonossága
Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el
RészletesebbenAnalízis házi feladatok
Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,
RészletesebbenInverz függvények Inverz függvények / 26
Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás
RészletesebbenMATEMATIKA 1. GYAKORLATOK
Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenFunkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér
Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
Részletesebben