1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása
|
|
- Lili Piroska Szőkené
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép Számsorozatok Számorozatok Függvények határértéke és folytonossága Deriválás, deriválás alkalmazása Implicit függvény deriválása, görbe érint je BernoulliL'Hospital-szabály alkalmazása Függvényvizsgálat Görbék érintkezése, Taylor-polinom Görbék paraméteres egyenletrendszere Polárkoordináták Integrálás alapintegrálok) Integrálás Polinomok, racionális törtfüggvények integrálása Komple számok Algebrai alak Trigonometrikus alak, Moivre-azonosság Négyzetgyökvonás algebrai alakkal, másodfokú komple együtthatós egyenletek n-edik gyök meghatározása trigonometrikus alakkal, egységgyökök.4.5. Polinomok felbontása a komple számok és a valós számok teste fölött
2 . Analizis A) gyakorló feladatok megoldása... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép.-. Melyek azok a valós számok, amelyek kielégítik az alábbi egyenl tlenségeket? a. Th 4.o. 5.) 5 < b. Th. 5.o..) > 5 c. Th ) 0 a. 5 < < 5 < Ha > 0 < 5 < < 6 és 4 < < és < Ha < 0 > 5 > > 6 és 4 > > és > ) Megoldás:, ami ellentmondás. b. > 5 > 5 vagy < 5 > vagy < 7 > vagy > 7 ) 7 Megoldás:, ) és,
3 ... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép c. 0, ± + 8 ± vagy 0 ) + ) 0 ) 0 és + ) 0 vagy ) < 0 és + ) < 0 és vagy < és < Megoldás:, ) és, ).-. Igazoljuk matematikai indukcióval, hogy minden pozitív egész számra igazak az alábbi egyenl ségek. a. Th ) n n b. W -5, 04.) n ) n c. W -5,.) a n n n nn + )n + ) k kk + ) n esetén: Tfh n-re igaz, ekkor n + -re: }{{ n } + n+ n ) n+ n+ n b n ) n n esetén: Tfh n-re igaz, ekkor n + -re: n ) }{{} +n + ) n + n + n + ) c. n nn + )n + ) k kk + ) n esetén: Tfh n-re igaz, ekkor n + -re: n+ n k kk + ) kk + ) +n + )n + ) nn + )n + ) k }{{} n ) + n + )n + ) n + )n + ) +
4 4. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása n + )n + )n + ) Számtani- és mértani-közép. Legyen n, n N +, a, a,..., a n 0 valós számok. Ekkor mértani közepük kisebb/egyenl, mint a számtani közepük. n a a... a n a + a a n n Egyenl ség pontosan akkor áll fenn, ha a a... a n..-. Legyen a, a,..., a n > 0, n. Lássuk be, hogy: a. b. a + a a n + a n n a a a n a a a a a 4 a + a + a + 4a ) 0 a. a + a a n + a n n a a a n a Alkalmazzuk a számtani-mértani közép összefüggést az a a, a a,..., a n a n, a n a számokra. a n a... an an a a a n a a a + a a a n n a n + a n a b. n a + a a n + a n a a a n a a a a a 4 a + a + a + 4a ) 0 Alkalmazzuk a számtani-mértani közép összefüggést az alábbi számokra: a, a, a, a, a, a, a 4, a 4, a 4, a 4.
5 ... Számsorozatok Számsorozatok..-4. M44) Hányadik tagtól közelíti meg határértékét ε-nál kisebb hibával az a n n, n N + sorozat? Felhasználjuk, hogy lim n n ) a n >. a n a n < ε n < + ε Vegyük mindkét oldal 0-es alapú logaritmusát: A jobb oldal pozitív. lg < lg + ε) n lg lg + ε) < n A küszöbszám: n 0 [ + lg ] lg + ε).-5. Az alábbiakban n N +. Melyik sorozat konvergens? A konvergensnek mondjuk meg a határértékét. a. M) a n n + b. M8) a n n + n c. M) a n n + 7n + n + n n n a. a n 0, ha n n + b. a n n + n n + 7n + n + n n n + 7 n , ha n n
6 6. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása c. a n n + n n + n n + + n n + n n n n n n + + n n + n n + n n + n n + + n n n + n n + n + n + n + n n + + n + 0, ha n Az alábbiakban n N +. Számítsuk ki az alábbi sorozatok határértékét. a. a n n 0n b. a n n n n c. a n n ) n a. a n n 0n n 0 n n, ha n b. a n n n n n n nn ) n, ha n. n n n n n < n n n n, ha n n n n n), ha n. A "szendvicstétel / rend relv" miatt n n n, ha n is teljesül. c. a n ) n n n n, ha n n... Számorozatok..-7. W7-/90) Legyen a adott pozitív szám. Mutassuk meg, hogy tetsz leges a pozitív számot választva az a n+ a n + aan )
7 ... Számorozatok. 7 sorozat a-hoz konvergál. a. Belátjuk, hogy a n+ a.. megoldás. Tekintsük az a n és az a a n számokat. Mivel a két szám számtani közepe nagyobb, vagy egyenl, mint a mértani közepük, igaz az állítás. a n+ ) a n + aan a n a a n a.. megoldás. a n+ a n + aan ) a n+ a n a n + a 0 a n a n+ a n + a a n a n+ ) a n+ + a a n+ a a n a n+ ) 0 a n+ a a n+ a b. Belátjuk, hogy monoton csökken a. tagtól a n+ a n+ + a a n+ a n+ + a n+ a n+ a n+ A sorozat monoton csökken, és alulról korlátos, így konvergens, jelölje A a határértékét. c. Kiszámítjuk a határértéket. A A + a ) A A A + a A a A a.-8. Számoljuk ki az alábbi határértékeket. Felhasználjuk, hogy lim n a. M7a) lim n + ) n+ n + n) n e
8 8. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása b. M7b) lim n + c. lim n n + n + 5 n ) n ) n+ + a. b. + n) n+ + n) + n) n ) e e, ha n + ) n+ + n + ) n + ) 4 n +) n + ) n + ) 4 n + ) ) n 4 n e 4 e 4, ha n c. ) n + n n + 5 n + 5 n + ) n + ) n n + + ) n+ + ) n + e e, n + ha n.-9. Számoljuk ki az alábbi határértéket. lim D n, ahol D n n n + n ) n + n + n ) n + n + n ) n ) + n n
9 Függvények határértéke és folytonossága 9 + ) n + n n + n + ) n + ) + ) n + ) n n n n + n + ) + ) n+ + ) + ) n n n + n + n e e e, ha n Függvények határértéke és folytonossága.4-0. M6) Számoljuk ki az alábbi határértékeket. a. lim 0 sgn) b. lim +0 sgn) c. lim 0 sgn) a. lim 0 nem létezik. sgn) b. lim +0 nem létezik. sgn) c. lim 0 nem létezik. sgn).4-. M67a) Számoljuk ki az alábbi határértékeket. a. lim +0 b. lim 0 c. lim
10 0. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása a. lim +0 + b. lim 0 c. lim nem létezik..4-. M67b) Számoljuk ki az alábbi határértékeket. a. lim +0 b. lim 0 c. lim 0 a. lim +0 b. lim 0 c. lim 0 + nem létezik..4-. Számoljuk ki az alábbi határértékeket. Az adott pontban a bal és a jobb oldali határértéket is adjuk meg a. M74) + lim + b. M75) lim ) c. M76) lim ) + d. M88) lim 0
11 Függvények határértéke és folytonossága a. lim ) + + ) ) ) ha, akkor + + ) ) Ha, akkor a számláló 4-hez tart, a nevez 0-hoz. Azonban + + ) + + ) lim 0, lim ) +0 + ) Így + lim nem létezik. + b. lim ) Támaszkodunk a következ azonosságra: a n b n a b)a n + a n b a b n + b n ) Ebb l, ha n, a és b, azt kapjuk, hogy: ) + + ) + + Mivel az + 0 egyenlet gyökei és + ) + + ) ha, akkor + ) ) ) + + ) + ) + + ), ha
12 . Analizis A) gyakorló feladatok megoldása c. lim ) nem létezik. lim ) + + lim ) + + ) lim + ) + + ) nem létezik, mert lim f), lim 0 f) + +0 d. lim ) + +, ha 0 sin.4-4. A lim 0 határérték ismeretében számoljuk ki az alábbi határértékeket. cos a. M409) lim 0 cos b. M4) lim 0 sin sin c. M48) lim π π a. lim 0 cos Nézzük a következ átalakítást. cos α cos α sin α sin α cos α sin α. S így cos sin. Ezt felhasználva cos sin ) 4 sin, ha 0
13 Függvények határértéke és folytonossága b. lim 0 cos sin cos sin cos ) sin, ha 0 c. lim π sin π Alkalmazzuk az y π helyettesítést, amib l π y. π y 0. sin π sinπ y) y yπ sin π cos y cos π sin y y yπ sin y y, ha y 0 π) yπ.4-5. ) Mi legyen az α értéke, hogy az alábbi függvény folytonos legyen? { f) +, ha > α, ha Az pontban meg kell egyezzen a két függvény helyettesítési értéke, tehát + α, amib l α ) Mi legyen a c értéke, hogy az alábbi függvény folytonos legyen a 0 pontban? { tg f), ha 0 c, ha 0 ) tg sin lim 0 lim 0. cos c kell legyen ) Mi legyen az α értéke, hogy az alábbi függvény folytonos legyen? { f) α, ha < 4 α + 0, ha 4
14 4. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása Az alábbinak kell teljesülni. α 4 α α 4α + 0 α + 4α α.5-8. M70) Deriválás, deriválás alkalmazása a. Határozzuk meg az f) függvény dierenciálhányadosát az 0 helyen, és a dierenciálhányados határértékét. b. Formális deriválással is számoljuk ki a függvény deriváltját az 0 helyen. a. A következ határértéket kell kiszámolnunk: f 0 + h) f 0 ) lim h 0 h b. lim + h) ) h 0 h 8 lim + 4 h + h + h ) 8 h 0 h lim h 0 h 4 h + ) h + h lim h ) h + h f ) M74) a. Határozzuk meg az f) + függvény dierenciálhányadosát az 0 0 helyen, és a dierenciálhányados határértékét. b. Formális deriválással is számoljuk ki a függvény deriváltját az 0 helyen.
15 Deriválás, deriválás alkalmazása 5 a. A következ határértéket kell kiszámolnunk: f 0 + h) f 0 ) lim h 0 h h+ h lim + ) lim h 0 h h 0 h h h b. + ) 0 ) + ) ) 0 ) Deriváljuk a következ függvényeket: a. M76) 0 + lg ) b. M770) ln 5 7 ln 5 + ln a. 0 + lg ) 0 ln 0 + ln 0 b. ln 5 7 ln 5 + ln ) ln 5 7 ln 5 + ln ) 5 5 ln4 + ln + Deriválási példák a Thomas-féle KALKULUS I. tankönyvb l:.. fejezet 50.old 7- és -6 feladatok.. fejezet 6.old 7- feladatok.5. fejezet láncszabály) 8. o példa, 84. o. 7. példa Megoldást, végeredményt lásd a Thomas-féle KALKULUS I. tankönyvben. Deriválási példák a Thomas-féle KALKULUS I. tankönyvb l:.. fejezet 6. old -8 feladat.4. fejezet 78. old 7- feladat.5. fejezet láncszabály) 89. old 9-8 feladat
16 6. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása Megoldást, végeredményt lásd a Thomas-féle KALKULUS I. tankönyvben..5-. Határozzuk meg az alábbi függvényekhez tartozó görbe meredekségét és érint jét az adott 0 pontban. a. A) f) + 9 ; 0. b. B) f) + ) ; 0. Az érint egyenlete y f 0 ) + f 0 ) 0 ). a. A) f ) 9 ; f ) 0; f ) 6. Az érint egyenlete: y 6. b. B) f ) + ) ; f ) ; f ). Az érint egyenlete: y + + ) M798) Adjuk meg ln + ) n-edik deriváltját. ln + )) + ) + ln + )) + ) + ) Belátjuk, hogy ln + )) n) n )! ) n ) + ) n Tegyük fel, hogy ln + )) n ) n )! ) n ) + ) n ) Ezt deriválva: ln+)) n) n )! ) n ) )n )+) n ) n )! ) n ) + ) n
17 Implicit függvény deriválása, görbe érint je M88) Az alábbi út-id függvény ismeretében adjuk meg a t 0 0 id ponthoz tartozó sebességet és gyorsulást. st) t t. Az út-id függvény els deriváltja a sebesség-függvény, második deriváltja a gyorsulás-függvény. Számoljuk ki el ször t deriváltját. t ) e ln t ) e t ln ) e t ln ) t ln t t ln Ezt felhasználva a sebesség a t 0 0 id pontban: st) t t ) t0 t t ln 6t 0 t0 t0 st)-t még egyszer deriválva kapjuk a gyorsulás-függvényt. st) t t ln 6t) t0 t ) t ln + t ln 6 t0 t0 t t ln ) t ln + t ln 6 t t ln ) + t ln 6 t0 t0 ln 6 ln Implicit függvény deriválása, görbe érint je.6-4. M804)Írjuk fel az alábbi egyenlettel deniált implicit függvény deriváltját. y y + 0. Tudjuk, hogy y az függvénye. Az alábbi egyenlet mindkét oldalát deriváljuk szerint. y ) y) + 0. Ha y ) ) 0, akkor y )y ) y) y ) + 0. y ) y ) ) y). y ) y) y ).
18 8. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.6-5. M88) Írjuk fel a megadott pontbeli érint egyenes egyenletét, ha a görbe egyenlete: + y 6y 0, P 0, ). Behelyettesítéssel ellen rizzük, hogy a pont valóban rajta van a görbén: Tudjuk, hogy y az függvénye. Az alábbi egyenlet mindkét oldalát deriváljuk szerint. Az érint egyenes egyenlete: + y ) 6y) 0 + y ) y ) 6y) 6y ) 0 y ) y ) 6) 6y) y ) 7 8) 8 7 y ) y ) y M80) Írjuk fel a megadott pontbeli érint egyenes egyenletét, ha a görbe egyenlete: + y arctg y π 4, P 0, ). Behelyettesítéssel ellen rizzük, hogy a pont valóban rajta van a görbén: + arctg π 4 Tudjuk, hogy y az függvénye. Az alábbi egyenlet mindkét oldalát deriváljuk szerint. Felhasználjuk, hogy arctg ), valamint a jobb oldal konstans, így 0 a deri- + váltja. + y) y ) + y ) arctg y) π 4 + y)) y ) y) 0
19 BernoulliL'Hospital-szabály alkalmazása 9 + y) y ) y ) y) Az érint egyenes egyenlete: y y ) + y ) + y) + y ) 0 ) + y ) ) ) y ) ) ) y y) + y ) y ) BernoulliL'Hospital-szabály alkalmazása.7-7. Th 7.o.. 7.o..) Az alábbi feladatokat a BernoulliL'Hospitalszabály alkalmazásával oldjuk meg. sin a. lim 0 + b. lim 0 + c. lim 0 sin d. lim 0 a. sin lim 0 B LH cos lim 0
20 0. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása b. c. lim 0 + lim 0 B LH lim ) B LH /) + ) / / lim ) B LH lim 0 /4) + ) / 8 d. sin lim ) B LH lim 0 cos 0 0 ) B LH sin lim ) B LH cos lim Függvényvizsgálat.8-8. Th 49.o.) a. Keressük meg azokat az intervallumokat, amelyekben a függvény csökken, illetve n ; b. amennyiben léteznek, határozzuk meg a függvények széls értékhelyeit és széls értékeit. i..) g) 8 ii..) f),
21 Függvényvizsgálat iii. 5.) f) + 8) i. g) 8 a. Csökken, )-n növekv -,)-n, csökken, )-n; b. lokális minimum: g ) 4, g ) 0; lokális maimum: g ) 0, g) 4. A FÜGGVÉNY GRAFIKONJÁT LÁSD külön fájlban. ii. f), a. Növekv, )-ben, csökken, ha < <, csökken, ha < <, szakadása van -ben, növekv, )-ben; b. lokális minimum: -ban, 6),; lokális maimum: -ben, ), A FÜGGVÉNY GRAFIKONJÁT LÁSD A KÜLÖN FÁJLBAN! iii. f) + 8) a. Növekv, 0)-ban és 0, )-ben, csökken,, )-ben; b. lokális minimum: 6 az helyen Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvényekkel: a., ha >, vagy b. M947.) f) f) cos cos, ha <, vagy a. f), ha >, vagy, ha <, vagy A GRAFIKONT LÁSD KÜLÖN FÁJLBAN!
22 . Analizis A) gyakorló feladatok megoldása Szakadási hely ±. f) 0 0, vagy /., ), 0) 0 0, /) /, ), ), ) f ) f ) f) mon. lokális mon. lokális mon. mon. lokális mon lokális mon. csökk. min. n ma. csökk. csökk. min. n min. n konkáv konkáv konkáv konve konve konkáv Az / pontban a görbének ineiós pontja van. b. f) cos cos A megoldást lásd a Monostori példatárban Matematika példatár I.-II.) Görbék érintkezése, Taylor-polinom.9-0. Hányadrendben érintik egymást az f) és a g) cos függvények az 0 0 pontban? A GRAFIKONT LÁSD KÜLÖN FÁJLBAN! f) 0 0 g) f) 0 0 g) cos f ) 0 0 g ) cos sin f ) g ) cos 4 sin cos f ) g ) 6 sin 6 cos + sin f 4) ) 0 0 g 4) ) cos + 8 sin + cos A görbék harmadrendben érintik egymást..9-. a. Írjuk fel az f) sin cos függvény 0 0-hoz tartozó negyedrend Taylor-polinomját a hozzátartozó Lagrange-féle maradéktaggal együtt. b. Írjuk fel az f) ln + ) függvény 0 0-hoz tartozó n-edrend Taylorpolinomját, és állapítsuk meg, hogy a 0, 0, intervallumban mekkora hibával közelíti meg a Taylor-polinom a függvényt.
23 Görbék érintkezése, Taylor-polinom a. f) sin cos, f 0 ) f ) cos + sin, f 0 ) f ) sin + cos, f 0 ) f ) cos sin, f 0 ) f 4) ) sin cos, f 4) 0 ) f 5) ) cos + sin T 4 ) , R 4 ) ahol ξ a 0 és közötti valamelyik hely. b. f) ln + ), 0 0, 0, 0,. cos ξ + sin ξ 5, 0 f) ln + ), f 0 ) 0 f ) +, f 0 ) f ) + ), f 0 ) f ) ) ) + ), f 0 ) f n) ) ) n n )! + ) n, f n) 0 ) ) n n )! f n+) ) ) n n)! + ) n+, f n+) ξ) ) n n)! + ξ) n+ T n ) + n )n n, R n ) f n+) ξ) n + )! n+ ahol ξ a 0 és közötti valamelyik hely. ) n n! n + )! + ξ) n+ n+, f) T n ) R n ) n + ) + ξ) n+ n+ 0 n+) n + )0, 9) n+
24 4. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása Görbék paraméteres egyenletrendszere.0-. Határozzuk meg a ciklois a magasságú pontjainak abszcisszáit. Egyenesen csúszásmentesen gördül a sugarú R középpontú kör kerületének egy kiszemelt P pontja un. ciklois pályán mozog. Legyen a t paraméter a kör RP sugarának elfordulási szöge radiánban. Ekkor a ciklois paraméteres egyenletrendszere: at a sin t y a a cos t } 0 t π y a a a a cos t cos t cos t Ebb l t π és t 5π. at a sin t t π aπ sin π ) aπ ) at a sin t t 5π a 5π sin 5π ) a5π + ) A keresett abszcisszák: a π ) és a 5π + ).0-. Mi az alábbi paraméteres egyenletrendszerrel megadott görbe érint je a t 0 π 4 pontban? t) a cos t yt) a sin t } a sin t, y a cos t y ) yt) t) a cos t a sin t ctg t
25 ... Polárkoordináták 5 π ) π ) y a 4, a 4, π ) y. 4 Az érint egyenlete: ) y a a + a.0-4. Határozzuk meg az alábbi paraméteres egyenletrendszerrel megadott görbe érint jének egyenletét a t 0 pontban. t) 4t + t yt) t } 4 + t, y 4t y ) yt) t) 4t 4 + t t + t t t + t + y ) t 4 t y), ) 5 0 Az érint egyenlete: y f 0 ) + f 0 ) 0 ) y + 5) 4... Polárkoordináták.-5. Legyen r cos ϕ. Adjuk meg a görbe egyenletét a Descartes-féle koordináta rendszerben és húzzunk érint t a ϕ 0 π 6 -hoz tartozó pontjához.
26 6. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása r cos ϕ a görbe polárkoordinátás alakja. r cos ϕ cos ϕ y r sin ϕ cos ϕ sin ϕ / sin ϕ ) A görbe egyenlete: + y, + y 0 Így a görbe /; 0) középpontú / sugarú kör. A görbe ) paraméteres egyenletrendszerrel történ megadása alapján: 6 cos ϕ sin ϕ) sin ϕ, y cos ϕ y ) yϕ) cos ϕ ϕ) sin ϕ y ) ϕ π 6 π ) 0 cos π π ) 4, y 0 y 6 sin π. 4 Az érint egyenlete: y y 0 + y 0 ), y +... Integrálás alapintegrálok).-6. Integrálási példák Szili László Integrálszámítás anyagából: F6 d; F8 d, e, f; F0 d, e, f. Megoldást, végeredményt lásd Szili László Integrálszámítás anyagában.... Integrálás..-7. Integrálási példák Szili László Integrálszámítás anyagából: F5 d, e, f; F7 d, e, g, h; F8 a; F6 i, j, g. Megoldást, végeredményt lásd Szili László Integrálszámítás anyagában.
27 ...Polinomok, racionális törtfüggvények integrálása 7...Polinomok, racionális törtfüggvények integrálása.-8. Polinomokra vonatkozó példák Láng Csabáné Polinomok alapjai anyagából: Maradékos osztás:.-5a,.-7a,b; Horner elrendezés:.4-; Racionális együtthatós polinomok racionális gyökei, polinomok felbontása:.6-5. Megoldást, végeredményt lásd Láng Csabáné Polinomok alapjai anyagában..-9. Integrálási példák Szili László Integrálszámítás anyagából: Racionális függvény integrálása: F d, e; Integrálás parciális törtekre bontással: F4 a, e. Megoldást, végeredményt lásd Szili László Integrálszámítás anyagában..4.. Algebrai alak Komple számok Fejezzük ki algebrai alakban a következ számokat: a. + i) + i) b. i)5 + i) c. 5i) d. i) Az algebrai alakban megadott komple számok összeadására és szorzására vonatkozó összefüggéseket alkalmazzuk. a. + i) + i) 6 ) )i + i b. i)5 + i) 7 9i c. 5i) 0i d. i) i + i i.4-4. Adjuk meg a következ komple számok konjugáltját: a. + 5i 5i a. + 5i b. 4 7i c. i d. 4 e. + i
28 8. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása b. 4 7i 4 + 7i c. i i d. 4 4 e. + i i.4-4. A következ számokat fejezzük ki algebrai alakban: a. + 4i i b. i + i c. + i) d. i) + i) A nevez b l úgy tüntethetjük el az i-t, hogy a nevez konjugáltjával b vítünk. a. + 4i i + 4i) + i) 5 + 0i + i i) + i) + 4 b. c. d. i i i + i 4 i + i) i 4 i i) + i) 4 + i 4 i i.4-4. Adjuk meg az a és b valós számok értékét, ha: a. a + bi) i) a + i b. a + i) + bi) b + ai Támaszkodunk arra a tényre, hogy az algebrai alak egyértelm. A kifejezés bal oldalát is algebrai alakban adjuk meg, s a bal oldal valós része egyenl a jobb oldal valós részével, hasonlóan a képzetes részek is megegyeznek a bal és a jobb oldalon. Ebb l két valós együtthatós egyenletb l álló egyenletrendszert kapunk, amit megoldunk. a. a + bi) i) a + i, a ai + bi + b a + i, a + b + b a)i a + i. A következ két valós együtthatós egyenletet kapjuk A megoldás b, a. a + b a és b a. b. a + i) + bi) b + ai, a + abi + i b b + ai, a b + + ab)i b + ai.
29 Komple számok 9 Ebb l a következ két valós együtthatós egyenletet kapjuk a b b és + ab a. Amib l a 4b és + 4b 4b. 4b 4b + 0, b 4 8, a..4.. Trigonometrikus alak, Moivre-azonosság Az -. feladatokban szerepl komple számoknak adjuk meg az abszolút értékét és a f argumentumát. A f argumentumot radiánban, π többszöröseként fejezzük ki. ϕ f argumentum, ha 0 ϕ < π). Adjuk meg a számokat trigonometrikus alakban is a. + i b. i c. 4i d. a. z + i a + bi, z r a + b ) + 4 Az argumentum kiszámítása érdekében a cos ϕ a r és a sin ϕ b r összefüggéseknek megfelel szöget keresünk. cos ϕ legyen ϕ. ϕ π 6. 0 és π közé es megoldása Általában, ha sin ϕ 0, akkor ϕ ϕ, ha pedig sin ϕ < 0, akkor ϕ π ϕ. Esetünkben ϕ ϕ π 6. z trigonometrikus alakja ezek szerint: z cos π 6 + i sin π ). 6 b. z i, z r, cos ϕ cos ϕ, sin ϕ. 0 és π közé es megoldását jelölje ϕ. ϕ π. sin ϕ < 0, ezért 4 ϕ π ϕ π π 4 7π 4. A trigonometrikus alak: z cos 7π 4 + i sin 7π ) 4
30 0. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása c. z 4i, z r 4, cos ϕ 0, sin ϕ. cos ϕ 0 0 és π közé es megoldása ϕ π. sin ϕ > 0, ezért ϕ ϕ π. z trigonometrikus alakja: z 4 cos π + i sin π ) d. z, z r, cos ϕ, sin ϕ 0. cos ϕ 0 és π közé es megoldása ϕ π. sin ϕ 0, ezért ϕ ϕ π. z trigonometrikus alakja: z cos π + i sin π) Hozzuk trigonometrikus alakra a következ komple számokat: a. + i b. + i c. i d. i z mindegyik esetben. a. + i cos π + i sin π c. i cos 4π + i sin 4π b. + i cos π + i sin π d. i cos 5π + i sin 5π Adjuk meg trigonometrikus alakban a következ komple számokat: a. cos ϕ i sin ϕ b. cos ϕ + i sin ϕ c. cos ϕ i sin ϕ Mindegyik szám abszolút értéke. a. z cos ϕ i sin ϕ. Olyan α szög az argumentum, amelyre cos α cos ϕ és sin α sin ϕ. A Gauss-számsíkban α a ϕ-nek az tengelyre való tükörképe, tehát α π ϕ és z cosπ ϕ) + i sinπ ϕ) b. z cos ϕ + i sin ϕ. Olyan α szög az argumentum, amelyre cos α cos ϕ és sin α sin ϕ. A Gauss-számsíkban α a ϕ-nek az y tengelyre való tükörképe, tehát α π ϕ és z cosπ ϕ) + i sinπ ϕ). c. z cos ϕ i sin ϕ. Olyan α szög az argumentum, amelyre cos α cos ϕ és sin α sin ϕ. A Gauss-számsíkban α a ϕ-nek az origóra való tükörképe, tehát α π + ϕ z cosπ + ϕ) + i sinπ + ϕ) Egyszer sítsük a következ kifejezéseket. és
31 Komple számok a. b. c. cos π 4 + i sin π ) cos π i sin π ) 4 cos 5π ) 5π + i sin cos π + i sin π cos 5π 6 + i sin 5π 6 A Moivre-azonosságot és következményeit használjuk fel. a. cos π 4 + i sin π ) cos π i sin π ) 4 b. cos 5π ) 5π + i sin cos 5π 5π + i sin cos 5π 6 + i sin 5π 6 π cos 4 + π ) π + i sin π 4 cosπ) + i sinπ) ) c. cos π + i sin π cos 5π 6 + i sin 5π 6 + i π cos 5π ) π + i sin 6 5π ) 6 cos π i + i sin π Mivel egyenl + cos α + i sin α) n, ha n N. Áttérünk fél szögekre és felhasználjuk a következ összefüggéseket: cos α + sin α, cos α cos α sin α, sin α sin α cos α.
32 . Analizis A) gyakorló feladatok megoldása + cos α + i sin α) n cos α + α sin + α cos α sin + i sin α cos α cos α cos α + i sin α )) n n cos n α cos nα + i sin nα ) ) n Ha n páros, akkor cos n α > 0, s így az el bbi alak egyúttal trigonometrikus alak is. Ha n páratlan, de cos α > 0, akkor szintén trigonometrikus alakot kaptunk. Ha n páratlan, és cos α < 0, akkor a trigonometrikus alakban az abszolút érték: n cos n α, az argumentum pedig: ϕ nα + π Számítsuk ki az i )cos ϕ + i sin ϕ) i)cos ϕ i sin ϕ) szám. i cos 5π + i sin 5π ), i cos 7π 4 + i sin 7π ), 4 i )cos ϕ + i sin ϕ) i)cos ϕ i sin ϕ) kifejezés értékét, ha ϕ valós cos 5π + i sin 5π ) cos ϕ + i sin ϕ) cos 7π 4 + i sin 7π ) cos ϕ) + i sin ϕ)) 4 cos ϕ π ) + i sin ϕ π ))..4.. Négyzetgyökvonás algebrai alakkal, másodfokú komple együtthatós egyenletek Oldjuk meg a következ egyenletet: i) + 5 5i) 0 Alkalmazzuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét., i ± i) 45 5i)
33 Komple számok Számoljuk ki a diszkriminánst: i) 45 5i) 9 4 i 0 + 0i 5 + 8i Kiszámítjuk 5 + 8i négyzetgyökeit. a b 5 és ab 8. Ebb l a 4 6, amit az els egyenletbe beírva b b b 5. Amib l b 4 5b 6 0. b, 5 ± ± 89 5 ± 7 A b nem megoldás, b 6 alapján pedig b 4 és a illetve b 4 és a i négyzetgyökei + 4i és 4i. Visszahelyettesítjük a megoldóképletbe:, Ebb l a megoldás + i és i. i ± + 4i) n-edik gyök meghatározása trigonometrikus alakkal, egységgyökök.4-5. Vonjunk harmadik gyököt a + i számból trigonometrikus alak felhasználásával. A gyököket adjuk meg algebrai alakban is. + i 8 + i ) 8 cos π 4 + i sin π ). Mivel 4 a gyökök.4. ábra): k 0 : w 0 cos π + i sin π ), k : w π cos + π ) π + i sin + π )) cos π 4 + i sin π ) ) 4 + i + i, k : w π cos + 4π ) π + i sin + 4π )) cos 7π ) 7π + i sin. 8 8, így A k értékhez tartozó gyököt, w -t könnyen meg lehet adni algebrai alakban, w + i. A w és w 0 algebrai alakját a harmadik egységgyökökkel való szorzással állíthatjuk el w -b l.
34 4. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása Im w w 0 π Re w.. ábra. Harmadik egységgyökökkel szorozva a harmadik egységgyököket lásd az el z példában): w + i) cos π + i sin π ) + i) ) + i + i w 0 + i) cos 4π + i sin 4π ) + i) ) i + + i + Számításaink melléktermékeként megkaphatjuk például cos 7π pontos értékét w algebrai és trigonometrikus alakjának összehasonlításából. A két alakban a valós részek egyenl ek: 7π cos, ebb l cos 7π ) Vonjunk harmadik gyököt i-b l.
35 Komple számok 5 Im w w 0 π 6 Re w.. ábra. A trigonometrikus alak i cos π + i sin π. A gyökök.5. ábra): π w k cos 6 + kπ ) π + i sin 6 + kπ ), 0 k. w 0 cos π 6 + i sin π 6 + i, w cos 5π 6 + i sin 5π 6 + i, w cos π + i sin π i Számítsuk ki i + i hatodik gyökeit. Mivel i ) i cos 7π 4 + i sin 7π 4 )
36 6. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása és ezért ) + i + i cos π 6 + i sin π ), 6 i cos 9π ) 9π + i sin. + i A gyökök: w k 9π + k4π cos + i sin 7 ) 9π + k4π, 0 k Vonjunk hatodik gyököt -b l. Keressük meg a primitív hatodik egységgyököket. Im ε ε ε ε 0 Re ε 4 ε 5.. ábra. El ször a hatodik egységgyököket írjuk fel. Lásd a.6. ábrát.) Mivel cos 0 + i sin 0, ezért ε k cos kπ 6 kπ + i sin, k 0,..., 5. 6
37 Komple számok 7 ε 0 cos 0 + i sin 0 ε cos π 6 + i sin π 6 + i ε cos 4π 6 + i sin 4π 6 + i ε cos 6π 6 + i sin 6π 6 ε 4 cos 8π 6 + i sin 8π 6 i ε 5 cos 0π 0π + i sin 6 6 i Ezek közül a primitív hatodik egységgyökök ε és ε 5. Némi számolással meggy z dhetünk róla, hogy pontosan ezek azok a hatodik gyökök közül, amelyek különböz természetes kitev j hatványaikként el állítják az összeset Polinomok felbontása a komple számok és a valós számok teste fölött Megjegyzés. C fölött minden legalább els fokú polinom els fokú tényez k szorzatára bontható, ami Gauss egyik tételéb l következik. Ha egy valós együtthatós polinomnak c nem valós komple gyöke, akkor c is gyöke, és c) c) valós együtthatós másodfokú polinom. c) c) c + c) + cc Rec) + c Felhasználva a C fölötti gyöktényez s felbontást, és a megfelel polinomokat összeszorozva megkapjuk az R fölötti el állítást irreducibilis polinomok szorzataként Bontsuk fel az 4 + polinomot irreducibilis polinomok szorzatára a. C fölött, b. R fölött. a. C fölött az 4 egyenletet kell megoldanunk, tehát -b l negyedik gyököt kell vonnunk. Tudjuk a komple számokkal való tanulmányainkból, hogy négy negyedik gyök van, s ezek: cos π 4 + i sin π 4 + i) cos π 4 + i sin π 4 + i) cos 5π 4 + i sin 5π 4 i) cos 7π 4 + i sin 7π 4 i)
38 8. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása Tehát a felbontás az alábbi: 4 + ) ) ) ) + i) + i) i) i) b. 4 + ) )) + i) i) ) )) + i) i) ) + + ) Bontsuk fel R felett irreducibilis polinomok szorzatára az polinomot. C fölött az 6 7 egyenletet kell megoldanunk, tehát 7-b l hatodik gyököt kell vonnunk. Tudjuk a komple számokkal való tanulmányainkból, hogy hat hatodik gyök van, s ezek z cos π 6 + i sin π ), 6 z cos π + i sin π ), z cos 5π 6 + i sin 5π 6 ), valamint ezeknek a konjugáltjai. A polinom felbontása C fölött: z ) z ) z ) z ) z ) z ) z + z cos π 6 z + z 0 z z z z
39 Komple számok 9 z + z cos 5π 6 z z A gyöktényez s el állítás összetartozó párjait összeszorozva megkapjuk az R fölötti el állítást z ) z )) z ) z )) z ) z )) + ) + ) + + ) Bontsuk fel R felett irreducibilis polinomok szorzatára az polinomot. C fölött az 4 4 egyenletet kell megoldanunk, tehát 4-b l negyedik gyököt kell vonnunk. Tudjuk a komple számokkal való tanulmányainkból, hogy négy negyedik gyök van, s ezek z cos π 4 + i sin π ) ) 4 + i + i, z cos π 4 + i sin π ) ) 4 + i + i, valamint ezeknek a konjugáltjai. A polinom felbontása C fölött: z ) z ) z ) z ) z + z z z z + z z z A gyöktényez s el állítás összetartozó párjait összeszorozva megkapjuk az R fölötti el állítást z ) z )) z ) z )) + ) + + )
1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenObudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebben4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval
4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenFüggvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.
Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2
RészletesebbenGyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz
Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F
RészletesebbenA gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenFigyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenI. feladatsor. (t) z 1 z 3
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenFeladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
RészletesebbenAnalízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport
Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való
Részletesebben2. hét (Ea: ): Az egyváltozós valós függvény definíciója, képe. Nevezetes tulajdonságok: monotonitás, korlátosság, határérték, folytonosság.
Ütemterv az Analízis I. c. tárgyhoz (GEMAN510B, 510-B) Járműmérnöki, logisztikai mérnöki, műszaki menedzser, villamosmérnöki, ipari termék- és formatervező mérnöki alapképzési szak 2019/20. tanév I. félév
RészletesebbenII. rész. Valós függvények
II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +
RészletesebbenVizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42
Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
Részletesebben= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.
. Határozatlan integrál megoldások.. 5. 7 5 5. t + t 5t. 8 = 7 8 = 8 5 8 5 6. e + 5 ln + tg + 7. = 8. + 5 = 5 ln + 5 9. = + 5 + 5 5 + 5 + 5 = /5 = 5 6 6/5 + 5 5 = + ln = 5 + 5 = + ln + 0.. a +a arctg a.
RészletesebbenKalkulus. Komplex számok
Komplex számok Komplex számsík A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, annak érdekében, hogy a gyökvonás művelete elvégezhető legyen a negatív számok körében is. Vegyük tehát hozzá az
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
RészletesebbenAnalízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport
Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. okt. 9. Elméleti kérdések A csoport. Hogan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komple szám szorzatát más alakba való átváltás
RészletesebbenMatematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei
Matematika A1 9. feladatsor A derivált alkalmazásai Függvény széls értékei 1. Keressük meg a függvények abszolút maximumát és minimumát a megadott intervallumon. Ezután rajzoljuk fel a függvény grakonját.
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten KOMPLEX SZÁMOK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Történeti bevezetés
Részletesebbenkonvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!
1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23
Komplex számok Wettl Ferenc 2014. szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok 2014. szeptember 14. 1 / 23 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet
RészletesebbenBruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK. Példák és feladatok. Szerkesztette Láng Csabáné
Bruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK Példák és feladatok Szerkesztette Láng Csabáné Lektorálta Burcsi Péter c Bruder Györgyi és Láng Csabáné, 008 ELTE IK Budapest 008--6 javított kiadás Ez a példatár
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
Részletesebben: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!
nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenBruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK. Példák és feladatok. Szerkesztette Láng Csabáné
Bruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK Példák és feladatok Szerkesztette Láng Csabáné Lektorálta Burcsi Péter c Bruder Györgyi és Láng Csabáné, 008 ELTE IK Budapest 008-- javított kiadás Ez a példatár
RészletesebbenMiskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás
RészletesebbenMásodik zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
RészletesebbenAnalízis házi feladatok
Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,
Részletesebben7. gyakorlat megoldásai
7. gyakorlat megoldásai Komple számok, sajátértékek, sajátvektorok F1. Legyen z 1 = + i és z = 1 i. Számoljuk ki az alábbiakat: z 1 z 1 + z, z 1 z, z 1 z,, z 1, z 1. z M1. A szorzásnál használjuk, hogy
Részletesebben1. Komplex számok. x 2 = 1 és x 2 + x + 1 = 0. egyenletek megoldását számnak tekinthessük:
. Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését
RészletesebbenSzili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány
Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........
RészletesebbenKomplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.
Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
RészletesebbenHatárérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenTartalomjegyzék Bevezető feladatok Taylor polinom Bevezető feladatok Taylor polinomok...
Tartalomjegyzék 3. Valós függvények 3.. Valós függvények............................... 3 3... Bevezető feladatok.......................... 3 3... Határérték............................... 5 3..3. Függvény
RészletesebbenHatározatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
RészletesebbenMatematikai analízis II.
Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények
Részletesebbenn 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
RészletesebbenMatematika A1. 8. feladatsor. Dierenciálás 2. Trigonometrikus függvények deriváltja. A láncszabály. 1. Határozzuk meg a dy/dx függvényt.
Matematika A 8. feladatsor Dierenciálás Trigonometrikus függvények deriváltja. Határozzuk meg a dy/d függvényt. a) y = 0 + 3 cos 0 3 sin b) y = sin 4 + 7 cos sin c) y = ctg +ctg sin )+ctg ) d) y = tg cos
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
Részletesebben17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben
Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.
Részletesebbenx a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1
EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy
RészletesebbenSorozatok, sorozatok konvergenciája
Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
Részletesebben1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!
Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)
RészletesebbenKomplex számok trigonometrikus alakja
Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =
RészletesebbenMATEK-INFO UBB verseny április 6.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATEK-INFO UBB verseny 219. április 6. Írásbeli próba matematikából FONTOS MEGJEGYZÉS: 1) Az A. részben megjelenő feleletválasztós
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenFüggvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.
Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenM szaki matematika 2
Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet M szaki matematika Gyakorlati jegyzet Készítette: Bogya Norbert, Dudás János, Fülöp Vanda Utoljára módosítva: 09. április 8. Európai Szociális Alap i Szegedi Tudományegyetem,
RészletesebbenBaran Ágnes. Gyakorlat Komplex számok. Baran Ágnes Matematika Mérnököknek Gyakorlat 1 / 33
Matematika Mérnököknek 1. Baran Ágnes Gyakorlat Komplex számok Baran Ágnes Matematika Mérnököknek 1. 2.-4. Gyakorlat 1 / 33 Feladatok 1. Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán! Ábrázolja
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.
Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y
Részletesebben