1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása"

Átírás

1 Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép Számsorozatok Számorozatok Függvények határértéke és folytonossága Deriválás, deriválás alkalmazása Implicit függvény deriválása, görbe érint je BernoulliL'Hospital-szabály alkalmazása Függvényvizsgálat Görbék érintkezése, Taylor-polinom Görbék paraméteres egyenletrendszere Polárkoordináták Integrálás alapintegrálok) Integrálás Polinomok, racionális törtfüggvények integrálása Komple számok Algebrai alak Trigonometrikus alak, Moivre-azonosság Négyzetgyökvonás algebrai alakkal, másodfokú komple együtthatós egyenletek n-edik gyök meghatározása trigonometrikus alakkal, egységgyökök.4.5. Polinomok felbontása a komple számok és a valós számok teste fölött

2 . Analizis A) gyakorló feladatok megoldása... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép.-. Melyek azok a valós számok, amelyek kielégítik az alábbi egyenl tlenségeket? a. Th 4.o. 5.) 5 < b. Th. 5.o..) > 5 c. Th ) 0 a. 5 < < 5 < Ha > 0 < 5 < < 6 és 4 < < és < Ha < 0 > 5 > > 6 és 4 > > és > ) Megoldás:, ami ellentmondás. b. > 5 > 5 vagy < 5 > vagy < 7 > vagy > 7 ) 7 Megoldás:, ) és,

3 ... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép c. 0, ± + 8 ± vagy 0 ) + ) 0 ) 0 és + ) 0 vagy ) < 0 és + ) < 0 és vagy < és < Megoldás:, ) és, ).-. Igazoljuk matematikai indukcióval, hogy minden pozitív egész számra igazak az alábbi egyenl ségek. a. Th ) n n b. W -5, 04.) n ) n c. W -5,.) a n n n nn + )n + ) k kk + ) n esetén: Tfh n-re igaz, ekkor n + -re: }{{ n } + n+ n ) n+ n+ n b n ) n n esetén: Tfh n-re igaz, ekkor n + -re: n ) }{{} +n + ) n + n + n + ) c. n nn + )n + ) k kk + ) n esetén: Tfh n-re igaz, ekkor n + -re: n+ n k kk + ) kk + ) +n + )n + ) nn + )n + ) k }{{} n ) + n + )n + ) n + )n + ) +

4 4. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása n + )n + )n + ) Számtani- és mértani-közép. Legyen n, n N +, a, a,..., a n 0 valós számok. Ekkor mértani közepük kisebb/egyenl, mint a számtani közepük. n a a... a n a + a a n n Egyenl ség pontosan akkor áll fenn, ha a a... a n..-. Legyen a, a,..., a n > 0, n. Lássuk be, hogy: a. b. a + a a n + a n n a a a n a a a a a 4 a + a + a + 4a ) 0 a. a + a a n + a n n a a a n a Alkalmazzuk a számtani-mértani közép összefüggést az a a, a a,..., a n a n, a n a számokra. a n a... an an a a a n a a a + a a a n n a n + a n a b. n a + a a n + a n a a a n a a a a a 4 a + a + a + 4a ) 0 Alkalmazzuk a számtani-mértani közép összefüggést az alábbi számokra: a, a, a, a, a, a, a 4, a 4, a 4, a 4.

5 ... Számsorozatok Számsorozatok..-4. M44) Hányadik tagtól közelíti meg határértékét ε-nál kisebb hibával az a n n, n N + sorozat? Felhasználjuk, hogy lim n n ) a n >. a n a n < ε n < + ε Vegyük mindkét oldal 0-es alapú logaritmusát: A jobb oldal pozitív. lg < lg + ε) n lg lg + ε) < n A küszöbszám: n 0 [ + lg ] lg + ε).-5. Az alábbiakban n N +. Melyik sorozat konvergens? A konvergensnek mondjuk meg a határértékét. a. M) a n n + b. M8) a n n + n c. M) a n n + 7n + n + n n n a. a n 0, ha n n + b. a n n + n n + 7n + n + n n n + 7 n , ha n n

6 6. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása c. a n n + n n + n n + + n n + n n n n n n + + n n + n n + n n + n n + + n n n + n n + n + n + n + n n + + n + 0, ha n Az alábbiakban n N +. Számítsuk ki az alábbi sorozatok határértékét. a. a n n 0n b. a n n n n c. a n n ) n a. a n n 0n n 0 n n, ha n b. a n n n n n n nn ) n, ha n. n n n n n < n n n n, ha n n n n n), ha n. A "szendvicstétel / rend relv" miatt n n n, ha n is teljesül. c. a n ) n n n n, ha n n... Számorozatok..-7. W7-/90) Legyen a adott pozitív szám. Mutassuk meg, hogy tetsz leges a pozitív számot választva az a n+ a n + aan )

7 ... Számorozatok. 7 sorozat a-hoz konvergál. a. Belátjuk, hogy a n+ a.. megoldás. Tekintsük az a n és az a a n számokat. Mivel a két szám számtani közepe nagyobb, vagy egyenl, mint a mértani közepük, igaz az állítás. a n+ ) a n + aan a n a a n a.. megoldás. a n+ a n + aan ) a n+ a n a n + a 0 a n a n+ a n + a a n a n+ ) a n+ + a a n+ a a n a n+ ) 0 a n+ a a n+ a b. Belátjuk, hogy monoton csökken a. tagtól a n+ a n+ + a a n+ a n+ + a n+ a n+ a n+ A sorozat monoton csökken, és alulról korlátos, így konvergens, jelölje A a határértékét. c. Kiszámítjuk a határértéket. A A + a ) A A A + a A a A a.-8. Számoljuk ki az alábbi határértékeket. Felhasználjuk, hogy lim n a. M7a) lim n + ) n+ n + n) n e

8 8. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása b. M7b) lim n + c. lim n n + n + 5 n ) n ) n+ + a. b. + n) n+ + n) + n) n ) e e, ha n + ) n+ + n + ) n + ) 4 n +) n + ) n + ) 4 n + ) ) n 4 n e 4 e 4, ha n c. ) n + n n + 5 n + 5 n + ) n + ) n n + + ) n+ + ) n + e e, n + ha n.-9. Számoljuk ki az alábbi határértéket. lim D n, ahol D n n n + n ) n + n + n ) n + n + n ) n ) + n n

9 Függvények határértéke és folytonossága 9 + ) n + n n + n + ) n + ) + ) n + ) n n n n + n + ) + ) n+ + ) + ) n n n + n + n e e e, ha n Függvények határértéke és folytonossága.4-0. M6) Számoljuk ki az alábbi határértékeket. a. lim 0 sgn) b. lim +0 sgn) c. lim 0 sgn) a. lim 0 nem létezik. sgn) b. lim +0 nem létezik. sgn) c. lim 0 nem létezik. sgn).4-. M67a) Számoljuk ki az alábbi határértékeket. a. lim +0 b. lim 0 c. lim

10 0. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása a. lim +0 + b. lim 0 c. lim nem létezik..4-. M67b) Számoljuk ki az alábbi határértékeket. a. lim +0 b. lim 0 c. lim 0 a. lim +0 b. lim 0 c. lim 0 + nem létezik..4-. Számoljuk ki az alábbi határértékeket. Az adott pontban a bal és a jobb oldali határértéket is adjuk meg a. M74) + lim + b. M75) lim ) c. M76) lim ) + d. M88) lim 0

11 Függvények határértéke és folytonossága a. lim ) + + ) ) ) ha, akkor + + ) ) Ha, akkor a számláló 4-hez tart, a nevez 0-hoz. Azonban + + ) + + ) lim 0, lim ) +0 + ) Így + lim nem létezik. + b. lim ) Támaszkodunk a következ azonosságra: a n b n a b)a n + a n b a b n + b n ) Ebb l, ha n, a és b, azt kapjuk, hogy: ) + + ) + + Mivel az + 0 egyenlet gyökei és + ) + + ) ha, akkor + ) ) ) + + ) + ) + + ), ha

12 . Analizis A) gyakorló feladatok megoldása c. lim ) nem létezik. lim ) + + lim ) + + ) lim + ) + + ) nem létezik, mert lim f), lim 0 f) + +0 d. lim ) + +, ha 0 sin.4-4. A lim 0 határérték ismeretében számoljuk ki az alábbi határértékeket. cos a. M409) lim 0 cos b. M4) lim 0 sin sin c. M48) lim π π a. lim 0 cos Nézzük a következ átalakítást. cos α cos α sin α sin α cos α sin α. S így cos sin. Ezt felhasználva cos sin ) 4 sin, ha 0

13 Függvények határértéke és folytonossága b. lim 0 cos sin cos sin cos ) sin, ha 0 c. lim π sin π Alkalmazzuk az y π helyettesítést, amib l π y. π y 0. sin π sinπ y) y yπ sin π cos y cos π sin y y yπ sin y y, ha y 0 π) yπ.4-5. ) Mi legyen az α értéke, hogy az alábbi függvény folytonos legyen? { f) +, ha > α, ha Az pontban meg kell egyezzen a két függvény helyettesítési értéke, tehát + α, amib l α ) Mi legyen a c értéke, hogy az alábbi függvény folytonos legyen a 0 pontban? { tg f), ha 0 c, ha 0 ) tg sin lim 0 lim 0. cos c kell legyen ) Mi legyen az α értéke, hogy az alábbi függvény folytonos legyen? { f) α, ha < 4 α + 0, ha 4

14 4. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása Az alábbinak kell teljesülni. α 4 α α 4α + 0 α + 4α α.5-8. M70) Deriválás, deriválás alkalmazása a. Határozzuk meg az f) függvény dierenciálhányadosát az 0 helyen, és a dierenciálhányados határértékét. b. Formális deriválással is számoljuk ki a függvény deriváltját az 0 helyen. a. A következ határértéket kell kiszámolnunk: f 0 + h) f 0 ) lim h 0 h b. lim + h) ) h 0 h 8 lim + 4 h + h + h ) 8 h 0 h lim h 0 h 4 h + ) h + h lim h ) h + h f ) M74) a. Határozzuk meg az f) + függvény dierenciálhányadosát az 0 0 helyen, és a dierenciálhányados határértékét. b. Formális deriválással is számoljuk ki a függvény deriváltját az 0 helyen.

15 Deriválás, deriválás alkalmazása 5 a. A következ határértéket kell kiszámolnunk: f 0 + h) f 0 ) lim h 0 h h+ h lim + ) lim h 0 h h 0 h h h b. + ) 0 ) + ) ) 0 ) Deriváljuk a következ függvényeket: a. M76) 0 + lg ) b. M770) ln 5 7 ln 5 + ln a. 0 + lg ) 0 ln 0 + ln 0 b. ln 5 7 ln 5 + ln ) ln 5 7 ln 5 + ln ) 5 5 ln4 + ln + Deriválási példák a Thomas-féle KALKULUS I. tankönyvb l:.. fejezet 50.old 7- és -6 feladatok.. fejezet 6.old 7- feladatok.5. fejezet láncszabály) 8. o példa, 84. o. 7. példa Megoldást, végeredményt lásd a Thomas-féle KALKULUS I. tankönyvben. Deriválási példák a Thomas-féle KALKULUS I. tankönyvb l:.. fejezet 6. old -8 feladat.4. fejezet 78. old 7- feladat.5. fejezet láncszabály) 89. old 9-8 feladat

16 6. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása Megoldást, végeredményt lásd a Thomas-féle KALKULUS I. tankönyvben..5-. Határozzuk meg az alábbi függvényekhez tartozó görbe meredekségét és érint jét az adott 0 pontban. a. A) f) + 9 ; 0. b. B) f) + ) ; 0. Az érint egyenlete y f 0 ) + f 0 ) 0 ). a. A) f ) 9 ; f ) 0; f ) 6. Az érint egyenlete: y 6. b. B) f ) + ) ; f ) ; f ). Az érint egyenlete: y + + ) M798) Adjuk meg ln + ) n-edik deriváltját. ln + )) + ) + ln + )) + ) + ) Belátjuk, hogy ln + )) n) n )! ) n ) + ) n Tegyük fel, hogy ln + )) n ) n )! ) n ) + ) n ) Ezt deriválva: ln+)) n) n )! ) n ) )n )+) n ) n )! ) n ) + ) n

17 Implicit függvény deriválása, görbe érint je M88) Az alábbi út-id függvény ismeretében adjuk meg a t 0 0 id ponthoz tartozó sebességet és gyorsulást. st) t t. Az út-id függvény els deriváltja a sebesség-függvény, második deriváltja a gyorsulás-függvény. Számoljuk ki el ször t deriváltját. t ) e ln t ) e t ln ) e t ln ) t ln t t ln Ezt felhasználva a sebesség a t 0 0 id pontban: st) t t ) t0 t t ln 6t 0 t0 t0 st)-t még egyszer deriválva kapjuk a gyorsulás-függvényt. st) t t ln 6t) t0 t ) t ln + t ln 6 t0 t0 t t ln ) t ln + t ln 6 t t ln ) + t ln 6 t0 t0 ln 6 ln Implicit függvény deriválása, görbe érint je.6-4. M804)Írjuk fel az alábbi egyenlettel deniált implicit függvény deriváltját. y y + 0. Tudjuk, hogy y az függvénye. Az alábbi egyenlet mindkét oldalát deriváljuk szerint. y ) y) + 0. Ha y ) ) 0, akkor y )y ) y) y ) + 0. y ) y ) ) y). y ) y) y ).

18 8. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.6-5. M88) Írjuk fel a megadott pontbeli érint egyenes egyenletét, ha a görbe egyenlete: + y 6y 0, P 0, ). Behelyettesítéssel ellen rizzük, hogy a pont valóban rajta van a görbén: Tudjuk, hogy y az függvénye. Az alábbi egyenlet mindkét oldalát deriváljuk szerint. Az érint egyenes egyenlete: + y ) 6y) 0 + y ) y ) 6y) 6y ) 0 y ) y ) 6) 6y) y ) 7 8) 8 7 y ) y ) y M80) Írjuk fel a megadott pontbeli érint egyenes egyenletét, ha a görbe egyenlete: + y arctg y π 4, P 0, ). Behelyettesítéssel ellen rizzük, hogy a pont valóban rajta van a görbén: + arctg π 4 Tudjuk, hogy y az függvénye. Az alábbi egyenlet mindkét oldalát deriváljuk szerint. Felhasználjuk, hogy arctg ), valamint a jobb oldal konstans, így 0 a deri- + váltja. + y) y ) + y ) arctg y) π 4 + y)) y ) y) 0

19 BernoulliL'Hospital-szabály alkalmazása 9 + y) y ) y ) y) Az érint egyenes egyenlete: y y ) + y ) + y) + y ) 0 ) + y ) ) ) y ) ) ) y y) + y ) y ) BernoulliL'Hospital-szabály alkalmazása.7-7. Th 7.o.. 7.o..) Az alábbi feladatokat a BernoulliL'Hospitalszabály alkalmazásával oldjuk meg. sin a. lim 0 + b. lim 0 + c. lim 0 sin d. lim 0 a. sin lim 0 B LH cos lim 0

20 0. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása b. c. lim 0 + lim 0 B LH lim ) B LH /) + ) / / lim ) B LH lim 0 /4) + ) / 8 d. sin lim ) B LH lim 0 cos 0 0 ) B LH sin lim ) B LH cos lim Függvényvizsgálat.8-8. Th 49.o.) a. Keressük meg azokat az intervallumokat, amelyekben a függvény csökken, illetve n ; b. amennyiben léteznek, határozzuk meg a függvények széls értékhelyeit és széls értékeit. i..) g) 8 ii..) f),

21 Függvényvizsgálat iii. 5.) f) + 8) i. g) 8 a. Csökken, )-n növekv -,)-n, csökken, )-n; b. lokális minimum: g ) 4, g ) 0; lokális maimum: g ) 0, g) 4. A FÜGGVÉNY GRAFIKONJÁT LÁSD külön fájlban. ii. f), a. Növekv, )-ben, csökken, ha < <, csökken, ha < <, szakadása van -ben, növekv, )-ben; b. lokális minimum: -ban, 6),; lokális maimum: -ben, ), A FÜGGVÉNY GRAFIKONJÁT LÁSD A KÜLÖN FÁJLBAN! iii. f) + 8) a. Növekv, 0)-ban és 0, )-ben, csökken,, )-ben; b. lokális minimum: 6 az helyen Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvényekkel: a., ha >, vagy b. M947.) f) f) cos cos, ha <, vagy a. f), ha >, vagy, ha <, vagy A GRAFIKONT LÁSD KÜLÖN FÁJLBAN!

22 . Analizis A) gyakorló feladatok megoldása Szakadási hely ±. f) 0 0, vagy /., ), 0) 0 0, /) /, ), ), ) f ) f ) f) mon. lokális mon. lokális mon. mon. lokális mon lokális mon. csökk. min. n ma. csökk. csökk. min. n min. n konkáv konkáv konkáv konve konve konkáv Az / pontban a görbének ineiós pontja van. b. f) cos cos A megoldást lásd a Monostori példatárban Matematika példatár I.-II.) Görbék érintkezése, Taylor-polinom.9-0. Hányadrendben érintik egymást az f) és a g) cos függvények az 0 0 pontban? A GRAFIKONT LÁSD KÜLÖN FÁJLBAN! f) 0 0 g) f) 0 0 g) cos f ) 0 0 g ) cos sin f ) g ) cos 4 sin cos f ) g ) 6 sin 6 cos + sin f 4) ) 0 0 g 4) ) cos + 8 sin + cos A görbék harmadrendben érintik egymást..9-. a. Írjuk fel az f) sin cos függvény 0 0-hoz tartozó negyedrend Taylor-polinomját a hozzátartozó Lagrange-féle maradéktaggal együtt. b. Írjuk fel az f) ln + ) függvény 0 0-hoz tartozó n-edrend Taylorpolinomját, és állapítsuk meg, hogy a 0, 0, intervallumban mekkora hibával közelíti meg a Taylor-polinom a függvényt.

23 Görbék érintkezése, Taylor-polinom a. f) sin cos, f 0 ) f ) cos + sin, f 0 ) f ) sin + cos, f 0 ) f ) cos sin, f 0 ) f 4) ) sin cos, f 4) 0 ) f 5) ) cos + sin T 4 ) , R 4 ) ahol ξ a 0 és közötti valamelyik hely. b. f) ln + ), 0 0, 0, 0,. cos ξ + sin ξ 5, 0 f) ln + ), f 0 ) 0 f ) +, f 0 ) f ) + ), f 0 ) f ) ) ) + ), f 0 ) f n) ) ) n n )! + ) n, f n) 0 ) ) n n )! f n+) ) ) n n)! + ) n+, f n+) ξ) ) n n)! + ξ) n+ T n ) + n )n n, R n ) f n+) ξ) n + )! n+ ahol ξ a 0 és közötti valamelyik hely. ) n n! n + )! + ξ) n+ n+, f) T n ) R n ) n + ) + ξ) n+ n+ 0 n+) n + )0, 9) n+

24 4. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása Görbék paraméteres egyenletrendszere.0-. Határozzuk meg a ciklois a magasságú pontjainak abszcisszáit. Egyenesen csúszásmentesen gördül a sugarú R középpontú kör kerületének egy kiszemelt P pontja un. ciklois pályán mozog. Legyen a t paraméter a kör RP sugarának elfordulási szöge radiánban. Ekkor a ciklois paraméteres egyenletrendszere: at a sin t y a a cos t } 0 t π y a a a a cos t cos t cos t Ebb l t π és t 5π. at a sin t t π aπ sin π ) aπ ) at a sin t t 5π a 5π sin 5π ) a5π + ) A keresett abszcisszák: a π ) és a 5π + ).0-. Mi az alábbi paraméteres egyenletrendszerrel megadott görbe érint je a t 0 π 4 pontban? t) a cos t yt) a sin t } a sin t, y a cos t y ) yt) t) a cos t a sin t ctg t

25 ... Polárkoordináták 5 π ) π ) y a 4, a 4, π ) y. 4 Az érint egyenlete: ) y a a + a.0-4. Határozzuk meg az alábbi paraméteres egyenletrendszerrel megadott görbe érint jének egyenletét a t 0 pontban. t) 4t + t yt) t } 4 + t, y 4t y ) yt) t) 4t 4 + t t + t t t + t + y ) t 4 t y), ) 5 0 Az érint egyenlete: y f 0 ) + f 0 ) 0 ) y + 5) 4... Polárkoordináták.-5. Legyen r cos ϕ. Adjuk meg a görbe egyenletét a Descartes-féle koordináta rendszerben és húzzunk érint t a ϕ 0 π 6 -hoz tartozó pontjához.

26 6. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása r cos ϕ a görbe polárkoordinátás alakja. r cos ϕ cos ϕ y r sin ϕ cos ϕ sin ϕ / sin ϕ ) A görbe egyenlete: + y, + y 0 Így a görbe /; 0) középpontú / sugarú kör. A görbe ) paraméteres egyenletrendszerrel történ megadása alapján: 6 cos ϕ sin ϕ) sin ϕ, y cos ϕ y ) yϕ) cos ϕ ϕ) sin ϕ y ) ϕ π 6 π ) 0 cos π π ) 4, y 0 y 6 sin π. 4 Az érint egyenlete: y y 0 + y 0 ), y +... Integrálás alapintegrálok).-6. Integrálási példák Szili László Integrálszámítás anyagából: F6 d; F8 d, e, f; F0 d, e, f. Megoldást, végeredményt lásd Szili László Integrálszámítás anyagában.... Integrálás..-7. Integrálási példák Szili László Integrálszámítás anyagából: F5 d, e, f; F7 d, e, g, h; F8 a; F6 i, j, g. Megoldást, végeredményt lásd Szili László Integrálszámítás anyagában.

27 ...Polinomok, racionális törtfüggvények integrálása 7...Polinomok, racionális törtfüggvények integrálása.-8. Polinomokra vonatkozó példák Láng Csabáné Polinomok alapjai anyagából: Maradékos osztás:.-5a,.-7a,b; Horner elrendezés:.4-; Racionális együtthatós polinomok racionális gyökei, polinomok felbontása:.6-5. Megoldást, végeredményt lásd Láng Csabáné Polinomok alapjai anyagában..-9. Integrálási példák Szili László Integrálszámítás anyagából: Racionális függvény integrálása: F d, e; Integrálás parciális törtekre bontással: F4 a, e. Megoldást, végeredményt lásd Szili László Integrálszámítás anyagában..4.. Algebrai alak Komple számok Fejezzük ki algebrai alakban a következ számokat: a. + i) + i) b. i)5 + i) c. 5i) d. i) Az algebrai alakban megadott komple számok összeadására és szorzására vonatkozó összefüggéseket alkalmazzuk. a. + i) + i) 6 ) )i + i b. i)5 + i) 7 9i c. 5i) 0i d. i) i + i i.4-4. Adjuk meg a következ komple számok konjugáltját: a. + 5i 5i a. + 5i b. 4 7i c. i d. 4 e. + i

28 8. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása b. 4 7i 4 + 7i c. i i d. 4 4 e. + i i.4-4. A következ számokat fejezzük ki algebrai alakban: a. + 4i i b. i + i c. + i) d. i) + i) A nevez b l úgy tüntethetjük el az i-t, hogy a nevez konjugáltjával b vítünk. a. + 4i i + 4i) + i) 5 + 0i + i i) + i) + 4 b. c. d. i i i + i 4 i + i) i 4 i i) + i) 4 + i 4 i i.4-4. Adjuk meg az a és b valós számok értékét, ha: a. a + bi) i) a + i b. a + i) + bi) b + ai Támaszkodunk arra a tényre, hogy az algebrai alak egyértelm. A kifejezés bal oldalát is algebrai alakban adjuk meg, s a bal oldal valós része egyenl a jobb oldal valós részével, hasonlóan a képzetes részek is megegyeznek a bal és a jobb oldalon. Ebb l két valós együtthatós egyenletb l álló egyenletrendszert kapunk, amit megoldunk. a. a + bi) i) a + i, a ai + bi + b a + i, a + b + b a)i a + i. A következ két valós együtthatós egyenletet kapjuk A megoldás b, a. a + b a és b a. b. a + i) + bi) b + ai, a + abi + i b b + ai, a b + + ab)i b + ai.

29 Komple számok 9 Ebb l a következ két valós együtthatós egyenletet kapjuk a b b és + ab a. Amib l a 4b és + 4b 4b. 4b 4b + 0, b 4 8, a..4.. Trigonometrikus alak, Moivre-azonosság Az -. feladatokban szerepl komple számoknak adjuk meg az abszolút értékét és a f argumentumát. A f argumentumot radiánban, π többszöröseként fejezzük ki. ϕ f argumentum, ha 0 ϕ < π). Adjuk meg a számokat trigonometrikus alakban is a. + i b. i c. 4i d. a. z + i a + bi, z r a + b ) + 4 Az argumentum kiszámítása érdekében a cos ϕ a r és a sin ϕ b r összefüggéseknek megfelel szöget keresünk. cos ϕ legyen ϕ. ϕ π 6. 0 és π közé es megoldása Általában, ha sin ϕ 0, akkor ϕ ϕ, ha pedig sin ϕ < 0, akkor ϕ π ϕ. Esetünkben ϕ ϕ π 6. z trigonometrikus alakja ezek szerint: z cos π 6 + i sin π ). 6 b. z i, z r, cos ϕ cos ϕ, sin ϕ. 0 és π közé es megoldását jelölje ϕ. ϕ π. sin ϕ < 0, ezért 4 ϕ π ϕ π π 4 7π 4. A trigonometrikus alak: z cos 7π 4 + i sin 7π ) 4

30 0. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása c. z 4i, z r 4, cos ϕ 0, sin ϕ. cos ϕ 0 0 és π közé es megoldása ϕ π. sin ϕ > 0, ezért ϕ ϕ π. z trigonometrikus alakja: z 4 cos π + i sin π ) d. z, z r, cos ϕ, sin ϕ 0. cos ϕ 0 és π közé es megoldása ϕ π. sin ϕ 0, ezért ϕ ϕ π. z trigonometrikus alakja: z cos π + i sin π) Hozzuk trigonometrikus alakra a következ komple számokat: a. + i b. + i c. i d. i z mindegyik esetben. a. + i cos π + i sin π c. i cos 4π + i sin 4π b. + i cos π + i sin π d. i cos 5π + i sin 5π Adjuk meg trigonometrikus alakban a következ komple számokat: a. cos ϕ i sin ϕ b. cos ϕ + i sin ϕ c. cos ϕ i sin ϕ Mindegyik szám abszolút értéke. a. z cos ϕ i sin ϕ. Olyan α szög az argumentum, amelyre cos α cos ϕ és sin α sin ϕ. A Gauss-számsíkban α a ϕ-nek az tengelyre való tükörképe, tehát α π ϕ és z cosπ ϕ) + i sinπ ϕ) b. z cos ϕ + i sin ϕ. Olyan α szög az argumentum, amelyre cos α cos ϕ és sin α sin ϕ. A Gauss-számsíkban α a ϕ-nek az y tengelyre való tükörképe, tehát α π ϕ és z cosπ ϕ) + i sinπ ϕ). c. z cos ϕ i sin ϕ. Olyan α szög az argumentum, amelyre cos α cos ϕ és sin α sin ϕ. A Gauss-számsíkban α a ϕ-nek az origóra való tükörképe, tehát α π + ϕ z cosπ + ϕ) + i sinπ + ϕ) Egyszer sítsük a következ kifejezéseket. és

31 Komple számok a. b. c. cos π 4 + i sin π ) cos π i sin π ) 4 cos 5π ) 5π + i sin cos π + i sin π cos 5π 6 + i sin 5π 6 A Moivre-azonosságot és következményeit használjuk fel. a. cos π 4 + i sin π ) cos π i sin π ) 4 b. cos 5π ) 5π + i sin cos 5π 5π + i sin cos 5π 6 + i sin 5π 6 π cos 4 + π ) π + i sin π 4 cosπ) + i sinπ) ) c. cos π + i sin π cos 5π 6 + i sin 5π 6 + i π cos 5π ) π + i sin 6 5π ) 6 cos π i + i sin π Mivel egyenl + cos α + i sin α) n, ha n N. Áttérünk fél szögekre és felhasználjuk a következ összefüggéseket: cos α + sin α, cos α cos α sin α, sin α sin α cos α.

32 . Analizis A) gyakorló feladatok megoldása + cos α + i sin α) n cos α + α sin + α cos α sin + i sin α cos α cos α cos α + i sin α )) n n cos n α cos nα + i sin nα ) ) n Ha n páros, akkor cos n α > 0, s így az el bbi alak egyúttal trigonometrikus alak is. Ha n páratlan, de cos α > 0, akkor szintén trigonometrikus alakot kaptunk. Ha n páratlan, és cos α < 0, akkor a trigonometrikus alakban az abszolút érték: n cos n α, az argumentum pedig: ϕ nα + π Számítsuk ki az i )cos ϕ + i sin ϕ) i)cos ϕ i sin ϕ) szám. i cos 5π + i sin 5π ), i cos 7π 4 + i sin 7π ), 4 i )cos ϕ + i sin ϕ) i)cos ϕ i sin ϕ) kifejezés értékét, ha ϕ valós cos 5π + i sin 5π ) cos ϕ + i sin ϕ) cos 7π 4 + i sin 7π ) cos ϕ) + i sin ϕ)) 4 cos ϕ π ) + i sin ϕ π ))..4.. Négyzetgyökvonás algebrai alakkal, másodfokú komple együtthatós egyenletek Oldjuk meg a következ egyenletet: i) + 5 5i) 0 Alkalmazzuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét., i ± i) 45 5i)

33 Komple számok Számoljuk ki a diszkriminánst: i) 45 5i) 9 4 i 0 + 0i 5 + 8i Kiszámítjuk 5 + 8i négyzetgyökeit. a b 5 és ab 8. Ebb l a 4 6, amit az els egyenletbe beírva b b b 5. Amib l b 4 5b 6 0. b, 5 ± ± 89 5 ± 7 A b nem megoldás, b 6 alapján pedig b 4 és a illetve b 4 és a i négyzetgyökei + 4i és 4i. Visszahelyettesítjük a megoldóképletbe:, Ebb l a megoldás + i és i. i ± + 4i) n-edik gyök meghatározása trigonometrikus alakkal, egységgyökök.4-5. Vonjunk harmadik gyököt a + i számból trigonometrikus alak felhasználásával. A gyököket adjuk meg algebrai alakban is. + i 8 + i ) 8 cos π 4 + i sin π ). Mivel 4 a gyökök.4. ábra): k 0 : w 0 cos π + i sin π ), k : w π cos + π ) π + i sin + π )) cos π 4 + i sin π ) ) 4 + i + i, k : w π cos + 4π ) π + i sin + 4π )) cos 7π ) 7π + i sin. 8 8, így A k értékhez tartozó gyököt, w -t könnyen meg lehet adni algebrai alakban, w + i. A w és w 0 algebrai alakját a harmadik egységgyökökkel való szorzással állíthatjuk el w -b l.

34 4. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása Im w w 0 π Re w.. ábra. Harmadik egységgyökökkel szorozva a harmadik egységgyököket lásd az el z példában): w + i) cos π + i sin π ) + i) ) + i + i w 0 + i) cos 4π + i sin 4π ) + i) ) i + + i + Számításaink melléktermékeként megkaphatjuk például cos 7π pontos értékét w algebrai és trigonometrikus alakjának összehasonlításából. A két alakban a valós részek egyenl ek: 7π cos, ebb l cos 7π ) Vonjunk harmadik gyököt i-b l.

35 Komple számok 5 Im w w 0 π 6 Re w.. ábra. A trigonometrikus alak i cos π + i sin π. A gyökök.5. ábra): π w k cos 6 + kπ ) π + i sin 6 + kπ ), 0 k. w 0 cos π 6 + i sin π 6 + i, w cos 5π 6 + i sin 5π 6 + i, w cos π + i sin π i Számítsuk ki i + i hatodik gyökeit. Mivel i ) i cos 7π 4 + i sin 7π 4 )

36 6. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása és ezért ) + i + i cos π 6 + i sin π ), 6 i cos 9π ) 9π + i sin. + i A gyökök: w k 9π + k4π cos + i sin 7 ) 9π + k4π, 0 k Vonjunk hatodik gyököt -b l. Keressük meg a primitív hatodik egységgyököket. Im ε ε ε ε 0 Re ε 4 ε 5.. ábra. El ször a hatodik egységgyököket írjuk fel. Lásd a.6. ábrát.) Mivel cos 0 + i sin 0, ezért ε k cos kπ 6 kπ + i sin, k 0,..., 5. 6

37 Komple számok 7 ε 0 cos 0 + i sin 0 ε cos π 6 + i sin π 6 + i ε cos 4π 6 + i sin 4π 6 + i ε cos 6π 6 + i sin 6π 6 ε 4 cos 8π 6 + i sin 8π 6 i ε 5 cos 0π 0π + i sin 6 6 i Ezek közül a primitív hatodik egységgyökök ε és ε 5. Némi számolással meggy z dhetünk róla, hogy pontosan ezek azok a hatodik gyökök közül, amelyek különböz természetes kitev j hatványaikként el állítják az összeset Polinomok felbontása a komple számok és a valós számok teste fölött Megjegyzés. C fölött minden legalább els fokú polinom els fokú tényez k szorzatára bontható, ami Gauss egyik tételéb l következik. Ha egy valós együtthatós polinomnak c nem valós komple gyöke, akkor c is gyöke, és c) c) valós együtthatós másodfokú polinom. c) c) c + c) + cc Rec) + c Felhasználva a C fölötti gyöktényez s felbontást, és a megfelel polinomokat összeszorozva megkapjuk az R fölötti el állítást irreducibilis polinomok szorzataként Bontsuk fel az 4 + polinomot irreducibilis polinomok szorzatára a. C fölött, b. R fölött. a. C fölött az 4 egyenletet kell megoldanunk, tehát -b l negyedik gyököt kell vonnunk. Tudjuk a komple számokkal való tanulmányainkból, hogy négy negyedik gyök van, s ezek: cos π 4 + i sin π 4 + i) cos π 4 + i sin π 4 + i) cos 5π 4 + i sin 5π 4 i) cos 7π 4 + i sin 7π 4 i)

38 8. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása Tehát a felbontás az alábbi: 4 + ) ) ) ) + i) + i) i) i) b. 4 + ) )) + i) i) ) )) + i) i) ) + + ) Bontsuk fel R felett irreducibilis polinomok szorzatára az polinomot. C fölött az 6 7 egyenletet kell megoldanunk, tehát 7-b l hatodik gyököt kell vonnunk. Tudjuk a komple számokkal való tanulmányainkból, hogy hat hatodik gyök van, s ezek z cos π 6 + i sin π ), 6 z cos π + i sin π ), z cos 5π 6 + i sin 5π 6 ), valamint ezeknek a konjugáltjai. A polinom felbontása C fölött: z ) z ) z ) z ) z ) z ) z + z cos π 6 z + z 0 z z z z

39 Komple számok 9 z + z cos 5π 6 z z A gyöktényez s el állítás összetartozó párjait összeszorozva megkapjuk az R fölötti el állítást z ) z )) z ) z )) z ) z )) + ) + ) + + ) Bontsuk fel R felett irreducibilis polinomok szorzatára az polinomot. C fölött az 4 4 egyenletet kell megoldanunk, tehát 4-b l negyedik gyököt kell vonnunk. Tudjuk a komple számokkal való tanulmányainkból, hogy négy negyedik gyök van, s ezek z cos π 4 + i sin π ) ) 4 + i + i, z cos π 4 + i sin π ) ) 4 + i + i, valamint ezeknek a konjugáltjai. A polinom felbontása C fölött: z ) z ) z ) z ) z + z z z z + z z z A gyöktényez s el állítás összetartozó párjait összeszorozva megkapjuk az R fölötti el állítást z ) z )) z ) z )) + ) + + )

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

A derivált alkalmazásai

A derivált alkalmazásai A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim. Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2

Részletesebben

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F

Részletesebben

A gyakorlatok anyaga

A gyakorlatok anyaga A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így

Részletesebben

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények 6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait! Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való

Részletesebben

2. hét (Ea: ): Az egyváltozós valós függvény definíciója, képe. Nevezetes tulajdonságok: monotonitás, korlátosság, határérték, folytonosság.

2. hét (Ea: ): Az egyváltozós valós függvény definíciója, képe. Nevezetes tulajdonságok: monotonitás, korlátosság, határérték, folytonosság. Ütemterv az Analízis I. c. tárgyhoz (GEMAN510B, 510-B) Járműmérnöki, logisztikai mérnöki, műszaki menedzser, villamosmérnöki, ipari termék- és formatervező mérnöki alapképzési szak 2019/20. tanév I. félév

Részletesebben

II. rész. Valós függvények

II. rész. Valós függvények II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +

Részletesebben

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42 Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László

Részletesebben

= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.

= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C. . Határozatlan integrál megoldások.. 5. 7 5 5. t + t 5t. 8 = 7 8 = 8 5 8 5 6. e + 5 ln + tg + 7. = 8. + 5 = 5 ln + 5 9. = + 5 + 5 5 + 5 + 5 = /5 = 5 6 6/5 + 5 5 = + ln = 5 + 5 = + ln + 0.. a +a arctg a.

Részletesebben

Kalkulus. Komplex számok

Kalkulus. Komplex számok Komplex számok Komplex számsík A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, annak érdekében, hogy a gyökvonás művelete elvégezhető legyen a negatív számok körében is. Vegyük tehát hozzá az

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. okt. 9. Elméleti kérdések A csoport. Hogan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komple szám szorzatát más alakba való átváltás

Részletesebben

Matematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei

Matematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei Matematika A1 9. feladatsor A derivált alkalmazásai Függvény széls értékei 1. Keressük meg a függvények abszolút maximumát és minimumát a megadott intervallumon. Ezután rajzoljuk fel a függvény grakonját.

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten KOMPLEX SZÁMOK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Történeti bevezetés

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

Komplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23 Komplex számok Wettl Ferenc 2014. szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok 2014. szeptember 14. 1 / 23 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet

Részletesebben

Bruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK. Példák és feladatok. Szerkesztette Láng Csabáné

Bruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK. Példák és feladatok. Szerkesztette Láng Csabáné Bruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK Példák és feladatok Szerkesztette Láng Csabáné Lektorálta Burcsi Péter c Bruder Györgyi és Láng Csabáné, 008 ELTE IK Budapest 008--6 javított kiadás Ez a példatár

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett! nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

Bruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK. Példák és feladatok. Szerkesztette Láng Csabáné

Bruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK. Példák és feladatok. Szerkesztette Láng Csabáné Bruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK Példák és feladatok Szerkesztette Láng Csabáné Lektorálta Burcsi Péter c Bruder Györgyi és Láng Csabáné, 008 ELTE IK Budapest 008-- javított kiadás Ez a példatár

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

7. gyakorlat megoldásai

7. gyakorlat megoldásai 7. gyakorlat megoldásai Komple számok, sajátértékek, sajátvektorok F1. Legyen z 1 = + i és z = 1 i. Számoljuk ki az alábbiakat: z 1 z 1 + z, z 1 z, z 1 z,, z 1, z 1. z M1. A szorzásnál használjuk, hogy

Részletesebben

1. Komplex számok. x 2 = 1 és x 2 + x + 1 = 0. egyenletek megoldását számnak tekinthessük:

1. Komplex számok. x 2 = 1 és x 2 + x + 1 = 0. egyenletek megoldását számnak tekinthessük: . Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.

Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Tartalomjegyzék Bevezető feladatok Taylor polinom Bevezető feladatok Taylor polinomok...

Tartalomjegyzék Bevezető feladatok Taylor polinom Bevezető feladatok Taylor polinomok... Tartalomjegyzék 3. Valós függvények 3.. Valós függvények............................... 3 3... Bevezető feladatok.......................... 3 3... Határérték............................... 5 3..3. Függvény

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

Matematikai analízis II.

Matematikai analízis II. Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Matematika A1. 8. feladatsor. Dierenciálás 2. Trigonometrikus függvények deriváltja. A láncszabály. 1. Határozzuk meg a dy/dx függvényt.

Matematika A1. 8. feladatsor. Dierenciálás 2. Trigonometrikus függvények deriváltja. A láncszabály. 1. Határozzuk meg a dy/dx függvényt. Matematika A 8. feladatsor Dierenciálás Trigonometrikus függvények deriváltja. Határozzuk meg a dy/d függvényt. a) y = 0 + 3 cos 0 3 sin b) y = sin 4 + 7 cos sin c) y = ctg +ctg sin )+ctg ) d) y = tg cos

Részletesebben

ANALÍZIS II. Példatár

ANALÍZIS II. Példatár ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése 2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonosság

Függvények határértéke és folytonosság Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,

Részletesebben

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt 27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja! Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

MATEK-INFO UBB verseny április 6.

MATEK-INFO UBB verseny április 6. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATEK-INFO UBB verseny 219. április 6. Írásbeli próba matematikából FONTOS MEGJEGYZÉS: 1) Az A. részben megjelenő feleletválasztós

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim. Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

M szaki matematika 2

M szaki matematika 2 Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet M szaki matematika Gyakorlati jegyzet Készítette: Bogya Norbert, Dudás János, Fülöp Vanda Utoljára módosítva: 09. április 8. Európai Szociális Alap i Szegedi Tudományegyetem,

Részletesebben

Baran Ágnes. Gyakorlat Komplex számok. Baran Ágnes Matematika Mérnököknek Gyakorlat 1 / 33

Baran Ágnes. Gyakorlat Komplex számok. Baran Ágnes Matematika Mérnököknek Gyakorlat 1 / 33 Matematika Mérnököknek 1. Baran Ágnes Gyakorlat Komplex számok Baran Ágnes Matematika Mérnököknek 1. 2.-4. Gyakorlat 1 / 33 Feladatok 1. Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán! Ábrázolja

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben