II. rész. Valós függvények
|
|
- Mária Orbánné
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 II. rész Valós függvények
2
3 Feladatok 3
4 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = y = y = 3 y = + 3 ln y = 3 + y = ln( 3 + ) y = arcsin y = arccos y = ln y = ln ln 3.. Határérték Határozza meg a következ függvények határértékét az adott pontban! (3 + ) , kɛn rögzített. k
5 n nɛz. ( 4 ) ( 3 ) ( ) n n
6 sin() tg () cos() sin(m), n, mɛn n sin a, a, bɛr, b 0. sin b ( sin tg ) sin cos sin cos π sin + sin 3 sin sin 3 ( ) ( ) cos sin cos() tg tg ( π ) π 4 4 π 6 sin + sin sin 3 sin sin(5) ctg () cos sin tg () sin() 3 cos 3 cos π 6 ( cos ) tg 3 sin 3 ( sin π ) 6 3 cos() + tg () tg () sin()
7 ( ) ( ) ( + ) ( ) + ( ) 4 ( )ctg () + tg () Inverz függvény Határozza meg a következ függvények inverz függvényét! y = y = + y = 3 + y = y = y = + y = y = 6 y + y 3 = 0 y = Függvény ábrázolás Rajzolja meg a következ függvények görbéit! y = y = +
8 y = y = y = y = e y = e y = arccos(cos()) y = arctan ( ) 3.9. y = + y = + + y = ± + y = e y = arcsin(sin()) y = arctan(tg ()) Mivel egyenl? ( ) sin arcsin() ( ) sin arccos() ( ) sin arccos() ( ) cos arcsin() sh () ch (), ha sh () =. arch(5) tg ( ) arccos() ( ) sin arctg (, 4) ch (3) arsh(4) arth( 0, 6)
9 3.5. Egyváltozós függvény dierenciálása 9 Határozzuk meg a következ függvények deriváltját! f() = f() = f() = ( 3 3) sin f() = 3 ( )( 3 ) f() = ( + + ) cos 3.0. f() = sin 3.. f() = sin 3.. f() = tg f() = cos f() = sin( 5 + 8) 3.5. f() = ( ) 6 tg 3.7. f() = cos 4 + sin f() = sin 3 ( + tg ) 3.6. f() = sin f() = tg 3.0. f() = 3.. f() = 0 sin f() = lg 3.3. f() = e 3.4. f() = π sin 3.5. f() = lg sin f() = 3.7. f() = 3.8. f() = sin 3.9. f() = f() = 3.3. f() = + tg f() = e f() = lg( + sin ) f() = tg f() = sh [ 3 ln( + 7)] f() = arth ( ) f() = f() = arcsin f() = 5 arcsin f() = arcsin 3.4. f() = arctg 3.4. f() = arch +
10 f() = e arth f() = f() = cos Implicit módon megadott függvények deriválása y = sin cos y + sin y cos = y 3 3ay = ( ) cos y + cos y = y = y 3.5. f() = + arctg f() 3.5. f() = ( + ) ( ) 3.6. Taylor polinom Írja fel az alábbi függvények 0 helyhez tartozó Taylor polinomját! f() = ln, 0 = e, T 4 () =? f() = e, 0 =, T 4 () =? f() = tg, 0 = π 4, T 3() =? f() = sin, 0 = π 4, T 3() =? f() = sin 3, 0 =, T 4 () =? f() = , 0 =, T 4 () =? f() = , 0 =, T 4 () =? f() = , 0 =, T 4 () =?
11 Írja fel az alábbi függvények 0 = 0 helyhez tartozó Taylor polinomját! f() = e, T 4 () =? f() = sin 3, T 6() =? f() = cos, T 5 () =? f() = arctg, T 3 () =? f() = ln( + ), T n () =? f() = ( + ) α, T n () =? Mekkora hibát követünk el, ha az y = sin függvény értékét a [0, ] intervallumon a T 5 () = 3 3! + 5 5! Taylor polinommal közelítjük? Határozzuk meg e értékét két tizedesjegy pontossággal Taylor polinom segítségével! 3.7. Dierenciálszámítás alkalmazásai Határérték meghatározása L'Hospital szabállyal sin π 4 tg 5 tg sin e e sin sin e tg + cos 3 e e 3.7. e sin tg sin ln ( + ) sin e
12 3.77. ln sin e cos sin cos 3 ) (e ( ) ctg (arc sin ) tg ( )tg ln ln sin sin a ( 3.8. sin (sin ) tg π (tg ) π π ) Síkgörbék érint je és normálisa Határozzuk meg az y = 3 parabola = abszcisszájú pontjához húzott érint jének az egyenletét! Hol metszi az y = ln görbe = e abszcisszájú pontjához húzott érint je az tengelyt? Meghatározandó az y = tg görbének az a pontja, amely ponthoz tartozó érint párhuzamos az y = 5 egyenessel! 3.9. Meghatározandók az y = görbének azok a pontjai, melyekben az érint párhuzamos az y = 6( π) egyenessel! 3.9. Bizonyítsuk be, hogy az y = a görbe bármely pontjához húzott érint je és a koordináta tengelyek által alkotott háromszög területe független az érintési ponttól! Írjuk fel az y = tg görbe = π 4 abszcisszájú pontjához tartozó normálisának az egyenletét Meghatározandók az y 3 3 4y + 3 = 0 implicit alakban adott függvény görbéjének az = abszcisszájú pontjaihoz tartozó érint inek és normálisainak egyenletei Keressük meg az y = görbe azon pontjait, ahol a.) az érint párhuzamos az tengellyel b.) az érint az tengely pozitív irányával 45 -os szöget zár be. Egyváltozós függvények széls értéke Határozzuk meg az y = 3 függvény széls értékeit! Határozzuk meg az y = 4 e függvény széls értékeit! Határozzuk meg az alábbi függvények széls értékeit!
13 f() = f() = f() = ln 3.0. Határozzuk meg az R sugarú körbe írt legnagyobb terület derékszög négyszöget Határozzuk meg az R sugarú gömbbe írt legnagyobb térfogatú hengert Határozzuk meg az R sugarú gömbbe írt legnagyobb térfogatú kúpot Határozzuk meg az egy literes, felül nyitott legkisebb felszín hengert Egyenl szélesség három deszkából csatornát készítünk. Az oldalfalak milyen hajlásszöge mellett lesz a csatorna keresztmetszete maimális? Határozzuk meg a h alkotójú legnagyobb térfogatú kúpot Egy a szélesség csatornából derékszögben kinyúlik egy b szélesség csatorna. A csatornák falai egyenes vonalúak. Határozzuk meg azon gerenda legnagyobb hosszát, amely az egyik csatornából átcsúsztatható a másikba Keressük meg az y = 8 parabolának azt a pontját, amely a (6, 0) ponttól a legkisebb távolságra van Feltételezve, hogy a g zhajó energiafogyasztása a sebesség harmadik hatványával egyenesen arányos, keressük meg a leggazdaságosabb óránkénti sebességet abban az esetben, ha a hajó c km/óra sebesség vízsodrással szemben halad Függvényvizsgálat 3.0. Vizsgáljuk és ábrázoljuk az f() = ln függvényt! Vizsgáljuk az alábbi függvényeket. 3.. f() = f() = f() = f() = f() = e 3.6. f() = e cos
14 4 3.. ábra feladat 3.9. Szöveges széls érték feladatok Az A és B pontok a ill. b távolságra vannak a faltól. Melyik a legrövidebb út A-ból B-be a falat érintve? m hosszú drótkerítéssel szeretnénk maimális területet közrezárni, miközben csatlakozunk egy már meglev 00 m hósszú k falhoz. Mekkorák lesznek a kert oldalai? 3.. ábra feladat 3.7. Keressük meg a 4 +9y = 36 elipszisnek azt a pontját, ami a P (, 0) ponthoz legközelebb illetve legtávolabb van. Értelmezzük a kapott eredményt Egy derékszög alakú telek oldalai 00 m és 00 m. A sarokra épített téglalap alapú ház alapterülete mikor lesz maimális? 3.3. ábra feladat
15 3.73. Egy r sugarú félkörbe írható téglalapok küzuül melyik területe maimális? Melyik területe minimális? Egy fapados repül gépen 300 ül hely van. Csak akkor indítják a járatot, ha legalább 00 ül hely foglalt. Ha 00 utas van, akkor egy jegy ára 30e Ft, és minden egyes plusz utas esetén a jegyárak egységesen csökkennek 00 Ft-tal. Hány utas eset lesz a légitársaság bevétele maimális illetve minimális? Adott T terület téglalapok küzül melyik kerülete a minimális? Egy hosszú drótból levágunk egy darabot, négyzetet csinálunk bel le. A maradékot kör alakúra hajlítjuk. Mikor lesz a két alakzat össz-területe maimális? 5
16 6
17 Megoldások 7
18 8 3.. Értelmezési tartomány 3.. Az y = + + azokra az értékekre van értelmezve, melyek esetén a négyzetgyökjel alatti kifejezések nem negatívak, azaz, ha + 0 és 0. Az értelmezési tartomány tehát: ɛr \ {} 3.4. ɛr \ {0, 3} 3.5. Csak a pozitív számok logaritmusa valós érték. Ez a függvény tehát értelmezve van, ha 3 + > 0 Az egyenl tlenséget megoldva azt nyerjük, hogy az értelmezési tartomány: ɛr \ [, ] 3.6. ln 5 4 0, ha 5 4. Ezért: , < < 3, < < 5, 8 < < 3.0. < < 3.. Határérték Ha a racionális függvény számlálója és nevez je az = a helyen zérus, akkor a tört ( a)-val egyszer síthet = ( )( + 5) ( )( + ) = = = n
19 Helyettesítsük 3 + -et u-val. Ekkor 3 + = u és = u 3. Ha 0, akkor u, tehát 3 + = u u u 3 = u 3.5. = u 5 helyettesítés alkalmazásával 3.6. n u (u )(u + u + ) = u = + u 5 u + u = u 4 u 3 + u u + 3 u u u u + u + = A számlálót és a nevez t egyaránt szorozva ( ) -el, a kifejezés értéke nem változik. Viszont a számlálóból elt nik a négyzetgyök jel, és ezt követ en a kifejezés egyszer sithet -el. Igy az ismert (a + b)(a b) = a b összefüggést használtuk ki. Négyzetgyökös kifejezések esetén hasonlóan szoktunk eljárni máskor is. = = = ( ) = = + ( 4 )( + ) = = + ( )( + ) = = ( + + )( + ) + Ebben a példában ugyanaz a kifejezés volt a négyzetgyökjel alatt mind a két helyen, tehát az el z ekben említett példa módjára úgy is eljárhattunk volna, hogy = u helyettesítésével oldjuk meg a feladatot. Az itt bemutatott módszer azonban általánosabb esetben is alkalmazható = 3.
20 m n a b e e e 3.3. Inverz függvény y = y = y = 3.7. y = 3.7. y = y = y = y = y = y = ( + )
21 3.4. Függvény ábrázolás Racionális törtfüggvényeknél az ábrázolás el tt határozzuk meg, hogy hol lesznek a görbének a koordináta tengelyekkel párhuzamos aszimptotái. Törtfüggvénynek pólusa van, ahol a nevez je zérus. Itt van függ leges aszimptota. A vízszintes aszimptota helyét a függvény végtelenben vett határértéke határozza meg sin(arccos ) = sin(arccos ) cos(arccos ) = sin() = sh () = e e tg, sin(arctg.4) = + tg 3 = ch (3) = ch () = ch + sh = + sh = 3, ha sh = arsh = ln( + + ), ezért arsh 4 = ln(4 + 7) = arch = ln( ± ), ezért arch 5 = ln(5 ± 4) = ln =.9 = ln 0.0 = arth = ln + y, ezért arth y ( 0.6) = 0.4 ln.6 =
22 3.5. Egyváltozós függvény dierenciálása f () = f () = f () = 3 sin + ( 3 3) cos f () = 3[ ( 3 ) + ( )( 6)] ( ) ( 3 ) = 6(4 3 3 ) ( ) ( 3 ) f () = 3 ( + + ) cos ( 3 + 3)[( + ) cos ( + + ) sin ] ( + + ) cos 3.0. f() = (sin )(sin ) tehát f () = cos sin + sin cos = sin cos = sin 3.. f () = cos () 3.. f () = 3 cos f () = 4 cos 3 sin 3.4. f () = ( 5) cos( 5 + 8) 3.5. f () = 6( ) 5 (4 3 6)tg (4 6 + ) f () = cos ( + ) ( + ) = cos ( + ) cos f () = 43 sin 4 ( + sin 3 ) 3 cos 4 sin cos ( + sin 3 ) 3.8. f () = tg 4tg = cos cos 3.9. f () = 3 sin ( + tg ) cos( + tg ) (tg + cos ) tg 3.0. f () = ln 3.. f () = 0 sin 3 ln 0 cos 3 3 = 3(ln 0) 0 sin 3 cos f () = ln f () = e 3.4. f () = π sin ln π cos 3.5. f () = 3.6. f () = 4 cos 4 sin 4 ln 0 = 4 ctg 4 ln 0
23 f() = 7 8 tehát f () = f () = 3.9. f () = cos sin f () = 3.3. f () = 3.3. f () = e f () = f () = + tg 3 = ( ) 3 3 cos 3 ( ) ( + tg 3) ( ) 4 sin cos lg( + sin ) ln(0) ( + sin ) = sin 4 lg( + sin ) ln(0) ( + sin ) cos + + = ( ) f () = ch [ 3 ln( + 7)] (3 + 7 ) f () = f () = f () = 3 ch sh f () = 5 5 arcsin ln f () = 3.4. f () = arctg f () = + = Mivel arth () = ( ) + ln, ezért e arth = e + lnr+ ln = e + = f () = ( + )( )3 cos + ( + )( ) 3
24 f () = ( 3 ) 0 ( ) 3 ( 3 ) f () = ( ) cos + sin ( ) cos Implicit módon megadott függvények deriválása y = y cos cos y + sin sin yy cos y + cos cos yy + sin sin y cos = f () = a f() f() a f () = cos f() sin f() + ( ) sin f() Vegyük mindkét oldal logaritmusát: ln f() = f() ln. Deriváljuk mindkét oldalt: ln f() + Innen azt kapjuk, hogy f() f () = f () ln + f(). f () = f() f() ln f() f() ln 3.5. f () = + f() 3.5. Mindkét oldalnak a logaritmusát vesszük, aztán mint implicit függvényt deriváljuk: ln f() = ( ) ln( + ) f() f () = ln( + ) + + f () = ( + ) ( ln( + )) +
25 3.6. Taylor polinomok A Taylor polinom képlete szerint: T 4 () = f(e) + f (e)! ( e) + f (e)! A fenti képletbeli számítások: f(e) = ln e =, f () =, f (e) = e f () =, f (e) =, e f () =, 3 f (e) =, e 3 f (IV ) () = 3, 4 f (IV ) (e) = 6. e 4 Így a keresett polinom: ( e) + f (e) 3! ( e) 3 + f (4) (e) ( e) 4 4! T 4 () = + ( e) e e ( e) + 3e ( 3 e)3 4e ( 4 e)4. T 4 () = e [ +! ( ) +! ( ) + 3! ( )3 + 4! ( )4 ] T 4 () = [sin3 + 3 cos 3! T 3 () = +! ( π 4 ) + 4! ( π 4 ) + 6 3! ( π 4 )3 T 3 () = [ +! ( π 4 )! ( π 4 ) 3! ( π 4 )3 ] ( ) 3 sin 3! ( ) 33 cos 3 3! ( ) sin 3 ( ) 4 ] 4! Mivel az n-ed fokú polinom megegyezik bármely helyen felírt n-ed fokú Taylor polinomjával, feladatunk az f() függvény 0 = helyhez tartozó harmadfokú Taylor polinomjának felírása. f() = , f() = f () = 3 +, f () = 6, f () = 0 f () = 6, f () = 6. Tehát a keresett polinom: f () = T 3 () =! ( ) + 6 3! ( )3 = = ( ) 3 ( ) + T () = 7 + 9( ) + 76( ) + 0( ) ( ) ( ) 5 + 7( ) 6
26 T () = 6 + 5( ) + ( ) + 4( ) 3 + 4( ) 4 + ( ) T 4 () = T 6 () = T 5 () = [ ] T 5 () = T 4 () = f() = arctg, f(0) = 0 f () = +, f (0) = f () = ( + ), f (0) = 0 f () = ( + ) + 8 ( + ) ( + )4 Tehát a keresett polinom: = + 0 ( + ) 3, f (0) =. T 3 () = 3! 3 = 3 3 T n () = (n+) 4 ( ) n t n () = + α α(α ) + α(α )(α ) + 3 +!! 3! α(α )... (α n + ) + + n = n! ( ) ( ) ( ) α α α = n = n A felírt polinom hatodfokúnak is tekinthet, ezért az elkövetett hiba R 6 () = f 7 (ξ) 7 = cos(ξ) 7 7! 5040 n k=0 ( α k < 5040 < 5000 < 5 0 3, mert cos() bármilyen esetén, és a 0 i feltevés miatt <. Ha tehát a 0-tól radiánig ( 57, 3 )terjed szögek sinusát az el bbi ötödfokú polinommal számítjuk ki, akkor a hiba tízezrednél kisebb Az e számot az y = e függvény = helyen vett értéke adja. A feladat most annak megállapítása, hányadfokú Taylor polinom szükséges a kívánt pontosságú megközelítéshez. Az e Taylor-sora: +! +! +... ) k
27 alakú. A hibára az R n () = f (n+) (ξ) (n + )! (n+) = e(ξ) (n+) (n + )! < el írást tettük. Írjuk még be az helyébe az = érétket, s akkor a következ becslést kapjuk: e ( ξ) (n + )! < e (n + )! < 3 (n + )! < A megjelölt egyenl tlenséget kísérletezéssel tudjuk csak megoldani. Mindenesetre vegyük mindkét oldal reciprokát! Ekkor az (n + )! > 600 egyenl tlenségre jutunk, amib l n 5 következik. Mi ötödfokú Taylor polinomot veszünk, T 5 () = +! +! + 3 3! + 4 4! + 5 5! ennek értéke az = helyen T 5 () = = + 0, 5 + 0, , , , 047 =, , Végeredményben az e értéke két tizedes pontossággal: =, 5 + 0, , =, , 0083 =, 767 e, 7 0,
28 Dierenciálszámítás alkalmazásai sin tg 5 = e e sin cosh cos 3 cos 3 5 cos 5 3 = 5 cos 3 cos 5 = 3 5 = sinh sin e ln ln sin = sin a = = 0, = n sin au u cos sin sin a =, ha akkor u 0 = a cos au = sin cos = = cosh cos cos cos sin = = sinh sin = π (sin ) tg = e tg ln sin = π ln sin cos sin sin mert tg ln sin = π π ctg = π Az érint egyenlete y y(a) = y (a)( a) Példánkban a =, y() =, y () = Az érint egyenlete y = ( ) +, azaz y = Az érint egyenlete y = e Az tengelyt ott metszi, ahol y = 0. Ebb l = 0.Az érint az origón megy keresztül. = sin cos = 0, és e 0 = π
29 3.90. Az érint iránytangense y megegyezikaz egyenes meredekségével. y = cos =. Innen cos = ±, = ± π 4 + kπ Az tengelyt ott metszi, ahol y = 0. Ebb l = 0. Az érint az origón megy keresztül P (, 530) ; P (, 5) 3.9. T = a A függvénygörbe P pontjához tartozó normálisán azt az egyenest értjük, amely a P pontban az érint re mer legesen megy át. A normális meredeksége m = y, y = + + π Keressük meg el ször a jelzett pontokat. Az = értéket a függvénybe beírva: y 3 3 4y + 3 = 0. Innen y(y 4) = 0 Három értéket találunk: y = 0, y =, y 3 = P (, 0); P (, ); P 3 (, ) A derivált y 6 4y = 3y 4 = 6 + 4y 3y 4 y (P ) = 3 ; y (P ) = 7 4 ; y (P 3 ) = 4 ; Éint egyenesek: y = 3 ( ); y = 7 4 ( ); y + = ( ); 4 Normális egyenesek: y = 3 ( ); y = 4 ( ); y + = 4( ); 7 a)p (0, ) ; P (, 3 ) b)p 3 ( +, 3 3 ; P 4(, ) Egyváltozós függvények széls értéke A függvénynek széls értéke ott lehet, ahol az els derivált zérus. Ha ezen a helyen az els el nem t n derivált páros rend, akkor van széls érték. Ha ez a derivált az adott pontban pozitív, akkor minimum, ha negatív, akkor maimum van. y = 3, y = 3, y = 6 y = 0 ha = 4, azaz = ± y () = > 0, minimum van y() = 6 y ( ) = < 0, maimum van y( ) = y = (4 3 5 )e = 3 (4 )e Mivel e mindenütt pozitív, y = 0 akkor lehet, ha = 0 ill. =, 3 =
30 30 y = ( )e y (0) = 0, tehát ezt a helyet tovább kell vizsgálni. y ( ) = y ( ) = 6 e < 0, tehát ezeken a helyeken a függvénynek maimuma van. Vizsgáljuk az = 0 helyet. y = ( )e ; y (0) = 0 y (IV) = ( )e y (IV) (0) = 4 > 0, tehát a függvénynek az = 0 helyen van széls értéke: minimuma van. = 0-nál y min = 0 = és 3 = -nél y ma = 4 e f() ma = 4, ha = f() min = 8, ha = f() ma =, ha = f() min =, ha = f() min = e, ha = e 3.0. feladat 3.0. feladat 3.0. Jelöljük a négyszög alapját -el, magasságát m-el, akkor a terület T = m. Az ábra alapján + m = 4R, ahonnan m = 4R, így T = 4R. A kapott függvény maimumát kell keresnünk. Egyszer sítést jelenthet, ha a területfüggvény helyett annak négyzetét tekintjük. T -nek ugyanott van maimuma, ahol T-nek. T = (4R ). A maimális terület négyszög négyzet: = m = R. T = R Legyen a henger sugara r, magassága m. V = r πm V ma = 4 3 π, ha 9 R3 r = R, 3 m = R. 3
31 feladat feladat Legyen a kúp alapkörének a sugara r, magassága m. Vezessük be az ábrán jelzett -et. Ezzel a kúp sugara és magassága is kifejezhet. V = r πm ; r = R, m = R +. 3 V = π 3 (R )(R + ) V ma = r = m = 3 π T = π, ha 8 R3 m = 4 R, 3 r = R. 3 a + m = (a + )m ϕ = feladat feladat V ma = 3, ha 7 πh3 r = h, 3 m = h l ma = ( a 3 + b 3 ) 3, ha tg α = 3 a b P(,±4) Egy óra alatt a hajó v-c km utat tesz meg felfelé. Ez alatt a fogyasztása
32 3 E = av 3 (a konstans arányossági tényez ). D költséget az egy km megtételéhez felhasznált energiával mérhetjük. A hajózás akkor a leggazdaságosabb, ha egy km út felfelé való megtételéhez a legkevesebb energia szükséges. A költség minimumát a K = a v3 költségfüggvény minimuma adja. A leggazdaságosabb sebesség: v c v = 3 c km/h 3.8. Függvényvizsgálat 3.0. A függvényvizsgálat kiterjed az értelmezési tartomány és az értékkészlet meghatározására a függvény viselkedése az értelmezési tartomány határain gyök meghatározása széls érték, ineiós pont meghatározása növekv és csökken szakaszok konve és konkáv szakaszok meghatározása Az f() = ln függvény értelmezési tartománya D f := { > 0} f() = ; f() = 0 Gyöke az ln = 0 azaz = helyen van. f () = ln + f () = ln + + f () = = ( ln + ) = ln 3 f () = 0, ha ln + = 0 akkor = e = e ( ( = 0 ) nincs az értelmezési tartományban ( f e = + 3 = > 0, tehát minimuma van. f e ) = e f () = 0, ha ln + 3 = 0, = e 3 ) f (e 3 = e 3 0, itt tehát ineiós pont van. f() a 0 < < e szakaszon csökken, az e < < + szakaszon n. A 0 < < e 3 szakaszon konkáv, az e 3 < < + szakaszon alulról konve 3.. f( ) : maimum, f(4) : minimum, f ( 3 ) : ineió. 3.. D f : { < }, = 0 gyök. f() = : maimum, f( ) = : minimum, 0; ± 3 : ineiós pontok. A függvény páratlan; (, ) és (, ) szakaszon csökken, (, ) szakaszon n. (, 3) és (0, 3) szakaszon alulról homorú, ( 3, 0) és ( 3, + ) szakaszon alulról
33 3.3. domború. Aszimptotája az tengely. R f = { y } f() = + ; D f : { ɛ R /{0}} ; páratlan függvény. f() = : minimum; f( ) = maimum, ineiós pontja nincs. (, ) és (, ) szakaszokon n, (, 0) és (0, ) szakaszokon csökken. (, ) : konkáv, (0, ) konve. R f : {f(), f() } Az y = a függvény aszimptotája D f : { ɛ R} ; f() : maimum hely. az ± helyeken ineiós pont van. A (, 0) szakaszon a függvény monoton n, a (0, + ) szakaszon monoton csökken. A (, ) ( ) ( és, + szakaszokon alulról domború,, ) között homorú. Aszimptotája az tengely. R f : {0 < f() } 3.5. D f : { ɛ R/{ }} ; f(0) = 0 : minimum, f( ) = 4 : maimum, ineió nincs, aszimptotája az y = egyenes. (, ) és (0, + ) szakaszokon növekv, (, ) és (, 0) szakaszokon csökken. R f : {0 < f() 4, f() 0} 3.6. D f : {ɛr} ; R f : {yɛr} Az = π ± kπ helyeken maimum, 4 az = 5π ± kπ helyeken minimum, 4 az = kπ helyeken ineiós pont van Szöveges széls érték feladatok Minimális távolság esetén α = α Maimális terület 500 m, míg a minimális terület 0 (egyenes vonal) A legközelebbi pont A(3, 0), a legtávolabbi B( 3, 0) A ház oldalainak hossza 75 m és 50 m A maimális terület téglalap oldalai eset: egyetlen vonal. r és r 33. A minimális terület téglalap a degenerált
34 Legyen f() a bevétel, ha utas van. A 00 fölöttiek száma 00, ezért a jegyek ára ennyivel csökken, tehát darabonként ( 00). Ezért az összes jegy ára: ( ) f() = ( 00) = Az f () = 0 egyenlet megoldása = 50, így a potenciális széls érték helyek: = 00, = 50, = 350. A megfelel függvényértékek: f(00) = , f(50) = , f(350) = Maimális a bevétel 50 utas esetén, és minimális 350 utas esetén. (A feladat csupán elméleti...) Négyzet Az egész drótból kört hajlítunk.
Tartalomjegyzék Bevezető feladatok Taylor polinom Bevezető feladatok Taylor polinomok...
Tartalomjegyzék 3. Valós függvények 3.. Valós függvények............................... 3 3... Bevezető feladatok.......................... 3 3... Határérték............................... 5 3..3. Függvény
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
Részletesebben10. Differenciálszámítás
0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
Részletesebben4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval
4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
RészletesebbenI. feladatsor. (t) z 1 z 3
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
RészletesebbenFüggvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok
Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin
RészletesebbenFigyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
Részletesebben= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.
. Határozatlan integrál megoldások.. 5. 7 5 5. t + t 5t. 8 = 7 8 = 8 5 8 5 6. e + 5 ln + tg + 7. = 8. + 5 = 5 ln + 5 9. = + 5 + 5 5 + 5 + 5 = /5 = 5 6 6/5 + 5 5 = + ln = 5 + 5 = + ln + 0.. a +a arctg a.
Részletesebben1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása
Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
RészletesebbenMatematikai Analízis Példatár Vágó, Zsuzsanna Csörgő, István
Vágó, Zsuzsanna Csörgő, István írta Vágó, Zsuzsanna és Csörgő, István Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Vágó Zsuzsanna, Csörgő István Tartalom Matematikai Analízis Példatár... 1 1. Bevezető... 1 2.
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
Részletesebben4.1. A differenciálszámítás alapfogalmai
69 4. Egyváltozós valós függvények differenciálszámítása 4.. A differenciálszámítás alapfogalmai 4... A görbe érintője és a pillanatnyi sebesség Tekintsük az f : R + R + f) 4 függvényt. Húzzuk meg az y
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
Részletesebben1. Monotonitas, konvexitas
1. Monotonitas, konvexitas 1 Adjuk meg az alabbi fuggvenyek monotonitasi intervallumait! a) f (x) = x 2 (x 3) B I b) f (x) = x x 5 I c) f (x) = (x 2) p x I d) f (x) = e 6x 3 3x 2 I 2 A monotonitas vizsgalat
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás
RészletesebbenMásodik zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.
RészletesebbenFeladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
Részletesebben= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4
Bodó Beáta Differenciálszámítás. B Írja fel az f() = függvény az a = és az helyekhez tartozó különbségi hányadosát. f() f(a) a = = (+)( ) = +. B Számolja ki az f() = függvény a = 3 helyhez tartozó differenciálhányadosát!
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y
RészletesebbenMatematikai Analízis I. ISBN
Matematikai Analízis I. Példatár Vágó Zsuzsanna Csörgő István ISBN 978-963-84-448-0 Tartalomjegyzék Bevezető 3. Valós számok 4.. Valós számok................................. 5... Teljes indukció............................
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.
Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben0, különben. 9. Függvények
9. Függvények 9.. Ábrázolja a megadott függvényeket, és vizsgálja meg a függvények korlátosságát, monotonitását, konveitását, paritását, előjelét, zérushelyeit, periodicitását és határozza meg a valós
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Részletesebbenf x 1 1, x 2 1. Mivel > 0 lehetséges minimum. > 0, így f-nek az x 2 helyen minimuma van.
159 5. SZÉLSŐÉRTÉKSZÁMÍTÁS = + 1, R + 1 f = 1 R +,, f = R +, 1 Az 1 = 0 egyenlet gyökei : 1 1, 1. Mivel ezért az 1 helyen van az f-nek minimuma. 5.1. f f 1 0, 5.. Legyen az egyik szám, a másik pedig A.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenHatározatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
RészletesebbenMatematika A1. 8. feladatsor. Dierenciálás 2. Trigonometrikus függvények deriváltja. A láncszabály. 1. Határozzuk meg a dy/dx függvényt.
Matematika A 8. feladatsor Dierenciálás Trigonometrikus függvények deriváltja. Határozzuk meg a dy/d függvényt. a) y = 0 + 3 cos 0 3 sin b) y = sin 4 + 7 cos sin c) y = ctg +ctg sin )+ctg ) d) y = tg cos
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenGyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz
Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F
Részletesebben10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása
. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A dierenciálszámítás alkalmazása FÜGGVÉNY De: A üggvény egyértelmű hozzárendelés két halmaz elemei között. A halmaz minden eleméhez B halmaz legeljebb
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
Részletesebben1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!
Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:
Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével
RészletesebbenMatematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére
Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f()
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)
Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével
RészletesebbenMatematikai analízis II.
Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények
RészletesebbenFüggvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.
Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2
RészletesebbenAbszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások
Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenTeljes függvényvizsgálat
Teljes üggvényvizsgálat Tanulási cél A üggvényvizsgálat lépéseinek megismerése és begyakorlása. Motivációs példa Jelölje egy adott termék árát P, a termék keresleti üggvényét pedig 1000 10 P D P. A P teljes
RészletesebbenInverz függvények Inverz függvények / 26
Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás
RészletesebbenTöbbváltozós analízis gyakorlat, megoldások
Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,
RészletesebbenKoordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
RészletesebbenGazdasági Matematika I. Megoldások
. (4.feladatlap/2) Gazdasági Matematika I. Di erenciálszámítás alkalmazásai Megoldások a) Határozza meg az f(x) x 6x 2 + függvény x 2 helyen vett érint½ojének az egyenletét. El½oször meghatározzuk a pont
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenTrigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága
Részletesebben2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
Részletesebben2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)
(11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
Részletesebben1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!
Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg
Részletesebben1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.
Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk
Részletesebbena) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk
RészletesebbenAbszolútértékes egyenlôtlenségek
Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,
Részletesebbenn 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
Részletesebben352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
RészletesebbenEmelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész
Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )
RészletesebbenDifferenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke
Differenciálszámítás Lokális növekedés (illetve csökkenés): H z f() függvény deriváltj z 0 helyen pozitív: f () > 0 (illetve negtív: f () < 0), kkor z f() függvény z 0 helyen növekvően (illetve csökkenően)
RészletesebbenFeladatmegoldások az A1 (VBK) tárgy hallgatói számára 2018/19/ sz, 9.
Feladatmegoldások az A (VBK) tárgy hallgatói számára 08/9/ sz, 9. hét. Egy téglalap alakú, méteres kartonpapírból felül nyitott, téglalap alakú dobozt hajtogatunk úgy, hogy a papír négy sarkából négy egybevágó
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
Részletesebben6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC
6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
Részletesebben