GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
|
|
- Erzsébet Fodorné
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
2
3
4 ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten KOMPLEX SZÁMOK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor
5 Vázlat 1 2 3
6 Történeti bevezetés A másodfokú egyenlet megoldóképletét már az ókorban is ismerték. Természetes volt az igény arra, hogy harmad- és magasabb fokú egyenleteket is meg akartak oldani. A harmadfokú egyenlet általános megoldására a 16. századig várni kellett. (Speciális alakú egyenleteket korábban is megoldottak, de ezeket titokban tartották.) Az egyenlet megoldása azért tartott ilyen sokáig, mert a megoldáshoz b víteni kellett a valós számok halmazát. A megoldóképletben ugyanis gyököt kell vonni negatív számokból. Mára ismertté vált, hogy ötöd- és annál magasabb fokú egyenleteknek nincs megoldóképlete, ráadásul a harmad- és negyedfokú egyenletet is inkább számítógépekkel oldjuk meg, mint analitikus képletekkel. Az új számok azonban több más területen is hasznosnak bizonyultak.
7 Gondolkodjunk A valós számkör b vítésénél arra törökszünk, hogy a valós számokon deniált m veletek és az azoknál megszokott m veleti azonosságok a b vített számkörben is igazak legyenek. Az új számokat úgy érdemes tehát deniálni, hogy igazak legyenek a következ átalakítások: 4 = ( 1) 4 = 4 1 = 4 1 = 2 1; 3 = ( 1) 3 = 3 1. Ezen átalakításokat felhasználva könnyen megmutaható, hogy az összes olyan szám, amelyet négyzetre emelve negatív számot kapunk, el áll a következ alakban: a 1, a R. Mivel ezek a számok nem valósak, ezért azokat képzetes (képzelt) vagy immaginárius számoknak nevezzük.
8 Az i Mivel az összes immaginárius szám képezhet mint a 1 többszöröse, ezért érdemes bevezetni az i = 1 jelölést. Kérdés, hogy hogyan végezzünk m veleteket ezekkel a képzetes számokkal. Legyen a, b R, ekkor a képzetes számok össszege: ai + bi = a 1 + b 1 = (a + b) 1 = (a + b)i; képzetes számok szorzata: (ai)(bi) = (a 1)(b 1) = ab 1 1 = ab; képzetes szám és valós szám összege: a + bi = a + b 1; képzetes szám és valós szám szorzata: a(bi) = ab 1.
9 Komplex számok Milyen számot kapunk, ha összeadunk egy valós és egy képzetes számot? Ha az így kapott számot négyzetre emeljük, akkor (a + bi) 2 = a 2 + 2abi + (bi) 2 = a 2 + 2abi b 2. Ennek a számnak a négyzete nem valós, vagyis nem is pozitív, és nem is negatív. Ez azt jelenti, hogy ez a szám nem valós, és nem is képzetes. Azokat a számokat, melyek egy valós és egy képzetes szám összegeként állnak el, komplex számoknak nevezzük. A komplex számok nyílván tartalmazzák mind a valós mind a képzetes számok halmazát. Kérdés, hogy a komplex számokkal végzett m veletek nem vezetnek-e egy még b vebb számhalmazhoz. Gondoljuk végig, vajon hogyan érdemes m veleteket végezni a komplex számok halmazán. Legyen a, b, c, d R, ekkor (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + cb)i.
10 Ellentmondás? Kérdés persze, hogy az új számhalmazban végzett m veletek nem vezetnek-e ellentmondásra. Nézzük meg például a következ átalakítást: 1 = 1 1 = ( 1)( 1) = 1 = 1. Azt kaptuk tehát, hogy 1 = 1, ami nyílván nem igaz. De hol követtük el a hibát? A válasz, hogy valójában nem beszéltük meg, hogy egy komplex számból hogyan vonunk gyököt. Márpedig a fenti esetben az 1 egy speciális komplex szám. Viszont a 1-b l mint speciális számból korábban minden gond nélkül gyököt tudtunk vonni. De azért már ott is felmerült a kérdés, vajon csak egy olyan szám lesz-e ebben az új számhalmazban, amelyet ha négyzetre emelünk, 1-et kapunk? Azért, hogy ezeket a problémákat feloldjuk, érdemes az egész számhalmazt az eddigihez képest fordított logikával felépíteni.
11 Alapdeníciók Deníció Legyen C = {(a, b) : a, b R} = {a + bi : a, b R}. A halmazon az összeadás és a szorzás legyen a következ képpen deniálva: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d); a + bi + c + di = a + c + (b + d)i; Következmény: (a, b)(c, d) = (ac bd, ad + cb); (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + cb)i. i 2 = (0 + i)(0 + i) = (0 1 1) + ( )i = 1. Az így bevezetett halmazról és m veletekr l megmutatható, hogy ellentmondásmentes, s t kiterjesztése a valós számoknak, és azt is, hogy a valós számoknál megszokott m veleti azonosságok (asszociativitás, disztributivitás, kommutatívitás, inverz m veletek) itt is érvényesek.
12 Feladatok Végezzük el a következ m veleteket: i + 4 2i; 2 (3 + 2i)(7 i)! Megoldások: 5 + 6i + 4 2i = (5 + 6) + (6 2)i = i; (közvetlenül végigszámolva) (3 + 2i)(7 i) = (2i) ( i) + (2i)( i) = i 3i 2i 2 = i 3i + 2 = i (képletbe behelyettesítve) (3 + 2i)(7 i) = (3 7 2 ( 1))(3 ( 1) + 2 7)i = i
13 Gyökvonás komplex számokból Deníció Legyen z C, ekkor n z jelölje az összes olyan komplex számot, melyre teljesül, hogy az n-edik hatványa éppen z. Az n 1 alakban felírható számokat egységgyököknek nevezzük. Például nézzük meg, mit jelenthet a 4 1. Az 1-re és a 1-re nyilván továbbra is igaz, hogy 1 4 = ( 1) 4 = 1. Mivel i 2 = 1, ezért (i) 4 = 1, és könnyen látszik az is, hogy ( i) 4 = 1. Kés bb azt is látni fogjuk, hogy más megoldás nem lehet. Vizsgáljuk meg most újra a korábban látott ellentmondást. Az átalakításokkal nincs semmi gond, egészen az utolsó lépésig: 1 = 1 1 = ( 1)( 1) = 1. Ez a kifejezés viszont nem egyenl eggyel, csak annyit tudunk, hogy egyenl egy olyan kifejezéssel, amit ha négyzetre emelünk 1-et kapunk, ami igaz a 1-re.
14 Komplex számok a síkon A deníciókból láttuk, hogy a komplex számok deniálhatók mint olyan valós számpárok, amelyeken speciális módon deniálunk m veleteket. Ha az összeadást nézzük, a m velet lényegében megegyezik azzal, ahogy kétdimenziós vektorok összegét deniáltuk. Ez is mutatja, hogy érdemes kétdimmenziós síkban szemlélteni a komplex számokat.
15 Konjugált és abszolútérték Deníció Legyen z C, z = a + bi alakú. Ekkor z konjugáltja: z = a bi alakban áll el.
16 Konjugált és abszolútérték (folyt.) Deníció Legyen z C, z = a + bi alakú. Ekkor z abszolútértéke: z = a 2 + b 2 képlettel számolható ki. Tétel Legyen z C tetsz leges komplex szám. Ekkor z = z z.
17 Feladat Határozd meg a z = 2 + 3i konjugáltját és abszolútértékét! Megoldás: ha z = 2 + 3i, akkor z = 2 3i. A deníció alapján: z = = 13. A tétel ellen rzéséhez pedig csak azt kell megnézni, hogy z z = (2 + 3i)(2 3i) = 4 9i 2 = = 13.
18 A komplex számok trigonometrikus alakja A vektorok polárkoordinátás alakját felhasználva a komplex számokat könnyen új alakban írhatjuk fel: z = r(cos(φ) + i sin(φ)), ahol r = z. Legyen két trigonemtrikus formában adott komplex számunk z 1 = r 1 (cos(φ 1 ) + i sin(φ 1 )); z 2 = r 2 (cos(φ 2 ) + i sin(φ 2 )). Ekkor z 1 = z 2 pontosan akkor, ha r 1 = r 2 és φ 1 = φ 2 + 2πk, k Z.
19 A komplex számok trigonometrikus alakja (folyt.) Legyen például Ekkor z = 5 3i. r = z = = 34. Tudjuk továbbá, hogy tg(φ) = 3 = 0, 6, 5 amib l következik, hogy φ = 149 vagy φ = 329. Mivel z nyilván a harmadik síknegyedben van, ezért a két alternatíva közül a 329 a helyes. Vagyis azt kaptuk, hogy 5 3i = 34(cos(329 ) + i sin(329 )).
20 Komplex számok összeadása A komplex számok összeadása grakusan ugyanúgy történik, mint ahogy azt a vektoroknál megszoktuk. Ebben a trigonometrikus alak nem sokat segít. I R z 2 z 1 + z 2 z 1
21 Komplex számok szorzása Tétel (Moivre-tétel) Legyen z 1, z 2 C, melyek el állnak a következ alakban: z 1 = r 1 (cos(φ 1 ) + i sin(φ 1 )); z 2 = r 2 (cos(φ 2 ) + i sin(φ 2 )). Ekkor z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + i sin(φ 1 + φ 2 )). (Csak érdekességként jegyezzük meg, hogy a fenti képletb l számos trigonometrikus azonosság pl. addiciós képletek nagyon gyorsan levezethet k.)
22 Feladat Határozzuk meg a trigonometrikus függvény segítségével a (3 + 2i)(7 i) értékét. Megoldás Korábban láttuk, hogy a megoldás i. Legyen z 1 = 3 + 2i és z 2 = 7 i. Ekkor z 1 = = 13, z 2 = = 50. Jelölje φ 1 a z 1 -hez tartozó, φ 2 a z 2 -höz tartozó szöget. Ekkor tg(φ 1 ) = 2 3, amib l φ 1 = 33, 69, mert 0 < φ 1 < 90. Valamint tg(φ 2 ) = 1 7, amib l φ 2 = 8, 13, mert 90 < φ 2 < 0. Ezek alapján z 1 z 2 = 13 50(cos(33, 69 8, 13 ) + i sin(33, 69 8, 13 )) = = 650(cos(22, 56 ) + i sin(22, 56 )) = 22, , 96i.
23 Hatványozás és gyökvonás Legyen z = r(cos(φ) + i sin(φ)) tetsz leges komplex szám. Ekkor a Moivre-tétel következményeként könnyen láthatjuk, hogy z n = r n (cos(nφ) + i sin(nφ)). A trigonometrikus alak egyik legf bb erénye, hogy a gyökvonás is viszonylag egyszer en számolható vele. S t, azt a kérdést is tisztázni tudjuk, hogy a komplex számok halmazán hány n-edik gyöke van egy számnak. Keressük azokat a w C számokat, amelyekre teljesül, hogy w n = z = r(cos(φ) + i sin(φ)) = r(cos(φ + k2π) + i sin(φ + k2π)). Legyen w = ρ(cos(ψ) + i sin(ψ)) alakú. Ekkor ρ n (cos(nψ) + i sin(nψ)) = r(cos(φ + k2π) + i sin(φ + k2π)). Ezek alapján egyrészt ρ n = r, vagyis n r = ρ.
24 Hatványozás és gyökvonás (folyt.) Másrészt nψ = φ + k2π; ψ = φ n + k2π n. Kérdés, hány különböz n-edik gyök van. A képletb l leolvasható, hogy minden esetben pontosan n, ahol az argumentumok a következ k lehetnek: φ ; φ + 2π ; φ + 4π φ + (n 1)2π ;... ;. n n n n Összegezve tehát azt kaptuk, hogy n z = n r(cos( φ n + k2π ahol k = 0, 1,..., n 1. n ) + i sin(φ n + k2π n )),
25 Hatványozás és gyökvonás (folyt.) Például keressük meg a 3 i-értékeit. Az i trigonometrikus alakja: ( ( π ) ( π )) i = 1 (sin + i cos. 2 2 Ezért 3 i = cos ( π 2 + k2π 3 ) + i ( π 2 + k2π k = 0, 1, 2. Vagyis a gyökök a következ alakban írhatók fel: ( π ) ( π ) 3 z 1 = cos + i sin = 6 6 ( ) ( ) 5π 5π z 2 = cos + i sin 6 6 ( ) ( ) 3π 3π z 3 = cos + i sin i = = i. ), i
26 A reciprok Tétel Legyen z = a + bi alakú, tetsz leges nem nulla komplex szám. Ekkor 1 z = z z z = a bi a 2 + b 2. 1 i. Példa: Az i konjugáltja i, i( i) = 1, ezért 1 i = i 1 = i. Ellen rzés: i( i) = (i 2 ) = ( 1) = 1.
27 Az algebra alaptétele Egy másodfokú polinomnál egyszer osztással elérhet, hogy x 2 + bx + c alakú legyen. Ha ennek a polinomnak létezik gyöke, akkor az felírható a következ alakban: (x x 1 )(x x 2 ). Abban a speciális esetben, amikor x 1 = x 2, azt mondjuk, hogy a polinomnak kétszeres gyöke van. Más szavakkal ezt úgy fejezhetjük ki, hogy egy másodfokú polinomnak multiplicitással számolva vagy 2 vagy 0 db gyöke van. A kérdés áltolánosan is feltehet. Legyen adva egy 1 f együtthatós, n-ed fokú polinom: x n + a n 1 x n a 1 x + a 0. A kérdés, hogy ez átalakítható-e a következ alakra: (x x 1 ) α1 (x x 2 ) α2... (x x k ) α k,
28 Az algebra alaptétele (folyt.) ahol α 1 + α 2 + α k = n. Ha átalakítható, akkor azt mondjuk, hogy egy polinomnak multiplicitással számolva éppen annyi gyöke van, ahányad fokú a polinom. Már a másodfokú függvény vizsgálatából is kiderül, hogy a valós számok halmazán csak annyi mondható, hogy minden polinomnak, multiplicitással számolva, legfeljebb annyi gyöke van, ahányad fokú a polinom. Tétel (Az algebra alaptétele) Legyen p(z) egy komplex együthatós n-ed fokú polinom. Ennek a polinomnak a komplex számok halmazán, multiplicitással számolva, éppen n db gyöke van.
Kalkulus. Komplex számok
Komplex számok Komplex számsík A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, annak érdekében, hogy a gyökvonás művelete elvégezhető legyen a negatív számok körében is. Vegyük tehát hozzá az
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenKomplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23
Komplex számok Wettl Ferenc 2014. szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok 2014. szeptember 14. 1 / 23 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet
RészletesebbenKomplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.
Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14
Komplex számok Wettl Ferenc 2012-09-07 Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 1 / 14 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet egy speciális
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 9
Komplex számok Wettl Ferenc 2010-09-10 Wettl Ferenc () Komplex számok 2010-09-10 1 / 9 Tartalom 1 Számok Egy kis történelem A megoldóképlet egy speciális esetre Lehet számolni negatív szám gyökével Műveletek
Részletesebben1. Komplex számok. x 2 = 1 és x 2 + x + 1 = 0. egyenletek megoldását számnak tekinthessük:
. Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)
2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Komplex számok StKis, EIC 2019-02-06 Wettl Ferenc
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két
RészletesebbenKomplex számok trigonometrikus alakja
Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =
Részletesebbenx = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2
Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenTrigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda
Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
Részletesebben1. A komplex számok definíciója
1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van
RészletesebbenKomplex számok algebrai alakja
Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenBruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK. Példák és feladatok. Szerkesztette Láng Csabáné
Bruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK Példák és feladatok Szerkesztette Láng Csabáné Lektorálta Burcsi Péter c Bruder Györgyi és Láng Csabáné, 008 ELTE IK Budapest 008-- javított kiadás Ez a példatár
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Részletesebben2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer
. gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel
RészletesebbenMagasabbfokú egyenletek
86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
RészletesebbenPolinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
RészletesebbenTypotex Kiadó. Bevezetés
Bevezetés A bennünket körülvevő világ leírásához ősidők óta számokat is alkalmazunk. Tekintsük át a számfogalom kiépülésének logikai-történeti folyamatát, amely minden valószínűség szerint a legkorábban
Részletesebben1. A komplex számok ábrázolása
1. komplex számok ábrázolása Vektorok és helyvektorok. Ismétlés sík vektorai irányított szakaszok, de két vektor egyenlő, ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak. Így minden vektor kezdőpontja az
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
Részletesebben: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!
nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik
1. Bevezetés A félév anyaga. Komplex számok Műveletek Kapcsolat a geometriával Gyökvonás Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad-
Részletesebben1. Interpoláció. Egyértelműség (K2.4.10) Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.
1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1,a 2,...,a n számok. Az
Részletesebben1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.
1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája. Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1, a,...,a n számok. Az
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok, testek, komplex számok Kf81 2018-09-14
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
RészletesebbenWaldhauser Tamás szeptember 15.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. szeptember 15. Házi feladat a gyakorlatra 4. feladat. Ábrázolja a Gauss-féle számsíkon az alábbi számhalmazokat. { (a) z C: 0 arg (zi) < π } (b) {z
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I
Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html
RészletesebbenBruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK. Példák és feladatok. Szerkesztette Láng Csabáné
Bruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK Példák és feladatok Szerkesztette Láng Csabáné Lektorálta Burcsi Péter c Bruder Györgyi és Láng Csabáné, 008 ELTE IK Budapest 008--6 javított kiadás Ez a példatár
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenWaldhauser Tamás szeptember 8.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. szeptember 8. Tematika Komplex számok, kanonikus és trigonometrikus alak. Moivre-képlet, gyökvonás, egységgyökök, egységgyök rendje, primitív egységgyökök.
RészletesebbenMatematika 1 mintafeladatok
Matematika mintafeladatok Lukács Antal 06. február 0. Tartalomjegyzék. Komplex számok algebrai alakja. Komplex számok trigonometrikus alakja 6. Függvénytani alapfogalmak 4. Számsorozatok 46 5. Függvények
Részletesebben7. gyakorlat megoldásai
7. gyakorlat megoldásai Komple számok, sajátértékek, sajátvektorok F1. Legyen z 1 = + i és z = 1 i. Számoljuk ki az alábbiakat: z 1 z 1 + z, z 1 z, z 1 z,, z 1, z 1. z M1. A szorzásnál használjuk, hogy
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
RészletesebbenKalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus
Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)
RészletesebbenMBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
Részletesebben1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása
Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................
RészletesebbenPermutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenFüggvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.
Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2
RészletesebbenBaran Ágnes. Gyakorlat Komplex számok. Baran Ágnes Matematika Mérnököknek Gyakorlat 1 / 33
Matematika Mérnököknek 1. Baran Ágnes Gyakorlat Komplex számok Baran Ágnes Matematika Mérnököknek 1. 2.-4. Gyakorlat 1 / 33 Feladatok 1. Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán! Ábrázolja
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
RészletesebbenHatvány gyök logaritmus
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Hatvány gyök logaritmus Hatványozás azonosságai 1. Döntse el az alábbi állításról, hogy igaz-e vagy hamis! Ha két szám négyzete egyenl, akkor
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenLineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák
Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal 04/0 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MTEMTIK I KTEGÓRI (SZKKÖZÉPISKOL) Javítási-értékelési útmutató Határozza meg a tízes számrendszerbeli x = abba és y =
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenV. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 12. évfolyam
01/01 1. évfolyam 1. Egy röplabda bajnokságban minden csapat pontosan egyszer játszik a többi csapat mindegyikével. A bajnokságból még két forduló van hátra és eddig 104 mérkőzést játszottak le. Hány csapat
RészletesebbenMatematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenHatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
RészletesebbenIrodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0
Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon
RészletesebbenZárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.
Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenElemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
Részletesebben1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b).
1. Polinomfüggvények Behelyettesés polinomba. Definíció Legyen b komplex szám. Az f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n polinom b helyen felvett helyettesítési értéke f (b) = a 0 + a 1 b + a 2 b
RészletesebbenM. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!
Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének
Részletesebben1. Polinomok számelmélete
1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
Részletesebben6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
RészletesebbenBaran Ágnes. Gyakorlat Komplex számok. Baran Ágnes Matematika Mérnököknek Gyakorlat 1 / 16
Matematika Mérnököknek 1. Baran Ágnes Gyakorlat Komplex számok Baran Ágnes Matematika Mérnököknek 1. 1.-2. Gyakorlat 1 / 16 1. Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán! Ábrázolja a megoldásokat
RészletesebbenPolinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós
Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek V.
Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c
Részletesebben