n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

Átírás

1 Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 0pt ( lim n2 π ( ) n n + 3 n 2 2n), (ii) lim. n n 2n 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = ln 2 függvényt. Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 32pt 0 ds s 2 2s + 2, (ii) 3 t 2 2t dt, (iii) d. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + C, α + cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos 2 d = tg + C, sin 2 d = ctg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + d = arcsin + C = arccos + C, e d = e + C, a d = a 2 lna + C.

2 Definiáljuk a következő fogalmakat: A -2 korlátja az {b n } sorozatnak. (ii) g() konve [, 3] n. (iii) A korlátos H számhalmaz infimuma. (iv) A környezetes definíció alapján lim f() =. (v) Darbou féle felső integrálközelítő összeg (részletesen). Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 30, a definíció részből legalább 0 pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!

3 Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK: 2n 2 5. Definíció alapján és formálisan is igazoljuk, hogy lim n n 2 n + 3 = 2. 9pt 2. Határozzuk meg az f() = 3 függvénynek az a = 0 pont körüli harmadrendű Taylor féle polinomját, továbbá becsüljük meg 3 2 értékét. 9pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = e 2 függvényt. Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 32pt 0 v 2 (3 + 5v 3 ) 2 dv, (ii) 2 du u 3 + u 2, (iii) 0 e 3 2 d. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + C, α + cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos 2 d = tg + C, sin 2 d = ctg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + d = arcsin + C = arccos + C, e d = e + C, a d = a 2 lna + C.

4 Definiáljuk a következő fogalmakat: Az { n } sorozat szigorúan monoton csökken. (ii) A h() függvény lineárisan approimálható a pontban. (iii) A {c n } sorozat részsorozata a {b n } sorozatnak. (iv) A környezetes definíció alapján lim 2 f() = 3. (v) A Lagrange féle maradéktag. Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 30, a definíció részből legalább 0 pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!

5 Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. 0pt 2n Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. 0pt n n 4 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = e függvényt. Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 30pt π/2 π/4 cos 2 d, (ii) 0 ue u2 du, (iii) 0 t 3 t + 2 dt. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + C, α + cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos 2 d = tg + C, sin 2 d = ctg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + d = arcsin + C = arccos + C, e d = e + C, a d = a 2 lna + C.

6 Definiáljuk a következő fogalmakat: Az ( n ) sorozat korlátos. (ii) A g() függvény monoton nő [c, d] n. (iii) A h() nek az = pont kritikus pontja. (iv) A környezetes definíció alapján lim f() =. 2 (v) Integrálfüggvény. Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 30, a definíció részből legalább 0 pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!

7 Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK: n 3 n +. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. 0pt n 3 n + 2n2 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 0pt lim n 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = n 3 n 9 cos, (ii) lim 0 2. e ( ) függvényt. Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 2 20pt 3 2 u 3 + u + u 2 du, (ii) 0 ve v2 dv. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + C, α + cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos 2 d = tg + C, sin 2 d = ctg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + d = arcsin + C = arccos + C, e d = e + C, a d = a 2 lna + C.

8 Definiáljuk a következő fogalmakat: Az {a n } sorozat határértéke 3. (ii) A g() szigorúan monoton csökken a [0, 2] on. (iii) Az f() függvénynek infleiós pontja van az = 2 helyen. (iv) A környezetes definíció alapján lim 4 + f() =. (v) Az integrálható f() függvény integrálközepe a [c, d] on. Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 30, a definíció részből legalább 0 pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!

9 Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = e 2+3 függvényt. 8pt 2. Határozzuk meg az f(t) = t 3 4t függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 7pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = függvényt. Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 π/4 π/3 cos 2 t dt, (ii) ln9 ln4 e y/2 dy, (iii) d. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + C, α + cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos 2 d = tg + C, sin 2 d = ctg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + d = arcsin + C = arccos + C, e d = e + C, a d = a 2 lna + C.

10 Definiáljuk a következő fogalmakat: Az {a n } sorozat monoton nő. (ii) A g() függvény differenciálható a 3 pontban. (iii) A korlátos H számhalmaz supremuma. (iv) A környezetes definíció alapján lim f() =. 2 (v) Riemann féle integrálközelítő összeg (részletesen). Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 30, a definíció részből legalább 0 pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!

11 Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 4, a n = a n + 6 (n > ) rekurzív sorozatot. 9pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 9pt lim n 7n 2 4 n, n ( ) n+3 2n (ii) lim. n 2n A tanult módon ábrázoljuk az f() = 2 ln függvényt. Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 32pt 2 3 sin( t ) t dt, (ii) dz z 2 + 4z + 2, (iii) 3 2 ln(2 3) d. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + C, α + cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos 2 d = tg + C, sin 2 d = ctg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + d = arcsin + C = arccos + C, e d = e + C, a d = a 2 lna + C.

12 Definiáljuk a következő fogalmakat: Az { n } sorozat alulról korlátos. (ii) A H számhalmaznak a supremuma. (iii) Az f() függvénynek konkáv a [c, d] n. (iv) A környezetes definíció alapján lim f() =. (v) Darbou féle alsó integrálközelítő összeg (részletesen). Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 30, a definíció részből legalább 0 pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!

13 Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Határozzuk meg az f() = 2 + e függvénynek az = 0 pontba húzott érintőegyenesének az egyenletét. 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 0pt 5 + n 3 3 lim, (ii) lim n 3 2n A tanult módon ábrázoljuk az f() = függvényt. Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: d, (ii) 0 se 2s ds, (iii) 3 2 t 5 t 2 4 dt. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + C, α + cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos 2 d = tg + C, sin 2 d = ctg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + d = arcsin + C = arccos + C, e d = e + C, a d = a 2 lna + C.

14 Definiáljuk a következő fogalmakat: A {b n } sorozat konvergál 2 höz. (ii) A h() függvénynek helyi maimuma van ben. (iii) A g() függvény differenciálható a c pontban. (iv) A környezetes definíció alapján lim f() = 2. + (v) Az f() függvény egyenletesen folytonos a [2, 3] on. Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 30, a definíció részből legalább 0 pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!