Egyváltozós függvények differenciálszámítása

Átírás

1 Egyváltozós függvények differenciálszámítása Egyváltozós függvények differenciálszámítása Ebben a részben I egy tetszőleges, pozitív hosszúságú, intervallumot jelöl.

2 Egyváltozós függvények differenciálszámítása Bevezető példa: a sebesség meghatározása az út-idő függvény ismeretében (egyenes vonalú mozgás Átlagsebesség Ha a mozgó pont Δt (> idő alatt Δs utat tesz meg, akkor az adott időintervallumra vonatkozó átlagsebessége v Δs Δt m s

3 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 3 Pillanatnyi sebesség egyenletes mozogás esetén Egyenletes mozgás esetén a sebesség állandó. Az átlagsebesség bármely időintervallumra vonatkozóan ugyanannyi. A pillanatnyi sebesség minden pillanatban megegyezik az átlagsebességgel. v Δs Δt

4 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 4 Pillanatnyi sebesség nem egyenletes mozgás esetén A pillanatnyi sebesség az átlagsebesség határértéke, miközben az időintervallum hossza (Δt nullához tart: v(t lim Δt Δs Δt

5 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 5 Definíció: differenciahányados függvény Az f:i R függvény I helyhez tartozó differenciahányados függvénye: f ( f ( I\{ } Geometriai jelentés: rögzített esetén a differencia-hányados függvény az (,f( és az (,f( függvénypontokat összekötő szelő meredekségét adja.

6 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 6 Definíció: differenciálhányados Ha az f:i R függvény I helyhez tartozó differenciahányados függvényének az helyen létezik véges határértéke, akkor azt mondjuk, hogy f differenciálható az helyen, a határértéket pedig az f függvény helyen vett differenciálhányadosának nevezzük. Jelölés: df f ( ( d f ( lim f ( f (

7 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 7 Megjegyzés f ( Δf f ( Δ lim Δ Δ lim f ( f ( f ( + Δ f ( ( lim Δ Δ f ( f ( f ( ( lim f Δ

8 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 8 A differenciálhányados fizikai jelentése: változási gyorsaság A következő példák azt mutatják, hogy két mennyiségek kapcsolatát megadó függvény differenciálhányadosának fontos fizikai jelentése van. Megjegyzés Ha egy fizikai mennyiség időtől való függését vizsgáljuk, akkor a differenciálhányadost vessző helyett általában ponttal jelöljük. A t (t függvény differenciálhányadosának jelölése a t helyen: d & (t (t dt

9 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 9 Sebesség egyenletes mozgás esetén Ha egy test egyenletesen (vagyis állandó sebességgel mozog, akkor a sebességének nagysága egyenlő a t s(t (út-idő függvény meredekségével. [v] m / s

10 Egyváltozós függvények differenciálszámítása Pillanatnyi sebesség nem egyenletes mozgás esetén Mennyi a sebesség nagysága egy adott pillanatban, ha a t s(t függvény grafikonja nem egyenes? A pillanatnyi sebesség a t s(t függvény differenciálhányadosa (meredeksége. v(t s(t & ds v(t (t dt v(t lim Δt Δs Δt

11 Egyváltozós függvények differenciálszámítása Teljesítmény egyenletes energialeadás esetén Ha egy rendszer egyenletesen (állandó teljesítménnyel ad le energiát, akkor a teljesítmény egyenlő a t E(t (energia-idő függvény meredekségével. [P] J / s

12 Egyváltozós függvények differenciálszámítása Pillanatnyi teljesítmény nem egyenletes energialeadás esetén Mennyi a teljesítmény egy adott pillanatban, ha a t E(t függvény grafikonja nem egyenes? A pillanatnyi teljesítmény a t E(t függvény differenciálhányadosa (meredeksége. P(t E(t & de P(t (t dt P(t lim Δt ΔE Δt

13 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 3 Áramerősség egyenletes töltésáramlás esetén Ha egy vezető egy keresztmetszetén egyenletesen (állandó áramerősséggel áramlik át töltés, akkor az áramerősség egyenlő a t Q(t függvény meredekségével. [I] C / s

14 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 4 Pillanatnyi áramerősség nem egyenletes töltésáramlás esetén Mennyi az áramerősség egy adott pillanatban, ha a t Q(t függvény grafikonja nem egyenes? A pillanatnyi áramerősség a t Q(t függvény differenciálhányadosa (meredeksége. I(t Q(t & dq I(t (t dt I(t lim Δt ΔQ Δt

15 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 5 A fenti példákban közös, hogy mindegyikben két mennyiség megváltozása közti pillanatnyi kapcsolatot keressük: az egyik mennyiség egységnyi megváltozása egy másik mennyiség mekkora megváltozását eredményezi, vagyis, hogy mennyi a VÁLTOZÁSI GYORSASÁG pillanatnyi értéke? A válasz minden esetben a DIFFERENCIÁLHÁNYADOS.

16 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 6 Megjegyzések. A differenciálhatóság pontbeli tulajdonság.. A differenciálhányados geometriai jelentése: az érintő meredeksége Valójában helyesebb a következőképpen fogalmazni: ha az f függvény helyen differenciálható, akkor az (, f( ponton átmenő, f ( iránytangensű (meredekségű egyenest az f függvény pontbeli érintőjének nevezzük.

17 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 7 3. Beszélhetünk külön bal illetve jobb oldali differenciálhatóságról is, amennyiben a differencia-hányados függvény határértékének létezését csak egy oldalról vizsgáljuk. 4. Ahol egy függvény differenciálható, ott folytonos is.

18 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 8 Példa: a differenciálhányados kiszámítása f(, 3 lim lim 3 ( 3( lim(

19 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 9 Példa: egy pontban nem differenciálható függvény f( lim lim + lim lim f nem differenciálható az helyen

20 Egyváltozós függvények differenciálszámítása Példa: egy pontban nem differenciálható függvény f ( lim + lim + + f nem differenciálható az helyen

21 Egyváltozós függvények differenciálszámítása Definíció: derivált függvény A g:i R függvényt az f:i R függvény derivált függvényének nevezzük, ha az I intervallum bármely pontjában f ( g (. Jelölés: g f A derivált függvény értékei tehát mindenhol az eredeti függvény differenciálhányadosát adják. A derivált függvény meghatározását szokás deriválásnak nevezni. Megjegyzés A derivált függvény nem feltétlenül folytonos. Ha egy függvény deriváltja folytonos, akkor azt mondjuk, hogy a függvény folytonosan differenciálható.

22 Egyváltozós függvények differenciálszámítása Példa: a derivált függvény meghatározása f( lim lim ( lim ( ( + + f ( f (3 3 6 df ( d df d (3 3 6

23 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 3 Néhány elemi függvény derivált függvénye Konstans függvények Ha f( c, c R akkor f ( Indoklás: lim c c Megjegyzés A konstans függvény érintője bármely pontban egybeesik a függvény grafikonjával. Így az érintő mindenhol vízszintes, azaz meredekségű, ezért a derivált függvény a konstans függvény.

24 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 4 Eponenciális függvények f( a, <a R f ( a lna Indoklás: a a a lim a lim a ln a Speciálisan: f( e f ( e Példa ( 5 5 ln5

25 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 5 ( ( n n n n n n n n... lim lim Hatványfüggvények Indoklás, amennyiben n pozitív egész: f ( n n- f( n, n R Példák ( ( ( 6 7 7

26 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 6 Szinusz függvény f( sin f ( cos Indoklás: lim sin sin lim cos + sin lim cos + sin cos Az elemei függvények deriváltjainak táblázata megtalálható bármely, a diferenciálszámítással foglalkozó műben, például a Matematikai Feladatgyűjtemény III. c. segédlet végén is.

27 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 7

28 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 8 Fizikai példa derivált függvényre: sebességfüggvény Korábban láttuk, hogy a pillanatnyi sebesség a t s(t függvény differenciálhányadosa. Ebből következik, hogy a t s(t út-idő függvény derivált függvénye a t v(t sebesség-idő függvény. Példa: harmonikus rezgőmozgás y(t A sin(ωt v(t Aω cos(ωt

29 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 9 A differenciálás és az alapműveletek kapcsolata Tétel: összeg függvény differenciálása Ha az f:i R és a g:i R függvények differenciálhatók az helyen, akkor az f + g függvény is differenciálható az helyen és Példa ( f ± g ( f ( ± g ( ( ( ( ln 4 +

30 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 3 Indoklás: (f + lim g'( f ( lim f ( (f ( + lim + g( (f ( g( g( + g( f '( + g'(

31 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 3 Tétel: függvény konstansszorosának differenciálása Ha az f:i R függvény differenciálható az helyen és c R, akkor a c f függvény is differenciálhatók az helyen és ( c f ( c f ( Példa ( 7 sin 7 ( sin 7 cos

32 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 3 Indoklás: (c f '( c lim f ( lim (c f ( f ( (c f ( c f '(

33 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 33 Példa ( sin ( 8 ( ( 5 3 sin ( 5 + (6 4 7 ( f ± g ( f ( ± g ( ( c f ( c f ( 3 cos cos ln ln 4 + 5

34 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 34 Tétel: szorzat függvény differenciálása Ha az f:i R és a g:i R függvények differenciálhatók az helyen, akkor az f g függvény is differenciálható az helyen és (f g ( f ( g( + f ( g ( Példa ( ln tg ( ln tg + ln ( tg tg + ln cos

35 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 35 Indoklás: (f g'( lim g( f '( f ( g( f ( g( lim g( lim f ( + (f ( g( (f ( f ( f ( + g'( + f ( g( lim f ( g( lim f ( g( g( g(

36 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 36 Tétel: törtfüggvény differenciálása Ha az f:i R és a g:i R függvények differenciálhatóak az helyen és g(, ha I, akkor az f / g függvény is differenciálható az helyen és f g ( f ( g( g f ( ( g (

37 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 37 Példa 3 cos 5 e + tg ( ( ( ( 3 cos 5 e + tg 3 cos 5 e + tg ( 5 e + tg f g ( f ( g( g f ( g ( ( sin ( 5 e + tg ( 3 cos ( 5 e + tg 5 e + cos

38 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 38 Tétel: az összetett függvények differenciálása (lánc-szabály Ha a g:i J függvény differenciálható az helyen, továbbá az f:j R függvény differenciálható az g( helyen, akkor az fog:i R összetett függvény is differenciálható az helyen és ( f o g ( (f o g( g ( vagy másképpen írva: [ f (g(] f (g( g (

39 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 39 Példa [ f (g(] f (g( g ( ( ( sin( + 3 cos( cos( + 3 ( + 3 deriválási séma, amikor a külső függvény sin ( sin(g cos(g ( g

40 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 4 [ ] ( g (g( f (g( f 3 3 cos 3 tg ( g g cos g tg ( g g g g 3 ( (3 ( cos 3 3 ( g ( g f ( g( ( f ( g f deriválási séma, amikor a külső függvény tg deriválási séma, amikor a külső függvény

41 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 4 deriválási sémák egyes külső függvények esetén

42 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 4 Definíció: differenciál Ha az f:i R függvény differenciálható az helyen, akkor az ( ( f ( Δ f értéket az f függvény helyen vett, Δ eltéréshez tartozó differenciáljának nevezzük.

43 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 43 Példa Határozzuk meg az f függvény Δ-hez tartozó differenciálját az helyen! f( tg(3-6,, Δ, f( f( f '( cos 3 (3 6 A differenciálhányados az helyen: f ( f (3 A differenciál: f ( Δ f ( Δ 3,,6

44 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 44 Definíció: érintő Ha az f:i R függvény differenciálható az helyen, akkor az -beli érintője: e( f ( + f ( ( Megjegyzés Az érintő formulája könnyen érthető az alábbiak alapján:. az (,y pontokon átmenő, m meredekségű egyenes egyenlete: y y + m (-. az érintő egyenes átmegy az (,f( ponton, meredeksége pedig: f (.

45 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 45 Példa Határozzuk meg az f függvény érintőjét az helyen! f( tg(3-6, f( f( f ( f (3 Az érintő: e( f ( + f ( ( e( f( +f ( (- +3 (- 3-6

46 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 46 Definíció: lineáris közelítés Ha az f:i R függvény differenciálható az helyen, akkor f-nek az -beli lineáris közelítésén a következőt értjük: f ( e( f ( + f ( ( A lineáris közelítés az érintővel való közelítést jelenti.

47 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 47 Definíció: lineáris közelítés A lineáris közelítés másképpen úgy is megfogalmazható, hogy a függvény megváltozását a differenciállal közelítjük: f ( f ( f ( ( f ( Δ

48 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 48 Példa Határozzuk meg a f(. függvényértéket közelítőleg a függvény helyen vett lineáris közelítésével! f( tg(3-6,, Δ, f( f( f ( f (3 e( f( +f ( (- 3(- f(. e(. 3 (

49 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 49 Tétel: függvények inverzének differenciálhányadosa Ha az f:i J függvény szigorúan monoton az I intervallumon folytonos az I intervallumon differenciálható az I helyen és f ( akkor az f - inverz függvény differenciálható az f( helyen és avagy f (f ( f ( ( f ( f ( ( f (

50 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 5 Példa f( f - ( log f( 4 f - (4 Az előző tétel szerint összefüggés van az f függvény helyen vett és az f - függvény 4 helyen vett differenciálhányadosa (meredeksége között

51 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 5 Példa f( f - ( log f ( ln ( f ( ln f ( 4 ln ( f (4 4 ln

52 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 5 Elemi függvény inverzének derivált függvénye Az inverzfüggvény differenciálhányadosára vonatkozó formulával egy függvény deriváltjának ismeretében meghatározható az inverzfüggvény deriváltja. Például: logaritmus függvény ( log a a log a ln a ln a f ( f ( ( f ( arcsin függvény ( arcsin cos(arcsin sin (arcsin

53 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 53 Magasabb rendű deriváltak Ha az f:i R függvény differenciálható az I intervallumon, továbbá a derivált függvénye differenciálható az I helyen, akkor azt mondjuk, hogy f kétszer differenciálható -ban. Jelölés: ( ( f ( f Ha az f:i R függvény (k--szer differenciálható az I intervallumon (k pozitív egész, továbbá a (k--edik derivált függvénye differenciálható az I helyen, akkor azt mondjuk, hogy f k-szor differenciálható -ban. Jelölés: ( (k (k ( f ( f

54 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 54 Differenciálható függvények néhány lokális jellemzője A normális egyenes egyenlete y f ( o f ( o ( o A tangens szakasz hossza Szubtangens T f ( o + (f ( f ( o o S T f ( o f ( o A normális szakasz hossza Szubnormális N f ( o + (f ( o S N f ( o f ( o

55 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 55 Kétszer differenciálható függvények néhány lokális jellemzője Definíció: görbület Megjegyzés g f ( o ( [ ] 3 + f ( o Egyenes görbülete (bármely pontjában. Egy R sugarú kör görbületének nagysága (a kör bármely pontjában /R. Definíció: simulókör Egy kétszer differenciálható függvény simulóköre adott függvénypontban az a kör, amely illeszkedik a függvénypontra, ebben a pontban a függvénnyel közös az érintője, továbbá a pontbeli görbületük is egyenlő.

56 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 56 Kétszer differenciálható függvények néhány lokális jellemzője Simulókör ahol u o v f ( f ( o + o [ f ( ] + f ( o [ f ( ] + f ( (-u + (y-v R o o o R ( [ f ( ] + f ( o o 3

57 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 57 T Definíció: Taylor polinomok Legyen a R, <r R, n pozitív egész. Ha az f:]a-r,a+r[ R függvény n-szer differenciálható az ]a-r,a+r[ intervallumon, akkor a f (a! f (a! (a n! (n n n,a ( f (a + ( a + ( a ( a polinomot az f függvény a alapponthoz tartozó n-edfokú Taylor polinomjának nevezzük. Megjegyzés Differenciálható függvények közelítése polinommal Az elsőfokú Taylor polinom azonos az érintővel. f

58 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 58 Példa Határozzuk meg a sin függvény Taylor polinomjait az a helyen az elsőfokútól az ötödfokúig! a f ( sin f (a f ( sin f ( cos f (a f ( cos f ( sin f (a f ( sin f ( cos f (a f ( cos f (4 ( sin f (4 (a f (4 ( sin f (5 ( cos f (5 (a f (5 ( cos

59 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 59 a (4 (5 f (a f (a f (a f (a f (a f (a f (a f (a f (a T5,a ( f (a + ( a + ( a + ( a!! n! f (a 4! (4 ( a 4 + f (a 5! (5 ( a 5 T,a T,a T T 6 3 3,a 6 T 3 5 5,a + 3 4,a 6

60 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 6 T,a T 6 3 3,a T ,a +

61 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 6 Tétel: Taylor tétel Legyen a R, <r R, n pozitív egész. Ha az f:]a-r,a+r[ R függvény n-szer differenciálható az ]a-r,a+r[ intervallumon, akkor bármely ]a-r,a+r[ elemhez van olyan ξ az és az a között, melyre fennáll, hogy f ( f ( ξ n! (n n Tn,a ( + ( a Megjegyzés Hibatag: f ( ξ n! (n ( a n f ( T n,a (

62 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 6 Megjegyzés f ( f ( ξ n! n n Tn,a ( + ( a A Taylor tétel szerint egy n-szer differenciálható f függvény esetén az f( függvényérték becsülhető az f-nek egy a helyen vett (első, második,, (n-. deriváltjaival úgy, hogy a becslés maimális hibája az n-edik derivált függvénnyel kifejezhető: ha az f (n függvény korlátja az és az a helyek között K, akkor a becslés hibája legfeljebb K (n n f ( ξ ( n K a ugyanis ( a ( a n n! n! n!

63 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 63 Definíció: Taylor sor Ha az f:]a-r,a+r[ R függvény akárhányszor differenciálható az ]ar,a+r[ intervallumon, akkor az n f (a n! (n ( a n f (a + f (a! ( a + f (a! ( a +... hatványsort az f függvény a alapponthoz tartozó Taylor sorának nevezzük.

64 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 64 Egy f függvény Taylor sorával kapcsolatban alapvető kérdés, hogy f egyenlő-e a hatványsorának összegfüggvényével. A Taylor tételből következik, hogy ha az f függvény deriváltjai közös korláttal rendelkeznek, akkor f egyenlő a Taylor sorának összegfüggvényével. Definíció A alapponthoz tartozó Taylor sort MacLaurin sornak is nevezzük.

65 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 65 Megjegyzés Az e, sin, cos függvényeknek MacLaurin sora azonos a függvényeket definiáló hatványsorral. e n n! n e + +! + 3 3! + 4 4! +... sin n ( (n +! n n n sin ! 5! 7! n 4 6 ( n cos cos (n!! 4! 6!

66 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 66 Példa Határozzuk meg az sin(e függvény harmadfokú Taylor polinomját az a helyen! a f ( sin(e f ( sin(e,4 f ( e cos(e f ( e cos(e, 478 f ( e sin(e + e cos(e f ( e sin(e + e cos(e 5,55 f ( e 3 cos(e 3e sin(e + e cos(e f ( e 3 cos(e 3e sin(e + e cos(e 6.76

67 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 67 a f (,4 f (,478 f ( 5, 55 f ( T T f (a! f (a! 3 3,a ( f (a + ( a + ( a + ( a 5,55 (a n! 6, ,a (,4,478 ( ( + ( f sin( e,4,478 (,758 ( +,9 ( 3

68 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 68 sin( e,4,478 (,758 ( +,9 ( 3

69 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 69 Tétel: Lagrange tétel Ha az f:[a,b] R függvény folytonos az [a,b] intervallumon differenciálható az ]a,b[ intervallumon, akkor van olyan ξ ]a,b[, melyre fennáll, hogy f ( ξ f (b b f (a a

70 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 7 Megjegyzés A Lagrange tételnek nagy jelentősége van a differenciálható függvények vizsgálatában. A tétel alapján könnyen belátható például, hogy ha egy differenciálható függvény derivált függvénye egy I intervallumon nemnegatív, akkor a függvény monoton növekvő az adott intervallumon: tetszőleges [,y] I részintervallumra alkalmazva a tételt kapuk, hogy f( f(y. Hasonlóan kapjuk, hogy ha egy differenciálható függvény derivált függvénye egy intervallumon nempozitív, akkor a függvény monoton növekvő ezen az intervallumon.

71 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 7 Tétel: L Hospital szabály (határérték-számítás differenciálással Ha f:]a,b[ R és g:]a,b[ R differenciálható függvények g(, ha ]a,b[, g (, ha ]a,b[ lim f ( lim g( vagy lim f ( lim g( a a a f ( létezik a lim határérték, a g ( f ( akkor létezik a lim határérték is és a g( lim f ( g( a f ( lim a g ( a

72 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 7 Példák lim sin lim cos lim e sin lim cos e lim sin e lim cos e

73 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 73 Differenciálható függvények vizsgálata Tétel: A monotonitás és az első derivált előjele Ha az f:i R függvény differenciálható, akkor f monoton növekvő az I intervallumon f monoton csökkenő az I intervallumon f (, I f (, I Megjegyzés Az állítások a Lagrange tétel következményei.

74 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 74 Tétel: Helyi szélsőértékek létezésének szükséges és elegendő feltétele Ha az f:i R differenciálható függvényre fennáll, hogy f ( az f függvény -ban előjelet vált, azaz van -nak olyan ] r, +r [ I környezete, hogy vagy fordítva: f (, ha ] r, [ f (, ha ], +r [ f (, ha ] r, [ f (, ha ], +r [ akkor f-nek -ban helyi szélsőértéke van.

75 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 75 Megjegyzések Egy f differenciálható függvény esetén az f ( egyenlőség szükséges feltétele annak, hogy f-nek -ban helyi szélsőértéke legyen. Az f ( egyenlőség azonban nem elegendő a helyi szélsőérték létezéséhez: az f( 3 függvény esetén például f (, pedig f-nek a -ban nincs helyi szélsőértéke.

76 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 76 Tétel: A konveitás és a második derivált előjele Ha az f:i R függvény kétszer differenciálható, akkor f konve az I intervallumon f konkáv az I intervallumon f (, I f (, I

77 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 77 Megjegyzések. Egy differenciálható függvény pontosan akkor konve, ha a deriváltja monoton növekvő.. Egy differenciálható függvény pontosan akkor konkáv, ha a deriváltja monoton csökkenő. 3. Egy f:i R differenciálható függvény pontosan akkor konve, ha bármely I és I esetén f( f( + f ( (- azaz a függvény bármely pontbeli érintője felett halad, 4. Egy f:i R differenciálható függvény pontosan akkor konkáv, ha bármely I és I esetén f( f( + f ( (- azaz a függvény bármely pontbeli érintője alatt halad.

78 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 78 konve függvény konkáv függvény

79 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 79 Tétel: Infleiós pont létezésének szükséges és elegendő feltétele Ha az f: I R kétszer differenciálható függvényre fennáll, hogy f ( az f függvény -ban előjelet vált, azaz van -nak olyan ] r, +r [ I környezete, hogy f (, ha ] r, [ f (, ha ], +r [ vagy fordítva f (, ha ] r, [ f (, ha ], +r [ akkor f-nek -ban infleiós pontja van.

80 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 8 Megjegyzések. Egy f kétszer differenciálható függvény esetén az f ( egyenlőség szükséges feltétele annak, hogy f-nek -ban infleiós pontja legyen.. Az f ( egyenlőség azonban nem elegendő az infleiós pont létezéséhez: az f( 4 függvény esetén például f (, pedig f-nek a -ban nincs infleiós pontja.

81 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 8

82 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 8 A függvényvizsgálat szempontjai. Amennyiben az értelmezési tartomány nem adott, a legbővebb valós számhalmaz megkeresése, amelyen a függvény értelmezhető.. A zérushelyek megkeresése. 3. A szakadási helyek megkeresése. 4. A határérték meghatározása a szakadási helyeknél, valamint az értelmezési tartomány széleinél. 5. A monotonitás vizsgálata és a helyi szélsőértékek meghatározása. 6. A konveitás vizsgálata és az infleiós pontok meghatározása. 7. A függvény felvázolása a megállapított tulajdonságok alapján. 8. Az értékkészlet meghatározása, a korlátosság vizsgálata.

83 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 83 Példa f( A legbővebb valós számhalmaz, amelyen a függvény értelmezhető:. Zérushelyek: R (ez minden polinom esetén így van f( ( 7+ ( (-5,, Szakadási helyek: Szakadási hely nincs, mivel a polinomok folytonosak a teljes számegyenesen.

84 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 84 f( A határérték az értelmezési tartomány széleinél : lim ( lim lim ( lim Megjegyzés Amint azt a fenti számolások is mutatják, egy polinom (- -beli, illetve (+ -beli viselkedését a legmagasabb fokszámú tag (annak kitevője és együtthatója határozza meg.

85 Egyváltozós függvények differenciálszámítása Monotonitás, helyi szélsőértékek f( f ( f f ( f ( gyökök:,88, 3,79 f ( f ( 3 4 +,88, vagy 3,79 f ( f ( 3 4 +,88 3,79

86 Egyváltozós függvények differenciálszámítása Konveitás, infleiós pontok f( f ( 6 4 f f ( f ( 6 4 gyök:,33 f ( f ( 6 4,33 f ( f ( 6 4,33

87 f( Egyváltozós függvények differenciálszámítása Felvázolás A helyi maimum értéke: f( A helyi minimum értéke: f( Infleiós pont: f( f ( 3 4+ f ( 6 4

88 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 88 f( Értékkészlet: R A függvény alulról sem, felülről sem korlátos.

89 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 89 Példa Keressük meg az f( 3 7 +, [,6] függvény (globális minimumát és maimumát! Emlékeztetőül: zárt intervallumon folytonos függvény felveszi a minimumát és maimumát vagy az intervallum belsejében helyi szélsőérték formájában, vagy az intervallum határán. Ezért a feladat megoldásának menete:. megkeressük a helyi szélsőértékeket a [,6] intervallumon. meghatározzuk a függvény értékeit a végpontokban 3. a kapott értékeket összehasonlítva megkapjuk a keresett maimum és minimum értékeket.

90 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 9 Mivel az előzőekben megvizsgáltuk az f( függvényt, ennek eredményét most felhasználhatjuk: Eszerint helyi maimum van az.88 helyen, melynek értéke 4.6, helyi maimum van az 3.79 helyen, melynek értéke 8.. A végpontokban felvett értékek: f(, f(64. Tehát: A maimum helye 6, értéke 4. A maimum helye 3.79, értéke 8..

91 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 9 Harmonikus rezgőmozgás út-idő, sebesség-idő és gyorsulás-idő függvénye y(t A sin(ωt v(t Aω cos(ωt a(t -Aω sin(ωt A sebesség-idő függvény az út-idő függvény derivált függvénye. A gyorsulás-idő függvény a sebesség-idő függvény derivált függvénye.

92 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 9 Függvény szélsőértékének megkeresésével megoldható problémák Példa Egy m 3 -es víztároló medencét akarunk építeni. Milyenre kell választani a méreteit, hogy a megépítéséhez a legkevesebb anyagot kelljen felhasználni? Megoldás Először be kell vezetni egy olyan változót, melynek segítségével felírható az a mennyiség, melynek a szélsőértékét kell megkeresni. Itt egy lehetséges megoldás az alapél hosszának bevezetése változóként, jelölje ezt. A szükséges anyag mennyisége arányos a medence felületével (az alaplap és az oldallapok területének összegével, így a felület kell felírni az függvényében.

93 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 93 F( + 4 m Itt látszólag két változó van, de a magasság kifejezhető az segítségével, mivel a térfogat értéke rögzített: V m F( 4 (az változó, a feladat jellegéből adódóan, csak pozitív értéket vehet fel + A minimum helye: A minimum értéke: F ( 3 4 ( F ( + 4

94 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 94 Példa 8 cm oldalú, négyzet alakú lapból a rajzon látható módon felül nyitott dobozt készítünk. Határozza meg a doboz maimális térfogatát!

95 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 95 Megoldás A térfogat: V( (8 - A térfogat néhány érték mellett:

96 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 96 A térfogat: V( ( A V függvény értelmezési tartománya: < < 9 A V függvény maimumát kell megkeresni. V ( A V ( egyenlet megoldása a ],9[ intervallumon: 3

97 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 97 A derivált előjele: V-nek maimuma van 3-nál. A probléma megoldása: A maimális térfogat: V(3 43 (cm 3 V V

98 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 98 Példa Egy hidat és egy csomópontot kell úttal összekötni. A csomópont a hídtól délkeletre van: 8 km keletre, 8 km délre. A folyó mellett 5 km széles mocsaras terület húzódik. Ha az építési költség kilométerenként millió Ft a mocsaras területen és 7 millió Ft a száraz területen, akkor milyen nyomvonal mellett lesz minimális az építési költség? Mennyi ez a minimális költség?

99 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 99 Megoldás Az út költsége: C( (8 + 9 A C függvény értelmezési tartománya: 8 A C függvény minimumát kell megkeresni. Az építési költség néhány érték mellett:

100 Egyváltozós függvények differenciálszámítása ( ( (8 9 C ( + C ( ( ( (8 + 9 (8 ( C ( (8 (8 + 9 C A C ( egyenlet negyedfokú. Az egyenlet közelítő megoldása a [,8] intervallumon: 3.56

101 Egyváltozós függvények differenciálszámítása Mivel az értelmezési tartomány zárt intervallum, elegendő a függvényértékek ellenőrzési az, 3.56 és 8 helyeken: C( 9.8 C( C(8 5.3 A függvényértékek alapján látható, hogy (közelítőleg az 3.56 helyen van minimuma a függvénynek A minimum értéke: 98.9 million Ft C

102 Egyváltozós függvények differenciálszámítása Példa Legfeljebb milyen hosszú fa fordítható be a 4 m széles csatornából a rá merőleges m széles csatornába? (A fa vastagságát hanyagoljuk el!

103 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 3 Megoldás A rúd maimális hossza, mely adott α szög mellett elfér a rajzon látható pozícióban: L( α 4 cos α + sin α

104 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 4 A maimális rúdhoszz néhány szögérték mellett: α 5 α 3 α 45 α 6 L.87 (m L 8.6 (m L 8.49 (m L.3 (m

105 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 5 L( α 4 cos α + sin α Az L függvény értelmezési tartománya: π < α < Az L függvény minimumát kell megkeresni. cos α 4 ( sin α sin α cos α L ( α + cos α sin α 4 sin α cos α L ( α cos α sin α

106 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 6 Az L (α egyenlet megoldása: L ( α 4 sin α cos α cos α sin α 4 sin α cos α cos α sin α tgα 3 α.67 (rad α sin cos 3 3 α α L-nek az α.67 szög mellett van minimuma.

107 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 7 A α.67 szög mellett a fa maimális hossza: 4 L (.67 + cos.67 sin Amaimálishossz:L 8.33 m L L

108 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 8 Példa Egy italos doboz térfogata 4 cm 3. Ha a doboz alaplapja és a fedőlapja,3-szor olyan vastag anyagból készül, mint az oldala, akkor milyen méretek mellett lesz minimális az anyagfelhasználás?

109 Egyváltozós függvények differenciálszámítása 9 Megoldás A szükséges anyagmennyiség (térfogata a sugár (r és a magasság (h függvényében (d az anyag vastagsága az oldalon: M(r,h r π.3 d + h r π d Azr és ahkapcsolata: 4 r π h h 4 r π A szükséges anyagmennyiség (térfogata a sugár függvényében: M(r π d.3 r + r 4 r π π d.3 r + 4 r π

110 Egyváltozós függvények differenciálszámítása M(r π d.3 r + 4 r π Az M függvény értelmezési tartománya: ], [ Az M függvény minimumát kell megkeresni. 4 M (r π d 4.46 r π r

111 Egyváltozós függvények differenciálszámítása Az M ( egyenlet megoldása: 4 π d 4.46 r π r 4.46 r π 4 r r 3 4 r 3. 6 π 4.46 Az M függvénynek minimuma van at r 3.6-nál.

112 Egyváltozós függvények differenciálszámítása Az r 3.6 cm mellett minimális az anyagfelhasználás. M M